Lucia 2009 [Lezioni Di Meccanica Dei Solidi - 06] R0.1.0

6 Elementi di meccanica dei solidi

Corso di Meccanica dei solidi dott. ing. Pasquale Lucia

•Lo stato di sforzo;

•Lo stato di deformazione;

•Legami tra sforzi e deformazioni (legame elastico-lineare isotropo);

•Il problema elastico-lineare isotropo;

•Il problema di De Saint-Venant.

Lo stato di sforzo è una grandezza fisica definita da tre componenti vettoriali o,equivalentemente, da nove componenti scalari.

Lo sforzo σ in un generico punto P di una superficie (piccola)normale ad un asse x, appartenente ad un corpo sollecitato daun sistema di forze, viene espresso attraverso il vettore σx la cuiproiezione lungo x si indica σx mentre le due componenti nelpiano lungo gli assi y e z, rispettivamente τxy e τ xz.

Per individuare completamente lo stato di sforzo in un punto Pdi un corpo soggetto a forze è necessario conoscere lecomponenti vettoriali su tre giaciture (9 componenti scalari).

x yx zx

xy y zy

xz yz z

Ogni colonna della matrice σcontiene le componentiscalari dei vettori σk, k = x, y,z che a loro voltacostituiscono le componentivettoriali dello stato disforzo.

2/33 a.a. 2008-’09 ELEMENTI DI MECCANICA DEI SOLIDI


Lo stato di sforzo

Delle nove componenti scalari solo 6 sono indipendenti, in quanto la matrice σ dello stato disforzo risulta simmetrica.

0 yz zy

dx dz dy dx dy dz

La simmetria della matrice σ si rileva dall’equilibrio alla rotazioneattorno ai tre assi coordinati la cui origine P viene identificata conil baricentro dell’elemento

equilibrio attorno ad x:

yz zy

equilibrio attorno ad y:

equilibrio attorno ad z:

xz zx

xy yx

Su due elementi di superficie ortogonali, le tensioni tangenziali dirette normalmente allospigolo comune sono uguali tra loro.



Lo stato di sforzo

Stato di sforzo piano: uno stato di sforzo che comportiσz=0, τzy=0, τzx=0 si dice piano.

x yx

xy y

è definito dalle tre componentiscalari: σ x,σ y τxy=τyx

Il tensore σ rappresentativo di unostato di sforzo piano:

( x) x

Per il principio di azione e reazione a meno di variazioni infinitesime :

( y) y

di regola le componenti dei vettori sono assunte positive se dirette nel verso opposto aquello degli assi coordinati (vedi figura).

( x) ( y) ;

componenti

vettoriali



Lo stato di sforzo

imponendo l’equilibrio dell’elemento:

La componente vettoriale di sforzo σα su unaqualsiasi giacitura di normale nα contenuta nel pianodegli sforzi può essere calcola a partire dal tensore σ(ovvero dipende solo dalle 3 componenti σ x,σ y, τxy).

x

y

n cosn

n sin

( x) ( y)dy dz dx dz ds dz

0

dx ds sin

dy ds cos

x x y yn n

x yx x

yxy y

n

n

Relazione di Cauchy: n

Lo stato di sforzo in un punto è completamente noto selo sono i valori delle componenti della matrice σ, inquanto a partire da questa è possibile valutare lecomponenti vettorialiσα su qualsiasi giacitura.



Lo stato di sforzo

Le componenti normale σ e la componente tangenziale τ alla giacitura si ottengono proiettando ilvettore sul versore nα e sul versore ad esso ortogonale rα.

x

y

r senr

r cos

x

y

n cosn

n sin

x xy xy y

x xy xy y

n cos sin cos cos sin sin

r cos sin sin cos sin cos

x xy y

x y xy

cos sin cos sin

sin cos cos sin

2 2

2 2

2

1 12 2

2 2

12 2

2

x y x y xy

x y xy

cos sin

sin cos

sin sin cos 2 2

2 22 cos cos sin

cos cos 2 1 2 1 2

sin cos 2 1 2 1 2



Lo stato di sforzo

Tali relazioni definiscono nel piano (σ, τ) una circonferenza con centro nel punto σ =c e raggio R.

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 22 4

2 2 2 24

x y x y

xy x y xy

x y

xy x y xy

cos cos sin sin

sin cos sin cos

2 2 2 c R

2

2

2 4

x y x y

xyc ; R

Per un dato stato di sforzo piano, i valori delle tensioni normali e tangenziali relativi ad una qualunque giacituranel piano degli sforzi appartengono a questa circonferenza nota come diagramma di Mohr.

OSS: nella rappresentazione di Mohr le τvengono assunte positive se suggeriscouna rotazione oraria dell’elemento nelpunto.



Lo stato di sforzo

2

2

2 4

x y x y

I,II xyc R

I valori massimi e minimi dello sforzo normale corrispondono all’intersezione del cerchio con l’asse delle σ evalgono:

Esistono pertanto due giaciture nel piano mutuamente ortogonali che prevedono la sola componente normaledello sforzo (la tensione tangenziale è nulla). Le normali a queste giaciture identificano le direzioni principali disforzo ed i valori afferenti vengono detti sforzi principali.

Le direzioni principali si definiscono a partire dall’angolo α* che una delle due direzioni principali sottende con lagenerica giacitura normale all’asse x:

21

2

xy*

x y

tan

La tensione tangenziale massima corrisponde al punto di coordinate:

2

x yc

2

2

4

x y

xyR

Tale punto ed il punto diametralmente opposto corrispondono a giaciture inclinate di 45° rispetto alle direzioniprincipali.



Lo stato di sforzo

Trazione semplice Taglio puro



Lo stato di sforzo

x xy xz x

xy y yz y

xz yz z z

n

n

n

Relazione generale di Cauchy: n

Su qualunque giacitura il vettoreσα, è definito dalle 6 componenti indipendenti del tensore degli sforzi.

Ogni stato di sforzo ammette un riferimento principale, nel quale presenta solo componenti normali. Sullegiaciture corrispondenti la componente vettoriale dello sforzo è diretta come la normale uscente nα:

n



Lo stato di sforzo

Stati di sforzo spaziali

Si definisce un problema agli autovalori:

Le direzioni principali sono le soluzioni non banali del sistema omogeneo, che esistono se e solo se la matrice deicoefficienti è singolare:

1 x y z

J

n n 0

I n

0

0

0

x xy xz x

xy y yz y

xz yz z z

n

n

n

0 det I J J J3 2

1 2 30

2 2 2

2 x y y z z x xy yz xz

J3 J det

Oss: la simmetria della matrice σ assicura che esistono sempre tre radici reali che costituiscono gli sforzi principalie vengono indicati conσI,σII,σIII.

Invarianti di sforzo (la soluzione è indipendente dalsistema di riferimento x,y,z adottato inizialmente)



Lo stato di sforzo

Stati di sforzo spaziali

Valori normale e tangenziale sulla generica giacitura: n

n

Uno stato di sforzo spaziale è identificato nel piano diMohr da 3 cerchi, ognuno dei quali interseca l’assedelle σ in corrispondenza di due dei tre sforziprincipali. I possibili valori risultano contenutinell’area compresa tra il cerchio esterno e i dueinterni, detta arbelo.

Il diagramma evidenzia come gli sforzi normalimassimo e minimo corrispondano al valore massimoe minimo degli sforzi principali e come la tensionetangenziale massima coincida con il raggio delcerchio più grande.

Oss: a differenza del caso piano il diagramma diMohr per uno stato di sforzo spaziale non è di ausilioper il calcolo, ovvero è necessario il calcolo analiticodegli sforzi principali.

max(min) I II III

max(min) , ,

1

2

max I II II III III Imax , ,



Lo stato di sforzo

Le condizioni di equilibrio definiscono dei legami tra le componenti del tensore degli sforzi e le forze agenti sulcorpo.

forze di volume

x

y

z

F

F F

F

forze di superficie

x

y

z

f

f f

f

Solido in una configurazione Γ di equilibrio: le forze di volume e di superficie (comprensive delle reazionevincolari) soddisfano le equazioni cardinali della statica in Γ.

L’equilibrio deve sussistere per ogni porzione di volume del corpo isolata e soggetta alle forze esterne agenti su siessa e alle azioni interne scambiate con le porzioni di corpo adiacenti.



Lo stato di sforzo

Le condizioni di equilibrio

Equilibrio alla traslazione del parallelepipedo: 0

yx z Fx y z

yxx zx

x

xy y zy

y

yzxz z

z

Fx y z

Fx y z

Fx y z

0

0

0

Equazioni indefinite di equilibrio (in forma scalare).

Oss: l’equilibrio alla rotazione del volume elementare conferma lasimmetria del tensore degli sforzi.

in V

in V

V=dxdydz



Lo stato di sforzo

Sul contorno la componente vettoriale di sforzo si identifica con la forza ivi agente. Questa è nota sulcontorno libero SF

x x yx y zx z x

xy y y y zy z y

xz x yz y z z z

n n n f

n n n f

n n n f

Equazioni di equilibrio al contorno.

Oss: le tre equazioni (differenziali) indefinite di equilibrio cui sono associate le condizioni al contorno su SF nonsono sufficienti a determinare le sei componenti del tensore degli sforzi nel corpo solido. Pertanto un corpocontinuo è intrinsecamente iperstatico e per calcolare il suo stato di sforzo occorre utilizzare oltre alle equazioni diequilibrio anche quelle di congruenza e le relazioni costitutive.

su SF



Lo stato di sforzo

Si considera il solido come deformabile e si definisce il processo deformativo che porta il corpo da unaconfigurazione di equilibrio Γad una nuova configurazione Γ (ancora equilibrata).

Il processo deformativo viene definito dallafunzione spostamento s(x,y,z) che deve esserenota in ogni punto del corpo.

x

y

z

s x, y, z

s x, y, z s x, y, z

s x, y, z

Per determinare una misura della deformazione locale rappresentativa della variazione di volume e di forma delcorpo è necessario adottare un’ipotesi fondamentale sul campo di spostamenti detta di congruenza: si assumeche il cambiamento di configurazione avvenga senza lacerazioni e senza sovrapposizioni di materiale. Lecomponenti del vettore di spostamento s devono essere continue e ad un solo valore nel punto.



Lo stato di deformazione

Il processo deformativo dovrà inoltre rispettare le condizioni di vincolo:

xxs s yy

s s zzs s su SU

Uno spostamento continuo e ad un sol valore nel volume V e rispettoso delle condizioni ai vincoli definisceun processo deformativo congruente.

x x x

x

y y y

y

yz z z

s s s

x y zds dx

s s sds dy

x y zdzds

s s s

x y z

ds dx

Incremento infinitesimo di spostamento

gradiente di spostamento




Il gradiente di spostamento può essere espresso come somma di una parte simmetrica ε e una parteemisimmetria θ:

1

2 T

1

2 T

Lo spostamento s del generico punto Pnell’intorno di P0 si esprime come: 0 s s dx dx

ε·dx rappresenta la deformazione vera e propria ovvero la componente del processo di spostamento checomporta variazioni di volume e di forma dell’intorno del punto P0.




22

22

1 2 1

yx

x x y y

yx x x

ssd dx s dx s s dx s

x x

ss s s dx dx

x x x x

11

xx

sd dx

dx x




1 1

1

1

y

y yy y

x

ss dx s s sxsin

d x x

2 2

1

1

xx x

x x

y

ss dy s

s sysin

d y y

12 212 2

yx

xy

ss

y x




Lo stato di deformazione come lo stato di sforzo è una grandezza tensoriale. Lo stato di deformazione in unpunto è definito dal tensore doppio simmetrico:

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x xy xz

xy y yz

xz yz z

dx

dy

dz

Tensore delle piccole deformazioni (nella trattazionesvolta gli spostamenti sono stati assunti infinitesimi)

Come per il tensore degli sforzi anche per il tensore delle deformazioni esiste una terna privilegiata, nellaquale il tensore presenta solo deformazioni diagonali εI, εII, εIII pertanto gli scorrimenti angolari sono nulli. Unparallelepipedo con gli spigoli orientati come gli assi del riferimento principale si trasforma, nel processodeformativo in un parallelepipedo in cui gli spigoli variano in lunghezza ma si mantengono ortogonali.

La variazione di volume nell’intorno di unpunto è data (nel riferimento principale) da:

I II III x y z

dV dV

dV

Invariante (J1)

deformazioni dirette




Si considera un legame elastico-lineare che prevede una proporzionalità tra sforzi e deformazioni, con completorecupero delle deformazione alla rimozione dello sforzo. Si assume inoltre che il materiale non presenti direzionipreferenziali di comportamento (comportamento isotropo) il cui legame risulta invariante rispetto al sistema diriferimento.

Una caratteristica fondamentale del comportamento isotropo è il disaccoppiamento della parte relativa agli sforzinormali e alle deformazioni dirette e la parte relativa agli sforzi tangenziali e agli scorrimenti angolari.

(x) x

xE

Il legame costituivo che lega tensioni normali con deformazioni dirette si ricava dalle prove a trazione(compressione) semplice su provini.

(x) (x) x

y zE

y(y)

yE

y(y) (y)

x zE

(z) z

zE

(z) (z) z

x yE

sforzo normale≠0 in direzione x

sforzo normale ≠0 in direzione y

sforzo normale ≠0 in direzione z



Legame tra sforzi e deformazioni (legame elastico-lineare isotropo)

Nel caso generale, in cui le componenti di sforzo normale sono tutte presenti, il legame si ottiene sovrapponendole soluzioni.

x x y zE

1

y x y zE

1

z x y zE

1

Per quanto riguarda le tensioni tangenziali e gli scorrimenti angolari, il legame elastico lineare instaura unaproporzionalità tra le componenti:

xy xyG

1

zx zxG

1

yz yzG

1

Il modulo elastico tangenziale può essere calcolato in funzione di E di v. Si consideri uno stato di sforzo pianoassociato a taglio puro:

xy

xy

xy

1

2xy

1

2




Nel caso di sforzo piano σz=0

E

1

E

1

xy xyE

1 1

12

EG

2 1

In forma matriciale il legame elasto-lineare isotropo si esprime come:

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 01

0 0 0 2 1 0 0

0 0 0 0 2 1 0

0 0 0 0 0 2 1




Il legame elastico-lineare isotropo è definito da due sole costanti indipendenti, i loro valori si determinano sullabase di prove sperimentali.

Non tutti i valori delle costanti elastiche sono ammissibili. Deve infatti risultare E > 0 e -1 < ν < 0.5 in quanto laforma matriciale che definisce il legame deve essere invertibile e quindi non singolare. Inoltre materiali con ν <0non si incontrano nella pratica pertanto risulta:

. 0 0 5

Il limite ν=0 individua un materiale privo di contrazione trasversale, mentre il limite superiore ν=0.5 un materialeincompressibile che nel processo deformativo può subire solo variazioni di forma, conservando il proprio volume:

x y z x y z

dV dV ( =0.5 dV dV)

dV E

1 20

Materiali caratterizzati da costanti elastiche che non ricadono nei rispettivi intervalli di ammissibilità risultanonon isotropi.




Non tutte le deformazioni sono dovute a sforzi. Un solido omogeneo soggetto ad una variazione di temperaturasubisce delle deformazioni anche in assenza di sforzi. In generale si può scrivere:

k k

e t

k

In materiali isotropi le variazioni di temperatura nel punto non producono scorrimenti angolari ma solodeformazioni dirette uguali in ogni direzione e legate a ∆T attraverso il coefficiente di dilatazione termica α delmateriale:

kl kl

e t

kl

x y z

t t tT

xy xz yz

t t t 0






Il problema elastico-lineare isotropo

Il problema è governato da 15 equazioni, 9 delle quali differenziali; ad esse vanno associate le condizioni sulcontorno: equazioni di equilibrio sul contorno libero SF, di congruenza sul contorno vincolato SU.

Il problema è governato da equazioni lineari, ciò deriva dalle ipotesi che sono alla base del problema:

•sono lineari le equazioni costitutive che legano tensioni e deformazioni;

• spostamenti e deformazioni sono stati assunti piccoli (teoria del primo ordine).

Adottando l’ipotesi di piccoli spostamenti è possibile linearizzare il legame deformazioni-spostamenti ed imporrel’equilibrio nella configurazione indeformata.

Il problema elastico-lineare isotropo non consente facili soluzioni in forma chiusa, la loro ricerca è comunquefacilitata da alcune proprietà fondamentali del problema elastico:

• la soluzione esiste ed è unica;

• è possibile applicare la sovrapposizione degli effetti;

• qualora le forze esterne interessino una piccola zona la soluzione ad una certa distanza da talezona dipende solo dalla loro risultante e non dalla loro distribuzione locale (principio di equivalenzastatica).




Applicando il principio di equivalenza statica è possibile sostituire un vincolo con le sue risultanti, qualoracalcolabili con il solo equilibrio. Se il vincolo interessa un porzione limitata del contorno, la soluzione delproblema così modificato può considerarsi coincidente con la soluzione del problema originario a partire da unacerta distanza dal vincolo stesso. Le condizioni di congruenza non verranno più definite sul contorno mainternamente al corpo (in questo modo vengono eliminati dal problema le funzioni spostamento).

Le deformazioni dovranno soddisfare le equazioni di congruenza interna (ottenibili per sostituzione diretta dalleequazioni costitutive spostamenti-deformazioni).

z x zx

x z z x

2 2 2

2 2

y yzz

z y y z

2 22

2 2

y xyx

y x x y

2 22

2 2

xy yzx zx

y z x z x y

2 1

2

y yz xyzx

z x y x y z

21

2

xy yzz zx

x y z y z x

2 1

2

Le incognite nel punto del solido si riducono a 12 (componenti indipendenti dei tensori deformazione etensione).




Oss: le 6 equazioni di congruenza interna non sono tra loro indipendenti: esistono 3 equazioni di congruenzaindipendenti che sommate alle 3 equazioni indefinite di equilibrio nel volume del solido e alle 6 equazionicostitutive che legano le tensioni alle deformazioni pareggiano il numero delle incognite (12).




Si considera un solido cilindrico, privo di vincoli, in cui si suppongono nulle le forze di volume e le variazionitermiche, nonché le azioni sulla superficie laterale che è scarica. Il solido è sollecitato solo sulle due sezioniestreme le cui risultanti corrispondono ad un’azione assiale N e due momenti My e Mz attorno a due assiprincipali di inerzia della sezione retta. Per equilibrio sulle due sezione x=0 e x=L agiranno le stesse risultanti macon segno opposto.

Soluzione con metodo semi-inverso (si introduce una soluzione di tentativo “ragionevole”).

Soluzione del problema elastico: problema di De Saint Venant delle azioni assiale e flettente

xK K y K z 0 1 2 y z xy yz zx

0

Tale soluzione soddisfa le equazioni indefinite di equilibrio per forze di volume nulle.




Dalla legge costitutiva si ottiene:

xy yz zx 0

Le deformazioni risultano congruenti (le condizioni di congruenza interna coinvolgono le derivate seconde difunzioni lineari o costati quindi sempre nulle).

Le condizioni di equilibrio sulle due sezioni estreme definiscono le azioni sollecitanti di cui la soluzione ipotizzatadeve essere l’unica soluzione.

x

x

K K y K z

E E

0 1 2 x

y zK K y K z

E E

0 1 2

x xf K K y K z

0 1 2 y xyf 0

z xzf 0

In termini di risultanti:

x

A A A A

N f dA K dA K ydA K zdA 0 1 2

y x

A A A A

M zf dA K zdA K yzdA K z dA 2

0 1 2

z x

A A A A

M yf dA K ydA K y dA K yzdA 2

0 1 2




Essendo gli assi y e z baricentrici e principali di inerzia:A A A

ydA zdA yzdA 0

N K A0

pertanto: y yM K I 2 z z

M K I 1

La soluzione vale:y z

x

y z

M MNz y

A I I




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