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L Í M I T E S Y C O N T I N U I D A D D E F U N C I O N E S
1. C O N C E P T O D E L Í M I T E D E U N A F U N C I Ó N E N U N P U N T O
Consideremos la función f(x)=x², cuya gráfica es una parábola. Si x se aproxima a 2, ¿a qué valorse aproxima f(x)? Para tener una idea de la respuesta basta evaluar la función en puntos cada vezmás próximos a 2, como en las tablas adjuntas:
Por la izquierda de 2 ( 2- ):
1,9 1,99 1,999 1,9999
3,61 3,9601 3,996001 3,99960001
Por la derecha de 2 ( 2+) :
De aquí podemos deducir que al aproximarse x a 2 (por la izquierda y por la derecha), los valorescorrespondientes de la función f(x) se aproximan a 4. Por tanto, el límite de la función f cuando xtiende a 2, es 4. Abreviadamente lo expresaremos así:
Veamos ahora el comportamiento de la función parte entera (f(x) = E(x)). Si x se aproxima a 2, ¿aqué valor tiende f(x)?
Por la izquierda de 2 ( 2- ):
Por la derecha de 2 ( 2+) :
2,1 2,01 2,001 2,00012 2 2 2
Observando las tablas de valores podemos deducir que los valores de f(x) no se aproximan a unvalor fijo. Por la izquierda son iguales a 1, y por la derecha a 2. En este caso decimos que la funciónno tiene límite en x=2. Sin embargo, sí podemos concluir que el límite de la función a la izquierdade 2 es 1, y el límite de la función a la derecha de 2 es 2. Estos valores son los límites laterales y serepresentan así:
Una función f tiene límite en un punto cuando existen los dos límites laterales y son iguales.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 1
2,1 2,01 2,001 2,00014,41 4,0401 4,004001 4,00040001
1,9 1,99 1,999 1,9999...1 1 1 1
2 2lim ( ) 1, lim ( ) 2x x
f x f x- +® ®
= =
2x -®
( ) ?f x ®
2x +®( ) ?f x ®
2lim ( ) 4x
f x®
=
2x -®( ) ?f x ®
2x +®( ) ?f x ®
2. P R O P I E D A D E S D E L O S L Í M I T E S
Veamos algunas propiedades de los límites que permitirán su cálculo sistemático:
- El límite de una función en un punto, si existe, es único.
- El límite de la función constante en un punto es la misma constante:
- El límite de la función identidad en un punto es el valor de dicho punto:
Si existen y , entonces se verifica:
- El límite de la suma f+g es igual a la suma de los límites.
- El límite de la resta f-g es igual a la resta de los límites.
- El límite de la función kf (k constante) es igual al producto de k por el límite de f.
- El límite del producto fg es igual al producto de los límites.
- El límite del cociente f/g es igual al cociente de los límites, si
- El límite de la potencia f(x)g(x) es igual a la potencia de los límites si
3. I N D E T E R M I N A C I O N E S
Las propiedades anteriores nos indican cómo operar con límites tanto finitos como infinitos.A veces pueden aparecer expresiones inicialmente idénticas pero con un resultado diferente segúnlas funciones que se operen. Estas expresiones se llaman indeterminaciones.
Sean las funciones f(x)= x²-4, g(x)= x-2 y . De la observación de sus gráficas se
deduce que y
Si aplicamos las propiedades de los límites, obtenemos:
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 2
2
2 22
lim( ² 4)² 4 0lim ( ) lim
2 lim( 2) 0x
x xx
xxh x
x x®
® ®®
--= = =
- -
limx ak k
®=
limx ax a
®=
lim ( )x a
f x®
lim ( )x ag x
®
lim ( ) 0x ag x
®¹
lim ( ) 0x a
f x®
>
h(x)= x2−4x−2
2lim ( ) 0x
f x®
=2
lim ( ) 0xg x
®=
Consideremos ahora las funciones f(x)=x³-x, h(x)=x-1 y 1
³)(
--=x
xxxg . De la observación de las
gráficas deducimos también que los límites de las dos funciones cuando x tiende a 1 es 0. De nuevo,
si aplicamos las propiedades obtenemos: 0
0)(
1=
®xglím
x .
En los dos casos obtuvimos la expresión 0
0 , que no es ningún número pues no tiene sentido dividir
entre cero. Sin embargo, si observamos las gráficas, tenemos que 4)(2
=®
xhlímx y 2)(
1=
®xglím
x . Por eso
decimos que la expresión 0
0 es una indeterminación.
También son indeterminaciones las siguientes expresiones:
00 ,0,1,0,, -
4 . C Á L C U L O D E L Í M I T E S
1- Límite de funciones polinómicas en x=a:
Si f(x)= P(x) = an xn + …+ a1x + a0, )()( aPxfax
lím =®
Ejemplo: 122)12(2
-=-®
xxlím
2- Límite de funciones polinómicas en el infinito:
Si f(x)= P(x) = an xn + …+ a1x + a0 , n≠0,
El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, pues .
Ejemplo: =---®
-=--®
-=--®
=-®
)12(,)12(,)12(,)12( xxlímx
xlímx
xlímx
xlím
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 3
-
>+=
® 0
0)(
nasi
nasixf
xlím
lim ( ) lim ( )x x
f x f x®- ®
= -
3- Límite de funciones racionales en x=a:
Si )(
)()(
xQ
xPxf = es una función racional, pueden darse tres casos:
➢ Si Q(a)≠0, )(
)()(
aQ
aPxf
axlím =®
.
Ejemplo: 7)1(1
)1(6)²1(7)³1(
1
6²7³
1-=
---+---
=-
+--® x
xxx
xlím
➢ Si Q(a)=0 y P(a)=0, estamos en un caso de indeterminación del tipo 0
0. Para resolver esta
indeterminación descomponemos los polinomios y simplificamos, calculando el límite de laexpresión simplificada.
Ejemplo: 51
6²
1)1()1(
)1()6²(
11
6²7³
1=
--
®=
----
®=
-+-
®xx
xlím
x
xxx
xlím
x
xxx
xlím
➢ Si Q(a)=0 y P(a)≠0, el límite es +∞, -∞, o no existe, dependiendo del signo de los límiteslaterales:
Ejemplo: -=+-
-® 12²
1
1 xxxlím , pues -=
+--
-® 12²
1
1 xxxlím y -=
+--
+® 12²
1
1 xxxlím
4- Límite de funciones racionales en el infinito:
Si 0
...
0...
)(
)()(
bmxmb
anxna
xQ
xPxf
++
++== , estamos en el caso de indeterminación
. Sólo consideramos el
cálculo de límites en más infinito, ya que en menos infinito se reduce al caso anterior. Sepueden dar tres casos:
• Si n< m, entonces: 0)(
)(=
®+ xQ
xP
xlím . Ejemplo: 0
12³
1²3=
+--+
+® xx
xx
xlím
• Si n= m, entonces mbna
xQ
xP
xlím =+® )(
)(. Ejemplo:
4
3
12³4
1³3=
+--+
+® xx
xx
xlím
• Si n> m, entonces
-
>+
=+®
0
0
)(
)(
mbna
si
mbna
si
xQ
xP
xlím
Ejemplo: +=+--+
+® 12²4
1³3
xx
xx
xlím , -=
+--+-
+® 12²4
1³3
xx
xx
xlím
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 4
Resolución de indeterminaciones:
Ya vimos cómo resolver las indeterminaciones del tipo
y 0
0, que se originaban al calcular límites
de funciones racionales. Veremos, mediante ejemplos, cómo resolver otros casos sencillos deindeterminaciones, excepto las del tipo 00 y ∞°.
Ejemplo:
Calcula
Se trata de una indeterminación ∞-∞.
En este caso la indeterminación se resuelve efectuando las operaciones indicadas, pues así seobtiene el límite de una función racional que ya sabemos calcular.
Efectuando la diferencia, tenemos:
Ejemplo:
Indeterminación 0 :
Esta indeterminación se resuelve normalmente, reduciéndola a alguna de las anteriores con solooperar las expresiones. Ejemplo:
IND.
IND.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 5
=
-
-+
-®0
4
4
3
15lim
2
2 x
x
x
xx
=
-
--+=
-
-+
-®-® xx
xxx
x
x
x
xxx 124
4205lim
4
4
3
15lim
3
232
2
4
5
124
4205lim
3
23
=
-
--+-® xx
xxxx
5. A S Í N T O T A S D E U N A F U N C I Ó N
Ramas infinitas son tramos de curva que se alejan indefinidamente. Para que haya una rama infinita,por lo menos una de las variables ha de tender a infinito. Cuando una rama infinita se aproxima auna recta, a esta se le llama asíntota de la curva. Según su inclinación, las asíntotas pueden ser devarios tipos:
Asíntotas verticales:
La recta x=x0 es una asíntota vertical de una función f si se cumple alguna de las condicionessiguientes:
Ejemplo:
Sea la función
Las posibles asíntotas verticales son aquellos puntos donde se anula el denominador. Nopertenecen,por tanto, al dominio de la función y nunca pueden ser atravesadas por la gráfica.
x2−1=0⇒ x=±1 posibles asíntotas verticales
No es asíntota vertical por la izquierda.
No es asíntota vertical por la derecha.
Entonces x= -1 es una asíntota vertical.
Una función puede tener infinitas asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales:
Puede suceder que los puntos de una gráfica se acerquen a una recta horizontal cuando x tiende amenos infinito o a más infinito. En el primer caso, diremos que la recta es una asíntota horizontal porla izquierda de la función; en el segundo, diremos que es una asíntota horizontal por la derecha.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 6
f (x )=2 x3−2 x2
x2−1
La recta y=L es una asíntota horizontal de una función f si se cumple alguna de las condicionessiguientes:
Si alguno de estos límites vale infinito o menos infinito, tenemos una rama infinita.
Ejemplos:
•
No hay asíntota horizontal, tendremos una rama infinita.
•
Entonces y=3 es una asíntota horizontal.
En principio la gráfica de una función no corta a la asíntota, pero en el caso de las asíntotashorizontales sí puede hacerlo cerca del origen de coordenadas. Esto no contradice la definición deasíntota, ya que las asíntotas horizontales explican el comportamiento de la función para valoresmuy grandes o muy pequeños.
Asíntotas oblicuas:
La recta y = mx + n , m ≠ 0, es una asíntota oblicua de una función f si se cumple alguna de lascondiciones siguientes:
a) nmxxfxlímym
x
xf
xlím =-
-®=
-®))((
)(
b) nmxxfxlímym
x
xf
xlím =-
+®=
+®))((
)(
Si hay asíntotas horizontales no hay oblicuas.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 7
1
22)(
2
23
--
=x
xxxf lim
x→+∞
2x3−2x2
x2−1=+∞ pues lim
x→+∞( x)⋅2 x
2−2 xx2−1
=(+∞ )⋅2=+∞
limx→−∞
2 x3−2 x2
x2−1=−∞ pues lim
x→−∞( x )⋅2x
2−2xx2−1
= (−∞ )⋅2=−∞
limx→+∞
3 x−1x+2
=3 limx→−∞
3x−1x+2
=3f (x )=3 x−1x+2
Ejemplo:
y= 2x-2 es asíntota oblicua.
6 . C O N T I N U I D A D D E F U N C I O N E S
Concepto de función continua en un punto:
Una función f es continua en un punto x=a si el límite en ese punto coincide con el valor que tomala función en él:
La definición de continuidad de f en x=a, implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:
1) Existe f(a).2) Existe el límite de la función en x=a.3) Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en el punto x =a, diremos que es discontinua en él.
Ejemplos de funciones discontinuas:
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 8
1
22)(
2
23
--
=x
xxxf
m= limx→−∞
2 x3−2 x2
x2−1x
= limx→−∞
2x3−2x2
x3−x=2
n= limx→−∞ [2 x
3−2 x2
x2−1−2 x]= lim
x→−∞
−2 x2+2xx2−1
=−2
m= limx→+∞
2 x3−2 x2
x2−1x
= limx→+∞
2x3−2x2
x3−x=2
n= limx→+∞ [2x
3−2x2
x2−1−2 x]= lim
x→+∞
−2x2+2xx2−1
=−2
)()( afxfax
lím =®
Continuidad en un intervalo:
Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) sí y sólo sí es continua en cada uno de lospuntos del intervalo.
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] sí y sólo sí:
a) f es continua en el intervalo abierto (a, b).
b) f es continua por la derecha en x = a ( )()( afxf
ax
lím =+®
)
c) f es continua por la izquierda en x = b ( )()( bfxf
bx
lím =® -
)
Ejemplos: Veamos la continuidad de las siguientes funciones en su dominio:
1) f (x )={ 2 si x<0x−2 si 0≤x<3x2−11 si x≥3
Estudiamos lo que ocurre en el interior de los intervalos:
x∈(−∞ ,0)⇒ f ( x )=2 función constante, continua en (−∞ ,0) .
x∈(0,3)⇒ f ( x )=x−2 función polinómica, continua en (0,3).
x∈(3 ,+∞)⇒ f ( x )=x2−11 función polinómica, continua en (3 ,+∞).
Veamos ahora qué ocurre en los puntos donde “rompe” la función:
Continuidad en .00 =x
f es discontinua en x0=0
Continuidad en x0=3.
f es discontinua en x0=3
Por tanto, f es continua en
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 9
{ }0,3Â-
2) f (x )={ x+4 si x≤−2x+3x−5
si x>−2
x∈(−∞ ,−2)⇒ f ( x )=x+4 función polinómica, continua en (−∞ ,−2) .
x∈(−2 ,+∞)⇒ f ( x )= x+3x−5 función racional, continua en (−2,5)∪(5 ,+∞) .
x−5=0⇒ x=5∈(−2 ,+∞)⇒ no es continua en .50 =x
Continuidad en x0= −2.
f es discontinua en x0=-2
Por tanto, f es continua en
3) f (x )={+√ x+1 si x≤0x2+1 si 0< x<25 si x≥2
x∈(−∞ ,0)⇒ f ( x )=+√x+1 función radical, continua en su dominio:
x+1≥0⇒ x≥−1⇒ x∈[−1 ,+∞) -=+-- 0,1,10, f es continua en [−1,0) .
x∈(0,2)⇒ f ( x )=x2+1 función polinómica, continua en (0,2).
x∈(2 ,+∞)⇒ f ( x )=5 función constante, continua en (2,+∞) .
Continuidad en x0= 0 .
f es continua en x0=0.
Continuidad en x0= 2.
f es continua en x0=2.
Por tanto, f es continua en [−1,+∞ ) , pues en (−∞ ,1) no está definida.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 10
{ }2,5Â- -
7 . T I P O S D E D I S C O N T I N U I D A D E S
Según la condición de continuidad que no se cumpla, las discontinuidades pueden clasificarse de lasiguiente forma:
Discontinuidad evitable en x=a:
- Existen f(a) y el límite, que es finito, pero no coinciden.- Existe el límite, que es finito, pero no existe la función en a.
Discontinuidad inevitable en x=a:
- De salto finito: Existen los límites laterales, que son finitos, pero no coinciden.- De salto infinito: Existen los límites laterales, pero por lo menos uno de ellos es infinito.
- Esencial: Alguno de los límites laterales no existe.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 11
E J E R C I C I O S
1. Calcula los límites de las siguientes funciones, cuando x tiende a 3 y a 1:
a) 1
5²)(
+-
=x
xxf b)
1
2²)(
--+
=x
xxxg c)
34²
6²)(
+---
=xx
xxxh
2. A partir de la gráfica de f, calcula:
3. Considera la gráfica de la función f.
Calcula los siguientes límites e indica en qué puntosf no es continua.
4. Calcula el valor de los siguientes límites:
5. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican:
a) en -2, 0 y 2.
b) en 1 y 3.
c) en 2, 0 y 3.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 12
6. Representa gráficamente la función siguiente, estudiando previamente la continuidad mediantelímites:
7. Calcula los siguientes límites:
8. Calcula las asíntotas de las funciones:
a) 1
2²)(
++
=x
xxf b)
)4)²(1(
12)(
-+-
=xx
xxg c)
16
21)(
+-
=x
xxh
d) 9²
4²3)(
+-
=x
xxi e)
25²
25²)(
-+
=x
xxl f)
4
23)(
-+
=x
xxm
9. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones y represéntalas sobre los ejes coordenadosindicando la posición de la curva respecto de ellas:
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 13
>
-=
1 xsix
1x1- si 1
-1 xsi 2
)(xf
10.Estudia la continuidad y representa gráficamente las siguientes funciones:
11. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
12.La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de undique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la función P(t) (en metros),siendo t el tempo en años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad llegara a superarlos 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.
a) ¿Es la profundidad una función continua del tiempo? b) Por mucho tiempo que pase, ¿será necesario elevar la altura del paseo a causa de laprofundidad de la capa de arena?
13. El tipo de rédito anual que ofrece una financiera depende del tiempo que el cliente esté
dispuesto a mantener la inversión, y viene dado por la función I ( t)= 6 tt+1 , t>0, en años. ¿A
qué valor tiende el rédito si la inversión se mantiene a muy largo plazo?
14. En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por untrabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento según la función
M (t)= 30 tt+4 (t en días).
a) ¿Cuántos montajes realizará al terminar el período de entrenamiento que dura 20 días?b) Halla la asíntota horizontal y explica su significado.
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 14
2 ² 0 1( ) 8 ² 1
12 ²
t se tP t t t
se tt
+ = - -
>
15. El número de peces de una piscifactoría evoluciona según la función f (t )=50+ 100 t2
t2+1(t en
días).a) Comprueba que la población aumenta la primera semana.b) Averigua si el crecemiento será indefinido o tiende a estabilizarse.
16. En los seis primeros meses desde que abrió, una librería fue anotando el número decompradores de cada mes. Este número N(x) se puede ajustar según la función
N (x)=1000 x−600x
, siendo x el número del mes contado desde que abrió.
a) ¿Cuántos compradores tuvo en el segundo mes? ¿En qué mes contado desde la aperturatuvo 900 compradores?b) Supongamos que esta fórmula sirve para predecir el número de compradores en lo futuro,¿podemos asegurar que este número siempre irá aumentando? Razona la respuesta.
17. Tras un estudio demográfico se determinó que el número de habitantes de cierta población en
los próximos años, vendrá dado por la función N (x)=14750 x+37502x+1
a) ¿Cuál es la población actual? (año x=0)b) ¿Cuál será la población dentro de dos años?c) ¿Y dentro de tres años?d) Si se supone que el comportamiento de la población es siempre el mismo, ¿la poblacióncrecería indefinidamente o se estabilizaría? Si así ocurriera, ¿en qué valor?
MAp I – Tema 5: Límites y continuidad de funciones - 15
