materi mtk

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA II

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA IIOLEHIR.DRS. FAISAL RM, MSIE, Ph.D

JURUSAN TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRIUNIVERSITAS ISLAM INDONESIA2012SILABUS1.Penyelesaian numeris akar-akar persamaan polinomial.2.Penyelesaian persamaan Linier Simultan homogen/non homogen.3.Penyelesaian persamaan nonlinier simultan4.Cara-cara penyelesaian numeris persamaan differensial ordiner dan parsial.5.Curva fitting, interpolasi, differensiasi, dan integrasi numerik.

DAFTAR PUSTAKA1.Mickley, H.S., T.S. Sherwood, and C.E. Reed. Applied Mathematics in Chemical Engineering. New Delhi: Mc Graw-Hill Pub. Co Ltd, 1975.2. Jenson, V.G., dan Jeffreys. Mathematical Method in Chemical Engineering. Edisi 2, New York: Academic Press, 1977. 3. Rice, G. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. New York: John Wiley& Sons, 1995.4.Abdul Munif dan Aries Prastyoko., 1995, Metode Numerik, Penerbit Guna Widya, Surabaya.

NORMA PENILAIANNilai akhir (NA) = 10x NT + 20%x NK + 35%XNUTS + 35%xNUASCatatan :NT = Nilai TugasNK = Nilai Kuis NUTS = Nilai Ujian Tengah SemesterNUAS = Nilai Ujian Akhir SemesterPEMODELAN SISTEM1.Sistem nyata adalah sistem yang sedang berlangsung dalam kehidupan, sistem yang dijadikan titik perha-tian dan permasalahan.2.Model adalah representasi atau formalisasi dalam bahasa tertentu (yang disepakati) dari suatu sistem nyata.Pemodelan adalah proses membangun atau mem-bentuk sebuah model dari suatu sistem nyata dalam bahasa formal tertentu.Pemodel tergantung pada sistem nilai yg dianut, pengetahuan dan pengalaman yang dimiliki

PEMODELAN SISTEM(LANJUTAN)1.Kriteria baik buruknya suatu model dpt diukur dari pertanyaan-pertanyaan: Apakah ia mengandung semua variabel yg relevanApakah ia cukup sederhana, baik dalam struktur dan atau hubungan-hubungan yg ada antar variabel-varia belnya.Model memudahkan pengertian ttg sistem yg diwa-kilinya.Pengetahuan tentang alternatif keputusan yg dpt diambil dan hasil keputusan itu makin banyak atau meningkat.

PEMODELAN SISTEM (LANJUTAN)1.Model menurut fungsiModel deskriptif Model ini hanya memberikan sebuah gambaran dari sistem nyata, dan tidak meramal atau memberikan rekomendasi.contoh: struktur organisasi, diagram tata letak pabrik, laporan keuangan, daftar isi suatu buku dan foto sinar X paru-paru seseorang pasien)b.Model PrediktifModel ini menyatakan bahwa bila ini terjadi, maka kejadian itu akan menyusul.Contoh: Analisis titik pulang pokok, diagram keputusan, teori antrian, S(t)=aS(t-1)+(1-a)S(t-2)Model NormatifModel ini memberi jawaban terbaik dari alternatif yang ada terhadap sebuah masalah.

PEMODELAN SISTEM (LANJUTAN)Contoh: Model anggaran periklanan, model simpleks dlm prog rama linier, model bauran pemasaran, pengaturan waktu pe-san optimum.2.Model menurut struktura.Model IkonisModel ini menyerupai sistem nyata yg sebenarnya, tetapi dalam skala berbedacontoh: Maket tiga dimensi tata letak pabrik, denah rumah, foto udara kampus UII, model pesawat, model miniatur mobil masa depan.b.Model AnalogModel yg terdpt substitusi komponen-komponen atau proses- proses guna menunjukkan persamaan dari apa yg akan diben-tuk oleh modelnya.Contoh:Aliran lalu lintas dg aliran arus listrik, sistem peredaran

PEMODELAN SISTEM (LANJUTAN)Contoh: Model anggaran periklanan, model simpleks dlm prog rama linier, model bauran pemasaran, pengaturan waktu pe-san optimum.2.Model menurut struktura.Model IkonisModel ini menyerupai sistem nyata yg sebenarnya, tetapi dalam skala berbedacontoh: Maket tiga dimensi tata letak pabrik, denah rumah, foto udara kampus UII, model miniatur pesawat, model minia-tur mobil masa depan.b.Model AnalogModel yg terdpt substitusi komponen-komponen atau proses- proses guna menunjukkan persamaan dari apa yg akan diben-tuk oleh modelnya.Contoh:Aliran lalu lintas dg aliran arus listrik, sistem peredaran

PEMODELAN SISTEM (LANJUTAN)darah dg membuat selang-selang yg menyerupai fungsi aorta dan vena,Gelombang pantul udara dg gelombang permukaan air, grafik yg menggunakan jarak (skala) utk mewakili saling hubungan antar variabel.c.Model simbolikModel-model simbolik menggunakan berbagai simbol utk me-nerangkan aspek-aspek dunia nyata.contoh: Model persediaan TC=TCP+TCO+TCB, Programa linier fungsi tujuan Z=Ci.Xi dan s/t Pi.Xi=0, Simulasi monte Carlo, dan model antrian.Model simbolik terbagi tiga sebagai berikut:Metode EksakMetode NumerikMetode simulasi

PEMPROGRAMAN KOMPUTER1.Perumusan masalahperumusan masalah harus dinyatakan dalam bentuk kalimat pertanyaan.Contoh: berapa dimensi optimal tangki BBM bentuk selinder, jika luas selimut tangki bentuk selinder terkecil?.AlgoritmaMisal isi tangki (V), jari-jari tangki (R), dan Tinggi tangki (h)Isi tangki (V)=.R^2.h dimana h=V/.R^2 .(1)Luas selimut tangki (L)=2..R^2+2..R.h .(2)Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) menjadiL= 2..R^2+2..R.(V/.R^2)= 2..R^2+2.(V/R)dL/dR=4. .R-2.(V/R^2)=0, maka R=(V/2)^(1/3)

PEMPROGRAMAN KOMPUTER (lanjutan)3.Bagan Alir (Flow chart)Bagain alir merupakan urutan perintah penyelesaian masalah yg dinyatakan dalam bentuk bagan.

StartInput V=?

ApakahMau hitung lagiCetak R dan hNoYesStopPEMPROGRAMAN KOMPUTER4.Bahasa pemrogramanMatlabTurbo PascalFortranTurbo Visual BasicDelphiTurbo BasicTurbo C++MS AccessFox Pro

METODE NUMERIK1.Perkembangan komputer sangat pesat seiring den-gan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.2.Komputer hanya dapat melakukan perhitungan jika diberi input berupa data numerik.3. Data numerik ini akan diolah dengan metode terten-tu yang membentuk suatu algoritma, sehingga dihasil kan hasil numerik.Metode pemrosesan dari data numerik menjadi hasil numerik ini disebut dengan metode numerik.Analisis terbentuknya algoritma diatas disebut den-gan analisis numerik.

METODE NUMERIK1.Perkembangan komputer sangat pesat seiring den-gan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.2.Komputer hanya dapat melakukan perhitungan jika diberi input berupa data numerik.3. Data numerik ini akan diolah dengan metode terten-tu yang membentuk suatu algoritma, sehingga dihasil kan hasil numerik.Metode pemrosesan dari data numerik menjadi hasil numerik ini disebut dengan metode numerik.Analisis terbentuknya algoritma diatas disebut den-gan analisis numerik.

METODE NUMERIK Persoalan matematika diselesaikan dengan analisis numerik perlu diperhatikan hal-hal sebagai berikut:1.Mengetahui jenis-jenis metode yang ada;2.Mengetahui bagaimana metode-metode tsb bekerja;3.Mengetahui kelemahan dan kelebihan meto-de-metode diatas;Mempunyai faktor intuisi dan pengalaman da-lam menerapkan metode-metode diatas.

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL1.Metode TabulasiMetode Tabulasi mempunyai keterbatasan, yaitu :Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar penyelesaian, akar-akar penyelesaian ini tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan, tetapi satu persatu.Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner)Proses iterasinya relatif lambatCara PenyelesaiannyaLangkah PertamaTentukan dua titik awal sembarang , yaitu dan sedemikian hingga . Jika syarat ini dipenuhi berarti titik penyelesaiannya berada diantara dan .

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIALMetode Tabulasi (lanjutan)Langkah KeduaMembuat tabel fungsi f(x) diantara f( ) dan f( ).Langkah KetigaMembuat tabel disekitar dua titik dan yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada fungsi f( ) dan f( ) .Langkah KeempatDan seterusnya sama dengan langkah ke tiga.

Contoh Soal 1:

Penyelesaian:Langkah PertamaMenentukan dua nilai f(x) awal yang memenuhi persyaratan diatasMisalnya diambil:

No.Xf(X)Error1.0222.0.11.5998331.5998333.0.21.1986691.1986694.0.30.795520.795525.0.40.3894180.389418No.Xf(X)Error6.0.5-0.02057-0.020577.0.6-0.43536-0.435368.0.7-0.85578-0.855789.0.8-1.28264-1.2826410.0.9-1.71667-1.7166711.1-2.15853-2.15853Contoh Soal 1 (lanjutan):NoXf(X)Error1.0.400.389410.389412.0.410.348600.348603.0.420.307760.307764.0.430.266870.266875.0.440.225930.225936.0.450.184960.184967.0.460.143940.143948.0.470.102880.102889.0.480.061770.0617710.0.490.020620.0206211.0.50-0.02057-0.02057NoXf(X)Error1.0.4912.000002.000002.0.4921.599831.599833.0.4931.198671.198674.0.4940.795520.795525.0.4950.289420.289426.0.496-0.20574-0.205747.0.4970.389410.389418.0.4980.348600.348609.0.4990.307760.30776100.500.266870.266871.0.4953.165E-053.17E-052.0.4951-0.00038-0.000383.0.4952-0.000792-0.000794.0.4953-0.001204-0.00125.0.4954-0.001616-0.001626.0.4955-0.002028-0.002037.0.4956-0.00244-0.00244Langkah Ke tigaMembuat Tabel disekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda fungsi f(x).Langkah Ke empatMengulangi langkahKe tiga.Latihan Soal:x3 x2 - x+1=02-3x+sinx=0ex -x-2=0xx =12Logx-cosx=0Jadi Nilai X = 0.4951AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL2.Metode BiseksiMetode ini disebut juga metode pembagian interval atau metode BolzanoMetode Biseksi mempunyai keterbatasan, yaitu :Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar penyelesaian, akar-akar penyelesaian ini tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan, tetapi satu persatu.Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner)Proses iterasinya masih tergolong lambat

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIALMetode Biseksi (lanjutan)Cara PenyelesaiannyaLangkah PertamaTentukan dua titik awal dan sedemikian hingga f( ) dan f( ) hrs memenuhi Langkah KeduaTentukan nilai dengan persamaan Kemudian cari nilai f( ) nyaLangkah KetigaAdalah iterasi untuk mendapatkan akar penyelesaian dengan persamaan

Contoh Soal 2:

Penyelesaian:Langkah PertamaMenentukan dua nilai f(x) awal yang memenuhi persyaratan diatasMisalnya diambil:

Langkah KeduaMencari nilai x3 dengan persamaan x3 =

Langkah KetigaMencari nilai x3 dengan persamaan x4 =

Iterasi :N0Xf(X)Error12.5-0.875-0.87522.60.3760.37632.55-0.26863-0.2686342.5750.0488590.04885952.563-0.11108-0.1110862.569-0.03141-0.0314172.5720.0086480.00864882.57-0.0114-0.011492.571-0.00138-0.00138102.5710.0036320.003632112.571-0.00389-0.00389122.571-0.00013-0.00013132.5710.0017510.001751142.5710.0008110.000811152.5710.0003410.000341Jadi nilai X = 2.571Latihan Soal 10x+2x-100=0x3-x2-2x+1=0X2lnx=x2+1=0XX =10eX-2x+21=0

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL3.Metode Regula FalsiMetode Regula Falsi mempunyai keterbatasan, yaitu: Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar penyelesaian, akar-akar penyelesaian ini tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan, tetapi satu persatu.Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner)Proses iterasinya relatif lambatAKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIALMetode Regula Falsi (lanjutan)Cara PenyelesaiannyaLangkah PertamaTentukan dua titik awal dan sedemikian hingga f( ) dan f( ) hrs memenuhi Langkah KeduaTentukan nilai dengan Kemudian cari nilai f( ) nyaLangkah KetigaAdalah iterasi untuk mendapatkan akar penyele-saian dengan persamaan

Contoh Soal 3 :

Langkah Kedua :Mencari nilai x3 dan f(x3 ), yaitu

Contoh Soal 3 (lanjutan) :

N0Xf(x)Error11-4-4223331.571-1.36443-1.3644341.705-0.24775-0.2477551.7350.0292550.02925561.732-0.00052-0.0005271.732-1E-06-1E-0681.7323.7E-113.7E-1191.73200101.73200Jadi Nilai x = 1.732Latihan soal :1+x-tgx=02x3+4x2-2x-5=0xlnx = 0.15-x2 3x-cosx=0ex-lnx=20 AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL4.Metode Iterasi Bentuk x = g(x) Metode Iterasi Bentuk x = g(x) mempunyai keterbatasan, yaitu: Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar penyelesaian, akar-akar penyelesaian ini tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan, tetapi satu persatu.Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner)Tidak dapat mencari akar persamaan yg tidak memenuhi persyaratan , meskipun ada akar persamaannya.Proses iterasinya relatif lambat.

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL4.Metode Iterasi Bentuk x = g(x) (lanjutan)Langkah PertamaMengubah bentuk persamaan f(x) menjadi bentuk x = g(x)Langkah KeduaMencari akar g(x),kemudian menentukan titik dan menguji apakah persyaratan untuk melakukan iterasi dipenu-hi atau tidak. Jika tidak dipenuhi maka diulangi dengan menentukan nilai titik baru.Langkah KetigaMelakukan iterasi dengan persamaan .......(4.1)Dimana n = 1, 2, 3, .... Proses iterasi dihentikan, jika sudah didapatkan nilai yang sama atau hampir sama pada setiap iterasi.

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL4.Metode Iterasi Bentuk x = g(x) (lanjutan)Contoh Soal

Langkah PertamaMerubah f(x) menjadi x = g(x)

Langkah KeduaMencari turunan g(x), sehingga menjadi

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL4.Metode Iterasi Bentuk x = g(x) (lanjutan)Contoh SoalLangkah Ketiga Melakukan iterasi dengan menggunakan rumus

NOXg'(X)f(X)100-620.330.315-0.9630.390.362-0.3340.40.378-0.1250.410.383-0.0560.410.386-0.0270.420.386-0.0180.420.387-090.420.387-0AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL5. Metode Newton RaphsonMetode Newton-Raphson mempunyai keterbatasan, yaitu :Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar penyelesaian, akar-akar penyelesaian ini tidak dapat dicari secara langsung atau secara bersamaan, tetapi satu persatu.Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner)Tidak dapat mencari akar persamaan yg tidak memenuhi persyaratan , meskipun ada akar persamaannya.Untuk persamaan non linier yg cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua dari f(x) akan menjadi sulit.

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL5.Metode Newton Raphson (lanjutan)Cara PenyelesaiannyaLangkah PertamaMencari turunan pertama dan kedua dari f(x)Langkah KeduaMenentukan titik dan menguji apakah syarat persamaan , dipenuhi atau tidak. Jika tidak dipenuhi diulangi mencari yang baru.Langkah Ketiga melakukan iterasi dg persamaan

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL5.Metode Newton Raphson (lanjutan)Contoh Soalf(x) = ex 3x2 = 0PenyelesaiannyaLangkah PertamaMencari turunan pertama dan kedua dari f(x), sehingga menjadi f(x) = ex -6x dan f(x) = ex -6 Langkah KeduaMenentukan sembarang nilai x, misal nilai x = 1

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIALMetode Newton Raphson (lanjutan) Latihan Soal 1. 3x-cosx=0 2. tgx=1+x3. ex-3x2=04. x2=105. x3+x2-3x+3=0 NOXF(X)F'(X)F"(X)[(f(x).f'(x))/(f'(x).f'(x)]11-0.2817-3.282-3.28170.08584471820.9142-0.0124-2.99-3.50530.00485031430.91-3E-05-2.976-3.51561.19245E-0540.91-2E-10-2.976-3.51577.10988E-1150.910-2.976-3.5157060.910-2.976-3.5157070.910-2.976-3.5157080.910-2.976-3.5157090.910-2.976-3.51570100.910-2.976-3.51570110.910-2.976-3.51570120.910-2.976-3.51570130.910-2.976-3.51570140.910-2.976-3.51570150.910-2.976-3.51570AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi Metode ini mempunyai kelebihan sbb:Akar-akar persamaan polinomial tingkat tiga dapat dicari sekaligus atau bersamaan.Dapat mencari akar-akar kompleks.Metode Faktorisasi persamaan polinomial tingkat tigaDimana nilai adalah koefisien-koefisien persamaan polino-mial, sedangkan dicari melalui proses iterasi dengan persamaan berikut: , , dan Iterasi awal dilakukan dengan mengambil nilai

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi (lanjutan)Tabel Iterasi

Contoh SoalPenyelesaianLangkah PertamaDari Persamaan Polinomial diatas diperoleh A2=5, A1=10 dan Ao=12Langkah Kedua Lakukan iterasi dengan rumus diatas untuk mencari bo, a1 dan ao.

NO1023

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi (lanjutan)Dari iterasi disamping diperoleh bo=3, a1=2ao=4. nilai-nilai ini dimasukkan ke dalam(x+bo)(x+a1x+ao)=0, sehingga menjadi (x+3)(x+2x+4)=0. Maka akar-akarnya diperoLeh x1=-3 dan x2=-13iLatihan Soal1.x3-2.4x2-1.4x-6.8=02.x3-8x2-80x+384=03.x3 +4x2-x+4=04.x3 +x2-3x+3=05.x3-2x2+2=0

N0b0a1a01051021.23.85.4432.212.793.8443.131.874.1452.92.13.9163.071.934.0872.942.063.9583.041.964.0492.972.033.97103.021.984.02112.982.023.98123.011.994.01132.992.013.99143.011.994.01152.992.013.99163241732418324AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL7.Metode Faktorisasi Metode ini mempunyai kelebihan sbb:Akar-akar persamaan polinomial tingkat empat dapat dicari sekaligus atau bersamaan.Dapat mencari akar-akar kompleks.Metode Faktorisasi persamaan polinomial tingkat empatDimana nilai adalah koefisien-koefisien persamaan polinomial, sedangkan dicari melalui proses iterasi dengan persamaan berikut: , , dan Iterasi awal dilakukan dengan mengambil nilai

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi (lanjutan)Tabel Iterasi

Contoh SoalPenyelesaianLangkah PertamaDari Persamaan Polinomial diatas diperoleh A3=10, A2=23 dan A1=-34, Ao=-120Langkah Kedua Lakukan iterasi dengan rumus diatas untuk mencari bo, b1, a1 dan ao dengan bo=0 dan b1=0

NOb110023

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi (lanjutan)Dari iterasi disamping diperoleh bo=-6, b1=1, ao=9 dan a1=20nilai-nilai ini dimasukkan ke dalam(x2 +b1x+bo)(x2 +a1x+a0)=0, sehingga(x2+ x-6)(x2 +9x+20)=0. Maka akar-akarnyax1=--3 , x2=2, x3=-5 dan x4=-4Latihan Soal1. x4- x3 +12x2 -4x+16=02. x4+4x3 +21x2+4x+20=03. x4+8x3 +16x2 +7x-2=04. x4- 0.4x3 +1.85x2-1.35x+3=05. x4-3.9 x3 +4.28x2 -1.8x-7.5=0

Nobob1a1ao10010232-5.220.799.2120.943-5.730.99.120.574-5.830.939.0720.415-5.880.959.0520.36-5.910.969.0420.227-5.930.979.0320.178-5.950.989.0220.139-5.960.989.0220.110-5.970.999.0120.0711-5.980.999.0120.0612-5.980.999.0120.0413-5.990.999.0120.031-5.991920.024-5.991920.0215-5.991920.0116-61920.0117-61920.0118-61920.0119-6192020-6192021-6192022-61920AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL7.Metode Faktorisasi Metode ini mempunyai kelebihan sbb:Akar-akar persamaan polinomial tingkat empat dapat dicari sekaligus atau bersamaan.Dapat mencari akar-akar kompleks.Metode Faktorisasi persamaan polinomial tingkat limaDimana nilai adalah koefisien-koefisien persamaan polinomial, sedangkan dicari melalui proses iterasi dengan , , ,

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi (lanjutan) Tabel Iterasi

Contoh SoalPenyelesaianLangkah PertamaPersamaan Polinomial diatas diperoleh A4=-1, A3=-27 dan A2=1, A1=146, A0=120Langkah Kedua Lakukan iterasi dengan rumus diatas untuk mencari bo, b1, a0, c1 dan c0 dengan menentukan nilai bo=b1=ao=0

NO100023

AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL6.Metode Faktorisasi (lanjutan)Dari iterasi disamping diperoleh bo=-6, b1=-1, ao=1 dan c1=-1 dan co=-20 nilai-nilai ini dimasukkan ke dalam(x+ao)(x2 +b1x+bo)(x2 +c1x+c0)=0(x+1)(x2-x-6)(x2 x-20)=0. Maka akar-akarnya x1=-1,x2=-2,x3=3,x4=-4,x5=5Latihan Soal1.x5+3x4- 5x3-15x2+4x+12=02.x5-68x3+42x2 +1075x-1050=03.x5+10=04.x5+x3 +1=0

NOb0b1a0c1c01000-1-272-5.40740.163240.82192-1.9852-19.7713-6.4716-0.4610.93787-1.4769-19.3924-6.3383-0.78680.97631-1.1895-19.6685-6.1586-0.92290.9907-1.0678-19.8556-6.0663-0.97290.99631-1.0234-19.947-6.0268-0.99050.99853-1.008-19.9768-6.0107-0.99660.99941-1.0028-19.999-6.0043-0.99880.99976-1.001-19.99610-6.0017-0.99960.99991-1.0004-19.99811-6.0007-0.99980.99996-1.0001-19.99912-6.0003-0.99990.99998-1-2013-6.0001-10.99999-1-2014-6-11-1-2015-6-11-1-20PERSAMAAN LINEAR SIMULTANPersamaan linear simultan dengan n variabel bebas Dapat ditulis sebagai berikut:

Ada 1.Metode substitusi dan eliminasi2.Metode matriks3.Metode Determinan4.Metode dekomposisi LU5.Metode Gauss Jordan6.Metode Iterasi Jakobi7.Metode Iterasi gauss-Siedel

PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN1.Metode Iterasi JakobiContoh Soal

PenyelesaiannyaLangkah pertama Persamaan diatas dirubah menurut syarat menjadi

Langkah Kedua:

PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN1.Metode Iterasi Jakobi (lanjutan) Dilakukan iterasi untuk mendapatkan nilai x1, x2 dan x3

NOX1X2X31000210.5711.33331.0951.0951.095411.0410.96850.9910.9910.991610.9961.00371.0011.0011.001811191111011111111121111311114111PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN1.Metode Iterasi Gauss -SiedelContoh Soal

PenyelesaiannyaLangkah pertama Persamaan diatas dirubah menurut syarat menjadi

Langkah Kedua:

PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN1.Metode Iterasi Gauss-Siedel (lanjutan) Dilakukan iterasi untuk mendapatkan nilai x1, x2 dan x3

NOX1X2X31000210.7141.06331.0441.0240.9940.9960.9961.00151.0011161117111811191111011111111121111311114111PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton RaphsonLangkah PertamaMerubah fungsi-fungsi dari soal menjadi

Langkah KeduaMencari nilai-nilai fungsi

Langkah KetigaMencari nilai r1 dan s1 dengan aturan Cramer sbb:

,

PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton Raphson(lanjutan) Mencari nilai pendekatan yg lebih tepat dari nilai awal sbb:

Langkah keempatMelakukan proses iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapat kan nilai r dan s nol atau mendekati nolSoal 1Carilah nilai nilai x1 dan x2 dengan metode Newton Raphson

PenyelesaiannyaLangkah Pertamamengubah Persamaan non linear simultan diatas menjadi bentuk


Langkah keempatMelakukan proses iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapat kan nilai r dan s nol atau mendekati nolContoh SoalCarilah nilai nilai x1 dan x2 dengan metode Newton Raphson


PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton Raphson(lanjutan) Langkah Kedua

PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton Raphson(lanjutan) Langkah Ketiga

Jadi nilai x1 = 4 dan x2 = 3

Titrasi dihentikan ketika r dan s mendekati 0

NoX1X2F(X1,X2)G(X1,X2)dF/dx1dF/dx2dG/dx1dG/dx2rs143-0.799-0.092.95-4.1992.804-2.131-0.241-0.3623.7592.64-2.945-0.0112.569-4.0272.643-1.955-1.016-1.3832.7421.261-9.92-0.490.977-3.522.116-0.491-0.451-2.944PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton RaphsonSoal 2:

Langkah PertamaMerubah fungsi-fungsi dari soal menjadi

Langkah KeduaMencari nilai-nilai fungsi

Langkah KetigaMencari nilai r1 dan s1 dengan aturan Cramer sbb:

,


Langkah keempatMelakukan proses iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapat kan nilai r dan s nol atau mendekati nolContoh SoalCarilah nilai nilai x dan y dengan metode Newton Raphson


PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton Raphson(lanjutan)


Jadi nilai x = -2.07 dan y = -3.142NOXYF(X,Y)G(X,Y)dF/dxdF/dydG/dxdG/dyrs1-1-1-1913-6-22-5.333-5.8332-6.333-6.833-13528.444120.33-38-12.6723.36977.11943-2.9640.2861-46.7811.35526.349-17.78-5.92722.0560.41554-0.9080.7016-20.274.2272.4715-5.446-1.8152-3.545-5.3315-4.453-4.63-44.9812.56759.479-26.72-8.90522.06612.91626-2.387-1.713-25.794.268817.087-14.32-4.77320.2796-1.4677-2.107-3.181-0.0060.078213.318-12.64-4.21420.03660.03818-2.07-3.142-0.250.001312.858-12.42-4.1412-0.019-0.049-2.089-3.1820.25660.000413.093-12.53-4.17820.01980.041110-2.069-3.141-0.2670.000412.846-12.42-4.1392-0.021-0.04311-2.09-3.1840.27810.000413.103-12.54-4.1820.02140.044612-2.068-3.139-0.2890.000512.836-12.41-4.1372-0.022-0.04613-2.091-3.1850.30150.000513.114-12.54-4.18220.02320.048314-2.068-3.137-0.3140.000512.824-12.41-4.1352-0.024-0.0515-2.092-3.1870.32680.000613.126-12.55-4.18420.02520.0524PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Newton Raphson(lanjutan) Mencari nilai pendekatan yg lebih tepat dari nilai awal sbb:

Langkah keempatMelakukan proses iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapat kan nilai r dan s nol atau mendekati nolContoh SoalCarilah nilai nilai x dan y dengan metode Newton Raphson




Jadi nilai x = -2.07 dan y = -3.142NOXYF(X,Y)G(X,Y)dF/dxdF/dydG/dxdG/dyrs1-1-1-1913-6-22-5.333-5.8332-6.333-6.833-13528.444120.33-38-12.6723.36977.11943-2.9640.2861-46.7811.35526.349-17.78-5.92722.0560.41554-0.9080.7016-20.274.2272.4715-5.446-1.8152-3.545-5.3315-4.453-4.63-44.9812.56759.479-26.72-8.90522.06612.91626-2.387-1.713-25.794.268817.087-14.32-4.77320.2796-1.4677-2.107-3.181-0.0060.078213.318-12.64-4.21420.03660.03818-2.07-3.142-0.250.001312.858-12.42-4.1412-0.019-0.049-2.089-3.1820.25660.000413.093-12.53-4.17820.01980.041110-2.069-3.141-0.2670.000412.846-12.42-4.1392-0.021-0.04311-2.09-3.1840.27810.000413.103-12.54-4.1820.02140.044612-2.068-3.139-0.2890.000512.836-12.41-4.1372-0.022-0.04613-2.091-3.1850.30150.000513.114-12.54-4.18220.02320.048314-2.068-3.137-0.3140.000512.824-12.41-4.1352-0.024-0.0515-2.092-3.1870.32680.000613.126-12.55-4.18420.02520.0524PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1.Metode Bentuk Iterasi x = F(x,y,z,..)Langkah PertamaMerubah bentuk Persamaan nonlinear simultan menjadi

Langkah Kedua Menentukan titik awal x1 dan x2 dan menguji apakah titik-titik tsb memenuhi syarat (1). Jika memenuhi ketentuan (1), maka melangkahke langkah ketigaLangkah Ketiga Melakukan iterasi sampai didapatkan nilai x1 dan x2 tidak berubah dengan persamaanx1 (n+1) = F1(x1 n, x2n) dan x2 (n+1) = F2(x1 n, x2n)

PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1Metode Bentuk Iterasi x = F(x,y,z,..) LanjutanContoh SoalTentukan nilai x1 dan x2 dari persamaan nonlinear simultan di bawah ini PenyelesaiannyaLangkah PertamaPersamaan diatas, diubah menjadi : Langkah Keduamencari turunan-turunannya:menentukan sembarang nilai x1 dan x2 yang memenuhi syarat:

PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1Metode Bentuk Iterasi x = F(x,y,z,..) LanjutanLangkah KetigaMelakukan iterasi mencari x1 = F(x1 ,x2 ) dan x2 = G (x1 ,x2 )

NOX1X2dF/dx1dF/dx2dG/dx1dG/dx2[dF/dx1] + [ dF/dx2] < 1[dG/dx1] + [ dG/dx2] < 11-1.80.800.436-0.16500.43643578-0.1652988882345678910PERSAMAAN NONLINEAR SIMULTAN1Metode Bentuk Iterasi x = F(x,y,z,..) LanjutanLangkah KetigaMelakukan iterasi mencari x1 = F(x1 ,x2 ) dan x2 =G (x1 ,x2 )

NOX1X2dF/dx1dF/dx2dG/dx1dG/dx2[dF/dx1] + [ dF/dx2] < 1[dG/dx1] + [ dG/dx2] < 11-1.80.800.436-0.16500.43643578-0.1652988882-1.8330.83500.459-0.1600.459260071-0.1599282063-1.8170.8400.463-0.16200.462845653-0.1624327614-1.8150.83800.461-0.16300.461171734-0.1628354695-1.8160.83700.461-0.16300.460902882-0.1626471576-1.8160.83700.461-0.16300.461028591-0.1626169627-1.8160.83700.461-0.16300.461048749-0.1626310798-1.8160.83700.461-0.16300.461039325-0.1626333439-1.8160.83700.461-0.16300.461037813-0.16263228410-1.8160.83700.461-0.16300.46103852-0.162632114INTERPOLASIInterpolasi adalah mencari nilai suatu fungsi yang tidak diketa-hui diantara beberapa nilai fungsi yang diketahui pada tabel fungsiContoh Melihat hubungan lamanya permentasi terhadap volume etanol yang dihasilkan dalam proses peragian ubi kayu di laboratorium OTK/PTK Tabel Equispaced Tabel Non-Equispaced

NOX(Hari)Y=f(X)(ml)121.5242.6363.7485.8NoXY=f(X)11.21.622.52.833.83.944.54.3INTERPOLASIUntuk menentukan nilai fungsi f(x) untuk x =2.3 dan x = 6.9Ada 3 metode yang disediakan untuk mencari interpolasi1. Metode Newton Gregory Forward (NGF)2. Metode Newton Gregory Backward (NGB)3. Metode LangrangeMetode no.1 dan 2 harus menggunakan Tabel Beda Hingga, sedangkan metode no.3 tidak perlu menggunakan Tabel Beda Hingga1.Metode NGF

2. Metode NGB

INTERPOLASI3. Metode Langrange

Contoh Soal 1Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = 2.3 dari hasil eksperimen yang terdapat pada Tabel berikut dengan metode Newton Gregory Forward (NGF):

PenyelesaiannyaDibuat Tabel Beda Hingga sebagai berikut:

NOX(Hari)Y=f(X)(ml)121.5242.6363.7485.8INTERPOLASIDibuat Tabel Beda Hingga sebagai berikut:Tabel Beda Hingga NGF

Noxf0f0 2 f03 f0021.51.1142.601.11263.712.1385.8

INTERPOLASIContoh Soal 2Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = 6.9 dari hasil eksperimen yang terdapat pada Tabel berikut dengan metode Newton Grogery Backward (NGB):

PenyelesaiannyaDibuat Tabel Beda Hingga sebagai berikut:

NOX(Hari)Y=f(X)(ml)121.5242.6363.7485.8INTERPOLASIDibuat Tabel Beda Hingga sebagai berikut:Tabel Beda Hingga NGB

Noxf0f-1 2 f-23 f-3-321.51.1-242.601.11-163.712.1085.8

INTERPOLASIContoh Soal 3Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = 6.9 dari hasil eksperimen yang terdapat pada Tabel berikut dengan Metode Lagrange :

PenyelesaiannyaTabel diatas dirubah menjadi :

NOX(Hari)Y=f(X)(ml)121.5242.6363.7485.8NOX(Hari)Y=f(X)(ml)021.5142.6263.7385.8INTERPOLASIContoh Soal 3 (Lanjutan)Untuk x = 6.9 yang merupakan xs = 6.9Maka rumus Lanrange yang digunakan adalah :

DEFERENSIASI NUMERIKDua operasi matematika yang banyak dijumpai pemakaiannya dalam dunia ilmu pengetahuan dan teknologi adalah Deferensiasi dan integrasi suatu fungsi. Deferensiasi numerik adalah proses mencari nilai-nilai deferensial suatu fungsi pada titik variabel tertentu dengan menggunakan sederetan nilai numerik yang diketahui. Keuntungan penyelesaian persoalan deferensial secara numerik di bandingkan dengan cara analitis adalah penyelesaiannya yang mudah untuk mencari nilai deferensial suatu fungsi yang cukup kompleks.Ada 4 metode menyelesaian masalah deferensial numerik, tapi dalam bab ini akan dibahas 3 metode saja, yaitu:1.Metode Newton-Gregory Forward (NGF)2.Metode Newton Gregory Backward (NGB)3.Metode Stirling4.Metode Lagrange1.Metode NGFMetode NGF adalah proses mencari nilai deferensial suatu fungsi pada titik tertentu disekitar daerah awal dengan menggunakan persamaan 1. Ini diturunkan dari persamaan interpolasi NGF sebagai berikut:

DEFERENSIASI NUMERIKMetode NGF mempunyai beberapa keterbatasan:1.Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan tabel bentuk equispace (x1 x0 = x2 x1 = x3 x2 = ..= xn xn-1 = h (konstan)2.Hanya cocok menyelesaikan untuk nilai xs yang terletak didekat nilai awal x0 atau x1 (tidak menyebabkan nilai error yang besar)3.Memerlukan tabel beda hingga.Contoh SoalCarilah nilai f(x) pada x = 1.03 dari Tabel 1 dengan metode NGF

NoX F(X)11.01.421.32.631.63.541.94.752.26.8DEFERENSIASI NUMERIKJawabannyaLangkah 1Rubah tabel diatas menjadi dan cari nilai-nilai beda hingga sbb: Tabel Beda Hingga NoX f(X)01.01.411.32.621.63.531.94.742.26.8NoX f0f02 f03 f04 f001.01.41.211.32.6-0.30.90.621.63.50.301.20.631.94.70.92.142.26.8DEFERENSIASI NUMERIKJawabannyaLangkah 2: Mencari nilai s dan f(xs ) untuk xs = 1.03 sbb:

Jadi untuk x = 1.03, maka f (1.03) = 4.876

DEFERENSIASI NUMERIK2.Metode Newton-Gregory Backward (NGB)Metode NGB adalah proses mencari nilai deferensial suatu fungsi pada titik tertentu disekitar daerah akhir dengan menggunakan persamaan 2. Ini diturunkan dari persamaan interpolasi NGB sebagai berikut:

Contoh SoalCarilah nilai f(x) pada x = 2.0 dari Tabel 2 dengan metode NGB

NoX F(X)11.01.421.32.631.63.541.94.752.26.8DEFERENSIASI NUMERIKJawabannyaLangkah 1Rubah tabel diatas menjadi dan cari nilai-nilai beda hingga sbb: Tabel Beda Hingga NoX f(X)-41.01.4-31.32.6-21.63.5-11.94.702.26.8NoX F0f-12 f-23 f-34 f-4-41.01.41.2-31.32.6-0.30.90.6-21.63.50.301.20.6-11.94.70.92.102.26.8DEFERENSIASI NUMERIKJawabannyaLangkah 2: Mencari nilai s dan f(xs ) untuk xs = 2.0 sbb:

Jadi untuk xs = 2.0 maka f (2.0) = 6.265567

DEFERENSIASI NUMERIK2.Metode LagrangeMetode Lagrange adalah proses mencari nilai deferensial suatu fungsi pada titik tertentu disekitar awal, tengah dan akhir tanpa menggunakan nilai nilai beda hingga dengan menggunakan persamaan 3

Contoh SoalCarilah nilai f(xs ) pada xs = 1.8 dari Tabel dengan metode Lagrange

NoX f(X)01.01.411.32.621.63.531.94.742.26.8DEFERENSIASI NUMERIKJawabannya

Jadi untuk xs = 1.8 maka f (1.8) = -0.34

Documents

materi mtk