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LIMITES Y CONTINUIDAD - UNIDAD III
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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
UNIDAD 3
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Estoy bien, estudio bien
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
LÍMITES Y CONTINUIDAD
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
A través del desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante identifique los
componentes necesarios de los límites, permitiendo así la fundamentación básica
indispensable para el entendimiento de los límites en la matemática.
OBJETIVOS – PROBLEMAS
El estudiante entenderá la definición tanto formar como informal de limite la cual
utilizara para resolver problemas que requieran su aplicación.
EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA
¿Cuál es el concepto de Límite?
¿Cuáles son las aplicaciones del límite?
¿Qué es Límite?
¿Qué es Continuidad?
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REFERENTES TEÓRICOS
Límite y continuidad
A veces en medio de una conversación ardua y amena llega a ésta la palabra límite, es
cuando nos preguntamos si en realidad conocemos el verdadero significado de esta
palabra, a pesar que se escuchan las frases como “estuviste al límite de perder el
vuelo”, “ tú has llegado al límite de mi paciencia”, “ El atleta llego al límite de su
resistencia” entre otras.
Para dar solución a estos interrogantes de dar el significado de esta palabra
comenzaremos definiendo algunos conceptos previos.
Sucesión
Una sucesión se define como una función , tal que
Ejemplo 1. La sucesión tiene como elementos los recíprocos de los números
enteros positivos
La sucesión para la cual
Tiene como elementos
Los elementos de las sucesiones (1) y (2) son los mismos, sin embargo, las sucesiones no
son iguales.
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Interpretación geométrica de límite
Daremos una idea intuitiva de límite de funciones mediante algunas graficas. Para ello
comenzaremos con una función particular:
Observe que esta función no está definida cuando ; esto es no existe. Sin
embargo, la función esta definida para cualquier otro número real. Se pueden investigar
los valores para los cuales esta función cuando se aproxima a 1, pero sin llegar a ser 1.
Podríamos preguntarnos ¿Por qué se desea considerar estos valores de función? Miremos
estos ejemplos
Ejemplo 2: el punto esta sobre la curva que tiene como ecuación
Sea otro punto sobre esta curva, diferente de P. cada una de las figuras
1 y 2 muestran una porción de la grafica de la ecuación y la recta secante que pasa por Q y
P, donde Q esta cerca de P. en la figura 1, las coordenadas de x de Q es menor que 1, y en
la figura 2 es mayor que 1. Suponga que es la pendiente de la recta P. Entonces
La cual es la ecuación . Además, son distintos. Conforme x se
aproximan cada vez mas a 1, los valores de se acercan cada vez más a numero que
se definirá como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.
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Ejemplo 3.Sea la función definida por
La grafica de se muestra en la figura siguiente. Excepto en , la función tiene los
mismos valores de la función definida por la ecuación . En consecuencia, como el
hecho de que no tiene nada que ver con lo que ocurre en , se
puede aplicar el siguiente argumento para la función , esto es dado existe un
tal que
De modo que . Note que por lo que para esta función, el límite
de la función y el valor de la función existe para , pero no son iguales.
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Definición formal de límite de una función real
Sea xf una función definida en cada numero de un intervalo abierto que contiene a a
excepto posiblemente en mismo valor a . El límite de xf , conforme x se aproxima
hacia a es L .lo que se escribe como el límite de xf cuando x tiende a a es L .
Simbólicamente se escribe Lxfax
lim , es decir, para todo , existe un ,
tal que si entonces
Existe una simbología especial para representar los acercamientos de x hacia a por la
izquierda y por la derecha. Así,
Lxfax
lim , se lee límite cuando x tiende a a por la izquierda de xf es L .
Lxfax
lim , se lee límite cuando x tiende a a por la derecha de xf es L .
Para hallar los límites por la izquierda o por la derecha de una función, se pueden usar las
mismas técnicas utilizadas para obtener los límites comunes.
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Nota
Si los límites laterales son iguales, entonces el límite de la función existe. Si los límites
laterales son diferentes, entonces, el límite de una función no existe. Esto es
LxfLxfaxax
limlim y Lxfax
lim
A continuación mostraremos algunas propiedades de los límites de una función real.
Propiedades de los límites de una función real
Si c es una constante y los límites xfax
lim y xgax
lim existen, entonces se cumplen las
siguientes propiedades:
1. El límite de una función es único. Esto es 1lim Lxfax
y 212lim LLLxfax
2. El límite de una constante es igual a la constante. ccax
lim
3. Si ,bmxxf con m y b constante. bmabmxxfaxax
limlim
4. El límite de una suma es igual a la suma de los límites.
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
5. El límite de un producto es igual al producto de los límites.
xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
6. El límite de un cociente es igual al cociente de los límites.
,
lim
limlim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
siempre que 0lim
xg
ax
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7. El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite de la
función:
nxfxf
n
ax
n
ax,limlim
8. El límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del límite de la
función.
nxfxf n
ax
n
ax,limlim , (si n es par, entonces, 0lim
xf
ax).
Límites infinitos
Si una función xf crece o decrece sin cota cuando x tiende a un valor a , entonces, se
dice que xfax
lim no existe.
Para notar que el límite de una función xf crece sin cota, cuando x tiende a un valor
a , se escribe
xfax
lim
De igual manera, si el límite de una función xf decrece sin cota, cuando x tiende a un
valor a , se escribe
xfax
lim
Límites en el infinito:
En los límites infinitos se presenta un caso especial, en la cual la función xf crece o
decrece sin cota.
Otro caso especial en el estudio de los límites se presenta cuando la variable x crece o
decrece sin cota. Teniendo en cuenta estas variaciones, se pueden plantear los siguientes
límites:
Lxfx
lim Lxfx
lim
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Estos límites se llaman límites en el infinito.
Cuando se calculan límites en el infinito se presentan dos casos:
a) Caso 1. límites de la forma 0lim nx x
k y 0lim
nx x
k siempre y cuando nx esté
definido.
b) Caso 2. Límites en el infinito de una función racional.
Los límites de funciones racionales para los cuales se presenta la indeterminación
reciben el nombre de límites en el infinito. Para calcular el límite de estas funciones, se
divide el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado.
A partir de este proceso se presentan tres casos:
xQ
xP
xlim , si el grado de xP es mayor que el grado de xQ .
0lim xQ
xP
x, si el grado de xP es menor que el grado de xQ .
n
m
xQ
xP
x
lim , si el grado de xP es igual al grado de xQ , siendo m y n los
coeficientes de los términos de mayor grado de xP y xQ , respectivamente.
Continuidad
Se dice que una funcion es continua en a si y solo si se satidafcen las siguientes
condiciones:
i. existe
ii. existe
iii.
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Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que esta
función es discontinua en a.
Una función xf es continua en un intervalo abierto ba, , si xf es continua en todos
los puntos del intervalo ba, .
Una función xf es continua en un intervalo cerrado ba, si:
1. xf es continua en el intervalo abierto ba,
2. bfxfyafxfbxax
limlim
Ejemplo 4. Sea f la función definida por
Verifiquemos su continuidad.
(i) , por la forma como está definida la función.
(ii)
(iii)
Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen, pero la condición (iii) no se cumple. Por lo tanto, la
función f es discontinua en 1.
Ejemplo 5. Sea f la función definida por
Veamos que está definida y además cumple con la definición de continuidad.
(i)
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Como esta función no satisface la condición (i), se dice que f es discontinua en 2. Con lo
cual la discontinuidad es esencial por que no existe.
Este caso se llama discontinuidad infinita.
Nota
La función
n es continua en el número si esta bien definida en algún intervalo abierto que
contenga a y si para cualquier existe tal que
Ejemplo 6. Determinar los números en los que la siguiente función es continua:
Solución: tomemos la función tal que y
Como h es una función polinomica, es continua en todo número real que tomemos. Pero
g es continua solo para cualquier valor real positivo, en consecuencia de esto f es continua
para cada valor x real, tal que , esto se da cuando , esto es .
Por tanto f es continua en el intervalo abierto (-3,3).
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD
- Taller de Ejercicios
- Evaluación Unidad.
RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE
Computador
Acceso a internet
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