Upload
luc-eelen
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
1/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Afspraak - afronden van de relatieve frequentieGebruik voor het afronden van relatieve frequentiesje gezond verstand. Indien rf =0,68, dan komt het procent overeen meteen geheel getal, namelijk 68%.Meestal zijn 2 cijfers na de komma voldoende.Als je de procenten graag met 1 cijfer na de kommageeft, rond je de relatieve frequenties af op 3 cijfersna de komma.
Bij verkiezingsuitslagen zijn 3 cijfers bijderf teverkiezen. De rf liggen meestal nogal dicht bij elkaar.Partij A heeft een aandeel van 0,246 = 24,6% van destemmen en partij Bheeft een rfvan 0,249 = 24,9 %.
f Statistiektaal - begrippen en symbolen- - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ -De steekproefgrootte of steek-
proefomvang is het aantalelementen in de steekproef.
De absolute frequentie is hetaantal keer da t een bepaaldantwoord voorkomt.
De relatieve frequentie is deabsolute frequentie gedeeld doorde steekproefgrootte.
Als er 50 personen antwoordenop een enqute, dan is desteekproefgrootte 50.n =50Als 34 personen op 50 bruin broodverkiezen, dan is 34 de absolutefrequentie voor bruin brood.af = 34Als 34 personen op 50 bruin broodverkiezen, dan is 0,68 de relatieve
Ifrequentie voor bruin brood.rf = =0,68 ::: 68 %
Statistiektaal - begrippen en symbolen
De steekproefgrootte is eennatuurlijk getal.Steekproefgrootte: n
De absolu te frequentie is eennatuurlijk getal.Absolute frequentie: af
De relatieve frequentie is eenbreuk of een kommagetal.Relatieve frequentie : rf
r f : : : ~n
De modus is he t antwoord met degrootste (absolute) frequentie.
In het onderzoek naar de sport beoefend door deleerlingen van het 3de jaar is de modus voetbal.
Modus: Mo
Statistlektaal - begrippenEen frequentietabel van een kwalitatieve variabele iseen tabel waarin je alle mogelijke waarden van devariabele plaats t met hun (absolute en/of relatieve)frequentie.
Een staafdiagram is een grafiek waarin je boven elkewaarde van de variabele een staaije tekent da t de(absolute of relatieve) frequentie voorstelt.
NIEUWEVERKIEZINGEN?NeenJaSOM
100%
50%
0%
ABSOLUTE IRELATIEVEFREQUENTIE af FREQUENTIE rf152 0,76 of76%48 0,24of24%n = 200 1 of 100%
Nieuwe verkiezingen?
Neen Jamening
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
2/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Wat zijn de elementen in dit onderzoek?
Welke variabele wordt hier onderzocht?
Waarom mag je zeggen dat de variabele in dit onderzoek kwantitatief is? .................. .
Statistiektaal - begrippen en symbolenHet gemiddelde van een aantalgetallen is de som van die getallengedeeld door het aantal.
Het gemiddelde van 1, 5, 6 en 8 is 5,01+5+6+8Iwant x 4 5,0. l emiddelde' X
Eigenschap - gevoeligheid van het gemiddeldeHet gemiddelde is gevoelig voor extreem hoge oflagewaarden van de waarnemingsgetallen.
We hekijken de levertermijn in dagen van 10 nieuwescooters.Levertermijnen zonder uitschieter:2, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3 geeft x= 2,6 dagen.Levertermijnen met een uitschieter:2, 3, 2, 1, 4, 21, 3, 2, 4, 3 geeft x= 4,5 dagen.
~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - -
Eigenschap - som van de afwijkingensom van de afwijkingen Dan ist.o.v. het gemiddelde altijd 0. (1 - 5,0) + (5 - 5,0) + (6 - 5,0) +
(8 - 5,0) = .Als x a + b c + d, dan is(a- x)+ (b- x)+ (c- x)+ (d- x);;; o.
Bij een reeks getallen is de de getallen 1, 5, 6, 8 is x;;; 5,0.
- - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~
Het gemiddelde van de gemiddelden nemen geeft meestal geen juist resultaat voor de hele groep.
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
3/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Rekenregel -demediaan bepalenBij oneven n is de mediaan van n De mediaan van elf gerangschiktegetallen het getal dat je vindt door alle getallen is het 6de getal:getallen te rangschikken van kleinnaar groot en dan het middelste getal 6, 7, 7, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 19, 20.te nemen.Bij oneven n is het middelste hetn ; 1 de getal.Bij even n is de mediaan van ngetallen het getal dat je vindt door allegetallen te rangschikken van kleinnaar groot en dan het gemiddelde vande twee middelste getallen te nemen.
Je noteert: Me= 13.
De mediaan van twaalf e r a n g s c h i k ~te getallen is het gemiddelde van het6de en 7de getal:6, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 16, 16, 17, 19, 20.
13 + 14Bij even n zijn de middelsten het Je noteert: Me =- -2- = 13,5. de getal en het daaropvolgende getal.Statistiektaal - begrippen en symbolen
'&*'lil"
M'ii'liMediaan: Me
-~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - -De mediaan Me deelt de geordende I Mediaan: Megetallen in twee even grote groepen.De kwartielen Q1. ~ e n ~ d e l e n degeordende getallen in vier even grote Voor de getallen 77, 79, 80, 86, 87, 87, 94, 99 geldt:groepen.
Me = eb = 86,5 1ste kwartiel: Q1et eerste kwartiel is de mediaanvan de groep getallen lager dan Me. 77; 79 80; 86 87; 87 94; 99Het tweede kwartiel is de mediaanvan de volledige groep getallen.Het derde kwartiel is de mediaanvan de groep getallen hoger dan Me.
Statistiektaal - begrippen en symbolenDe cumulatieve absolute frequentie vaneen waarnemingsgetal is de som van deabsolute frequenties van ditwaarnemingsgetal en alle voorgaandewaarnemingsgetallen.Cumulatieve frequenties zijn nuttig als je:kwartielen wilt berekenen;- vragen wilt beantwoorden over'hoogstens ' of 'minstens'.
Ql = 9,5 ~ = 0,5
AANTAL Iaf IcafA 5 5B 6 11c 8 19SOM n =19
2de kwartiel: Me =
3de w a r t i e l : ~
De cumulatieve absolutefrequentie is een natuurlijkgetal.Cumulatieve absolutefrequentie: caf.
________ _____________ _ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - ~
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
4/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Statistiektaal - begrippenDe vijf getallen- eerste kwartiel- mediaan- derde kwartielnoemt men de vijf,getallensamenvatting.
De getallenrij 6, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 16, 16, 17, 19, 20heeft als vijf-getallensamenvatting: 6 - 9 - 13,5- 16,5- 20.
6 7min= 6
Me = Q2 = 13,5 1 12 13 14 : . . . . I16 17Q3=16,5 19 20max = 20De vijf ..getallensamenvatting kan ook grafisch voorgesteld worden.M.en spreekt dan ove r een b o x p l o t of een snorrendoos. Teken een getallenasenduid hec minimum, de kwartielen enhet maximum aan. Boven de getaHenas teken je een 'doos' (box) van het eerstenaar het derde kwartiel. In de doos teken je een s t r e e p j e ter hoogte van de mediaan.. Vanuit de doos.teken je twee uitsteeksells ('snorharen'), n naarhet minimum en de t.weede naar het maximum .
~ ~ - - ~ r - - - ~ ~ - - - ~ ~ ~ - - ~ - - - ~ - - ~ - - - - - - - ~7 11 12 13 14 16 17 19 20min= 6 Me= Q2 = 13,5 Q3 = 16,5 max = 0Een boxplot toont hoe de waarnemingsgetallen verdeeld zijn: in elk deeltje van de tekening zit hoogstens25% van de antwoorden. De boxplot van het onderzoek naar aantallen auto's ziet er als volgt uit.
aantal auto's per gezin. - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - ~ - - - - - ~ - - ~ ~0 =mm 1 =Q 1 2 =Q31 = Me = Q2 5 = max
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
5/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Statlstiektaal - begrippenMet de centrummaten van een reekswaarnemingsgetallen bedoelt men;
We deden in klas 4B een onderzoek naar het aantal gsm's dieleerlingen hebben.
de modus,de mediaan,het gemiddelde. AANTAL GSM's I f IAANTAL af Icaf
0 4 04=0 415 115 = 15 19
2 3 2. 3 = 6 22SOM n = 22 21
Mo = 1 gsm per leerling.Me= 1 gsm per leerling (11,Sde getal}.- 0 + 15 + 6 1o 1 I 1= 22 = , = gsm per eer mg.Samen hebben de leerlingen van klas 4B 21 gsm's.
~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1
Afspraak- delen kwadratensomBij onderzoek van een populatie deel je de kwadratensomdoor n. Bij een populatie geldt
kwadratensomnBij onderzoek van een steekproef uit een populatie deel jede kwadratensom door n - 1. Bij een steekproef
geldt kwadratensomn-1
Statistiektaal - begrippen en symbolen~ De variantie van n steekproefgetallen = Bij de getallen 1, 5, 6, 8 is x= 5,0. Variantie: s1som van alle gekwadrateerde afwijkingen t.o.v. het gemiddelde
steekproefgrootte - 1Dan is
2 (1 - sy + (5 - 5Y + (6- sY + (B - 5) 2s = 4-1De standaardafwijking van n steekproefgetallen = Bij de getallen 1, 5, 6, 8 is x= .o.
J, Dan is1
1som van alle gekwadrateerde afwijkingen t.o.v. het gemiddelde , . . . . , - - - . , - : - - - - - . , - : - - -----=------=-V steekproefgrootte- 1 _ ./ (1 - 5)2 + (5- 5)2 + (6- 5)2 + (8 - 5)2s-v 4 - 1De standaardafwijking is een getal dat aangeeft of desteekproefgetallen erg verspreid liggen rond het gemiddeldeof juist niet.
_ . /16+0+1+9- v 3=f=l 2,94s =2,94
S t a n d a a r dafwijking: s
-
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
6/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Statistiektaal -begrippen en symbolen~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - - ~ - - ~De spreidingsmaten van eenreeks waarnemingsgetallen
zijn:de variatiebreedte,de interkwartielafstand ende standaardafwijking.De interkwartielafstand is het minverschil tussen het derde enhet eerste kwartiel.
De variatiebreedte is he tverschil tussen het grootste enhet kleinste waarnemingsgetal.--
IMe
interkwartielafstand IQRvariatiebreedte R
Eigenschap - gtvoelightld van de variatiebreedte en standaardafwijking
II....ma x
I a r i a t i e ~ l i l We bekijken de l e v e r ~ e r m i j n dagen van tien nieuwe scooters.standaardafWJ) cingzij n gevoelig voorextreem hoge of lagewaarden van dewaa rnem ingsgetallen.
Levertermijnen zonder uits.cl1ieter:2, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 2, 4,3 dagenR=4 - 1=3dagenx=2.6 da.gen/(-1.6Y +4 (- 0.6)2 + 3 . 0.41 +2 1A" -s = 10 _ 1 dagen
s ~ 0 . 9 7 dagen.
l n t e r k w a r t i e l ~afstand: IQR
I Q R = ~Variatiebreedte: RR=max - min
leve rtermijn (dagen)0 2 3 4 5 6 ' 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21l ,.,R 1 = 3
s =0,97Levertermijnen met een uitschieter. 2, 32, 1, 4, 21, 3, 2, 4, 3 dagenIR = 21 - 1 = 20 dagenx=4,5 dagen
I (- 3,S)2 + 3,. (- 2.5)1 + 16,5 2 +3 . (- l,Sf' + 2 (-0,5)2 d
s - 10-1 a ~ ns RI: 5,87 dagen
: : leverte rmijn (dagen)0 1 2 3 4 s 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
R = 1 - 1 = 0s = 5,87lUitschieters zorgen voor een grote variatiebreedte (R) en een grotestandaardafw.ijking (s.).
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
7/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenSTATISTIEK
_________________________________________________________________________
Verbandenkunnenleggen/verklarentussen:
1. MediaanenGemiddelde
2. StaafdiagramenBoxplot
3. Steekproefengemiddeldeenstandaardafwijking
Bijnormalesteekproevenkanmenvaststellendat:
68,3%vandeuitkomstentenhoogste1keerdestandaardafwijkingafvandeverwachtingswaarde(hetmiddenvandeverdeling)
95,4%tenhoogste2keerdestandaardafwijkingafvandeverwachtingswaarde 99,7%tenhoogste3keerdestandaardafwijkingafvandeverwachtingswaarde
Aldiebegrippenenallematenkunnenberekenenopbasisvanoefeningen
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
8/22
element
aF
aFx
element rFCaF CrF Z=element-
gemiddeldeZ.aF (element-
gemiddelde)^2
(element-
gemiddelde)
^2*aF
47 1 47 0.02 1 0.02 -3.2 -3.2 10.43 10.43
48 5 240 0.10 6 0.13 -2.2 -11.1 4.97 24.85
498 392
0.17 14 0.29 -1.2 -9.8 1.51 12.0950 14 700 0.29 28 0.58 -0.2 -3.2 0.05 0.74
51 11 561 0.23 39 0.81 0.8 8.5 0.59 6.54
52 6 312 0.13 45 0.94 1.8 10.6 3.14 18.82
53 3 159 0.06 48 1.00 2.8 8.3 7.68 23.03
0.0 96.48
formuleSTD 1.43
Totaal 48 2411 1
Som 2411
gemiddelde 50.2min 47
max 53
mediaan 50 aantaltermenishier48;dan+1endelendoor2 zieCaF
ditgeeft:24.5dusgemiddeldenemenvanterm24en25
Kwartiel1 49 komtovereenmet25% zieCrF
Kwartiel2 50 komtovereenmet50% zieCrF
Kwartiel3 51 komtovereenmet75% zieCrF
Gemiddelde 50.2
Modus 50 methoogstaantalfrequenties
5maten
min 47
qrt01 49
med 50
qrt03 51
max 53
3centrummaten
gemiddelde 50.2
mediaan 50
modus 50
BoxPLOT
47 53
0
2
4
6
8
10
12
14
16
47 48 49 50 51 52 53
aF
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
9/22
4HUWE:TekennenvoorhetexamenMEETKUNDE
_________________________________________________________________________
GEORINTEERDEHOEKENENCIRKEL
Definitieszoals:
1. Georinteerdehoekencirkel2. Orthonormaal3. Scherpeenstompehoek4. Maatgetallenvandegroottevanengeorinteerdehoek5. Kpmengnm
Beeldpuntvandegroottevaneengeorinteerdehoek
Decordinatenvanhetbeeldpunt
Meetkundigevoorstellingvansincosentanencotenhettekenverloop
Oefeningenzoalsonderandere:
a) Eenhoekisgegevenbepaalallemaatgetallen,kpm,gnm,scherp/stomp/hetmaatgetalineenwelbepaaldinterval
b) Construeereengeorinteerdehoekengeefsin/cos/tan/cotweeropdecirkelc) Berekenexactenzonderrekenmachineeenuitdrukking(sin/cos/tan)met
hoekenvan0304560en90d) Berekenuiteengegevensin(ofcosoftan)deanderewaarden(sin/cos/tan)
zojeweetdatdehoekin1vande4kwadrantenligt.
e) Vereenvoudigzoveelmogelijkeengoniometrischeuitdrukking
Ruimtelichamen:
Deoppervlakteeninhoudberekenenvaneenlichaamopbasisvaneenformularium
Kunnenbepalenhoedeinhoudofoppervlaktevaneenruimtelichaamkan
ver___voudigen.
Onderlingeligging:a) Onderzoekdeliggingvanrechtetovrechteentovvlakenvlaktovvlakb) Definitievaneenrechteloodrechtopeenvlak
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
10/22
1Hoofdstuk 3 : Georinteerde hoeken1. Orintatie van het vlakZie Hb. p.232Conclusie
Het vlak heeft 2 zinnen : !ft\ De positieve zin of egenwijzerzin De negatieve zin ofwijzerzin
2. Georinteerde hoek
Zie Hb. p.232-235Beschouw een hoek met hoekpunt 0, benen a en b en grootte 60.
" " - . ' : '"" ' I ' -QA!\...,..b r l bANotatie : ........ .... p.............. . . . . . . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ' - ~ I \."~ ' 1.. ba..,..... 1\e. ~ . . . . 1. .. bLM ..Twee halfrechten a en b met eenzelfde beginpunt bepalen twee hoeksectoren :
Li
0
We voeren nu een nieuw hoekbegrip in door aan de benen a en b een volgorde te geven. Wekrijgen zo eengeorinteerde hoek.!Geval tl : a= eerste been, b= weede been
Grootte: b O ~ Zin: .::t:. Grootte : c - Zin : .. :-: ." ' . 0::;. 10... . . l . ~ . : : c . ~ . Q ....
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
11/22
@eval ~ : b=eerste been, a= tweede been
Besluitc
i
Grootte : ~ Zin : .:t: ..~ - - \ 0=> lb ..O,. =: :t .3./,Q.
j" -o ~ a
(.>Grootte : . 9 Zin : . :::::.1- "' I (">=> ..b, ..D.-. ... .. : . ~ 9 ..
2
Eengeorinteerde hoek is bepaald door de volgorde van zijn benen en de grootte vande overeenkomstige hoeksector.
3. Bijzondere georinteerde hoekenGestrekte hoekEen punt 0 op een rechte bepaalt op die rechte twee halfrechten aen b. We noe
""'en de hoekabdan een gestrekte !wek:,. . i . ; i )Odi - - - . ! . . - - - ' - - ---0De grootte van een gestrekte hoek kun je weergeven door + 180 of- 180.Nulhoek """'Als twee halfrechten aen b samenvallen, noemen we de hoekabeen nu/hoek.- Z,t;;,o"'i 3f>O
.:;.. ( ' , ; : ~ - ~ 0 ;:; 0 ( ; ' ~ 0
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
12/22
RechtehoekEen georinteerde hoek waarvan de benen loodrecht op elkaar staan, noemen weeen rechte hoek. Is de grootte + 90, dan spreken we van een positieve rechtehoek; is de grootte - 90, dan spreken we van een negatieve rechte hoek.
positieve rechte hoek negatieve rechte hoekOpmerkingBij de hoeksectoren bestaat ook nog een volle hoek. Bij georinteerde hoeken isdat begrip overbodig: het zou een georinteerde hoek met samenvallende benenzijn, dus een nulhoek.
4. Maatgetallen van de grootte van een georinteerde hoek
270 -90
De hoek a heeft oneindig veel maatgetallen.Als x een maatgetal is van de grootte a van een georinteerde hoek, dan geldt :c . 0 b -.(j . .. rr . X.+. k?. .- ~ 0 ...... ~ .. ..". -, . ... ..
Opmerking
lLl) ~ \ . ~ t o J . . . b _ : ~ '6b 0~ ' - c.f o . + b \ . . . . . L ~ \ .
3
Het kleinste positieve maatgetal (kpm) van een hoek behoort tot het interval [0, 360[.Hetgrootste negatieve maatgetal (gnm) van een hoek behoort tot het interval - 3 6 0 ~ 0].We vinden beide getallen door aan keen geschikte waarde te geven.
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
13/22
----
4Voorbeelden
12 . '! >"Yl Q .. fY t "a kleinste pos maatgetal grootste neg maatgetal750 + k. 360 3o t .) - ?,3o {i.- ==-6)e_ -::;....:J.- 60 +k 360 3 00 ( ~ ; : ~ } - bO ( k= o )J- 3Go, c}
5. Scherpe en stompe hoekenDefinitie
Een georinteerde hoek is scherp als het kleinste positieve maatgetal behoort tot het interval ]0, 90[.Een georinteerde hoek is stomp als het kleinste positieve maatgetal behoort tot het interval ]90, 180[,
Voorbeelden [oi 3Go[a =70 -+ kpm=.'1:o ...
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
14/22
57. Goniometrische cirkel y
B'Definitie
Een goniometrische cirkel is een cirkel met de volgende eigenschappen: heeft als straal de lengte-eenheid b:b'\0...0-L :::. _...\) heeft als middelpunt de oorsprong van een orthonormaal assenstelsel (x,y) is positief georinteerdOpmerkingen De assenx en y snijden de cirkel in de volgende punten :
. \ ) . '\ ; ).. A. .{.1.,.0:) ........ ...B.{ ".:1..; ......... .A .... : . ~ \ ..o. ; ....... ..... 9 ; . =..:!. De assenx eny verdelen het vlak in vier gebieden, we noteren :t . :::n:Tl!l. ..IY.-: .... De vier bogen [:ABJ.[BA'J.[A_7EiJ,[rAJ an de cirkel noemen we het .. ~ ~ .
L .. . #l. - - ' .
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
15/22
6Conclusie
Met de grootte a van een georinteerde hoek komt op een goniometrische cirkel precies npunt P overeen en omgekeerd (P =het beeldpunt van de grootte a van die hoek).
Bijzondere gevallen nulhoek of volle hoek: beeldpunt= .. \ .
l gestrekte hoek : beeldpunt = .. :\.. positieve rechte hoek (+90) : beeldpunt = .B .
. negatieve rechte hoek(- 90): beeldpunt= .B .OpmerkingAls het beeldpunt P van de grootte a van een georinteerde hoek tot een kwadrant behoort,zeggen we kort dat a tot dat kwadrant behoort.Voor vb.l op p.5 noteren we . i . . . ~ . ::t ... ; voor vb.2 op p.5 noteren we . i.,..k.. :Ii:...
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
16/22
......-
,Hoofdstuk 4 : Goniometrische getallen1. Sinus en cosinus van een (georinteerde) hoek1.1. InstapGegeven : een goniometrische cirkelGevraagd : Teken een hoek a inhet 1 kwadrant
1
'/
Noem P het beeldpunt van a op de gonime1rische cirkel en noem Qen Rde voetpunten vande loodlijnen uitPop x eny.Uit de definities voor sina en cosa van vorigjaar volgt (AOPQ is rechthoekig):
= ......................................................................................................................................................
cos a = .. ......z. ..t9G.! ...;; .. . Q . ~ L , , . : : ; . . l Q . ~ . . \ . ..;; .. J i ? . S . ~ ' ; \ ..:k(;M\. .1?.............. .SZ toPI -"'= .................................................................................................................................................
Conclusie
(' ) , .. , ' D
. ? : - . ~ SI!.w.d.s1.. .. ~ .... . . Q l ~ ... . .........................
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
17/22
1.2. Defmitie en voorstelling in de goniometrische cirkely
lL
J[
Definitiecos a is het eerste cordinaatgetal of de abscis van het beeldpunt van a op degoniometrische cirkel.sina is het tweede cordinaatgetal of de ordinaatvan het beeldpunt van a op degoniometrische cirkel.'
OpdrachtMaak opdracht 1OpmerkingSin a en cos a zijn rele geta}len. We noemen ze goniometrische getallen van a.
1.3. Teken van cos a en sin ay
cos a sin a
2
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
18/22
1.4. Bijzondere waarden. oo- !1cos - cos 90 = o .....cos 180 = : - : - . ~ ...cos 270 = .J:L .
1.5. Intervalcosae G ~ . - ! ! ..l ..sin a e [.--:. (\ ., . ..
sin0= .. Q ....sin 90 == IL. .... 180- 0ll l - .. 270--ll l -
3
ltJ. .)OOl\0.-
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
19/22
Opdracht 1Gegeven : een goniometrische cirkel.Gevraagd:a) teken een hoek in het 1 kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan.b) teken een hoek in het 2e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan.c) teken een hoek in het 3e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan.d) teken een hoek in het 4e kwadrant en duid de sinus en cosinus van deze hoek aan.
Oplossing a):Jt y
Oplossing c)
Oplossing b)'I
::n: '.L
Oplossing d)
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
20/22
2. Tangens en cotangens van een (georinteerde) hoek2.1. InstapGegeven : een goniometrische cirkelGevraagd : Teken een hoek a inhet 1 kwadrant
4
y
Noem P het beeldpunt van a op de gonimetrische cirkel en noem Q en R de voetpunten van deloodlijnen uit P op x en y.Uit de definitie voor tana van vorigjaar volgt:tana . Q ~ . r ~ ~ J\ . .. . J ~ " ' ) Y . : ; e ; : : . . , .............................................. .~ ~ " - ~ ~ ~
= \fG.\ ~ toRI ::: ~ ~>;'""'""' 1 .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................t()G( i \OG< l ~ ;...We voeren dit jaar nog een nieuw begrip in : de cotangens van een (georinteerde) hoek :cota =.
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
21/22
56 2.3. Gevolgen van de definitie
Tan a. en cot a. zijn elkaars omgekeerde. Dat betekent, op voorwaarde dat ze bestaan :1co t a= - tana
1t a n a= - cota
2.4. Teken van tan a. en cot a.
1tana cota=ana - -=tana
Tan a. is het quotint van sin a. en cos a.. Je vindt dus het teken van tan a. door de tekenregelvoor de deling toe te passen. Het teken van cot a. vind je op een analoge manier.
Opmerkingtan a :::. ~ \ . . V...
~ . , .
V
cota
Cot a. is het omgekeerde van tan a.. Omdat een getal en zijn omgekeerde altijd he1zelfde tekenhebben, hebben cot a. en tan a. altijd he1zelfde teken.
2.5. Bijzondere waarden
cot0= . / ....................... .
tan90= / ................................. cot90= .a .....................tan 180= 9. ....................................... . cot 180 ::::: . / ..................... .tan 270 = .1 ........ .......................... cot 270 = .0 .................. .
7/30/2019 Luc Ex 4huwe Mtk Stat
22/22
2.6. IntervaltanaE ..Gl ...........c,otaE .JR .............2.7. Meetknndiee voorstelline van tan a en cot aGegeven : goniometrische cirkelhoek a met beeldpunt P y
6
We tekenen doorA een as evenwijdig metdey..:. as en op dezelfde manier georinteerd : dit isde tangens- as.Het snijpunt van de tangens -as met het tweede been van a hoemen we S.Dan is : tana= -cordinaatof ordinaat van S.We tekenen door Been as evenwijdig met de x - as en op dezelfde manier georinteerd : dit isde cotangens-as.Het snijpunt van de cotangens -as met het tweede been van a noemen we T.Dan is : cota=x - cordinaat ofabscis van T.OpdrachtMaak opdracht 2