LÍMITES DE FUNCIONES

1.- CONCEPTO INTUITIVO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UN A FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES.

Otros ejemplos:

→→→→= ⇔ ∀ > ∃ > − <= ⇔ ∀ > ∃ > − <= ⇔ ∀ > ∃ > − <= ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒⇒⇒⇒ − <− <− <− <

x alim f(x) L ε 0 δ 0 / x a δ f(x) L ε

Nótese que la idea de límite no depende en absoluto de lo que ocurra en el punto a, sólo interesa lo que ocurre al aproximarnos a a.

Límites laterales

2.- LÍMITES INFINITOS A veces ocurre que al acercarnos a un valor xo de la variable los valores de la función no se acercan a un valor finito L sino que se hacen cada vez mayores (en valor absoluto); en ese caso diremos que el límite de la función es + ∞ (ó - ∞) cuando x tiende a xo. Más concretamente:

Ejemplos:

En las figuras se observa que las ramas de la curva se “acercan” cada vez más a una recta vertical x = a. Dicha recta recibe el nombre de asíntota vertical. En el caso de la tercera figura no existe límite cuando x tiende a -2, pero en algunos libros dicen que el límite vale ∞ (sin especificar signo). 3.- LÍMITES EN EL INFINITO

Ejemplos:

4.-ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.

5.- PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1.- El límite, si existe, es único.

2.- El límite existe si y sólo si existen y coinciden los límites laterales.

3.- Si 0Lf(x)lim0xx

≠=→

, existe un entorno de x0 en el que los valores de la

función tienen el mismo signo que L.

Además de estas tres, hay otras propiedades relacionadas con las operaciones de funciones: 4.- lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x).

5.- lim (fg)(x) = lim f(x) · lim g(x).

Como caso particular: lim (a · f)(x) = a · [lim f(x)].

6.- ( )g(x)lim

f(x)limx

g

flim =

, si lim g(x) ≠ 0

7.- ( ) [ ] g(x)limg f(x)lim(x)flim = , si lim f(x) ≥0.

6.- CÁLCULO DE LÍMITES SENCILLOS.

Pero hay que tener cuidado porque hay algunos casos indeterminados en los que no se puede saber de esta forma el valor del límite. Esos casos indeterminados son:

∞ - ∞, 0 · ∞, 0 / 0, ∞ / ∞, 00, ∞0, 1∞

Realmente hay una indeterminación más: L

0 siendo L ≠ 0. (algunos libros no la

consideran indeterminación, dicen que ese límite vale ∞ sin especificar signo). Vamos a ver cómo se resuelven algunas de estas indeterminaciones:

Esta indeterminación aparece frecuentemente al calcular límites de la forma Q(x)

P(x)lim

ax →→→→

siendo P(x) y Q(x) dos polinomios. En este caso, ya que el número a anula a los dos polinomios, ambos son divisibles por x – a. Se dividen ambos por x – a (varias veces si es necesario) y así desaparece la indeterminación.

También puede aparecer esta indeterminación con funciones irracionales (con la variable dentro de una raíz cuadrada). En ese caso se resuelve multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada (cambiando el signo del medio) de la que contiene la raíz.

En el caso de funciones racionales puede utilizarse, salvo que se indique lo contrario, la siguiente regla práctica:

7.- FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO: Intuitivamente una función f es continua en un punto xo si al pasar por el punto P(xo,f(xo)) su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel; es decir, sin interrupciones ni saltos. Los puntos en que haya que levantar el lápiz se llaman puntos de discontinuidad. Con esa idea intuitiva la función representada en la gráfica siguiente sería continua en a1, pero no en a2, a3, a4 ni a5.

Pero en muchas ocasiones no conocemos la gráfica de la función, por lo que es precisa una definición de continuidad que no dependa de la gráfica. Vamos a llegar a ella apoyándonos en las siguientes figuras:

En la primera figura la función no es continua porque desde los dos lados no vamos hacia el mismo punto, es decir, no existe f(x)lim

0xx →.

En la segunda figura sí van hacia el mismo sitio, pero falta (no existe) el punto de unión entre los dos trozos o ramas, que sería f(xo). En la tercera existe ese punto de unión f(xo) pero no está colocado en el sitio adecuado: )f(xf(x)lim 0

xx 0

≠→

.

Y por último, en la cuarta figura todo está bien y la función es continua. A la vista de esto podemos dar la definición formal de función continua en un punto como aquella función que cumple las tres condiciones siguientes:

)f(xf(x)lim3.

)f(x2.

f(x)lim1.

0xx

0

xx

0

0

=−∃−

∃−

→

→

2.- CONTINUIDAD LATERAL: Cuando una función no es continua en un punto podemos preguntarnos si lo es lateralmente; es decir, si desde algún lado llegamos a f(xo). En concreto: Una función f es continua por la izquierda en un punto xo si y sólo si )x(f)x(flim 0

xx 0

=−→

.

Una función f es continua por la derecha en un punto xo si y sólo si )x(f)x(flim 0xx 0

=+→

.

De la misma manera que el límite de una función en un punto existe si y sólo si existen los dos límites laterales y éstos coinciden, una función es continua en un punto si y sólo si la función es continua por la izquierda y por la derecha en ese punto. 3.- FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO: El concepto de continuidad no tiene excesivo interés y aplicación práctica mientras no se extienda a un intervalo para poder tener propiedades en un “trozo” más amplio que un entorno, a veces muy pequeño, alrededor de un punto. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos. En caso de que el intervalo sea cerrado, [a, b], es necesario que la función también sea continua lateralmente en los extremos.

4.- DISCONTINUIDADES (EVITABLE, DE SALTO, INFINITA) :

Cuando una función no es continua en un punto xo decimos que tiene o que presenta una discontinuidad en ese punto. Si nos fijamos en la definición de función continua en un punto vemos que las discontinuidades pueden darse por los siguientes motivos:

a) existe f(x)lim0xx →

= L, pero o bien no coincide con

f(xo) o bien no existe f(xo). Este tipo de

discontinuidad se llama evitable porque se resolvería redefiniendo la función en ese punto (o definiéndola si no existía) por f(xo) = L.

b) no existe f(x)lim

0xx →. Este tipo de discontinuidad se llama inevitable porque no tiene

solución fácil como el tipo anterior, pero podemos distinguir tres casos: b1: existen los dos límites laterales pero no coinciden (puede existir o no f(xo)). En este caso se

habla de discontinuidad de salto (finito).

b2: alguno de los límites laterales (o los dos) es infinito. En este caso se habla de discontinuidad (de salto) infinita .

b3: alguno de los límites laterales (o los dos) no existe. En este caso se habla de discontinuidad esencial.

5.- PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS:

6.- CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:

7.- CONTINUIDAD DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: