˙Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x) (5)

Denklem (5) in sag tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralıgıuzerinde sıfıra ozdes ise, (5) denklemine lineer homogen; aksitaktirde lineer homogen olmayan denklem denir.

ORNEK

x2y′′ + 2xy′ + 3y = cosx

ikinci mertebeden lineer, homogen olmayan bir denklem,

—————–

x2y′′ + 2xy′ + 3y = 0

ise bununla ilgili olan ikinci mertebeden lineer homogendenklemlerdir.

Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 1/ 26


A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x) (5)


ORNEK

x2y′′ + 2xy′ + 3y = cosx


—————–

x2y′′ + 2xy′ + 3y = 0




A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x) (5)


ORNEK

x2y′′ + 2xy′ + 3y = cosx


—————–

x2y′′ + 2xy′ + 3y = 0




Ikinci Mertebeden Lineer Homogen Denklemler

Ikinci mertebeden genel lineer

A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)

diferansiyel denklemi ele alalım.

Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)

biciminde ifade edilebilir.Ilk olarak (5) ile ilgili olan

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)

homogen denklemi inceleyecegiz.





A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)

diferansiyel denklemi ele alalım.Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.

Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)


y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)






A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)

diferansiyel denklemi ele alalım.Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)

biciminde ifade edilebilir.

Ilk olarak (5) ile ilgili olan

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)






A(x)y′′ + B(x)y′ + C(x)y = F (x)

diferansiyel denklemi ele alalım.Burada A(x), B(x), C(x) ve F (x)fonksiyonları I da surekli ve ∀x ∈ I A(x) 6= 0 dır.Yukarıdakidenklemin her iki tarafı A(x)’e bolunurse, denklem

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1)


y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (2)

homogen denklemi inceleyecegiz.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 2/ 26


y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (7)

Teorem: (Superposition prensibi)

y1 ve y2, (7) ile verilen homogen denklemin I aralıgı uzerinde ikicozumu olsun, C1 ve C2 keyfi sabitler olmak uzere,

y = C1y1 + C2y2 (3)

ifadeside (7) ile verilen denklemin I aralıgı uzerinde bir cozumudur.



ORNEK

y1(x) = cosx ve y2(x) = sinx

fonksiyonlarınıny′′ + y = 0

denkleminin cozumleri oldukları kolaylıkla gorulebilir.

Teorem, bucozumlerin ornegin;

y(x) = 3y1(x)− 2y2(x) = 3 cosx− 2 sinx

gibi herhangi bir lineer birlesimininde denklemin bir cozumuoldugunu belirtir. Tersine, y′′ + y = 0 denkleminin her bircozumunun, bu denklemin y1 ve y2 ozel cozumlerinin bir lineerbirlesimi oldugunu ilerde gorecegiz.



ORNEK



denkleminin cozumleri oldukları kolaylıkla gorulebilir.Teorem, bucozumlerin ornegin;

y(x) = 3y1(x)− 2y2(x)

= 3 cosx− 2 sinx




ORNEK




y(x) = 3y1(x)− 2y2(x) = 3 cosx− 2 sinx

gibi herhangi bir lineer birlesimininde denklemin bir cozumuoldugunu belirtir.

Tersine, y′′ + y = 0 denkleminin her bircozumunun, bu denklemin y1 ve y2 ozel cozumlerinin bir lineerbirlesimi oldugunu ilerde gorecegiz.



ORNEK




y(x) = 3y1(x)− 2y2(x) = 3 cosx− 2 sinx




Teorem: (Varlık ve Teklik)

p,q ve f fonksiyonları a noktasını iceren bir I aralıgı uzerindesurekli olsun. Bu takdirde, b0 ve b1 verilen sabitler olmak uzere

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (6)

denklemi, I aralıgının tamamında,

y(a) = b0, y′(a) = b1

baslangıs kosullarını saglayan bir tek (bir ve yalnız bir) cozumesahiptir.



ORNEK

y′′ + y = 0

y(0) = 3, y′(0) = −2

baslangıc deger probleminin cozumunu bulalım.

COZUM

Bir onceki ornekte y(x) = C1 cosx + C2 sinx (tum reel eksenuzerinde) y′′ + y = 0 denkleminin cozumu oldugunu soylemistik.(Teorem yardımıyla)



ORNEK

y′′ + y = 0

y(0) = 3, y′(0) = −2


COZUM

Bir onceki ornekte y(x) = C1 cosx + C2 sinx (tum reel eksenuzerinde) y′′ + y = 0 denkleminin cozumu oldugunu soylemistik.(Teorem yardımıyla)



Baslangıc kosullarından

y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1

vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2

C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur. Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu

y(x) = 3 cosx− 2 sinx

dur.

Goruldugu gibi keyfi sabitler basit bir lineer denklem sistemindenbulunabilmektedir.




y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1

vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2



dur.





y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1

vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2

C1 = 3 ve C2 = −2 bulunur.

Sonuc olarak baslangıc degerproblemimizin cozumu


dur.





y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1

vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2



dur.





y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1

vey′(0) = −C1 sin 0 + C2 cos 0 = C2



dur.




ORNEK

y′′ − 2y′ + y = 0

y(0) = 3, y′(0) = 1


COZUM

y1(x) = ex ve y2(x) = 2ex (tum reel eksen uzerinde)y′′ − 2y′ + y = 0 denkleminin cozumleri oldugu kolaylıklagorulebilir. Teorem yardımıyla

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1ex + c22e

x

fonksiyonunda denklemimizin bir cozumu oldugunu soyleyebilir vebaslangıc kosullarını saglayan c1 ve c2 yi bulabilirsek baslangıcdeger problemimizi cozumunu bulmus oluruz.



ORNEK

y′′ − 2y′ + y = 0

y(0) = 3, y′(0) = 1


COZUM

y1(x) = ex ve y2(x) = 2ex (tum reel eksen uzerinde)y′′ − 2y′ + y = 0 denkleminin cozumleri oldugu kolaylıklagorulebilir.

Teorem yardımıyla

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1ex + c22e

x




ORNEK

y′′ − 2y′ + y = 0

y(0) = 3, y′(0) = 1


COZUM

y1(x) = ex ve y2(x) = 2ex (tum reel eksen uzerinde)y′′ − 2y′ + y = 0 denkleminin cozumleri oldugu kolaylıklagorulebilir. Teorem yardımıyla

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1ex + c22e

x





y(0) = c1e0 + c22e

0

= 3

vey′(0) = c1e

0 + c22e0 = 1

Cozumu olmayan (saglayan c1 ve c2 nin bulunamayacagı)

c1 + 2c2 = 3

c1 + 2c2 = 1

denklem sistemi gelir.Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.




y(0) = c1e0 + c22e

0 = 3

vey′(0) = c1e

0 + c22e0 = 1


c1 + 2c2 = 3

c1 + 2c2 = 1





y(0) = c1e0 + c22e

0 = 3

vey′(0) = c1e

0 + c22e0

= 1


c1 + 2c2 = 3

c1 + 2c2 = 1





y(0) = c1e0 + c22e

0 = 3

vey′(0) = c1e

0 + c22e0 = 1


c1 + 2c2 = 3

c1 + 2c2 = 1





y(0) = c1e0 + c22e

0 = 3

vey′(0) = c1e

0 + c22e0 = 1


c1 + 2c2 = 3

c1 + 2c2 = 1

denklem sistemi gelir.

Cozumlerimizin nasıl fonksiyonlar olması durumunda baslangıckosulları yardımıyla kefilerimizi (c1 ve c2) bulabilecegimizi gorelim.




y(0) = c1e0 + c22e

0 = 3

vey′(0) = c1e

0 + c22e0 = 1


c1 + 2c2 = 3

c1 + 2c2 = 1




TANIM

y1(x) ve y2(x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralıgında reel degerlive turevlenebilir fonksiyonlar olsun

y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

determinantı y1(x) ve y2(x) fonksiyonlarının Wronskiyeni olarakadlandırılır. W (y1(x), y2(x)) olarak gosterilir.



Teorem

y1(x) ve y2(x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralıgında surekliturevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralıgındaki bir x0icin W [y1(x), y2(x)](x0) 6= 0 ise y1(x) ve y2(x) fonksiyonları lineerbagımsızdır.

ORNEK

y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonlarının Wronskiyeni

W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=ex e−x

ex −e−x = −2 6= 0

y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonları lineer(dogrusal)bagımsızdır.



Teorem

y1(x) ve y2(x) fonksiyonları bir [a, b] kapalı aralıgında surekliturevlenebilir fonksiyonlar olsun ve [a, b] kapalı aralıgındaki bir x0icin W [y1(x), y2(x)](x0) 6= 0 ise y1(x) ve y2(x) fonksiyonları lineerbagımsızdır.

ORNEK

y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonlarının Wronskiyeni

W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=ex e−x

ex −e−x = −2 6= 0

y1(x) = ex ve y2(x) = e−x fonksiyonları lineer(dogrusal)bagımsızdır.



ORNEK

y1(x) = sinx ve y2(x) = cosx fonksiyonlarının Wronskiyeni

W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=sinx cosxcosx − sinx

= −1 6= 0

y1(x) = sinx ve y2(x) = cosx fonksiyonları dogrusal bagımsızdır.



TEOREM

p ve q fonksiyonları acık bir I aralıgı uzerinde surekli olmak uzerey1 ve y2

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

homogen denkleminin dogrusal bagımsız iki cozumu olsun. c1 ve c2keyfi sabitler olmak uzere

Y (x) = c1y1(x) + c2y2(x)

genel cozumdur.



IKINCI MERTEBEDEN SABIT KATSAYILI LINEERDENKLEMLER

Bu bolumde a, b ve c sabitler olmak uzere

ay′′ + by′ + cy = 0 (4)

diferansiyel denklemi ele alınacaktır.

Denkleme baktıgımızda aradıgımız fonksiyonun turevlerinin belirlisabitlerle carpılıp toplandıgında 0 elde edildigini goruruz. Turevlerikendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi saglayacaktır. Buozelligi erx ustel fonksiyonu tasır.



IKINCI MERTEBEDEN SABIT KATSAYILI LINEERDENKLEMLER

Bu bolumde a, b ve c sabitler olmak uzere

ay′′ + by′ + cy = 0 (4)

diferansiyel denklemi ele alınacaktır.

Denkleme baktıgımızda aradıgımız fonksiyonun turevlerinin belirlisabitlerle carpılıp toplandıgında 0 elde edildigini goruruz. Turevlerikendisinin katı olan fonksiyon bu denklemi saglayacaktır. Buozelligi erx ustel fonksiyonu tasır.



y(x) = erx fonksiyonu denklemde yerine yazılır ve buradaki rbulunabilirse cozumumuzu bulmus oluruz.

y(x) = erx

⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx

ay′′ + by′ + cy = 0

ar2erx + brerx + cerx = 0

(ar2 + br + c)erx = 0

carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.




y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx

⇒ y′′(x) = r2erx

ay′′ + by′ + cy = 0


(ar2 + br + c)erx = 0





y(x) = erx ⇒ y′(x) = rerx ⇒ y′′(x) = r2erx

ay′′ + by′ + cy = 0


(ar2 + br + c)erx = 0






ay′′ + by′ + cy = 0


(ar2 + br + c)erx = 0






ay′′ + by′ + cy = 0


(ar2 + br + c)erx = 0






ay′′ + by′ + cy = 0


(ar2 + br + c)erx = 0

carpanlarımızdan erx fonksiyonu 0 olamıyacagı icin ar2 + br + cikinci derece polinomu 0 olmalıdır.

Bu polinomun koklerinibulabilirsek y(x) = erx fonksiyonu denklem (1) in bir cozumuolacaktır.





ay′′ + by′ + cy = 0


(ar2 + br + c)erx = 0




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0

diferansiyel denklemin genel cozumunu bulunuz.

COZUM

Denklemimizde y(x) = erx i yerine yazarsak,

r2erx − 5rerx + 6erx = 0

(r2 − 5r + 6)erx = 0

bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)

seklinde yazabiliriz.



ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM



(r2 − 5r + 6)erx = 0


y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM


r2erx

− 5rerx + 6erx = 0

(r2 − 5r + 6)erx = 0


y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM


r2erx − 5rerx

+ 6erx = 0

(r2 − 5r + 6)erx = 0


y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM



(r2 − 5r + 6)erx = 0


y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM



(r2 − 5r + 6)erx = 0

bulunur.

r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM



(r2 − 5r + 6)erx = 0

bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur.

Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM



(r2 − 5r + 6)erx = 0

bulunur. r2 − 5r + 6 polinomunun kokleri r = 2 ve r = 3 tur. Bircozum ararken y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x gibi iki cozum bulduk.

Eger bu fonksiyonlar dogrusal bagımsız ise genel cozumumuzu

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)




ORNEK

y′′ − 5y′ + 6y = 0


COZUM



(r2 − 5r + 6)erx = 0


y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)

seklinde yazabiliriz.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 16/ 26


y1(x) = e2x ve y2(x) = e3x foksiyonlarının Wronskiyeni

W (y1(x), y2(x))

=y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=e2x e3x

2e2x 3e3x

W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x

Hic bir reel sayı icin Wronskiyen 0 olamıyacagı icin bu iki fonksiyondogrusal bagımsızdır ve denklemimizi genel cozumu bu ikifonksiyonun lineer kombinasyonu seklinde yazılabilir.

y(x) = c1e2x + c2e

3x

seklinde genel cozumumuzu bulmus oluruz.




W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=e2x e3x

2e2x 3e3x

W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x


y(x) = c1e2x + c2e

3x





W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=e2x e3x

2e2x 3e3x

W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x


y(x) = c1e2x + c2e

3x





W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=e2x e3x

2e2x 3e3x

W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x


y(x) = c1e2x + c2e

3x





W (y1(x), y2(x)) =y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

=e2x e3x

2e2x 3e3x

W (y1(x), y2(x)) = 3e5x − 2e5x = e5x


y(x) = c1e2x + c2e

3x




ar2 + br + c = 0

denklemineay′′ + by′ + cy = 0 (1)

denkleminin karakteristik denklemi denir.

Eger r1 ve r2 karakteristik denklemin reel ve farklı iki koku ise,

y(x) = c1er1x + c2e

r2x

fonksiyonu denklem (1) in genel cozumudur.



ORNEK

2y′′ − 7y′ + 3y = 0


COZUM

Karakteristik denklemimiz

2r2 − 7r + 3 = 0

dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e12x + c2e

3x

olarak yazılır.



ORNEK

2y′′ − 7y′ + 3y = 0


COZUM


2r2 − 7r + 3 = 0

dir.

Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e12x + c2e

3x

olarak yazılır.



ORNEK

2y′′ − 7y′ + 3y = 0


COZUM


2r2 − 7r + 3 = 0

dir. Karakteristik denklemimizin kokleri

r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e12x + c2e

3x

olarak yazılır.



ORNEK

2y′′ − 7y′ + 3y = 0


COZUM


2r2 − 7r + 3 = 0

dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 1/2 ve r2 = 3 tur.

Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e12x + c2e

3x

olarak yazılır.



ORNEK

2y′′ − 7y′ + 3y = 0


COZUM


2r2 − 7r + 3 = 0


y(x) = c1e12x + c2e

3x

olarak yazılır.



ORNEK

2y′′ − 7y′ + 3y = 0


COZUM


2r2 − 7r + 3 = 0


y(x) = c1e12x + c2e

3x

olarak yazılır.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 19/ 26


ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0

dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e0x + c2e

−2x = c1 + c2e−2x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0

dir.

Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e0x + c2e

−2x = c1 + c2e−2x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0


r1 = 0 ve r2 = −2 dir.Dolayısıyla denklemimizin genel cozumu

y(x) = c1e0x + c2e

−2x = c1 + c2e−2x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0

dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = 0 ve r2 = −2 dir.


y(x) = c1e0x + c2e

−2x = c1 + c2e−2x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0


y(x) = c1e0x + c2e

−2x = c1 + c2e−2x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0


y(x) = c1e0x + c2e

−2x

= c1 + c2e−2x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ = 0


COZUM


r2 + 2r = 0


y(x) = c1e0x + c2e

−2x = c1 + c2e−2x



ay′′ + by′ + cy = 0 (1)

Eger karakteristik denklem r1 = r2 gibi esit iki reel koke sahip ise,

y(x) = (c1 + c2x)er1x




ORNEK

9y′′ − 12y′ + 4y = 0


COZUM


9r2 − 12r + 4 = 0

dir. Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.


y(x) = (c1 + c2x)e23x

olarak yazılır.



ORNEK

9y′′ − 12y′ + 4y = 0


COZUM


9r2 − 12r + 4 = 0

dir.

Karakteristik denklemimizin kokleri r1 = r2 = 23 dur.


y(x) = (c1 + c2x)e23x

olarak yazılır.



ORNEK

9y′′ − 12y′ + 4y = 0


COZUM


9r2 − 12r + 4 = 0


r1 = r2 = 23 dur.


y(x) = (c1 + c2x)e23x

olarak yazılır.



ORNEK

9y′′ − 12y′ + 4y = 0


COZUM


9r2 − 12r + 4 = 0



y(x) = (c1 + c2x)e23x

olarak yazılır.



ORNEK

9y′′ − 12y′ + 4y = 0


COZUM


9r2 − 12r + 4 = 0



y(x) = (c1 + c2x)e23x

olarak yazılır.



ORNEK

9y′′ − 12y′ + 4y = 0


COZUM


9r2 − 12r + 4 = 0



y(x) = (c1 + c2x)e23x



ORNEK

y′′ + 2y′ + y = 0

y(0) = 5, y′(0) = −3

baslangıc deger problemini cozunuz.

COZUM


r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0

dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu

y(x) = (c1 + c2x)e−x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ + y = 0

y(0) = 5, y′(0) = −3


COZUM


r2 + 2r + 1

= (r + 1)2 = 0


y(x) = (c1 + c2x)e−x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ + y = 0

y(0) = 5, y′(0) = −3


COZUM


r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0

dir.

Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir. Denklemimizin genel cozumu

y(x) = (c1 + c2x)e−x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ + y = 0

y(0) = 5, y′(0) = −3


COZUM


r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0

dir. Dolayısıyla karakteristik denklemimizin kokleri birbirine esit ver1 = r2 = −1 dir.

Denklemimizin genel cozumu

y(x) = (c1 + c2x)e−x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ + y = 0

y(0) = 5, y′(0) = −3


COZUM


r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0


y(x) = (c1 + c2x)e−x

olarak yazılır.



ORNEK

y′′ + 2y′ + y = 0

y(0) = 5, y′(0) = −3


COZUM


r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0


y(x) = (c1 + c2x)e−x



y(x) = (c1 + c2x)e−x

Baslangıc kosullarımız yardımıyla c1 ve c2 yi bulabiliriz.

y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5

vey′(x) = −c1e−x + c2e

−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3

Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz

y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0

= c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1

= 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x

= −c1 + c2 = −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2

= −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3

Bu iki denklemden

c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız. Sonucolarak cozumumuz

y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3

Bu iki denklemden c1 = 5 ve c2 = 2 degerlerine ulasırız.

Sonucolarak cozumumuz

y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



y(x) = (c1 + c2x)e−x


y(0) = (c1 + c20)e−0 = c1 = 5


−x − c2xe−x

y′(0) = −c1e−0 + c2e−0 − c20e

−x = −c1 + c2 = −3


y(x) = (5 + 2x)e−x

tur.



ay′′ + by′ + cy = 0 (1)

Eger karakteristik denklemin a∓ ib, (b 6= 0) gibi kompleks eslenikiki koke sahip ise,

y(x) = eax(c1 cos (bx) + c2 sin (bx))




ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0

denkleminin genel cozumunu bulun.

COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz

y(x) = e2x(c1 cosx + c2 sinx)

seklinde yazılabilir.



ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0


COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır.

∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz





ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0


COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır. ∆ = b2 − 4ac

= (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz





ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0


COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5

= −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz





ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0


COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur.

Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz





ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0


COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.

Boylece genel cozumumuz





ORNEK

y′′ − 4y′ + 5y = 0


COZUM


r2 − 4r + 5 = 0

dır. ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4.1.5 = −4 < 0 oldugu icinkarakteristik denklemin reel koku yoktur. Kompleks koklerimiz2∓ i dir.Boylece genel cozumumuz


seklinde yazılabilir.Ogr.Gor.Dr. Ali Sevimlican 26/ 26

Documents

˙Ikinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler