Limits

Xavier Rabasa Arévalo http://www.xtec.net/~jrabasa

Límits de funcions

1

LIMITS DE FUNCIONS

1. CÀLCUL DE LÍMITS NIVELL1

1.1 LÍMITS DETERMINATS

1.2. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ±∞=0k

1.3. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS 00

1.4. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞∞

1.5. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞ -∞ 1.6. LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞1

1.7. LÍMITS VARIATS 2. CÀLCUL DE LÍMITS NIVELL2 3. ASÍMPTOTES

NIVELL 1.

LÍMITS DETERMINATS Comproveu: 1.1.1.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

2x-3

0xlim = 3/2

1.1.2.

2x-x 1x

2

→lim = -1

1.1.3.

3-2xx+1

3x →lim = 4/3

1.1.4.

x-2x+3 -1x

2

→lim = 0

1.1


2

1.1.5.

x + 3 +x

3

1lim→

=4

1.1.6.

32+x-x

x

2

0lim→

= 2/3

RAONAMENT

32+x-x

x

2

0lim→ 3

23

20→

+→

1.1.7.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−→ x-

3x+x-

x

24

1lim = 1/3

1.1.8.

)x-(1 x

2

0lim→

=1

1.1.9.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

2x-3

xlim = -∞

1.1.10. 2x-x

xlim 2

∞→= ∞

1.1.11.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

4-3x1+3x

xx

5+x2

2lim =(7/2)9/2

1.1.12.

x1-x 22

3)+(4x x1+x4

x 2lim→

=(17/22)4

RAONAMENT

x1-x

2

2

3)+(4x x1+x4

x 2lim→

4

4/1

2217

2217

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→→

1.1.13.

x + 3 +x

3

∞→lim =∞

1.1.14.

32+x-x

x

2

1lim→

=2/3

1.1.15. 2

0lim

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ x-

3x+x-

x

24 = 0

1.1.16.

)x-(1 +x

2

∞→lim =∞

1.1.17.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

3+x1+x 1+x

1-x2

xLí

1m =1

1.1.18.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

23x4+3x

7+x

xLí 4

0m =27

RAONAMENT


Límits de funcions

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

23x4+3x

7+x

xLí 4

0m

77

224

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→

1.1.19.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

3+x2-x

1+2x

xLí

3m =(1/6)7

1.1.20.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

12x2+2x

2-xx+x2

x

Lím

0=1

1.1.21.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→

x-x21-2x+x2

1-x2x

x 2

lim =(7/2)4

1.1.22.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

2-x1+x

x 2

24

2lim =25/4

1.1.23. x

4x1+4x

x 2lim→

=(9/8)1/2

1.1.24.

x1+x

1-x231+2x-x23

x 1lim→

=1

RAONAMENT

x1+x

1-x231+2x-x23

x 1lim→

122→→

LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ±∞=0k Comproveu:

1.2.1.

x-1x

1x 2-→lim = ∞

1.2.2.

x-1x

1x 2+→lim = -∞

1.2.3. 1.2.4.

1.2


4

xx

x 2-

430

lim +→

= ∞

x

x x 2+

430

lim +→

= ∞

1.2.5.

xxx

x - ++

→ 3

430

lim = -∞

1.2.6.

xxx

x ++

→ + 3

430

lim = ∞

RAONAMENT

xxx

x ++

→ + 3

430

lim+∞→

+→

04

LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS 00 Comproveu:

1.3.1.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−

→ 2(2)1(

2)1(2)1(

1 xx

xxLím

x=4/3

1.3.2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−

+→ )2(2)1(

2)1()1(

1 xx

xxLím

x=∞

1.3.3.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−

→ 2()1(

2)1(2)1(

1 xx

xxLím

x=0

1.3.4.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−

−→ )1(2)1(

2)1(2)1(

1 xx

xxLím

x=0

1.3.5.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

++

−→ 2)2(2)1(

2)1(2)2(

2 xx

xxLím

x=1/9

1.3.6.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

→ )2(2

2)1(22

0 xx

xxLím

x=1

RAONAMENT

1.3


Límits de funcions

5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

→ )2(2

2)1(22

0 xx

xxLím

x→ 1

22

2)1(2 2

→→++

xx

1.3.7.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+

+−→ )2(3)1(

22)1(

1 xx

xxLím

x=∞

1.3.8.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++−

−→ )2)(1(

2)1(2)1(

1 xxxx

Límx

=0

1.3.9.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

−→ 22

2

1 xxxx

Límx

=1/3

1.3.10.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+−

→ 432123

1 xx

xxxLím

x=2/5

1.3.11.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−

+−

→ 123

223

1 xxx

xxxLím

x=1/2

1.3.12.

2/1

22

2

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−

→ xx

xxLím

x=

31

RAONAMENT 2/1

22

2

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−

→ xx

xxLím

x 31

31

2

2/12/1

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+→

xx

1.3.13.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+−

→ 12122

1 x

xxLím

x=0

1.3.14.

12

2

32

1−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→x

xxx

Límx

=32

1.3.15.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

→ xx

xxLím

x 2

2

0=-1

1.3.16.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+−

→ xx

xxxLím

x 32

23

0=1/3

1.3.17. 1.3.18.


6

2/1

242

0 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

→ xx

xxLím

x =2 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−→2

22

0 x

xxLím

x=∞

RAONAMENT

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−→2

22

0 x

xxLím

x+∞→

−−

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→022

xx

1.3.19.

1-x1-x

1x

2

→lim =2

1.3.20.

x+xx+x

0x 2

3

→lim =1

1.3.21.

4-x2-x

2x 2→lim =1/4

1.3.22.

3-x6+5x-x

3x

2

→lim =1

1.3.23.

2+3x+x2+x

-2x 2→lim =-1

1.3.24.

4-x16-x

2x 2

4

→lim =8

RAONAMENT

4-x16-x

2x 2

4

→lim

84)4(

)4)(4( 2

2

22

→+→−

+−→ x

xxx

LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞∞

Comproveu:

1.4.1.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−

−∞→ )2(2)1(

2)1(2)1(

xx

xxLím

x=-∞

1.4.2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−

∞→ )2(2)1(

2)1()1(

xx

xxLím

x=1

1.4


Límits de funcions

7

1.4.3.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−

−∞→ 2()1(

2)1(2)1(

xx

xxLím

x=∞

1.4.4.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+−

∞→ )1(2)1(

2)1(2)1(

xx

xxLím

x=∞

1.4.5.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

++

−∞→ 2)2(2)1(

2)1(2)2(

xx

xxLím

x=1

1.4.6.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

∞→ )2(2

2)1(22

xx

xxLím

x=∞

RAONAMENT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

∞→ )2(2

2)1(22

xx

xxLím

x+∞→→→ x

xx 22

3

4

1.4.7.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+

−∞→ )2(3)1(

22)1(

xx

xxLím

x=1

1.4.8.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++−

∞→ )2)(1(

2)1(2)1(xxxx

Límx

=∞

1.4.9,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

−

−∞→ 22

2

xxxx

Límx

=1

1.4.10.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+−

∞→ 432123

xx

xxxLím

x=∞

1.4.11.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−

+−−∞→ 1

223

23

xxxxxx

Límx

=1

1.4.12. 2/1

2

2

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

−

∞→ xxxx

Límx

=1

RAONAMENT

2/1

2

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

∞→ xxxx

Límx

11 2/1

2/1

2

2

→→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→

xx


8

1.4.13.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−

−∞→ 112

2

2

xxx

Límx

=1

1.4.14. 12

2

32 −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

xxx

xLím

x=∞

1.4.15.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

−∞→ xxxx

Límx

2

2

=1

1.4.16.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−∞→ xx

xxxLímx 32

23

=∞

1.4.17.

2/1

2

2 4⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

−∞→ xxxx

Límx

=1

1.4.18.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

∞→2

2 2x

xxLím

x=1

RAONAMENT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→2

2 2x

xxLím

x=1 1

2

2

→→xx

LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞−∞ Comproveu: 1.5.1

( ) x xx x

Lí2254

m2 ++−

−∞→=5/4

1.5.2

( ) x xx xLí

2259m

2 −+−∞→

=∞

1.5.3

( ) x xx xLí

3254m

2 −+−∞→

= -∞ 1.5.4

( ) x xx xLí

2254m

2 −+−∞→

=-

5/4 RAONAMENT

1.5


Límits de funcions

9

( ) x xx xLí

2254m

2 −+−∞→

45

45

225

2254)2()254(

2

22 −→

−→

+−

→++−

−+−→

xx

xxx

xxxxxx

1.5.5

( ) x xx xLí

13259m

2 +−+−∞→

= 1/6 1.5.6

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−+

→ +

xxx

xLí

15

143

1m

2= -∞

1.5.7

( ) xx xx xLí

354254m

22 −+−+−∞→

=-5/2

1.5.8

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−→ +

xxx

xLí

31

93

3m

2= ∞

RAONAMENT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−→ +

xxx

xLí

31

93

3m

2+∞→

+→

+−+−

→0

3)3)(3(

)3(3xx

xx

LÍMITS INDETERMINATS DEL TIPUS ∞±1 Comproveu: 1.6.1.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

3+x1+x

x1+x1-x2

lim = e-2

1.6.2.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

2-3x4+3x

x

7+x4lim = e8

1.6.3.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

3+x2-x

x

1+2xlim = e-10

1.6.4.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1-x2+x

x 2

2 32+x

lim =1

1.6.5. 1.6.6.

1.6


10

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1-2x2+2x

x2-xx+x2

lim = e3/2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

20x-x1-2x+x

x 2

2 1-x2x2

lim = e44

RAONAMENT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

20x-x1-2x+x

x 2

2 1-x2x 2

lim 4444

)20()122(

12

3

3

2

2

1 eee xx

xxx

xx

→→→→ −−

−∞

1.6.7.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

2-x1+x

x 2

2x

lim = 1

1.6.8. x

4x1+4x

x1lim

∞→= e1/4

1.6.9. 2

limx

1+x

2

2

1-x31+2x-x3

x ∞→= e -2/3

1.6.10.

x1-x 22

3)+(4x x1+x4

x ∞→lim = e-3/4

1.6.11.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

4-3x1+3x

xx+5x2

lim = e5/3

1.6.12.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1-x4+3x + 1

x 2

2+xlim = e3

RAONAMENT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1-x4+3x + 1

x 2

2+xlim3

3143·

12

2

2

21 eee xx

xxx

→→→→ −++

∞

1.6.13.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

2+x1-x

x 2

2 xlim = 1

1.6.14.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

2-xx-x

x 2

2 1+xlim = 1/e

1.6.15.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1+x2-x

x

1+xlim = e-3

1.6.16.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1+x32x-x3

x 2

2 15xlim =e1

1.6.17.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

−

3x-x2+x

x 2

2 xx 22

lim = e3

1.6.18.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

x-x1+x

x 2

2x

lim = e

RAONAMENT


Límits de funcions

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

x-x1+x

x 2

2x

limeeee x

xxx

xx

=→→→→ −+

∞ 21

21·

2 2

2

21

LÍMITS VARIATS: Comproveu: 1.7.1.

5+2x1+3x-x2

2x

2

→lim = 1/3

1.7.2.

x-32x-x

3x 2

2

→lim = - 1/2

1.7.3.

2-3xx4-2x

1x

2

→lim = -2

1.7.4.

x 4 - 3x

3-2x 3x →

lim = - 35/3

1.7.5.

1+3x1+x-x

1x

2

→lim = 1/4

1.7.6.

1+3x1+2x-x

0x

3

→lim =1

RAONAMENT

1+3x1+2x-x

0x

3

→lim

111=→

1.7.7.

1-x1+x - 2+3x-x

3x 2

22

→lim = 3/4

1.7.8.

1-3x-x1+2x-x3

-1x 2

2

→lim = 2

1.7.9.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

2+x1-x

x 2

2 xlim = 1

1.7.10.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

2-xx-x

x 2

2 1+xlim = 1/e

1.7.11.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1+x2-x

x

1+xlim = e3

1.7.12.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1+x32x-x3

x 2

2 15xlim = e-10

1.7


12

RAONAMENT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1+x32x-x3

x 2

2 15xlim 10330

13)12(

115

2

2

21 −−

+−−

∞ →→→→ eee xx

xxx

1.7.13.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

3x-x2+x

x 2

2 x1

lim = 1

1.7.14.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

x-x1+x

x 2

2x

lim = e

1.7.15.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

1-x1+x

x

2-xlim =e

1.7.16.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1-x2x - 1

x 2

x32lim = 1

1.7.17.

3x-x - 2+x x

22

∞→lim = 3/2

1.7.18.

1-x - 2+x x ∞→

lim = 0

RAONAMENT

1-x - 2+x x ∞→

lim033

12)1()2(

→∞

→+

→−++−−+

→xxxx

xx

1.7.19.

2-x1 -

1+x1

x ∞→lim = 0

1.7.20.

2x+x 1x

2

→lim = 3

1.7.21.

3x+x1+x

x 2

2

∞→lim = 1

1.7.22.

1-x1-x

1x

2

→lim = 2

1.7.23.

x1+x

0x →lim = ∞

1.7.24.

2-x2-x

2x →lim = 2 /4

RAONAMENT

2-x2-x

2x →lim

42

221

21

=→+

→x


Límits de funcions

13

1.7.25.

1+2xx

0x →lim = 0

1.7.26.

2xx

0x →lim = ∞

1.7.27.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

1-x2+x

x3x

lim = e

1.7.28.

)1+(x 0x

x2

→lim = e2

1.7.29.

)x+(2 -1x

1+xx

→lim = 1/e

1.7.30.

x 1x

1-x1-x

2

→lim = 1

RAONAMENT

x 1x

1-x1-x

2

→lim

1121

11

=→→ +xx

1.7.31.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

21-x

3x3-x

3lim = e3/2

1.7.32.

)x+(1 0x

1/x

→lim = e

1.7.33.

x-22-x

2x →lim = - ∞

1.7.34.

)5-(2x 3x

9-x6-2x

2

→lim = 1

1.7.35.

)x+(2 -1x

2-x2x+x

2

2

→lim = 1

1.7.36.

)(x x

x2

10

lim+

→ = e2

RAONAMENT

)(x x

x2

10

lim+

→21

2

1 eex

x →→→ ∞

1.7.37.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

x31+x

x 2

2 1+xx2

lim = 0

1.7.38.

x-x-x2x - x+x

x 23

3

∞→lim = -1


14

11.7.39.

2+x2

2 x

x+21-x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→lim = 1

1.7.40.

3x+x - x1

x 2∞→lim = - 2/3

1.7.41.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→

21+x

x1+2x-x

1+x2lim = 1

1.7.42.

1-x1 - x

1x 2→lim = 1/4

RAONAMENT

1-x1 - x

1x 2→lim

41

)1)(1(1

→++

→xx

1.7.43.

3+x2+x -

1+x1-x

x 2

2

∞→lim = 0

1.7.44.

9-x3-x

3x 2→lim = ∞

1.7.45.

x+xx-x

0x 2

3

→lim = 1

1.7.46.

1+xx + x+x . 1)+(x

x 2

22

∞→lim = 2

NIVELL 2.

Comproveu: 2.1.

0 = ex

x x

3

∞→lim

2.2.

ππ 4- = x)2

tg( 1)-x( 1x

2+→

lim

2.3.

21- =

1)+(x1 -

x1

0x lnlim→

2.4.

0 = x cotg

x 0x

lnlim→

2.5.-

1 = x

1 - e 0x

x

→lim

2.6.

61 =

x 3x - 1

0x 2

coslim→

2


Límits de funcions

15

2.7.

0 = x1 - x

0xcosec

lim→

2.8.

1- = 2 + 3x - x

1) - sin(x 1x 2→

lim

2.9.

1 = 1 + secx

3 - tgx /2x π→

lim

2.10.

31 =

9-x12 -

3-x2

3x 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→lim

2.11.

61 =

xe - e

0x 3

senxx

→lim

2.12.

1 = )(sinx /2x

tgx

π→lim

2.13.

1 = )3 + 2x - x( x

x1

3

∞→lim

2.14.

e = )cosx 2 + (1 2

x2cosx

1

π→

lim

2.15.

35 =

5x tg3x tg

/2x π→lim

2.16.

2 = sinx- x

2x - e - e 0x

-xx

→lim

2.17.

1 = )(sinx 0x

x

→lim

2.18.

0 = x) . x (tg 0x +

lnlim→

2.19.

e = 2x - x1 + x

x2

2

2 2 + x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→lim

2.20.

0 = sinx

1 - x1

0x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→lim

2.21.

0 =] )x ( x [ 0x

n

+ln

lim→

2.22.

1 = 1 + x

x x 2

4lnlim∞→

2.23.

e = )cosx + (sinx 0x

cotgx

→lim

2.24.

1 = x

x + 1 x x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→ln

lim

2.25.

0 = xx

xlnlim

∞→

2.26.

21 =

)1 - e(cosx - 1

0x 2x→lim


16

2.27.

0 = x

x x

lnlim∞→

2.28.

5 = 1) - 5( x x

x1

lnlim

∞→

2.29.

1 = x 0xx

→lim

2.30.

e1 = x 1x

x - 11

→lim

2.31.

21 =

lnx1 -

1 - xx

1x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→lim

2.32.

0 = (tgx) cosx /2x

lnlimπ→

2.33

e1 = tgx

/4x2x

1cos

limπ→

2.34.

0 = lnx x 0x

2+→

lim

2.35.- 1 = )1 + x( x

x1

2

∞→lim 2.36.- ∞

∞→ =

x3

x 3

xlim

2.37.

31- =

xx sin- x x

0x 3

coslim→

2.38.

( ) 1 = x x

x1

lnlim

∞→

2.39.

e = x5 + 1

x35

7x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→lim

2.40.

0 = 1)-(x 1)-(x 1x +

lnlim→

2.41.

1 = )x ( x

x12ln

lim∞→

2.42.-

65- =

x31 - x 2 - x

0x 2

2coslim→

2.43.-31 =

x sin-x tgx sin-x

0x →lim 2.44.

21 =

x sin+xx

0x →lim

2.45.

4 = )x -(1

x sinx 0x 2

3

coslim→

2.46.

1 = x tgx sin

0x →lim

2.47.

0 = x tg x 0x

lnlim→

2.48.

0 = xx

x 3

lnlim∞→


Límits de funcions

17

2.49.

31 =

x1 -

xsin1

0x 22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→lim

2.50.

a = xa sinx

x ∞→lim

3. ASÍMPTOTES

Trobeu les asímptotes de les funcions: a)

1-xx 3 = (x) f b)

2+x3-x = (x) f c)

x-34 = (x) f

d)1+x

1 = (x) f2

e)x-x

2x = (x) f2

f))2+(x

x- = (x) f 2

RAONAMENT

⎩⎨⎧

=−=

⇒⎩⎨⎧

→±∞→∞→−→

⇒..0..2

02

HAyVAx

yxyx

)2+(xx- = (x) f 2

Sol: a) x=1, y=3 b) x=-2, y=1 c) x=3, y=0 d) y=0 e) x=1, y=0 f) x=-2, y=0

Trobeu les asímptotes inclinades de les següents funcions: a)

2+xx = (x) f

2

b)xx-2 = (x) f

2

c)2x

1-x3 = (x) f2

d)1-x

1-2x+x = (x) f2

e)x-x2-x2 = (x) f

2

3

f)1+x

3+x2- = (x) f2

3.2

3.1


18

RAONAMENT

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−→−

→=

⇒→

++

→+→− 21322)lim(

)lim( 222

2

xxx

1+x3+x2-mxf

xf

2n

xxm

1+x3+x2- = (x) f

2

y= -2 x + 2 Sol a) y= x -2 b) y = -x c) y=3x/2 d) y=x+3 e)y=2x+2 f) -2x+2

Trobeu les asímptotes de les següents funcions: a)

3+2xx+1 = (x) f b)

4-x1+3x = (x) f c)

1+x3-x = (x) f

2

d)3+x+x

x 2 = (x) f2

2

e)1-x

x = (x) f2

f)1-x

x2 = (x) f2

RAONAMENT

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→−

→−→−=

→→=

=

21

22)(

22

..

1..

2

2

xxx

1-xx2 mxflímn

xx

xflímm

OA

xVA

1-xx2 = (x) f

2

2

x = 1 y = 2 x + 2 Sol: a) x=-3/2, y=1/2 b) x=4, y=3 c) y=0 d) y=2 e) x=1, x=-1, y=0 f) x=1, y=2x+2

3.3


Límits de funcions

19

Trobeu les asímptotes de la funció: 1+x1-3x = (x) f .

Sol: y=3 , x=-1

Trobeu les asímptotes de : a)

x1+x2 =y

2

2

b)1-x2+x =y

2

c)4x-x

3+x2 =y 2

2

d))1-(x2+x =y 2

2

e)3-x

1+2x+x =y 2

f)x5 + 1 + x =y

RAONAMENT

f)⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=⇒→+→−=

→=1

151)(

1.. xy

xmxflímn

xflímm

OAx5 + 1 + x =y

Sol: a) x=0, y=2 b) x=1, y=x+1 c) x=0, x=4, y=2 d) x=1, y=1 e) x=3, y=x+5 f) x=0, y=x+1

3.5

3.4

Documents

Limits