Upload
nguyenanh
View
221
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
INDICE
Introduccion……………………………………………………………………………………………………………………………… 3
Organización de los contenidos………………………………………………………………………………………………. 4
Significado de las operaciones y sus relaciones…………………………………………………………………….. 4
Orientaciones didacticas………………………………………………………………………………………………………….. 6
Evaluacion………………………………………………………………………………………………………………………………… 8
Propositos generales……………………………………………………………………………………………………………….. 10
Bloque I
Aspectos Historicos De los Sistemas Numericos……………………………………………………………………..
11
Bloque II
Los Numeros Enteros………………………………………………………………………………………………………………..
13
Bloque III
Numeros Racionales………………………………………………………………………………………………………………….
18
Bloque IV
Proporcionalidad………………………………………………………………………………………………………………………..
27
MATERIALES DE APOYO
Bloque I
Aspectos historicos de los sistemas numericos I…………………………………………………………………….
31
La intervencion de las cifra<s
Ifrah, Georges…………………………………………………………………………………………………………………………..
31
La numeracion de los sacerdotes mayas
Op cit. Pp 235-246……………………………………………………………………………………………………………………
70
A que se debe el enumaralismo
John allen paulos……………………………………………………………………………………………………………………….
83
Evocacion de anumerismos pasados
Op cit Pp 114-120…………………………………………………………………………………………………………………….
84
La educacion secundaria y la universitaria
Op cit Pp 120-126…………………………………………………………………………………………………………………….
88
La angustia matematica
Op cit Pp 137-139…………………………………………………………………………………………………………………….
90
Bloque III
Numeros Racionales………………………………………………………………………………………………………………….
92
Politica Economica y nacional
Paulos john allen……………………………………………………………………………………………………………………….
92
2
Lani guinier, la reina de los porcentajes
Paulos john allen……………………………………………………………………………………………………………………….
94
Las fracciones diferentes interpretaciones
Salvador linares Ciscar y Ma. Victoria Sanchez Garcia……………………………………………………………
98
La relacion parte de todo y medica
Op cit Pp 55-62…………………………………………………………………………………………………………………………
102
Las fracciones como cociente
Op cit Pp 63-67…………………………………………………………………………………………………………………………
108
La fraccion como razon
Op cit Pp 67-72…………………………………………………………………………………………………………………………
113
Las fracciones y los operadores
Op cit Pp 72-74…………………………………………………………………………………………………………………………
117
Una vision global de las fracciones
Op cit Pp 75-78………………………………………………………………………………………………………………………..
120
Bloque IV
Razones y proporciones…………………………………………………………………………………………………………….
124
Aspectos didacticos
Salvador linares Ciscar y Ma. Victoria Sanchez Garcia……………………………………………………………
124
3
INTRODUCCIÓN
La naturaleza misma de las matemáticas tiene como punto de partida los números y sus
operaciones; de hecho, a las matemáticas se les solía definir como "la ciencia del número y la
magnitud". Esto justifica que, desde sus orígenes y en los diferentes niveles educativos, el
curriculum de matemáticas se haya organizado en torno a las propiedades y el estudio de los
números.
La importancia de los números en la vida del ser humano es manifiesta pues, entre otras cosas, en
que le permiten cuantificar las múltiples actividades que realiza diariamente. Dichos números
también pueden ayudar al individuo en actividades no tan prácticas, como cuantificar distancias
astronómicas o cantidades de años que nos remiten al origen del hombre.
En general, podemos afirmar que, para el hombre de nuestros días, los números son
imprescindibles y su entendimiento y uso, esenciales.
El programa de Los números naturales y sus relaciones tiene la intención de hacer reflexionar al
profesor estudiante con aquellos problemas que le permitan detener su camino y lejos de grabar
en sus procesos las propiedades de los números, las ponga en juego para resolver una situación
como: Ejemplo para caso de razonamiento el tendero que cobra $ 1 234.50 por la mercancia de su
cliene, ante el contar por cinco ocasiones del pago, el cliente replica y pregunta que si todo está
bien, la respuesta del tendero es “mas o menos”, como puede advertirse, el campo de las
matemáticas no puede ni debe remitirse a este tipo de declaración, otro ejemplo que también
puede servir para los propósitos de este programa, es aquel que tiene que ver con la numeración
de las placas de algún vehículo, como DVD 1729; en la búsqueda de las relaciones que guardan los
dígitos de que se compone el número 17291 se encuentra que puede ser expresado como la suma
de dos cubos de dos maneras diferentes; de modo que estos y muchos otros problemas de la vida
normal de todo sujeto, pueden servir de base para el despliegue de la materia, objeto de estudio.
1 Existen dos posibilidades, una de ellas se represetna por 103 + 93 ¿podría Ud. encontrar la segunda?
4
ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS
Teniendo como antecedente lo anterior y partiendo de que los números y sus operaciones tienen
relevancia, lo mismo en actividades prácticas que teóricas, se sugiere que el estudio de los
números y sus relaciones se haga tomando en cuenta los siguientes aspectos fundamentales.
SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS, DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTADOS,
RELACIONES ENTRE ELLOS Y LOS SISTEMAS NUMÉRICOS.
En el proceso de entender el significado de los números, los estudiantes deben diferenciar y dar
sentido a números muy pequeños o muy grandes, ya que ambos se usan con frecuencia en la
información que aparece en los medios de comunicación referida a la población, la economía o la
ciencia. Para lo que en las diferentes interpretaciones de los números racionales (fracciones,
decimales, porcentajes, etc.) y se sugiere que su representación en una recta numérica lo que
ayudará a entenderlos de mejor manera.
Otro aspecto del proceso de entender los sistemas numéricos se relaciona con las propiedades de
los números enteros, tales como la divisibilidad, la descomposición en factores primos y las
propiedades de números primos. Un elemento adicional de mucha son las relaciones entre los
elementos del sistema.
En el caso de los números reales, la comprensión de la relación de orden es fundamental para
abordar una variedad amplia de problemas, que van de lo práctico a lo teórico, y es la base para
discutir las ideas fundamentales de lo que suele llamarse "matemáticas superiores", tal es el caso
de la relación que guardan las series para la determinación del enésmo número o la suma de dicha
serie, etcétera.
SIGNIFICADO DE LAS OPERACIONES Y SUS RELACIONES.
La comprensión del significado de las operaciones en los sistemas numéricos es el fundamento
para estudiar otras áreas de las matemáticas como el álgebra, la geometría y el cálculo, entre
otras, esto permitirá operar con otros sistemas algebraicos de gran utilidad, como pueden ser los
vectores, las matrices, etcétera.
En los aspectos prácticos, la comprensión de las propiedades de las operaciones tiene gran
utilidad. Por ejemplo, se puede usar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la
suma para simplificar o transformar cálculos (utilizar una doble distribución ayuda a comprender
5
mejor esta propiedad). También se puede usar e interpretar el sentido inverso de la suma y la
resta o de la multiplicación y la división para resolver problemas.
CALCULAR CON FLUIDEZ Y HACER APROXIMACIONES RAZONABLES.
Un aspecto de gran importancia al resolver problemas de matemáticas es poder decidir con "buen
criterio" si un determinado problema requiere de una solución más o menos precisa y cómo
obtenerla. También es importante poder desentrañar entre el uso de cálculos mentales, con
calculadora o computadora o usando solamente papel y lápiz. Por ejemplo, se requiere calcular
mentalmente, con fluidez y cierto grado de precisión, cuando hay que tomar decisiones, para hacer
alguna compra u otro tipo de operación.
El programa del curso se ha organizado en cuatro bloques temáticos que cuentan con actividades
sugeridas que los profesores responsables de conducirlo pueden enriquecer con base en su
experiencia.
6
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
LA IDEA DE PROBLEMATIZAR EL ESTUDIO DE LA DISCIPLINA
Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en
un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la
disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el
estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se
presentan de cierta forma. Lo anterior significa que las actividades deben presentarse en forma de
problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y
resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta
perspectiva, tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver
incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.
Por consiguente Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de
clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En
esta dinámica, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a
resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación.
Aparte al docente le corresponde analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el
potencial particular o general de éstos. Realizar actividades que ayudan a construir y mantener
una actitud crítica en el salón de clase. De tal manera que el papel del maestro es seleccionar y
presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. Asi
como tener considerar los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes. Y por
consiguiente no olvidar que aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere
una reflexión y acción continua acerca del que hacer o actividad matemática. Algunas preguntas
que llegan a ser rutina, en un curso que valore la resolución de problemas, y que juegan un papel
central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes.
Cabe entonces hacerse algunos cuestionamientos de reflexion:
¿He usado o identificado la información importante en el problema?
¿Estoy convencido de la forma de solución del problema?
¿Puedo convencer a otros compañeros?
¿He resuelto totalmente el problema?
¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución?
¿Se puede generalizar este resultado?
Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar
justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender
7
incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus
indagaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y
respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.
Otro aspecto de suma importancia es la forma de plantear los problemas y de organizar la
actividad de los alumnos influye directamente en las habilidades y capacidades que los estudiantes
desarrollan hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las
matemáticas, los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia
práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y
avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes en dicha problematizacion participan en una
búsqueda reflexiva y a su vez desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático.
Por lo tanto se recomienda que los temas no se presenten de manera separada, por el contrario,
se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo
los sistemas numéricos y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las
diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la
misma disciplina.
8
EVALUACIÓN
LOS NÚMEROS NATURALES Y SUS RELACIONES
Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los
contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes
categorías:
a) El desempeño actitudinal del participante
b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje
c) El diseño del curso
d) El desempeño del maestro estudiante durante las clases presenciales
En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: la
disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y
juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su
participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.
En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente
programa de Los números naturales y sus relaciones, como; la capacidad de análisis y síntesis, las
habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.
En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos
de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no
solo del maestro estudiante, sino también del profesor responsable del despliegue de la disciplina,
este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por
parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los
propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento,
habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos
implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al
alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos aquellos
aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y
planificación de actividades que tengan mayor consistencia.
Finalmente, en el último aspecto sugerido para la evaluación, conviene incorporar reflexiones que
tiendan a evaluar la asistencia y participación del maestro alumno, como: si las tareas solicitadas
se realizan en tiempo y forma; si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales
analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace
9
contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la información
que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedoso y relevante en las discusiones
generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional, etcétera.
Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro
estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones
pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.
10
PROPÓSITOS GENERALES
Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes
normalistas:
a) Adquieran bases sólidas en correspondencia con el estudio de los números y sus
relaciones, tanto para abordar los siguientes cursos de la especialidad como para realizar
un trabajo docente de calidad.
b) Adquieran elementos para analizar situaciones de estudio relacionadas con el significado de
los números, sus relaciones y operaciones, que resulten adecuadas para los estudiantes de
secundaria.
c) Desarrollen habilidades para resolver problemas en diferentes contextos, con base en el
conocimiento de los números y sus relaciones.
11
BLOQUE I
ASPECTOS HISTÓRICOS DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS
PROPÓSITOS
a) Discutir y analizar el concepto de número.
b) Establecer las relaciones de los números, el lenguaje y origen del conteo
c) Establecer las propiedades de la composición de las cifras
d) Revizar la evolución de sistemas de numeración, como: el sistema de numeración romano
y sus propiedades de escritura y lectura, así mismo, el sistema de numeración egipcio y los
símiles que guardan con el sistema de numeración decimal y aquellos sistemas de
numeración que dierón su origen, como el Sistema Babilónico y Maya, respectivamente
TEMAS
1. Origen del concepto de número.
2. Números, lenguaje y el origen del conteo y las cifras.
3. Sistemas de numeración (romano, decimal, egipcio, babilónico y maya): su evolución.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Ifrah, Gerard. Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial, (1988)
Paulos, John Allen. El hombre anumérico, el anafabetismo matemático y sus consecuencias,
Tusquets Editorial, España 2000
Alarcón, J. et al., Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP, (2002)
SEP, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México, (2001)
ACTIVIDADES SUGERIDAS
Los estudiantes pueden formar equipos para leer los capítulos del libro de Ifrah. En el salón de
clase, los equipos reportarán sus trabajos y señalarán las cuestiones relevantes vinculadas con los
temas propuestos. Pueden abordar preguntas como las siguientes:
¿Cuáles son las ventajas de calcular en base 10 en relación con otros sistemas? ¿Cuál es la
representación de 12 345.75 en el sistema binario?
12
Organizados en pequeños grupos colaborativos, resuelvan el tema I de primer grado del Fichero de
actividades didácticas, página 10 – 11.
Agrupados en pequeños grupos colaborativos, pueden analizar las lecturas correspondientes a
John Allan Paulos; tales como:
a) ¿A qué se debe el anumerismo?
b) Evocación de anumerismos pasados
c) La educación secundaria y la universitaria
d) La angustia matemática
Se tienen dos números, tales que al sumar
las cifras del cuadrado de uno da como
resutltado 13 y la suma de las cifras del
cuadrado del otro es 16, ¿cuáles son los
números?
Luego de discernir el contenido de las lecturas, discutan las conclusiones obtenidas respecto de los
elementos relevantes que hacen que el hombre adquiera la característica de anumérico presente al
grupo la relevancia de los temas estudiados.
De acuerdo con las lecturas de Paulos, redacte una propuesta que favorezca:
a) La epistemofilia de las
matemáticas
b) La concepción del
número
c) La certidumbre en el
planteamiento de un
problema
Justifique las siguientes sumas utilizadas por un sistema de pago de
una deuda de $ 50.00:
Pagó 20 y quedó debiendo 30
“ 15 “ 15
“ 10 “ 5
“ 5 “ 0
Suma 50 Suma 50
Pagó 20 y quedó debiendo 30
“ 18 “ 12
“ 3 “ 9
“ 9 “ 0
Suma 50 Suma 51
13
BLOQUE II
LOS NÚMEROS ENTEROS
PROPÓSITO
Al término de las actividades propuestas en el presente bloque, el profesor estudiante será capaz
de:
a) Establecer el concepto de número y sus propiedades
b) Relacionar el concto de número y sus propiedades a las operaciones básicas
c) Analizar el Teorema fundamental de la aritmética, tal que permita abordar los princios de
divisivilidad, MCD, mcm, múltiplos, y lo relacionado con los números primos
d) Establezca el comportamiento para llegar a criterios de divisibilidad relaciondados con 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 y 10
e) Compare el comportamiento general de los números naturales para el establecimiento del
orden y comparación de los mismos y,
f) Concluya con los principios básicos de conteo (diagrama de árbol y arreglos rectangulares)
TEMAS
1. Los números enteros y las propiedades de las operaciones
de suma y producto.
2. Divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común
múltiplo, números primos y el Teorema Fundamental de la
Aritmética.
3. Algunos criterios de divisibilidad (divisibilidad por 2, 3, 5,
11).
4. Los enteros en la recta numérica.
5. Orden en los números enteros.
6. Algunos principios de conteo.
Exprese los números
enteros consecutivos, 1, 2,
3, … con solo cuatro cuatros
14
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
ACTIVIDADES SUGERIDAS
1. Una propiedad importante de los
números enteros es el concepto de
números consecutivos, que son aquellos
cuya diferencia es 1 o -1. Por ejemplo, 10
y 11 son consecutivos; -110, -111. Con
esta idea se pregunta: ¿es 4 suma de dos
números consecutivos? Para contestar se
puede empezar ensayando algunos casos,
por ejemplo: 1 y 2 no suman 4; 2 y 3
tampoco. ¿Podemos concluir que 4 no es
la suma de dos números consecutivos?
¿Por qué? ¿Será un número par la suma
de dos números consecutivos? Dos
números consecutivos tienen la propiedad
de que uno es par y el otro es impar, por
lo que al sumarlos se obtiene un número
impar. De esta discusión se tiene que los
números pares no son la suma de dos
números consecutivos. Se formula la
misma pregunta para números impares.
Un número impar es de la forma 2n+1 y
ésta representación es claramente la
suma de dos consecutivos. Con esta
misma idea se pregunta: ¿es un número
impar la suma de tres consecutivos? La
suma de tres números consecutivos es de
la forma n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3
(n+1). De este modelo se tiene que para
En las ralaciones de los números, se
considera que un “número perfecto” es aquel
que al sumar sus divisores, excluyendo el
número, tiene como resutlado el mismo
número, de modo que 6, por ejemplo es un
“número perfecto” ya que la suma de sus
divisores 1, 2 y 3 tiene como resultado el 6,
es decir, 1 + 2+ 3 = 6.
¿Podría citar los número perfectos que se encuentran del 1 al 500? Y explicar la estrategia que siguió para la búsqueda de ésos
15
que un número sea la suma de tres
consecutivos se requiere que lo divida la
cifra 3. ¿Qué condición se requiere para
que un número entero sea la suma de 4,
5, 6, etcétera, números consecutivos?
¿Puede un número dado ser la suma de 2,
3, 4, 5 números consecutivos?
Los estudiantes pueden formar equipos
para hacer una discusión de las preguntas
planteadas. El profesor puede guiar la
discusión para profundizar en el estudio
de propiedades de divisibilidad y
factorización de enteros en primos
haciendo preguntas como las siguientes:
a) ¿Cuántos factores primos puede
tener un número menor que 100?
b) ¿Cuáles son los números menores
que 100 cuyos factores primos
son todos diferentes?
c) ¿Habrá un número primo que sea
mayor que todos los otros
números primos?
Si el número 2n +1 es primo,
a) ¿tendrá n factores impares
diferentes de uno?
2. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Encontrar dos factores de 100 tales
que ninguno sea divisible por 10. Una forma de abordar el problema es encontrando diferentes
factores de 100, por ejemplo 2 y 50, pero uno de ellos no cumple las condiciones pedidas. Otros
posibles factores son 4 y 25, los cuales sí satisfacen las condiciones deseadas. Se debe notar que
al factorizar 100 como producto de números primos se tiene: 100 = 22 * 52. Con esta
16
representación, la solución al problema planteado se puede dar casi directamente. El problema se
puede extender al caso 1 000 000.
3. El profesor puede pedir a los estudiantes que formulen problemas que extiendan al anterior. Por
ejemplo, el número 1 296 es divisible por 6 y justificar su respuesta. La respuesta debe ser dada
sin hacer la división. ¿Puede encontrar dos factores que dividan a 1 296 y que no sean divisibles
por 6? ¿Cómo se formula un problema en donde intervengan los primos 2 y 7?.
Para abordar estos problemas, los estudiantes se pueden auxiliar de alguna calculadora que
factorice enteros, también puede pedirles a los estudiantes que registren una cantidad compuesta
por 3 cifras cualesquiera, que las repitan y justifiquen por qué esa cantidad es divisible por 7, 11 y
13, de modo que si la cantidad es 467, al repetirla se construye otra: 467 467 tal que 467 467 ÷ 7
= 66 781; 467 467 ÷ 11 = 42 497; 467 467 ÷ 13 = 35 959; encontrar el modelo que da
respuesta a este tipo de relaciones funcionales enriquece el concepto de número y por otro lado,
están presentes las propiedades de divisibilidad.
4. Resuelvan los siguientes problemas del Libro para el maestro de matemáticas: problemas 2 y 9
(p. 92) y problemas 6 y 7 (p. 95).
5. En relación con los problemas que involucran a los números enteros, se tienen aquellos en
donde se aplican propiedades que derivan de dividir enteros y dejan resto. Estos problemas dan
origen a lo que se llama "aritmética modular". Un par de buenos ejemplos que ilustran esto son los
problemas 8 y 10 (p. 95) del Libro para el maestro.
6. Con frecuencia se encuentran situaciones en que se debe determinar el número de posibles
formas de agrupar objetos o personas de una manera determinada. Por ejemplo:
se tiene un grupo de cinco personas de las cuales se han de elegir un presidente y un secretario
que los representen semanalmente. ¿De cuántas formas se pueden nombrar los representantes?
¿Cuántas semanas habrán transcurrido antes de que se repitan los mismos representantes?
Posibles formas de solución. Los estudiantes pueden simular la situación y elegir algunas formas
de representar la información. Por ejemplo:
Se pueden formar parejas con las iniciales de los nombres, con facilidad pueden suponer que las
iniciales son: A, B, C, D y E. Ahora, ilustrar en una tabla las diferentes parejas posibles que se
forman y, a la vez, una forma eficiente de contarlas.
17
(A, B) (A, C) (A, D) (A, E)
Ss (B, C) (B, D) (B, E)
Ss Ss (C, D) (C, E)
Ss Ss Ss (D, E)
Si ahora se tiene un grupo de n personas y a los miembros del grupo se les asigna un número del
1 hasta n y se pregunta: ¿de cuántas formas se pueden nombrar a los representantes?
Notemos que el número 1 puede formar pareja con 2, 3,..., n, de lo cual contamos n-1 parejas, el
2 forma pareja con 3, 4, 5,... n (el 1 ya fue incluido antes). Con el auxilio de una tabla se puede
"ver" que el número de parejas es (n-1) + (n-2) + ... + 1. ¿A qué es igual esta suma? ¿Encuentra
una forma isomorfa de este problema? Esta actividad se puede extender al caso en que se tenga
que elegir k representantes de un total de n.
7. (Cálculo de cuadrados.) Con cierta frecuencia se requiere calcular el cuadrado de números
enteros que terminan en cinco. Por ejemplo 152, 252, etcétera. Calculando estos cuadrados se
observa que el resultado termina en 25, es decir 152 = 225, 252 = 625. ¿Hay una regla que ayude
a determinar los cuadrados de números enteros que terminan en 5?; discutir con el grupo de
estudiantes si esta regla permite el cálculo de cuadrados en otros contextos, es decir, para
cualquier número, incrementa el acervo y permite la concresión de las reglas de las probabilidades
El profesor puede pedir a los estudiantes que experimenten con más enteros del tipo pedido para
observar el comportamiento. Una vez hecho esto, puede preguntar si es posible formular y probar
el resultado que han observado. (Sugerencia: un entero que termina en 5 es de la forma 10n+5).
8. Realicen las actividades del tema 3 y del tema 4 de primer grado del Fichero de actividades
didácticas (Pp. 14 – 17)
18
BLOQUE III
NÚMEROS RACIONALES
PROPÓSITO
Al término de las actividades propuestas en el presente bloque, el profesor estudiante será capaz
de:
a) Analizar el comportamiento de los números decimales como resultado de la comparación
de dos enteros y concluir con la lectura y escritura de los mismos
b) Operar con la represetnación comparativa de dos enteros en formabásica, asociada a
contextos de la vida real
c) Asociar el comprtamiento de los números decimales en otros contextos, como: operador,
parte todo, razón interna, y por ciento
d) Establecer el criterio para el orden y comparación de la razón interna de varios números
enteros, así como sus propiedades
e) Establecer el cirterio para las diferentes representaciones de los números decimales y,
f) Comprender y aplicar la distribución sencilla y doble para la simplicación de cálculos
asociados a las representaciones de las fracciones decimales
TEMAS
1. Lectura y escritura de números decimales y su representación en la recta numérica.
2. Operaciones con decimales (cálculo mental, algoritmos y aproximaciones).
3. Decimales periódicos.
4. Diferentes representaciones de los números racionales: decimales, cociente de enteros y
por ciento.
5. Propiedades de las operaciones en los números racionales.
6. Orden en los números racionales.
7. Uso de números racionales para representar cantidades en la recta numérica.
8. Uso de las propiedades asociativa y distributiva de las operaciones para simplificar
cálculos.
19
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
Llinares, S. y V. Sánchez (1988), "Las fracciones: diferentes interpretaciones", en Fracciones,
Madrid, Síntesis, pp. 51-78.
ACTIVIDADES SUGERIDAS
Antes de iniciar con el trabajo propio del bloque, se recomienda el anális de las lecturas de John
Allen Paulos, Política, economía y nacional además, Lani Guinier, la reina de los porcentajes, el
propósito es entrar en materia de análisis de los diferentes contrextos de las fracciones y las
interpretaciones que nos ofrece, así mismo, los beneficios que reporta trabajar con este tipo de
análisis.
El profesor puede pedir a los estudiantes que redacten un informe en el que consignen los aspectos
más relevantes que toca John Allen Paulos (individual o por pequeños grupos de trabajo).
1. Coméntese en el grupo el contenido de las lecturas de Salvador Llinares Ciscar y Ma. Victoria
Sánchez García:
a. La existencia de diferentes interpretaciones de las fracciones
b. La relación parte-todo y medida
c. Las fracciones como cociente
d. La fracción como razón
e. Las fracciones como operadores
f. Una visión global de las fracciones
El profesor puede pedir a los estudiantes que redacten un informe en el que destaque, explicitando
los puntos centrales de cada una de las lecturas
2. La comprensión de las diferentes representaciones de los números es fundamental para que los
estudiantes puedan comunicar e interpretar con el lenguaje matemático y resuelvan una variedad
de problemas. Cada representación puede ofrecer ventajas o desventajas para analizar o entender
situaciones. Así, los estudiantes deben utilizar diversos tipos de representación de fracciones,
decimales y porcentajes. Por ejemplo, el profesor puede plantear preguntas como las siguientes:
20
a) ¿Cómo es más conveniente escribir 50
11
100
22u en un cheque?
b) ¿Puede explicar por qué las siguientes representaciones 20
3,
100
15, 0.15 y 15% corresponden
al mismo número?
c) ¿Puede identificar problemas o situaciones en las que el uso de cada una de estas
representaciones sea la más adecuada?
d) ¿Cómo se expresa la probabilidad de sacar una bola blanca de una bolsa que contiene 20
bolas con igual probabilidad?
e) ¿Cómo representa el descuento que tiene un determinado producto?
3. Los modelos que involucran áreas pueden ser de utilidad para que los estudiantes visualicen el
sentido de los números. En las siguientes representaciones se observa que las fracciones 3
2
12
8y
son equivalentes y pueden representar áreas. ¿Cómo se explica esto geométricamente? En la
multiplicación (1.2) x (1.4),
• ¿Cuál es el significado geométrico?
• ¿Cómo se puede representar gráficamente el 80% de 20?
4. De la siguiente lista, seleccionen aquellos números que sean racionales. Expliquen por qué:
1.3434; - 5.6; 1.121121112î...; 3
2; 0; 25%;
)39(7
2−;
5. En una gran variedad de problemas reales se requiere obtener respuestas aproximadas. Para
comentar este aspecto, el profesor puede plantear los siguientes problemas:
21
Las dimensiones de un terreno rectangular son 40.15 y 60.25 metros.
• ¿Cuál es el área aproximada del terreno?, también puede hacer la pregunta ¿cuál es la
mayor área que alcanza dicho terreno?, (con la respueta se va induciendo al alumno hacia
la razón de cambio)
• ¿Cuál es el resultado aproximado de sumar 1516
87
y ?
• ¿Cuál es el valor aproximado de la diagonal de un cuadrado de lado 4?
• ¿Dicha diagonal, es >, ≥, <, ≤ ó = que 6?
Al contestar a las preguntas planteadas, el maestro puede orientar una revisión de las propiedades
y operaciones con fracciones, áreas de cuadrados y el teorema de pitágoras. Y comprobar que el
modelo para el cálculo de la diagonal de cualquier cuadrilátero, representa un patrón numérico
operacional y cumple con la condición esperada: por ejemplo, analizar el teorema de pitágoras en
diferentes contextos como:
o en su defecto el cálculo de las diagonales de cualquier cuadrilátero, como:
22
6. Otra situación en donde los métodos de aproximación juegan un papel importante es la
siguiente:
• ¿Qué proceso se puede utilizar para estimar 64.6 x 0.16?
Una forma de realizar esta estimación es observar que los números 64 y 16 se pueden expresar
como potencias de 2 y aprovechar esta propiedad para operar con 26 x 24 = 210 y, después, al
resultado (1 024) colocarle el punto decimal en el lugar correspondiente 10.24.
¿Cómo se aproxima 482 x 50.2? Aquí, por ejemplo, se puede aproximar usando la operación: 482
x 2
1 x 100 de lo que resulta 24 100.
El redondeo, la distributividad y el uso de potencias de dos son las estrategias que ayudaron a
realizar las operaciones anteriores.
La estimación es una habilidad fundamental que los estudiantes deben desarrollar y forma parte de
las propiedades de los números.
El contexto de la pregunta o problema desempeña un papel importante en la forma de estimar. Por
ejemplo:
Si han de comprarse 35 artículos a un precio de $45 pesos cada uno y se desea saber si se tiene
suficiente dinero para comprarlos, entonces el número 40 x 40 = 1 600 da una idea de la cantidad
de dinero que se necesita.
Otra situación análoga a la anterior puede ser: Si se va a pintar una superficie de 35 x 45 metros,
entonces 1 600 sería una buena estimación.
En general, para estimar el resultado de alguna operación se realiza un cálculo mental teniendo en
cuenta números aproximados a los originales. Aquí es importante discutir lo razonable de la
respuesta. Otra variante de la estimación se relaciona con el proceso de estimar mediciones, es
decir, llegar a una medición sin utilizar herramientas para medir, por ejemplo, la estimación del
área de una habitación.
23
El tema de aproximaciones está lleno de ejemplos de la vida diaria. Por ejemplo,
• ¿Cuánta basura se recolecta en tu casa cada semana?
• ¿Cuánta agua se consume diariamente en tu casa?, etcétera.
Nótese que, en estas situaciones, el estudiante tiene que aportar cierta información y asumir una
serie de condiciones que le permitan plantear y llevar a cabo un plan de solución (una estrategia
de solución). Estos problemas se pueden abordar de distintas maneras y una forma de evaluar la
respuesta es comparando (con sus compañeros) las soluciones que se obtengan en esos diversos
caminos.
7. El maestro debe utilizar actividades de estudio en las que los estudiantes exploren propiedades
de los números. A continuación se presentan algunos aspectos que son importantes durante el
proceso de resolver problemas:
• Usar diferentes representaciones de los números y reconocer cuando una representación
es más útil que otra. Por ejemplo, observar que 12 x 15 puede fácilmente operarse como 6
x 30, o que 12 x 25 puede calcularse como un cuarto de 12 y multiplicar el resultado por
100 (ya que 25 es 4
100).
• Reconocer la magnitud relativa de los números. Por ejemplo, saber que 3
1 es mayor que
4
1
y que la diferencia entre 3 y 5 es la misma que la diferencia entre 123 y 125;
relativamente, cuando los números son más grandes, el significado de la diferencia puede
variar.
• Usar números de referencia para comparar cantidades. Por ejemplo, puede usar el 1 como
referencia para reconocer que la suma de 8
7 y
10
9 debe ser un poco menos que 2, ya que
cada fracción es un poco menos que 1.
• Conectar entre los números, operaciones y relaciones entre símbolos. Por ejemplo:
reconocer que 365 ÷ 0.69 será un número mayor que 365, o que la diferencia entre $6 y
$2.85 se puede encontrar restando 2 (que da 4) y quitando otros 85¢ o sumando 85¢ a
$2.85, y sumarlos a $3.00
24
• Reconocer los efectos de las operaciones. Por ejemplo, explicar qué le ocurre a un número
cuando se multiplica por 0.5 o cuando se divide por un número entre 0 y 1. O con la
información representada en la recta, ¿qué número (de los allí representados) está más
cerca de: ab, f
1, h y e?
• Reconocer cuando una estimación es apropiada. Por ejemplo, explicar si la suma de dos
números de dos dígitos es más o menos que 100. ¿Cuántas cifras o dígitos contienen dos
números consecutivos cuyo producto sea 4 160?
• Utilizar diferentes estrategias para aproximar resultados. Por ejemplo, ¿aproximadamente
cuántas personas caben en la Plaza de Armas de la Cd. de Chihuahua? Es una pregunta
que puede ser contestada a partir de estimar las dimensiones de la Plaza y dividirla en
cuartos, y estimar esa porción para después multiplicar ese número por cuatro. Otra
estrategia podría ser la estimación de cuantas personas entran en alguna fila en un lado de
la plaza y después estimar el número de filas. La idea de utilizar diversas estrategias ayuda
a contrastar las respuestas que se obtengan.
8. Resolver las actividades del tema 6 (Pp. 20 – 21) y del tema 8 (Pp. 24 – 25) de primer grado
del Fichero de actividades didácticas.
9. Orden y comparación. Una de las propiedades más importantes en los números (enteros,
racionales y reales) es la relación de orden. Con las propiedades de ésta se puede abordar una
gama muy amplia de problemas prácticos y teóricos (usualmente hay que comparar para tomar
decisiones). Para abordar este aspecto, el maestro puede plantear los siguientes problemas:
Si a es un número positivo, ¿qué tan pequeño es S = a + a1
?
Posible forma de solución:
Para darnos una idea de la posible respuesta tomemos algunos casos particulares. Por ejemplo, si
a = 1, S = 2.
25
Si a = 3
1, S =
3
1+ 3 2.
Si a = 4
5, S =
4
5 +
5
4 = 1 +
4
1 +
5
4 1 +
5
1 +
5
4 = 2.
Con estos datos se puede conjeturar que S 2 para todo a positivo.
¿Cómo se puede justificar la conjetura?
Notemos que:
S = a + a1
= a
a 12 + y la conjetura equivale a:
aa 12 +
2
Como a es un número positivo, la última desigualdad es equivalente a: a2 + 1 2a, y esto a la
vez equivale a: a2 + 1 - 2a = (a-1)2 0, lo cual es cierto.
Otros problemas:
¿Cuál de los siguientes números 1011 u 1110 es mayor?
De la cual pueden partir algunas condiciones para que satisfacer la otra situación por considerar es
comparar números muy pequeños.
Por ejemplo, ¿Cuál de los siguientes números es más pequeño?: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
33
1,
152
1.
Dos pasteles idénticos han sido divididos en 5 y 9 partes iguales. Se te propone decidir entre
recibir tres pedazos del que ha sido dividido en 5 partes o 4 pedazos del que se dividió en 9 partes.
¿Qué parte seleccionarías? (Argumenta tu respuesta)
10. Números racionales. Cuando se toma una unidad de medida se divide ésta en b partes iguales
y se toma algún número a de esas b partes de la unidad, entonces se puede hablar de una de esas
partes de la unidad dada. La expresión b
a es una forma de escribir el número racional formado por
algún número de subunidades.
Nótese que 2
π no es un número racional (pues no es cociente de enteros) pero puede ser escrito
como una fracción.
26
Para abordar este aspecto se plantea los siguientes problemas.
Tome como unidad, u = 3
1 represente en la recta numérica
2
5 de u. ¿Cuál es la diferencia
geométrica entre tomar u = 3
1 y u = 1 al representar
2
5 de u?
Usando la siguiente figura u otra similar, el maestro pedirá a los alumnos que expliquen por qué
cada una de las partes sombreadas representa 4
1.
Deben notar que sin importar el tamaño de las piezas, sus colores, formas, arreglos o cualquier
otra característica física, 4
1 representa la parte sombreada. La actividad puede ser extendida
usando otro tipo de representaciones tanto gráficas como numéricas.
11. Organizados en equipos, leer el artículo que se sugiere en la bibliografía y tratar de establecer
las características de cada una de las cuatro interpretaciones de la fracción que en él se sugieren.
Por equipos, diseñen cuatro problemas en los que se pueda distinguir el uso de las fracciones como
expresión de una cantidad, como operador, como cociente y como razón. En trabajo colectivo,
analicen los problemas diseñados.
27
BLOQUE IV
PROPORCIONALIDAD
PROPÓSITO
Al término de las actividades propuestas en el presente bloque, el profesor estudiante será capaz
de:
a. Encontrar las regularidades que ofrece la geometría para el comprtamiento de las razones
en la medición dadas en diferentes contextos, como, la economía, la Biología, la Física,
etcétera
b. Establecer el principio fiundamental de la proporcionalidad, como resultado de las razones,
como: propocionalidad sencilla y múltiple.
c. Analizar la variación en el comportamiento geométrico como corolario de la
proporcionalidad, así como la conclusión de que la proporcionalidad represetna una línea
recta en el plano
TEMAS
1. Razones y medición.
2. Proporcionalidad y variación.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Fiol Mora, María Luisa y Fortuny Aymemí, Josep María. Proporcionalidad directa. La forma y el
número. Ed. Síntesis, Madrid 1990.
Escareño, Fortuny y Rojano, Teresa. Álgebra. Editorial Iberaamericana, México, 2003.
Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
28
ACTIVIDADES SUGERIDAS
1-RAZONAMIENTO PROPORCIONAL
Seis albañiles construyen una barda en tres días. Si todos trabajan con la misma rapidez:
a) ¿cuántos albañiles más se necesitan para construir la misma barda en un día?
b) ¿Cuál es la razón de hombres a mujeres en un pueblo donde 2/3 de los hombres están
casados con 3/4 de las mujeres?.
Se asume que los matrimonios se permiten solamente entre un hombre y una mujer.
Para el primer problema se observa que al aumentar el número de albañiles, el número de días
para la construcción de la barda disminuye. Si todos trabajan con la misma rapidez, entonces un
albañil realiza cada día 1/8 del trabajo. Por lo tanto se necesitan 18 albañiles para terminar la
barda en un día.
El segundo problema se puede representar de la siguiente manera:
Los alumnos pueden usar diferentes representaciones para ilustrar el manejo de la información.
Por ejemplo, una figura como la siguiente les permite analizar la segunda pregunta planteada
arriba.
Se observa que la razón de mujeres a hombres es de 9
8 o de hombres a mujeres es de
9
8
29
2- Una fábrica de componentes de computadoras produce 100 000 piezas con 10 máquinas
trabajando 8 horas diarias durante 7 días. Si se incorporan 6 máquinas a la producción, ¿en cuánto
tiempo se producirán las 100 000 piezas?
El total de horas que trabaja cada máquina es 8 x 7 = 56 horas, y cada máquina produce 10
000100
= 10 000 piezas.
Con esta información se tiene que cada máquina produce 56
00010 piezas por hora.
Las 16 máquinas producen 56
00010 piezas por hora. Si t denota el tiempo que tardan las máquinas
en producir 100 000 piezas se debe tener: 56
00010t = 100 000.
De esto último se tiene que el valor de t = 35 horas.
El profesor puede utilizar el problema anterior para hacer una discusión con los estudiantes en
donde se planteen situaciones como la siguiente:
Una compañía, para transportar una cierta cantidad de materia prima utiliza 3 camiones y le toma
7 días (sólo puede hacer un viaje por día cada camión). En condiciones de emergencia solamente
dispone de 3 días. ¿Cuántos camiones del mismo tipo son necesarios para transportar la materia
prima?.
Estas situaciones ocurren con cierta frecuencia. Por lo tanto es recomendable que el profesor pida
a los estudiantes que ellos propongan problemas análogos.
3- Resolver los problemas del tema 13 para primer grado del Fichero de actividades didácticas.
30
MMAATTEERRIIAALL
DDEE
AAPPOOYYOO
31
BLOQUE I
ASPECTOS
HISTÓRICOS
DE LOS SISTEMAS
DE NUMÉRICOS
LA INVENCIÓN DE LAS CIFRAS2
Ifrah, Georges3.
n la historia de la humanidad se han
producido dos acontecimientos tan
revolucionarios como el dominio del
fuego, el desarrollo de la agricultura o la
eclosión4 del urbanismo y de la tecnología,
nos referimos a la invención de la escritura y
a la del cero y de las llamadas cifras árabes
pues, como las otras, estas invenciones han
cambiado por completo la existencia de
losnvenciones han
2 En Ifrah, Georges. Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial, (1988), Pp. y 125 – 171 (SUGERENCIA PARA EL PROFESOR ESTUDIANTE leer la obra completa) 3 Doctor en Matemáticas originario de Francia, Paris, autor de varias obras que tienen que ver con la invención de las cifras, como: La saga du calcul, de primirif a la calculatrice programmable revolutionnarie 4 f. Galicismo por brote, relativo a nacimiento o aparición
cambiado por completo la existencia de los
seres humanos.
La escritura no ha sido solo inventada para
responder a las necesidades de
representación visual y de memorización del
pensamiento (experimentadas por cualquier
individuo que viva en un grupo social
avanzado), sino también, y principalmente,
para anotar el lenguaje articulado.
En efecto, la escritura es un notable medio
de expresión y de comunicación duraderas,
que ofrece a cada usuario la posibilidad de
mantener un testimonio permanente de una
o varias palabras ausentes. Es, como decía
Volataire, la pintura de la voz.
Pero la escritura es mucho más que un
instrumento. “Al reproducir la palabra muda ,
no solo la conserva, sino que además plasma
E
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS
Ifrah, Georges3
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
32
el pensamiento que, hasta ahí, no era más
que mera probabilidad. Los trazaos más
sencillos dibujados por el hombre en la
piedra o en el papel no son tan solo un
medio, sino que también se encierran y
resucitan su pensamiento en todo momento.
La escritura, por encima de una forma de
inmovilización del lenguaje, es un nuevo
lenguaje, mudo desde luego, pero que al
transcribir el pensamiento lo disciplina y
organiza. La escritura no solo es un
procedimiento destinado a fijar la palabra y
un medio de expresión permanente, sino que
también da directamente acceso al mundo de
las ideas; reproduce el lenguaje articulado y
permite además aprehender el pensamiento
y hacerle atravezar el espacio y el tiempo
(Ch. Higounet5)
Esta invención ha hecho posible que en la
actualidad pasemos infinidad de datos sobre
determinadas culturas enterradas en las
noches de los tiempos, y que la palabra o el
pensamiento –extinguidos para siempre- de
alguno de nuestros predecesores nos hayan
llegado a través de cientos o miles de años
de historia y de civilizaciones.
En cuanto a la segunda invención, ha sido
hecha para permitir una notación
perfectamente coherente de todos los
numeros, y para que cualquiera (incluso las
mentes menos dotadas para la aritmética)
pueda efectuar cualquier tipo de cálculos sin
5 L´Ecriture. “Que sais-je?”, num. 653. Presses Universiataires de Francia, París, 1969
recurrir a auxiliares como la mano, el
marcador o la tabla de calcular. El cero y
nuestras cifras modernas figuran, al igual que
la escritura, entre las mas poderosas
herramientas intelectuales de que dispone
hoy el hombre. Gracias a esos
descubrimientos se han podido realizar
algunos cálculos que durante milenios fueron
irrealizables y desde ese momento quedó
abierto el camino para el desarrollo de las
matemáticas, de las técnicas y de todas las
demas ciencias.
Pero, por supuesto, este descubrimiento
fundamental no surgió de repente, cual un
presente ofrecido por un Dios civilizador o un
héroe. Tiene un origen y una larga historia.
Apareció poco a poco, tras varios milenios
plagados de ensayos y tanteos, de
fulgurantes avances y estancamientos, e
incluso de retrocesos y de revoluciones. Todo
ha transcurrido como si , a lo largo de los
siglos y a través de las distintas
civilizaciones, la humanidad hubiera
experimentado con las diferentes soluciones
al problema de la representación y del
manejo de los números, antes de seleccionar
aquella que resultase ser la más perfecta y
eficaz posible.
Esta historia empezó hace algo más de cinco
mil años en algunas sociedades avanzadas y
en plena expansión que se vieron abligadas a
realizar operaciones económicas demasiadas
numerosas y variadas como para confiarlas
únicamente a la memoria humana. Estas
sociedades, que habían utilizado
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
33
procedimientos concretosy arcaicos y que
desde hacía algún tiempo necesitaban
retener en la memoria de forma duradera los
recuentos, comprendieron que era necesario
encontrar un método totalmente distinto. Y
que para ello, se les ocurrió representar los
números mediante signos gráficos:
inventaron las cifras.
Una vez más los guijarros han desempéñado
un papel importantisimo en esta historia.
Cuando se adquirió el uso de la base diez,
por ejemplo, se cogieron guijarros de
dimensiones variadas y según su tamaño se
les atribuyeron distintos ordenes de unidad:
una piedrecilla para la
unidad, un guijarro algo mayor para la
decena, otro mucho mayor para la centena y
un guijarro aún mayor para el millar, y asi
sucesivamente. Seguidamente, para
representar los números intermedios se
limitaron a los guijarros-patrones que fuesen
necesarios, por ejemplo, para el número 486,
cuatro grandes, ocho medianos y seis
pequeños.
Era un método práctico, pero todavía
insuficientemente adaptado, porque no
siempre es fácil encontrar guijarros de
tamaños y formas regulares.
Por tanto, el sistema se fue perfeccionando.
En lugar de coger guijarros, algunos pueblos
utilizaron tierra blanda. Para representar los
distintos órdenes de unidades de sus
sistemas de numeración, modelaron
pequeños objetos de tamaños y formas
geométricas variadas: Pequeños conos o
bastoncillos de arcilla, para las unidades del
primer orden, bolas para las de segundo
orden, discos o conos grandes para las del
tercer orden, esferas para las del cuarto, etc.
Estas fichas de arcilla (que los especialistas
designan normalmente con el nombre latino
de calculi) han sido halladas en numerosos
yacimientos arqueológicos del Cercano
Oriente (de Jartum a Jericó y de Turquía a
Irán). Corresponden a un período que se
extienden desde el lx al ll milenio antes de
nuestra era.
Pero si este sistema ha satisfecho las
necesidades numéricas puramente
operacionales, esto en modo alguno ha
bastado para satisfacer las múltiples
necesidades creadas por la creciente
industria ganadera y agricola, por el
desarrollo de las artesanía o incluso por los
intercambios comerciales cada día más
numerosos.
Los responsables de las antiguas
civilizaciones sumeria y elamita elaboraron,
a mediados del lV milenio antes de J.C., un
sistema contable que les permitió superar las
dificultades por algún tiempo...
Nos
encontramos
cerca del golfo
arábigo-pérsico,
aproximadamen
te hacia el 3
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
34
500 antes de J.C., en dos regiones vecinas
situadas respectivamente en Irak y en Irán:
los paises de Sumer y de Elam. Son
civilizaciones semejantes pero rivales,
avanzadas y ya muy urbanizadas. Los
intercambios económicos son cada día más
numerosos, y cada vez se experimenta una
mayor necesidad de conservar de forma
durdera de las cuentas, inventarios, ventas,
compras y repartos que se llevan a cabo
diariamente.
Para ello se utiliza un sistema contable
derivado del método de <<los guijarros-
fichas>> al que nos referimos.
Los Sumerios (que contaban en base
sexadecimal, con la
decena como unidad
auxiliar) representaron:
(vista satelital de la
NASA, asentamientos de
la Cultura Sumeia)
- una unidad simple por un cono
pequeño;
- una decena por una bola;
- una sesentena por un cono grande;
- el número 600 (= 60 x 10) por un
cono grande perforado;
- el número 3 600 (= 60 x 60 = 602)
por un esfera;
- el número 36 000 (= 602 x 10) por
un esfera perforada.
Como se aprecia en la siguiente figura:
He aquí una idea que ya era abstracta para la
época: la multiplicación por diez del valor de
una ficha está representada aquí por la
perforación de dicho objeto; haciendo una
pequeña marca circular (verdadero símbolo
gráfico que representa a la bola de la
decena) en el cono que vale 60 o en la esfera
que vale 3 600, se obtienen las
representaciones respectivas de los números
600 (= 60 x 10) y 36 000 (= 3 600 x 10).
Partiendo de estos calculi, se representan los
números intermedios reproduciendolos tantas
veces como sea necesario. Para 223, por
ejemplo, se toman tres conos grandes,
cuatro volas y tres conos pequeños, como se
aprecia en la siguiente figura:
Los elamitas, por su parte, contaban por
decenas para los númros usuales, y mediante
un “compromiso” entre las bases diez y
sesenta para las unidades de ordenes
superiores. Utilizaban un palito para una
unidad simple, una bola para el 10, un disco
para 100, un cono para 300 (= 60 x 5), y un
cono grande perforado para 3000 (= 300 x
10 = 60 x 5 x 10), tal como se aprecia en el
siguiente esquema:
1cono
10bola
60Cono
grande
60Cono
Grande perforado
3 600esfera
36 000Esfera
perforada
1cono
10bola
60Cono
grande
60Cono
Grande perforado
3 600esfera
36 000Esfera
perforada
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
35
Para representar el número 223, tienen que
reproducir dos discos, dos bolas y tres
palitos, como se aprecia en el siguiente
esquema:
Estas fichas de arcilla de valor convencional
(cuyo manejo está en cierto modo
relacionado con el de nuestras monedas
actuales o con el de nuestros patrones de
peso)son encerradas seguidamente en una
bola esférica u ovoide, hueca, en cuya
superficie aparecen uno o dos sellos
cilíndricos para garantizar su origen y su
integridad, tal como se puede apreciar en el
siguiente esquema:
Bola esférica de contabildad cuya cara
externa está cubiertap por sellos cilíndicos.
Documeto encontrado en Susa (hacia 3 500
– 3 300 antes de J. C.)
En las regiones de Sumer y de Elam, los
hombres de determinada condición social
poseían cada uno su propio sello, una especie
de pequeño cilindro de piedra, más o menos
preciosa, con una imagen simbólica en hueco
grabado. El sello cilíndrico (cuya invención
se remonta hacia el 3 500 antes de J. C.)
representa a la persona de su poseedor y
está vinculado a todas las actividades,
económicas o jurídicas, que se relacionan con
él. El poseedor de un sello, a modo de firma
o marca de propiedad, desenrrollando el
cilindro en torno a su eje, transfiere lo que
está grabado en él a cualquier objeto de
arcilla correspondiente a alguna operación o
transacción… tal como se puede apreciar en
el siguiente esquema:
Marcas de sellos cilíndricos elamitas (3 500 – 3 000 antes de J.
C.)
Vayámos a Susa, capital de Elam. Un pastor
se dispone a llevar a pastar durante algunos
meses a un rebaño de 299 ovejas
pertenecientes a un rico ganadero de la
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
36
región. Antes de salir, el pastor y su patrón
se presentan ante un contable de la ciudad,
administrador de los bienes del propietario,
para contabilizar el número total de ovejas.
El contable procede a contar las cabezas del
rebaño, entonces, con su pulgar fabrica una
bola de arcilla hueca en forma de esfera de
unos siete centimetros de diámetro, es decir
apenas un poco mayor que una pelota de
tenis. Seguidamente, una vez formada la
bola y por la abertura dejada por el pulgar,
introduce dos discos de tierra cruda que
simbólizan cien ovejas, nueve bolas que
corresponden cada una a una decena de
animales y nueve palos que a su vez
corresponden cada uno a una cabeza de
ganado.
El contenido total será de: doscientas
noventa y nueve unidades.
Despues el funcionario cierra la abertura de
la bola y, para garantizar el origen del
documento contable que acaba de crear,
impríme el sello cilíndrico del propietario en
la cara externa de dicho documento,
convirtiéndolo en algo equivalente a nuestros
documentos oficiales. Por último, para
autentificarlo, imprime su propio sello. De
esta manera, queda excluida cualquier
confunsión con otras bolas semejantes a
cualquier posibilidad de falsificación, tal como
se puede apreciar en el siguiente esquema:
Esquema de una bola contable
intacta tal como puede verse en
una fotografía de rayos X
Terminada esta operación, el contable seca la
arcilla y guarda la bola con otros documentos
parecidos. Dicha bola, con las fichas que
contiene, es tanto para el dueño del rebaño
como al pastor la garantía de la cuenta que
acaba de ser efectuada y registrada. Cuando
el pastor esté de regreso, este sistema
permitirá comprobar si ha traído todo el
rebaño: se rompera la bola, y gracias a los
calculi correspondientes, la comprobación
será más sencilla…
Nos encontramos ahora en el mercado de la
ciudad real de Uruk, capital de Sumer.
Tras laragas discusiones, un ganadero y un
agricultor acaban de cerrar un trato: cambiar
quince bueyes por setecientas noventa y
cinco medidas de trigo.
Pero, en ese momento, el ganadero sólo
dispone de ocho animales y el agricultor no
ha llevado más que 500 sacos de grano. De
todos modos realizan el intercambio, pero
para que la venta sea equitatíva “firmarán”
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
37
un contrato. El primero se compromete al
entregar el segundo siete bueyes más a fin
de mes y el otro a facilitarle los 295 sacos
que faltan al término de la cosecha.
Para concretar el acuerdo, el ganadero
confecciona una bola de arcilla hueca, e
introduce en ella siete conos pequeños
asociados cada uno a un animal. Luego cierra
la bola e imprime su sello cilindríco en la
superficie a modo de firma.
Por su parte el agricultor, introduce dentro de
su saco de arcilla cuatro conos grandes que
simbólizan cada uno 60 sacos de trigo, 5
bolas correspondiente cada una a10 de esos
sacos y 5 conos pequeños correspondientes a
los 5 sacos sobrantes. Luego imprime su sello
en la arcilla.
A continuación un testigo pone su “firma” en
los dos documentos, certificando así la
conformidad y la integridad de la transacción.
Tras lo cual, ambos contratantes
intercambian sus respectivas bolas y se
marchan…
Aunque entonces no se conocia todavía la
esccritura, este sistema posee para estas
gentes el mismo valor jurídico que tiene para
nosotros los más serios compromisos
escritos.
En aquella época, cuando las ciudades no
estaban todavía superpobladas y la economia
estaba en sus comienzos, las personas que
mantenían las relaciones comerciales se
reconocían y se diferenciaban anten sus
socios por sus sellos cilindricos. Asi mismo, la
naaturaleza de una transacción comercial
materializada mediante una bola estaba
implícitamente indicada por la marca del sello
correspondiente: según fuera el motivo
impreso se podía identificar al ganadero,
agricultor, artesano, ceramiseta, molinero o
panadero de que se tratase. En cuanto a la
cantidad de seres u objetos implicados en la
operación, quedaba claramente precisada en
esos documentos mediante conos, bolas o
esferas.
En estas condiciones, resulta impsible negar
una deuda o modificar fraudulentamente su
importe: el acreedor poseía la bola de su
deudor con su firma y un número preciso de
calculi.
EL NACIMIENTO DE LAS CIFRAS MÁS
ANTIGUAS DE LA HISTORIA
o obstante este sistema de
contabilidad resulta algo incomodo
porque hay que romper la bola cada
vez que se quiere conocer su contenido total.
En la siguiente etapa de su historia, hacia el
año 3 300 antes de nuestra era, los
contables sumerios y elamitas fueron
concientes de ello.
Esto lo hemos sabido gracias a los recientes
descubrimientos de la Delegación
Arqueológica francesa en Irán (D.A.F.I.) en
la cantera de la Acropolis de Susa donde han
sido halladas, en su conjunto, las etápas de
esta evolución.
N
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
38
En esta segunda etápa, a los contables se les
ocurrió simbolizar las fichas encerradas en
las bolas mediante una serie de incisiones de
diferentes formas grabadas en la parte
externa de cada bola. Los sumerios crearon
los siguientes simbolos:
- El cono pequeño para la unidad,
mediante una muesca fina;
- La bola para la decena, mediante una
pequeña marca circular;
- El cono grande de la sesentena,
mediante una muesca gruesa;
- El cono grande perforado que vale
600, mediante una muesca gruesa
con una pequeña marca circular;
- Ls esfera por valor de 3 600,
medanteuna una gran marca circular;
- La esfera perforada que representa
al número 36 000 mediante una gran
marca circular provista de otra
pequeña;
Estos simbolos se pueden apreciar en el
siguiente esquema:
Los elamitas simbolizan el palo que
representa a la unidad mediante una muesca
más o menos alargada, la bola de la decena,
mediante una pequeña marca circular, el
disco de la centena mediante una gran marca
circular, el cono por valor de 300 mediante
una muesca gruesa y el cono grande
perforado que vale 3 000 mediante una
muesca gruesa provista de una pequeña
marca circular, tal como puede apreciarse en
el siguiente esquema:
1
muesca
fina y
alargada
10
pequeña
marca
circular
100
gran
marca
circular
300
muesca
gruesa
3000
muesca
gruesa
perforada
Es como una especie de “resumen” o más
bien una simbolización gráfica del contenido
de cada documento contable.
Por ejemplo, una bola elamita con tres discos
y cuatro palitos (ers decir un total de 3 x 100
+ 4 = 304 unidades) llevará ahora por
fuerza, junto a la marca de los sellos
cilíndricos y cuatro muescas finas.
A partir de ese momento, ya no será
necesario romper la bola para llevar a cabo
una comprobación o hacer un inventario.
Bastará con “leer” las informaciones en la
superficie de los documentos. Los sellos
cilíndricos indican el origen de la bola, al
tiempo que garantizan su autenticidad
mientras que las incisiones señalan el
número de seres u objetos implicados en la
operación.
Estas incisiones son auténticos signos
numéricos porque cada una es un símbolo
gráfico que representa un número.
Constituyen ya un verdadero sistema de
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
39
numeración escrita: el nacimiento de las
cifras más antiguas de la historia, como
puede apreciarse en el siguiente esquema:
BOLAS
CALCULI
CONTENIDOS
EN LAS
BOLAS
CIFRAS
CORRESPONDIENTES
Bolas elamitas con sus contenidos y cifras
(hacia el 3 300 antes de J. C.)
Pero entonces, ¿por qué seguir utilizando
esas fichas numéricas, introduciéndolas en
las bolas, cuando es tan sencillo representar
sus valores mediante incisiones en la arcilla?
Esto es lo que se preguntaban los contables
mesopotámios y elamitas, que rápidamente
tomaron conciencia de que ambos sistemas
eran redundantes. Desde aproximadamente
el año 3 250 a. de J. C. se suprimieron los
calculi y las bolas huecas fueron sustituídas
por tablillas de arcilla, que primero tuvieron
una forma toscamente redondeada u
oblonga(a imitación de las bolas esféricas u
ovoides) para irse haciendo prgrosivamente
más fina y rectangular.
LOS CONTABLES INVENTAN LA
ESCRITURA
o obstante, estas tablillas contables
no llevan todavía signos de escritura
y los datos corresponientes son,
como en las bolas, exclusivamente simbólicos
y numéricos, como se puede apreciar en el
siguiente esquema:
Paneles de arcilla con datos estrictamente
numéricos (hacia el 3 250 antes de J. C.)
Las cosas implicadas en las operaciones solo
están designadas por sus respectivas
cantidades, pero no por signos específicos
que permitan determinar su naturaleza.
Además la operación en sí misma no figura
en absoluto: nun ca sabremos si se trata de
una operación de venta, una compra, un
contrato matrimonial, un reparto o
simplemente el inventario de los bienes de
algún propietario. En cuanto a los propios
N
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
40
contratantes, jamás sabremos ni su nombre,
ni su función, ni su lugar de trabajo, ni
siquiera cuántos eran. Solo los indiviuduos
implicados en la operación en el momento
podían comprender por entero el documento
correspondiente.
En la siguiente etapa las cosas se van
concretando algo más y pronto se producirá
una innovación que provocará grandes
cambios tanto en Elam como en
Mesopotamia.
Hacia el año 3 200 antes de J. C. van
apareciendo poco a poco nuestros signos en
las tablillas junto a las cifras sumerias o
elamitas, mientras que los sellos cilíndricos
van desapareciendo progresivamente.
Esta etapa señala el nacimiento de la
contabiliadad escrita, ya que dichos signos
(dibujos más o menos esquemáticos que
representan seres u objetos de todo tipo)
están destinados a presisar la naturaleza de
los productos o mercancias aplicados a
alguna transacción, como puede apreciarse
en el siguiente esquema.
Ejemplo: 691 cántaris”
Sin embargo, al principio, el sistema todavía
es muy rudimentario, pues los documentos
sólo contienen un tipo de enumeración a la
vez: se confecciona una tablilla para anotar
el resultado del recuento de 23 jabalíes, por
ejemplo, otra para 187 borregos y otra para
567 sacos de trigo, etcétera.
Pero hacia el 3100 antes de J.C., las
transacciones económicas y las operaciones
de distribuciones de bienes de consumo se
multiplican y diversifican considerablemente,
hasta el punto de que los inventarios y
recuentos son muy numerosos y variados en
cada operación.
También los dibujos y las cifras
correspondientes ocupan en las tablillas,
desde esta época, una superficie cada vez
más extensa. En un mismo panel de arcilla,
se consignaba, por ejemplo, un inventario de
equinos diferenciando las categorías:
sementales con las crines hacia atrás, yeguas
con crines caídas y potros sin crines. En la
misma tablilla aparece también el resumen
de una operación de contabilidad agrícola
distinguiendo los lotes y las especies; o el
recuento de las cabezas de un rebaño con
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
41
todos los detalles pertinentes (borregos,
borregos cebados, corderos, corderillos,
ovejas, cabaras, cabritos, cabritas, o cabritos
casi adultos…).
En Elam, las diversas enumeraciones se
disponen en varias líneas horizontales y se
leen de derecha a izquierda. Pero los
contables sumerios prefirieron disponerlos
en casillas consecutivas delimitadas, en cada
tablilla, por una o varias bandas horizontales,
que a su vez están cortadas por trazos
verticales.
Además inventaron la factura: a partir de
ahora, se escribe en ambas caras de cada
tablilla, consignando en el “anverso” los
detalles de una operación de contabilidad, y
en el “reverso” el total y los “títulos”
correspondientes.6
6 Los especialistas han logrado decifrar las cifras sumarias, desaparecidas hace casi cuatro mil años, al descubrir la costumbre de los escribas sumarios de consignar en el reverso de las tablillas el total de los recuentos o inventarios correspondientes. Al comprobar, por ejemplo, que en el anverso de una tablilla, había diez muescas finas repartidas aquí y allá, y en el reverso, una única marca circular de pequeñas dimensiones, y al ver corroborado esto por un número de muescas y de marcas lo suficientemente numeroso, comprendieron que la muesca fina designaba la unidad y que la marca circular simbolizaba la decena. Yo mismo, al observar una costumbre parecida entre los escribas del país de Elam, y haciendo comprobaciones metódicas sobre los totales facilitados por multitud de facturas elamitas actualmente conservadas en el Museo de Louvre y en Teherán, llegué a decifrar los principales signos de la numeración de esta civilización (véase sobre ella mi Histoire universelle des chiffres, págs. 197-212)
SUMERIA ELAMITA
3 2
00 –
3 1
00
av J
. C.
3 1
00 –
3 0
00 a
v J.
C.
3 0
00 –
2 9
00 a
v J.
C.
Los documentos escritos más antiguos de la
historia 3 100 - 1 900 antes de J. C.
La idea fue tomando cuerpo y
perfeccionándose poco a poco, y el nuevo
sistema demostró ser de gran utilidad, como
se aprecia en la siguiente figura:
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
42
FACTURA TRADUCCIÓN
ANVERSO
REVERSO
“Factura” sumeria descubierta en Uruk (hacia 2
800 antes de J. C.)
En Uruk, en el año 2 850 antes de J.C. se
está realizando una petición de matrimonio, y
el padre de la joven acaba de ponerse de
acuerdo con el padre del futuro esposo sobre
el “precio de la novia”. Tras la ceremonia, el
primero recibirá del segundo 15 sacos de
cebada, 30 sacos de trigo, 60 sacos de
judías, 40 sacos de lentejas y 15 aves. Pero,
como la memoria humana a veces falla, y
para evitar ulteriores reclamaciones, los dos
hombres acuden a una de las autoridades de
la ciudad para que tome nota del contrato
como es debido y legalizar el compromiso.
Después de conocer todos los elementos del
contrato matrimonial, el notario confecciona
una tablilla de arcilla más o menos
rectangular, y seguidamente toma sus
“herramientas para grabar”, como se
muestra en el siguiente esquema:
Cálamo de corte pequeño
Estilete para
imprimir números
Punta para trazar
pictogramas
Cálamo de corte grande
Los primeros utensilios para escribir de los
escribas sumerios
Para escribir el contrato, el notario utiliza dos
barras de marfil de diferentes diámetros, uno
de cuyos extremos es puntiagudo y el otro
una especie de estilete cilíndrico. Las puntas
servirán para realizar los trazos o también
para dibujar pictogramas en la arcilla
húmeda de las tablillas. Los “calmos de corte
circular” se emplearán para realizar las cifras
por presión sobre un ángulo dado en
relación con la superficie de la tablilla. El
trazo que se obtenga sobre la arcilla blanda,
según la inclinación que se dé al estilete,
será una muesca o una marca circular cuya
dimensión variará evidentemente en función
del diámetro del cálamo empleado, como se
aprecia en el siguiente esquema:
43
Trazado con punta
de arcilla blanda de
los Pictogramas
de la cultrua
sumeria arcaica
- una muesca fina o gruesa, según se
apoye el estilete pequeño o grande
sobre un ángulo de 30° a 45°;
- y una huella circular de pequeño o
gran diámetro hundiendo el cálamo
adecuado perpendicularmente a la
superficie.
Tal como se aprecia en el siguiente esquema:
CÁLAMO
DE
CORTE
PEQUEÑO
Muesca
fina
Marca
circular
pequeña
CÁLAMO
DE
CORTE
GRANDE
Muesca
grande
Muesca
circular
grande
Impresión sobre arcilla blanda de los
diferentes signos de la numeración sumeria
arcaica
Luego, el funcionario, cogiendo la tablilla
oblicuamente a la ancho, traza cuatro trazos
verticales sobre la arcilla todavía húmeda.
Configura así cinco casillas sobre la tablilla:
una para cada uno de los bienes de consumo
a que se refiere el contrato. Abajo, en la
primera casilla de la derecha, dibuja un “un
saco de cebada”, un “saco de trigo” en la
segunda, un “saco de judías” en la siguiente,
un “saco de lentejas” en la cuarta y por
último el pictograma de un “ave” en la
última. Después especifica las cantidades
correspondientes: encima de la primera
casilla, imprime una pequeña maraca circular
que simboliza el número 10 y cinco muecas
finas que valen cada una de ellas una unidad,
señalando así el total de sacos de cebada; en
la segunda, 30 mediante tres maracas
circulares; en la tercera, señala el número 60
mediante una muesca gruesa; y así
susesivamente.
Sobre el reverso de la tablilla, indica
seguidamente el “resumen”, es decir, el total
del inventario notificado en el anverso, o sea:
“145 sacos diversos” y “15 aves”, como
puede apreciarse en el sifuiente esquema:
FACTURA TRADUCCIÓN
ANVERSO
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
44
REVERSO
“Factura” sumeria descubierta en Uruk (hacia 2
800 antes de J. C.)
Una vez terminada esta operación, los dos
hombres firman debajo de la tablilla pero ya
no imprimen como antes un sello cilíndrico
sino que trazan con el punzón verdaderos
signos convencionales que los caracterizan
respectivamente. Después se marchan tras
de haber dado el documento al notario, quien
lo conserva en sus archivos.
El sistema pictográfico, junto a los signos de
numeración, responde muy bien a las
necesidades económicas y jurídicas del
momento.
Sin embargo, estos dibujos aún no son más
que “imágenes signos” cuya función es la de
significar lo que se representa visualmente.
Todavía no se trata de escritura en el sentido
extricto de la palabra.
Pero en la etapa siguiente, estos signos
tienen un valor pictórico más amplio. Ya no
estan limitados a su significación visual
directa. Pueden representar también acciones
o ideas parejas. Es lo que se llama ideofrafía.
Así pues, la imagen de una pierna humana
además del significado de “pierna” tiene
también el de “andar”, “ir”, “estar de pie”,
“correr” o “huir”. Asimismo, la imagen del
disco solar también puede significar el sol, el
día, el calor o la luz. La mano puede indicar
tanto la idea de coger, como la de dar y
recibir. El arado puede ser empleado tanto
para expresar los verbos, “sembrar”, “labrar”
o “trabajar la tierra” como para significar
“quien maneja el arado”, “el labrador” o el
“agricultor”.
En su calidad de ideogramas, estos signos
gráficos incluyen interpretaciones sujetas a
todas las variantes que pueden darse en los
giros lingüísticos.
El contenido de las imágenes - signos se ve
enriquecido por el uso –ya antiguo- del
simbolismo de las convenciones sociales. Dos
trazos paralelos traducen la idea de amigo o
amistad, y dos trazos cruzados la de
enamistad u hostilidad. La mujer está
represenado por el dibujo del triángulo
púbico y el verbo fecundar por el de un pene
como lo muestra el siguiente esquema:
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
45
Pictograma de la Cultura Sumeria arcaica
También se amplían las posibilidades de
significación de los dibujos combinados dos o
varios para representar ideas nuevas o
conceptos díficilmente representables. El
grupo boca + pan, señala la idea de “comer”,
el conjunto de boca + agua, la de “beber”, y
el grupo de boca + mano la de la “oración”
(según el ritual sumario) y el conjunto de ojo
+ agua el de la “lagrima”. Asimismo un
“huevo” junto a un “ave” sirve para suguerir
la idea de “engendrar” y unos trazos bajo un
semicírculo la de la “obscuridad que cae de la
bóveda celeste” (y por extensión la de la
”noche”). Por último, en ese país de llanura
baja en donde la montaña es sinónimo de
“país extranjero” el grupo mujer+ montaña
no sirve para señalar a la “montañesa”, ni
siquiera a la “extranjera”, sino a “la mujer
traída del extranjero”, como botín de guerra,
dicho de otro modo, a la “esclava del sexo
femenino”.
Pero en esta fase, los signos todavía no
expresan los sonidos del lenguaje articulado.
Estamos, por decirlo así, en la prehistoria
de la escritura.
No obstante, esta etapa es la última antes
del descubrimiento de la escritura
propiamente dicha, como lo muestra el
siguiente esquema:
COMER
DEVORAR BEBER ORAR
LAGRIMA
LLORAR
SIERVA
ESCLAVA
ESCLAVO
(MASCULINO)
NOCHE
-
NEGRO
ENGENDRAR
Algunos ejemplos de composiciones evocadoras
(o “conglomerados lógicos”), empleados por la
escritura sumeria arcaica
A partir del 2 800 – 2 700 antes de J.C., el
sistema pictográfico sumerio y su homólogo
elamita realizaban los pasos decisivos en el
sentido de la claridad, la precisión y la
universalidad: se les relaciona con la lengua
hablada, el medio más perfecto de analizar y
comunicar lo real. Y para ello, se tiene la idea
de utilizar imágenes - signos, no ya por su
valor pictórico o ideográfico sino más bien
por su valor fonético relacionado con la
lengua sumeria (o elamita).
Ocurre un poco como en los jerolíficos de
nuestros pasatiempos: la imagen de un dado
(en francés, dé) seguida de la de una torre
(francés, tour), por ejemplo, no está
relacionado ni con el juego cúbico ni con la
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
46
construcción; esta sucesión, expresa más
bien la palabra francesa détour (rodeo).
En las tablillas sumerias, la imagen de horno,
por ejemplo, ya no está empleada para
significar exactamente un “horno”, sino para
expresar el sonido NE, pues la palabra
sumeria para indicar ese objeto es
precisamente NE. Asimismo, la imagen de la
flecha cuyo nombre es TI en esa lengua, a
partir de ahora se utiliza para expresar el
sonido TI; y como en sumerio la “vida”
también se dice TI, el mismo objeto servirá
pues para representarla fonéticamente.
Se ha hecho un progreso considerable: el
sistema permite anotar diversas
particularidades gramaticales (pronombres,
artículos, prefijos, sufijos, etc.) de los verbos,
nombres y fraces, así como todo tipo de
matices y precisiones difíciles, por no decir
imposibles, de señalar de otra manera.
Acaba de nacer la escritura por primera vez
en la Historia, y posiblemente han sido los
contables quienes, para responder a
necesidades fundamentalmente económicas,
la inventaron.
Procedente del sistema de los calculi y de las
bolas de arcilla, la transcripción gráfica de los
números ha precedido a la del lenguaje
articulado. Dicho de otro modo, las cifras se
inventaron mucho antes que la escritura.
Pero en esa primera etapa, dicha invención
no sirvió para hacer operaciones aritméticas:
las cifras solo fueron utilizados para
memorizar cantidades y recuentos, pues los
cálculos se realizaban en aquella época de
una manera concreta.
UNA DIVISIÓN CON CUARENTA Y
SEIS SIGLOS DE ANTIGÜEDAD.
os encontramos en el año 2 650,
aproximadamente, antes de
Jesucristo, en la ciudad de sumeria
de Shurumppak (hoy día, Fara, en Irak).
En la escuela de escribas y contables, el
maestro acaba de dar a sus alumnos una
lección sobre la manera de efectuar las
divisiones. Al pasar a la lección práctica les
planteó el problema siguiente:
Varios hombres se han repartido un
“granero” de cebada habiendo recibido cada
uno 7 sila de cebada. Dígame ¿cuántos
hombres hay en ese grupo? y ¿cuánta cebada
a quedado después de dicha distribución?
La “sila” y el “granero” son unidades
sumarias de medida de capacidad. La
primera equivale aproximadamente a 0.842
litros nuestros actuales, y la segunda vale
1 152 000 sila (es decir, alrededor de 969
984 litros).
Se trata de distribuir 1 152 000 sila de
cebada entre cierto número (que hay que
determinar) de personas, dando a cada uno
un saco de 7 sila de cebada. Para ello hay
que dividir 1 152 000 entre 7; el número de
hombres de que se trate nos lo proporcionará
N
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
47
el cociente y el excedente de sila de cebada,
el resto.
En aquella época, para efectuar las sumas,
sustracciones, multiplicaciones o divisiones,
los mesopotamios seguían utilizando los
viejos calculi de antaño, esas “fichas” de
arcilla con incisiones y formas geométricas
que simbolizan las diferentes órdenes de
unidad de la numeración sumeria. Este
procedimiento concreto, periclitado hace ya
mucho tiempo en el sistema de registro de
los documentos contables procedentes de
operaciones económicas o administrativas,
seguía siendo, sin embargo, el preferido para
las operaciones aritméticas porque las cifras
sumerias nunca permitieron la práctica de un
“cálculo escrito”.
En el primer caso, el método consiste en
hacer intervenir susecivamente esferas
perforadas, esferas, conos, conos perforados,
etcétera, y en “amonedar” cada vez cualquier
agrupación de fichas cuyo número sea
inferior a divisor.
He aquí como resolvieron el problema los
alumnos.
Como el dividendo y el divisor de la
operación eran iguales respectivamente a
1 152 000 (= 32 x 36 000) y a 7,
primeramente han considerado 32 esferas
perforadas por valos de 366 000 unidades
cada una y las han distribuido en grupos de
7.
Y como el cociente de esta división es igual a
4 (corresponde a los cuatro grupos de 7
esferas perforadas), entonces han llegado a
la conclusión de que 4 veces 36 000 personas
ya habian recibido su parte, es decir 7 silas.
Pero, al acabar este primer reparto, quedan 4
esferas perforadas, por tanto quedan 4 x
36 000 sila de cebada por distribuir, como lo
muestra el siguiente esquema:
36 000
Primer
resto
4 g
rupos
Para poder proseguir la operación ha habido
que convertir ese resto en múltiplos de 3
600 (el orden de unidades inmediatamente
inferior en el sistema sumerio), puesto que
ha sido imposible dividirlo directamente por 7
de esta forma.
Cada esfera perforada de “36 000” equivalen
a 10 esferas simples de “3 600”, por tanto
han “hecho moneda” con las cuatro esferas
perforadas que constituyen el primer resto,
tomando 40 esferas. Después la han
repartido como se indica más arriba en
grupos de 7.
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
48
Al encontrar que esos grupos son 5, han
deducido que 5 veces 3 600 hombres de
más, habían recibido su parte.
Pero este segundo reparto les ha dado un
nuevo resto: quedan sin distribuir 5 esferas
que corresponden a 5 x 3 600 sila de cebada
y las han convertido al orden
inmediatamente inferior (el de los múltiplos
de 600), como lo muestra el siguiente
esquema:
Cada esfera de “3 600” vale seis conos
perforados de “600”, por tanto han “hecho
moneda” con ese resto considerando 5 x 6 =
30 conos perforados, que han repartido en
grupos de 7.
Al final de esta tercera división parcial, se
han obtenido 4 grupos de 7 conos
perforados: por tanto, 4 veces 600 personas
de más habían recibido su parte. Pero han
quedado dos fichas de esta categoría, como
se muestra en la siguiete figura:
Siguiendo el mismo procedimiento han
convertido los dos conos perforados que
quedaban (que correspondían a 2 x 600 sila
de cebada sin distribuir todavía) en 2 x 10 =
20 conos simples, por valor de 60 unidades
cada uno, luego lo han dispuesto en grupos
de 7, como se pressenta en el siguiente
esquema:
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
49
Como el número de grupo de 7 que se
pueden formar con esos veinte conos es igual
a dos, al finalizar esta cuarta división parcial
han sido servidas 2 x 60 personas de más. El
resto de la división en este caso, ha sido seis
conos de “60”.
Entonces, los han convertido, a su vez, en 6
x 6 = 36 bolas por valor de 10 unidades
cada una y las han repartido en grupos de 7.
Entonces han obtenido 5 grupos (hay 5 x 10
hombres de más en el reparto) con un resto
de tan solo una bola , de acuerdo con el
siguiente esquema:
Ya sólo les ha quedado convertir esa bola en
10 pequeños conos con valor de unidad y,
luego, restar 7 de 10 para acabar la
operación, de acuerdo al siguiente esquema.
Al acabar esta sexta división parcial, la última
persona relacionada con la operación ha
celebrado su parte (el cociente
correspondiente es igual a 1) y han quedado
3 sila de cebada que ya no es posibloe
distribuir.
El cociente final de la división (es decir el
número total de las personas que han
cobrado 7 sila de cebada a partir de 1 152
000 sila de cebada) han sido obtenidas
añadiendo sucesivamente:
- los 4 x 36 000 encontrados en la
primera etapa.
- los 5 x 3 6 00 encontrados en la
segunda etapa.
- los 4 x 600 encontrados en la tercera
etapa.
- los 2 x 60 encontrados en la cuarta
etapa.
- los 5 x 10 encontrados en la quinta
etapa.
- 1 a la persona determinada en la
última etapa.
Concretamente, el número buscado ha sido
obtenido guardando 4 esferas perforadas en
la primera división parcial, después 5 esferas
en la segunda, 4 conos perforados en la
tercera, 2 conos en la cuarta, 5 bolas en la
quinta y un cono pequeño en la última;
resultado 164 571, como lo muestra el
siguiente esquema:
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
50
Para poder recordar de forma duradera esta
operación los alumnos han consignado por
escrito los datos y los resultados sobre una
tablilla de arcilla dividida en dos registros
asimismo subdivididos en vasrias casillas.
En el registro superior, de derecha a
izquierda, marcaron en la primera casilla una
muesca fina que significaba “uno” y un signo
de escritura que quiere decir “granero de
cebada”. En la segunda casilla indicaron el
signo del sila y luego el número 7. En la
tercera casilla reprodujeron dos signos, uno
que queria decir “cada hombre” y otro algo
así como “en mano recibe”. Por último
superior maracaron la frase “estos hombres
son”. Representaron así los datos del
problema:un grano de cebada; 7 sila; cada
hombre en mano recibe; esos hombres son:
Después, en la primera casilla del registro
inferior de la tablilla presentaron el cociente
d la división mediante cifras sumerias,
reproduciendo para ello:
- 4 grandes marcas ciculares de la
división provistas cada una de una
marca pequeña (réplica inmediata de
las cuatro esferas perforadas de “36
000”);
- 5 grandes marcas circulares(que
recordaban las cinco esferas de “36
000”);
- 4 muescas gruesas provistas cada
una dee una pequeña marca circular
(que simbolizan los cuatros conos
perforados de “600”);
- 2 muescas gruesas (recuerdo de los
dos conos de “60”);
- 5 pequeñas marcas circulares (que
corresponden a las cinco bolas de
“10”);
- Y una muesca fina (que recuerda al
cono peqwueño de la unidad)
En cuanto al resto de la división indicaron en
la segunda casilla la frase : “3 sila de cebada,
quedan”.
La casilla que acbamos d “recontruir” existe
en la realidad: está actualmente en el Museo
Arqueológico de Estabul y proviene de las
excavaciones de Schuruppak. Esta tablilla,
que se remonta al 2 650 antes de J. C.,
aproximadamente, constituye el testimonio
arquelógico más antiguo conocido de la
práctica de una división y nos da una prueba
más del alto grado intelectual que los
aritméticos del país de Sumer llegaron a
alcanzar en aquella época, como puede
apreciarse en el siguiente esque y su
respectiva traducción:
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
51
Lectura
de
derecha
a
izquierd
a
TRADUCCIÓN
REGISTRO
SUPERIOR
REGISTRO
INFERIOR
1ª casilla; =
1 granero de
cebada
2ª casilla; =
7 sila (de
cebada)
3ª casilla; =
“cada
hombre en
mano recibe”
4ª casilla; =
Esos
hombres
(son)*
1ª casilla; = 164
571 = (número
exopresado
mediante cifras
sumerias)
2ª casilla; = sila de
cebada, quedan 3
Pero si bien este documento (que podía
haber correspondido a una especie de
“página escolar” o a un documento
administratvo que resumiera una operación
de distribución de granos) nos da las
caractrísticas de la división aritmética, por el
contrario, no nos proporciona ninguna
indicación sobre la técnica empleada. La
reconstrucción anterior (que me parece más
que probable) permite hacerse una idea de
los procedimientos de cálculo empleados por
los contables sumerios y elamitas de la
época. Subraya el carácter estático de las
cifras sumerias o elamitas, que no fueron
signos operacionales sino abreviaturas
destinadas a expresar por escrito los
resultados de un cálculo efectuado
previamente según un método concreto…
LAS CIFRAS EN LA ÉPOCA DE LOS
FARAONES
os egipcios también inventaron una
escritura y un sistema de numeración
escrita. Esto ocurrio alrededor del año
3000 antes de J.C., es decir, casi al mismo
tiempo que en Elam y Mesopotamia.
Pero no vayamos a creer que tomaron
prestado a los sumerios (oa los elamitas) sus
cifras y sus pictogramas para forjar sus
propios sistemas.
Los “jerolíficos” egipcios han sido todos
sacados de la flora y de la fauna del Nilo y los
instrumentos o utensilios que esta escritura
ha “copiado” se utilizaban en Egipto al menos
desde principios del IV milenio antes de
nuestra era. Los pictogramas y la forma de
los dibujos también varían considerablemente
de un sistema a otro desde la época arcaica e
incluso para signos que se supone
representaban las misma cosas, como o
muestra el siguiente esquema:
L
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_________________
52
Adorar Falo Codorniz Pájaro
volando Pez Uráseu
Mujer Toro Lechuza Escarabajo Serpiernte Junco
florido
Mujer
embarazada Liebre Halcón Abeja
Víbora
cornuda Loto
La numeración jeroglífica egipcia también es
diferente a la de los sumerios. No sólo en un
plano gráfico sino también desde un punto de
vista matemático: la primera está basado en
una base estrictamente decimal mientras que
la otra está en una base sexadecimal.
Los soportes materiales empleados también
son diferentes. Los sumerios realizan sus
cifras y sus signos de escritura
imprimiéndolos o trazándolos casi
exclusivamente sobre paneles de arcilla,
mientras que los egipcios reproducen los
suyos grabándolos o esculpiéndolos por
medio de un cincel y un martillo sobre
monumentos de piedra, o trazándolos sobre
pedazos de roca, trozos de cerámica u hojas
de papiros con un junco con la punta
aplastada y mojado en una materia
colorante.
Las cifras de los jeroglíficos egipcios han
nacido in situ y son producto exclusivo de la
civilización egpcia.
En los egipcios, en los albores del III milenio
antes de nuestra era, también estaban en
condiciones iniciales psicológicas, sociológicas
y económicas completamente favorables a la
invención de las cifras y de la escritura.
En realidad, esta civilización estaba ya muy
avanzada, fuertemente urbanizada y en
plena expansión hacia el año 3000 antes de
J.C.. Por razones estrictamente utilitarias,
motivadas en particular por necesidades de
tipo administrativo y comercial, fue poco a
poco cobrando conciencia de las limitadas
posibilidades del hombre-memoria y del
“agotamiento” de su cultura exclusivamente
oral. Esta civilización, que necesitaba cada
vez más memorizar el pensamiento y la
palabra, así como recordar de forma
duradera los números, comprende desde ese
momento que necesita una organización del
trabajo totalmente distinta. Y como la
necesidad crea el órgano, para superar la
dificultad descubre la idea de lo escrito y la
de la notación gráfica de los números.
Desde su aparición, la numeración egipcia
permitió la representación de números que
podían llegar hasta el millón e incluso
superarlo: poseía un jeroglífico especial para
indicar la unidad y cada una de las 6
potencias de 10 siguientes (10, 100, 1 000,
10 000, 100 000, 1 000 000).
La cifra de la unidad es un pequeño trazo
vertical. La de la decena es un signo de
forma de asa parecido a una herradura de
caballo dispuesta como una especie de “U”
mayúscula invertida. La centena está
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
53
representada por una espiral más o menos
enrollada, como la que se puede realizar con
una cuerda. El millar está representado por
una flor de loto con su tallo, la decena de mil
por el dibujo de un dedo levantado y
ligeramente inclinado, la centena de mil por
una rana o un ranacuajo con el rabo caido y
el millón por un hombre arrodillado con los
brazos levantados al cielo, como lo muestra
el siguiente esquema:
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
Las cifras jeroglíficas egipcias
En Hierakónpolis (antiquísima ciudad situada
en la orilla izquierda del Nilo, a 100 kms.,
aproximadamente, de la primera catarata) se
ha encontrado una maza que contiene cierto
número de datos. Esta constituye uno de los
más antiguos testimonios arqueológicos
conocidos de la escritura y de la numeración
jeroglífica egipcias. Había pertenecido a
Narmer, rey que unificó el Bajo y Alto Egipto
hacia el año 2900 antes de J.C.: como se
muestra en el esquema:
Maza del rey Narmer (Pricipios del III
milenium antes de J. C.)
Además del nombre de Narmer, que está
inscrito en ella fonéticamente, esta maza
incluye representaciones numéricas que
corresponden al importe del botín en cabezas
de ganado y al número de prisioneros que se
suponía que dicho soberano había traído de
sus victoriosas expediciones. Enumeración
(probablemente fantasiosa y exagerada,
para glorificar al rey Narmer) cuya cuenta
esta hecha de la manera que lo muestra el
siguiente esquema.
Toros Cabras Prisioneros
400 000 1 422 000 120 000
Otro ejemplo nos lo ofrece una estatua
encontrada también en Hierakónpolis y que
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_________________
54
se remota al año 2 800 antes de J.C.
aproximadamente, da a la escritura siguiente
para el número 47 209 de enemigos matados
por ese soberano, como lo muestra el
siguiente esquema.
47 209
Para representar un número los egipcios se
limitaban a repetir la cifra de cada clase
decimal tantas veces como fuera necesario.
Para ello procedían en el orden de los
valores decrecientes a partir de la cifra de
mayor potencia de diez contenida en dicho
número: empezaban reproduciendo las
unidades del ordendecimal más elevado,
luego las de orden inmediato inferior y así
sucesivamente hasta las unidades simples.
Al principio, esta representación ha sido
arcáica, tanto los dibujos como las
agraupaciones de las cifras eran bastante
primitivas en su conjunto (observe el
esquema anterior, la representación del dedo
que valía 10 000 y la de la flor de loto que
valía 1 000; también hay que notar el
alineamiento de las nueve barras de unidades
así como el agrupamiento de las cifras del
millar).
Pero a partir del siglo XXVII antes de J.C. el
dibujo de estos jeroglíficos se irá haciendo
más minucioso y más regular, y para evitar
la acumulación sobre una misma línea de
varias cifras de una misma clase de unidades
y para facilitar tamabién al lector la suma de
los valores correspondientes, se formarán
muy frecuentemente dos o tres líneas
superpuestas de pequeños grupos de dos,
tres o cuatro signos idénticos.
De acuerdo al esquema:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Para el número 243 688, por ejemplo, a
partir de ahora se reproducirán en este orden
y según la disposición siguiente: dos veces la
cifra de 100 000, cuatro veces la de 10 000,
tres veces la de 1000, seis veces la de 100,
ocho veces la de 10 y ocho veces la de 1,
como se muestra enseguida en el esquema:
243 688
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
55
Extracto de los anales
de Tutmés III (1 490
– 1 436 antes de J. C)
que entierra el botín
del año 29º del
reinado de este faraón
Bajorrello en gres
procedente de Karnak
Esta notación numérica no ha sido en el
fondo más que una manera de traducir por
escrito el resultado de un método concreto
de enumeración. Método que los egipcios
emplearon sin duda en las épocas arcaicas y
que debía de consentir en representar un
número dado por alineamiento o por
acumulación de todos los patrones que
hiciesen falta (piedras, conchas, bolas, palos,
discos, anillos, correspondientes cada uno de
ellos a un orden de unidad de un sistema de
numeración).
Pero, contrariamente a las cifras sumerias
cuyo grafismo denota claramente su origen
material, los signos de esta numeración
escrita no permiten en absoluto imaginar los
objetos concretos que les han precedido en el
arte del cálculo figurado de las épocas
anteriores a la invención de la escritura.
¿Por qué los números 1 000 y 10 000 por
ejemplo, han sido representados
respectivamente por una flor de loto y un
renacuajo? ¿Sería que concretamente en
aquella época se contaba mediante esas
flores y esas ranas? Esto parece poco
probable.
¿Por qué razón la espiral y el dedo humano
han sido escogidos para representar la
centena y la decena de mil? ¿Y por qué al
hombre arrodillado con los brazos levantados
al cielo se le ha atribuido el valor de un
millón? Preguntas todas estas que la
arqueología de momento no ha sabido
responder.
A mi entender, el origen gráfico de las cifras
egipcias ha sido mucho más complejo que el
de las cifras sumerias o elamitas. Los
inventores de esta numeración recurrieron
sin duda a varios principios a la vez.
A este respecto las siguientes hipótesis me
parecen plausibles, aun que no dispongo de
ninguna prueba formal.
El origen de la cifra 1 podría haber sido
“natural”: la barra vertical es el símbolo
gráfico más elemental que pueda imaginar el
ser humano para representar la unidad. Los
hombres prehistóricos ya la utilizaban hace
más de treinta mil años en sus huesos
tallados y sabemos que gran cantidad de
pueblos le han atribuido este valor a través
de la historia.
También se puede pensar que esta cifra,
junto con la de la decena (el signo en forma
de asa), ha constituido en la escritura
jeroglífica egipcia el vestigio de una de esas
antiguas enumeraciones concretas a las que
acabamos de referirnos. El primero podría
haber corresponndido a la simbolización
gráfica de un palito, sinduda empleado
antaño para el valor de una unidad simple.
56
En cuanto al segundo, podría haber sido el
dibujo del cordón que antaño debió servir
para atar dichos palitos y formar un paquete
de 10 unidades; dibujo que la escritura
egipcia estilizó hasta llegar a esa especie de
“U” mayúscula invertida.
En lo que respecta a las cifras 100 y 1 000
(la espiral y la flor de loto) se puede pensar
que sus inventores recurrieron a lo que se
podría llamar “préstamos fonéticos”.
Para poder comprenderlo no me parece inútil
destacar uno de los principios fundamentales
de la escritura egipcio.
Imaginémonos que los francófonos
estuviesen forzados a emplearsolamente un
sistema de imágenes-simbolos para
transcribir las palabaras de su lengua.
Para representar la palabra orange (naranja),
por ejemplo, la primera idea sería la de
dibujar este fruto. Decimos entonces que
dicha palabra esta representada por un
pictograma.
Pero, si bien esta representación visual evoca
directamente la idea, sin embargo presenta
el inconveniente de ser independiente de la
lengua en que se pronuncia. Además, dicho
sistema no permite expresar ideas abstractas
o acciones ni formar frases como ocurre en la
lengua hablada.
Pero en una segunda fase se nos ocurre lo
siguiente: en lugar de utilizar las imágenes
por su sentido pictórico completo vamos a
emplearlas por su valor fonético. La imagen
de un hombre corriendo por ejemplo, ya no
será empleada para significar visualmente lo
que representa sino para expresar el sonido
“CORRE”. Y el de una haya expresará el
mismo sonido “HAYA”. Para representar la
palabra francesa orange bastará con
reproducir una imagen que evoque la idea or
(oro) y acompañarla de la de ange (ángel),
como en el siguiente esquema:
Al pronunciar esta sucesión de imágenes
obtendremos el sonido de OR-ANGE que
evocará a nuestro oído lo que intentábamos
expresar fonéticamente.
Así, para escribir el verbo francés détouner
(desviar) nos bastará con descomponerlo en
tres elementos fonéticos y dibujar
sucesivamente un dé (dado), una tour
(torre), nez (nariz), como lo muestra el
esquema siguiente:
Al leer el conjunto obtendremos el sonido DE-
TOUR-NEZ7 completamente análogo al verbo
de que se trata.
7 En francés la gran mayaoría de las consonantes finales no se pronunciaban, como en este caso
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
57
Las pictografías arcaicas llegaron a la fase del
fenetismo por este procedimiento y
merecieron el nombre de “escritura” Como
estas últimas no permitian la transcripción
del discurso hablado y no dependían de una
lengua determinada, se resolvió el problema
inventando el principio del préstamo fonético
más conoido con el nombre de jeroglífico se
han descompuesto las palabras en abstractas
en tantos elementos como se podían
representar mediante seres u objetos y cuya
pronunciación en una lengua determinada
reproducía aproximadamente las mismas
articulaciones que dichas palabras.
Esto es lo que hicieron los egipcios con las
palabras de su propia lengua cuando
inventaron su escritura jeroglífica.
Lo veremos, por ejemplo, en la maza del rey
Narmer. El nombre de este rey que en
egipcio se decía N’R-MR se ha escrito
yuxtaponiendo el jeroglíco del pez (que dcía
N’R) a la imagen de la tijera que se
pronunciaba MR, como se puede apreciar en
el siguiente esquema:
Cabe suponer que, en su origen, las palabras
egipcias para decir “espiral” y “flor de loto”
correspondían respectivamente a los mismos
sonidos que “cien” y “mil” y que al querer
representar gráficamente eswtos dos
nombres se adoptaron entonces la imagen de
la espiral y la de la flor de loto para sus
sonisos respectivos, independientemente de
su sentido visual directo.
En muchos otrsos pueblos se han proiducido
casos parecidos. En la antigua escritura
china, por ejemplo, el número 1 000 tenía la
misma representación gráfica que el hombre.
Sus nombres respetivos prtobablemente se
pronunciaban de la misma manera en la
época arcaica.
Por su parte, el jeroglífico de la decena de mil
(que representa precisamente un dedo
levantado y ligeramente inclinado) podría
haber constituído una supervivencia del
recuento manaual que los egipcios
empleaban desde la época más remota y que
permitía contar hasta 9 999 gracias a sus
diferentes posturas de los dedos (véanse Pp.
85 – 87).
La cifra para 100 000 podrá tener su origen
en una razón puramente simbólica: evoca el
“croar” de los renacuajos en el Nilo y la gran
fecundidad primaveral de dichos batracios.
En cuanto al jeroglífico del millón, su origen
podría haber sido de orden psicológico. Los
egiptólogos que decifraron por primera vez
este ideograma creyeron que se trataba de
un hombre asustado por la enorme
importancia del número que tenía que
expresar. En realidad ese jeroglífico (que no
solo designaba el valor del millón, sino que
también poseía el sentido de “millones de
años” o de “eternidad”) representaba, ante
todo, a los ojos de los egipcios, un genio que
sostenía la bóveda celeste. En su origen, en
esta imagen-signo hubo probablemente un
hombre (posiblemente un sacerdote o un
astrónomo) que contemplaba las estrellas del
58
firmamento y tomaba entoncs conciencia de
su proliferación.
CÁLCULOS A LA SOMBRA DE LAS
PIRÁMIDES
stamos en el año 2000 a. de J. C. en
las tierras de un cultivador de
cereales de la región de Menfis. Al
acabar la cosecha, un funcion ario del fisco
acude a su casa para controlar la situación de
la producción y fijar el importe de la trasa
anual.
Este último encarga a alguno de sus obreros
que midan el grano y que lo embalen en
sacos por celemines.
La cosecha de ese año ha dado dos tipos de
trigo: almidonero y menor, así como cebada
vulgar.
Para no equivocarse sobre la variedad de
cereales, los obreros reparten trigo
almidonero en hileras de 12 sacos, el trigo
menor en hileras de 15 y la cebada en grupos
de 19 sacos. Estos grupos corresponden
respectivamente a los números 128, 84 y
369.
Al acabar esta operación, el funcionario coge
un pedazo de roca que le va a servir de
“borrador” y realiza algunos cálculos
mediante cifras jeroglíficas.
A a pesar del rudimentario carácter de su
numeración escrita los egipcios han sabido
realizar desde hace mucho tiempo
operaciones aritméticas con sus cifras.
La suma y la resta no representaba ninguna
dificultad: por ejemplo, para la primera basta
yuxtaponer o sobreponer las
representaciones cifradas de los números que
hay que sumar y después agrupar
(mentalmente) las cifras idénticas,
sustituyendo cada 10 signos de una categoría
por las d laclase decimal inmediatamente
superior.
Para sumar los números 1 729 y 696, por
ejemplo, primero se sobreponen como
veremos ahora:
1 729
+ 696
= 2 425
Las representaciones cifradas
correspondientes. Seguidamente se agrupan
amentalmente las barras verticales, las asas,
las espirales y las flores de loto. Después se
sustituyen cada 10 trazos por un asa. 10
asas por una espiral, 10 espirales por una flor
de loto y así sucesivamente. Una vez
acabado todo esto se obtiene el resultado de
la operación.
E
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
59
Los egipcios también saben obtener
inmediatamente el resultado de la
multiplicación o de la división de un número
por 10: les basta con sustituir, en la escritura
del número de que se trate, cada símbolo por
la cifra de su décuplo en el primer caso y por
la décima parte en el segundo.
Multiplicando por 10, el número (= 1 464)
queda automáticamente sustituído por el
siguiente (= 14 640)
Para multilicar y dividir los demás números
los egipcios preoceden de otra manera: como
solo saben multiplicar y dividir directamente
por dos, generalmente hacen duplicaciones
sucesivas, es decir, series de multiplicaciones
por dos.
Volvamos con el “recaudador de impuestos”,
que en su momento está estableciendo el
monto total del sacos de trigo almidonero
multiplicando 128 por 12. para ello, procede
de la siguiente manera:
Con sus cifras jeroglíficas inscribe el
multiplicador 12 en la columna de la derecha
y a su lado, en la columna de la izquierda el
número 1, seguidamente duplica
sucesivamente cada uno e los dos números
hasta que en la columna de la izquierda
aparezca el multiplicando 128. el número 1
536 que corresponde a 128 en la columna
de la derecha, constituye el resultado de esta
operación: 128 x 12 = 1 536
Para determinar el número de sacos de trigo
menor multiplica 84 x 15 y dispone su
operación como hizo antreriormente.
En la columna de la derecha inscribe el
multiplicador 15 y a su lado, en a columna de
la izquierda, el número 1. seguidamente
duplica cada uno de los números. Pero como
el multiplicando 84 esta vez no aparece en la
columna de la izquierda, prosigue la
duplicación hasta que obtiene el número
mayor contenido en ese multiplicando. Se
detiene en el 64, en a columna de la
izquierda, y busca en éste los números cuya
suma sea igual a 84. después señala
mediante un pequeño trazo los números que
ha ido seleccionando (aquí serían los
números 64, 14 y 4), y con una barra oblicua
los correspondientes en la columna de la
derecha (es decir 960, 240 y 60), como se
observa a continuación:
1 15
2 30
4 60 /
8 120
16 240 /
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_________________
60
32 480
64 960 /
Sumando los números marcados con la barra
oblícua, obtiene el resultado:
84 x 15 = 960 + 240 + 60 = 1 260
Por último, para determinar el número de
sacos de cebada, multiplica 396 x 19, para
ello procede de la misma manera,
escribiendo el multiplicado 19 en la columna
de la derecha y, a su lado, en la columna de
la izquierda el número 1. seguidamente
duplica sucesivamente ambos números. Pero
se detiene en el 256, en la columna de la
izquierda, porque la duplicación siguiente
sería 512 que sería superior al multiplicando
369, como se muestra a continuación:
1 19
2 38
4 76 /
8 152
16 304 /
32 608
64 1 216 /
128 2 432
256 4 864
Seguidamente busca en en esa msma
columna los números cuya suma suma de
369, los números que consigue son 256, 64,
32, 16 y 1 y la suma de los números
correspondientes a la columna de la derecha
le da entoncs el resultado que busca:
369 x 19 = 4 864 + 1 216 + 608 + 304 + 19
= 7 011
La cosecha ha dado 1 536 sacos de trigo
almidonero, 1 260 sacos de trigo menor y
7011 sacos de cebada. El funcionario
redondea el primer resultaddo hastra 1 530 y
el terco hasta 7 010 como tiene que recoger
el décimo del rpoducto total de la cosecha,
fija el impuesto en 153 sacos de trigo
almidonero, 126 sacos de trigo menor y 701
sacos de cbada.
La multiplicación egipcia es pues
relativamente simple y puede hacerse sin
tener que recurrir a las tablas de
multiplicación.
La división también se hace por duplicaciónes
consecutivas pero el procedimiento se
efectúa en sentido inverso.
Cerca de Tebas, en el Valle de los Reyes, en
la época del faraón Ramsés II (1290 – 1224
a. J. C.), unos profanadores de tumbas
desvalijaron la tumba real de un soberano de
la dinastía precedente. Se llevaron diademas,
pendientes, dagas broches, dijes, etcétera,
todos ellos de oro con vidrio incrustado.
El número de objetos que se llevaron era de
1476 y el jefe de los ladrones propuso
repartir el botín entre sus 11 hombres. Tomó
un pedazo de arcilla e hizo la división 1476 ÷
12. la operación la plateó como si tuviera que
hacer una multiplicación por 12 escribiendo el
número 1 en la columna de la izquierda y 12,
el divisor, en la columna de la derecha;
después duplicó sucesivamente cada uno de
estos números:
/ 1 12
/ 2 24
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_____
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_________________
61
4 48
/ 8 96
/ 16 192
/ 32 384
/ 64 768
Pero se detuvo en 768, en la columna de la
derecha, porque la duplicación siguiente
daría un número superior al dividendo 1 476.
al llegar aquí buscó en la columna de la
derecha (y no en la de la izquierda) los
números que sumados darían ese dividendo.
Consiguió los números 768, 384, 192, 96, 24
y 12 (cuya suma es precismanete 1 476) y
puso junto a ellos una raya horizontal. Al
sumar los números correspondientes de la
izquierda (es decir, 64, 32, 16, 8, 2 y 1)
obtuvo con bastante facilidad el resultado de
la división.
1476 ÷ 12 =64 + 32 + 16+ 8+ 2 + 1 = 123
Un manuscrito matemático (cuero), redactado en caracteres hieráticos egipcios. Se
trata de una tabla de conversión de fracciones en sumas de fracciones con
numerador igual a 1, que los escribas calculadores empleaban frecuentemente en
sus diferentes operaciones aritméticas
Cada ladrón consiguió entonces 123 objetos
preciosos y el grupo se dispersó.
Naturalmente eswte método solo puede
aplicarse cuando el dividendo es un múltiplo
del divisor. Pero cuando la división no es
exacta, los egpcios recurrieron a las
fracciones de números según unos
procdimientos que sería demasiado
complicado explicar aquí.
Los métodos de cálculo cifrado del Egipto de
los faraones también tuvieron el mérito de
evitar que los calculadores hubieran de
recurrir a la memoria: para multiplicar o
dividir bastaba con sumar y multiplicar por
dos. Sin embargo, les faltó agilidad y unidad
y fueron lentos y muy complejos en
comparación con nuestros métodos actuales.
LAS HERMANAS DE LA NUMERACIÓN
EGIPCIA
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________
62
nce o doce siglos después del Egipto
faronónico, otra civilización muy
avanzada se encontró situada en
condiciones iniciales favorables para la
invención de las cifras y de la escritura. Es
aquella que se desarrolló en la isla de Creta
entre 2 200 y 1 400 aproximadamente antes
de nuestra era y a la que los arqueólogos
llaman la civilización minica (con el nombre
del legendario rey Minos. Primer soberano de
la isla, según la mitología griega)
Al principio del II milenio antes de la era c
ristiana, los cretenses experimentaron una
transformación radical a su modo de vida
tradicional en un marco social y político
nuevo, revelado por la amplitud de las
construcciones d esa época y en particular
por la impresionante construcción de los
primeros palacios fortificados de Cnoso, Festo
y Maliná.
La artesanía (fabricación de joyas, objetos de
arte, cerámica, armas, etcétera) tuvo un
esplendor considerable. El comercio se hizo
muy floreciente y el desarrollo de la riqueza
creció sin cesar. A partir de ese momento los
inventarios, recuentos, notas de entrega, las
operacioneseconómicas y las distribuciones
de víveres y de suministros se hicieron cada
día más numerosas. Por lo tanto fue cada vez
mayaor la anecesidad de memorizar los
números y de fijarlos. Para responder a tales
necesidades los responsables de la
administración “burocratizada” (que sin duda
nación en los primeros palacios de esta
civilización) inventaron una escritura y un
sistema de numeración hacia el año 2 000 a.
de J. C..
Los cretenses van a dar sucesivamente tres
tipos bien diferenciados de escritura:
− La llamada jeroglífica, cuyos signos
serán imágenes más o menos
realistas que representan seres u
objetos de todo tipo;
− La llamada lineal A, derivada de la
primera, pero cuyos signos son
dibujos mucho más esquemáticos.
− Y por último la llamada lineal B, que
procede de una reelaboración de la
antrerior y que sirve para anotar, no
la lengua minoica, sino un dialecto
griego arcaico (el micénico)
La primera será empleada casi
exclusivamente en los palacios desde el año
2000 hasta el año 1 600 a. de J. C.
aproximadamente.
CARA I CARA II
CARA III CARA IV
O
63
Diversas caras escritas en una barra de
arcilla que contiene signos y cifras de la
escritura jeroglífica cretense. Palacio de
Cnoso, 1ª mitad del II milenium antes de J.
C.
La segunda aparece en Creta entre 1 700 y 1
400 antes de nuestra era y se extendió entre
todos los medios administrativos y religiosos
como entre los particulares.
En cuanto a la última, la utilizaron entre 1
350 y 1 200 a. de J. C., después de la
desaparición definitiva de la civilización
minoica y a raíz de las invasiones de la isla
por los micenios. No solo se difundió en Creta
sino también en el continente helénico.
Los sabemos gracias a las excavaciones
arquelógicas que se realizaron a finales del
siglo pasado en Cnoso, Maliná, Festo y Hagia
Tríada, así como en los emplazamientos
griegos de Micenas, Tirinto y Pilo.
Durante este período, como lo atestiguan
numerosas barras y tablillas de arcilla
contables que se descubrieron en dichos
emplazamientos, la notación numérica
cretense experimentó también algunas
modificaciones. Pero estas no consiguieron
modificar la estructura matemática porque
solo afectaron a las grafías de las cifras
correspondientes.
Hay que destacar que este sistema era
totalmente semejante a la numeración
egipcia porque, como ella, en una base
estrictamente decimal y solo atribuía una
cifra particular a la unidad y a cada una de
las potencias del diez.
Tablilla cretense con
cifras y signos de la
llamada escritura
“lineal A”, en hoja
triada, Siglo XVI
antes de J. C.
Tablillas cretenses
con cifras y signos de
la llamada escritura
“lineal B”, Siglos XIV
o XIII antes de J. C.
Al principio los cretenses representaron:
- El número 1 mediante un arco
pequeño de círculo orientado de
forma variada;
- El número 10 mediante una pequeña
marca circular análoga a la cifra
sumeria o elamita del mismo valor;
- El número 100 mediante un gran
trazo oblícuo
- El número 1000 mediante un rombo
Por alguna razón, todavía oscura,
sustituyeron poco a poco estos signos por
otras cifras. A partir del año 1700 a. de J. C.,
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
64
sustituyeron progresivamente la antigua cifra
de la unidad por un pequeño trazo vertical, la
marca crcular, que valía 10, por un trazo
horizontal, y el gran tazo oblicuo de la
centena por un círculo y el rombo del millar
por una figura circular con algún rasgo
particular.
Después, los micenios conservaron estos
signos, pero introdujeron una cifra
suplementaria para 10 000. El signo
correspondiente lo forjaron según una
combinación multiplicativa, deduciendo de la
cifra para 1000, añadiendo en su centro un
trazo horizontal que simbolizaba una decena,
como se muestra a continuación
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
65
1 10 100 1 000 10 000
Sistema
jeroglífico
Primera mitad del
II milenium antes
de J. C.
Las cifras
cretenses
Sistema lineal
“A” de 1 700
aproximadamente
hacia 1 400 antes
de J. C.
Sistema “lineal
B” 1 350
aproximadamente
1 200 antes de J.
C.
Sistema “jeroglífico
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Representaciones cretenses de los primeros nueve números
Pero dejando a un lado estas modificaciones
gráficas, el principio de la numeración
cretense ha permanecido idéntico. Partiendo
de las cifras de alguna de las series, los
números intermedios siempre se han
Sistema “jeroglífico
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Representaciones cretenses de los primeros nueve números
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
66
expresado repiténdose cuantas veces fuera
necesario. Además la escritura de cada
número se hizo generalmente en el orden de
los valores decreciente a partir de las cifras
que representaba la mayor potencia del diez
Representaciones cretenses de los
nueve primeros números
Representación del número 46 568
“lineal”
Dejando a un lado las grafías de las cifras,
esta notación numérica era idéntica a la
numeración jeroglífica egipcia.
En la otra punta del mundo, pero treinta y
cinco siglos después, la civilización azteca
llegó a los mismos resultados. Esta
civilización se desarrolló en México entre los
siglos XIV y XVI de nuestra era, antes de la
llegada de los conquistadores españoles. En
condiciones inicilaes totalmente análogas a la
de los minoicos, también se dieron una
escritura y un sistema de cifras.
Lo sabemos gracias a cierto número de
manuscritos que los especialistas llaman
codex y que en su mayor parte han sido
redactados después de la conquista
española. Uno de los más notables de estos
documentos es el denominado Codex
Mendoza (nombre del primer Virrey de Nueva
España, don Antonio de Mendoza, que ordenó
a los escribas indígenas que resumieran la
historia y la vida cotidiana de los aztecas y
transcribieran los registros de los tributos
recogidos por el Imperio de aquella época
entre las ciudades sojuzgadas por la guerra,
acompañando a cada uno de los detalles
correspondientes con un comentario en la
lengua española)
La escritua azteca era figurativa: sus
caracteres constituían en dibujo realistas que
reproducían seres u objetos de todo tipo. No
obstante, constituyó una especie de
compromiso entre una notación ideográfica y
una notación fonética. Algunos de sus signos
tenían la misión de representar ideas o de
significar visualmente lo que representaban y
otros anotaban sonidos de la lengua azteca
según un principio parecido al de los
jeroglíficos de nuestros pasatiempos. El
nombre de la ciudad de Iztlán estaba
representado por el dibujo de una “lámina de
obsidiana” (que expresaba la palabra Izttli)
seguido de un “diente” (que decía tlán); así
mismo el nombre de la ciudad Coatlán se
representaba mediante un jeroglífico d la
“serpiente” (coatl) y del “diente” (tlán);
etcétera, como se puede apreciar en el
siguiente gráfico:
ITZTLAN COATLAN COATEPEC
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
67
A su vez, la numeración Aztreca era de base
20 y solo poseía cuatro cifras:
- Un punto o un redondel para la
unidad;
- Una especie de hacha para la
veintena
- Una pluma para el número 400 (=
202)
- Un saco lleno de grano para el 8
000 (= 203)
Las cifras aztecas
Una página del
“Codex
Mendoza” en
el que se
enumera el
tributo que 7
ciudades
mexicanas
debían
proporcionar a
los notables de
la ciudad de
Tenochtitlán
Los funcionarios del imperio azteca
expresaban por escrito los resultados de sus
inventarios y recuentos, reproduciendo cada
cifra tantas veces como necesario fuera junto
a los pictogramas apropiados.
El escriba que redactó el Codex Mendoza
consignó así el tributo de las ciudades
mexicanas conquistadas por el ejército azteca
debían entregar cada una, dos o cuatro veces
al año a los señores de la ciudad de
Tenochtitlán, capital del Imperio, situada en
el México actual. La página que reproducimos
enumera de la marca siguiente el tributo que
debía recogerse una vez al año en las siete
ciudades de una misma provincia.
1. En la columna de la izquierda, los nombres
de las siete ciudades de que se trata,
representados cada uno por una combinación
de dibujos que se leen según el siguiente
jeroglífico:
2. En la primera línea de arriba:
Un lote de 400 capas de tejido
cuadriculado negro y blanco;
Un lote de 400 capas de tejido
ricamente trabajado en rojo y blanco
(que llevaban los señores de
Tenochtitlán);
Un lote de 400 taparrabos;
Dos lotes de 400 capas grandes de
color blanco de 4 “brazas” (unidad de
longitud representada mediante los
dedos)
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
68
3. En la segunda línea:
Dos lotes de 400 capas rayadas de
naranja y blanco de 8 “brazas” cada
una;
Un lote de 400 capas de color blanco
de 8 “brazas” cada una;
Un lote de 400 capas multicolores de
2 “brazas” cada una;
Un lotede 400 túnicas y faldas de
mujer
4. En la tercera línea:
Tres lotes de 80 capas ricamente
trabajadas (que llevaban los
dignatarios de la capital)
Dos lotes de 400 sacos de pimienta
(una de cuyas aplicaciones consistía
en servir de castigo a los jóvenes
infractores de las normas)
5. En la cuarta línea:
Dos trajes de ceremonias, 20 sacos
de plumón blanco y dos hileras de
perlas de jade;
6. Y en la última línea:
Dos escudos, una hilera de turquesas
y dos platos ricamente incrustados
con turquesas...
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
69
Los sistema egipcio, cretense, hetita y
azteca: numeraciones hermanas
La numeración azteca presenta una
indudable identidad intelectual con el
sistema de numeración egipcio. Porque como
él, se basaba en el principio aditivo (regla
según la cual el valor de una representación
cifrada se obtiene sumando los valores de las
cifras que contiene) y solo atribuía a un signo
especial a la unidad y a cada una de las
potencias de su base. La única diferencia con
el sistema de numeración egipcio reside en el
dibujo de las cifras y en que su base era
vigesimal en lugar de ser decimal.
Llama la atención ver como unos hombres
tan alejados en el tiempo y en el espacio,
han utilizado algunas veces los mismos
cambios para llegar a resultados
completamente similares en sus
invesigaciones y tanteos. Pero sería absurdo
pensar que estos pueblos han podido
copiarse entre sí: como se ha visto,
simplemente estaban en unas condiciones
iniciales rigurosamente idénticas. Esto explica
que sociedades que nunca han estado en
contacto, que hayan llegado
simultáneamente o en épocas diferentes, a
resultados similares: la conquista del fuego,
el descubrimiento de los números, el
florecimiento del urbanismo y de la
tecnología, el desarrollo de la agricultura, el
trabajo y la aleación de los metales, la
invención de la rueda o del arado.
LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________
70
Op Cit Pp. 235 – 246
Historia
os orígenes de la civilización maya son
objeto de discrepancias académicas en
virtud de las contradictorias
interpretaciones de los hallazgos
arqueológicos. El periodo formativo comenzó,
cuando menos, hacia el 1 500 a.C. Durante el
periodo clásico, aproximadamente entre el
300 y el 900 d.C., se propagó por todo el
territorio maya una civilización más o menos
uniforme. Se construyeron entonces los
grandes centros ceremoniales como
Palenque, Tikal y Copán. Los centros maya
fueron abandonados de forma misteriosa
hacia el año 900 y algunos individuos
emigraron al Yucatán.
En el periodo postclásico, desde el 900 hasta
la llegada de los españoles en el siglo XVI, la
civilización maya tenía su centro en Yucatán.
Una migración o invasión tolteca procedente
del valle de México impactó fuertemente en
sus estilos artísticos. Chichén Itzá y Mayapán
fueron ciudades esplendorosas. La liga de
Mayapán preservó la paz durante algún
tiempo, pero tras un periodo de guerra civil y
de revolución, las ciudades quedaron
abandonadas. Los españoles vencieron con
facilidad a los grupos mayas más
importantes, pero el gobierno mexicano no
logró subyugar las últimas comunidades
independientes hasta 1901. A finales del siglo
XX, los mayas forman la mayoría de la
población campesina en sus países de origen.
Independientemente de cualquier influencia
extranjera, algunos siglos más tarde y en el
otro extremo del mundo, en América Central,
los sacerdotes y astrónomos mayas hicieron
los mismos descubrimientos.
De todas las culturas precolombianas de
América Central, la civilización maya era la
que más prestigio tenía. La influencia que
ejerce4ra sobre las demás (en particular
sobre los aztecas) fue comparaqble a la delos
griegos sobre los romanos de la Antigüedad.
Durante el primer milenio de la era cristiana,
mientras los pueblos occidentales estaban en
pleno desorden político, recesión económica
y oscurantismo, los maas llegaban a las más
altas cimas en los más variados ámbitos:
arte, cultura, arquitectura, educación,
comercio, maqtemáticas y astronomía…
L
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
71
Por ejemplo, en Astronomía, los mayas
tuvieron una idea muy precisa de los
movimientos del sol, de la luna, de Venus y
posiblemente tamién de los planteas Marte,
Mercurio, y Júpiter. Sus descubrimientos
astronómicos, su cómputo del tiempo, su
calendario y la abundante documentación
que reunieron sobre los fenómenos celestes,
speran por una asombrosa precisión, a
muchas observaciones y cálculos realizados
en Europa en la misma época. Por ejemplo,
estimaron la revolución sinódica de Venus en
548 días, lo cual es un error mínimo porque
este ciclo centa en realidad con 583.92 días.
También se dieron cuenta de que el año de
365 días correspondía de manera muy
imperfecta a la realidad y que, si no se
corregía, se llegaría rápidamente a
importantes diferencias entre el calendario y
el verdadero año solar. Entonces llegaron a la
conclusión de que el año solar contaba en
realidad con 365,242 000 días. Resultando
mucha más exacto que el de nuestro
calendario gregoriano. Los cálculos más
recientes dan 365,242 198 días para el año
solar verdadero; sin embargo, el año
gregoriano tiene 365,242 500 días, lo que
constituye un error de + 3,02 diezmilésimas
frente a un error de aproximadamente +
1.98 diezmilésimas del año maya.
Los maya también fueron muy precisos en lo
que respecta a la duración media de una
lunación. Los cálculos contemporáneos,
efectuados con los más perfeccionados
instrumentos, dan un valor de 29,53 059
días. Pues bien, los astrónomos de la ciudad
de Copán encontraron que 149 lunaciones
equivalían a 4 400 días, lo que para una sola
lunación da la cantidad de 29,53 020 días.
Los astrónomos de la cidudad de Planeque (a
la decha) hicieron el mismo cálculo sobre 81
lunaciones y encontraron un resultado mucho
más preciso tadavía; 2 392 días, es decir,
29,53 083 días para una lunación media.
Además, parece que los mayas llegaron a
hacerse una idea de un tiempo infinito e
ilimtado. En Quirigua, se ha descubierto una
inscripción que detalla un período de más de
300 000 000 de años con indicación muy
precisa de los días que inaugura y concluyen
este período, de acuerdo con los calendarios
civiles y religiosos de dicha civilización.
Lo más asombroso, es que los instrumentos
con que disponían los sabios mayas eran de
lo más rudimentario. No conocía el vidrio, ni
por tanto, ninguna forma de óptica; tampoco
conocían los relojes de arena, clepsdras,
todos esos instrumentos que sirven para
registrarr períodos de tiempo inferiores a los
días (horas, minutos, segundos, etcétera) sin
los que parece imposible poder deteminar los
datos astronómicos.
Además, conocían
por completo la
noción de
fracción.
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
72
En realidad, la unidad de tiempo más
pequeña de estos astrónomos era el día.
Medían el día solar auténtico (es decir, el
lapso de tiempo que transcurre entre los
pasos consecutivos del sol por el meridiano
del lugar que sirve de observatorio (a la
izquierda), con nun instrumento muy simple:
el gnomon, especie de cuadrante solar muy
rudimentario. Sabemos que efectuaban las
obnservaciones astronómicas mediante dos
tiras de mada cruzadas sobre las que
reposaba un largo tubo de jadeíta que
permitía la visibilidad.
Pero la astronomía no era la única ciencia en
la que los mayas nos causan admiración. En
el terreno de las matemáticas llegaron a unos
resultados no menos importantes porque
descubrieron el principio de posición e
inventaron el cero.
1 11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
0
Otras variantes gráficas
1 5
En efecto, en los (raros) manuscritos mayas
que poseemos, especialmente el Codex de
Dresde (un tratado de astronomía y de
adivinación que había sido copiado, en el
siglo IX de nuestra era, de un original
redactado tres o cuatro siglos antes)
podemos encontrar testimonio de esto. Dicho
manuscrito revela que entre los sacerdotes
mayas existía un sistema de base veinte
(20), con un cero, donde el valor de las cifras
estaba determinado por su posición en la
escritura de los números, para lo cual usaron
solamente tres grafías:
1 5 cero8
8 El símbolo ha sido estilizado por el coordinador de la Licenciatura de Matemáticas, Lic. Juan Manuel Alvídrez Villarreal
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
73
Las unidads de primer orden de esta
numeración vigesimal, diecinueve en total,
estaban representados por símbolos muy
simples: puntos y trazos. De uno a cuatro
puntos para las cuatro primeras unidades; un
trozo horizontal o vertical para cinco; uno,
dos, tres o cuatro puntos colocados al lado
do sobre el trazo, para los números 6, 7, 8 y
9; dos trazos para 10; y así sucesivamente.
Seguidamente, se escribía cada número
superior a veinte sobre una columna vertical
que contenía tantos pisos como órdenes de
unidades.
Para los números compuestos de dos
órdenes, se colocaba la cifra de las unidades
simples en el piso inferior y la cifra de las
veintenas en el segundo. Así, 21 (= 1 x 20 +
1), se escribía de la siguiente manera:
1
1
y 79 (= 3 X 20 + 19)
3
19
Normalmente, el piso inmediato superior (la
tercera posición de ese sistema de base
veinte) hubiera debido corresponder a
valores 20 veces superiores a las del 2º. Así,
entre nosotros el 3º orden corresponde a las
centenas ( es decir, a los múltiplos de 20 x
20 = 400.
Pero aquí, encontramos una curiosa
irregularidad cuya causa vermos más
adelante: para los sabios mayas el tercer
piso indicaba en realidad los múltiplos de 360
Por ejemplo, la escritura siguiente:
3
19
12
correspondía a:
12 x 360 + 3 x 20 + 19
y no a:
12 x 202 + 3 x 20 + 19= 12 x 400 + 3 x 20
+ 9
Para las posiciones siguientes se volvió a una
utilización estricta de la base 20; cada piso, a
partir del cuarto, vale 20 veces más que el
piso inmediatamente inferior. Debido a la
irregularidad del tercer orden, la 4ª posición
corresponde a los múltiplos de 7 200, = 20 x
360 y no a los de 8 000 = 20 x 20 x 20, la
quinta, a los mútiplos de 144 000 = 20 x 7
200 y no a los 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20 y
así sucesivamente.
Tras multiplicaciones y una suma, permitian
leer una representación de cuatro cifras como
la siguiente:
8
15
19
1
= 1 x 7 200 + 17 x 360 + 8 x 20 + 15 = 7
200 + 6 120 + 160 + 15 = 13 485
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
74
¿Glifos representando conchas?
¿Glifos representando conchas de
caracol?
Otras
formas
Y para que cada cifra se quedase en su piso,
en el caso de que llegasen a faltar las
unidades de algún orden, los sabios mayas
inventaron un cero. A este concepto le dieron
(por razones que desconocemos) una forma
bastante semejante a la de una concha o
caparazón de caracol.
Ejemplo:
0
12
0
16
= 16 x 7 200 + 0 + 0 + 12
Tenemos dos pruebas indiscutibles del genio
matemático de los astrónomos mayas:
Elaboraron una numeración de
posición
Inventaron el cero
Estos descubrimientos escaparon a la
mayoría de los pueblos, en particular a los
pueblos occidentales, que tuvieron que
esperar a la Edad Media para que este
principio y este concepto les llegara a través
de los árabes, quienes a su vez lo habían
recibido de los sabios de la India.
Sin embargo, todavía nos queda una
dificultad por dilusidar: ¿Por qué este
sistema no ha sido estricatamente vigesimal
cuando la numeración oral de los mayas lo
era? En lugar de proceder por potencias
sucesivas de 20 (1, 20, 202 = 400, 203 = 8
000, etcétera), ha dado a sus graducaciones
consecutivas los valores: 1, 20, 18 x 20
(=360), 18 x 202 (= 7 200), etcétera.
En una palabra, ¿por qué razón la tercera
posición de esa numeración la han integrado
a los múltiplos de 360 y no a los múltiplos de
400?
Esta anomalía hizo que el codice maya
craciera de cualquier posibilidad operacional.
En nuestra numeración actual, el cero
desempeña un papel de operador aritmético:
el valor del número 460 = 4 x 100 + 6 x 10
+ 0, a cuya escritura se ha ido añadiendo un
cero al final de la representación del número
46, es decir, 4 x 10 + 6, que es el producto
de 46 por la base 10, es decir, 460 = 46 x 10
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
75
Si la numeración maya hubiese sido
estrictamente vigesimal, su cero hubiera sido
operacional: al añadirse un cero al final de
una representación cifrada, se hubiera
multiplicado por la base 20 el valor del
número correspondiente. Esto no ha sido así,
como podemos comprobar en el ejemplo
siguiente:
2
0
0
2
0
= 2 x 20 + 0 = 40
= 2 x 360 + 0 x 20 + 0 = 720 = 40 x 20
Esta irregularidad ha impedido a los sabios
mayas aprovechar al máximo todos sus
escenciales descubrimientos en el ámbito del
cálculo de la aritmética abstracta.
Las matemáticas al
servicio de la
astronomía.
Los nueve períodos
del tiempo maya
conocidos, con sus
correspondientes
glifos. Kin era un
día; uinal, 20 días
o un mes, tun, 360 días; katun, 20 tuns, y
así se proseguía hasta alautun.
KIN..........UINAL..........TUN............KATUN..
.........BAKTUN.......PICTUN
.....CALABTUN...KINCHILTUN..ALAUTUN
"No se esconde ni aparta tanto el sol de esta
tierra de Yucatán, que vengan las noches,
jamás a ser mayores que los días; y cuando
mayores vienen a ser, suelen ser iguales
desde San Andrés a Santa Lucía (Del 30 de
noviembre al 13 de diciembre-Genet) que
comienzan a crecer los días. Regíanse de
noche para conocer la hora que era por el
lucero y las cabrillas y los astillejos. De día,
por el medio día, y desde él al oriente y
poniente, tenían puestos a pedazos nombres
con los cuales se entendían y se regían por
sus trabajos."
"Tenían su año perfecto como el nuestro, de
366 días y 6 horas. Divídenlo en dos maneras
de meses, los unos de a 30 días que se
llaman U, que quiere decir luna, la cual
contaban desde que salía nueva hasta que no
parecía."
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
76
"Otra manera de meses tenían de a 20 días,
a los cuales llaman UINAL HUNEKEH (Uinal
Hunelk'ech. De Uinal, el mes de 20 días, y de
Hunel-Solo-Solamente, y K'ech-Ladearse,
referencia clara a las posiciones de la Luna);
de estos tenía el año entero (HAAB), 18, más
los 5 días y seis horas. De estas seis horas se
hacía el año de 366 días. Los ados de 360
K'ines o días, se denominan TUNES; 20
Tunes, es un K'atun, o sean 20 años de 360
días (7,200 días). Luego sigue el BAK'TUN, o
sean 20 K'ATUNES, o sean 400 Tunes, de
360 Kines, equivalente a cantidad de
144,000 días. Sigue el P'ICTUN, o sean 20
BAK'TUNES con la suma de 2.880,000 Kines
o días; el CALABTUN, 20 P'ictunes, o
57.600,000 K'ines o días; el K'INCHILTUN, o
sean 20 Calabtunes, o 1,152,000.000, luego
el ALAUTUN, 20 K'inchiltunes, equivalente a
23,040.000,000 K'ines, o días.
Esta forma de expresar lo relativo a los
períodos de tiempo, para formular su
cronología que llevaron a cifras tan enormes,
como nunca pueblo alguno se atrevió a
hacerlo ¡364,440 años! de tal manera que
asombra tal capacidad intelectual para haber
realizado semejantes cálculos, lo cual prueba
abundantemente el alto nivel cultural del
pueblo maya, que en su época de oro se
entregó a las altas matemáticas, lo cual les
permitió manejar varios cómputos
cronológicos a un mismo tiempo, hasta llegar
a formular un cómputo sobre las famosas
Manchas Solares, con una rueda Cronológica
de 23 Dientes, de acuerdo con los ciclos de
menor y mayor incidencia de las mismas en
la esfera solar.
Los cronólogos mayas efectuaron una serie
de investigaciones, como no las realizaron los
chinos ni los egipcios, ni asirios ni babilonios,
que los capacitó a corregir tanto los años
solares, como los lunares, razón ésta que les
permitió manejar perfectamente bien sus
complicados cálculos sobre los años bisiestos,
miles de años antes que los romanos siquiera
intuyeran estas disciplinas, al grado de lograr
indicar (el día) con verdadera exactitud
dentro de un período de cerca de 19,000
años (Morley).
LOS DÍAS MAYAS
os mayas llaman K'IN al día, K'IN al
Sol, K'IN a la época, así como
titulaban K'IN al Sacerdote Solar.
Los Meses llamados UINALES se componían
de 20 días, o sean 20 K'INES
respectivamente, nominados así:
1. IMIX.- De IM, seno, y de IX apócope de
IXIM, maíz.
2. IK'.- Espíritu, viento, aire.
3. AK'BAL.- Anochecer (se ha interpretado
como Verde).
4. K'AN.- Amarillo. estar en sazón, maduro.
L
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
77
5. CHICCHAN.- Precerse (traducido como
rebajarse, empequeñecerse).
6. CIMI.- Muerte, Mortal.
7. MANIK.- De MAAN-Pasar, y de IK'-Viento,
aire, espíritu.
8. LAMAT.
9. MULUC.- De MUL, Mulcintal, hacer
montones, amontonar.
10. OC.-Entrar. Pie. Puñado.
11. CHEN.- Traducido por pozo. Pozo es
CH'EEN.
12. EB.- Escalera.
13. BEN.- De Been beetah, hacer con
lentitud.
14. IX.- Traducido como HIIX-frotar, bruñir.
15. MEN.- De Mentah, hacer una cosa.
16. CIB.- Vela, cera, candela.
17. CABAN.- De Cab, tierra, y de An, ruido.
18. EZNAB.- Traducido por Edznab, asentarse
sobre cimientos.
19. CAUAC.- De Ca partícula duplicativa, y
uac sacar una cosa dentro de otra.
20. AHAU.- Rey. Traducido como de Ah,
calidad, pertenencia, A eufónica y U Luna,
perla.
NOTA: Hay que advertir que hasta la
presente fecha no se han definido los
verdaderos significados de estos jeroglíficos
mayas.
LOS MESES MAYAS. (UINALES)
os meses mayas 18 de a 20 K'INES, o
días, más el UAYEYAB o sean los 5
días aciagos, que completan los 365
días del HAAB, ya que el TUN solamente
abarca 360 K'INES, o días. Los nombres de
los Meses son estos:
1. POOP.- Estera. Petate.
2. UOH.- Letra. Signo.
3. ZIP.- Pecado. Culpa.
4. ZODZ.- Murciélago.
L
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
78
5. TZEC.- Sermón, prédica. (El nombre
correcto es TZEEC).
6. XUL. Límite, final, remate, fin.
7. YAAXK'IN.- Sol verde. De YAAX-VERDE, y
K'IN-Sol.
8. MOL.- Recoger.
9. CHEN.- Solamente. (Traducido como
CHE'EEN-POZO).
10. YAX.-Primero. (Traducido como YAAX-
Verde y azul. Verde y azul, es YAAXNIC.
11. ZAC.- Blanco.
12. KEH.- Venado.
13. MAC.- Tapa, tapar, cubrir.
14. KANK'IN.- Sol amarillo, De K'AN-Amarillo,
y K'in-sol.
15. MUAN.- De MOAN tiempo nublado y
lloviznoso.
16. PAX.- Música. Tocar.
17. KAYAB.- Muchos Cantos. K'AY-Canto, y
YAAB-Mucho.
18. CUMKU.- De CUM, detenerse, y de K'U-
Dios. Pararse el Dios.
19. UAYEB o UAYEYAB.- Días aciagos (son 5
estos días).
NOTA: Los jeroglíficos de los nombres de los
días como de los meses, no se definen
propiamente dicho, ya que los mayistas
difieren acerca de la traducción apropiada.
20 kines
18 uinales
20 tunes
20 katunes
20 baktunes
20 pictunes
20 calabtunes
20 kinchiltunes
= 1 uinal, o 20 días
= 1 tun, o 360 días
= 1 katún, o 7,200 días
= 1 baktún, o 144,000
días
= 1 pictún, o 2.880,000
días
= 1 calabtún, o
57.600,000 días
= 1 kinchiltún, o
1,152.000,000 días
= 1 alautún, o
23,040.000,000 días
Encontramos numerosos ejemplos en las
magníficas inscripciones cronológicas que
adornan una serie de estelas mayas
rebosantes de representaciones fantásticas.
He aquí uno sacado de la “estela E” de
Quiriguá
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
79
KATUN BAKTUNKIN..... ..... UINAL.......... TUN............
Jeroglíficos mayas de unidades de tiempo
Estela A de Quiriguá. En este monumento,
erigido en el 775 de la era cristiana, los
dioses han sido esculpidos delante y detrás,
y los glifos (calendarios astronómicos y otro
tipo de calendarios) en los lados
La fecha de erección de la estela se inicia en
la línea de arriba con dos grupos jeroglíficos:
el primero, está compuesto la cifra 9 y una
cabeza de divinidad que representa al
baktun y el otro por la cifra 17 y una cabeza
de divinidad que representa el katun.
Continua inmediatamente en la línea inferior
por otros dos grupos que significan
respectivamente “cero tun” y “cero uinal”. Y
en la línea de abajo se acaba por un grupo
que quiere decir “cero kin”, como se muestra
en el siguiente esquema:
17 KATUNES17 X 7 200 días122 400
9 BAKTUNES9 X 144 000 DÍAS
1 296 000 DÍAS
O UINAL0 x 20 días0 días
0 TUN0 X 360 DÍAS
0 DÍAS
0 KIN0 x 1 día
0 días
Quienes edificaron la estela expresaron el
número de días transcurridos desde el
principio de la era maya hasta el día cuya
fecha había querido iniciar. La fecha de
erección del monumento también se
interpreta numéricamente de la siguiente
manera:
9 baktunes 9 x 144 000
d
1 296 000
días
17 b
katunes
17 x 7 200 d 122 000 días
0 tun 0 x 360 d 0 días
0 uinal 0 x 20 d 0 días
0 kin 0 x 1 d 0 días
TOTAL 1 418 400
días
Habían transcurrido un millón cuatrocientos
dieciocho mil cuatrocientos días desde el
principio de la era maya hasta el día de que
se trata. Tras una operación de conversión
bastante simple, se deduce que la estela E de
Quiriguá fue erigida el 24 de enero del 775
después de J. C. de nuestro calendario
gregoriano.
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
80
Este ejemplo demuestra que los mayas
simbolizaban en sus inscripciones
cronológicas la ausencia de las unidades de
tiempo de algún orden mediante un
jeroglífico con los más diferentes aspectos.
Forma jeroglífico-cero de las estelas mayas
Entonces, ¿por qué utilizaron un jeroglífico
particular que funcionaba realmente como
cero en un sistema donde un concepto como
ese era necesario matemáticamente?.
¿Por qué indicaron la fecha anterior bajo la
forma:
9 baktunes, 17 katunes, 0 tunes, 0 unional y
0 kin?
Habría sido más simple y más rápido anotarla
de la siguiente manera:
9 baktunes y 17 katunes
en realidad los mayas no omitieron el
jeroglífico de una unidad de tiempo mpor
razones de tipo gráfico y religioso.
En el plano religioso, cada una de estas
unidades estaba concebida como un saco que
llevaba a sus espaldas el dios guardián del
tiempo. Al acabar una de ellas, la divinidad a
la que el calendario maya atribuía el número
siguiente se hacía cargo del tiempo futuro.
En la fecha 9 baktunes, 11 katunes, 7 tunes,
7 uinales y 2 kines , por ejemplo, la divinidad
que presidía los días llevaba al dios del
número 2, la encargada de los meses, al dios
del número 5, la encargada de los años, al
dios del número 7 y así sucesivamente.
Dios
portador
Dios
portador
Dios
portador
Dios
portador
Dios
portador
de los de los de los de los de los
BAKTUNES KATUNES TUNES UINALES KINES
Remitiéndonos a nuestro propio caendario, es
como si hubieran habido 6 divinidades
portradoras para el día 31 de diciembre de
1899:
Una portadora del número 31 para el
día;
Una portadora del número 12 para el
mes;
Y otra portadora del número 9 para el
año;
Finalmente, otra portadora para el
número 9 para la década; y asi
sucesivamente
Al acabar ese día, esta sucesión de
divinidades, habría marcado una pequeña
pauta antes de reanudar su curso, pero el día
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS_______
81
siguiente, ue también sería el día primero de
mes del año siguiente, tanto el dios portador
de los meses, estarían encargados del
número 1. co el cambio del siglo (paso del
año 1899 al 1900), los dioses portadores de
los años y las décadas, estarían
momentáneamente descargados de sus
respectivos sacos, mientras que la divinidad
portadora de los siglos habría recibido el peso
del número 9. el dios de los milenios
conservaría intacto lo que llevaba sobre sus
hombros desde el año 900.
Ahora bien, razonando según el pensamiento
místico de los mayas y volviendo a la fecha
“9 baktunes, 17 katunes, 0 tunes, 0 uinales y
0 kin”, ¿cómo habrían relacionado los dioses
de los kines, los uinales y los tunes si
hubieran suprimido sus esfinges de una
estela cnmemorativa?
Los escultores y los modeladores mayas no
podían correr el riesgo de irritarles.
Adeas, las unidades de tiempo se sucedían
en un orden inmutable y constantemente
repetido. Estaban inscritas en la rigurosa
progresión de los valores decrecientes, de
arrba hacia abajo y empezando por la más
elevada. Así, si no hubiese introducido el uso
de un signo especial para señalar la ausencia
de unidad de tiempo de determinado orden,
se habría roto la ordenada disposición sobre
la estela de los jeroglíficos correspondiente.
La preocupación estética, el temor místico,
así como el carácter solemne y las exigencias
de una “compaginación” particularmente
cuidada de las estelas mayas, hicieron que la
invención del cero fuera totalmente
necesaria.
Pero este sistema se inscribía también en una
línea evolutiva que conducía inevitablemente
al descubrimiento del principio de posición.
Con tanto rigor como sobre una “tabla de
contar”, estas unidades de tiempo eran
colocadas en el orden de su progresión
matemáticapor el hábil cicel de las
estructuras.
Las ventajas aritméticas de una presentación
de este tipo no pasaron desapercibidas a los
sacerdotes-astrónomos mayas. Llevados por
un afán de simplificación de las expresiones
de sus fechas cualquier mención de los
jeroglíficos indicadores de las unidades de
tiempo en sus manuscritos, y solo dejaron,
en definitiva, las series de los coeficientes
correspondientes. A partir de ese momento
se conformaron con escribir, en el sitio
correcto, el cero o una de las cifras del 1 al 9.
En lugar de indicar la fecha “8 baktunes, 11
katunes, 0 tunes, 14 uinales y 0 kines”, de
esta manera:
. .........KIN UINAL.......... TUN..... .......
BAKTUNKATUN
Lo expresaron de esta manera:
82
014
11
8
0
Po supuesto, la omisión de los glifos
indicadores de las unidades de tiempo no
debió de plantear ningún problema en el
plano religioso porque esos manuscritos no
tenían el carácter solemne y sagrado de las
estelas conmemorativas.
Parece evidente que el uso del cero seguia
siendo necesario aunque, en esta ocasión, lo
era por razones de índole matemática.
Los astrónomos mayas, libres ya de
contingencias místicas o teológicas, llegaron
a poseer una notable numeración escrita de
posición con un verdadero cero y, por lo
tanto, potencialmente aplicable a cualquier
tipo de cálculo.
Esta numeración, que estaba calcada en el
sistema de expresión de las fechas y
concebida únicamente para satisfacer las
necesidades de la astronomía y del cálculo
del tiempo, siguió conservando para su
tercera posición el valor de la tercera unidad
de tiempo. En lugar de indicar en dicha
posición los múltiplos de 20 x 20 = 400, solo
expresaron 18 x 20 = 360. Esto,
desgraciadamente, la incapacitó para realizar
operaciones y para cualquier desarrollo
matemático.
LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________
83
¿A QUÉ SE DEBE EL ANUMERISMO9?
John Allen Paulos10
xperiencia personal creciente en una
cafetería suburbana: pido una
amburgesa, patatas fritas y una
cocacola. La cuenta sube a 2.01 dólares y la
cajera, que lleva varios meses trabajndo allí,
maneja torpemente una tbabla donde, junto
al precio marcado por la registradora, figura
el impuesto que hay que añadir, el 6 %,
hasta encontrar la línea que dice 2.01
dólares, 0.12 dólares. En atención al
anumerismo de sus empleados, las grandes
concesionarias tienen ya cajas registradoras
con teclas que llevan dibujados los artículos y
que añaden el impuesto.
Según un estudio reciente, que un
departamento exija o no cierto nivel en
matemáticas o estadística es determinante
cuando una mujer elige dónde matricularse
en el tercer ciclo de Ciencias Políticas.
Cuando oí al sabio astrónomo, cuyas
lecciones despertaban tanta admiración en el
9 PAULOS, John Allen, en El hombre anumérico, Turquets Editores, Barcelos 2000, Pp.113 – 128 10 John Allen Paulos, de origen neoyorkino, es doctor en matemáticas para la Universidad de Wisconsin y enseña esta disciplina de en la Template Univerity de Filadefua, además de colaborar en la prensa de su pais
aula Que inexplicablemente pronto empecé a
sentirme cansado y hastiado.
Walt Whitman
E
A QUE SE DEBE EL ENUMERALISMO
John Allen Paulos
A QUE SE DEBE EL ENUMERALISMO________________________________
84
Op cit Pp. 114 – 120
Por qué el anumerismo está tan
extendido entre personas que, por otra
parte, son insustituidas? Siendo un
tanto simplistas, diremos que las razones son
una educación insuficiente, cierto bloqueo
psicológico y falsas ideas románticas acerca
de la naturaleza de las matemáticas. Mi
propio caso es la excepción que confirma la
regla. El recuerdo más antiguo que tengo de
haber querido ser matemático corresponde a
mis 10 años de edad, cuando calculaba que
determinado lanzador suplente de los
Milwaukee Braves de aquella época tenía una
media de carreras ganadas (MCG) de 135
(para los aficionados del bésibol: dejaba que
le marcaran cinco carreras y solo eliminaba a
un bateador) Impresionado con un MCG tran
extraordinariamente malo, se lo expliqué
tímidamente a mi maestro, que me pidió que
lo explicara en clase. Como yo era muy
tímido, lo hice con una vocecita temblorosa y
rojo como un tomate. Cuando hube
terminado, dijo que yo estaba
completamente equivocado y que me
sentara. Los MCG, dijo con autoridad, nunca
pueden ser superiores a 27.
Al acabar la temporada , The Milwaukee
Journal publicó las medias de todos los
jugadores de la Major Leagues y, como aquel
lanzador no había vuelto a jugar, su MCG era
135, el mismo que yo había calculado.
Recuerdo que tuve la sensación de que las
matemáticas eran un protector omnipotente.
Con ellas uno podía demostrar cosas a otras
personas y éstas le había de creer, tanto si
les gustaba como si no. Así que, picado aún
por la humillación que había sentido, llevé el
periódico a la escuela para enseñárselo al
maestro. Me echó una mirada horrible y me
volvió a ordenar que me sentara. Al parecer,
la idea que tenía él de impartir una buena
educación consistía en asegurarse de que
todo el mundo permaneciera sentado.
Aunque no esté ordenada por ordenancistas
como mi maestro, la enseñanza elemental de
las matemáticas es generalmente pobre.Las
escuelas primarias consiguen, por lo general,
enseñar las operaciones elementales de
sumar, restar, multiplicar y dividir y también
los métodos para manejar fracciones,
decimales y porcentajes. Por desgracia, no
son tan eficaces a la hora de enseñar cuánto
hay que sumar o restar, cuánto multiplicar o
dividir, o cómo convertir fracciones en
decimales o porcentajes. Rara vez se
trabajan los problemas aritméticos: cuándo,
a qué distancia, cuántos años tiene, cuántos.
En parte, el temor que sienten los
estudiantes mayores ante ciertos problemas
de enunciado se debe a que, cuando estaban
¿
EVOCACIÓN DE ANUMERISMOS PASADOS
EVOCACION DE ANUMERALISMOS PASADOS________________________________
85
en los niveles elementales, no les pidieron
que encontraran la respuesta a preguntas
cuantitativas como éstas.
Muy pocos estudiantes aprueban la
enseñanza básica sin saber las cuatro reglas
de la aritmética, pero muchos pasan sin
entender que si uno va a 50 km/h durante 4
horas, recorrerá 200 kilómetros en total; que
si los cacahuates cuestan 40 centavos la
onza y una bolsa cuesta 2.20 dólares,
entocnes la bolsa contiene 5.5 onzas de
cacahuate; que si ¼ de la población mundial
son chinos y 1/5 del resto son indios,
entonces 203 o el 15 por ciento de los
habitantes del mundo son indios. Esta clase
de comprensión no es, naturalemente, tan
simple como saber que 35 x 4 = 140, que
(2.2)(0.4) = 5.5, o que 1/5(1 – ¼) = 203 =
0.15 = 15 por cien. Y como muchos de los
estudiantes de los niveles elementales no
llegan a ello de un modo natural, hay que
insistir platicándoles muchos problemas,
algunos prácticos y otros imaginarios.
En general, aparte de unas pocas lecciones
sobre redondeo de números, tampoco se
enseña a hacer cálculos. Y raramente se
enseña que el redondeo y las estimaciones
razonables tengan algo que ver con la vida
real. No se pide a los estudiantes de la
escuela primaria que hagan un cálculo de
cuántos ladrillos en na pared de la escuela,
de la velocidad a que es capaz de correr el
más rápido, del porcentaje de estudiantes
cuyos padres son calvos, del cociente entre la
circunferencia de la cabeza de alguien y su
estatura, de cuántas monedas de cinco
centavos hacen falta para hacer una torre de
la altura del Empire State Building, o si
dichas monedas cabrían en el aula de
estudio.
Casi nunca se enseña a razonar
inductivamente, ni se estudian los fenómenos
matemáticos con vistas a captar las reglas y
propiedades más relevantes. Las discusiones
de lógica informal son tan frecuentes en los
cursos de matemáticas elementales como las
discusiones de las sagas de Islandia. No se
comentan enigmas, juegos o adivinanzas … y
estoy convencido de que en muchos casos se
debe a que los alumnos brillantes podrían
superar muy fácilmente a sus maestros. En
sus encantadores libros de divulgación
matemática y en sus columnas de Sientific
American Martín Gardner ha explorado de un
modo sumamente atractivo la íntima relación
que hay entre esos juegos y las matemáticas.
Dichos libros, lo mismo que How to Solve It
(cómo resolverlo), o matematics and
Plausible Reading (Matemáticas y lectura
posible), del matemático George Polya,
serían una lectura recomendada muy
estimulante para los estudiantes de
bachillerato o para los primeros cursos de la
Universidad (bastaría con que se los
recomendaran)
Un libro encantador con un sabor parecido al
de los anteriores, pero en un nivel más
elemental, es I Hate Matematics (odio las
matemáticas), de Marilyn Burns. Está lleno
de lo que no suele haber en los libros de
texto de mates elementales: indicaciones
EVOCACION DE ANUMERALISMOS PASADOS________________________________
86
heurísticas11 para la solución de problemas e
imaginación.
En cambio, demasiados libros de texto se
dedican aún a presentar listas de nombres y
palabras y las ilustraciones, cuando las hay,
son pocas. Señalan, por ejemplo, que la
suma tiene la propiedad asociativa pues (a +
b) + c = a + (b + c). Pero raramente se cita
alguna operación que no lo sea, con lo que,
en el mejor de los casos, la definición parece
innecesaria. Y en cualquier caso, ¿qué puede
hacer con este fragmento de información?.
Parece también como si otros términos se
introdujeran con la única razón fundamental
de que, impresos en negritas y enmarcados
en un recuadro en medio de la pagina,
quedan bonitos. Satisfacen la idea que
mucha gente tiene del conocimiento, como
una especie de botánica general en la que
hay un lugar para cada cosa y cada cosa
tiene su lugar. La matemática como
herramiento útil,como modo de pensar o
como fuente de placer es algo
completamente ajeno a la mayoría de
programas de la educación elemental (incluso
de aquellos que usan libros de texto
adecuados).
Puede pensarse que a estas alturas ya
tendríamos que disponer de material
informático que facilitara la enseñanza de los
fundamentos de la artimética y sus
aplicaciones (problemas de enunciado,
estimaciones, etcétera). Por desgracia los
programas que tenemos en la actualidad son
11 Disciplina que trata de establecer las reglas de la investigación
demasiado a menudo, simples simples
transcripciones, a monitor de televisión, de
listas poco imaginativas corresponidentes a
ejercicios rutinarios sacadas de un libro de
texto. No sé de ningún problema que ofrezca
un enfoque efectivo, coherente e intergado a
la aritmética y sus aplicaciones en la
resolución de un problemas.
Parte de la culpa de la pobre instrucción que
se recibe en la escuela primaria recae en los
maestros poco competentes y que en el
fondo tienen poco interés en las
matemáticas. Y, a su vez, la culpa de que
esto ocurra la tienen las escuelas del
magisterio que en sus cursos de formación
del profesorado insisten poco en la
importancia de las matemáticas, si es que lo
hacen. Según mi propia experiencia, los
estudiantes que se preparan para enseñar
mates en las secundarias (contrariamente a
lo que ocurre con los estudiantes de la
licenciatura de matemáticas) son
generalmente los peores que asisten a mis
clases. El bagaje matemático de los futuros
maestros de escuela primaria es peor aún, y
en muchos casos, inexistente.
Una solución parcial prodíra consistir en
contrastar uno o dos matemáticos para cada
escuela primaria, que fueran pasando por las
distintas clases y reforzaran (o se hicieran
cargo de) de la enseñanza de las
matemáticas. A veces pienso que podría ser
una buena idea que los profesores de mates
y los maestros de primaria cambiaran sus
puestos durante unas semanas al año. Estar
en manos de maestros de primaria no
EVOCACION DE ANUMERALISMOS PASADOS________________________________
87
supondría ningún perjuicio para los futuros
licenciados y doctores en matemáticas (de
hecho,aquellos podrían aprender algo de
éstos) y en cambio, para los alumnos de los
ciclos medio y superior de la primariasería
provechoso aprender acertijos y juegos
matemáticos presentados por gente
competente.
Y ahora una pequeña digresión. Esta
conexión entre los acertijos y las
matemáticas se mantiene incluso en el nivel
universitario, tanto en la docencia como en la
investigación, y lo mismo cabría decir del
humor. En mi libro Mathematics and Humor
(Matemáticas y humor) intenté demostrar
que ambas actividades son formas de juego
intelectual que a menudo confluyen en
rompecabezas, acertijos, juegos y paradojas.
Tanto la matemática como el humor son
combinatorios, uniendo y separando ideas
por mera diversión: yuxtaponiendo,
generalizando, iterando o invirtiendo
(AIXELSID). ¿Qué pasa si se relaja esta
condición y aquella se hace más restrictiva?
¿Qué tiene en común esta idea, los
trenzados, por ejemplo, con aquella, que
aparentemente pertenece a un campo muy
dispar, las simetrías de cierta figura
geométrica, por ejemplo? Naturalmente, esta
faceta de la matemática no es muy conocida,
ni siquiera para quienes tienen cierta cultura
numérica, pues para poder jugar con los
conceptos matemáticos, hace falta tenerlos
previamente muy claros. Son muy
importantes también, tanto para las
matemáticas como para el humor, la
ingenuidad,cierto sentido de economía en la
expresión y capacidad para detectar lo
absurdo.
Los matemáticos tienen, como se puede
apreciar, un sentido de humor carácterístico,
que podría ser fruto de su preparación.
Suelen tomar las experiencias al pie de la
letra, y en ese sentido literal es a menudo
incongruente con la corriente, y de ahí su
comicidad. Encuentran place en la reducción
al absurdo, la práctica lógica de llevar una
premisa a sus últimas consecuencias, y en
diversas clases de juegos de combinación de
palabras.
Si la formación de palabras comunicara esta
faceta lúdica del tema, ya sea formalmente,
a los nivbeles de enseñanza, primario, medio
o universitario, o informalmente en libros de
divulgación, no creo que el anumerismo
estuviera tan extendido como está.
EVOCACION DE ANUMERALISMOS PASADOS________________________________
88
Op cit Pp.120 – 126
uando los estudiantes llegan al
bachillerato, el problema de la
capacidad del profesor es ya más
crítico. La industria de los ordenadores la
banca u otros campos de la misma
naturaleza absorven una parte tan
importante de los pocos matemáticos bien
preparados, que pienso que solo se podrá
evitar que empeore la situación en nuestros
institutos con incentivos salariales
sustanciosos para los profesores de
matemáticas bien cualificados. Como en este
nivel no es tan importante haber recibido un
gran número de curss pedagógicos como
cierta maestría en las mateáticas escenciales,
podría ser provechoso dejar la enseñanza de
las matemáticas en manos de los ingenieros
retirados y otros profesionistas científicos. En
la situación actual, en muchos casos no se
consigue que los estudiantes adquieran los
elementos básicos de la cultura matemática.
En 1579 Vieta empezó a usar las variables
“x, y, z, etcétera” para simbolizar cantidades
dsconocidas. La idea es simple, y sin
embargo muchos estudiantes de bachillerato
de hoy son incapaces de seguir este método
de razonamiento que ya ha cumplido los
cuatrocientos años: sien do “x” una
incógnita, encontrar la ecuación que ha de
satisfacer “x” y despejarla para determinar el
valor que buscamos.
Incluso cuando las incógnitas están
presentadas convenientemente y se puede
plantear la ecuación, con demasiada
frecuencia las manipulaciones necesarias
para su resolución solo se comprende
vagamente. Ojalá me dieran cinco dólares
popr cada estudiante que, teniendo aprobado
el álgebra del bachillerato, escribe en una
prueba de acceso a la universidad que (x +
y)2 = x2 + y2.
Aproximadamente cincuenta años después de
que Vieta introdujera el uso de las variables
albegraicas, Descartes ideo un modo de
asociar a cada punto del plano un par
ordenado de números reales y, de este
modo, relacionar las ecuaciones algebraicas
con las curvas geométricas. El campo de las
matemáticas que resultó de esa idea tan
fundamental es la geometría analítica,
escencial para entend el cálculo: sin
embargo, nuestros estudiantes salen de los
institutos sin saber representar gráficamente
rectas ni parábolas.
En la escuela secundaria ni tan solo se
enseña eficazmente la idea griega (que ya
tiene 2 500 años) de la geometría
axiomática: partiendo de unos pocos axiomas
evidentes que se dan por sentados, deducir
los teoremas, con la única ayuda de la lógica.
C
LA EDUCACIÓN SECUNDARIA Y LA UNIVERSITARIA
LA EDUCACION SECUNDARIA Y LA UNIVERSITARIA____________________________
89
¡Uno de los libros más usados en las clases
de geometría de la escuela secundaria
emplea más de 100 axiomas para demostrar
un número similar de teoremas! Con tántos
axiomas los teoremas son superficiales,
carecen e profundidad y bastan tres o cuatro
pasos para demostrarlos.
Además de alcanzar cierto nivel de
comprensión del álgebra, la geometría y la
geometría analítica, los estudiantes de
bachillerato deberían oir hablar de las ideas
principales de lo que se conoce como
matemáca infinita. La combinatoria (que
estudia los diversos modos de contar las
permutaciones y combinaciones de objetos),
la teoría de los grafos (que estudia redes de
líneas y vértices, así como los fenómenos que
se pueden modlizar con estas técnicas), la
teoría de los juegos (teoría de las
matemáticas de los juegoos de toda clase), y
en especial la probabilidad, son cada vez más
importantes. De hecho, la reforma
consistente en enseñar cálculo en algunos
institutos me parece perversamente
equivocada si significa que los temas de
matemática finita que he citado hayan d
eliminarse. (Estoy refiriéndome ahora a un
programa de estudios ideal para instituto.
Según el último “Mathematics Report Card”
del Educactional Testing Service, la mayoría
de los estudiantes norteamericanos de
bachillerato apenas si saben resolver los
problemas elementales de que se habla unas
páginas atrás)
El instituto es el lugar idóneo para llegar a los
estudiantes. Cuando han accedido a la
universidad ya es demasiado tarde para
ellos, pues carecen de la base adecuada en
álgebra y geometría analítica. Y aún los
estudiantes con una base matemática
razonable no son siempre conscientes de
hasta qué punto otros campos del
conocimiento se están “matematizando”, con
lo que también ellos eligen un mínimo de
matemáticas en la universidad.
Las mujeres, en particular, pueden ir a parar
a campos poco provechosos porque hacen
todo lo posible por ahorrarse un curso de
química o de economía en los que se pida un
nivel previo de matemáticas o de estadística.
He visto demasidas mujeres brillates que
iban a parar a sociología y a demasiados
hombres mediocres que iban a económicas, y
la única diferencia era que los hombres
habían logrado aprobar por los pelos un par
de asignaturas de matemáticas en la
universidad.
Los estudiantes de la licenciatura de
matemáticas, que reciben los cursos de
fundamentos de ecuaciones diferenciales,
cálculo superior, álgebra abstracta, álgebra
lineal, topología, probabilidad y estadística,
análisis real y complejo, etcétera, tienen
muchas opciones, además de matemáticas e
informática, en una variedad creciente de
campos que emplean las matemáticas.
Incluso, en la prospectiva para empleos …
LA EDUCACION SECUNDARIA Y LA UNIVERSITARIA____________________________
90
Op cit Pp. 137 – 139
na causa del anumerismo más
común que las ilusiones
psiocológicas es lo que Sheila Tobias
llama angustia matemática. En Overcoming
Math Anxierty (Superando la angustia
matemática) describe el bloqueo que tienen
muchas personas (especialmente las
mujeres) ante las matemáticas de cualquier
tipo, incluos la aritmética. Las mismas
personas que pueden entender los matics
emocionales más sutiles de una
conversación, las tramas más entreversadas
en literatura y los aspectos más intrincados
de un asunto legal, parecen incapaces de
captar los elementos básicos de una
demostración matemática.
No parece tener ningún marco de referencia
matemático ni unos conocimientos
fundamentales sobre los que construir.
Tienen miedo. Un miedo que les han metido
los maestros autoritarios y a veces sexistas,
y otras personas que probablemente padecen
también a su vez de angustia matemática.
Los infames problemas de términos les
aterrorizan, están convencidos de que son
estupidos. Tienen la sensación de que hay
mentes bien dotadas para las matemáticas y
otras que no lo están, y que, mientras las
primeras siempre llegan enseguida a la
respuesta correcta, las otras son
irremediablemente impotentes.
No ha de sorprendernos pues que estos
sentimientos constituyan un obstáculo
formidable para el numerismo. Sin embargo,
algo se puede hacer por aquellos que lo
padecen. Una técnica muy simple y que da
unos resultados sorprendentes consiste en
explicar claramente el problema a una
tercera persona. Si el supuesto alumno
escucha esta explcación, puede pensar sobre
el problema un rato suficientemente largo
para darse cuenta de que, pensando un
poquito más, acabaría llegando a algunos
resultados. Otras posibles técnicas son: usar
números más pequeños estudiar problemas
más sencillos relacionados con el que nos
ocupa; recoger información relacionada con
el problema; recorrer el camino inverso a
partir de la solución; hacer dibujos y pintar
diagramas; comparar el problema o partes
del mismo con problemas que ya se
comprenden bien y, sobre todo, estudiar el
mayor número posible de problemas y
ejemplos, cuidando de no caer el formulismo.
El tópico de que se aprende a leeer leyendo y
a escribir escribiendop vale también para
aprender a resolver problemas matemáticos
U
LA ANGUSTIA MATEMÁTICA
LA ANGUSTIA MATEMATICA____________________________
91
(y hasta para aprender a hacer
demostraciones matemáticas).
Al escribir este libro he llegado a entender un
modo en el que yo, y probablemente los
matemáticos en general, podmos estar
contribuyendo sin querer al anumerismo. Me
resulta difícil escribir largas parrafadas sobre
cualquier cosa. Ya sea por mi formación
matemática o por mi temperamento innato,
tiendo a destilar los puntos cruciales y a no
entretenerme (quisiera decir “perder el
tiempo“) en temas o contextos colaterales, ni
en los detalles bibliográficos. El resultado de
ello es, me parece, una exposición nítida, que
sin embargo puede ser intimidatoria para
aquellas personas que preferirían un enfoque
más pausado. La solución sería que personas
con formación muy variada escribiera sobre
matemáticas. Como se ha dicho ya, las
matemáticas son demasiado importantes
para dejárselas a los matemáticos.
Otro fenómeno, distinto de la angustia
matemática y mucho más difícil de tratar, es
el letargo intelectual que afecta a un número
pequeño, aunque cada vez mayor, de
estudiantes que parecen tan faltos de
disciplina mental o de motivación que no les
entra nada.los caracteres obsesivo-
compulsivos son suceptibles de
desentumecerse y las personas que padecen
de angustia matemática pueden aprendr
modos de aquietar sus miedos, pero, ¿qué se
puede hacer con los estudiantes que no se
esfuerzan en concentrar ni una pizca de sus
energías en cuestiones intelectuales? A veces
les reconvienes. La respuesta no es “x” sino
“y”. Te haz olvidado de tener en cuenta esto
o aquello. Y la única respuesta es una mirada
vaga o un “ah, sí” sin ningún interés. Sus
problemas solo son de un orden más serio
que la angustia matemática.
LA ANGUSTIA MATEMATICA____________________________
92
BLOQUE III
NÚMEROS
RACIONALES
Política, Economía y Nacional12
Solo se puede predecir lo que ya ha
sucedido
Eugene Ionesco
Paulos, John Allen13
esultan asfixiantes esos escritos con
una sola tesis que se formula al
principio y que no hace más que
repetirse y ampliarse del modo más
previsible. Me recuerdan esas fiestas en que
un invitado, no necsariamente del sexo
masculino, nos acorrala con anécdotas
aburridas e interminables, sin querer omitir
ningún detalle ni desviarse de su consagrado
método de exposición. Por el contrario, parte
del atractivo que tienen para mi los
periódicos se basa en su heterogeneidad y en
sus aleatorias vías de acceso. Si quiero
comprobar la sección de libros, los artículos
de firma célebre, las noticias médicas o las
12 Paulos Allen John. “En Un matemático lee el periódico”, Tusquets Editores, España 2002 Pp.21 – 25 13 John Allen Paulos, Doctor en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin. Enseña esta disciplina en la Temple University de Filadelfia
crónicas de sucesos antes de enterarme de
que el Banco Mundial ha subido los tipos de
interés, puedo hacerlo sin ningún problema.
Al fin y al cabo, el periódico es mío porque yo
lo he comprado. Pues bien, he organizado
este libro de modo semejante para que
puedan hacer lo mismo los lectores que
gustan de hechar una ojeada a las restantes
secciones antes de volver a la primera plana.
Los asuntos que trato en esta primera
sección se refieren a la economía (sobre todo
a la ridícula suposición de que su complejidad
no lineal puede predecirse con exactitud), la
guerra, las supuestas conspiraciones, el
cuento chino de las grandes inversiones, y el
poder político y sus malos usos. También
analizo el lenguaje ambiguo, la estructura
piramidal invertida de las noticias, propongo
unos cuantos detalles psicológicos de interés
y, como es natural, explico un poco de
matemáticas.
Comienzo por ciertos temas relacionados con
la toma de decisiones sociales. ¿Cómo
R
POLITICA ECONOMICA Y NACIONAL
POLITICA ECONOMICA Y NACIONAL_________________________________________
93
juzgamos las alternativas? ¿Cómo decidimos
los temas por votación? ¿Cómo repartimos
los bienes de consumo? La inevitabilidad de
tales opciones se deriva, entre otras cosas,
del hecho de que dos de nuestros ideales
políticos básicos, la libertad y la igualdad, son
incompatibles en su forma más pura. La
libertad total se traduce en desigualdad y la
igualdad dogmática conduce a la pérdida de
la libertad. Los titulares del New York Times
de hoy, EL DERECHO A LA VIVIENDA ECHA
UN PULSO A LA LIBERTAD DE EXPRESIÓN, lo
atestiguan en forma muy oportuna. El
reparto proporcional de juicios de valor entre
grupos enfrentados en otro problema clásico
que se refleja generosamente en la prensa.
ALBOROTO PÚBLICO POR LA
HURBANIZACIÓN HARRIMAN es un ejemplo
reciente.
Pede detectarse un destello de los aspectos
matemáticos en esos asuntos en el chiste de
los hermanos que discuten por un pastel de
chocolate. El hermano mayor lo quiere todo;
el menor se queja de que no es justo y dice
que el pastel debía partirse por la mitad.
Llega la madre y les impone el término
medio, da tres cuartas partes al hermano
mayor y el cuarto restante al menor. La
anécdota adquiere ecos sombríos si
identificamos al hermano mayor con Serbia,
y al menor con Bosnia y a la madre con las
potencias occidentales.
Para repartir con justicia un pastel hay un
método mejor: que un hermano parta el
pastel y el otro elija la parte que quiera. La
madre no hace ninguna falta. Esta solución
no se aplicaría ni a Bosnia ni a Nueva York,
pero si es posible que el lector, para calentar
el cerebro, antes de abordar este bloque, se
pregunte cómo podría generalizarse el
procedimiento. Imaginemos que la madre
prepar un pastel y llama a su hambrienta
prole. ¿Cómo se las apañarían sus cuatro
hijos, George, Martha, Waldo y Myrtle, para
repartirse el pastel con ecuanimidad sin su
intervención14?
14 George corta un trozo que cree equivalente a un cuarto de pastel. Si Martha estima que es la cuarta parte o menos, no toca el pedazo; pero si piensa que es más de la cuarta parte, le quita el trozo que sobra. Waldo deja en paz el pedazo, o le quita otro trozo en el caso de que piense que aún contiene más de la cuarta parte. Myrtle, por último, tiene las mismas oportunidades: reducirlo si lo ve grande o dejarlo intacto en caso contrario. El último a quien le toca el turno se queda con el pedazo. (¿Pero qué impide que cada uno corte un pedazo demasiado pequeño o demasiado grande?) Acabado el primer reparto, quedan aún tres personas para repartirse equitativamente el resto del pastel, hay que seguir el mismo procedimiento. La primera persona corta lo que considera es la tercera parte del pastel restante (y que ha de equivaler a la cuarta parte del pastel entero) y así sucesivamente. De este modo, todos estarán convencidos de que han quedado con un cuarto de pastel.
POLITICA ECONOMICA Y NACIONAL_________________________________________
94
Lani Guinier, la reina de los porcentajes15
Votaciones, poder y matemáticas
Paulos, John Allen16
ifamada como “reina de los
porcentajes” y aclamada como
“superwoman” militante, parece que
Lani Guinier ha sido más noticia por esto que
si el senado le hubiera ratificado el cargo de
ayudante del fiscal general para los derechos
civiles para el que la propuso del presidente
Clinton. A casi todos nos habría costado lo
suyo proponer el nombre de la persona que
ocupa actualmente el cargo. Yo simpatizo con
(casi todos) los objetivos de la Ley de
Derechos del Voto. Aunque me opongo
enérgicamente a los porcentajes (llámese así
o de otro modo); pero en vez de actualizar
las consecuencias del efrentamiento político,
describiré la sencilla idea matemática que
motiva algunos de los escritos de la profesora
Guinier. Se trata del índice Banzhaf de poder,
denominado así por el abogado John F.
Banzhaf que lo indujo en 1965.
15 Paulos Allen John. En “Un matemático lee el periódico”, Tusquets Editores, España 2002 Pp.26 – 30 16 John Allen Paulos, Doctor en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin. Enseña esta disciplina en la Temple University de Filadelfia
Imaginemos una pequeña empresa con tres
accionistas. Supongamos que poseen,
respectivamente el 47, el 44 y el 9 por ciento
de las acciones, y que basta una mayoría
simple del 51 % para aprobar cualquier
medida. Me parece a mí que está claro que,
aunque uno de los tres accionistas pueda
conducir un todoterreno, los tres tienen el
mismo poder. Y es así porque bastan dos
cualesquiera para aprobar una medida.
Pensemos ahora en una empresa de cuatro
accionistas que poseen, respectivamente, el
27, el 26, el 25 y el 22 por ciento de las
acciones. Una vez más basta la mayoría
simple para aprobar cualquier medida. En
este caso, dos accionistas cualesquiera de los
tres primeros pueden aprobar una medida,
mientras que el voto del último nunca será
decisivo para ningún resultado. (cuando el 22
% del último accionista se suma al
porcentaje de cualquiera de los tres
primeros, el resultado siempre es inferior al
51 % por lo que las coaliciones decisivas no
necesitan el 22 % en cuestión) El último
accionista es un figurante, un comparsa cuyo
voto nunca hará ganar a una coalición
perdedora ni al revés. El comparsa no tiene
poder; los otros tres accionistas tienen el
mismo poder. (Por cierto, el Wall Street
Journal, que orquestó el ataque contra la
señora Guinier, debería haber tomado nota
D
LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES
Paulos, John Allen
LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES_______________________________
95
del predominio de las formas ortodoxas de
votar en el mundo económico)
Otro ejemplo, antes de la definición.
Imaginemos que los diputados de la
Asamblea Nacional del recién fundado país
del Perplejistán se organiza en cuatro grupos,
basándose en criterios étnicos: 45, 44, 7 y 4
por ciento respectivamente. De los tres
primeros grupos, dos cualesquiera podrían
formar una coalición mayoritaria, pero el
grupo menor será siempre un comparsa. Así,
que a pesar de que la reprentación del tercer
grupo es muy inferior a la de los dos
primeros y solo un poco superior a la del
último, tiene tanto poder como los dos
primeros, mientras que el último no tiene
ninguno.
El índice Banzhaf de poder de un grupo,
partido o persona, se define como la
cantidad de formas en que un grupo, partido
o persona pueda convertir en ganadora a una
coalición perdedora o viceversa. Solo he
analizado casos donde las partes que tenían
algún poder tenían el mismo, pero cabe
estudiar casos más complejos con la
definición en la mano17
17 Pensemos en una empresa o un cuerpo político con cuatro partidos, seamos románticos y llamémoslos A, B, C, y D, que poseen el 40, 35, 15 y 10 por ciento de los votos, respectivamente. Si caltalogáramos metódicamente todas las situaciones posibles (A, C, D, a favor, B en contra; B y D e a favor, A y C en contra, etcétera)veríamos que hay diez en que el voto de A es un voto bisagra (vuelve perdedora una coalición ganadora y al revés), seis en los que el voto de B y de C, y sólo dos en que es bisagra el voto de D. Así pues, el índice de poder de estos grupos es, respectivamente, 10, 6, 6 y
Ha habido muchas propuestas para
garantizar que el poder de los grupos, tal
como viene dado el índice de Banzhaf, refleje
con mayor exactitud su porcentaje de votos.
La cosa puede llegar a preocupar cuando los
intereses de una minoría son diferentes a los
de una mayoría homogénea que acapara
todo el poder en un distrito determinado.
Para este caos, la modalidad propuesta por la
señora Guinier concede a cada votante una
cantidad de votos igual a la cantidad de votos
de escaño en disputa. Con este
procedimiento, llamado de votación
acumulativa, el votante puede repartir sus
votos entre los candidatos, distribuyéndolos
o concentrándolos en uno solo. Aunque
inspirada por el deseo de fortalecer la Ley de
Derechos del Voto y facilitar la elección de los
candidatos de las minorías, esta propuesta
no tiene necesidad de recurrir a parámetros
raciales y contribuiría a que los grupos
marginales se organizaran, formaran
coaliciones y consiguieran algún poder.
Imaginemos unas elecciones municipales en
que se disputan cinco escaños y a las que se
presentan muchos candidatos. En vez de
echar mano del procedimiento habitual,
consiste en dividir el municipio en distritos
para que cada distrito elija a su
representante en la junta municipal, la
votación acumulativa da a cada votante cinco
votos que puede repartir entre los candidatos
como mejor le parezca. Un grupo de votantes
2, lo que quiere decir que el partido A es diez veces más poderoso que el partido D, y que los partidos B y C tienen idéntico poder y sólo son tres veces más poderosos que el partido D. Aquí no hay comparsas.
LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES_______________________________
96
con la cohesión y el empeño necesarios
podría concentrar los cinco votos de cada
votante en el candidato cuyos intereses
reflejen los suyos. Se ha sugerido una
propuesta así en sustitución de los distritos
parlamentarios delineados racialemte para
permitir la elección de diputados de origen
africano. Un artículo aparecido en el New
York Times de abril de 1944 sugirió un modo
de reemplazar esta fea balcanización.
Carolina del Norte, sede del escurridizo
Distrito parlamentario 12, podría plantearse
en serio la división de un territorio, según el
relieve geográfico, la meseta interior de
Piedmont y el Oeste. El voto acumulativo,
podría instituirse en estas tres regiones, que
en la actualidad tienen cuatro, cinco y tres
diputados, respectivamente.
Estos remiendos y chapuzas no son tan
insólitos. En varios condados de Nueva York,
por ejemplo, hay sistemas de votación en
que los votos de los candidatos se han
calculado para que tengan mayor o menor
peso según la población y para garantizar
que ningún elegido sea de comparsa en
sentido técnico. (la modalidad habitual es
más difícil de eliminar) El reciente intento de
poner límites a los mandatos parlamentarios
es otro ejemplo, como también lo son las
eliminatorias de diversas clases, los
requisitos para la formación de mayorías
aplastantes y los llamados recuentos de
Borda, en que los votantes clasifican a los
candidatos y concedan una creciente
cantidad de puntos a los situados en los
puestos superiores. (Los partidos del cambio,
a veces enfocan trendenciosamente el asunto
diciendo que el 51 % de los votos equivale al
100 % del poder. Los enemigos nunca
proponen los sistemas parlamentarios
vigentes en Europa e Israel, que con
frecuencia permiten que el 1 % de los votos
decida la suerte de un escaño en disputa)
La votación aprobadora es otro sistema que
podría ser útil en determinadas situaciones,
en concreto, en las elecciones de los Estados
Unidos se denominan primarias, en este
caso, el votante elige, o aprueba, a tantos
candidatos como quiera. el principio de un
“ciudadano, un voto” se sustituye por el de
“un candidato, un voto”, y el candidato que
obtiene mayor número de aprobados se
declara vencedor. No se darían así esas
situaciones en que, por ejemplo, dos
candidatos liberales dividen el voto liberal y
dejan que un candidato conservador gane
con el 40 % del electorado. (¿Ve algún
inconveniente en la votación aprobadora?,
justifique su respuesta)
El senado estadounidense, donde el
desproporcionado paso de los estados menos
poblados constituye una significativa aunque
casi invisible desviación de la norma de la
mayoría pura, no es inmune a tales
anomalías. La verdad es que todos los
sistemas de votación tienen consecuencias
indeseables y líneas defectuosas (incluso hay
al respectoun teorema matemático formal qe
debemos al economista Kenneth J. Arrow) El
problema no es si somos demócratas, sino
cómo serlo, y abordarlo con mentalidad
abierta y experimental no está reñido con un
firme compromiso con la democracia. Los
LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES_______________________________
97
políticos que salen ganando con un sistema
electoral concreto se envuelven, como es
lógico, en el manto de la democracia, lo
mismo hacen los presuntos reformistas. Los
escritos de Lani Guinier, las raíces
matemáticas de los cuales se remontan al
siglo XVIII, nos recuerdan que este manto
puede confeccionarse de muchos estilos
distintos, todos son retales.
Terminaré con un tema secundario sugerido
por ciertos artículos que comentaban los
recientes nombramientos para el Tribunal
Supremo. Estos artículos han especulado a
menudo con la posibilidad de que se formara
un bloque de centro capaz de imponer
decisiones de cuerpo. La verdad es que,
aunque cada juez del Tribunal Supremo tiene
el mismo poder, un grupo cohesionado de
cinco jueces podría determinar todas las
cuestiones judiciales, neutralizar a los otros
cuatro, y convertirlos en comparsas. Bastaría
con que los cinco votaran en secreto,
decidieran qué piensa la mayoría del
grupúsculo, acordaran mantener la alianza y
votaran como un bloque en el grupo mayor.
¿Se le ocurre a alguien alguna idea para que
tres de los cinco jueces controlen las
decisiones del cuerpo18?
18 Si tres de los miembros de la camarilla (una subcamilla, si se quiere decir), se reúnen de antemano en secreto, deciden por mayoría qué piensa la subcamarilla y acuerdan mantener la alianza y votar en bloque dentro de la camarilla, pueden controlar las decisiones del grupo mayor, que, a su vez, controlará las decisiones de todo mcuerpo jurídico.
LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES_______________________________
98
LAS FRACCIONES: DIFERENTES
INTERPRETACIONES19
Salvador Llinares Ciscar y Ma. Victoria
Sánchez García20
LA EXISTENCIA DE DIFERENTES
INTERPRETACIONES DE LAS
FRACCIONES
a idea de fracción, o mejor aun, la
palabra “fracción” indicando un par
ordenado de números naturales
escritos de la forma ba
, es utilizado en
contextos y situaciones que muchas veces
puede parecer que no tengan nada en
común. Por ejemplo:
19 En Fracciones, Volumen 4, Salvador Lliares Ciscar y Ma. Victoria Sánchez García, Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Editorial Síntesis, Madrid, 1988; Pp. 51 – 78 20 Salvador Lliares Ciscar y Ma. Victoria Sánchez García son profesores titulares de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Didáctica de las Ciencias de la Universidad de Sevilla
a) Para indicar la relación que existe
entre la parte sombreada y un “todo”,
“tres de las cinco partes”, 53
b) Si Un litro de cerveza vale sesenta
pesetas, ¿cuánto valdrán tres
quintos?
c) En Un grupo de niños y de niñas hay
diez niñas y cinco niños. En un
momento determinado alguien dice:
“Hay la mitad de niños que de
niñas” (hay doble niñas que niños).
La expresión mitad esta empleada
en esta situación para describir una
relación entre dos partes de un
conjunto. Se ha realizado una
comparación parte-parte y como
resultado de esta comparación Se
utiliza una fracción para cuantificar
la relación.
Sin embargo Si estamos utilizando el mismo
“ente matemático” para referirnos a dichas
situaciones, es de suponer que tengan algo
en común. Desde una perspectiva escolar nos
L
LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES
LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES____________________________
99
podríamos plantear la siguiente situación: si
identificamos uno de los contextos en el que
la idea de fracción tiene sentido (Contexto
significativo) y desarrollamos el proceso de
enseñanza (concepto, relaciones,
equivalencia y orden, operaciones significado
y algoritmos) con dicha interpretación ¿cabría
esperar que los niños fueran capaces de
trasladar esa comprensión y destrezas
conseguidas a interpretaciones y contextos
diferentes?
Parece ser que la capacidad de “trasladar esa
comprensión” a situaciones distintas no es
del todo clara: es decir, puede ser que el que
el niño tenga claro el significado de una
fracción en una situación, sabiendo realizar
su representación con diagramas y de forma
numérica, así como reconocer el significado
de las diferentes operaciones en dicho
contexto y esto no implica que sepa utilizar la
misma “herramienta” en contextos distintos,
aunque también conlleven implícitamente la
idea de fracción.
Además los resultados de numerosas
investigaciones (BEHR, et al., 1983;
KERSLASKE, 1986; LESH, et al., 1983)
relativas al proceso de enseñanza-
aprendizaje de las ideas de “fracción” han
empezado a indicar que para que el niño
pueda conseguir una comprensión amplia y
operativa de todas las ideas relacionadas con
el concepto de fracción se deben plantear las
secuencias de enseñanza de tal forma que
proporcionen a los niños la adecuada
experiencia con la mayoría de sus
interpretaciones (KIEREN, 1976; DIENES,
1972).
De todas maneras el alcanzar el concepto de
fracción con todas sus relaciones conlleva un
proceso de aprendizaje a largo plazo. La
variedad de estructuras cognitivas a las que
las diferentes interpretaciones de las fraccio-
nes están conectadas condiciona este
proceso de aprendizaje. En otras palabras, al
concepto global de fracción no se llega de
una vez totalmente. Desde las primeras
experiencias de los niños con “mitades” y
“tercios” (relación parte-todo) vinculadas a la
habilidad de manejar el mecanismo de dividir
(repartir), y la habilidad de manejar la
inclusión de clases, hasta el trabajo con las
razones y la proporcionalidad de los jóvenes
adolescentes, vinculada a la habilidad de
comparar y manejar dos conjuntos de datos
al mismo tiempo, y del desarrollo del
esquema de la proporcionalidad, existe un
largo camino que recorrer.
Los profesores debemos tener en cuenta
todas estas características, es decir:
- las muchas interpretaciones, y
- el proceso de aprendizaje a largo
plazo
cuando pensemos en el desarrollo de
secuencias de enseñanza que pretendan el
aprendizaje de nociones relativas a las
fracciones. De la misma forma también existe
un largo camino desde el primer contacto
intuitivo de los niños con las fracciones
(relación parte-todo, “mitades”, “tercios”...)
hasta afianzar el conocimiento de carácter
LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES____________________________
100
algebraico asociado a las fracciones. Con el
conocimiento de carácter algebraico nos
referimos, por ejemplo, a la interpretación de
la suma de fracciones como
bdbcad
dc
ba +
=+
o que la solución de la ecuación (es decir, el
número que en el lugar de la “x” satisface la
igualdad)
53 =• X
es x = 35
, o también x = 9
156
10 = ...; es
decir, poder ver al conjunto de las fracciones
(números racionales) formando un sistema
numérico, cerrado para ciertas operaciones y
con unas propiedades determinadas.
Puede ser que alguna de las dificultades que
plantea la enseñanza-aprendizaje de las
fracciones, en alguno de sus aspectos, venga
determinada por encontrarnos tan
rápidamente con su carácter algebraico en la
secuencia cirricular. Esto es debido a que
muchas veces se empieza a trabajar con
reglas de carácter algebraicas, sin tener
previamente un trasfondo concreto
desarrollado ampliamente, en razón de La
“atracción” que puede proporcionar el
comenzar a trabajar rápidamente con
símbolos cuando nos enfrentamos a las
fracciones, por la relativa facilidad que
pueden proporcionar para resolver
situaciones.
Es decir, hay que considerar (DICKSON,
1984) el equilibrio que debe existir entre:
- el significado de las fracciones en
contextos concretos prácticos (situa-
ciones problemáticas), y
- en situaciones más abstractas-cálculo
sin contexto (carácter algebraico).
Las destrezas que se pueden conseguir en el
manejo de los símbolos relativos a las
fracciones y a las operaciones con fracciones,
no son fáciles de retener si no hemos sido
capaces de crear un esquema conceptual a
partir de situaciones concretas. La
comprensión operativa del concepto de
fracción (número racional) debe proporcionar
la fundamentación en la que se apoyen las
operaciones algebraicas que se van a
desarrollar posteriormente. Un buen trabajo
con las fracciones puede contribuir a que
estas operaciones algebraicas no se con-
viertan en algo sin sentido para los niños.
Llegados a este punto se nos presenta la
necesidad de plantear los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las fracciones
desde todas sus perspectivas, en todas sus
interpretaciones posibles, para que un
trabajo continuado con dichas
interpretaciones ayude al niño a conseguir
una comprensión conceptual (operativa) de
La idea de fracción, sin crear “agujeros
conceptuales”.
Una vez determinada esta necesidad se
plantea la tarea de identificar las diferentes
interpretaciones, contextos, en los que
aparezca el concepto fracción: La fracción
como un megaconcepto.
LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES____________________________
101
La sección siguiente se va a centrar en la
identificación y la caracterización de los
contextos que hacen significativa la noción de
fracción (interpretaciones o subconstructos
del megaconcepto). Esta identificación de las
interpretaciones principales del número
racional ha sido realizada teniendo en cuenta
los trabajos de T. KIEREN (1916), BEHR, et
al. (1983) y DICKSON, et al. (1984).
Las diferentes interpretaciones que se van a
describir son:
a) La relación parte-todo y la medida.
a. 1. Representaciones en
contextos continuos y discretos.
a.2. Decimales.
a.3. Recta numérica.
b) Las fracciones como cociente.
b.1. División indicada.
b.2. Como elemento de un cuerpo
cociente.
c) La fracción como razón.
c. 1. Probabilidades.
c.2. Porcentajes.
d) La fracción como operador.
LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES____________________________
102
Op cit Pp. 55 - 62
e presenta esta situación cuando un
“todo” (continuo o discreto) se divide
en partes “congruentes”
(equivalentes como cantidad de superficie o
cantidad de “objetos”). La fracción indica la
relación que existe entre un número de
partes y el número total de partes (que
puede estar formado por varios “todos”).
El todo recibe el nombre de unidad. Esta
relación parte-todo depende directamente de
la habilidad de dividir Un objeto en partes o
trozos iguales. La fracción aquí es siempre
“fracción de un objeto”.
Sobre esta interpretación Se basan
generalmente las secuencias de enseñanza
cuando se introducen las fracciones
(normalmente en su representación
continua). Parece ser que tiene una
importancia capital para el desarrollo
posterior de la idea global de número
racional. El estudio de esta relación se
realizará con detalle en el capitulo siguiente.
Para una comprensión operativa de este
subconstructo Se necesita previamente el
desarrollo de algunas habilidades como:
− tener interiorizada La noción de
inclusión de clases (según La
terminología de PLAGET);
− La identificación de la unidad (que
“todo” es el que se considera como
unidad en cada caso concreto);
− La de realizar divisiones (el todo se
conserva aun cuando lo dividamos en
trozos, conservación de la cantidad),
y
− manejar la idea de área (en el caso
de las representaciones continuas).
Las representaciones de esta relación que
vamos a describir son las desarrolladas en
contextos continuos, discretos y mediante la
utilización de la recta numérica.
REPRESENTACIONES CONTINUAS
(ÁREA) Y DISCRETAS
n un contexto continuo, en el que las
representaciones más frecuentes
suelen ser diagramas circulares o
rectangulares (dos dimensiones):
a)
«De las cinco partes del todo se han
sombreado tres»;
“3 de las 5”; «3/5.»
b) o bien
S
E
LA RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA
LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________
103
“De las cinco partes del todo, se han
sombreado tres”,
“3 de las 5”; «3/5.»
c) Si la unidad la representamos por
entonces,
“431 es la parte sombreada, siendo
431 la
forma mixta
Si utilizáramos para los diagramas La
magnitud longitud, al dividir un segmento en
partes iguales
La fracción indica las partes que se toman en
relación al número de partes en que se ha
dividido el segmento.
En un contexto discreto se puede representar
aquí el «todo» esta formado por el conjunto
global de las cinco bolas, tres de las cuales
son negras “3/5”; indica la relación entre el
numero de bolas negras y el número total de
bolas.
Si por otra parte representamos el todo por
entonces en la situación
“2 1/3 representa la parte sombreada”.
Es interesante resaltar que si se utilizan
contextos discretos se fuerza a que el niño
amplíe su esquema de La relación parte-todo
ya que en este caso, cuando usamos un
conjunto de objetos discretos como unidades,
por ejemplo
Si queremos representar la fracción 3/5 (tres
quintos) (dividir el conjunto en cinco partes y
tomar tres) los subconjuntos que resultan
también están formados cada uno de ellos
por varios objetos (en este caso por dos)
LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________
104
en contraposición al contexto continuo en
que las partes están formadas por trozos
simples.
Lógicamente la dificultad aumenta si se toma
como unidad
y se piden los 3/5, es decir, situaciones en
las que la fracción no se puede aplicar.
En La caracterización de la relación parte-
todo se habla de “partes congruentes” lo que
no indica necesariamente partes de la misma
forma. En La figura siguiente la relación entre
las partes sombreadas y el número de partes
también se puede representar por 3/5 (tres
quintos).
La noción de “partes congruentes» es de vital
importancia para poder justificar que en la
siguiente figura
no podemos indicar por 3/5 (tres quintos) la
parte sombreada, al no estar formada por
partes congruentes. Esto es debido a que
entendemos por 3/5: “La figura tiene
sombreada los tres quintos de su superficie”.
DECIMALES
na estandarización de la relación
parte todo, junto con las
características de nuestro sistema de
numeración decimal, dan pie a la
introducción de los decimales (fracciones
decimales). Por ejemplo, utilizando la
representación continua y el modelo
rectángulo, considerando la unidad como un
rectángulo y dividiéndolo en diez partes.
Cada una de las partes es en relación al todo
(unidad) 1/10, una de las diez (una décima).
Si cada «parte» (decimal) la dividimos en
otras diez partes, obtenemos “una de diez de
una de diez”, 1/10 de 1/10 (una centesimal).
Queremos indicar con esto, que los decimales
(la notación decimal de algunas fracciones)
están vinculados a la relación más general
“parte-todo”. Así concebidas, las fracciones
como decimales forman una extensión
natural de los números naturales. (Para un
estudio más detallado del caso de los
decimales podernos consultar el tomo 5 de
esta colección, DECIMALES de JULIA
CENTENO).
U
LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________
105
LAS FRACCIONES COMO PUNTOS
SOBRE LA RECTA NUMÉRICA
n esta situación se asocia la fracción
a/b con un punto situado sobre La
recta numérica en la que cada
segmento unidad se ha dividido en b partes
(o en un múltiplo de b) congruentes de las
que se toman “a”. También se puede
considerar corno un caso particular de La
relación parte-todo.
Se destaca esta interpretación ya que aquí
implícitamente se realiza la asociación de un
punto a una fracción.
1 + 3/5 = 1 3/5
en este caso se puede pensar que La fracción
no Se asocia a una parte de una figura o aun
subconjunto de objetos, Si no que se reduce
a un número abstracto; así como el 3/5 es un
número entre el cero y el uno, el 3/2 es un
número entre el uno y el dos.
Esta representación hace que se pueda
pensar en las fracciones como números
parecidos al 1, 2, 3, 4, … y que se pueden
colocar entre ellos.
Aunque esta forma de representar las
fracciones provoca algunas dificultades a
algunos niños (8 -12 años), también presenta
algunas ventajas (DICKSON, 1984):
− hace que las fracciones impropias
(fracciones mayores que la unidad)
aparezcan de forma mucho más
natural, así como La notación como
números mixtos;
− hace hincapié en el hecho de que el
conjunto de las fracciones forma una
extensión del conjunto de los
números naturales (las fracciones
rellenan «huecos» entre los
naturales);
− tiene conexiones con la idea de
medida (uso de escalas).
Pero, como decíamos, su utilización puede
presentar algunos problemas. Los resultados
de algunas investigaciones sugieren que la
interpretación de las fracciones mediante la
recta numérica es especialmente difícil para
los niños (NOVILUS, 1977).
Uno de los problemas que se pueden plantear
es la identificación del segmento unidad
cuando la recta numérica se ha extendido
más allá del uno:
Si se les pide señalar el 3/5 los niños suelen
indicar el punto donde está el tres, sin
embargo esta dificultad no se presenta si se
les proporciona la representación siguiente:
También se plantean problemas cuando el
segmento unidad está dividido en un múltiplo
del denominador. Por ejemplo:
E
LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________
106
“Señala el 3/5”
La recta numérica sirve también como una
buena representación de la interpretación de
las fracciones como medida
Identificada una unidad de medida
(segmento), admite subdivisiones con-
gruentes. El numero de “adiciones iterativas”
de la parte resultante de la subdivisión que
«cubren» el objeto, indica la medida del
objeto (proceso de contar iterativo del
número de unidades, subunidades, que se
han utilizado en cubrir el objeto).
¿Cuánto mide esta cuerda?
3 + 1/2 = 3 1/2 = 3 + 0.5 = 3.5
Así, desde esta perspectiva más general, en
un contexto de medida, este modelo viene
caracterizado por la elección de una unidad
arbitrarla y sus subdivisiones (la unidad debe
ser invariante bajo las divisiones) (KIEREN,
1980), significando la tarea de medir, la
asignación de un numero a una «región» (en
el sentido general).
Al considerar las fracciones (numero racional)
en la interpretación de medida, Se
proporciona el contexto natural para la
“suma” (unión de dos medidas), y para la
introducción de los decimales (notación
decimal) (KIEREN, 1980).
Además, el manejo de la representación de
las fracciones a través de La recta numérica
debe ayudar al niño a “conceptuar” las
relaciones parte-todo en un contexto y
reconocer contextos equivalentes que
proceden de nuevas divisiones de la unidad.
Es decir, el manejo con La recta numérica
(contextos de media) puede ser una buena
introducción a La noción de equivalencia: la
misma parte de La unidad recibe nombres
diferentes en función del número de
divisiones.
Un adecuado recurso didáctico para
desarrollar estas ideas que relacionan las
fracciones y la noción de medida lo pueden
constituir Los Números en Color.
Este material está formado por regletas de
madera de diferentes colores y diferentes
longitudes,
on estas regletas, la pregunta ¿qué es la
regleta roja de la blanca?; tiene una
traducción en términos de medida que indica
“qué mide la regleta roja tomando la blanca
corno unidad”.
Para contestar a esta cuestión, hacemos un
“tren” de regletas blancas de la misma
longitud que la regleta roja dada, tal y como
indica La figura:
“La roja es dos veces la blanca”
LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________
107
Si la pregunta fuera ¿qué es la blanca de la
roja? (¿qué mide La regleta blanca cuando
tomamos la roja corno unidad?), entonces la
“blanca es una de las dos que cubre a la
roja”. Entonces la relación entre la blanca y
la roja es de 1/2.
b = 1/2 x r
En este caso se dice que la regleta blanca es
un medio de la roja.
Esta situación se puede generalizar. Si
consideramos como unidad la regleta
amarilla y preguntarnos: ¿qué mide la verde
clara?, entonces se puede volver a la regleta
blanca y se tiene,
“Cinco veces la blanca es una amarilla”
la regleta blanca es una de las cinco que
cubren a La amarilla; así, utilizando la misma
notación anterior
b = 1/5 x a
Luego la verde clara que esta formada por
tres blancas, será
v = 3 x b = 3/5 x a
es decir, la verde clara es los tres quintos de
la amarilla.
En general, podemos indicar que la relación
parte todo (tanto en su representación
continua como discreta), constituye el
fundamento de la interpretación de las
fracciones como medida.
(Para un estudio más detallado del problema
de la medida recurrir al tomo 17 de esta
misma colección El problema de la medida,
de Chamorro y Belmonte)
LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________
108
Op cit, Pp. 63 - 67
n esta interpretación se asocia la
fracción a La operación de dividir un
numero natural por otro (división
indicada a ÷ b = a/b). Dividir una cantidad
en un número de partes dadas. T. E. KIEREN
(1980) señala la diferencia de esta
interpretación con la anterior indicando que,
para el niño que está aprendiendo a trabajar
con las fracciones, el dividir una unidad en
cinco partes y coger tres (3/5) resulta
bastante diferente del hecho de dividir tres
unidades entre cinco personas, aunque el
resultado sea el mismo.
En esta interpretación se considera que las
fracciones tienen un doble aspecto:
a. Ver a la fracción 3/5 como una
división indicada, estableciéndose la
equivalencla entre 3/5 y 0,6 en una
acción de reparto, y
b. Considerar las fracciones (números
racionales) como los elementos de
una estructura algebraica; es decir,
como los elementos de un conjunto
numérico en el que se ha definido
una relación de equivalencia, y en el
conjunto conciente resultante unas
operaciones -suma y multiplicación-
que cumplen ciertas propiedades de
tal forma que dotan a dicho conjunto
de una estructura algebraica de
cuerpo conmutativo.
Debido a que bajo esta interpretación se
concibe a las fracciones (números racionales)
pertenecientes a un sistema algebraico
abstracto donde las relaciones entre los
elementos son de índole deductiva, esta
interpretación debe tener un carácter
globalizador y ser posterior en la secuencia
de enseñanza a las demás interpretaciones.
En las secciones siguientes vamos a intentar
desarrollar ambos aspectos de esta
interpretación.
DIVISIÓN INDICADA (REPARTO)
a interpretación de la fracción
indicando una división de dos números
naturales (3/5 = 3 ÷ 5) aparece en un
contexto de reparto:
“Tenemos tres barras de chocolate y hay que
repartirlas de forma equitativa entre cinco
niños, ¿cuánto Ie tocará a cada uno?
E
L
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE________________________________________
109
Según los trabajos de la profesora HART
(1980) sólo la tercera parte de los niños de
doce y trece años eran capaces de darse
cuenta que dos números naturales se pueden
dividir uno por otro pudiéndose expresar el
resultado exacto mediante una fracción.
La resistencia de los niños a ver 3 ÷ 5 como
3/5 puede ser debido a que muchos de ellos
se encuentran familiarizados con la
interpretación parte-todo para las fracciones
y por tanto ven los 3/5 como la descripción
de una situación (de cinco partes hay tres
sombreadas), mientras que por otra parte, la
división indica un proceso, precisamente eI
proceso de repartir 3 pasteles entre cinco
niños.
No hay que olvidar tampoco que muchos
niños (incluso en el Ciclo Superior), debido al
manejo de los números naturales, dicen que
la división 3 ÷ 5 no se puede realizar cuando
se les presenta de forma aritmética.
Sin embargo, a pesar de esto, existen
opiniones (STREEFLAND, 1984) que centran
el desarrollo de las secuencias de enseñanza
de las fracciones alrededor de esta
interpretación, indicando que la dificultad que
presenta la enseñanza de las fracciones en la
escuela, consiste en que se tiende
rápidamente a centrarse en un tratamiento
formal y algorítmico de estas ideas.
La alternativa consistiría en buscar
situaciones de la vida real, diaria de reparto y
de medida que conllevarán al trabajo con las
fracciones y, apoyados en el conocimiento
informal que sobre éstas llevan los niños
cuando entran en La escuela, potenciar a
través de estas situaciones la “construcción”
del concepto, las operaciones y las relaciones
en las fracciones por los propios niños.
L. STREEFLAND al destacar esta
interpretación (situaciones de reparto medida
en las que están implicadas las fracciones)
marca la diferencia con otras aproximaciones
indicando que ante la situación
“En un restaurante, hay que repartir tres
pizzas entre cinco niños ¿cuánto corresponde
a cada uno?
el resultado 3/5 aparece a partir de un
proceso de diferenciar, dividir, abreviar,
representar, simbolizar,... indicando mucho
más que la simple representación del
diagrama.
Además, la secuencia que se deriva de
plantear la situación anterior, se apoya en los
procesos de verbalización que realizan los
niños de los pasos realizados.
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE________________________________________
110
De forma esquemática los principios de
enseñanza de las fracciones defendidos por
este autor con esta aproximación son (L.
STREEFLAND, 1984):
Lo que es importante es la
«construcción» de las operaciones
con las fracciones por los propios
niños;
− construcción basada en la
propia actividad de los niños:
estimación, desarrollo de
cierto sentido del orden y
tamaño...;
− La valoración del trabajo de
los niños, sus métodos y
procedimientos, aunque
difieran de las
aproximaciones formales;
− el énfasis se traslada a la
verbalización de los niños,
verbalización del
conocimiento adquirido, ser
capaz de formular una regla,
comprender el poder de las
generalizaciones...;
− Se utiliza el conocimiento
informal de los niños como
bases para empezar la
secuencia de enseñanza
(ideas relativas a mitades,
tercios,... los procesos
básicos de dividir,
repartir,...).
Desarrollo de situaciones de comprar
y ordenar en las que los niños
construyan procedimientos de
solución mediante procesos de
dividir, ordenar, medir, componer,...
Utilización de modelos de apoyo
(regiones o segmentos, recta numéri-
ca, tablas de razones,...) y
situaciones problemáticas
(situaciones de la vida diaria) que
sirvan de “puente” (conexión) entre
las situaciones problemáticas en
diferentes contextos y el trabajo
numérico.
Bajo esta perspectiva el significado de
fracción y las operaciones están conectados
de tal: forma que se desarrollan al mismo
tiempo.
Defiende la idea de que son los niños que
tienen que “construir” y no los profesores.
Sin embargo al desarrollo de las secuencias
de enseñanza con la interpretación de la idea
de cociente (reparto) se le puede plantear
algunas matizaciones según se utilicen en
contextos discretos o continuos (área,
longitud) (BEHR et a!., 1983).
Dado un contexto discreto:
“Repartir veinte cartas entre cinco buzones”
o contexto continuo:
“tenemos una cinta de 22 cm. Hay que
repartirla entre 4 niños ¿cuánto le toca a
cada uno?
los niños realizan considerablemente mejor
las tareas de reparto en contextos discretos
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE________________________________________
111
que en contextos continuos. Se ha señalado
la explicación de que en el caso continuo los
niños necesitan un “esquema anticipatorio
bien desarrollado, es decir, “plan de acción”
previo a la realización de la tarea, mientras
que en el caso discreto se puede realizar
mediante procedimientos directos. Entonces
como señala M. BEHR et al. (1983):
Debido a que las
estrategias empleadas por
los niños para las tareas
con cantidades discretas
son tan diferentes a las
empleadas en tareas con
cantidades continuas, se
puede asumir que la
estructura cognitiva
implicada en resolver una u
otra tarea son diferentes.
Ante los dos ejemplos anteriores, en el
contexto discreto, el proceso de solución se
puede realizar simplemente empezando a
repartir las cartas (proceso directo). El
resultado de cuatro cartas por buzón puede
ser visto por los 4/5 del estado unidad
descrito por las veinte cartas del principio.
En el contexto continuo no existe ese proceso
tan directo. Un procedimiento de estimación
o de tanteo, o una operación aritmética
pueden ser necesarios para acercarnos a La
solución.
Sin embargo la necesidad de un “plan de
actuación” previo para realizar la tarea, que
aumenta la dificultad de realización por parte
del niño, no sólo esta vinculada al contexto
continuo o discreto de la tarea a realizar sino
también al tipo de tarea de que Se trate.
Como veremos en el próximo capítulo,
cuando la tarea no es de “división-reparto”
sino de ordenación de fracciones, parece ser,
según señala el profesor T. R. POST (1985)
que es el contexto discreto el que parece
exigir la existencia de un “esquema
anticipatorio (plan) para realizar con éxito la
tarea”
Atendiendo a esto, no se puede generalizar la
dificultad que presenta un tipo de contexto
(discreto o continuo) frente a otro sin
vincularlo de antemano a un tipo de tarea.
De todas maneras, en esta interpretación de
“división-reparto”, la principal habilidad que
se refleja es la de dividir un objeto u objetos
en un número de partes iguales.
Retomando el ejemplo del principio de esta
sección:
“Repartir tres barras de chocolate entre cinco
niños de forma equitativa”
los procesos de solución (división-reparto) y
las simbolizaciones representaciones de estos
procesos que se pueden acometer aquí se
convierten en el trabajo previo
(preactividades) a la resolución de
ecuaciones. En este caso:
5 • x = 3
siendo “x” la cantidad de barra de chocolate
que le corresponderla a cada niño. Es decir,
este tipo de actividades se pueden convertir
en los pilares sobre los que se fundamenten
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE________________________________________
112
el trabajo con los números racionales como
precursor del álgebra.
Para finalizar, podemos considerar que, en
esta interpretación de las fracciones como
cociente y en las situaciones de división-
reparto en las que una cantidad se divide en
un número de partes dadas, se pueden
distinguir dos aspectos:
a) Cuando nos proporcionan la
cantidad y el número de partes en
las que hay que dividirlo y nos
piden lo que vale cada parte
(reparto).
“Tres pizzas entre cinco niños”
b) Cuando nos proporcionan la
cantidad y lo que vale cada parte
y nos piden el número de partes
(medida).
“Tenernos tres pizzas y a cada niño le ha
correspondido los 3/5 de una pizza. ¿A
cuántos niños hemos podido dar pizza?”
LAS FRACCIONES COMO ELEMENTOS
DE UNA ESTRUCTURA ALGEBRAICA
omo hemos indicado, las actividades
en situaciones de reparto-medida
constituyen el sustrato sobre el que
se construye la interpretación de las
fracciones como elementos de un cuerpo
conmutativo (estructura algebraica). Se
conciben las fracciones (números racionales)
como elementos de La forma a/b, siendo a y
b naturales (para Q +) (b ≠ 0) que
representan la solución de la ecuación
b • x = a
(Para un desarrollo detallado de las
relaciones, y propiedades que se dan en el
conjunto Q, se puede recurrir a cualquier
libro de Álgebra Elemental).
De forma clara “esta interpretación de las
fracciones (números racionales) como
elementos de un cuerpo (estructura
algebraica) no esta estrechamente vinculada
al pensamiento natural del niño al
desarrollarse de forma deductiva las
operaciones y propiedades” (KIEREN, 1975).
C
LAS FRACCIONES COMO COCIENTE________________________________________
113
Op cit Pp. 67 - 72
n las secciones anteriores Se han
caracterizado las fracciones en situa-
ciones de comparación parte-todo,
pero algunas veces las fracciones son usadas
como un “índice comparativo” entre dos
cantidades de una magnitud (comparación de
situaciones). Así nos encontramos con el uso
de las fracciones como razones. En este caso
no existe de forma natural una unidad (un
“todo”) como podía ocurrir en los otros casos
(podíamos entender esto como que la
comparación puede ser bidireccional)
En esta situación, la idea de par ordenado de
números naturales toma nueva fuerza. En
este caso normalmente la relación parte-
parte (o La relación parte-todo) se describe
con a ÷ b.
Algunos ejemplos en diferentes contextos
pueden ayudarnos a clarificar esta
interpretación (subconstructo) de las
fracciones:
a)
La relación entre los puntos de A y de B es de
3/5: (3 ÷ 5).
La relación entre los puntos de B y de A es de
5/3): (5 ÷ 3).
b)
La altura del muñeco A es 3/5 de La de B: (3
÷ 5).
La altura del muñeco B es 5/3 de la del A: (5
÷ 3).
c) Las escalas en los dibujos de mapas,
planos,
d)
E
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN
LA FRACCION COMO RAZON_______________________________________________
114
A es los 3/5 de B: (3 ÷ 5)
B es los 5/3 de A: (5 ÷ 3)
e) Las recetas de comidas, las mezclas de
líquidos, las aleaciones,...
Las comparaciones realizadas en los ejemplos
anteriores describen una relación “conjunto a
conjunto” (todo-todo), aunque las fracciones
como razones también aparecen cuando se
describen comparaciones “parte-parte”.
EJEMPLO 1
la relación (razón) entre bolas negras y
blancas es de tres quintos (3/5).
EJEMPLO 2.
La relación de niños y niñas en este grupo es
de tres quintos (3/5).
EJEMPLO 3
La razón entre los círculos y los cuadrados es
de tres quintos (3/5), (3 ÷ 5).
Algunos autores utilizan contextos cotidianos
para dotar de significado a la idea de razón.
El particular, L. STREEFLAND (1984) utiliza la
“situación del restaurante” para
contextualizar (dotar de contexto como un
modelo de comprensión) la proporcionalidad
(igual de razones) cuando se interpretan las
fracciones como razones.
“En un restaurante donde existen mesas de
diferentes tamaños y en los que se colocan
cantidades diferentes de bocadillos los niños
se distribuyen por mesas”
Se pretende que los niños a través del
trabajo en esta situación se den cuenta de la
equivalencia de situaciones (en relación al
número de bocadillos que le corresponde a
cada niño), además de iniciar una
esquematización progresiva de esta relación.
Evidentemente podemos mantener la
estructura de estas situaciones variando el
contexto. Se puede aplicar a la relación entre
cantidades de puntos conseguidos por un
equipo de niños y el número de niños de
cada equipo. Se determina la relación niños
÷ puntos.
Realmente la operación que estamos
realizando (establecer una relación) se puede
representar mediante una aplicación que
asocie cada grupo de tres bocadillos con un
grupo de cuatro niños, según indica DIENES (
1972).
LA FRACCION COMO RAZON_______________________________________________
115
Otro contexto “natural” para esta
interpretación de las fracciones como razones
lo podemos encontrar en la relación entre
cantidades de una magnitud (o de
magnitudes diferentes) (contextos
particulares, mezclas, aleaciones...).
Si denominamos por Ml y M2 a las
magnitudes y por a1 a las cantidades de Ml y
b1 a las cantidades de M2
La relación entre las cantidades de Ml y M2
(a1 ÷ b1) puede no tener dimensión (cuando
Ml y M2 son la misma magnitud) o puede
tener dimensión, lo que ocasiona que
aparezca otra magnitud. Un ejemplo lo
tenemos al comparar longitudes, como en el
caso de la altura de los muñecos, ejemplo b)
anterior, en donde la relación que aparece es
sin dimensión, y otro caso aparece cuando
compramos longitudes (metros) con tiempo
(segundos) para hablar de velocidades
(metros/segundos).
Este camino conduce a situaciones en las que
se tienen que comparar razones,
Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5
minutos. Un coche B recorre un trayecto de 4
km en 6 minutos. ¿Que coche lleva una
velocidad mayor?
Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.
Otro niño compra 4 caramelos par 6 pesetas
¿quién ha comprado los caramelos más
baratos?
o a buscar valores adicionales a las razones
que se pueden construir (problemas de regla
de tres),
Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5
minutos ¿Cuanto tardará en recorrer un
trayecto de 4 km?
Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.
¿Cuánto pagará par 4 caramelos?
que constituyen un marco natural para las
proporciones (igualdad de razones-
equivalencia de fracciones) con esta
interpretación.
(Para un estudio más detallado de las
razones y las proporciones, recurrir al tomo
20 de esta colección PROPORCIONALIDAD de
MA. LUISA FIOL y J. M. FORTUNY)
Otras interpretaciones de las fracciones como
razón aparecen asociadas a otros contextos
corno son la representación de la
probabilidad y los porcentajes.
Mostramos a continuación algunos ejemplos
de estos aspectos.
LA PROBABILIDAD
e todos es conocida la dificultad que
presenta el estudio de las probabi-
lidades en los niveles superiores,
desconectada de cualquier otro tópico de La
enseñanza primarla. La utilización de las
fracciones en este contexto se le da un
D
LA FRACCION COMO RAZON_______________________________________________
116
carácter de cálculo (aritmético) sin pensar
que La estructura cognitiva subyacente a las
relaciones implícitas en contextos de
probabilidad está vinculada a la red de
relaciones establecida para los números
racionales.
Podernos considerar algunos ejemplos de su
utilización, en los que se establece una
“comparación” todo-todo entre el conjunto de
casos favorables y el conjunto de casos
posibles, como en:
En una bolsa hay tres bolas negras y dos
blancas sacamos aleatoriamente una bola.
¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?
Al lanzar un dado cuál es la probabilidad de
obtener un Seis
PORCENTAJES
a relación de proporcionalidad que se
establece entre un número y 100 (ó
1000) recibe el nombre particular de
porcentaje. Por regla general los porcentajes
tienen asignado un aspecto de “operador”, es
decir, al interpretar “el 60 % de 35” se
concibe “actuando La fracción 60/100 sobre
35” (hacer 100 partes de 35 y coger 60). (La
interpretación de las fracciones como
operador será descrita en la sección
siguiente.)
Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los
porcentajes se puede entender como el
establecimiento de “relaciones” entre
conjuntos (razones), estableciéndose
subconjuntos de cien partes. Por ejemplo
cuando se establecen las rebajas del 15 %,
estamos estableciendo una relación “de 15 es
a 100” que para una cantidad de 300 pesetas
vendría representado por:
entonces existe la “misma relación”
(definiendo La “relación” en el sentido de la
aplicación biunívoca entre subconjuntos)
entre “15 es a 100” como en “45 es a 300”.
De todas formas la diferencia entre estas dos
interpretaciones de las fracciones como
razones (probabilidad y porcentajes) y la
relación parte-todo descrita en la primera
sección de este capitulo puede resultar
bastante sutil.
L
LA FRACCION COMO RAZON_______________________________________________
117
Op cit P. 72 - 74
ajo esta interpretación las fracciones
son vistas en el panel de
transformaciones: “algo que actúa
sobre una situación (estado) y la modifica)”.
Se concibe aquí la fracción como una
sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a
la inversa.
Por ejemplo Si en un contexto discreto
tomarnos como una situación de partida
(estado-unidad) el conjunto formado por los
36 niños de una clase, el efecto de la
aplicación del operador 2/3 (dos tercios) se
puede representar por,
ESTADO
UNIDAD
(SITUACIÓN)
OPERADOR ESTADO
FINAL
36 niños
Dividir por 3
Multiplicar
por 2
24 niños
al estado final “24 niños” también recibe el
nombre de estado “dos tercios” como La
descripción de un estado de cosas.
En un contexto continuo, por ejemplo cuando
actúa la fracción 2/3 considerada como
operador sobre un segmento de longitud
dada, se obtiene otro segmento de longitud
2/3 del original.
De nuevo hay que insistir en que el operador
lleva implícito un convenio: primero actúa la
división y luego la multiplicación,
identificándose así con la interpretación
parte-todo. También se puede invertir el
convenio y actuar siempre la multiplicación
en primer lugar y luego la división.
Hay que observar que, bajo esta
interpretación, las fracciones se utilizan en un
doble aspecto:
a) describiendo una orden, una
acción a realizar (operador), y
b) describiendo un estado de cosas,
es decir, describiendo una situación.
En el ejemplo anterior utilizando el contexto
discreto se mostraban los dos aspectos de la
utilización de las fracciones bajo esta
interpretación.
De forma esquemática, Si representamos el
estado unidad por uno, el resultado de
aplicarle el operador “dos tercios” nos
proporciona el estado final 2/3.
ESTADO OPERADOR ESTADO
1 x(2/3) 2/3
B
LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES
LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES______________________________________
118
Este doble aspecto de las fracciones en esta
interpretación predetermina un poco el
estudio que se pueda realizar. En este caso,
por ejemplo, podemos establecer de dos
formas la equivalencia de fracciones:
i) Equivalencia de operadores.
Operadores fraccionarios
diferentes, que al actuar sobre el
mismo estado-inicial dan el
mismo estado final
ESTADO OPERADOR ESTADO
12
12
12
x(2/3
x(4/6)
x(8/12)
8
8
8
ii) Equivalencia de estados. Un
mismo operador que al actuar
sobre estados unidad diferentes
produce La misma
transformación (comparando el
estado inicial y final en el sentido
descrito en la sección anterior
sobre la “razón”), lo que nos
introduce de forma natural a la
noción de proporción.
ESTADO OPERADOR ESTADO
12
15
24
x(2/3
x(4/6)
x(8/12)
8
10
16
La relación entre el estado inicial y el estado
final siempre es “dos a tres”. Esta
interpretación enfatiza el papel de las
fracciones (números racionales) como
elementos del álgebra de funciones
(transformaciones) al mismo tiempo que
conduce a la idea de que los números
racionales forman un grupo (estructura
algebraica) con la multiplicación.
Encontramos así un contexto natural para la
composición de transformaciones (funciones,
operador), La idea de inversa (el operador
que reconstruye el estado inicial), la idea de
identidad (el operador que no modifica el
estado inicial).
Este aspecto de las fracciones ha sido tratado
con detalle por Z. P. DIENES al desarrollar
una aproximación estructuralista en la
enseñanza de las Matemáticas (en la
aproximación estructuralista la actividad del
niño Se dirige hada la construcción de
estructuras matemáticas formales). En pala-
bras del propio Z. P. DIENES (1972, pág.
111):
Se observará que todas estas diferentes
facetas del estudio de las fracciones (razón,
porcentajes, decimales, etcétera) pueden ser
comprendidas dentro de un esquema de la
estructura operacional de las matemáticas si
consideramos una fracción como la sucesión
de una partición y una operación de
multiplicar...
Como resultado de este método de
tratamiento, deberá también constatarse que
el estudio de las fracciones forma parte de un
estudio mucho más amplio y general sobre
los estados y los operadores. Esta
constatación se confirmará cuando se aborde
el estudio de la geometría, donde las
LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES______________________________________
119
transformaciones son los operadores y las
distintas posiciones de las figuras los estados
y en el campo del álgebra donde los vectores
serán los estados y las matrices los
operadores, etcétera pág. 112).
LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES______________________________________
120
Op cit Pp. 75 - 78
RELACIONES ENTRE LAS DISTINTAS
INTERPRETACIONES
n las secciones previas hemos
descrito las diferentes
interpretaciones que se pueden
asociar a la idea de fracción,
caracterizándolas en sus rasgos más
relevantes.
Debido a las diversas perspectivas con las
que se puede concebir el concepto fracción,
algunos autores lo consideran un
megaconcepto (refiriéndose al numero
racional como sintetizador de todas las
interpretaciones descritas) constituido
(construido) por diferentes subconceptos (lo
que nosotros hemos denominado
interpretaciones).
Los rasgos generales de cada interpretación
señalados en las secciones anteriores
muestran que el ser “hábil” en dichas
interpretaciones conlleva el dominio de
diferentes estructuras cognitivas entendidas
como esquemas de pensamiento subyacente
a las acciones necesarias para desarrollar
tareas que implican la idea de número
racional en cualquiera de sus interpretaciones
que se dan en el niño en diversas épocas de
su desarrollo, lo que condiciona las
secuencias de enseñanza en un momento
determinado.
Además, desde una perspectiva de
enseñanza no es posible aislar por completo
cada una de las interpretaciones de las
demás. Algunas de ellas tienen vinculaciones
“naturales” que no se pueden ignorar, y
hacen que al tratar un determinado aspecto
del número racional, implícitamente están
presentes otros aspectos.
Estas relaciones han sido conceptualizadas
para la enseñanza a través del siguiente
esquema (BEHR, M. J. et al., 1983, pág.
100).
los autores indican mediante flechas
continuas las relaciones establecidas y
mediante flechas discontinuas las relaciones
que se conjeturan.
Las recientes investigaciones sobre el
aprendizaje de los conceptos relativos a las
E
UNA VISIÓN GLOBAL DE LAS FRACCIONES
UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES___________________________________
121
fracciones han señalado algunas de estas
dependencias, así como la aproximación de
unas interpretaciones a otras cuando nos
introducirnos en contextos “más abstractos”
Por ejemplo, cuando se utiliza La relación
parte-todo en contextos discretos, las
situaciones numéricas puede conducirnos a la
idea de operador o de porcentaje (razón).
“3/5 de 20” puede ser interpretado como una
fracción actuando sobre un número
(operador), es decir, una acción más que la
descripción de una situación; o cuando
empleamos para describir esta situación el
lenguaje de porcentajes “60 % de 20”, el 60
por ciento de veinte, estamos comunicando
que existe La misma “relación”: (en el
sentido de razón) “tres de cinco” que en
“sesenta de cien”.
Por otra parte, en la sección Las fracciones
y los operadores, de este mismo capítulo se
mostraba la relación existente entre la
interpretación de la fracción como operador o
como razón, cuando se describía la
equivalencia de estados.
Además, como señala el propio Z. P. DIENES,
la conexión entre la interpretación de la
fracción como operador y la idea de medida
se encuentra en un contexto natural en la
realización de mapas y planos (la utilización
de escalas).
Para intentar clarificar estas últimas
relaciones podríamos indicar que las
“paredes” que pueden separar las distintas
interpretaciones del número racional se van
haciendo más “finas” según subimos por el
edificio matemático, hasta que llega un
momento que en “contextos abstractos”
(trabajo algebraico con números y
ecuaciones) pasamos de una interpretación a
otra sin impedimentos “conceptuales”. El
poder de generalización y síntesis de las
Matemáticas se muestra para ayudarnos a
desenvolvernos con facilidad.
Con todas las caracterizaciones anteriores,
hemos pretendido mostrar que el concepto
“fracción” (número racional) es muy
complejo; formado por diversas
interpretaciones e interrelaciones entre ellas;
por eso, no podernos más que hacernos eco
de La sugerencia de SUYDAM (1979) que,
después de haber hecho una revisión de los
proyectos de investigación desarrollados
hasta 1979, en relación a la enseñanza de las
ideas relacionadas con el número racional
señala que conviene:
− considerar objetivos a largo y corto
plazo en relación a cada una de las
interpretaciones;
− seleccionar las interpretaciones
apropiadas para desarrollar esos
objetivos, teniendo en cuenta las
estructuras cognitivas necesarias;
− proporcionar secuencias de
enseñanza (actividades) que
contribuyan al crecimiento de estas
estructuras.
UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES___________________________________
De todas formas, y como habíamos señalado
al principio de esta sección, manejar las
diferentes interpretaciones viene vinculado al
dominio (posesión) de determinadas
estructuras cognitivas (lo que condiciona el
momento de “ver” en la escuela estas
interpretaciones). De forma esquemática,
tenemos:
La necesidad de que el niño desarrolle la
comprensión del numero racional en todas
sus interpretaciones, así como plantear las
relaciones entre estas interpretaciones
diferentes ya ha sido defendida por algunos
educadores matemáticos, como hemos
señalado en el primer capitulo (véase la
opinión de KIEREN, DIENES,...).
El estudio pormenorizado, las
caracterizaciones y las implicaciones en el
proceso de enseñanza de algunas
interpretaciones, en particular decimales,
medida, razón, operador, se sale fuera de
este libro y ya ha sido estudiado por otros
autores.
PAPEL DESTACADO DE LA RELACIÓN
PARTE-TODO
hora bien, parece ser que la
interpretación parte-todo, tanto en
contextos continuos como discretos
(caracterizado en la sección (La relación
parte-todo y medida) constituye la piedra
angular sobre la que se van a desarrollar
algunas de las restantes interpretaciones, tal
y como se indica en el diagrama anterior.
Esta “naturalidad” del concepto parte-todo se
ve reflejada en la gran atención que
normalmente recibe en el desarrollo de las
matemáticas escolares.
Además, existen opiniones (ELLERBRUCH,
PAYNE, 1978) que defienden la idea de que
para realizar la introducción al concepto de
fracción se debe usar una interpretación
simple (contexto de área, continuo),
indicando que la relación parte-todo es la que
constituye la interpretación mas natural para
los niños (además de constituir un buen
modelo para dotar de significado a la suma
de fracciones).
Sin embargo estas introducciones unívocas
tienen que ser completadas a lo largo de la
enseñanza con otras interpretaciones del
concepto de fracción para intentar evitar las
posibles limitaciones conceptuales que se
podrían derivar. Una excesiva asociación de
la idea de fracción a la interpretación parte-
todo (contexto continuo) podrían plantear
dificultades ante cuestiones como la siguiente
(HART, 1981):
A
UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES___________________________________
123
“María y Juan tienen dinero en el bolsillo.
María gasta ¼ del suyo y Juan ½ ¿Es posible
que maría haya gastado más que Juan?
De todas formas no hay que olvidar que las
nociones matemáticas no se desarrollan
todas de una vez y al mismo nivel de
“manejabilidad” (operatividad), tanto porque
hay que aceptar que los niños puedan
desarrollar una noción de fracción vinculada a
la relación parte-todo en un momento de la
enseñanza, y al ampliar el concepto de
fracción a otros ámbitos (a otras
interpretaciones) esta noción primitiva de
reconceptualizará (readaptará)
modificándose.
De esta forma concebimos el “paso” de las
diferentes interpretaciones de la idea de
fracción por la secuencia de enseñanza,
permitiéndose que al final la construcción del
concepto d número racional tenga como
subconceptos las diferentes interpretaciones
que ha ido adaptando a los largo de su
formación (aplicabilidad a diferentes
interpretaciones).
Vamos a desarrollar la relación parte-todo en
los próximos capítulos, intentando trasladar
las consecuencias del análisis teórico de la
relación a situaciones de clase.
De forma aleatoria se establecerán
conexiones con las otras interpretaciones de
tal forma que se puedan empezar a delinear
la futura “tela de araña” de relaciones que
constituye las ideas relativas al número
racional.
UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES___________________________________
124
BLOQUE IV
RAZONES Y
PROPORCIONES
¿Que es el tiempo? Si me lo preguntáis lo se;
si lo quiero explicar, no lo sé.
(San Agustín)
Salvador Llinares Ciscar y Ma. Victoria
Sánchez García21
¿POR QUÉ ENSEÑAR LA
PROPORCIONALIDAD?
esde la didáctica de las
matemáticas hay dos preguntas
básicas que se nos plantean cada
vez de forma más acuciante:
1. ¿Qué procedimientos espontáneos
utilizamos para matematizar?
2. ¿Cómo hacer matemáticas de forma
que sea un lenguaje semántico, o sea
que digan algo, que nos dé
información sobre el mundo que nos
rodea?
21 Salvador Lliares Ciscar y Ma. Victoria Sánchez García son profesores titulares de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Didáctica de las Ciencias de la Universidad de Sevilla
Son preguntas que sirven como marco de
reflexión.
La primera incide en los métodos que de
forma espontánea, natural, utiliza el niño y
utilizamos muchas veces nosotros para
resolver problemas.
La segunda quiere hacernos reflexionar sobre
las matemáticas como un lenguaje. Pero,
debemos ser prudentes puesto que esta
expresión se ha interpretado muchas veces
de forma errónea.
Hemos vivido, mejor dicho padecido tantas
veces las Matemáticas como un juego de
lenguaje sintáctico y vacío de sentido o sea
que “no interesa sobre que habla”, sólo
atenta a sus propias leyes de estructura
interna que cuesta hacer otro tipo de lectura
de la palabra lenguaje. Sin embargo, nos
referimos aquí a las matemáticas como un
lenguaje en el más elemental y cotidiano
sentido de la palabra: un lenguaje que dice
algo, que nos dice algo, que es transmisor de
ideas, imágenes, etcétera, en fin, a un
lenguaje de relación a un lenguaje
semántico.
D
ASPECTOS DIDACTICOS
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
125
Tomando como referencia estas reflexiones,
podemos justificar la importancia de la
Proporcionalidad en la enseñanza por las
siguientes razones:
1. Desde la Enseñanza de las
Matemáticas y desde finales de la primaria y
en todo el periodo de Secundaria, se puede
considerar que el tema de la proporcionalidad
es núcleo a partir del cual se unifican las
líneas básicas de nociones como:
− Razón y proporción.
− Fracción y número racional.
− Numero decimal y problema de la
medida,
− Cambio de unidades, cambio de
escalas.
− Problemas de repartos
proporcionales.
− Problemas “clásicos” de regla de tres.
− Probabilidad.
− Graficas de funciones lineales.
− Teorema de Thales.
− Semejanza de figuras.
− Problemas de mezclas y aleaciones.
− Escalas, mapas y maquetas.
− Funciones trigonométricas.
− El numero �.
2. En las Ciencias y la Técnica la
proporcionalidad es uno de los instrumentos
más importantes. Nos encontramos con que
frecuentemente muchos de los conceptos de
Física y Química son en realidad nombres
dados a relaciones de proporcionalidad, como
por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la
densidad, la presión, las concentraciones, las
dilataciones... o la formulación de leyes como
la ley de Ohm, la ley de Hooke o la ley de
Proust.
Incluso es la idea de proporcionalidad entre
magnitudes la que da lugar a buena parte de
los instrumentos de medida utilizado en estas
Ciencias.
3. Además el concepto de
proporcionalidad aparece incluso a finales de
Primaria en el curriculum de Ciencias Sociales
bajo distintas formas: densidad de población,
tasa de natalidad, así como en la lectura de
mapas y de diversos tipos de gráficos.
4. Pero la proporcionalidad no es
importante solo desde el punto de vista de
las Ciencias, sino que también tiene una
importancia fundamental desde el punto de
vista del desarrollo de la inteligencia. Así la
epistemología genética la considera uno de
los esquemas operativos fundamentales del
estadlo de las operaciones formales (Inhelder
y Piaget, 1955).
5. Aparte de estas consideraciones, hay
un hecho evidente: el niño ya desde los
primeros años de su vida, para moverse en
su entorno físico, utiliza la noción de
proporcionalidad, así en: estimar el tamaño
real del objeto que está lejos o en interpretar
imágenes tan cotidianas como dibujos, fotos,
cine, posters, carteles, etc. Y esto no solo a
nivel cualitativo, sino que también y muy
pronto aparecen intentos de cuantificación.
He aquí unas anécdotas sobre esta cuestión:
Freudenthal (1983) cuenta conversaciones
con su nieto.
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
126
En uno de sus paseos el pequeño (5 años)
señala unas nubes y dice que son de lluvia.
Freudenthal le dice que no, que las nubes
que ve están muy altas y que las nubes de
lluvia están mis bajas (dando una altura
aproximada). El niño, que entiende la
respuesta, hace con las manos una
reproducción de la situación a escala.
Años después y durante otro paseo el niño (7
anos y medio) pregunta por la altura de una
torre. Al principio intenta dar el mismo una
respuesta a la pregunta y estima que la
altura de la torre es de 100 metros.
Freudenthal le dice que no, que ni la torre de
la catedral tiene esa altura y para ayudar en
el círculo se sitúa el al pie de la torre pegado
a la pared. Pero este método sugerido, por
comparación directa, no va bien al niño.
Finalmente, y después de una pequeña
conversación en que se sugiere la utilización
de un palo, el pequeño es capaz de plantear
el problema (Fig. 6.1) Apoyando el palo
sobre un muro bajo y calculando la distancia
en pasos del muro a la torre se contesta a la
pregunta: 40 m aproximadamente.
Otra situación familiar: un domingo por la
mañana la madre se encuentra en casa con
dos de sus hijos. Kepa (7 años) mide a su
hermana pequeña. Ha hecho que se ponga
en el suelo la mide con los pies y dice: “6
pies y medio de Kepa”.
Fig. 6.1
Más tarde en la terraza juegan y toman el
sol. De repente Kepa que está mirando la
calle dice: “La calle es un pulgar (siguiente
figura) y luego insiste: “... es un pulgar... y
la ventana una uña y aquella ventana una
uña del dedo meñique...”
Fig 6.2
Van den Brink y Streefland (1979) cuentan
la conversación de un niño llamado Coen
también de 7 años con su padre. Están en la
habitación del pequeño mirando unas repro-
ducciones de barcos. Coen pregunta por las
dimensiones de la hélice y el padre Ie
contesta: “no cabria aquí dentro”. Entonces
Coen muy contento dice: ¡Si! En un libro que
he visto en el colegio hay una foto de una
hélice (señala con los dedos unos 3 cm) y al
lado se ve un hombre pequeño así (1 cm)”
Figura 6.2
Pero continuando con Frendenthal (1983)
éste afirmaba que “El niño adquiere muy
pronto la capacidad de identificar:
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
127
Objetos o
signos de la
misma forma
que se
diferencian
por
sus
dimensiones.
W w
El mismo
objeto a
distancias
diferentes.
Un objeto de
su imagen a
cualquier
escala.
Dos
imágenes del
mismo
objeto a
escalas
diferentes.
Este es, por tanto, un concepto utilizado en
nuestro entorno cotidiano, pero que presenta
muchas dificultades a nivel de aplicación y
formulación como han comprobado diversos
investigadores, como por ejemplo: Piaget y
otros (1968), Limmat (1974), Karplus y otros
(1977), Wollman and Lawson (1978),
Vergnaud (1983), Hart (1984), etcétera, y
seguramente la mayoría de nosotros en
nuestro trabajo en la escuela y en general en
nuestro entorno.
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA
TRABAJAR LA PROPORCIONALIDAD
sta propuesta fue diseñada y
ampliamente experimentada por un
grupo de profesores formado por los
propios autores y los maestros: Adolf Almató,
Ignasi Hosta y Joan Valldaura (véase A.
AImató, 1985).
El trabajo está planteado con un doble
objetivo:
1) Introducir a los alumnos en un tema
esencial en E.G.B. a través de una
metodología experimental.
2) Ofrecer a los profesores una serie de
materiales de trabajo fáciles de
manejar, que les permita:
a) Crear un ambiente de trabajo
estimulante.
b) Situarse como observador de
esta situación de aprendizaje.
Esta situación del profesor,
que provoca una nueva
interrelación niño - adulto es
la base para facilitarnos (a los
investigadores) la información
deseada; los métodos de
resolución utilizados por los
alumnos.
Los puntos básicos del método son:
a) Trabajar el concepto de
proporcionalidad a partir de nociones
geométricas, especialmente en la
introducción.
b) Y a nivel de la clase y el laboratorio
partir de la manipulación de material
E
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
128
y el trabajo en grupo para favorecer
el intercambio de ideas entre los
componentes del mismo y la
descripción. Los alumnos tienen que
hablar, escribir, buscar esquemas,
etcétera.
Partimos del hecho de que el alumno de 12 a
14 años tiene múltiples experiencias físicas
del concepto. Incluso algunas veces lo utiliza
de forma espontánea para resolver
determinados problemas, pero no sabe
generalizar, no puede aplicarlo a diversas
situaciones.
Nuestra hipótesis es que el trabajo en grupo
junto con una buena utilización del material,
que debe pasar por el esfuerzo de dar una
buena descripción de la experiencia, y por
tanto, en buscar esquemas cada vez más
adecuados, ayuda a interiorizar el concepto.
La estructura del trabajo sigue, en general, el
siguiente modelo:
Se presenta a los alumnos un material y unas
fichas. En las fichas se detalla:
1) El material que va a necesitar.
2) Cuál es el trabajo que debe realizarse
y finalmente se le pide que
3) Describa lo que ha encontrado, sus
descubrimientos y/o explique como
ha llegado a solucionar el problema.
Un aspecto muy importante de la propuesta
es su ordenación, la graduación de las fichas
y materiales teniendo en cuenta los distintos
niveles de dificultad.
La propuesta didáctica está dividida en dos
grandes bloques: Introducción y aplicaciones
(véase la siguiente figura) que se presentan
divididas en total en ocho talleres distintos,
tal como se indica:
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
129
PARTIENDO DE ASPECTOS
GEOMÉTRICOS
omo decía Fredenthal en el III JAEM
de Zaragoza (1983). “... Estoy
convencido que es por culpa de una
enseñanza mal organizada que han recibido.
A la edad en que se es más sensible a la
Geometría, no se le enseña más que calculo
aritmético. Se ha ignorado la fuente
geométrica, el origen de la proporcionalidad y
se ha perdido la ocasión de hacer explicito y
de verbalizar este tesoro implícito e
inconsciente de las ideas geométricas”
Claro que Freudenthal se refiere al decir eso
al currículum escolar. Antes había insistido en
que Ia apreciación de relaciones
proporcionales es realizada por el niño desde
edades muy tempranas a nivel de visualizar
el mundo que lo rodea.
Además está el trabajo efectuado por Piaget
e Inhelder (1948). En su estudio de su
interpretación del espacio por el niño,
establecen interrelaciones entre el
razonamiento proporcional numérico con la
identificación de figuras semejantes en el
plano. Primero a partir de dibujar o aparejar
triángulos semejantes y más adelante
rectángulos semejantes.
Por ello creemos que es aconsejable empezar
la propuesta didáctica utilizando figuras
geométricas.
El objetivo es que el alumno utilice material
geométrico estructurado de gran sencillez y
que a partir de el y de las ideas que el propio
niño ya posee a nivel intuitivo pueda ir
concretando, ampliando y enriqueciendo su
lenguaje matemático.
A partir de ahí y como centro de nuestro
trabajo nos interesa especialmente conocer
los métodos de resolución que de forma
espontánea utilizan los alumnos de estas
edades. Algunas veces, sobre todo al
principio sugeríamos algún método de
resolución, pero la mayoría de las veces
acabaron por sorprendernos con otros
métodos diversos e imprevisibles.
FAMILIA DE RECTÁNGULOS
l primer material que se da a los
alumnos es una colección de
rectángulos (siguiente figura). Se les
C
E
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
130
pide que los apareen de forma que, aunque
tengan distinto tamaño tengan la misma
forma. Aunque se habla de semejanza, no
hay una definición del término y lo que se
espera es que el alumno agrupe los
rectángulos de dos en dos según su
percepción visual.
Este apareamiento no es trivial. Es curioso
observar que, ya que el método que nosotros
proponemos sostener el rectángulo grande
con la mano izquierda y el brazo extendido e
intentar taparlo exactamente con el otro
rectángulo sostenido con la mano derecha,
no es fácil de aplicar, van apareciendo poco a
poco y por tantee nuevos me todos.
Al pasar a la cuantificación la relación que
nos interesa es
Puesto que las figuras recortadas se mueven,
superponen, etcétera, convenimos en llamar
“largo” al lado de mayor longitud y “ancho” al
lado más corto.
Esta comparación entre dos lados distintos de
un mismo rectángulo nos permite trabajar, a
partir de fracciones equivalentes, lo que
llamamos una familia de rectángulos
La acción de dividir los rectángulos de una
misma familia por una de sus diagonales y
situar una de cada mitad sobre unos ejes de
coordenadas cartesianas (siguiente figura)
lleva de forma natural a una primera
aproximación de la función lineal. Además
provee a! alumno de un método fácil para
construir otros rectángulos de la misma
familia que los dados en el origen de este
problema
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
131
COMPARAR OTRAS LONGITUDES
l pasar del estudio manipulativo de
las dos variables consideradas en los
rectángulos: lo largo y lo ancho a la
representación gráfica sobre unos ejes de
coordenadas, nos encontramos con que las
dos variables representadas por dos lados
distintos de los rectángulos coinciden con
valores de la abscisa y la ordenada (en el
fondo representar las dos variables es copiar
su tamaño y posición relativa que ya tenían
en el rectángulo). Para pasar a una mayor
generalización se presenta el siguiente
material: palillos. Estos deberán ser
preferentemente planos y en todo caso
pueden ser substituidos por tiras de igual
longitud de cartón, cartulina o varillas de
plástico.
Con este material se realiza un doble trabajo:
1) La relación que se estudia es
lado/perímetro, y por tanto, estas
son las dos variables que se
representan sobre los ejes de
coordenadas.
2) Además y puesto que el material lo
permite se trabaja la idea de adición
relacionada con la proporcionalidad.
Se intenta aquí, que el alumno compruebe
que si tiene un rectángulo (x, y) = (largo,
ancho), para construir un rectángulo
semejante (x', y') no es un método
generalizable sumar una unidad a cada uno
de los lados.
Pensar que la relación de proporcionalidad se
mantiene si a las variables se les suma la
misma cantidad es un tipo de error
frecuentemente detectado (véase Piaget y
Inhelder, 1967; Karplus y Peterson, 1970,
Suárez y Rhonheimer, 1974, etc.), y tan
común que representa cerca de un 30 por
100 del total de alumnos en la resolución de
algunos problemas (véase por ejemplo Hart,
1984).
A
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
132
El PROP
on el aparato PROP (siguiente figura)
Se pretenden visualizar diferentes
relaciones entre segmentos. Las
ventajas del PROP son: que es fácil de
construir y fácil de utilizar en clase.
A
pesar de esto hay que señalar que, a lo largo
de la experiencia se ha visto que la utilización
de material lleva aparejadas algunas
dificultades. En efecto, no es lo mismo “la
idea matemática” que los datos que
obtenemos trabajando con material en el
laboratorio.
Especialmente en este caso, trabajando con
el PROP aparece de forma inevitable la
cuestión de la medida aproximada. Aunque
los que manejen el material se esfuercen
mucho, el margen de error es grande.
Pero es muy curioso porque pueden verse
alumnos redondeando lecturas numéricas o
cálculos numéricos de forma rápida y a otros
que buscan aproximaciones hasta límites no
esperados.
Quizás es este un buen momento para insistir
en la noción de medida y la noción de
aproximación, o sea en el hecho de que toda
medida “real”, que realizamos realmente, es
aproximada y lo que esto significa.
Actualmente en las orientaciones especificas
dadas desde los Diseños Curriculares Base se
insiste en que debe trabajarse junto a la
exactitud, la estimación en los cálculos y
medidas. Lo realmente complejo resulta ser
el mantener un equilibrio eficaz y claro entre
las dos. La exactitud, cuándo y cómo es
necesaria y explicable y el cálculo
aproximado que permite cálculos mentales a
veces por tanteo difícilmente explicables.
En cuanto al aparato PROP (siguiente figura)
y en un principio, un alumno miraba la
variable AB desde el punto 0 de la escala
horizontal C mientras que un compañero(a)
iba moviendo el dedo sobre la escala vertical.
Hasta que el dedo y la punta de la varilla (B)
se velan sobre la misma visual.
Al considerar que los márgenes de error de
los resultados que así se obtenían eran
demasiado grandes, substituimos el hecho de
mirar por colocar y tensar un hilo elástico
desde C hasta D pasando por B lo que
permitió actuar con una mayor precisión.
Finalmente ayuda el hecho de reproducir el
aparato PROP a escala sobre papel
milimetrado así como las distintas varillas, y
estudiar lo que ocurre con las medidas en el
dibujo.
C
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
133
APLICACIONES
1. PORCENTAJES
cabada la introducción del concepto
interesa relacionarlo con aplicaciones
del mismo que reciben distintos
nombres, y sobre todo, que en el currículum
han sido tradicionalmente tratados de forma
aislada.
Uno de ellos es la noción de porcentajes.
Después del trabajo con el PROP resulta fácil
conectar con una primera aplicación del
concepto de proporcionalidad: el trabajo con
el tanto por ciento.
Esto queda concretado con una máquina
calculadora del % (véase Laboratorio de
proporcionalidad) fácil de utilizar y que
comporta la aplicación de las propiedades k-
lineales.
2. ESCALA
l trabajar la lectura de mapas lo
hacemos a tres niveles.
1º Ver que lo que nos interesa ahora no es la
relación entre las longitudes de dos
segmentos de una misma figura, sino
comparar la longitud por ejemplo expresada
en cm) de un segmento dado sobre un dibujo
y la longitud “real” de un objeto dado
(expresada también en cm).
Hay que tener en cuenta que ya en el PROP
se ha estudiado Ia relación entre la longitud
de la proyección o “sombra” de la varilla y la
propia varilla.
Ahora empezamos comparando las
longitudes de segmentos tomados sobre eI
dibujo reducido de una cassette y los
correspondientes sobre una cassette real.
2º Esto se concreta utilizando una escala
grafica.
3º Hay que acabar prescindiendo de las
unidades de longitud para hablar de lo que se
llama escala (o escala numérica).
3. k2
Trabajar con distintas figuras planas en el
PROP puede resultar bastante complejo.
Conviene que se disponga de una colección
de figuras planas semejantes dos a dos
(siguiente figura). Un ejercicio que puede
resultar rentable a nivel didáctico es empezar
par preguntarse como dada una figura plana
se puede construir (recortar) otra semejante.
A
A
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
134
Si se impone la restricción de que no sobra
papel (sqsp) el ejercicio resulta más ameno.
Son ejemplos:
Dado un triangulo por ejemplo rectángulo y
escaleno.
a) Recortar otro triangulo máS pequeño
y semejante al dado.
b) Recortar cuatro triángulos iguales
más pequeños y semejantes al dado (sqsp)
Dado un folio (rectángulo)
a). Recortar un rectángulo semejante al
dado (que no sea la cuarta parte).
b) Recortar dos rectángulos semejantes
al dado y dos que no lo sean (sqsp).
c) Recortar tres triángulos rectángulos
semejantes entre si (sqsp).
Es importante estudiar métodos de
ampliación y reducción de figuras también a
través de dibujos. Insistir en los
procedimientos de resolución va válidos para
un caso de figuras, pero que no son
generalizables (siguiente figura).
Procedimiento Triángulo
Trazar una
paralela a uno
se sus lados
si
no
no
Trazar paralelas
a cada uno
de sus lados
si
no
no
Trazar rectas
desde un
vértice
del polígono,
punto exterior o
punto interior
hacia los
vértices
y …
si
si
si
4. DENSIDAD
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
ASPECTOS DIDACTICOS_________________________
135
s frecuente que magnitudes que se
estudian en Física, Química e incluso
en Biología sean el nombre dado a la
relacion proporcional entre dos magnitudes
distintas, tal es el caso de la densidad. Esta
se estudia a partir de una manipulación muy
sencilla hecha en el laboratorio.
Como en el caso del PROP que
comentábamos antes aquí también aparece
la noción de medida y aproximación de esta
medida.
Es un buen momento para insistir en la
reflexión.
5. GULLIVER
n “los Viajes de Gulliver” de Jonathan
Swift, el protagonista es Samuel
Gulliver.
Justo al empezar sus aventuras y después de
un naufragio Gulliver llega a Liliput. En este
país se encuentra con Ia sorpresa de que
todos sus habitantes son 12 veces más
pequeños que el, por lo que, si consideramos
1,72 m como altura de Gulliver, un
liliputiense “medio” medirá 15 cm.
Además y como afirma J. Swift... “existe una
exacta proporción entre los demás animales
y plantas...”. Así un caballo mide unos 12 cm
de altura, una oveja 4 cm, etcétera.
En realidad tanto en Liliput como en otro
reino, Blefuscu, situado a 700 metros de
distancia y también sobre una isla, todo es
igual que en nuestro mundo solo que
reducido en la escala de una pulgada a un pie
(así que todo es 12 veces más pequeño).
En Un segundo viaje Gulliver naufraga de
nuevo y aparece en las de Brobdingnag.
En este país pasa
exactamente al revés:
Gulliver es un enano. La
escala de todas las cosas es
de un pie a una pulgada, por
tanto, Gulliver es 12 veces
menor que un habitante “medio” de este país
(ver figura derecha).
Así, al describir el primer hombre gigante que
ve, Gulliver dice: “Parecía tan alto como un
campanario corriente y avanzaba unos 9
metros en cada paso, según mi cálculo más
aproximado”. ¡Un gigante de unos 20 metros
de altura! Esta aventura fantástico-satírica
fue escrita a principios del siglo XVIII
Sin duda, cuando J. Swift creaba un perso-
naje que resultaba engrandecido o
empequeñecido respecto a su entorno,
tendría más que motivos científicos: motivos
de fábula y simbólicos.
Es de suponer, de todas formas, que no le
molestaría el hecho de que nos apropiemos,
por un momento de Gulliver, para que nos
ayude a contestar a algunas de las preguntas
que hemos formulado.
Casi dos siglos antes (siglo
XVI) de que J. Swift
escribiese su novela,
Galileo ya había afirmado que los modelos
E
E
136
ampliados o reducidos de un hombre no son
posibles. Así en una de sus obras “Dos
nuevas ciencias” uno de sus personajes dice:
“Ahora como, ... en geometría, el simple
tamaño no influye en las figuras, no veo que
las propiedades de los triángulos, círculos,
conos y demás figuras sólidas puedan
cambiar con su tamaño...”; pero otro
personaje físico le contesta: “La opinión
vulgar en este caso es totalmente errónea”.
Veamos por qué.
Hay que considerar, en primer lugar, que la
resistencia a la rotura de una cuerda,
alambre o columna es proporcional a la
sección recta (ver figura derecha). Luego la
resistencia de los huesos de las piernas es
proporcional al área de la sección recta.
Veamos que ocurrirá en el gigante de
Brodingnag que es 12 veces más alto. Tal
como lo describe Swift los dos tienen igual
constitución. En realidad los dos cuerpos son
semejantes en sección y forma
La relación de las longitudes es:
Como la resistencia de los huesos de las
piernas es proporcional al área de su sección
recta, la relación de resistencia es:
Por tanto, las piernas del gigante son 144
veces más resistentes que las piernas de
Gulliver.
Pueden, pues, aguantar más peso. ¿Pero,
cuánto más peso?
Debemos tener ahora en cuenta que el peso
que las piernas deben soportar es
proporcional a la cantidad de materia
(carne, huesos...) que lo forman, por tanto,
es proporcional al volumen.
La relación de los pesos es:
Así que mientras la resistencia del gigante ha
aumentado 144 veces, su peso ha sufrido un
aumento de 1 728 veces. ¡Su resistencia es
12 veces menor que la de Gulliver! o dicho
de otra forma, el hombre de Brobdingnag
para aguantar su propio peso deberá hacer
un esfuerzo análogo al que tendríamos que
hacer nosotros caminando con 11 personas
sobre los hombros (ver figura derecha).
Galileo había escrito: “... Si se
quisiera mantener en un gigante la
misma proporción de miembros de
un hombre normal o habría que
utilizar un material más duro y fuerte
para formar los huesos, o habría que
admitir una disminución de su resis-
tencia en comparación con la de un
hombre de estatura mediana...”
Esta claro pues, que si pensamos en
un gigante con la misma
configuración que un hombre normal habría
que utilizar un material más resistente para
formar sus huesos. En caso contrario, al
ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________
137
disminuir su resistencia al aumentar la
altura, acabaría quedar aplastado sobre si
mismo.
Tenemos diversos ejemplos en la naturaleza:
elefante tiene sus miembros muy gruesos y
una ballena que es el más grande de los
animales, no tiene los huesos proporcional-
mente gruesos, vive soportada por el agua,
su medio natural y en el caso de quedar
varada en la playa, muere bajo su propio
peso.
Si por otra parte, nos fijamos en los edificios,
estos pueden ser construidos muy altos
porque, entre otras consideraciones sus
materiales son más resistentes que los
nuestros. Pero, así y todo no se puede
construir, por ejemplo un edificio de 6 km de
altura, como una montaña. Éstas son
macizas y Un material tan resistente para
realizar esta hazaña todavía no es conocido.
Tampoco son viables las arañas u otros tipos
de insectos gigantes como los que salen a
veces en películas fantásticas. Si, por
ejemplo, una araña aumentase en 100 veces
su altura, su peso aumentara' en 1003 o sea
que se haría un millón de veces mayor, sin
embargo, como la sección transversal de sus
patas aumentaría en solo 1002, o sea se
haría diez mil veces mayor, la araña tendría
muchos problemas, incluso para ponerse de
pie porque en realidad su fuerza relativa
habría disminuido nada menos que 100
veces.
De momento hemos visto que ocurre cuando
el tamaño aumenta, ¿y si disminuye?
Volviendo a Gulliver. Al naufragar la primera
vez se encuentra frente a los liliputienses que
son personas 12 veces más pequeñas.
¿Cómo serian estos en caso de existir? (ver
la siguiente tabla).
Ejemplo
Razón k K2 K3
Liliput 1 :
12
1: 144 1 : 1 728
Brodingnag 12 :
1
144 : 1 1 728 : 1
Volviendo a Gulliver. Al naufragar la primera
vez se encuentra frente a los liliputienses que
son personas 12 veces más pequeñas.
¿Cómo serían éstos en caso de existir? (ver
la tabla anterior)
Los animales pequeños nos dan la impresión
que se mueven mucho y que comen mucho
también. ¿Qué comida necesitaría un
liliputiense? El cuerpo humano y todo animal
de sangre caliente desprenden calor
especialmente a través de la piel. Y podemos
considerar que sus necesidades de alimento
son proporcionales a su desprendimiento de
calor, por tanto, proporcional al área de la
superficie de su cuerpo.
Hagamos la hipótesis de que Gulliver puede
vivir con un pollo al día. El liliputiense
necesitara una cantidad de comida
proporcional a su superficie, y lo por tanto,
necesitara una cantidad de comida 144 veces
menor que Gulliver pero un pollo en la escala
de liliput pesará 1 728 veces menos que el
138
pollo que se coma Gulliver. Así pues el
pequeño liliputiense para saciar su hambre
necesitara nada menos que 12 pequeños
pollos.
Si, en un día de calor, Gulliver y un
liliputiense van a bañarse a la playa. ¿Que
ocurrirá? Tengamos en cuenta que, cuando
salimos del mar chorreando agua, Se puede
considerar que la película que rodea el
cuerpo es uniforme.
Así que el agua que sacamos del mar es
proporcional a la superficie de nuestro
cuerpo. Ya estamos de nuevo frente a
diferencias importantes la cantidad de agua
que nosotros sacamos del mar no nos pesa,
no la notamos en este sentido, o sea que
tampoco Gulliver lo notaría ¿pero, que le
ocurre al hombre de Liliput?
Las relaciones a considerar son:
o sea que la relación entre el peso del
liliputiense y el peso del agua que saca es:
Considerando la misma relación en Gulliver
como 1/1 para el liliputiense el agua que
lleva encima es como 12 veces mayor. Si
tomamos, por ejemplo, que Gulliver saca un
cuarto de litro de agua, el peso del agua que
será el liliputiense será 12 veces mayor, y
por tanto: 3 kilos.
Ejemplos en la naturaleza hemos visto
seguramente varios. Basta recordar lo que
ocurre cuando una mosca o una abeja se
mojan. Parece que han quedado atrapadas
en el agua.
Esto nos lleva a imaginar que los liliputienses
(y las liliputiensitas también) serian gente
muy hambrienta, estilizados, ágiles y fuertes
ya que al tener los huesos muy resistentes
podrían aguantar fácilmente varias veces un
peso igual al suyo sobre si mismos (¡harían
magníficos castellets!) pero que sentirían
muy poca afición por la natación.
Si exageramos un poco más y nos
imaginamos una raza humana del tamaño de
una hormiga. Las “desventajas” aumentarían,
así:
No podrían encender fuego, ya que
una mínima llama estable es mucho
mayor que ellas.
No podrían servirse de herramientas.
Un martillo en miniatura tiene una
energía cinética incapaz de clavar
una tachuela.
No podrían fabricar libros, pues las
fuerzas intermoleculares no permi-
tirían ni mover las hojas
No podrían ducharse. Parecido a lo
que hemos dicho antes, por una
parte, las gotas de la ducha
golpearían a los hombres-hormiga
como proyectiles y por otra parte si
se sumergen en una gota, la tensión
superficial les haría muy difícil salir
de nuevo.
ASPECTOS DIDACTICOS_________________________
139
Por el contrario y como contrapartida:
Podrían levantar pesos muy
superiores al suyo propio.
Podrían caer de grandes alturas sin
hacerse daño. Nosotros les parece-
ríamos seres medio adormecidos,
casi paralizados.
Vemos, pues, que el supuesto cambio de
tamaños en animales que son
geométricamente semejantes lleva a grandes
cambios.
Algunos de estos cambios dependen de la
longitud -l- aunque la mayor parte depende
del área, y por tanto, de la longitud al
cuadrado –l2- y unos cuantos del volumen, o
sen, del cubo de la longitud –l3-
Pero esto, evidentemente, no ocurre solo en
el cambio de tamaño de animales, sino
también en el cambio de tamaño de
estructuras no vivas. Su estudio, por
ejemplo, desde ingeniería, plantea problemas
similares.
No puede, pues, considerarse que el estudio
de la proporcionalidad acaba cuando se han
estudiado los cambios lineales, sino que
habrá que incidir especialmente en la
repercusión que estos cambios lineales
producen sobre la relación entre las áreas y
los volúmenes.
Así y todo, esto no es suficiente. Como
acabamos de ver, uno es el comportamiento
matemático de las variables y otro el
comportamiento de las variables físicas o
químicas al interactuar según modelos
lineales.
Será necesario relativizar el modelo
matemático, poner ejemplos concretos. De
estos, la variación en el tamaño de los
animales con su influencia en la estructura,
comportamiento o incluso posibilidades de
subsistencia, es rico en matices y
sugerencias.
He aquí un punto que precisa un tratamiento
de confluencia en el aula entre las
Matemáticas y las Ciencias.