lîng gi¸c ¸p dông vµo tam gi¸c

Luîng gi¸c dông vµo tam gi¸c lµ mét chuyªn ®Ò gåm c¸c bµi to¸n kh¸ thó vÞ. Sau ®©y lµ tËp hîp nho nhá mét sè bµi to¸n

®Ó b¹n ®äc tham kh¶o.Bµi to¸n 1.(§H&C§- 2002- TK1) Gäi x, y, z lµ c¸c kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M thuéc miÒn trong tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän ®Õn c¸c c¹nh BC, CA, AB. Chøng minh: ; a, b, c lµ c¸c c¹nh , R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp. DÊu = x¶y ra khi nµo?Lêi gi¶i.Ta cã : = asinA + bsinB + csinC

= =

= = + +

+ + (Chó ý: i) B®t cuèi cã ®îc do: ( =

ii) Cã thÓ chøng minh: nh sau:

ii) Cã thÓ gi¶i bµi to¸n nhanh h¬n: = + + =

= = = Bµi to¸n 2. (§H&C§- 2002- TK2) XÐt tam gi¸c ABC cã AB = c, BC = a, CA = b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c biÕt r»ng: bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20Lêi gi¶i.

1

bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinCcosB) = 20 4R2sinB.sinCsinA = 20 2.S = 20 ( S = 2R2sinB.sinCsinA)C¸ch 2: ¸p dông ®Þnh lý chiÕu b.cosC + c.cosB = a bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 absinC = 20 2S = 20.Bµi to¸n 3. (§H&C§- 2002- TK4)Gäi A, B, C lµ ba gãc cña tam gi¸c ABC. Chøng minh ®Ó tam gi¸c ABC ®Òu th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: + + - 2 = Lêi gi¶i. + + - 2 =

2(3 + cosA + cosB + cosC) - 8 =

2(cosA + cosB + cosC - 1) =

8sin sin sin = 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)sinA = sinB = sinC

Bµi to¸n 4. (§H&C§- 2002- TK6)Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch b»ng 3/2. Gäi a, b, c lÇn lît lµ ®é dµi c¸c c¹nh BC, CA, AB vµ ha, hb, hc t¬ng øng lµ ®é dµi c¸c ®êng cao kÎ tõ c¸c ®Ønh A, B, C cña tam gi¸c. Chøng minh: .Lêi gi¶i. ®Ó ý r»ng aha = 2S =

Suy ra: + + = Bµi to¸n 5. (§H&C§- A2003- TK2)TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng:

2

trong ®ã BC = a, CA = b, Ab = c, p = .Lêi gi¶i.

(1) 4. bc 1 1

cos 1/4 sin

VT(2) = = ( )

( ) =

= -

DÊu = khi chØ khi: A = 1200, B = C = 300.

Bµi to¸n 6. (§H&C§- D2003- TK1)T×m c¸c gãc A, B, C cña tam gi¸c ABC ®Ó biÓu thøc: Q = sin2A + sin2B - sin2C ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.Lêi gi¶i.Ta cã Q = + - - sin2C = 1 - cos(A+B)cos(A-B) - sin2C = 1 + cosCcos(A-B) - sin2C =

3

minQ = - khi chØ khi A = B = 300, C =

1200.Bµi to¸n 7. (§H&C§- D2003- TK2)X¸c ®Þnh d¹ng tam gi¸c ABC biÕt r»ng: (p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinBLêi gi¶i.(p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB (p - a)a2 + (p - b)b2

= abc + = 1 + = p

+ = p a(1 + cosA) + b(1 + cosB) =

a + b + cacosA + bcosB = c sin2A + sin2B = 2sinC sin(A - B)

= 1.Bµi to¸n 8. (§H&C§- A2004)Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: cos2A + cosB + cosC = 3.TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c.Lêi gi¶i.C¸ch 1.§Æt M = cos2A + cosB + cosC - 3 = 2cos2A - 1 + .2cos cos

= 2cos2A + 4 .sin cos - 4 2cos2A + 4 .sin- 4 2cosA + 4 .sin

- 4

= 2(1 - 2sin2 ) + 4 .sin - 4 = - 2( .sin - 1)2 0

4

M = 0 A = 900, B = C = 450.

C¸ch 2.Tõ gi¶ thiÕt suy ra: cos2A + cosB + cosC - 3 = 0 1 - 2sin2A + 4 cos cos - 3 = 0

sin2A - 2 sin cos + 1 = 0

V× tam gi¸c ABC kh«ng tï nªn 0 < A/2 /4. Suy ra sin > 0,

cos /2

Do ®ã: sinA = 2 sin cos sin

0 = sin2A - 2 sin cos + 1 2sin2 - 2 sin cos

+ 1 0

cos = 1 vµ sin = 1/ .C¸ch 3.M = 2cos2A - 1 + 4 cos cos - 3 2 4

sin - 4

= 8t4 - 8t2 + 4 t - 2, t = sin

§Æt g(t) = 8t4 - 8t2 + 4 t - 2, t Suy ra: g'(t) = 32t3 - 16t + 4 , g"(t) = 96t2 - 16 = 0 t =

(do t > 0)Sù biÕn thiªn cña g(t):

5

t0 /6 /2g"(t) - 0 +g'(t)

g(/6)

Tõ ®ã: ming'(t) = g'( /6) = - 16 /9 + 4 > 0. Suy ra g(t) ®ång biÕn trªn g(t) g( /2) = 0. VËy M 0.

M = 0 cos = 1 vµ sin = 1/ .C¸ch 4. Tõ mét ®iÓm trong tam gi¸c ABC vÏ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ h-íng ra ngoµi vµ vu«ng gãc c¸c c¹nh BC, CA, AB lÇn lît lµ , ,

.XÐt b×nh ph¬ng v« híng: 0 (2 + + )2 = 8 - 4 coC - 4 coB - 4cosA

2cosA + 2 coC + 2 coB 42cosA - 1 + 2 coC + 2 coB 3

Ta cã 2cos2A - 1 2cosA - 1Nªn 2cos2A - 1 + 2 coC + 2 coB 2cosA - 1 + 2 coC + 2 coB 3

cosA + 2 coC + 2 coB 3

DÊu = khi chØ khi

C¸ch 5.(X.Bang)cos2A + cosB + cosC - 3 = 0

cos2A = - cosB - cosC +3 cos2A + 2cos2B + 2cos2C = 2cos2B - cosB + 2cos2C - cosC +3

cos2A + 1 + cos2B + 1 + cos2C = ( cosB - 1)2 + (cosC - 1)2 + 1

2 - 1 - 4cosA cosB cosC = ( cosB - 1)2 + ( cosC - 1)2 + 1

6

- 4cosA cosB cosC = ( cosB - 1)2 + ( cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC 0 ( ABC kh«ng tï)Suy ra: ( cosB - 1)2 + ( cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC 0

Bµi to¸n 9. (C§ Y TÕ NghÖ An - 2004)Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC ta lu«n cã: cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosAcosBcosC Lêi gi¶i.C¸ch 1. cos2A + cos2B + cos2C = + + cos2C = = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] == 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - 2 cosAcosBcosCC¸ch 2. 1 - 2 cosAcosBcosC = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C == 1 + (cos2A + cos2B) + cos2C = 1+ (2cos2A - 1) + (2cos2B - 1) = = cos2A + cos2B + cos2C. Bµi to¸n 10. (C§SP H¶i D¬ng - B2005)Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C tho¶ sinC = 2sinBsinAtan .Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC c©n.Lêi gi¶i.sinC = 2sinBsinAtan

cos(A-B) = 1 A - B = 0.Bµi to¸n 11. (Bé Quèc phßng- A2005)Chøng minh r»ng nÕu tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

th× tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng.Lêi gi¶i.

7

A + C = B B =

Bµi to¸n 12. (C§KTKTH¶i D¬ng -A2005) C¸c gãc cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C)Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC ®Òu.Lêi gi¶i. sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C)

sin2A + sin2B + sin2C =

1 + cos(A - B) cosC + 1 - cos2C = 4cos2C - 4cos(A - B)cosC + 1 = 0 [2cosC - cos(A - B)]2 + 1- cos2(A - B) = 0

Bµi to¸n 13.(§H Dîc HN - A1999) Tam gi¸c ABC tho¶: . Chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu.Lêi gi¶i.C¸ch 1.

sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC

sinAsinBsinC = 8sin sin sin = 1

4sin = 1

B = C, A = .

C¸ch 2.

8

sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC

sinAsinBsinC = 8sin sin sin = 1(1)

Ta chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC: 8sin sin sin

1. DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi chØ khi A = B = C. ThËt vËy: 8sin sin sin 1 4sin 1

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi B = C, A = .

C¸ch 3. sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB

+ sinC Ta chøng minh sin2A + sin2B + sin2C sinA + sinB + sinC (2)DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi A = B = C. ThËt vËy:sin2A + sin2B = 2sin(A + B)cos(A - B) = 2sinCcos(A - B) 2sinCDÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi cos(A - B) = 1 A = B.T¬ng tù : sin2B + sin2C 2sinADÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi cos(A - B) = 1 B = C.sin2C + sin2A 2sinBDÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi cos(A - B) = 1 C = A.C¸ch 4. ¸p dông ®Þnh lý chiÕu: a = bcosC + ccosB

2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA

9

a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) + + b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0

(a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0.

Bµi to¸n 14.(§HQG HN - A1999) Trong tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng nÕu: cos2A + cos2B + cos2C - 1 th× : sinA + sinB + sinC Lêi gi¶i.cos2A + cos2B + cos2C - 1 - 1 - 4cosAcosBcosC - 1 4cosAcosBcosC 0 ABC kh«ng nhän.Giö sö C lín nhÊt. Suy ra

sinA + sinB + sinC = Bµi to¸n 15.(§H Vinh - B1999) Chøng minh r»ng nÕu tam gi¸c ABC tho¶ : th× tam gi¸c ABC ®Òu.Lêi gi¶i.sinB + sinC = 2sinA

1+cos(B - C) = 4(1 - cosA) (1)

tanB + tanC = 2tanA cosA = 2cosBcosC

cosA = cos(B + C) + cos(B - C) 2cosA = cos(B - C) (2)Tõ (1) vµ (2) suy ra cosA = 1/2, cos(B - C) = 1 B = C, A = 600.Bµi to¸n 16.(§HThuû Lîi - A1999) Tam gi¸c ABC tho¶ 2cosAsinBsinC + (sinA + cosB + cosC) = 17/4Hái tam gi¸c ABC cã tÝnh chÊt g×? Chøng minh.Lêi gi¶i.

10

§Ó ý r»ng cosA = . Suy ra:2cosAsinBsinC = sin2B + sin2C - sin2A(GT) sin2B + sin2C - sin2A + (sinA + cosB + cosC) = 17/4

1 - cos2B + 1 - cos2C - sin2A + (sinA + cosB + cosC) = 17/4

. Suy ra: B = C = 300, A = 1200.

Bµi to¸n 17. Tam gi¸c ABC tho¶ (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) = cosAcosBcosCChøng minh tam gi¸c ABC ®Òu.Lêi gi¶i. §Ó ý r»ng 1 - cosA > 0, 1 - cosB > 0, 1 - cosC > 0.Suy ra cosAcosBcosC > 0(GT) . §Æt x = tan , y = tan , z =

tan

. . =

tanA.tanB.tanC = cot cot cot

tanA + tanB + tanC = cot + cot + cot (1)

Ta chøng minh tanA + tanB + tanC cot + cot + cot . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi A = B = C. ThËt vËy:tanA + tanB = = .

DÊu ®¼ng thøc khi chØ khi A = B

T¬ng tù: tanB + tanC . DÊu ®¼ng thøc khi chØ khi B = C

11

tanC + tanA . DÊu ®¼ng thøc khi chØ khi C = ASuy ra: tanA + tanB + tanC cot + cot + cot . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi A = B = C.Bµi to¸n 18.

Tam gi¸c ABC nhän tho¶ + + = 18

Chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu.Lêi gi¶i.

Ta chøng minh + + 18. D¾u ®¼ng

thøc x¶y ra chØ khi A = B = C. ThËt vËy:Ta cã + + víi a, b, c thùc vµ x, y, z thùc d-¬ng.DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi

+ + = 18

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi = = vµ A = B

= C .Bµi to¸n 19.Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta cã: + + ; x, y, z > 0.Lêi gi¶i. + +

2yzcosA + 2xzcosB + 2xycosC x2 + y2 + z2

2yzcosA + 2xzcosB - 2xycos(A + B) x2 + y2 + z2

12

2yzcosA + 2xzcosB - 2xycosAcosB + 2xysinAsinB x2(sin2B + cos2B) + + y2(sin2A + cos2A)+ z2

(xcosB + cosA - z)2 + (xsinB - ysinA)2 0.DÊu ®¼ng thøc x¶y ra chØ khi

x : y : z = sinA : sinB : sinC. ̧ p dông 1: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng F = cosA + 3(cosB + cosC) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. ̧ p dông 2: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng cosA + cosB + cosC = Bµi to¸n 20.Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta cã:

Lêi gi¶i. Tríc hÕt ta chøng minh: Víi x, y, z > 0 vµ x + y + z S. Khi ®ã

ThËt vËy: VT = 1 +

MÆt kh¸c:

S

Suy ra VT 1 + =

13

B©y giê chØ cÇn ®Ó ý r»ng x + y = z = sinA + sinB + sinC

Bµi to¸n 21.X¸c ®Þnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng F = cosAsinBsinC + sinA + (cosB + cosC) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.Lêi gi¶i. Ta cã F = =

= -2sinBsinCsin + 2

F ®¹t max khi chØ khi

sinA 1 sinA = 1 A = 900. Khi ®ã cos(B - C) = 1 B = C

* * * B¹n cã thÓ tù ph©n lo¹i ®îc råi ®Êy.

14