Upload
anhpham123
View
364
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
LỜI NÓI ĐẦU:Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo.
Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.
Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm:
+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.
+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ
ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:
A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.(Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví
dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.
D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: [email protected] hoặcsố điện thoại: 0984-003114.
E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D.
F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác.Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em
học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này.Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh
thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót. Chào thân ái!
A. ÔN LÝ THUYẾT:
• Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…
• Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Nguyễn Công Mậu
OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.
↓
(ẩn phụ)
C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.
I. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:
• Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá
löôïng giaùc.
Vaø a, b, c laø caùc heä soá a ≠ 0.
• Caùch giaûi : + Ñaë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì 1t ≤ )
+ Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn
ñieàu kieän.
+ Giaûi phöông trình f(x) = t.
Ví d ụ 1 ) Giaûi phöông trình :22cos 4 6 s 1 3cos 2
0cos
x co x x
x
+ + + = (1)
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 Nguyễn Công Mậu
PTLG cho trước
PT còn một cung
Còn 1 HSLG
PTĐẠI SỐ
Còn 2 hàm sin và côsin
PTLG cơ bản PTLG THƯỜNG GẶP
PT còn hai cung
Áp dụng: (asinu + bcosu) PTcơ bản
Sinf(x)=sing(x) Hoặccosf(x)=cosg(x)
P.T.Tích
Cần chú ý sự xuất hiện các biểu thức: a.sinx +b.cosx với:a,b = 2;3;1 ±±±
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví d ụ 2 ) Giaûi phöông trình : 1cos1
sin2)1cos2(cos1 =−
−+−x
xxx(2)
Ví d ụ 3 ) Giaûi phöông trình : 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − − (3)
Ví d ụ 4 ) Giaûi phöông trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x+ = − (4)
Ví d ụ 5 ) Tìm caùc nghieäm treân khoaûng ( )0;π cuûa phöông trình :
sin 3 cos3
7 4 cos 22sin 2 1
x xcosx x
x
− − = − ÷− (5)
Ví d ụ 6 ) Cho phöông trình : cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m+ + − − = .
a) Giaûi phöông trình khi m = 2.
b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ( );2π π .
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1) +Đk ππ
mx +≠2
.
(1) ( ) 02cos312cos1(312cos22 2 =++++−⇔ xxx
+±=
=⇔
=
=⇔=+−⇔
ππ
π
kx
kx
x
xxx
6
2
2
12cos
12cos012cos32cos2 2
Họ 2
πkx = thỏa ĐK khi k = 2h πhx =⇒
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: Zkhkxhx ∈+±== ,;6
; πππ .
Ví dụ 2) + ĐK : π21cos mxx ≠⇔≠(2) 0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 =−−−⇔−=−−−⇔ xxxxxx
2sin2
2sin02sin2sin2 2 =∨−=⇔=−−⇔ xxxx (loại)
+=
+−=⇔
−=−=
ππ
πππ
24
5
24
4sin
2
2sin
kx
kxx
Ví dụ 3) +ĐK : πmx ≠
(3) ⇔−−=−⇔x
xxx
2
2
sin
cos)cos1(322cos3 ⇔
−−−=−
x
xxx
2
2
cos1
cos)cos1(322cos3
02coscos6cos1
cos32cos3 2
2
=−+⇔+
−=−⇔ xxx
xx
+−±=
+±=⇔
−=
=⇔
π
ππ
2)3
2arccos(
23
3
2cos
2
1cos
kx
kx
x
x
(Thỏa các ĐK)
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví dụ 4) +Biến đổi:
( )
4
12cos
4
3
2sin4
31)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
323266
+=
=−=+−+=
=+=+
x
xxxxxxx
xxxx
(4) 012cos42cos32cos4
12cos
4
3 22 =+−⇔=+⇔ xxxx
+±=
=⇔
=
=⇔
π
π
23
1arccos
2
1
3
12cos
12cos
kx
kx
x
x
Ví dụ 5) *Giải PT(5):
+ĐK : sinx
+≠
+≠⇔≠
ππ
ππ
212
212
5
2
1
mx
mx
+Ta có )cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx −+−+=+−−=−
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin −+=−+= xxxxxxx
xxx
xxcossin
12sin2
3cos3sin +=−
−⇒
(5) )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx −−=⇔−=−+⇔
3sin2
1sin03sin7sin2 2 =∨=⇔=+−⇔ xxxx (loại)
+=
+=⇔=
ππ
ππ
26
5
26
2
1sin
kx
kxx
*Chọn nghiệm trên khoảng ( )π;0 ta được hai nghiệm của phương trình là:
6
5;
6
ππ == xx
Ví dụ 6) (*) 01sin)12(sin21 2 =−−++−⇔ mxmx
0sin)12(sin2 2 =++−⇔ mxmx
[ ]1;1;sin;0)12(2)( 2 −∈==++−=⇔ txtmtmttf
a)Khi m=2: 22
10252)( 2 =∨=⇔=+−= tttttf (loại)
+=
+=⇔=⇔=
ππ
ππ
26
5
26
2
1sin
2
1
kx
kxxt
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ( );2π π : Khi ( ) 012; <≤−⇒∈ tx ππ .
Vậy ta phải có :
<≤−
∅∈⇔
=−∨<−
<≤−
≥−>≥∆
⇔
<≤−<<<≤−
<≤≤−
01
0)1(0)1().0(
02
1
0)1(;0)0(;0
01
01
01
21
21
21
m
m
fff
S
afaf
tt
tt
tt
[ )0;1−∈⇔m
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
1) Giaûi phöông trình :2 24sin 2 6sin 9 3cos 2
0cos
x x x
x
+ − − =
2) Giaûi phöông trình : ( ) 2cos 2 3 2 2 1
11 sin 2
x sinx cos x
x
+ − −=
+
3) Giaûi phöông trình : 25 2 3(1 ). tansinx sinx x− = −
4) Giaûi phöông trình : 8 8 217
sin 216
x cos x cos x+ =
5 Tìm caùc nghieäm treân khoaûng ( )0;2π cuûa phöông trình :
cos3 sin 3
5 3 cos 21 2sin 2
x xsinx x
x
+ + = + ÷+
6) Cho phöông trình : cos 2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m− + + + = .
a) Giaûi phöông trình khi m = 3/2.
b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng 3
;2 2
π π ÷ .
II. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b ≠ 0
+ Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2 ≥ c2.
+ Caùch giaûi :
- Chia 2 veá phöông trình cho 2 2a b+ ta ñöôïc :
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
2 2 2 2 2 2
cosasinx b x c
a b a b a b+ =
+ + +
- Ñaët 2 2 2 2sin
a bcos
a b a bα α= ⇒ =
+ + vaø ñaët 2 2sin
c
a bβ =
+ ta coù
phöông trình: sin( ) sinx α β+ = Ví duï 1: Giaûi phöông trình : xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 +=+ (1)
Ví duï 2: Giaûi phöông trình : 3 1
8sinxcosx sinx
= + (2)
Ví duï 3: Giaûi phöông trình : 0sincos2cos2sin =−−− xxxx (3)
Ví duï 4: Giaûi phöông trình : 82cos2sin3cos3sin9 =+−+ xxxx (4)
Ví duï 5: Giaûi phöông trình : 32 cos 2 0cos x x sinx+ + = (5)
Ví duï 6: Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx+ = − (6)
Ví duï 7: Giaûi phöông trình : 44 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + = (7)
Ví d ụ 8 : Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=− (8)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1) ( ) xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3 =+−⇔
xxxxxx 4cos6sin2
36cos
2
14cos26sin36cos =+⇔=+⇔
xx 4cos3
6cos =
−⇔ π
.
Ví dụ 2: + ĐK : ( )Zmm
xxx
x∈≠⇔≠⇔
≠≠
202sin
0cos
0sin π
+ (2) xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4 +=−⇔+=⇔
xxxxx 3cos3
cos3cossin2
3cos
2
1 =
+⇔=−⇔ π
Ví dụ 3: (3) ( ) 01coscos2)sincossin2( 2 =−+−−⇔ xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
=−−−⇔=+−−−⇔
xxx
xxxx
1)4
sin(22
1cos =−∨=⇔ π
xx
Ví dụ 4: (4) ( ) ( ) 09cos2cos3cossin6sin9 2 =−++−⇔ xxxxx
0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 =+−+−⇔ xxxx
03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2( =+−⇔=+−−⇔ xxxxx
ααα sinsinsincoscos10
3sin
10
3cos
10
1 −=−⇔−=−⇔ xxxx
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 6 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
10
3sin;
10
1cos;
2cos)cos( ==
+=+⇔ αααπαx
Ví dụ 5: (5) 0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 =−−+⇔=+−+⇔ xxxxxx
0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 =−−++−⇔ xxxx
[ ]
0)12sincos2sin2)(sin1(
01)cos1)(sin1(2)sin1(
=+++−⇔=−++−⇔
xxxx
xxx
[ ] 0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 =+++−⇔ xxxxx
=+
=−⇔=+++−⇔
0cossin
0sin10)2cos)(sincos)(sinsin1(
xx
xxxxxx
Ví dụ 6: (6) xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin −=−+⇔ xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin −=+−+⇔ 0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 =−−⇔=+−⇔ xxxxxxxxx
0)2sin2cos3(cos0)2sin2
1
2
2cos12(cos =−+⇔=−−−⇔ xxxx
xx
0cos =⇔ x
Ví dụ 7: + Biến đổi : xxxxx 4cos4
1
4
3)4cos1(
4
112sin
2
11cossin 244 +=−−=−=+
+ (7) 2
14sin
2
34cos
2
124sin34cos3 −=+⇔=++⇔ xxxx
⇔3
2cos
34cos
ππ =
−x xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=−
Ví dụ 8: (8) xxxxxxxx cos2
3sin
2
13cos
2
13sin
2
3cos3sin3cos3sin3 +=−⇔+=−⇔
+=
−⇔
3sin
63sin
ππxx
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
1) Giaûi phöông trình : xxxx 3sin43cos29cos33sin3 3+=−
2) Giaûi phöông trình : 3 1
8sin
cosxx cosx
= +
3) Giaûi phöông trình : 2sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x+ − = + −
4) Giaûi phöông trình : 4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x+ − + =
5) Giaûi phöông trình : 32sin cos 2 0x x cosx− + =
6) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx− = +
7) Giaûi phöông trình : ( ) 24sin33cossin8 66 =−+ xxx
8) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+
III. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: 1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
• Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)
• Caùch giaûi 1 : (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung)
(1) ⇔ 1 cos 2 1 cos 2
sin 2 02 2 2
x b xa x c d
− ++ + + =
sin 2 ( ) cos 2 (2 )b x c a x d a c⇔ + − = − + + .
• Caùch giaûi 2 : (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
Xeùt hai tröôøng hôïp :
+ Neáu x = ;2
k k Zπ π+ ∈ coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.
+ Neáu x ;2
k k Zπ π≠ + ∈ , chia hai veá phöông trình cho cos2x ta ñöôïc:
atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
⇔ (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.
Ví duï 1: Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1)
Ví duï 2: Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + ( )3 4+ cos2x = 4 (2)
Ví dụ 3: Giaûi phöông trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3)
Ví dụ 4: Giaûi phöông trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: (1) ( ) 12sin32cos12sin3sincos 22 =−⇔=−−⇔ xxxxx
3
cos3
2cos2
12sin
2
32cos
2
1 ππ =
+⇔=−⇔ xxx
Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 =x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm ππkx +=
2.
+Xét 0cos ≠x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22
tan1cos
1 += và đặt ăn
phụ t = tanx :
Ta có : πππkxxtttt +=⇔=⇔=⇔+=++−
66tantan
3
3)1(44334 22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : ππkx +=
2 ; Zkkx ∈+= ;
6ππ
Ví dụ 3: (3) 3)2cos1(2
32sin
2
5)2cos1(5 =−+−+⇔ xxx
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 8 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
72sin52cos7 −=−⇔ xxVí d ụ 4: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 =x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm ππkx +=
2.
+Xét 0cos ≠x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx
22
tan1cos
1 += và đặt ăn
phụ t = tanx : Ta có : πkxxtttt +=⇔=⇔=⇔+=++ 2arctan2tan2)1(331 22
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:
1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0
2) Giaûi phöông trình : sin2x +2(1 3)sin cos 3 0x x cos x+ + =
3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0
2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
• Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau: + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : 1cossin 22 =+ xx . ),( Nnk ∈Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. xxxxx 2322 cossinsin)cos(sin +=+ (bậc 3).Hoặc sinx = sinx. xxxxxxx 4235222 cossincossin2sin)cos(sin ++=+ (bậc 5). + Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0. ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
• Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k N∈ ”• Cách giải 1 : ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
+Bước 2: -Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế PT cho xncos và thay ( ) kk
xx
22
tan1cos
1 +=
.
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t. -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.• Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 9 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví dụ 1: Giải phương trình: xxxx 2coscossintan −= (1)
Giải cách 1:
+ĐK: ππmx +≠
2 .
+(1) xxxx 32 coscossinsin −=⇔ (*) (đẳng cấp bậc 3).+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 01 =± ; vô lý)+cosx ≠ 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
ππkxxttxxx +−=⇔−=⇔−=⇔−=⇔−=+
41tan111tan)tan1(tan 32 (t = tanx)
Gi ải cách 2 :
(*) xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin −=⇔−=−⇔ (**) ππ
kxxx +−=⇔−=⇔−=4
1tan1tan 3
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau: (**) 0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin 33 =−+⇔=−+⇔=+⇔ xxxxxxxxx
ππkxxxx +−=⇔−=⇔=+⇔
41tan0cossin
.
Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx cossincos3 += (2) (đẳng cấp bậc 3)Giải cách 1:+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)+ cosx ≠ 0, chia hai vế (2) cho cos3x được : )tan1()tan1(tan1 2 xxx +++=
πkxxtttt =⇔=⇔=⇔=++⇔ 0tan00)1( 2 (với t = tanx )Gi ải cách 2 :(2) 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22 =+⇔=+⇔=−⇔ xxxxxxxxx
πkxxxx =⇔=⇔=+⇔ 0sin0)22(sinsin
Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3 233 =++− xxxxx (3)(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)+ cosx ≠ 0, chia hai vế (3) cho cos3x được : 0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223 =+⇔=+⇔+++− ttttxxx
+−=
=⇔
−=
=⇔
−=
=⇔
πππ
kx
kx
x
x
t
t
33tan
0tan
3
0
Gi ải cách 2 :
(3) ( ) 0)cos1(cos2cossinsin3 223 =−++⇔ xxxxx
( ) 0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222 =+⇔=++⇔ xxxxxxxx
+−=
=⇔
−=
=⇔
=+
=⇔
ππππ
kx
kx
x
kx
xx
x
33tan0cos3sin
0sin
Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1: + cosx = 0 thì sinx = 1± không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0≠
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được: 310342 =∨=⇔=+− tttt
Gi ải cách 2 :(4) 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224 =−−−⇔ xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3 222222 =−−−⇔ xxxxxx
±=
=⇔=−⇔
3tan
02cos0)sincos3(2cos 22
x
xxxx
Ví dụ 5: Giải phương trình : xxxxx cossin2coscossin 266 −=+ (5)Giải cách 1:Nếu biến đổi : )cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx −++=+ = = xxxx 2244 cossincossin −+Và biến đổi : xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos −+=−=Thì PT (5) 0cossincossin 22 =+⇔ xxxx (*)Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản+ Nếu từ PT: xxxxxx cossin)sin(coscossin 22266 −−=+ (đẳng cấp bậc 6)Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
=++++
=⇔=++++
)1.5(012
002
234
2345
tttt
tttttt
Khi đó PT (5.1) 0211
011
22
22
2 =+
++
+⇔=++++⇔
tt
tt
tttt (5.2)
PT (5.2) đặt ẩn phụ t
tu1+= thì được PT bậc hai 1002 −=∨=⇔=+ uuuu .
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm. + Với t = 0 πkxx =⇔=⇔ 0tan .Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
ππkx +=
2 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =
2
πk. Phù hợp với mọi
cách giải.
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :
1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)
2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
4) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx− = + (đẳng cấp bậc 3)
5) Giaûi phöông trình : ( ) 24sin33cossin8 66 =−+ xxx (đẳng cấp bậc 6)
6) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+ (đẳng cấp bậc 3)
7) Giaûi phöông trình : 3 3sin x cos x sinx cosx+ = − (đẳng cấp bậc 3)
8) Giaûi phöông trình : 44 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + = (đẳng cấp bậc 4)
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
9) Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=− (đẳng cấp bậc 3)
10) Giaûi phöông trình : 8 8 217
sin 216
x cos x cos x+ = (đẳng cấp bậc 8)
11) Giaûi phöông trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x+ = − (đẳng cấp bậc 6)IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)
• Dạng phương trình : a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R∈ (1)
• Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 24
sin2 ≤⇒
+ tx
π
(*)2
1cossincossin21
22 −=⇒+=⇒ t
xxxxt
(1) )1.1(02202
1. 2
2
=−++⇔=+−+⇔ bcatbtct
bat .
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 ≤t . Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = 12
0 −t để tìm x.2) Phương trình chứa hiệu và tíc h ( còn gọi là phương trình phản xứng)
• Dạng phương trình : a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R∈ (2)
• Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 24
sin2 ≤⇒
− tx
π
(**)2
1cossincossin21
22 t
xxxxt−=⇒−=⇒
(1) )1.2(02202
1. 2
2
=−−−⇔=+−+⇔ bcatbtct
bat .
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 ≤t . Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- 2
0t để tìm x.
Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) 02cos12)sin(cos122sincossin =+−+− xxxxxx (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình
+−=−
4sin27cos2sin3sin2sin32cos8
πxxxxxx (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình 02cos2sinsin 23 =−++ xxx (3)Ví dụ 4: Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 =−+−+ xxxxxxx (4)Ví dụ 5: Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin 2 =−++− xxxxxx (5)Ví dụ 6: Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin =−+− xxxxx (1)
HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1) ⇔ ( )[ ] 012)cos(sin122sincossin =−+−− xxxxx
=+−+
=−⇔
)1(0122sin)cos(sin12
)1(0cossin
bxxx
axx
(1a) ππkx +=⇔
4
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 12 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
(1b) ( )xxttt
ttt cossin1
13
1013122 +=−=⇒
=
−=⇔=−−⇔
2
02sin1πk
xxt =⇔=⇔−=+
+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là )(2
;4
Zkk
xkx ∈=+= πππ
Ví dụ 2: (2) ( )[ ] 072sin3)sin(cos8sincos =+−−+⇔ xxxxx
=+−−
=+⇔
)2(072sin3)sin(cos8
)2(0cossin
bxxx
axx
(2a) ππkx +−=⇔
4 (2b) : Đặt t = (*)12sin2sin1)2(;sincos 22 txxttxx −=⇒−=⇒≤−
(2b) 3
2
3
2
20483 2 −=⇒
−=
−=⇔=++⇔ t
t
ttt , thay t = -2/3 vào (*):
Sin2x =
+−=
+=⇔
ππ
π
kx
kx
9
5arcsin
2
9
5arcsin
2
1
9
5
Ví dụ 3: (3) 0)1cossincos)(sincos1( =−++−⇔ xxxxx
=
=⇔
=−++
=⇔
2
2
01cossincossin
1cosππ
kx
kx
xxxx
x
Ví dụ 4: (4) ⇔
( )[ ]
=+−−
=−⇔
=+−−−⇔
012)cos(sin12cossin
0cossin
012)cos(sin12cossincossin
xxxx
xx
xxxxxx
=
=⇔
2
4π
π
kx
x
Ví dụ 5: (5) ( ) 0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin 2 =−+−−−⇔ xxxxxx
( )( ) ( )( )( )
=++−
=⇔
=++−−⇔=−+−−+−⇔
012sin2cossin
1sin
012sin2cossin1sin
0)1(sin2sin21sincos1sin1sin
xxx
x
xxxx
xxxxxx
Ví dụ 6: (6) ( )( ) ( ) 0sincossincos1cossin 22 =−+−−⇔ xxxxxx
( )( )( ) ( ) 0sincossincossincos1cossin =−++−−⇔ xxxxxxxx
[ ( )( ) ] 01sincos1cossin)sin(cos =++−−⇔ xxxxxx
=++−
=−⇔
)6(01)sin)(cos1cos(sin
)6(0sincos
bxxxx
axx
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 13 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
(6a) ππkx +=⇔
4 (6b): Đặt t = sinx +cosx ( 2≤t ) ; 12sin2sin1 22 −=⇒+= txxt (*)
(6b) ⇔ 01.12
12
=+
−−
tt
0233 =+−⇔ tt 0)2)(1( 2 =−+−⇔ ttt
12
1=⇒
−=
=⇔ t
t
t thay vào (*) thì sin2x = 0
2
πkx =⇔
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :
1) 24
cos2)1cos(sin2sin2 =
−+−+ π
xxxx .
2) xxxxx cossin4sin2
1cossin 44 −=+−
3) 02sin2coscos 23 =−++ xxx
4) ( )( ) )cos2(8sin3sin3 2 xxx −=++5) 0sincos)cossin1(2cos =+++ xxxxx 6) 06cos6sin3sin 23 =+−− xxx
D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009
(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) xx
xx 2cos3
cos21
3sin2sin4 −=
−+ ; b) xxxx 4cossin3cos2sin 2222 +=+
c) 04sin32cos43sin =+−− xxx ; d) 012sin2
1sin2cos3sin 2 =++++ xxxx
e) 02cos2
cossincossinsincos 2266
=−
−++x
xxxxxx ; g) x
xx
xxx
sin
cossin4
cos
1cot.cos 2 −=+
Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) ( )
0sin22
34
cos4
sin2cossin2 44
=−
−
−
+++
x
xxxxππ
b) ( ) xxxxxxxxx cos.sincossin2cos.2coscotcossin 233 +++=+
c) xgxxxx 22 cot).2cos(cos32coscos10 −=−+
d) ( )( ) xxxxx sin32sincossin23cos2 −=+−
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) 0cossin2cos2sincossin1 33 =+−−−−+ xxxxxx ; b) xxxx
22
tan
1cot.cossin1 =+−
c) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx ++=++ ;
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
d) 02cot2cottan2tan 22 =−++− xxxx
Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :
a) ( )( )
012sin2sin34
cossincossin82
66
=−+−
−+x
x
xxxx ; b) 0sin2cos.3sin 22 =+ xxx
c) 032cos5
2cos2cossincossin 4466
=−
−+++x
xxxxx ; d) xxxx tan2sintan.sin =+
e) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx ++=++ ; g) xxx 7cos1coscos2 2 −=+
Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình :
a) 12sinsin)cos1(cos)sin1( 22 −=−−− xxxxx ; b) 21cos32
cos2
sin2
+=+
− x
xx
c) 02cossin2sin2)2cos1(cos3 =+++− xxxxx ;
d)
−=
−
−
− 4
5cos4
2
3sin
1
2cos
1 πππ
x
xx
e) 02cossin2sin2)2cos1(cos3 =+++− xxxxx
f) xxxxxxx cossin3cossin2coscos3sin 2233 +=++
Bài 6: a) Giải phương trình ( )
3)cos1)(cos21(
sincos21 =+−
+xx
xx
b) Giải phương trình : 2cos2cos
3sin3cos2cos2 3
−=+−x
x
xxx
c) Giải phương trình 3cos
cossin43cos3 2
=−x
xxx
E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009.
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2003) xxx
xx 2sin
2
1sin
tan1
2cos1cot 2 −+
+=−
b) (KB-2003) xxxx
2sin
22sin4tancot =+−
c) (KD-2003) 02
costan.42
sin 222 =−
− x
xx π
Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KB-2004) xxx 2tan)sin1(32sin5 −=−
b)(KD-2004) xxxxx sin2sin)cossin2)(1cos2( −=+−
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 15 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
c) (KA-2004) Cho ABC∆ khoâng tuø thoaû ñieàu kieän :3cos22cos222cos =++ CBA .
Tính ba goùc cuûa ABC∆ .
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2005) 0cos2cos.3cos 22 =− xxx b) (KB-2005) 02cos2sincossin1 =++++ xxxx
c) (KD-2005) 02
3)
43sin().
4cos(sincos 44 =−−−++ ππ
xxxx
Baøi 4:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2006) ( )
0sin22
cossinsincos2 66
=−
−+x
xxxx
b) (KB-2006) 4)2
tan.tan1(sincot =++ xxxx
c) (KD-2006) 01cos2cos3cos =−−+ xxx
Baøi 5:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2007) xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1( 22 +=+++
b) (KB-2007) xxx sin17sin2sin2 2 =−+
c) (KD-2007) 2cos32
cos2
sin2
=+
+ x
xx
Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2008)
−=
−
+ x
xx 4
7sin4
2
3sin
1
sin
1 ππ
b) (KB-2008) xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233 −=−
c) (KD-2008) xxxx cos212sin)2cos1(sin2 +=++Baøi 7:Giaûi caùc phöông trình sau :
a) (KA-2009) Giải phương trình ( )
( ) ( )1 2sin x cos x
3.1 2sin x 1 s inx
−=
+ −
b) (KB-2009) Giải phương trình 3sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)+ + = +
c) (KD-2009) Giải phương trình 3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − = .
F. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
* Vieäc giaûi PTLG laø vaán ñeà thöôøng gaëp trong caùc ñeà thi ñaïi hoïc .Phöông phaùp thöôøng söû duïng khi giaûi phöông trình löôïng giaùc laø
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 16 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
thöïc hieän moät soá pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp keå caû vieäc bieán ñoåi ñaïi soá ñeå ñöa PTLG veà daïng phöông trình löôïng giaùc cô baûn hay caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp hoaëc ñöa veà daïng phöông trình tích hoaëc ñaët aån phuï ñeå ñöa veà phöông trình ñaïi soá baäc hai,baäc ba…;hoaëc ñoâi khi coøn phaûi söû duïng ñeán phöông phaùp ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình. Ñeå ñaït ñöôïc keát quaû cao trong vieäc giaûi PTLG yeâu caàu hoïc sinh caàn naém vöõng caùc yeâu caàu toái thieåu sau ñaây :
1)Hoïc thuoäc (hoaëc thoâng qua suy luaän) caùc coâng thöùc löôïng giaùc,caùc cung, goùc coù lieân
quan ñaëc bieät,giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc cung(goùc) ñaëc bieät. 2)Caàn naém vöõng caùch giaûi PTLG cô baûn vaø caùc tröôøng hôïp ñaëc
bieät.Caùch giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp .3)Phaûi coù thoùi quen laø ñeà caäp ñeán TXÑ cuûa phöông trình (laáy
ñieàu kieän) tröôùc khi tieán haønh pheùp bieán ñoåi vaø ñoái chieáu ñieàu kieän khi coù keát quaû.* Taïi sao ñeà caäp ñeán vieäc bieán ñoåi thích hôïp:Vì caùc ñoàng nhaát
thöùc löôïng giaùc thöôøng raát ña daïng.Chaúng haïn :-Neáu caàn bieán ñoåi cos2x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng moät
trong caùc ñoàng nhaát sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.Ví duï : Giaûi phöông trình : a) cos2x = sinx- cosx → bieán ñoåi Cos2x = cos2x – sin2x b) cos2x = cosx → bieán ñoåi Cos2x = 2cos2x -1 c) cos2x = sinx → bieán ñoåi Cos2x = 1-2sin2x-Neáu caàn bieán ñoåi cos4x-sin4x thì tuyø theo ñaàu baøi ta seõ söû duïng
moät trong caùc ñoàng nhaát sau: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.*Caàn chuù yù ñeán caùc ñoàng nhaát löôïng giaùc thöôøng gaëp khi giaûi
toaùn nhö: 1 ± sin2x = (sinx ± cosx)2
Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = 4
3sin4x
4
4cos3
2
2cos12sin
2
11sincos
2244 xx
xxx+=+=−=+
8
4cos35
4
2cos312sin
4
31sincos
2266 xx
xxx+=+=−=+
*Caàn chuù yù ñeán caùc soá haïng coù chöùa thöøa soá (cosx+sinx) laø: cos2x ; cos3x+sin3x ;
Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;
+
4sin2
πx ….Töông töï
ñoái vôùi caùc soá haïng coù chöùa thöø soá cosx-sinx.*Caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thöôøng ñöôïc tieán haønh theo
caùc höôùng sau: +Haï baäc phöông trình(neáu coù).
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 17 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
+Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï. -Neáu cuøng cung nhöng coøn hai haøm sin vaø coâsin thì thöôøng
bieán ñoåi veà ph. trình tích
(Söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö: ñaët nhaân töû chung,duøng haèng ñaúng thöùc,nhoùm haïng töû,nghieäm tam thöùc baäc hai)
-Neáu cuøng cung vaø coøn hai haøm sin ; coâsin vôùi baäc caùc haïng töû hôn,keùm nhau 2n (vôùi n laø soá töï nhieân) thì ta coù theå chia hai veá cuûa phöông trình cho coskx hoaëc sinkx (k laø baäc lôùn nhaát trong phöông trình) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng coøn chöùa duy nhaát haøm tang hoaëc coâtang cuûa moät cung roài tieán haønh ñaët aån phuï. *Khi ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình thì caùc baát ñaúng thöùc thöôøng ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng nhö: 1sin ≤x ; 1cos ≤x ;
22cossin baxbxa +≤+ ; 1cossincossin 22 =+≤± xxxx nm (vôùi 3,;, ≥∈ nmNnm )
-Ñoái vôùi phöông trình sinax ±sinbx = 2±
±=±±=
⇔1sin
1sin
bx
ax (daáu ±
laáy töông öùng)Töông töï ñoái vôùi caùc phöông trình : cosax ±cosbx = 1± ; sinax ±
cosbx = 2±
CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 18 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
+Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï. -Neáu cuøng cung nhöng coøn hai haøm sin vaø coâsin thì thöôøng
bieán ñoåi veà ph. trình tích
(Söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö: ñaët nhaân töû chung,duøng haèng ñaúng thöùc,nhoùm haïng töû,nghieäm tam thöùc baäc hai)
-Neáu cuøng cung vaø coøn hai haøm sin ; coâsin vôùi baäc caùc haïng töû hôn,keùm nhau 2n (vôùi n laø soá töï nhieân) thì ta coù theå chia hai veá cuûa phöông trình cho coskx hoaëc sinkx (k laø baäc lôùn nhaát trong phöông trình) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng coøn chöùa duy nhaát haøm tang hoaëc coâtang cuûa moät cung roài tieán haønh ñaët aån phuï. *Khi ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình thì caùc baát ñaúng thöùc thöôøng ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng nhö: 1sin ≤x ; 1cos ≤x ;
22cossin baxbxa +≤+ ; 1cossincossin 22 =+≤± xxxx nm (vôùi 3,;, ≥∈ nmNnm )
-Ñoái vôùi phöông trình sinax ±sinbx = 2±
±=±±=
⇔1sin
1sin
bx
ax (daáu ±
laáy töông öùng)Töông töï ñoái vôùi caùc phöông trình : cosax ±cosbx = 1± ; sinax ±
cosbx = 2±
CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 18 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
+Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï. -Neáu cuøng cung nhöng coøn hai haøm sin vaø coâsin thì thöôøng
bieán ñoåi veà ph. trình tích
(Söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö: ñaët nhaân töû chung,duøng haèng ñaúng thöùc,nhoùm haïng töû,nghieäm tam thöùc baäc hai)
-Neáu cuøng cung vaø coøn hai haøm sin ; coâsin vôùi baäc caùc haïng töû hôn,keùm nhau 2n (vôùi n laø soá töï nhieân) thì ta coù theå chia hai veá cuûa phöông trình cho coskx hoaëc sinkx (k laø baäc lôùn nhaát trong phöông trình) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng coøn chöùa duy nhaát haøm tang hoaëc coâtang cuûa moät cung roài tieán haønh ñaët aån phuï. *Khi ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình thì caùc baát ñaúng thöùc thöôøng ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng nhö: 1sin ≤x ; 1cos ≤x ;
22cossin baxbxa +≤+ ; 1cossincossin 22 =+≤± xxxx nm (vôùi 3,;, ≥∈ nmNnm )
-Ñoái vôùi phöông trình sinax ±sinbx = 2±
±=±±=
⇔1sin
1sin
bx
ax (daáu ±
laáy töông öùng)Töông töï ñoái vôùi caùc phöông trình : cosax ±cosbx = 1± ; sinax ±
cosbx = 2±
CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 18 Nguyễn Công Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
+Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï. -Neáu cuøng cung nhöng coøn hai haøm sin vaø coâsin thì thöôøng
bieán ñoåi veà ph. trình tích
(Söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhö: ñaët nhaân töû chung,duøng haèng ñaúng thöùc,nhoùm haïng töû,nghieäm tam thöùc baäc hai)
-Neáu cuøng cung vaø coøn hai haøm sin ; coâsin vôùi baäc caùc haïng töû hôn,keùm nhau 2n (vôùi n laø soá töï nhieân) thì ta coù theå chia hai veá cuûa phöông trình cho coskx hoaëc sinkx (k laø baäc lôùn nhaát trong phöông trình) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng coøn chöùa duy nhaát haøm tang hoaëc coâtang cuûa moät cung roài tieán haønh ñaët aån phuï. *Khi ñaùnh giaù hai veá cuûa phöông trình thì caùc baát ñaúng thöùc thöôøng ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng nhö: 1sin ≤x ; 1cos ≤x ;
22cossin baxbxa +≤+ ; 1cossincossin 22 =+≤± xxxx nm (vôùi 3,;, ≥∈ nmNnm )
-Ñoái vôùi phöông trình sinax ±sinbx = 2±
±=±±=
⇔1sin
1sin
bx
ax (daáu ±
laáy töông öùng)Töông töï ñoái vôùi caùc phöông trình : cosax ±cosbx = 1± ; sinax ±
cosbx = 2±
CHÚ Ý: Vì trong tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times . Vậy khi sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ!
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 18 Nguyễn Công Mậu