LİNEER CEBİR

BÖLÜM 1

LİNEER DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

1.1- Giriş

1.2 Matrisler

1.3 Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri

1.3.1 Gauss eliminasyon yöntemi

1.3.2 Gauss-Jordan Yöntemi

1.3.3 Thomas yöntemi

1.3.4 LU Ayrıştırma yöntemleri

1.3.5 Jacobi basit iterasyon yöntemi

1.3.6 Gauss-Sidel iterasyon yöntemi

1.3.7 SOR yöntemi

1.4 Matris tersinin sayısal hesabı

Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları

1

1.1 Giriş

Mühendislik problemlerinin sayısal yöntemlerinin çözümünde çoğu zaman problem bir lineer denklem takımının çözümü problemine indirgenir ve bu denklem takımının uygun ve hızlı bir yöntemle çözümü söz konusu olur. Lineer denklem takımları bu amaçla matris formda yazılarak çözülmeye çalışılır.

Bu bölümde önce matrislerle ilgili bazı hatırlatmalar yapılarak matrislerin tiplerinden ve matris işlemlerinden kısaca bahsedilecektir.

Daha sonra lineer denklem takımlarının çözümünde kullanılan sayısal yöntemlere yer verilecektir.



2

1.2 Matrisler

1.2.1 Matris tipleri

(M×N) boyutlarındaki dikdörtgensel matris

[ ] [ ]

===

MNMjMMM

iNijiii

Nj

Nj

Nj

ij

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aAA

321

321

33333231

22232221

11131211

Kare matris

(M=N) olan matris

NNNjNNN

iNijiii

Nj

Nj

Nj

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

321

321

33333231

22232221

11131211

Köşegen (Diyagonal) matris

Köşegen dışında bütün elemanları sıfır olan kare matris

[ ]

==

N

i

3

2

1

ijiN

0000

0000

000000000000

D

α

α

αα

α

δα

NOT:

≠=

=isejiiseji

ij 01

δ Kronecker deltası

Birim matris

Bütün köşegen elemanları 1 olan köşegen matris

[ ]

=δ=

10000

01000

001000001000001

ijNI



3

Skalar matris

Bütün köşegen elemanları bir skaler büyüklüğe eşit olan köşegen matris

[ ]

=

b

b

bb

b

b ij

0000

0000

000000000000

δ

Sıfır matrisi

Bütün elemanları sıfıra eşit olan matris

=

00000

00000

000000000000000

O

Bol Sıfırlı matris Çoğu elemanı sıfıra eşit olan matris

Simetrik matris

Köşegene göre simetrik konumlu elemanları aynı olan kare matris

jiij aa =

NNNNN

N

N

N

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3332313

2232212

1131211

Çarpık simetrik matris

Köşegene göre simetrik konumlu elemanları zıt işaretle aynı olan kare matris

jiij aa −=

−−−

−−−

NNNNN

N

N

N

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3332313

2232212

1131211

Üst-üçgensel matris

Köşegen altındaki bütün elemanları sıfır olan kare matris

=

NN

iNjj

Nj

Nj

Nj

a

aa

aaaaaaaaaaaa

U

0000

000

000

3333

222322

11131211



4

Alt-üçgensel matris

Köşegen üstündeki bütün elemanları sıfır olan kare matris

=

NNNi3N2N1N

ii3i2i1i

333231

2221

11

aaaaa

0aaaa

00aaa000aa0000a

L

Satır matrisi veya Satır vektörü

Tek satırdan ibaret olan matris (1×N) [ ]N21 aaa

Sütun matrisi veya Sütun vektörü

Tek süturdan ibaret olan matris (N×1)

N

2

1

a

aa

Birim vektörü

100

010

001

,,

Bant matrisi

Köşegen civarındaki bir bant dışında kalan bütün elemanları sıfır olan kare matris

777675

67666564

5756555453

4645444342

3534333231

24232221

131211

0000000

0000000000000

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaaaa

Üç-diyagonalli matris

Köşegeniyle altındaki ve üstündeki komşu elemanları dışında kalan bütün elemanları sıfır olan bant matris

7776

676665

565554

454443

343332

232221

1211

000000000

000000000000000000000

aaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aa



5

1.2.2 Matris işlemleri

- Ancak aynı boyutlardaki iki matris toplanabilir ve çıkartılabilir.

Toplama ve çıkartmada matrislerin sırasının bir önemi yoktur.

- Aynı boyutlardaki iki matris ancak karşılıklı elemanları aynı ise birbirine eşittir.

Matrislerin çarpması

- İki matrisin çarpma işleminde matrislerin sırası ve boyutları önemlidir. Çarpma yapılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gereklidir.

A (n×m) ve B (m×r) ise A.B çarpımı mümkündür.

[aij].[bij]=[cij] ∑=

=N

1kkjikij bac

Matrislerin çarpmadaki sırası değiştiğinde genel olarak çarpım sonucu aynı olmaz

A.B≠B.A

- Bir matrisin bir skalerle çarpımı, matrisin herbir elemanının bu skalerle çarpımı anlamına gelir.

k.A=C cij=k.aij

- Vektörlerin skaler çarpımı [ ] [ ]NN2211

N

2

1

N21 bababa

b

bb

aaa +++=

⋅

- Vektörlerin dış çarpımı

(outer product) [ ]

=⋅

NN2N1N

N22212

N12111

N21

N

2

1

bababa

babababababa

bbb

a

aa

Matrisin transpozesi

Matrisin transpozesi aynı diyagonal elemanını içeren satır elemanlarıyla sütun elemanlarının yerleri değiştirilerek elde edilir.

=

NN2N1N

N22221

N11211

aaa

aaaaaa

A →

=

NNN2N1

2N2212

1N2111

T

aaa

aaaaaa

A

Matrisi transpozesinin transpozesi matrisin kendisine eşittir. (AT)

T= A

Matrisin izi (Trace)

Diyagonal elemanlarının toplamıdır ∑=

=N

1iiiaATr )(



6

Matrisin minörleri

Bir kare matrisin herhangi bir aij elemanının minörü, bu elemanın üzerinde yer aldığı i ‘inci satırdaki ve j ‘inci sütundaki bütün elemanlar çıkartıldıktan sonra kalan matrisin determinantı olarak tanımlanır.

=

NNNj2N1N

iNij2i1i

N2j22221

N1j11211

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

NN1Nj1Nj2N1N

N1i1j1i1j1i21i11i

N1i1j1i1j1i21i11i

N21j21j22221

N11j11j11211

ij

aaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

M

+−

+++−+++

−+−−−−−

+−

+−

=

,,,,,

,,,,,

Matrisin kofaktörleri

Bir kare matrisin herhangi bir aij elemanının kofaktörü, bu elemanın minörünün (-1)i+j ile çarpımı olarak tanımlanır.

Matrisin determinantı

Bir matrisin determinantı herhangi bir satırındaki veya herhangi bir sütünundaki bütün elemanların kofaktörleriyle çarpımlarının toplamı olarak tanımlanır.

[ ] ( ) ( )∑∑=

+

=

+ −=−===N

1j

jkkjkj

N

1i

kiikik

NNNjNi3N2N1N

jNjjji3j2j1j

iNijii3i2i1i

N3j3i3333231

N2j2i2232221

N1j1i1131211

1Ma1Ma

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

AAdet

Matrisin özdeğerleri ve özvektörleri

Bir matrisin özdeğerleri karakteristik polinomunun kökleri olarak tanımlanır.

Karakteristik polinom ( ) ( )

λ

λλ

λλλ

−

−−

=−=−=

NN2N1N

N22221

N11211

A

aaa

aaaaaa

IAIAp det

Özdeğerler pA(λ) = 0 eşitliğini sağlayan (λi, i=1,2,…N) kökleri

Özvektörler Aw = λw eşitliğini sağlayan {wj} vektörleri



7

Matrisin tersi

Bir A matrisinin tersi A.B = In eşitliğini sağlayan B matrisidir.

Bir matrisin tersi, bu matristen oluşturulan ek matrisin bu matrisin determinantına bölümü ile elde edilir.

Burada geçen ek matris ise matrisin elemanlarının kofaktörlerinde oluşturulan matrisin transpozesidir.

Örnek

=

431341331

A

Kofaktörler matrisi

−−

−−=

−

−−

−

=103013117

4131

3131

3433

3131

4131

4333

3141

4131

4334

K

Ek matris

−−

−−=

101011337

E

Matrisin determinantı 13373433

14333

14334

1431341331

A =−−=+−=

=)det(

Ters matris

−−

−−=−

101011337

A 1

Kontrol 31 I

100010001

101011337

431341331

AA =

=

−−

−−⋅

=−



8

1.3. Lineer denklem takımlarının sayısal çözümü

Bir lineer denklem takımını genel olarak

N

j

i

NNN

NjN

NiN

NN

NN

NN

Nj

jj

ij

j

j

j

Ni

ji

ii

i

i

i

N

j

i

N

j

i

N

j

i

b

b

b

bbb

xa

xa

xa

xaxaxa

xa

xa

xa

xaxaxa

xa

xa

xa

xaxaxa

xa

xa

xa

xaxaxa

xa

xa

xa

xaxaxa

xa

xa

xa

xaxaxa

3

2

1

3

2

1

3

3

3

33

32

31

3

3

3

33

32

31

33

33

33

333

323

313

22

22

22

232

222

212

11

11

11

131

121

111

=

=

=

===

+

+

+

+++

+

+

+

+++

+

+

+

+++

+

+

+

+++

+

+

+

+++

(1.1)

veya matris formda

=

⋅

N

j

i

N

j

i

NNNjNiNNN

jNjjjijjj

iNijiiiii

Nji

Nji

Nji

b

b

b

bbb

x

x

x

xxx

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

3

2

1

3

2

1

321

321

321

333333231

222232221

111131211

(1.2)

şeklinde ifade etmek mümkündür.

Lineer denklem takımlarının sayısal çözümlenmesinde kullanılan yöntemleri

-Eliminasyon Yöntemleri:

- İteratif Yöntemler:

olarak sınıflandırmak mümkündür.

Eliminasyon yöntemlerinde en çok bilinen birisi ”Gauss eliminasyon yöntemi“ ve türevleridir. Bu yöntemlerde bazen pivot uygulamalarına gerek duyulur. Bir diğer grup etkin eliminasyon yöntemi ”LU ayrıştırma yöntemleri“ olarak bilinir.

Büyük lineer denklem takımları için genel olarak iteratif yöntemler tercih edilir. Bunlar arasında “Jacobi basit iterasyon yöntemi”, Gauss-Seidel iterasyon yöntemi” ve “Ardarda aşırı gevşetme (Succesive Over Relaxation – SOR) yöntemi sayılabilir.

Katsayılar matrisinin bir bant matrisi olması ve blok bant matrisi olması gibi durumlarda daha özel yöntemler gerekmektedir. Örneğin üç-diyagonalli bant matrisler halinde “Thomas yöntemi” tercih edilmektedir.



9

1.3.1- Gauss eliminasyon yöntemi

Gauss-eliminasyon yöntemi dolu ve diyagonal elemanları baskın olan matrislerin çözümü için uygun bir yöntemdir. İki aşamalıdır:

- Üst-üçgenselleştirme aşaması

Lineer denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinin iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıyla bölünmesi veya çarpılması denklemi değiştirmez. Yine bu denklemlerden ikisinin birbiriyle toplanması veya çıkartılması lineer denklem takımının çözümünü değiştirmez.

Buna göre (1.1a) denklem sistemindeki birinci denklemin her iki tarafı a11 ile bölündükten sonra sırasıyla

- a21 ile çarpılıp ikinci denklemden çıkartılarak

- a31 ile çarpılıp üçüncü denklemden çıkartılarak

............

- ai1 ile çarpılıp i ’inci denklemden çıkartılarak

............

- aN1 ile çarpılıp N ’inci denklemden çıkartılarak

denklem sistemi matris formda

=

⋅

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()()(

2

2

2

23

22

11

3

2

1

22223

22

22223

22

22223

22

23

23

23

233

232

22

22

22

223

222

11

11

11

113

112

111

0

0

0

00

N

j

i

N

j

i

NNNjNiNN

jNjjjijj

iNijiiii

Nji

Nji

Nji

b

b

b

bbb

x

x

x

xxx

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaa

(1.3)

şekline getirilebilir. Burada

Ni

aab

bb

Nja

aa

aa

aa

iii

ij

ijij

ijij

,....,;,....,;

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)(

3221

111

11

1112

111

11

1112

1

=

⋅−=

=

⋅−=

=

Benzeri işlemler ikinci denklem ile sonraki denklemler arasında tekrarlanarak (1.3.3) denklem sistemi



10

=

⋅

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()(

)()()()()()(

3N

3j

3i

33

22

11

N

j

i

3

2

1

3NN

3Nj

3Ni

33N

3jN

3jj

3ji

33j

3iN

3ij

3ii

33i

3N3

3j3

3i3

333

2N2

2j2

2i2

223

222

1N1

1j1

1i1

113

112

111

b

b

b

bbb

x

x

x

xxx

aaaa00

aaaa00

aaaa00

aaaa00aaaaa0aaaaaa

(1.4)

şekline getirilebilir. Burada da

Nia

ab

bb

Njaaa

aa

iii

ij

ijij

,....,;,....,;

)()(

)()()(

)()(

)()()(

4332

222

22

2223

222

22

2223

=

⋅−=

=⋅−=

Bu işlemler sondan bir önceki denklem ile sonuncu denklem arasında gerçekleştirilinceye kadar tekrar edilecektir.

Tekrarlanan bu işlemler genelleştirmek amacıyla herhangi bir k ‘ıncı aşamada yazılırsa denklem sistemi matris formda

=

⋅

+

+

++++

++++

+

−−−

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()()(

)(,

)(

)()(

)()()(

1

1

33

22

11

3

2

1

1111

1111

1

111

33

22

222

11

112

111

0000000000000000

0000000

0

kN

kj

ki

N

j

i

kNN

kNj

kNk

kiN

kij

kik

kkN

kkj

kkk

kkk

kkk

N

N

N

b

b

b

bbb

x

x

x

xxx

aaa

aaa

aaaaa

aaaaaa

(1.5)

şekline gelir. Burada

121211

1

1

−=

++=

⋅−=

+=⋅−=

+

+

NkNkkia

abbb

Nkkjaaa

aa

kikk

kk

kkk

iki

kikk

kk

kkjk

ijkij

,....,;,....,;,....,;

)()(

)()()(

)()(

)()()(

dir.

Bütün tekrar aşamalarından sonra denklem sistemi, katsayılar matrisi üst-üçgensel bir matris halini alarak



11

=

⋅

−− )(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()()(

)()()()(

)()()()()(

)()()()()()(

1

33

22

11

3

2

1

1

33

33

33

333

22

22

22

223

222

11

11

11

113

112

111

00000

0000

000

000

NN

jj

ii

N

j

i

NNN

jjN

jjj

iiN

iij

iii

Nji

Nji

Nji

b

b

b

bbb

x

x

x

xxx

a

aa

aaa

aaaaaaaaaaaaaaa

(1.6)

şekline gelir.

- Geri süpürme aşaması

Katsayılar matrisi üst-üçgensel hale getirilen denklem sisteminin çözümü en son bilinmeyenden başlanarak geriye doğru gerçekleştirilir.

Bu işlemler sırasında indislerin karışmaması için denklem sistemini, katsayılarına yeni isim vererek

N

N

i

NNN

NNN

NiN

NN

NN

NN

NNN

NiN

NN

NN

NN

jij

jj

jj

jj

iii

ii

ii

ii

ee

e

eee

xdxd

xd

xdxdxd

xd

xd

xdxdxd

xd

xdxdxd

xd

xdxdxd

xdxdxd

xdxdxd

1

3

2

1

1

3

2

1

111

11

113

112

111

3

2

1

3

2

1

333

323

313

222

212111

−−−−−

−−

−−

−−

−−

==

=

===

+

+

+++

+

+

+++

+

+++

+++

+

+++

,,

(1.7)

şeklinde yazalım. Buna göre sonuncu bilinmeyen en son denklemden kolaylıkla

NN

NN d

ex =

ve sondan bir önceki bilinmeyen de bir önceki denklem kullanılarak

11

111

−−

−−−

−=

NN

NNNNN d

xdex

,

,

şeklinde hesaplanabilir. Bu işlemler birinci denklemden birinci bilinmeyen bulununcaya kadar tekrar edilir. Genelleştirme amacıyla geri-süpürme işleminin herhangi bir i ’inci aşaması için

12211 ,,....,; −−=−

=∑

+= NNid

xdex

ii

N

ijjiji

i

algoritması yazılabilir.



12

Gauss-Eliminasyon yönteminin bilgisayar uygulaması

Bilgisayar uygulamasında lineer denklem takımının katsayılar matrisi bir kare matris yerine sütun sayısı satır sayısından bir fazla olan bir dikdörtgensel matris şeklinde tanımlanıp sağ taraf vektörü de bu matrisin en son sütununa yerleştirilerek bütün işlemler bu matris üzerinde yapılabilir.

+

+

+

+

+

+

1

1

1

13

12

11

321

321

321

333333231

222232221

111131211

NN

jN

iN

N

N

N

NNNjNiNNN

jNjjjijjj

iNijiiiii

Nji

Nji

Nji

a

a

a

aaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

(1.8)

Şayet katsayılar matrisinin bir başka amaç için aynen saklanması gerekiyorsa bir başka matriste yedeklenmesinde yarar vardır.

Bu durumda üst-üçgenselleştirme aşamasının k ‘ıncı adımında katsayılar matrisi

++

++

++++++

++

+

+

11

11

111111

11

12222

1111211

000000000000000

0000

0

NNNNNjNk

iNiNijik

NkNkjkkk

kNkNkjkkkk

NN

NN

aaaa

aaaa

aaaaaaaaa

aaaaaaa

(1.9)

gerekli bilgisayar algoritmaları

1N21kN2k1ki1N2k1kjPaaa

aaP

kjijij

kkik −=

++=

+++=⋅−←

←,....,;,....,;

,....,;/

ve geri-süpürme aşamasında gerekli algoritmalar da

NN

NNN a

ax 1+=

122111

,,....,; −−=−

=∑

+=+

NNia

xaax

ii

N

ijjijiN

i

şeklinde yazılabilir.



13

Örnek uygulama

Denklem sistemi

=

⋅

−−−−

13815

311413124

3

2

1

xxx

Katsayılar matrisi

−−−−

13311841315124

Birinci sütun sıfırlanarak

−−−

→×−→×−−

259752500251975452015124

4143

13

12

......

)/()/(RRRR

İkinci sütun sıfırlanarak

−−

→×−−− 40580100251975452015124

R5250R 23 .....

)./.(

Geri süpürme ile 3801405

3 ==..x

252

375425192 −=

−×−

=...x

( ) ( )[ ] 24

3122151 =

×+−×−−=x

Uyarı

Bazı matrislerde üst-üçgenselleştirme aşamasının herhangi bir adımında, daha önce yapılmış olan işlemlerin sonucunda akk diyagonal elemanının değeri sıfır olabilir. Bu gibi durumlarda sıfırla bölme sorunu nedeniyle yukarıda izah edilen Gauss yoketme yöntemi devam ettirilemez.

Bu sorunu gidermenin bir yolu kısmi pivot uygulamasıdır.

++

++++++

++++++

++

+−−+−−−−

+

+

11

122122

111111

11

11111111

33

1222322

111131211

0000000

00000000

000000000

0

NNNNNkNk

NkNkkkkk

NkNkkkkk

kNkNkk

NkNkkkkkkk

NN

NN

aaaa

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

Gauss yoketme yönteminde pivot uygulamaları

Lineer bir denklem takımındaki iki denklemin sırasının değiştirilmesi çözümü hiçbir şekilde değiştirmez.

Buna göre Gauss yönteminin üst-üçgenselleştirme aşamasında herhangi bir k ıncı adımda akk diyagonal elemanı sıfır olmuşsa, bundan sonraki denklemlerden, bu diyagonal elemanının altındaki elemanı sıfır olmayan herhangi birisinin yeri k’ıncı denklemle değiştirilebilir. Bu uygulamaya “kısmi pivot uygulaması” denir.



14

Sıfır diyagonal altındaki elemanlardan herhangi birisi yerine maksimum olanı tercih edilerek bu denklemin yeri değiştirilirse bu stratejiye de “maksimum pivot stratejisi” adı verilir.

Katsayılar matrisinde başlangıçtan itibaren veya Gauss eliminasyon yönteminin üst-üçgenselleştirme aşamasının herhangi bir adımında diyagonal elemanlarından birinin veya bir çoğunun sıfır olması yanında küçük olması halinde de maksimum pivot stratejisi uygulanması yararlı olur.

Maksimum pivot stratejisi genel olarak katsayılar matrisinin, en büyük elemanları diyagonal üzerine gelecek şekilde satırlarının ve sütunlarının yerlerinin değiştirilmesi şeklindedir.

Katsayılar matrisinin iki satırının (sağ taraf elemanı da dahil olmak üzere) yer değiştirmesinin çözümü değiştirmeyeceği daha önce de belirtilmişti.

Katsayılar matrisinde iki sütunun yer değiştirmesi ise bilinmeyenlerin sırasının değiştirilmesi anlamına gelir ki bilinmeyenlerin sırasının bu işlemler boyunca nasıl değiştiğinin tespit edilmesi ve çözüm elde edildikten sonra bilinmeyenlerin sırasının eski haline getirilebilmesi için bir sıralama işlemi yapılması gerekir.

Örnek

Yandaki 4 bilinmeyenli denklem sisteminde katsayılar matrisinin en büyük elemanı (maksimum pivot) 6 değerine sahip olup dördüncü satırın üçüncü sütununda yer almaktadır.

=

⋅

125119

1632222413525112

4

3

2

1

xxxx

Bu maksimum pivotun ilk diyagonal elemanı olması için:

- önce birinci satırla dördüncü satırın yerlerinin değişmesi

=

⋅

951112

5112222413521632

4

3

2

1

xxxx

- sonra da birinci sütunla üçüncü sütunun yerlerinin değişmesi gerekmektedir. Ancak bu sütun değişikliği durumunda bilinmeyenler vektöründe birinci bilinmeyen ile üçüncü bilinmeyeni yerinin de değiştirilmesi gerekir.

=

⋅

951112

xxxx

5211242212531236

4

1

2

3

İkinci aşamada katsayılar matrisinin birinci satır ve sütunu dışında kalan diğer elemanları arasından yeni bir pivot seçilecektir. En büyük iki elemanın da değeri 5 olup bunlardan birisi ikinci köşegen üzerinde yer almaktadır. Buna göre zaten pivot köşegen üzerinde olduğundan bir değişikliğe gerek olmayacaktır.

Üçüncü aşamada katsayılar matrisinin birinci ve ikinci satırları ve sütunları dışında kalan diğer elemanları arasından yeni bir pivot aranacaktır. Bu pivot dördüncü satır ve dördüncü

→

=

⋅

591112

xxxx

2422521112531236

4

1

2

3

=

⋅

591112

xxxx

4222251121532136

1

4

2

3

sütunda yer alan 5 değeri olup, buna göre önce dördüncü satırla üçüncü satırın, ardından da dördüncü sütunla üçüncü sütunun yerlerinin değişmesi gerekmektedir.Ayrıca bilinmeyenler vektöründe üçüncü ve dördüncü sırada yer alan bilinmeyenlerin yerleri de değişecektir.

Görüldüğü gibi satırların yerleri değişmekle birlikte bilinmeyenlerin sırası değişmemiştir. Ancak sütunların yeri değişirken bilinmeyenlerin de yerleri değişmiştir.



15

Bu şekilde pivotlanan denklem sistemine bundan sonraki aşamada Gauss-Eliminasyon Yöntemi uygulanarak bilinmeyenler

9530x6251x4691x3121x 1423 .,.,.,. −====

olarak elde edilir.

Ancak bilgisayar uygulamasında bilinmeyenler bir x dizisi içerisinde olacak ve çözüm bu dizi içerisinde

6251x3121x4691x9530x 4321 .,.,.,. ===−=

şeklinde farklı bir sıra ile yer alacaktır. İşte bu nedenle pivotlama boyunca sütunların nasıl yer değiştiğinin tespit edilmesi ve çözümden sonra x dizisi içindeki bilinmeyen değerlerinin gerekli sıraya konulması gerekmektedir.

Gauss yoketme yönteminde LU ayrıştırma uygulaması

Gauss eliminasyon yönteminde diyagonal altındaki elemanların sıfırlanması için yapılan aik/akk bölme işleminin sonucu, diyagonalin altında sıfır olması gereken elemanın yerine yazıldığı taktirde, sonuçta üst-üçgensel olması gereken matrisin diyagonal altında yeni bir matris oluşur.

Örnekolarak daha önceki denklem takımı alınırsa

−−−−

13311841315124

−−−

→×−→×−−

259752500251975452015124

4143

13

12

......

)/()/(RRRR yerine

−−−−

25975250412519754524315124

.../.../

−−

→×−−

− 40580100251975452015124

R5250R 23

.....

)..(

yerine

−−−−−

405801525041

2519754524315124

..../

.../

Böylece katsayılar matrisi

−−−

80120025075452750124

...

...

şeklini alır. Bu matris

−−

⋅

−

80100754520124

120025001750001

.

....

.

şeklinde düzenlenirse, buradaki alt-üçgensel matrisle üst-üçgensel matrisin çarpımının yukarıdaki orijinal katsayılar matrisini verdiği gösterilebilir.

Yani

−−−−

=

−−

⋅

−

311413124

80100754520124

120025001750001

.

....

.

Böylece katsayılar matrisi A=L.U şeklinde çarpanlara ayrıştırılmış olmaktadır.



16

NOT:

LU çarpanlara ayırma işlemi bir matrisin determinantının hesabı için etkin bir yöntemdir. Şöyle ki:

Yukarıdaki örnekte söz konusu olana katsayılar matrisinin determinantı, kofaktörler yardımıyla hesaplanırsa

187153144112

13112

33141

4311413124

A −=−×+−×+×=−−

+−−

−−−−

=−−−−

= )()()()det(

şeklinde elde edilir.

Diğer taraftan iki matrisin çarpımının determinantı bu matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir. Buna göre örnekteki matrisin determinantı bunun LU çarpanlarının determinantları çarpımına eşit olacaktır.

80100754520124

120025001750001

A...

...)det( −

−×

−−=

Bu matrislerin her birinin determinantlarının diyagonal elemanları çarpımına eşit olduğu kolaylıkla görülmektedir. Buna göre

( ) 18801524111A −=×−××××= ..)()det(

elde edilir.

1.3.2 Gauss-Jordan Yöntemi

Gauss-eliminasyon yöntemindeki geri-süpürme aşaması üst-üçgenselleştirme aşamasıyla birleştirilebilir.

Bu tipteki yöntemlerden biri olan Gauss-Jordan yönteminde diyagonal altındaki elemanlar sıfır yapılırken aynı anda diyagonal üzerindeki elemanlar da sıfırlanır, ayrıca diyagonal elemanlarının değerleri 1 yapılır. Böylece işlemlerin sonucunda katsayılar matrisi birim matrise dönüşürken sağ taraf vektörü de bilinmeyenler (yani çözüm) vektörüne dönüşür.

Örnek uygulama

Örnek katsayılar matrisi

−−−−−

65616710342232201020

1 ve 4 üncü satırların yeri değiştirilerek

−−−

−−

01020710342232265616



17

1 inci satır diyagonal elemanıyla bölünerek

−−−

−−

0102071034223221833301166701 ..

1. diyagonal altındaki elemanlar sıfırlanarak

−−−

−−

010201133344466673046667356667101833301166701

..

....

2. ve 3. satırların yerini değiştirerek

−−−

−−

010204666735666710113334446667301833301166701

..

....

2. satırı diyagonal elemanıyla bölerek

−−−−−

01020466673566671031818109091101833301166701

......

2. diyagonal üst ve altındaki elemanları sıfır yaparak

−−

−−−−

63636318182009636458182600318181090911050636408182001

..

....

....


−−

−−−−

636363181820032182670100318181090911050636408182001

....

......

3. diyagonal üst ve altındaki elemanları sıfır yaparak

−−

−−

12356001000321826701005612800001058004000001

..

......


−−

−−

21000321826701005612800001058004000001

......

4. diyagonal üstündeki elemanları sıfır yaparak

−

−

2100033330010010010500001

...

Son sütundaki elemanlar bilinmeyenlerin çözümüdür.



18

İşlem sayısı

Gauss eliminasyon yönteminde her iki aşamada yapılan işlemlerin toplam sayısı (2n³/3+3n²/2-7n/6) olup işlem mertebesini kısaca (2n³/3) olarak belirmek mümkündür.

Buna karşılık Gauss-Jordan yöntemindeki işlem mertebesi (n³) olup Gauss eliminasyon yöntemine kıyasla yaklaşık %50 kadar daha fazla işlem yapılır.

Ölçeklendirme

Eliminasyon yöntemlerinde katsayılar matrisinin elemanlarının büyüklükleri arasında çok fazla farklılıklar varsa bu durum işlemler sırasında önemli yuvarlatma hatalarına yol açabilir. Bunu önlemenin bir yolu her bir denklemin katsayılarını bu katsayıların en büyüğü ile bölmektir.

Örnek

−−

21211021003110510023

Denklem sisteminde ilk iki denklemdeki en büyük katsayılar 100 iken sonuncu denklemin en büyük katsayısı 2 dir. Buna göre ilk iki denklemi 100 ile ve sonuncu denklemi de 2 ile bölerek çözümleme işlemlerini

−−

15015002110300100511020030

........

denklem sistemi üzerinde yapmak yuvarlatma hatalarını azaltacaktır.

1.3.3- Thomas yöntemi

Hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde ve Hesaplamalı mühendisliğin bazı problemlerinde zaman zaman üç-diyagonalli katsayılar matrisine sahip lineer denklem takımlarıyla karşılaşılır. Üç-diyagonalli katsayılar matrisine sahip böyle bir lineer denklem takımı matris biçiminde normal olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir.

=

⋅

−

+−

N

i

3

2

1

N

i

3

2

1

NN1NN

1iiii1ii

3332

232221

1211

b

b

bbb

x

x

xxx

aa00000

0aaa000

0aa00aaa00aa

.

.

.

.

.......

................

,

,,,

Ancak katsayılar matrisinin çoğu sıfır olan elemanları için bilgisayar hafızasında gereksiz yer işgal etmemek ve gereksiz işlemlerden kaçınmak amacıyla (N×N) boyutlarında bir katsayılar matrisi yerine (N×3) boyutlarında bir katsayılar matrisi kullanacak biçimde bir düzenleme ve buna uygun bir çözüm algoritması kullanılması tercih edilir.

Çözüm için çok tercih edilen bir yöntem Thomas algoritmasıdır. Thomas algoritması aslında Gauss eliminasyon yönteminin üç kolonlu bir dikdörtgensel matris kullanılarak yapılan özel bir uygulamasıdır.



19

Yukarıdaki denklem sistemi

, ,; ; ;i i 1 i ii i i i 1 i i ia l a d a u b r− +→ → → →

olmak üzere düzenlenirse:

=

⋅

N

i

3

2

1

N

i

3

2

1

NN

iii

33

222

11

r

r

rrr

x

x

xxx

dl00000

0udl000

0dl00udl00ud

.

.

.

.

.......

................

Gauss eliminasyon yönteminin esasının diyagonal altında kalan bütün elemanların sıfır olmasını sağlayacak işlemler olduğu hatırlanırsa bu denklem sistemindeki ilk denklem l2 ile ve ikinci denklem de d1 ile çarpılıp birinci denklem ikincisinden çıkarıldıktan sonra her iki taraf d1 ile bölünerek

21321221121

12212112

rdxudxddxldrlxulxdl

=++=+

⇒ 1

212322

1

122 d

lrrxux

dul

d −=+

−

elde edilir. Böylece ikinci denklemdeki x1 bilinmeyeni yok edilmiş veya diğer bir deyişle katsayılar matrisinde diyagonal elemanının altındaki katsayı sıfırlanmış olmaktadır. Bu eşitlik

1

2122

1

1222 d

lrrr

dul

dd −=−= '' ; olmak üzere ''23222 rxuxd =+

şeklinde yazılabilir. Böylece denklem sistemi

=

⋅

N

i

3

2

1

N

i

3

2

1

NN

iii

33

22

11

r

r

rrr

x

x

xxx

dl00000

0udl000

0dl00ud000ud

.

.

.

.

.......

................

''

şekline gelir. Yukarıda yapılan eliminasyon işlemi denklem sistemindeki ikinci ve üçüncü denklem arasında tekrarlanırsa, yani ikinci denklem l3 ile ve üçüncü denklem de d2' ile çarpılıp yine birinci denklem ikincisinden çıkarılıp, karşılıklı d2' ile bölünerek

32432332232

23323223

rdxudxddxld

rlxulxdl''''

''

=++

=+ ⇒

'

'

'2

233433

2

233 d

rlrxux

dul

d −=+

−

veya yine

'

''

'' ;

2

2233

2

2333 d

rlrr

dul

dd −=−= olmak üzere ''34333 rxuxd =+



20

elde edilir. Bu denklemde de x2 bilinmeyeninin ortadan kalktığı ve katsayılar matrisinde üçüncü satırda diyagonal altındaki elemanın sıfır yapıldığı görülmektedir.

Benzeri işlemler daha sonraki denklemler için de tekrarlanabilir. Bunun için yukarıda çıkartılan bağıntılar karşılaştırılarak bir genelleştirme yapılırsa

),....,(; '

''

'' N32i

drl

rrdul

dd1i

1iiii

1i

1iiii =−=−=

−

−

−

−

elde edilir. Bu durumda denklem sistemi de

=

⋅

'

'

'

'

'

'

'

'

.

.

.

.

.......

................

N

i

3

2

1

N

i

3

2

1

N

ii

3

22

11

r

r

rrr

x

x

xxx

d000000

0ud0000

0d000ud000ud

şekline gelir. Bu denklem sisteminde en sonuncu denklemden xN bilinmeyeninin kolaylıkla çözülebileceği görülmektedir:

'

'

N

NN d

rx =

Bulunan bu büyüklük bir üstteki denklemde kullanılarak

'

'

1N

N1N1N1N d

xurx

−

−−−

−=

bulunur. Benzeri işlem herhangi bir xi bilinmeyeni için

'

'

i

1iiii d

xurx +−=

şeklinde gerçekleştirilir.

1.3.4- LU ayrıştırma yöntemleri

A⋅X=B şeklindeki lineer denklem takımı, katsayılar matrisi

⇓ ⇐ A=L⋅U şeklinde çarpanlarına ayrılarak

L⋅U⋅X=B şekline veya

⇓ ⇐ U⋅X=Y tanımlaması yaparak

L⋅Y=B getirilebilir.

Bu son denklem takımı ileri-süpürme yoluyla Y vektörü için kolaylıkla çözülebilir.



21

Bulunan çözüm bir önceki denklemde kullanılırsa bu denklem de geri-süpürme yoluyla X vektörü için çözülebilir.

Buna göre bir LU ayrıştırma yönteminin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilir:

- A = L ⋅U ayrıştırması

- L ⋅ Y = B denkleminin Y için ileri-süpürme yoluyla çözülmesi

- U ⋅X = Y denkleminin X için geri-süpürme yoluyla çözülmesi

LU Ayrıştırma aşaması:

⋅

=⋅

NN

kNkjkk

Njk

Njk

Njk

NNNkNNN

ikiii

kkkkk

u

uuu

uuuuuuuuuuuuuuu

lllll

llll

llll

lllll

l

UL

00000

0000

000

000

0

0

000000000

33333

2222322

111131211

321

321

321

333231

2221

11

=

NNNjNiNNN

jNjjjijjj

iNijiiiii

Nji

Nji

Nji

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

321

321

321

333333231

222232221

111131211

L matrisinin k ‘ıncı satırı U matrisinin j=k,k+1,…N ‘inci sütunları ile çarpılarak

→=⋅++⋅+⋅ kjkjkkjkjk aululul ...2211 Nkkjulal

uk

ppjkpkj

kkkj ,...,,; 11 1

1

+=

⋅−= ∑

−

=

L matrisinin i=k,k+1,…,N ‘inci satırları U matrisinin k ‘ıncı sütunuyla çarpılarak

→=⋅++⋅+⋅ ikkkikkiki aululul ...2211 Nkkiulau

lk

ppkipik

kkik ,...,,; 11 1

1

+=

⋅−= ∑

−

=

Bu bağıntılar

k=1 için

Niual

Njla

u

ii

jj

,...,,;

,...,,;

21

21

11

11

11

11

==

==



22

k=2 için

( )

( ) Niulau

l

Njulal

u

iii

jjj

,...,,;

,...,,;

321

321

121222

2

121222

2

=⋅−=

=⋅−=

k=3 için

( )[ ]

( )[ ] Niululau

l

Njululal

u

iiii

jjjj

,...,,;

,...,,;

431

431

232131333

3

232131333

3

=⋅+⋅−=

=⋅+⋅−=

olup, hesapların başlatılabilmesi ve sürdürülebilmesi için ukk ve lkk elemanlarından birinin önceden belirlenmesi gerektiği görülmektedir. Nitekim uygulamada bu elemanlardan birisinin değeri 1 olarak seçilir. Bu seçime bağlı olarak yöntem iki farklı isimle tanınmaktadır:

Doolittle Yöntemi

Doolittle yönteminde alt-üçgensel matrisin diyagonal elemanları 1 alınmakta olup, buna göre yukarıdaki üç adım

k=1 için Ni

ua

ll

Njau

ii

jj

,...,,;;

,...,,;

321

21

11

1111

11

===

==

k=2 için ( ) Niulau

ll

Njulau

iii

jjj

,...,,;;

,...,,;

4311

32

121222

222

12122

=⋅−==

=⋅−=

k=3 için

( )( )[ ] Niulula

ull

Njululau

iiii

jjjj

,...,,;;

,...,,;

5411

43

232131333

333

23213133

=⋅+⋅−==

=⋅+⋅−=

şekline gelir. Görüldüğü gibi hesaplamalarda bir sıra izlenerek herbir adımda önce üst-üçgensel matrisin bir satırının elemanlarının daha sonra da alt-üçgensel matrisin bir sütununun elemanlarının bulunması gerekmektedir.

Buna göre Doolittle yöntemi için genel algoritma aşağıdaki şekilde yazılabilir.

NkNkkiula

ul

Nkkjulau

k

ppkipik

kkik

k

ppjkpkjkj

,...,,,...,,;

,...,,;21

11

1

1

1

1

1 =+=

⋅−=

+=⋅−=

∑

∑−

=

−

=

Crout Yöntemi

Crout yönteminde üst-üçgensel matrisin diyagonal elemanları 1 alınmakta olup, buna göre yukarıdaki üç adım

k=1 için Nj

la

uu

Nial

jj

ii

,...,,;,

,...,,;

321

21

11

1111

11

===

==



23

k=2 için ( ) Njulal

uu

Niulal

jjj

iii

,...,,;,

,...,,;

4311

32

121222

222

12122

=⋅−==

=⋅−=

k=3 için

( )

( )[ ] Njululal

uu

Niululal

jjjj

iiii

,...,,;,

,...,,;

5411

43

232131333

333

23213133

=⋅+⋅−==

=⋅+⋅−=

şekline gelir. Görüldüğü gibi hesaplamalarda yine bir sıra izlenerek bu defa herbir adımda önce alt-üçgensel matrisin bir sütununun elemanlarının daha sonra da üst-üçgensel matrisin bir satırının elemanlarının bulunması gerekmektedir.

Buna göre Crout yöntemi için genel algoritma aşağıdaki şekilde yazılabilir.

NkNkkjula

lu

Nkkiulal

k

ppjkpkj

kkkj

k

ppkipikik

,...,,;,...,,;

,...,,;21

11

1

1

1

1

1 =+=

⋅−=

+=⋅−=

∑

∑−

=

−

=

İleri süpürme aşaması

L ⋅ Y = B denkleminin Y için çözümü ilk elemandan başlayarak ileri-süpürme yoluyla gerçekleştirilir.

=

⋅

−

−

N

i

N

i

NNNiiNNNNN

iiiiiiii

b

b

bbbb

y

y

yyyy

lllllll

llllll

lllllll

lll

4

3

2

1

4

3

2

1

14321

14321

44334241

333231

2221

11

0

00

000000000000

,

,

L matrisinin birinci satırı ile Y vektörünün çarpımından

1111 lby /=

L matrisinin i 'inci satırının Y vektörü ile çarpımından

→=+⋅++⋅+⋅ −− ii1i1i,i22i11i byyl...ylyl Niylbl

yi

ppipi

iii ,...,; 321 1

1

=

⋅−= ∑

−

=

Geri süpürme aşaması

U ⋅X = Y denkleminin X için çözümü de son elemandan başlayarak geri-süpürme yoluyla gerçekleştirilir.



24

=

⋅

−−−−−

−+

−+

−+

−+

N

1N

i

3

2

1

N

1N

i

3

2

1

N,N

N,1N1N,1N

N,i1N,i1i,iii

N,31N,31i,3i333

N,21N,21i,2i22322

N,11N,11i,1i1131211

yy

y

yyy

xx

x

xxx

u000000uu00000

uuuu0000

uuuuu00uuuuuu0uuuuuuu

U matrisinin sonuncu satırı X vektörüyle çarpılarak

→=⋅ NNNN yxu NNNN u/yx =

U matrisinin i 'inci satırı X vektörüyle çarpılarak

→=⋅++⋅+⋅ ++ iNN,i1i1i,iiii yxu...xuxu 122111

,,...,,; −−=

⋅−= ∑

+=

NNixupyu

xN

ikpipi

iii

elde edilir.

1.3.5- Jacobi basit iterasyon yöntemi

Çok büyük katsayılar matrisi içeren lineer denklem sistemlerinin eliminasyon yöntemleriyle çözümü çoğu zaman ekonomik olmaz. Bu gibi durumlarda iteratif yöntemler seçilir. Bunlardan en basit birisi Jacobi yöntemidir.

BXA =⋅ (1)

lineer denklem takımı, A katsayılar matrisi

UDLA ++= (2)

; ;

11 12 13 1N

21 22 23 2N

31 32 33 3N

N1 N 2 N 3 NN

0 0 0 0 a 0 0 0 0 a a aa 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a a

L a a 0 0 D 0 0 a 0 U 0 0 0 a

a a a 0 0 0 0 a 0 0 0 0

= = =

şeklinde üç matrisin toplamı olmak üzere

L X D X U X B⋅ + ⋅ + ⋅ = → [ ]XUXLBDX 1 ⋅−⋅−⋅= − (3)

şekline getirilebilir.

Bu durumda xi bilinmeyenleri için uygun seçilecek başlangıç değerleri (3) eşitliğinde kullanılarak yeni xi değerleri hesaplanabileceği ve bu işlemlerin iteratif olarak devam ettirilebileceği görülmektedir. Jacobi basit iterasyon yöntemi olarak bilinen bu yöntemin herhangi bir iterasyon adımı için kapalı formda

[ ])()()( kk11k XUXLBDX ⋅−⋅−⋅= −+ (4)



25

veya açık biçimde

−

−

⋅=

−

+

+

+

+

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

kN

k

k

k

N

N

N

kN

k

k

k

NNNNkN

k

k

k

x

xxx

aaaaaa

x

xxx

aaa

aaa

b

bbb

D

x

xxx

3

2

1

3

223

11312

3

2

1

321

3231

21

3

2

1

1

1

13

12

11

0000

00000

0

0

000000000

(5)

yazılabilir. D diyagonal matrisinin tersinin

=→

= −

NN

33

22

11

1

NN

33

22

11

a1000

0a10000a10000a1

D

a000

0a0000a0000a

D

/

//

/

Şeklinde olacağı gösterilebilir. Bu durumda (5) matris eşitliğinin herhangi bir i ‘inci satırı için

Nia

xaxabx

ii

N

ij

kjij

kj

i

jiji

ki ,....,;

)()(

)( 211

1

11 =⋅−⋅−

=∑∑

+=

−

=+ (6)

yazılarak iterasyon algoritması açık biçimde elde edilebilir.

1.3.6- Gauss-Sidel iterasyon yöntemi

Jacobi yöntemi çabuk yakınsamayan bir yöntemdir. Yöntemin yakınsamasını hızlandırmak için her iterasyon adımında bir önceki çözümle yeni bulunan çözümlerin

[ ])()()( k1k11k XUXLBDX ⋅−⋅−⋅= +−+ (7)

−

−

⋅=

+

+

+

+

−

+

+

+

+

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

kN

k

k

k

N

N

N

kN

k

k

k

NNNNkN

k

k

k

x

xxx

aaaaaa

x

xxx

aaa

aaa

b

bbb

D

x

xxx

3

2

1

3

223

11312

1

13

12

11

321

3231

21

3

2

1

1

1

13

12

11

0000

00000

0

0

000000000

(8)

Nia

xaxabx

ii

N

ij

kjij

kj

i

jiji

ki ,....,;

)()(

)( 211

11

11 =⋅−⋅−

=∑∑

+=

+−

=+ (9)

şeklindeki bir kombinasyonundan yararlanmak mümkündür.

Görüldüğü gibi iterasyonun herhangi bir k’ıncı adımında X bilinmeyenler vektörünün i ’inci elemanı, xi, hesaplanırken X ‘in bu iterasyon adımında hesaplanmış olan ilk (i-1) elemanı ile bir önceki iterasyon adımında hesaplanmış olan (i+1) ‘inci ve daha sonraki elemanları kullanılmaktadır.



26

1.3.7- Ardarda aşırı gevşetme (Successive over-relaxation) yöntemi

Gauss-Sidel iterasyon ifadesi, aynı terimin

( )( ) ( ) ( ) ( ) ; , ,....k kii

i 1 Nk 1 k 1 ki i ij j ij i ii ij

j 1 j i 1ii

1x b a x a a x ax i 1 2 Na

x−

+ +

= = +

= − ⋅ − ⋅ − = ⋅ + ⋅

∑ ∑ (10)

şeklinde bir defa ilave edilip bir defa da çıkartılması sonucunda

N21ixaxaba1xx

N

ij

kjij

1kj

1i

1jiji

ii

ki

1ki ,....,;)()()()( =

⋅−⋅−+= ∑∑

=

+−

=

+ (11)

şeklinde düzenlenebilir. Buradaki

NixaxabN

ij

kjij

kj

i

jij

ki ,....,;)()()( 211

1

1

=⋅−⋅= ∑∑=

+−

=

(12)

büyüklüğü, dikkat edilirse aslında k ’ıncı iterasyon adımında bulunan çözüm vektörünün katsayılar matrisi ile çarpımı olup, tam çözümün elde edilmesi halinde bu büyüklüğün bi ye eşit olacağı açıktır. Ancak iterasyon sırasında çözümler tam çözümden farklı olacağından bu büyüklük de denklem sisteminin sağ taraf vektöründen farklı olacaktır. Aradaki fark

Nibbr kii

ki ,....,;)()( 21=−= (13)

“kalıntı (residus)” olarak adlandırılır. Buna göre (11) bağıntısının sağındaki ikinci terim kalıntı terimi olup, bir önceki iterasyon adımında elde edilmiş çözümlere ilave edilen bir düzeltme terimi gibi yorumlanabilir:

Nixx ki

ki

ki ,....,;)()()( 211 =+=+ δ (14)

N21ixaxaba1

ar N

ij

kjij

1kj

1i

1jiji

iiii

kik

i ,....,;)()()(

)( =

⋅−⋅−== ∑∑

=

+−

=

δ (15)

Şimdi bu düzeltme terimi bir ω büyüklüğü ile çarpılarak etkisi azaltılabilir veya çoğaltılabilir.

Nixx ki

ki

ki ,....,;)()()( 211 =⋅+=+ δω (16)

N21ixaxaba1xx

N

ij

kjij

1kj

1i

1jiji

ii

ki

1ki ,....,;)()()()( =

⋅−⋅−⋅+= ∑∑

=

+−

=

+ ω (17)

Veya yeni bir düzenleme ile

N21ixaxaxaba1xx k

iii

N

1ij

kjij

1kj

1i

1jiji

ii

ki

1ki ,....,;)()()()()( =

⋅−⋅−⋅−⋅+= ∑∑

+=

+−

=

+ ω (18)

N21ixxaxaba1xx k

i

N

1ij

kjij

1kj

1i

1jiji

ii

ki

1ki ,....,;)()()()()( =

−

⋅−⋅−⋅+= ∑∑

+=

+−

=

+ ω (19)

N21ix1xaxaba1x k

i

N

1ij

kjij

1kj

1i

1jiji

ii

1ki ,....,;)( )()()()( =−+

⋅−⋅−⋅= ∑∑

+=

+−

=

+ ωω (20)



27

şekline getirilebilir.

Bu son ifade, görüldüğü gibi, herhangi bir iterasyon adımında Gauss-Sidel şemasıyla bulunan değerler ile bir önceki iterasyon adımında bulunan değerlerin kontrol edilebilen bir ağırlık oranında kombinasyonunu vermektedir. Buradaki ω gevşetme faktörü olup bu yöntem

0 < ω < 1 için ardarda az gevşetme (Successive under relaxation)

1 < ω < 2 için ardarda aşırı gevşetme (Successive over relaxation)

yöntemi olarak anılır.

1.4 Matris tersinin sayısal hesabı

Matrislerde bölme gibi bir işlem olmayıp, bu işlem matrisin tersi kullanılarak gerçekleştirilir.

B/A=C ⇒ B⋅A-1=C

Bu işlem aynı zamanda lineer denklem takımlarının çözümlenmesinde de kullanılabilir.

A⋅X=B ⇒ A-1A⋅X=A-1 B ⇒ X=A-1 B

Bir matrisin tersi eliminasyon yöntemleriyle lineer denklem takımlarının çözülmesine benzer şekilde gerçekleştirilebilir. Bir A matrisinin tersinin bulunması aslında

A A-1=In

Şeklinde, sağ taraf vektörü birden fazla olan bir denklem sisteminin çözülmesine eşdeğerdir.

Buna göre katsayılar matrisinin sağ tarafına ilave sütunlarla bir birim matris ilave edilerek Gauss-eliminasyon yönytemiyle veya Gauss-Jordan eliminasyon yöntemiyle matrisin tersini elde etmek mümkündür. Daha önce izah edilen işlemlerden sonra birim matris ters matrise dönüşecektir.

Örnek:

Katsayılar matrisi

−

201103211

Genişletilmiş matris

−

100010001

201103211

Gauss-Jordan eliminasyon yöntemiyle

−−

−

5351011151520

100010001

//

//

Documents

LİNEER CEBİR