BÖLÜM 2

ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖR KAVRAMLARI

2.1 Vektörler ve vektör uzayı

Tanım : Bir sütunlu matris “vektör” olarak isimlendirilir.

=

nx

x

x

.2

1

X (2.1)

Vektörler için aşağıdaki tanımlar verilebilir:

- Temel (Basis):

V vektör uzayının n adet nx,...,x,x

21 vektörler seti doğrusal bağımsız ise ve V vektör uzayının

her bir y vektörü nx,...,x,x

21 vektörlerinin doğrusal kombinasyonu olarak aşağıdaki gibi tek

olarak yazılabiliyorsa nx,...,x,x

21 vektörler seti V vektör uzayının temeli olarak adlandırılır.

∑=

=n

1iii xay , ai : y vektörünün n

x,...,x,x21 temeline göre koordinantları

Verilen bir V vektör uzayı için temel tek değildir. n boyutlu bir vektör uzayında herhangi bir temel n elemana sahiptir.

- sınırlı boyutlu vektör uzayı:

V vektör uzayının temelindeki elemanların sayısı sınırlı ise V vektör uzayı sınırlı boyutlu vektör uzayı olarak adlandırılır.n boyutlu bir vektör uzayında herhangi bir temel n elemana sahiptir. Tersine n adet doğrusal bağımsız vektör seti n boyutlu vektör uzayının bir temelidir. Örneğin aşağıdaki vektörler 3 boyutlu bir vektör uzayının temelini oluşturur.

=

0

0

1

1X ,

=

0

1

0

2X ,

=

1

0

0

3X .

Aşağıdaki üç vektör ise doğrusal bağımsız olmadığı için 3 boyutlu vektör uzayının bir temelini oluşturmaz. İki boyutlu vektör uzayının bir temelini oluşturur.

=

0

0

1

1X ,

=

1

1

0

2X ,

=

1

1

1

3X .

13

; :X n boyutlu sütun vektör

n boyutlu V vektör uzayının herhangi bir y vektörü nx,...,x,x

21 vektörler setinin doğrusal kombinasyonu olarak gösterilebiliyorsa, bu vektörler seti n boyutlu V vektör uzayını tarar. Aşağıdaki n adet vektörler setini ele alalım.

0.

.

.0

1

1X ,

0.

.

.1

0

2X ……..

1.

.

.0

0

nX

V vektör uzayınıda herhangi bir y= [ ] T.......

n21yyy vektörü n

xy...xyxyyn1 221

++= + olarak

yazılabilir. nx,...,x,x

21 vektörler seti n boyutlu V vektör uzayını tarar.

- Vektör normu :

2X = XXT = ( )x...xx 2

n22

21

2+++

(2.2)

- Skaler Çarpım (iç çarpım) :

u ve v vektörleri n boyutlu vektör uzayında tanımlı olmak üzere;

vuvu, T=+++= nn2211 vu...vuvu)( (2.3)

skaler çarpım ifadesi yazılabilir. Ortogonal iki vektör birbirlerine diktir. Dolayısıyla n boyutlu

vektör uzayında skaler çarımları sıfır olan vektörler ortogonaldir.

( ) 0=vu, ise vu ⊥ olur.

n boyutlu vektör uzayında n adet vektör bileşeni vardır.

- Birim Vektör: Normu 1’e eşit olan vektöre “birim vektör” denir. Herhangi bir n boyutlu u vektörü için; ( ) 1T == vuvu, ise u vektörü birim vektördür.

- Karmaşık Vektör: Karmaşık elemanlar içeren vektörlere “karmaşık vektör” denir.

- Gerçel Vektör:Elemanları gerçel sayılardan oluşan vektördür. Gerçel vektörler aşağıdaki schwarz eşitsizliğini sağlar.

( ) ( ) ( )vv,uu,vu, .≤ Schwarz eşitsizliği (2.4)

Karmaşık vektörler schwarz eşitsizliğini sınırlı anlam sağlar. Bu nedenle karmaşık vektörler için aşağıdaki tanımlar verilmiştir:

- Hermityen Skaler Çarpımı:

14

( ) ( ) n*n2

*21

*1

T** vu...vuvu, +++== vuvu

(2.5) - Hermityen Normu:

( ) ( ) 2

n

2

2

2

1

T2

uuu ...*,*H

+++== = uuuuΙ (2.6)

- Doğrusal Bağımlılık:

m2,...,,

1xxx sütun vektörleri n boyutlu vektörler olmak üzere;

0XXX =++ mm2211

ccc ...

(2.7)eşitliğini sağlayacak olan tümü aynı anda sıfır olmayan c1 , c2 .…,cm katsayıları bulunabiliyorsa;

m2,...,,

1xxx vektörleri doğrusal bağımlı vektörlerdir. Bu eşitlik yalnızca c1=c2=.…=cm=0 için

sağlanıyorsa m2,...,,

1xxx vektörleri doğrusal bağımsız vektörlerdir.

Örnekler:

1) x1=[1 2 3]T, x2=[1 0 1]T , x3=[2 2 4]T

c1=c2=1, c3=-1 için

c1x1+c2x2+c3x3=[1 2 3]T+[1 0 1]T-[2 2 4]T=[0 0 0]T=0 x1, x2 ve x3 vektörleri doğrusal bağımlıdır.

2) y1=[1 2 3] T, y2=[1 0 1] T , y3=[2 2 2] T

c1y1+c2y2+c3y3=0 . Bu eşitlik sadece c1=c2=c3=0 için sağlanır. Dolayısıyla y1, y2 ve y3

vektörleri doğrusal bağımsızdır.

Tanım : A nxn boyutlu bir kare matris olmak üzere ( )nxnRA ∈

XAy = (2.8) bağıntısı, X ile y arasında bir dönüşüm tanımlar.Şimdi acaba öyle bir X vektörü var mıdır ki (2.8) dönüşümü sonucu X ile aynı doğrultuda y vektörü elde edilsin. Eğer böyle bir X vektörü var ise λ skaler bir sabit olmak üzere ;

Xy λ= (2.9)

eşitliği yazılabilir. Bu eşitlik (2.8) dönüşüm ifadesinde yerleştirilirse ; XXA λ= λ : sabit bir skaler

(2.10)

eşitliği elde edilir. (2.10) eşitliğini A kare matrisinin karekteristik denkleminin n adet iλ i=1,2,…,n skaler değerleri için göz önüne alırsak

0X ≠i ; i=1,2,..,n koşulu ile, (2.10) bağıntısını sağlayan iλ ler A kare matrisinin özdeğerleri; i

X ’ ler ise A kare matrisinin özvektörleri olarak isimlendirilir.

iiλi

XXA = i=1,2,…,n

15

iλ :A kare matrisinin özdeğerleri iX :A kare matrisinin özvektörleri

Sonuç olarak; nxn boyutlu A kare matrisi için n adet λ özdeğer ve n adet X özvektör vardır.Böyleve A matrisinin özdeğer ve özvektörleri için aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

0XXA =− λ

0XIA =− ]λ[ (2.11)

(2.11) eşitliğinde x≠ 0 olabilmesi için

det 0IA =− ]λ[ (2.12) olmalıdır.

Özdeğerlere ilişkin önemli özellikler:

1. Simetrik ve gerçel bir kare matrisin iki farklı özdeğerine karşılık düşen özvektörler, karşılıklı olarak ortogonaldir.

2. Simetrik ve gerçel matrislerin özdeğerleri her zaman gerçeldir.

3. Eğer )(λ Ai (i = 1,2,...,n) A kare matrisinin n adet özdeğeri, ( )1μ −Ai ise 1−A matrisinin n adet özdeğeri ise;

)(μ)(λ 11 −− = AA ii i = 1,2,...,n (2.13)

özelliği sağlanır.

Örnek 2.1 :

=

22

31A , ( )( ) 062λ1λ

2λ2

31λAλΙ =−−−=

−−−−

=−

1λ043λλ 12 −=⇒=−− ve 42 =λ

,12

3211

−

−∆

=−A ∆= -4,

−

−=

−

−−

=−

4

1

2

14

3

2

1

12

32

4

11A

16

08

3

4

1λ

2

1λ

4

1λ

2

14

3

2

1λ

λ 1 =−

+

+=

+−

−+=− −AΙ

4

1μ1,μ013λ4λ0

4

1λ

4

3λ 21

22 =−=⇒=−+⇒=−+

Sonuç olarak ; 1

1 μ

1=λ ve 2

2

1

µλ = olduğu açıkça görülür.

2.3 Karakteristik polinom ve karakteristik denklem

AΙ −=λλ)(p determinantının açınımı ile elde edilen polinoma karakteristik polinom denir. )(p λ polinomunun derecesi A kare matrisinin boyutuna eşittir. 0p =λ)( eşitliği ise karakteristik denklem olarak isimlendirilir. Böylece krekteristik denklem AΙ −=λλ)(p 0... 1

22

11 =+++++= −

−−nn

nnn aaaa λλλλ (2.14) olarak verilir.

A kare matrisinin gerçel olması durumunda aşağıdaki özellikler yazılabilir: - Karekteristik polinom kökleri A matrisinin özdeğerleridir. - Özdeğerlerin herbirinin birbirinden farklı olması durumunda A’nın n tane katsız özdeğeri vardır. - Özdeğerlerden m tanesi eşitse (katlı özdeğer) özdeğerlerden biri m katlıdır. -Özdeğerlerden bazıları karmaşık ise bunların eşlenikleri de A’nın diğer özdeğerleridir.

Özdeğerler ile Karekteristik Polinomun Katsayıları Arasındaki İlişkiler:

- (2.14) eşitliğinde 0=λ alınırsa na=−=−Ι AAλ

Anna )1(−=

(2.15) - Özdeğerlerin tümünün katsız olması koşulu ile (2.14) karekteristik pol,nomu aşağıdaki gibi yazılabilir ( ) ( ) ( )np λλλλλλλ −−−= ...)( 21

0=λ için ( )( ) ( ) nnn 11..... 21 −=−⇒ Aλλλ

(2.16) Sonuç 1:

A matrisinin özdeğerlerinin çarpımı determinantına eşittir. A=nλλλ ..... 21

(2.17) Sonuç 2:

Özdeğerlerden birisi sıfır ise A =0 olur.Bu tür matrise “Tekil matris” denir. Tekil matrisin en az bir özdeğeri sıfırdır.

- )(λp açınımından ( )na λλλ +++−= ...211 (2.18) olacağı kolayca elde edilir.

Sonuç 3:Bir nxn boyutlu A kare matrisinin köşegen elemanlarının toplamı, özdeğerlerinin toplamına eşittir.

17

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

....

.......

.......

.......

.......

....

....

21

22221

11211

(2.19) Matris izi (Trace) :

Bir kare matrisin köşegen elemanlarının toplamı, o matrisin İz’i olarak adlandırılır.

[ ] ii

n

i

a∑=

=1

iz A

(2.20)İz özelliğini kullanarak bilgisayar desteği ile karakteristik polinom )(λp ’nın katsayıları

aşağıdakiBOCHER algoritmasıyla hesaplanabilir.

[ ] kk Tiz =A olarak tanımlansın:

( )

( )

( )

( )

n n 1 n 21 2 n 1 n

1 1

2 1 1 2

3 2 1 1 2 3

n n 1 1 n 2 2 1 n 1 n

p a a ... a a

a T

1a a T T

21

a a T a T T3

.............................

..............................

..............................

1a a T a T ... a T T

n

− −−

− − −

λ = λ + λ + λ + + λ += −

= − +

= − + +

= − + + + +

Örnek 2.2 :

−

−=

131

111

322

A ( ) 0322

13 =+++= aaap λλλλ

1a , 2a ve 3a katsayılarını BOCHER algoritmasıyla hesaplayınız.

[ ] 211 == AİzT , [ ] 142

2 == AİzT ve [ ] 2033 == AİzT

18

( ) 1212211 ...)...( aaaa nnn −=+++=+++ λλλ

211 −=−= Ta [ ] 52

10142*2

2

12 −=−=+−−=a

[ ] ( )6

3

182014*22*5

3

13 =−−=+−−−=a

( ) 0652 23 =+−−= λλλλp

olarak elde edilir.2.4 Benzerlik dönüşümü

A kare matrisinin özdeğer ve özvektörleri;(2.10) eşitliğini sağlayan iλ ve i

X ’ler olarak tanımlanmıştı. T : tekil olmayan bir kare matris olmak üzere

XTX ˆ= (2.21)

lineer dönüşümü yazılabilir. Bu dönüşümü (2.10) eşitliğinde yerleştirirsek

AT XTX ˆˆ λ= (2.22)

elde edilir.

T tekil olmadığına göre 1−T vardır. (2.22) eşitliğinin her iki yanını 1−T ile çarparsak;

XX ..T.T

A

.A.TT 11 ˆˆ

λλ.

ˆ

−− =

XX.A ˆˆ .ˆ λ= (2.23)

elde edilir. Son eşitlikten açıkça görülmektedir ki A matrisine ilişkin λ özdeğerleri değişmedi. Tanım :

“T “ tekil olmayan bir nxn kare matris ve var; 1−∈ TRT nxn olmak üzereATTA 1−=ˆ veya 1TATA −=ˆ

biçiminde tanımlanan dönüşüme “Benzerlik dönüşümü” denir.

Benzerlik dönüşümü için aşağıdaki sonuçlar verilebilir: - Benzerlik Dönüşümü A matrisinin özdeğerlerini değiştirmez.

- ( ) ∧− == A)ATTA 1 (iziziz

Modal Matris: Xi i=1,2,..,n A matrisinin öz vektörleri veya öz vektörleri ile orantılı vektörler olmak üzere düzenlenen

[ ]nXXXM .....21= (2.24)

19

kare matrise A ‘nın modal matrisi denir.

Her bir i=1,2,….,n için λi öz değerlerine karşılık düşen öz vektörler Xi olsun. Özdeğer problemi

için kullandığımız iii XXA λ= ( )ni ,...,2,1=

(2.25)

eşitliğini tekrar ele alalım. Katsız ve gerçel özdeğerler için son bağıntı

[ ] [ ]

=

n

nn

λ

λλ

..00

.....

.....

0..0

0..0

..........2

1

2121 XXXXXXA

(2.26)

olarak açık bir biçiminde yazılabilir. A’ nın özdeğerleri katsız ise farklı özdeğerlere karşılık düşen özvektörler de lineer bağımsızdır. Öyleyse modal matrisi M tekil değildir. Yani 1−M vardır. Son eşitlikte (2.24) ifadesi göz önüne alınırsa

MΛA.M = (2.27)

eşitliği elde edilir. Burada Λ elemanları özdeğerleri içeren köşegen bir matristir.Son eşitliğin her iki yanı 1−M ile çarparsak

ΛAMMA 1 == −ˆ (2.28) elde edilir. Son eşitlik bir benzerlik dönüşümüdür.

Sonuçlar:

- Herhangi bir kare matris benzerlik dönüşümü ile köşegen matris biçimine getirilebilir. - TAA =−1 olması durumunda A matrisi ortogonaldir. - A ve TA matrislerinin özdeğerleri aynıdır. - Simetrik gerçel bir A matrisin özdeğerleri gerçel, özvektörleri ise karşılıklı ortogonaldir.

- Simetrik gerçel kare matrislerin ortogonal özvektörleriden oluşan Modal matrisler için aşağıdaki benzerlik dönüşümü ilişkileri yazılabilir.

T1 MM =− (2.29)

ΛAMM =T (2.30)

Karmaşık eşlenik özdeğerlerin bulunması durumunda benzerlik dönüşümü:A matrisinin jw+∇=1λ , jw−∇=1λ karmaşık eşlenik özdeğerlere ve nλλλ ,...,, 43 farklı gerçel özdeğerlere sahip olduğunu varsayalım. A matrisinin özvektörlerini hesaplayarak M ve

1−M matrisleri oluşturulduktan sonra yapılan köşegenleştirme sonunda

20

λ

λλ

λ∇−

∇

== −

n

5

4

3

00000

0

00000

00000

00000

0000w

0000w

ˆ

AMMA 1

(2.31)

dönüşüm matrisi elde edilir.

İkinci bir örnek olarak A matrisinin; 556,54223,21 ,,, jwjw ±∇=±∇= λλλλ biçiminde 6 adet özdeğere sahip olduğunu varsayalım. Görüldüğü gibi A matrisi 2 adet gerçel özdeğere, 2 şer adet karmaşık özdeğere sahiptir. Modal matrisini kullanarak A matrisi için elde edilecek olan köşegenleştirme sonucunda;

∇−∇

∇−∇

== −

55

55

4

22

22

1

0000

0000

00000

0000

0000

00000

ˆ

w

w

w

w

λ

λ

AMMA 1

(2.32) elde edilir.

2.5 Özvektör hesabı

Herhangi bir A kare matrisinin öz vektörleri 2 farklı yöntemle hesaplanabilir.

I. Yöntem :

Bu yöntemde özdeğer tanımı ile ilgili verilen (2.11) ve (2.12) eşitlikleri kullanılır. Özdeğerlerin katsız ve katlı olması durumuna göre çözümler farklıdır.

Katsız Özdeğerler İçin:

- [ ] ⇒=− 0AΙλdet nλλλ ,...,, 21 katsız özdeğerleri hesaplanır. - her bir iλ , i = 1,2,...,n için;

[ ] 0ΙA X =− iiλ bağıntısından iX , i = 1,2,...,n özvektörleri hesaplanır.

Her bir iX özvektörünün ilk elemanı ( )1ix dışındaki elemanlar ilk elemana bağlı olarak hesaplanır. Sonuçta sözkonusu ilk elemana keyfi değerler atanarak özvektörlerin sayısal değerleri belirlenir.

Katlı Özdeğerler İçin:

- [ ] ⇒=− 0AΙλdet nλλλ ,...,, 21 katlı ve katsız özdeğerler hesaplanır. Örneğin;

21

λλ 21, : katsız özdeğerler

λλλ 543 == : Katlı özdeğerler

olduğunu varsayalım.

[ ][ ]

=−=−

0ΙA

0ΙA

X

X

22

11

λλ

katsız özdeğerler için

Yukarıdaki eşitliklerden katsız λλ 21, özdeğerlerine karşılık gelen X1 ve X2 özvektörleri

hesaplanır.Katlı λ3 özdeğerine karşılık gelen X3 özvektörü

[ ] 0ΙA X =λ− 33

eşitliğinden hesaplanır. Diğer katlı λλ 54 ve özdeğerlerine karşılık gelen X4 ve X5 özvektörlerinin hesabı için genel bir yöntem veremeyiz. Çünkü katlı özvektörler her zaman doğrusal bağımsız olmayabilir.

II. Yöntem: Bu yöntemde adjoint matrisi kullanılır.

Katsız Özdeğerler İçin:

A matrisinin iλ , özdeğerlerine ilişkin iX özvektörleri; [ ]ΑΙ −iAdj λ matrislerinin sıfırdan

farklı sütunları ile aynı doğrultudadır. Mesela; 11 =λ için ;[ ]ΑΙ −1λAdj matrisinin sıfırdan farklı sütunları aynı doğrultuya sahip (doğrusal bağımlı)

olup, 1X özvektörü ile de aynı doğrultudadırlar. Öyleyse 1X özvektörünü; [ ]ΑΙ −1λAdj matrisinin sıfırdan farklı harhangi bir sütunu veya bu sütuna orantılı olarak seçebiliriz.

Katlı Özdeğerler İçin:

Tekrarlanmış m katlı özdeğere karşılık gelen özvektörler hesaplanırken [ ]ΑΙ −1λAdj matrisinin sütunları sıfır olacaktır. Bundan kurtulmak için bu matrisi m-1 kez türettikten sonra katlı

iλ özdeğerlerini yerleştirebiliriz.Yani m katlı özdeğer için aşağıdaki adjoint matrisinin türevsel ifadesi λ değişkenine göre k=0,2,…,m-1 kez türetilir.

[ ]{ }λλ

λλ

i

adjdd

k

k

=

−ΑΙ k=0,1,2,…,m-1 (2.33)

k nın her bir değerine ilişkin matris ifadelerinde iλλ = yerleştirilerek elde edilen sabit matrislerin sıfırdan farklı sütunlarından herhangi biri katlı özvektörler olarak seçilebilir. Bu işlem m-1 adet sabit matris için uygulanırsa m adet katlı özdeğerlere ilişkin özvektörler hesaplanmış olur. Ancak bu yöntem hesaplanacak olan özvektörler doğrusal bağımsız değil ise doğru olarak hesaplanamayabilir.

Örnek 2.3: Aşağıdaki A matrisinin özvektörlerini hesaplayarak modal matrisini elde ediniz.

22

−

−=

131

111

322

A

Çözüm:

[ ]

+−−−−−−−

=−131

111

322

λλ

λλ AΙ ,

[ ]3,2,1

0652det

321

23

=−===+−−=−

λλλλλλλ AΙ

3 tane katsız özdeğer vardır. Herbir katsız özdeğere karşılık gelen özvektörleri hesaplayalım:

11 =λ için;

[ ]

=

−

−⇒=λ−

0

0

0

x

x

x

231

101

321

31

21

11

11 0ΙA X

1121112111

112111

1131

312111

3111

312111

xx0x2x3x

0)x(2x3x

xx

0x2x3x

0xx

0x3x2x

−=⇒=++=−−+

−=⇒

=−+=+

=+−

111

11

11

11

1 −=⇒

−−= x

x

x

x

X için

−=⇒

1

1

1

1X

22 −=λ için;

[ ] 00ΙA X =

−⇒=−

32

22

12

22

131

131

324

x

x

x

λ

( )

12323212321212

12222212

22122212

322112

322212

322212

x11

14xxx

11

140xx

11

13x

x11

1x0x11x

0x3x3x2x4

0xx3x

0xx3x

0x3x2x4

−=⇒−=⇒=+

+

=⇒=−

=−−+−

⇒

=++=++

=+−

23

11

11

1411

112

12

12

12

2 =⇒

−

= x

x

x

x

X için

−=

14

1

11

2X

33 =λ için benzer işlemler sonucunda ,

=

1

1

1

3X olarak bulunur.

Modal matrisi ise aşağıdaki işlem adımları ile hesaplanır:

[ ]

−=

−

−

−

−

−−−

==

−−−

=⇒=

−

−=

−

−

300

020

001

1141

111

1111

131

111

322

12315

220

102515

30

1ˆ

12315

220

102515

30

1

1141

111

1111

1

1

321

A.MMA

MM XXX

Örnek 2.4 : Bir önceki örneği II. yöntem (Adjoint matrisi yöntemi) ile çözünüz

Çözüm:

11 =λ , 22 −=λ , 33 =λ olarak hesaplanmıştır.

[ ]

+−−−−−−−

=−131

111

322

λλ

λλ AΙ , [ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+−−++−−+−+−−

=−43832

152

53724

2

2

2

λλλλλλλλλλλ

λ AΙAdj

Adjoint matrisi 1, -2 ve 3 özdeğerleri için hesaplanırsa aşağıdaki sabit matrisler elde edilir.

1=λ için

−−

−−⇒

253

253

253

, 2−=λ için

−−−

⇒14140

110

11110

, 3=λ için

⇒

415

415

415

Bu sabit matrislerden aşağıdaki modal matrisi kolayca yazılabilir.

[ ]321 XXXM =

−

−=

1141

111

1111

Örnek 2.5:

=

100

121

112

A matrisine ilişkin modal matrisini elde ediniz. Elde ettiğiniz modal

matrisini kullanarak A matrisini hesaplayınız.Çözüm:

0)det( =−λ AΙ karekteristik denkleminmden 121 =λ=λ , 33 =λ olarak elde edilir.

24

121 =λ=λ katlı özdeğer için bağımsız özvektörleri hesaplayalım:

1. katlı özdeğer için:

11

1 21

31

1

1 1 1 x

1 1 1 x

0 0 0 x

λ − = ⇒ =

XAΙ 0 0 11 21 31x x x 0+ + =

31x =0 seçelim (keyfi) , 21 11x x= −

11

1 11

x 1

x x 1

0 0

= − = −

2. katlı özdeğer için:

12

1 1 22

32

2

1 1 1 x 1

1 1 1 x 1

0 0 0 x 0

λ−

− = − ⇒ =

XAΙ x

12 22 32x x x 1+ + = −

12 22 32

12 22 32

x x x 1

x x x 0

+ + + =

+ + = 32x =1 seçelim (keyfi) , 22 12 32 12x x x x 1= − − = − −

12

2 12

x 1

x x 1 2

1 1

= − − = −

3 3λ = katsız özdeğer için:

13

3 23

33

3

1 1 1 x 0

0 1 1 1 x 0

0 0 2 x 0

λ−

− = ⇒ − =

XAΙ

13 23 33x x x 0− + + = 33, x 0= seçelim. 23 33 13 13x x x x= − + =

elde edilir.

Elde edilen 3 tane bağımsız özvektörü kullanarak

25

1 2 3

1 1 1

M x x x 1 2 1

0 1 0

= = − −

Modal dönüşüm matrisi kolayca yazılabilir. Modal matrisini kullanarak aşağıdaki Jordan kanonik formdaki köşegenleştirme elde edilir.

1 0 0ˆ 0 1 0

0 0 3

−

= =

1A M AM

Örnek 2.6 : Bir önceki örneği II. yöntem (Adjoint matrisi yöntemi) ile çözünüz

Çözüm:

0)det( =−λ AΙ karekteristik denkleminmden 121 =λ=λ , 33 =λ olarak elde edilmişti.

[ ]

[ ]( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

−−−−−−−−−−

=−

−−−−−−−

=−

1200

1121

1112

100

121

112

2λλλλλλλλλ

λ

λλ

λλ

AΙ

AΙ

Adj

λ=1 için matris sütunları sıfır olur.

( )[ ]

[ ]

=

−

−=

−

−=

=⇒

=−

=

−=

−=⇒

−−

−⇒=

−−

−=−

−

−

300

010

001

111

100

011

2

1,

020

111

111

0

1

1

000

222

222

3

2

1

1

,

0

1

1

200

111

111

1

4200

1321

1132

1

33

21

AMM

MM

AΙ

AΙ

1

X

XX

λ

λ

λ

λλ

λλ

λ

Adj

için

için

Adjd

d

26

Katlı özdeğerler içeren kare matrisler için her zaman bağımsız özvektör bulunamayabilir. Aşağıdaki örnekler ile bu durumu inceleyelim:

Örnek 2.7:

1 0 1

0 1 2

0 0 2

− =

A matrisinin özdeğer ve özvektörlerini hesaplayınız.

[ ] 1 2 3det 0 1, 1, 2λ λ λ λ− = = = =Ι A >

1 1λ = katlı özdeğeri için

12

1 22

32

0 0 1 x

0 0 0 x

0 0 1 x

λ−

− = ⇒ =

XAΙ 0 0

yazabiliriz. Son ifadeden görüldüğü gibi 1λ− AΙ nın rankı 1 dir. 1λ− AΙ nın Sıfır uzayının

boyutu 2 olduğundan katlı özdeğerler için

[ ] T

1 1 0 0=X , [ ] T

2 0 1 0=X

biçiminde 2 doğrusal bağımsız özvektör seçilebilir.

3X katsız özdeğeri için ise [ ] T

3 1 0 1= −X özvektörü seçilebilir.

Elde edilen 3 tane bağımsız özvektörü kullanarak

1 0 1

M 0 1 0

0 0 1

− =

, 1

1 0 1

M 0 1 0

0 0 1

−

=

Modal dönüşüm matrisi kolayca yazılabilir. Modal matrisini kullanarak aşağıdaki Jordan kanonik formdaki köşegenleştirme elde edilir.

1 0 0ˆ 0 1 0

0 0 2

−

= =

1A M AM

Örnek 2.8 :

1 1 2

0 1 3

0 0 2

=

A matrisinin özdeğer ve özvektörlerini hesaplayınız.

Çözüm:

[ ] 1 2 3det 0 1, 1, 2λ λ λ λ− = = = =Ι A >

27

12

1 22

32

0 1 2 x

0 0 3 x

0 0 2 x

λ − = ⇒ =

XAΙ 0 0

1λ− AΙ nın rankı 2 olduğu için, 1λ− AΙ nın sıfır uzayının boyutu 1 dir. Sonuç olarak katlı

özdeğerler için [ ] T

1 1 0 0=X biçiminde sadece 1 tane bağımsız özvektör bulabiliriz.

3X katsız özdeğeri için ise [ ] T

3 5 3 1=X özvektörü seçilebilir.

Sonuç olarak 2 bağımsız özvektör ile A matrisini köşegenleştiremeyiz. Bu örnekten görülmektedir ki eğer A matrisi katlı özdeğerlere sahip ise her zaman bağımsız n özvektör bulmak mümkün değildir. ,Böylece köşegenleştirme mümkün olmaz. Nitekim katlı özdeğerlere sahip olan kare matrislerin Jordan Kanonik Form olarak isimlendirilen köşegen forma yakın bir dönüşümü sağlayan özel temel vektör seti bulmak mümkündür. Örneğin 4 tane katlı 1λ özdeğere 1 tane karsız 2λ özdeğere sahip olan sistemin köşegenleştirilmiş biçimi aşağıdaki farklı Jordan kanonik formlardan birine sahip olabilir.

1

1

1

1

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

λλ

λλ

λ

1

1

1

1

2

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

λλ

λλ

λ

1

1

1

1

2

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

λλ

λλ

λ

1

1

1

1

2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

λλ

λλ

λ

1

1

1

1

2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

λλ

λλ

λ

2.6 Bazı formlar ve tanımlar

Bilineer Form: ija gerçel sabitler ve nRii y,x ∈ olmak üzere;

),(yxa Tn

1i

n

1jjiij AyAyB XX === ∑∑

= = (2.34)

biçimindeki ifadeye Bilineer Form (biçim) denir.

Quadratik (Karesel) Form:

Eğer X vektörü y vektörüne eşit ise;

28

( )XXXX AA ,xxa)x(Q Tn

1i

n

1jjiij ===∑∑

= =

(2.35)

biçimine Quadratik (karesel) biçim denir.

Hermityen Formu:

Eğer A matrisi hermityen ise ( )aa jiij=*

( )XXXX AA ,xxaH *n

1i

T*n

1jj

*iij ===∑∑

= =

(2.36)

biçimine “Hermityen” biçim denir.

Kesin – Yarı Kesin Pozitiflik ve Kesin – Yarı Kesin Negatiflik:

A matrisi simetrik gerçel matris olmak üzere; A matrisinin XX AQ T= quatratik biçimi için aşağıdaki tanımlar verilebilir:

X=0 için 0T =XX A olmak üzere,a) 00 T >≠∀ XXX Aiçin ise; Q quadratik biçimi “kesin pozitif” (positive – definite)dir.

b) 00 T ≥≠∀ XXX Aiçin ise; “yarı – kesin pozitif”(positive – semidefinite)dir.

c) 00 T <≠∀ XXX Aiçin ise; “kesin negatif” (negative – definite)dir.

d) 00 T ≤≠∀ XXX Aiçin ise; “yarı – kesin negatif” (negaitve – semidefinite) dir.

Sözkonusu tanımlar için aşağıdaki Sylvester kriterlerini verebiliriz.

Teorem 2.1:Simetrik gerçel bir A matrisine ilişkin xTAx quatratik biçiminin pozitif tanımlı olabilmesi içingerek ve yeter koşul aşağıdaki determinantların tümünün pozitif olmasıdır.

0a11 > , 0aa

aa

2221

1211 > , 0

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

> ,………., 0

a......aa.

.

.

.

.

.

.

.a.....aa

a.....aa

nn2n1n

n22221

n11211

> , )aa( jiij =

Teorem 2.2:Simetrik gerçel bir A matrisine ilişkin xTAx quatratik biçiminin negatif tanımlı olabilmesi içingerek ve yeter koşul aşağıdaki determinantların sağlanmasıdır.

29

0a11 < , 0aa

aa

2221

1211 > , 0

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

< , ….,

isetekn,0

a......aa.

.

.

.

.

.

.

.a.....aa

a.....aa

iseçiftn,0

a......aa.

.

.

.

.

.

.

.a.....aa

a.....aa

nn2n1n

n22221

n11211

nn2n1n

n22221

n11211

<

>

Örnekler:

1) Aşağıdaki simetrik gerçel kare matrisine ilişkin quatratik formun tanımlılığını inceleyelim.

=

413

112

3210

A

[ ] =

=

3

2

1

321T

x

x

x

413

112

3210

xxxxAx 323121222 xx2xx6xx4x4xx10321

+++++

010 > , 012

210> , 0

413

112

3210

> oduğundan A matrisine ilişkin xTAx karesel form pozitif

tanımlıdır.

1) Aşağıdaki simetrik gerçel kare matrisine ilişkin quatratik formun tanımlılığını inceleyelim.

−=

104

032

421

A

[ ] =

−=

3

2

1

321T

x

x

x

104

032

421

xxxxAx 3121222 xx8xx4xx3x321

+++−

01 > , 032

21<

− , 0

104

032

421

Adet >−=

0Adet ≠ olduğu için A matrisine ilişkin xTAx karesel formu tanımsızdır.

30

İkililik (Dualite) özelliği:

Doğrusal zamanla değişen dinamik bir S1 sistemine ilişkin dualite (ikililik) özelliği aşağıda verilmiştir.

Şekil 2.1. 1S dinamik sistemi

Şekil 2.2. 1S sisteminin duali ( 2S dinamik sistemi)

1S sistemi için;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=+=

tt)t(

tttt)t(

xCy

uBxAx

2S sistemi için;

=+−=

)t()t(B)t(w

)t(v)t(C)t()t(*A)t(

z

zz*

*

:)t(A* A(t) nin karmaşık eşleniği :)t(B* B(t) nin karmaşık eşleniği :)t(C* C(t) nin karmaşık eşleniği Yukarıdaki sistemde A(t),B(t),C(t) matrisleri karmaşık matrislerdir.

2S sistemi 1S sisteminin duali (ikilisi)’ dir ve aşağıdaki özellikler sağlanır:

31

x(t): n boyutlu durum vektörüu(t): m boyutlu giriş vektörüy(t): q boyutlu çıkış vektörü

z(t): n boyutlu durum vektörüv(t): q boyutlu giriş vektörüw(t): m boyutlu çıkış vektörü

A(t): Elemanları zamanın sürekli parçalı fonksiyonu olan nxn boyutlu karmaşık durum matrisi B(t): Elemanları zamanın sürekli parçalı fonksiyonu olan nxm boyutlu karmaşık giriş matrisi C(t): Elemanları zamanın sürekli parçalı fonksiyonu olan qxn boyutlu karmaşık çıkış matrisi

- 1S sistemi durum denetlenebilir ⇒ 2S sistemi durum gözlenebilirdir. - 1S sistemi durum gözlenebilir ⇒ 2S sistemi durum denetlenebilirdir.

Burada A(t), B(t) ve C(t) matrisleri karmaşık matrislerdir. Bu matrislerin gerçel matrisler olması durumunda S2 dual sistemdeki -A*(t) ifadesi AT(t), B*(t) ifadesi BT(t) ve C*(t) ifadesi ise CT(t) biçimine dönüşür.

Orijinal S1 sisteminin durum denetlenebilirliği ve durum gözlenebilirliği için aşağıdaki tanımlar verilebilir.

(1) S1 sisteminin [t0 t1] aralığında bütünüyle durum denetlenebilirliği için gerek ve yeter koşul aşağıdaki kare matrisin tekil olmamasıdır. Karmaşık olmayan sistemler için * notastonu yerine T yazılır.

dt)t,t()t(B)t(B)t,t( 0*t

t

*0

1

0

ΦΦ∫

(2) S1 sisteminin [t0 t1] aralığında bütünüyle gözlenebilirliği için gerek ve yeter koşul aşağıdaki kare matrisin tekil olmamasıdır.

dt)t,t()t(C)t(C)t,t( 0

t

t

*0

*1

0

ΦΦ∫

Dual S2 sisteminin durum denetlenebilirliği ve durum gözlenebilirliği için aşağıdaki tanımlar verilebilir.

(1) S2 sisteminin [t0 t1] aralığında komple durum denetlenebilirliği için gerek ve yeter koşul aşağıdaki kare matrisin tekil olmamasıdır.

dt)t,t()t(C)t(C)t,t( 0*t

t

*0

0

1

ψψ∫

(2) S2 sisteminin [t0 t1] aralığında komple gözlenebilirliği için gerek ve yeter koşul aşağıdaki kare matrisin tekil olmamasıdır. Karmaşık olmayan sistemler için * notastonu yerine T yazılır.

dt)t,t()t(B)t(B)t,t( 0

t

t

*0

*0

1

ψψ∫

Burada )t,t( 0Φ orjinal S1 sisteminin Durum Geçiş matrisi, )t,t( 0ψ ise dual S2 sisteminin Durum Geçiş matrisi olup aşağıdaki eşitlikler ile verilebilirler.

),t,t()t(A)t,t(dt

d00 Φ=Φ I)t,t( 00 =Φ

),t,t()t(A)t,t(dt

d0

*0 ψ−=ψ I)t,t( 00 =ψ (Karmaşık A(t) için)

),t,t()t(A)t,t(dt

d00 ψ=ψ I)t,t( 00 =ψ (Gerçel A(t) için)

)t,t( 0Φ ve )t,t( 0ψ matrisleri için aşağıdaki ilişki yazılabilir.

)t,t( 0Φ = )t,t( 0*ψ (Karmaşık A(t) için)

)t,t( 0Φ = )t,t( 0Tψ (Gerçel A(t) için)

32