Alonso Fernández Galián

- 1 -

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Aunque el concepto de función está implícito en los trabajos de Newton, Leibniz, Euler,… no

fue hasta el siglo XIX en que se definió de manera precisa. El estudio riguroso de funciones se

inicia con los trabajos de Cauchy y el uso que hace éste de la noción de límite.

1.1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Una función real de variable real f es una regla cálculo, de manera que a cada número x real

de cierto conjunto D, llamado dominio de la función, le corresponde un único número real y:

f

D ℝ ⎯→⎯ ℝ

)(xfyx =→

Una función real de variable real tiene asociada una gráfica, formada por los puntos ),( yx del

plano cuyas coordenadas satisfacen la expresión analítica de la función.

Dominio e imagen. El dominio de una función es el conjunto de números reales en los que está

definida la función; es decir, el conjunto de números reales que puede tomar la variable x.

Análogamente, la imagen o recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que

alcanza la variable y.

y ( ) fIm Existe un número )( fDx tal que )(xfy =

Gráficamente:

Dominio:

( ) bafD ,=

Imagen:

( ) dcf ,Im =

Gráficamente, el dominio de una función es el conjunto de valores de x sobre los que está

representada la gráfica de la función:

( )=fD ℝ 0− ( ) )+= ,0fD ( ) ( )+= ,0fD

Matemáticas II

- 2 -

1.2 CÁLCULO DE LÍMITES

Intuitivamente, el límite de la función f cuando 0xx → es el valor al que se aproxima la

función a medida que tomamos valores de x cada vez más próximos a 0xx = (en el anexo se

puede ver la definición formal de límite).

De manera similar, el límite de la función f cuando →x es el valor al que se aproxima la

función a medida que tomamos valores de x cada vez más grandes.

Cálculo de límites: evaluación de la función. Para calcular el límite de una función cuando

ax → se sustituye x por a y se opera. Para operaciones con 0 y con el infinito tenemos:

1 si ,00/

1 si ,0/0

0/

/

===

===

===+

===+

kkkk

kkk

kk

k

k

0k

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites en un punto:

(a) ( ) 534232lim4

=−=−→

xx

(d) 2

1

7

1lim

5=

+−→ xx

(b) ==−→ 0

2

3

2lim

3 xx (e) 0

5

0

1

4lim

4==

+

−

→ x

x

x

(c) ==−→ 0

1

)2(

1lim

22 xx (f) 1

1

1

3

1

3

1lim

00===

→ xx

•Ejemplo: Calcular el límite de ( )62

962

−

+−=

x

xxxf cuando 3→x .

Podemos tratar de estimar el límite dando valores:

03

......

0005,09999,2

005,0999,2

05,099,2

)(

−

−

−

−

xfx

03

......

0005,00001,3

005,0001,3

05,001,3

)(

+

xfx

Parece que el límite es 0. Comprobémoslo:

02

0

2

3lim

)3(2

)3(lim

0

0

62

96lim

3

2

3

ind2

3==

−=

−

−=

=

−

+−

→→→

x

x

x

x

xx

xxx

Tema 1: Funciones. Límites y continuidad

- 3 -

Indeterminaciones. Una indeterminación es una “operación” con 0 ó que no está definida de

antemano, sino que depende de cada límite concreto. Las indeterminaciones son:

00 0100

0−

Veamos cómo se resuelven los casos más frecuentes.

Indeterminación del tipo / cuando x → . Se resuelve dividiendo el numerador y el deno-

minador entre la mayor potencia de x.

•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:

(a) 07

0

007

00

327

13

lim327

13

lim327

13lim

32

3

3

3

3

2

3

2

==++

+=

++

+

=++

+

=

=

++

+

→→→

xx

xx

x

xx

x

x

xx

x

xxx

[…]

•Ejemplo: Calcula el límite cuando 1→x de la siguiente función:

+

−

−

−

=

1 si1

23

1 si,1

1

)(

xx

x

xx

x

xf

Como se trata de una función definida a trozos, calculamos los límites laterales.

( )( )( )( ) ( )( ) 2

1

1

1lim

11

1lim

11

11lim

0

0

1

1lim)(lim

111

ind

11=

+=

+−

−=

+−

+−=

=

−

−=

−−−−− →→→→→ xxx

x

xx

xx

x

xxf

xxxxx

2

1

1

23lim)(lim

11=

+

−=

++ →→ x

xxf

xx

Como los límites laterales son iguales, concluimos que:

( )2

1lim

1=

→xf

x

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites en el infinito:

(a) ( ) =+=+→

3535lim xx

(d) −=−

=

−

+

→ 55

3lim

2 xx

x

(b) ( ) −=++−→

xxxx

23 42lim (e) ==

→33lim x

x

(c) 01

4

1lim =

=

→ xx (f) 0

1

2

122lim =

===

−

−→

x

x

Matemáticas II

- 4 -

Muchos otros casos de indeterminación pueden reducirse al tipo / mediante algún cálculo.

Indeterminación del tipo 0/0 cuando x tiende a un punto. Se resuelven factorizando el numera-

dor y el denominador para simplificar el factor que los anula.

[…]

(b) 2

1

06

3

16

3lim

6

3

lim6

3lim

2

2

2

2

2

2

=+

=

−

=−

=

=

− →→→

xx

xx

x

x

xx

x

xxx

(c) ==+

−=

+

−

=+

−

=

=

+

−

→→→ 0

1

00

01

12

31

lim12

3

lim12

3lim

42

3

4

2

4

4

2

4

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

Nota: En la práctica basta con comparar el grado del numerador y del denominador.

•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:

(a) 2

3

4

6

1

3lim

)3)(1(

)3)(3(lim

0

0

32

9lim

332

2

3==

+

+=

−+

−+=

=

−−

−

→→→ x

x

xx

xx

xx

x

xxx

(b) ==+

=+

+=

=

++

+

−→−→−→ 0

3

2

3lim

)2(

)2(3lim

0

0

44

63lim

22222 xx

x

xx

x

xxx

Si x está afectada por una raíz se multiplican el numerador y el denominador por la

expresión conjugada para que aparezca explícitamente el factor que los anula.

(c) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

=

−+

+++=

++−+

+++=

=

−+

+

−→−→−→ 2255516

165lim

1616

165lim

0

0

16

5lim

x

xx

xx

xx

x

x

xxx

( )( ) ( ) 216lim

5

165lim

55=++=

+

+++=

−→−→x

x

xx

xx.

Otras indeterminaciones cuando x tiende a un punto pueden reducirse a este caso:

(c) 2

3

)1)(1(

)2)(1(lim

0

0

)1)(1(

2lim

1

2

1lim

1

2

121=

+−

+−=

=

−+

−+=−=

−−

− →→→ xx

xx

xx

xx

xx

x

xxx

•Ejemplo: Calcula el siguiente límite:

( ) ( )( )

=+−

+−−−=−=−−

→→ xx

xxxxxx

xx 1

11lim1lim

( ) ( )0

1

1

1lim

1

1lim

1

1lim

22

=

−=

+−

−=

+−

−−=

+−

−−=

→→→ xxxx

xx

xx

xx

xxx

Tema 1: Funciones. Límites y continuidad

- 5 -

1.3 CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES

Intuitivamente decimos que una función es continua si su gráfica no está rota; es decir, si pode-

mos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

Definición de continuidad en un punto. Se dice que una función f es continua en el punto

0xx = si el límite de la función cuando 0xx → coincide con el propio valor de la función:

f es continua en 0xx = )()(lim 00

xfxfxx

=→

Si una función no es continua en el punto 0xx = se dice que es discontinua en dicho punto.

Tipos de discontinuidad. Si una función es discontinua en el punto 0xx = puede ser que la dis-

continuidad sea no evitable o que sea evitable. A su vez, una discontinuidad no evitable puede

ser una discontinuidad de salto finito o una discontinuidad de salto infinito:

• Discontinuidad no evitable de salto finito: Una función presenta una discontinuidad no evita-

ble de salto finito en el punto 0xx = si los límites laterales cuando 0xx → son distintos:

)(lim)(lim00

xfxfxxxx +− →→

• Discontinuidad no evitable de salto infinito: Una función presenta una discontinuidad no evi-

table de salto infinito en el punto 0xx = si el límite cuando 0xx → es infinito:

=→

)(lim0

xfxx

• Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en el punto 0xx =

si el límite cuando 0xx → existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función:

)()(lim 00

xfxfxx

→

Nota: Si L es el límite cuando 0xx → ,

podemos construir la función:

=

=

0

0

si

si)()(ˆ

xxL

xxxfxf

que es igual que f cuando 0xx , pe-

ro que es continua en el punto 0xx = .

Matemáticas II

- 6 -

Estudio de la continuidad de una función. Según todo lo anterior, para estudiar si una función

es continua en un punto 0xx = hay que comprobar las tres condiciones siguientes:

(i) )(lim0

xfxx→

(los límites laterales en 0xx = son finitos y coinciden).

(ii) )( 0xf (la función está definida en 0xx = ).

(iii) )()(lim 00

xfxfxx

=→

(los dos valores obtenidos anteriormente son iguales).

Nota: Las funciones elementales son continuas en todo su dominio. Por ejemplo, la función

4

63)(

2 −

+=

x

xxf

es continua en ( )=fD ℝ 2− , mientras que en los puntos 2=x y 2−=x la función no

puede ser continua porque no está definida en ellos.

• Ejemplo: Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo ℝ.

−

−=

1 si,25

1 si,)(

2

xx

xkxxxf

El único punto donde la función podría no ser continua es en 1=x .

Calculamos k de manera que los límites laterales en 1=x sean iguales.

231

3)(lim

1)(lim

1

1

−==−

=

−=

+

−

→

→

kk

xf

kxf

x

x

Para este valor de k, se cumple entonces que 3)(lim1

=→

xfx

. Como también 3)1( =f ,

concluimos que para 2−=k la función es continua en toda la recta real.

•Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función:

−

−

−

=

2 si3

6

2 si63

4

)(

2

xx

xx

x

xf

La función es continua en ℝ 2− . Veamos qué ocurre en 2=x .

Estudiemos primero los límites laterales:

3

4)(lim

3

4

3

6lim

3

4

)2(3

)2)(2(lim

0

0

63

4lim

2

2

2

2

2

=

=−

=−

+−=

=

−

−

→

→

→→

+

−−

xfx

x

xx

x

x

x

x

xx

Como también 3/4)2( =f , concluimos que la función es continua en 2=x . Por tanto:

La función es continua en todo ℝ

Tema 1: Funciones. Límites y continuidad

- 7 -

1.4 EL TEOREMA DE BOLZANO

Presentamos ahora un importante teorema sobre continuidad con múltiples aplicaciones.

Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en el intervalo cerrado ba , y toma

valores de signo contrario en los extremos, entonces existe punto c del interior del intervalo,

( )ba , , en el que la función se anula. Brevemente:

( )bac

bf

afii

baencontinuafi

,

revés) al (o 0)(

0)()(

,)(

tal que 0)( =cf

Gráficamente, el teorema de Bolzano significa que si una función continua pasa de estar por

encima del eje OX a estar por debajo, o al revés, entonces debe cortar a dicho eje.

Aplicaciones del teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano permite asegurar la existencia de la solución de muchas ecuaciones, así

como acotar dichas soluciones.

•Ejemplo: Demostrar que la función 27)( 3 +−= xxxf corta al eje de abscisas al menos

una vez en el intervalo 3,1 .

La función es continua en toda la recta real, luego en particular lo es en el intervalo 3,1 .

Además:

04)1( −=f y 08)3( =f

Por lo tanto, por el teorema de Bolzano podemos afirmar que existe un ( )3,1c tal que:

0)( =cf

•Ejemplo: Demostrar que la siguiente ecuación tiene alguna solución en el intervalo ( )e,1 .

032ln =+− xx

Consideremos la función 32ln)( +−= xxxf . Estamos bajo las hipótesis del teorema de

Bolzano, pues:

(i) La función es continua en e,1

(ii) 01)1( =f

024)( −= eef

Por tanto, existe un ( )ec ,1 tal que 0)( =cf . Es decir, un ( )ec ,1 tal que:

032ln =+− cc

Matemáticas II

- 8 -

El teorema de Bolzano también nos permite asegurar la intersección de dos gráficas.

Nota: Con más generalidad, el teorema de Bolzano permite demostrar que una función continua

en un intervalo ba , toma todos los valores comprendidos entre )(af y )(bf .

•Ejemplo: Demuestra que la función xxf x −= 2)( toma el valor 4=y en intervalo 3,0 .

Buscamos un valor de x para el que se cumpla que 42 =− xx, o equivalentemente, que:

042 =−− xx

Consideremos la función 424)()( −−=−= xxfxg x . Dicha función es continua en

el intervalo 3,0 . Además, 03)0( −=g y 01)3( =g . Por tanto, por el teorema de

Bolzano podemos afirmar que existe un ( )3,0c tal que 0)( =cg . Es decir:

4)( −=cf

•Ejemplo: Demostrar que la ecuación xx 22 log4 =− tiene alguna solución, indicando un

intervalo donde encontrarla.

En primer lugar, notemos que la ecuación es equivalente a:

0log4 22 =−− xx

Así, consideremos la función xxxf 22 log4)( −−= , que es continua. Busquemos por

tanteo un intervalo en el que la función cambie de signo:

03)1( −=f ,

01)2( −=f ,

010)4( =f .

Según esto, aplicando el teorema de Bolzano en el intervalo 4,2 , podemos afirmar que

existe un ( )4,2c tal que 0)( =cf . Tal c es solución de la ecuación:

cccccf 22

22 log40log40)( =−=−−=

•Ejemplo: Demostrar que las gráficas de las funciones xexf −=)( y xxg sen )( = se cortan

en algún punto.

Notemos que el problema equivale a resolver la ecuación xe x sen =−, o equivalentemente:

0sen =−− xe x

Consideremos la función xexh x sen )( −= − . La función es continua, busquemos un

intervalo en el que se satisfaga el teorema de Bolzano. Probemos con 2/,0 :

01)0( =h y 011

2 2/−=

eh

Ahora, por el teorema de Bolzano, existe un c en nuestro intervalo tal que 0)( =ch .

==−= −− cecech cc sen 0sen 0)( f y g se cortan en c.

Tema 1: Funciones. Límites y continuidad

- 9 -

1.5 EL TEOREMA DE WEIERSTRASS

Veamos finalmente un resultado de carácter teórico que necesitaremos en más adelante.

Teorema de Weierstrass: Toda función continua f en un intervalo cerrado ba , alcanza sus

valores máximo y mínimo en dicho intervalo. Es decir:

-Existencia del máximo absoluto: bax ,1 tal que baxxfxf ,),()( 1 .

-Existencia del mínimo absoluto: bax ,2 tal que baxxfxf ,),()( 2 .

(dichos valores máximo y mínimo se pueden alcanzar en a o b). Gráficamente,

Notas:

-La existencia de los valores máximo y mínimo no está asegurada si la función no es continua.

Por ejemplo, la siguiente función no alcanza su valor máximo.

-Tampoco tienen por qué alcanzarse los valores máximo o mínimo si el intervalo no es cerrado.

Por ejemplo:

Matemáticas II

- 10 -

ANEXO: DEFINICIÓN - DE LÍMITE

Veamos la definición formal de límite.

Límite en un punto. La función f tiene límite L cuando 0xx → si, para todo 0 , existe un

0 tal que para cualquier x que esté a una distancia de 0x menor que , entonces )(xf está

a una distancia de L menor que . Brevemente:

Lxfxx

=→

)(lim0

−− Lxfentoncesxxsiquetal )(,,0,0 0

Es decir, podemos obtener valores de )(xf tan próximos a L como queramos (con una

diferencia menor que el ‘margen de error’ que deseemos) sin más que tomar valores de x

suficientemente próximos a 0x (en concreto, a distancia menor que cierto ).

Límite en el infinito. La función f tiene límite L cuando →x si, para todo 0 , existe un

0K tal que para cualquier x mayor que K, entonces )(xf está a una distancia de L menor que

. Brevemente:

Lxfxx

=→

)(lim0

− LxfentoncesKxsiquetalK )(,,0,0

Es decir, podemos obtener valores de )(xf tan próximos a L como queramos (con una

diferencia menor que el ‘margen de error’ que deseemos) sin más que tomar valores de x

suficientemente grandes (en concreto, mayores que cierto K).

Tema 1: Funciones. Límites y continuidad

- 11 -

Funciones reales de variable real

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones.

(a) 4

53)(

2 −

+=

x

xxf (b)

1)(

2 −=

x

xxg

(c) ( )2ln)( 2 −= xxu (d) 1

5)(

2 ++=

xxxv

2. Calcula razonadamente el dominio de las siguientes funciones.

(a) xxxf cos7)( += (b)

−

−=

40 si14

02 si)(

2

xx

xxxf

(c) 3

)1ln()(

−

+=

x

xxf (d)

1

3)(

−=

xexf

3. Representa de manera aproximada las siguientes funciones indicando su dominio y su

recorrido.

(a) 3)2()( 2 +−= xxf (b) 13)( +−= xxg (c) 2)( += xxh

Cálculo de límites

4. Calcula los siguientes límites:

(a) ( )234lim xx

−→

(b) 16

1lim

+→ xx (c)

x

x x

+

→

13lim

(d) 23

3lim

x

x

x

−

→ (e)

( )21 1

2lim

−→ x

x

x (f)

2

1lim

2 +→ xx

5. Calcula razonadamente los siguientes límites.

(a) x

x

x 2

6lim

+→ (b)

x

x

x 10

7lim

+→ (c)

2

1

02lim x

x→

6. Calcula los siguientes límites:

(a) 45

32lim

3

2

++

+

+→ xx

xx

x (b)

53

163lim

2

+

+−

+→ x

xx

x (b)

7

25lim

+

−

+→ x

x

x

(c) 15

2lim

2

3

+−

+

+→ xx

xx

x (d)

2lim

++→ x

x

x (d)

x

xx

x

59lim

4 +

+→

7. Calcula los siguientes límites:

(a)

−−+

−→11lim 22 xx

x (b)

+−

−+→ 2

3

2

3lim

22

x

x

x

x

x

EJERCICIOS DEL TEMA 1

Matemáticas II

- 12 -

8. Calcula los siguientes límites en un punto.

(a) xx

xx

x 3

6lim

2

2

3 −

−−

→ (b)

22 )2(

5lim

+−→ xx (c)

1

1lim

21 +

+

−→ x

x

x

(d) 11

lim0 +−→ x

x

x (e)

1

1lim

2

4

1 −

−

→ x

x

x (f)

2

5lim

2 −→ x

x

x

(g) 416

39lim

0 −+

−+

→ x

x

x (h)

642

96lim

2

2

3 −−

+−

→ xx

xx

x (i) xx

x

x

5

25

5

2

2

7lim −

−

→

9. Calcula razonadamente los siguientes límites.

(a)

+

−

→ 2 si1

2 si34lim

22 xx

xx

x (b)

−−

−+

−→ 1 si16

1 si37lim

1 xx

xx

x

Continuidad

10. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

(a)

−

−

−−

=

254

213

1

)(

2

xsix

xsi

xsixx

xf (b)

−

−=

0 si,3

0 si,1

3

)(

xx

xxxf

11. Considera la siguiente función:

x

xxxf

−=

22)(

Estudia su continuidad en el punto 0=x y, si presenta algún tipo de discontinuidad, indicando

de qué tipo es.

12. La función 1

1)(

2

−

−=

x

xxf no está definida en 1=x , por lo que no es continua en dicho

punto. Averigua K de modo que la siguiente función sí sea continua:

=

−

−

=

1 si,

1 si,1

1

)(~

2

xK

xx

x

xf

13. Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua.

−

+=

1 si,3

1 si,1)(

2 xax

xxxf

14. Calcula el valor de a y b para que la siguiente función sea continua en toda la recta real.

−

−+−

−−

=

2 si,

21 si,3

1 si,

)(3

2

xbx

xbxax

xbax

xf

Tema 1: Funciones. Límites y continuidad

- 13 -

15. Dada la función1

1)(

−

−=

x

xxf ,

(a) Indica el tipo de discontinuidad que presenta en 1=x .

(b) ¿Cómo deberíamos definir )1(f para que la función resultante fuera continua?

16. Determina el valor del parámetro a ℝ para que la función sea continua en 3=x .

−

−+

=3 si

3

21

3 si

)(

2

xx

x

xax

xf

17. Calcula a y b de modo que la siguiente función sea continua.

+

−

=

xx

xxb

xxa

xg

si,

0 si),(sen

0 si,)1(

)(

2

18. Se considera la función

+

=

1 si,

10 si,ln)(

2 xbax

xxxf

Determinar los valores de a y b para que f sea continua y cumpla que 3)2( =f .

El teorema de Bolzano

19. Dada la función:

35)( xxxf −=

(a) Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que corta al eje OX en el intervalo ( )3,2 .

(b) Encuentra dicha raíz por métodos algebraicos.

20. Demostrar que la ecuación 0cos =− xx tiene al menos una solución, indicando un intervalo

donde encontrarla.

21. Consideremos la función 146)( 3 +−= xxxf , ¿corta al eje de abscisas en el intervalo

( )0,1− ? ¿y en el intervalo ( )1,0 ?

22. Comprobar que la ecuación

xxxx cossen 2 +=

posee alguna solución real en 0,− .

23. Utilizar el teorema de Bolzano para demostrar que la siguiente ecuación tiene alguna

solución real, indicando un intervalo donde encontrarla.

xe x =+− 2

Matemáticas II

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24. Probar que las gráficas de xxf ln)( = y xexg −=)( se cortan en algún punto.

25. Probar que la función 1)( 23 ++= xxxf toma el valor 5 en el intervalo ( )2,1 .

26. La función xxf /1)( = cumple que 0)1( −f y 0)1( f . Sin embargo, no corta al eje de

abscisas en ningún punto. ¿Contradice este hecho el teorema de Bolzano?

27. Enuncia el teorema de Bolzano. Como aplicación de este teorema, demuestra que las

gráficas de las funciones 2

)( xexf = y ( )2cos2)( xxg = se cortan en, al menos, un punto.

28. Considera la función 1)( 3 −= xxf . Demuestra que la función toma todos los valores

comprendidos entre 0 y 7.

Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU

Junio 2009-2010

Junio 2010-2011 (Reserva)