Upload
genc-gashi
View
396
Download
13
Embed Size (px)
DESCRIPTION
FIEK
Citation preview
Lnda: Sinjalet dhe sistemetLiteratura1. Shnime t shtypura dhe transparencat e ligjratave.2. Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals
and Systems, Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill.3 Si l d S t Alan V Oppenheim 2nd ed
Ligj. 1 1
3. Signals and Systems, Alan V. Oppenheim, 2nd ed., 1996, Prentice Hall.
4. Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab, E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.
Sinjale&Sisteme
Sinjalet dhe sistemet(Konceptet themelore)
Ligj. 1 2
Sinjalet
Sinjale&Sisteme
1.1. Sinjalet dhe klasifikimi i tyre Sinjali prcjell informatn pr zhvillimin e nj dukurie. E shprehur matematikisht: sinjali sht funksion i nj apo m
shum variablve t pavarura.
Ligj. 1 3
N grafik sht treguar sinjali i tensionit n dalje t mikrofonit me rastin e shqiptimit t fjals sinjal.
Ky sht sinjal njdimensional, ku variabli i pavarur sht koha.Sinjale&Sisteme
Ligj. 1 4
Sinjali i formuar si funksion i t hirts t bashksis s pikave t fotografis n funksion t variablve hapsinor x dhe y.
Ky sht sinjal dydimensional, ku asnjra nga varablat nuk sht koh
Klasifikimi i par i sinjaleve: Sinjalet njdimensionale Sinjalet shumdimensionale
Sinjale&Sisteme
Klasifikimi i dyt i sinjaleve: Sinjalet e prcaktuara (deterministike) Sinjalet e rastit (stokastike)Sinjalet e prcaktuara Sinjalet e prcaktuara jan ato sinjale, vlera e t cilave sht e
njohur pr do vler t variablit t pavarur. Vlerat e sinjalit mund t shprehen me ndonj shprehje
matematikore, paraqitje grafike, apo me ndonj list tabelore.
Sinjalet e rastit
Ligj. 1 5
Sinjalet e rastit Te sinjalet e rastit vlerat e sinjalit n nj moment t caktuar
kohor nuk mund t dihet paraprakisht n mnyr t sigurt. Kto sinjale prshkruhen prmes funksioneve t shprndarjes
s gjass. Vetm sinjalet e rastit prcjellin informacion. Edhe pse n kt lnd do t trajtohen vetm sinjalet e
prcaktuara, ne do t supozojm se edhe kto prcjellininformacion.
Sinjale&Sisteme
Klasifikimi i tret i sinjaleve: Sinjalet e vazhduara Sinjalet diskreteSinjalet e vazhduara Sinjali i vazhduar (kontinual) x(t) sht funksion i variablit
t vazhduar t. Nse pos variablit t, edhe vlerat e sinjalit i prkasin numrave
real, ather ky sinjal quhet sinjal analog. Prndryshe, sinjali mund t jet i vazhduar n t, por diskret n
Ligj. 1 6
y , j j , pvlera. N kt rast vlerat e sinjalit i prkasin nj bashksie tnumrueshme, e jo asaj t numrave real.
Sinjalet diskrete Sinjali diskret x[n] prkufizohet vetm pr vlera diskrete t
kohs n, q do t thot se n merr vlera nga bashksia enumrave t plot.
Deri sa te sinjali i vazhduar koha ka njsi n sekonda, tesinjali diskret koha diskrete n sht numrator i termit tsinjalit dhe sht pa njsi.
Sinjale&Sisteme
Paraqitja grafike e sinjalit t vazhduar (a) dhe sinjalit diskret (b)Prfitimi i sinjalit diskret nga ai i vazhduar Sinjali diskret mund t prfitohet nga sinjali analog duke i
Ligj. 1 7
Sinjali diskret mund t prfitohet nga sinjali analog duke iveuar vlerat e ktij t fundit n intervale t njtrajtshmekohore.
Procesi i veimit t vlerave t sinjalit t vazhdueshm n astet caktuara kohore quhet mostrim (kampionim).
t0
xa(t)x[nT]
nTT 2T-T-2T
xa(t) x[nT]=x[n]
tn=nT
Mostruesi ideal
0t Sinjale&Sisteme
Intervali kohor T n t cilin merren mostrat nga sinjali analogxa(t) quhet period e mostrimit.
Vetm nj element i sinjalit diskret x[n], pr shembull x[-1],quhet mostr (kampion) i sinjalit.
Sinjali digjital N qoft se vlerat e sinjalit diskret kuantizohen duke marr
vlera nga nj bashksi e fundme e numrave ather sinjali itill i diskretizuar jo vetm n koh por edhe n vlera quhetsinjal digjital (shifror).
Ligj. 1 8
Sinjali pjes-pjes i vazhdueshm N qoft se sinjali i vazhduar ka hope (diskontinuitete) n
numr t numrueshm t pikave t kohs t, ather ai sinjalquhet pjs-pjes i vazhdueshm.
Sinjale&Sisteme
Klasifikimi i katrt i sinjaleve: Sinjalet shkaksore Sinjalet kundrshkaksore
Sinjali sht shkaksor (kauzal) n qoft se t gjitha vlerat e tijjan zero pr vlera negative t kohs t.
N t kundrtn, nse vlerat jo zero t sinjalit paraqiten vetmpr t
Ngjashm mund shnohet edhe pr sinjalin diskret
dhe s s as asx n x n x n x n do sinjal mund t zbrthehet n komponentin e vet ift dhe
tek. dhe s as s asx t x t x t x n x n x n
T vrtetohet!Klasifikimi i shtat i sinjaleve: Sinjalet periodike
Ligj. 1 11
Sinjalet periodike Sinjalet jo periodike (aperiodike) Sinjali i vazhduar x(t) sht periodik n qoft se mund t
gjendet s paku nj T, pr t cilin vlen x t x t T
Sinjali diskret x[n] sht periodik nse mund t gjendet spaku nj numr i plot N ashtu q t vlej
x n x n N Sinjale&Sisteme
Nse sinjali sht periodik pr nj T, apo N, ather ai shtperiodik edhe pr shumfishin e tyre.
Vlera m e vogl e T, apo N, quhet period themelore e sinjalitperiodik.
Nse sinjalit nuk mund ti caktohet perioda ather ai shtaperiodik.
Ligj. 1 12
Sinjali periodik mund t formohet nga sinjali aperiodik, duke eprsritur kt t fundit me shumfishet e periods themelorenga t dy ant e boshit kohor.
k
x t y t kT
Kjo mnyre e prfitimit t sinjalit periodik x(t) nga aiaperiodik y(t) quhet zgjatje periodike e sinjalit y(t).
Sinjale&Sisteme
Vlen edhe anasjella, sinjali aperiodik mund t prfitohet mecungim t sinjali periodik brenda nj periode
, 00, 0 dhe
x t t Ty t
t t T
Por gjithashtu, sinjali aperiodik mund t kuptohet si nj sinjalperiodik, prsritja periodike e t cilit shtyhet n pafundsi
lim limT T
y t x t y t kT
Ligj. 1 13
T T k Komentet e ngjashme vlejn edhe pr sinjale diskrete.
Sinjale&Sisteme
Klasifikimi i tet i sinjaleve: Sinjalet e energjis Sinjalet e fuqis Energjia (E) e sinjalit t vazhduar x(t) prkufizohet me formuln:
2E x t dt ndrsa fuqia e sinjalit (P) me relacionin:
21lim2
T
TTP x t dt
T
Ligj. 1 14
2 TT T
Pr sinjalet diskrete vlejn shprehjet:
2n
E x n
21lim 2 1
N
N n NP x n
N
N qoft se sinjali ka energji E t fundme ather ai hyn n klasne sinjaleve t energjis.
N rast se sinjali ka fuqi P t fundme ather ai i takon sinjalevet fuqis.
Sinjale&Sisteme
Disa komente lidhur me sinjalet e energjis dhe t fuqis Sinjalet e energjis kan fuqi zero, P=0. Sinjalet e fuqis kan energji t pafundme, E. Nuk mund t ndodh q sinjali t jet njherazi i energjis dhe i
fuqis. Ndrsa, mund t ndodh q nj sinjal t mos jet as i energjis, e
as i fuqis. Sinjalet periodike mund t jen vetm sinjale t fuqis. Fuqia e
tyre llogaritet brenda nj periode me shprehjet:
Ligj. 1 15
20
1 TP x t dtT
1 2
0
1 N
nP x n
N
ku T dhe N jan periodat themelore t sinjalit t vazhduar,prkatsisht e atij diskret.
Sinjale&Sisteme
1.2. Sinjalet e vazhduara themelorea. Sinjalet eksponenciale dhe sinusoidale Sinjali kompleks eksponencial, me zgjatje t pafundme nga t dy
ant prkufizohet me ,atx t Ae t
Ku konstantat A dhe a, n rastin e prgjithshm kan vlerakomplekse, A,a.
Nse t dy parametrat A dhe a marrin vlera reale ather sinjali
Ligj. 1 16
Nse t dy parametrat, A dhe a, marrin vlera reale, ather sinjalix(t) quhet eksponenciali real.
atx t Ae atx t Ae
Sinjale&Sisteme
Kur parametri a merr vler t pastr imagjinare, a=j0, nga sinjalieksponencial sajohet sinusoida komplekse.
0j tx t Ae Prkundr eksponencialit real i cili qartazi sht nj sinjal
aperiodik, sinusoida komplekse sht sinjal periodik. 00 0 0j t Tj t j t j TAe Ae Ae e
Ky barazim plotsohet pr0 2 21 , 1, 2, , , 1, 2,j T j ke e k T k k
Ligj. 1 17
0
1 , 1, 2, , , 1, 2,e e k T k k Pr k=1 fitohet vlera m e vogl e T prkatsisht perioda
themelore e sinjalit sinusoidal
0
2T Po t merret se edhe parametri A ka vler komplekse
jA A e Sinjale&Sisteme
Ather sinusoida komplekse zbrthehet n komponenttsinusoidal, real dhe imagjinar,
00 0 0cos sinj tj tAe A e A t j A t Sinjali real sinusoidal i prkufizuar me
0cosx t A t e trashgon periodicitetin e sinusoids komplekse T.
0cosx t A t 2T
Ligj. 1 18
0cosA
2T
Sinjale&Sisteme
Nse parametrin a ka vler komplekse0 0a j
ather eksponenciali kompleks merr trajtn
0 0 0 0 0 00 0cos sinj t t j t t tatx t Ae Ae Ae e Ae t jAe t 0 0costAe t 0 0costAe t
Ligj. 1 19
0tAe0tAe
Sinjale&Sisteme
b. Sinc funksioni Sinc (lexo sink) funksioni prfitohet si rezultat i integrimit t
sinusoids komplekse n domen t parametrit , n kufijt [-,] sin1 1 12 2j t j t j t te d e ejt t
sinsinc ,tx t t tt
Ligj. 1 20Sinjale&Sisteme
c. Sinjali shkall njsi
Prmes sinjalit shkall njsi mund t veohet pjesa shkaksore efardo sinjali
0, 01, 0
tu t
t
t0
u(t)
1a)
0, 0t
Ligj. 1 21
0, 0
, 0shkt
x t x t u tx t t
d. Sinjali puls drejtkndsh
1, / 20, / 2
tp t
t
Sinjale&Sisteme
d. Sinjali impulsi njsi Impulsi njsi ose delta impulsi, q shpesh quhet edhe impulsi i
Dirakut, sht njri ndr sinjalet m t rndsishme q prdorenn analizn e sinjaleve dhe t sistemeve.
Ky sinjal nuk i takon klass s funksioneve t zakonshme, sishumica e sinjaleve t tjera q kan zbatim t gjer.
1/ t
Ligj. 1 22
/ 2t / 2t
0t
/ 2/ 20 0
/ 2 / 21lim limt
tt t
X t X tx t t dt x t dt
t t
00
/ 2 / 2lim 0
tt
X t X t dX tx
t dt
Sinjale&Sisteme
Prkufizimi i (t) 0x t t dt x
Sinjali impuls njsi mund t prkufizohet vetm prmes integralit. Disa veti dhe relacione t rndsishme t delta impulsit
0x t t x t 0t t 0 0 0x t t t x t t t 0 0x t t t dt x t
t t
Ligj. 1 23
0 0 0x t t t x t t t 0 0 0 0x t t t dt x t 0 0 0x t t t x t t t
Sinjale&Sisteme
1.3. Sinjalet diskrete themelore
Vlerat reale t parametrave A dhe a.
Sinjalet eksponenciale dhe sinusoidale
,nx n Aa n , 1nx n Aa a , 0 1nx n Aa a
Ligj. 1 24Sinjale&Sisteme
n n
n
, 1nx n Aa a
n
, 1 0nx n Aa a
0 0 0 0cos sinj n njx n Ae A e e A n j n 0 0 dhe j ja e A A e
0 0 0 00 0cos sinj n n njx n A e e A e n j A e n /6 /10 cos /6n /10cos /6n
Vlera e parametrit a=exp(j0) .
Vlerat komplekse t parametrave A dhe a.
Ligj. 1 25
cos /6x n n
n n n
/ cos /6x n e n / cos /6x n e n
Sinjale&Sisteme
Sinjali shkall njsi
0, 01, 0
nu n
n
1, 0 10, pr t tjeraN
n Np n
n
Sinjali drejtkndsh
Sinjali impuls njsi
1, 00, 0
nn
n
Impulsi njsiShkall njsi Puls drejtkndsh
Ligj. 1 26
n0
u[n]
1 2-1-2 3 4 n0
pN[n]
1 2-1 N-2 N-1 N n0
[n]
1 2-1-2
1 1 1
Sinjale&Sisteme
Disa relacione me sinjalin impuls njsi
0x n n x n 1n u n u n
0mu n n m
nu n k
Ligj. 1 27
k
u n k
fardo sinjali mund t prshkruhet prmes [n].
nk
x n x k n k
Sinjale&Sisteme
Periodiciteti i sinjaleve sinusoidale
Sinjali i vazhduar sinusoidal sht periodik pr do vler t 0. 0j tx t e
0 0 01
j t T j t j Tx t T e e e x t
00
22T k T k Sinjali diskret sinusoidal nuk sht periodik pr do vler t 0.
Ligj. 1 28
j p p 0 0j nx n e
0 0 01
j n N j n j Nx n N e e e x n
00
22N k N k 0 (numr racional)
2kN
Sinjale&Sisteme
1x t Ax t
t0 t
Ax(t)
t
A>1
A
t0 t
x(t)
t
1
t0 t t
Ax(t)A
A0
Sinjale&Sisteme
Pasqyrimi n koh px t x t
x(t)(a)
Ligj. 1 30
x(t0-t)
0 t
0 t
(b)x(t+t0)
-t0 t-t0+
t0
0(c)
t0t0-
t0
Sinjale&Sisteme
Shkallzimi i boshtit kohor shx t x at
t0
x(t)
t
x(at)
t /a-t /a
a>1 a
Sinjalet dhe sistemet(Konceptet themelore)
Ligj. 2 1
Sistemet dhe vetit themelore t tyre
Sinjale&Sisteme
Sistemet dhe vetit e tyre Sistemi prbhet nga nj bashksi fizike apo
matematike e komponentve i cili n nj ngacmimhyrs prgjigjet me nj sinjal n dalje t tij.
Sistemet mund t jen: Me nj hyrje dhe nj dalje (SISO)
Ligj. 2 2
j y j j j ( )(nga Single Input Single Output)Me shum hyrje dhe shum dalje (MIMO)(nga Multiple Input Multiple Output)
N kt lnd do t trajtohen vetm sistemet SISO !
Sinjale&Sisteme
Prkufizim: Sistemi me nj hyrje dhe nj dalje prkufizohet matematikisht si nj pasqyrim, ku hyrjes x(t) i bashkngjitet dalja apo prgjigjja e sistemit y(t).
Sistemet e vazhduara x t y tSistemet diskrete x n y n
Ligj. 2 3
Mnyra operatorike e shnimit
dhey t S x t y n S x n Simboli grafik
Sistemi kontinual
Sx(t) y(t)
(a)
Sistemi diskret
Sx[n] y[n]
(b)
Sinjale&Sisteme
y I x x Ix y=x
(a) Lidhja serike
Nj sistem i veant Sistemi njsi (Identiteti)
Lidhja e sistemeve
Ligj. 2 4
S1
S2
+
(b)Lidhja paralele
x
x
x
1S x
2S x
1 2y S x S x
S2x 2 1y S S x 1S xS1
S1
S2
(c) Lidhja me riveprim
2x S y+x
2S y
1 2y S x S y -
Sinjale&Sisteme
2 1y S S x
2 1ey S x S S x 2 1eS S S
Lidhja serike
Interpretim: S1 vepron i pari n x, e pastaj S2 vepron n prgjigjen e sistemit t par, q rezulton me prgjigjen e prgjithshme y.
Sistemi ekuivalent
Ligj. 2 5
2 1 1 2S S S S
2 1 1 2S S S S
Vrejtje: N rastin e prgjithshm nuk vlen vetia e komutacionit
Pr sistemet q ne do ti analizojm (lineare dhe invariante n zhvendosje) vlen:
Sinjale&Sisteme
1 2 1 2 ey S x S x S S x S x 1 2 2 1eS S S S S
Lidhja paralele:
Lidhja me riveprim:
S S
Ligj. 2 6
1 2y S x S y Vrejtje: Kjo lidhje mbshtet parimin fundamental t funksionimit t sistemeve t rregullimit automatik.
Sinjale&Sisteme
Vetit e sistemeve1. Kujtesa
Nj sistem konsiderohet se nuk ka kujtes n qoft se dalja n nj moment t caktuar kohor varet vetm nga vlera e sinjalit hyrs n at moment, e jo nga vlerat e mparshme apo t ardhshme t sinjalit hyrs.Nse sistemi nuk e ka kt veti, ather ai sht me
Ligj. 2 7
Nse sistemi nuk e ka kt veti, ather ai sht me kujtes.
Sistemi me kujtes Sistem dinamikSistemi pa kujtes Sistem statik
Sistemet pa kujtes(statike)
22y n nx n x n 4y t x tSinjale&Sisteme
Sistemet me kujtes (dinamik)
1 ty t x dC
33 1y n nx n x n 1y n y n x n
Thellsia (rendi) e kujtess?
Ligj. 2 8
( ) j
Sinjale&Sisteme
2. Shkaksia (Kauzaliteti)
Sistemi sht shkaksor apo kauzal n qoft se dalja n kohn e aktuale varet vetm nga hyrja n kt koh dhe nga hyrja n kohn e mparshme, e jo edhe nga hyrja n kohn e ardhshme.
Sistemi shkaksor nuk ka aftsi pr ta parashikuar
Ligj. 2 9
Sistemi shkaksor nuk ka aftsi pr ta parashikuar t ardhmen.
1 2, , ,y t f x t x t t x t t , 1 , 2 ,y n f x n x n x n
Prgjigjja e sistemeve shkaksore mund t shprehet vetm n trajtn:
Sinjale&Sisteme
1y n x n x n 1y n x n x n
Sistem shkaksor:
Sistem joshkaksor:
Ligj. 2 10Sinjale&Sisteme
S-1x
Sistemi invers
S y=S[x]x=S-1{S[x]}
Sistemi invertibil
3. InvertibilitetiSistemi sht invertibil (i kthyeshm) n qoft se hyrjet e ndryshme shkaktojn dalje t ndryshme.
Ligj. 2 11
1 1 1,x S y S S x I x I S S
2y n S x n x n y t S x t a n
ky n S x n x k
Sisteme joinvertibile:
Sistem invertibil:Sinjale&Sisteme
0 0y t S x t y t t S x t t
4. Pandryshueshmria n koh (invarianca n zhvendosje)
Prkufizimi:
Sistemi sht i pandryshueshm n koh n qoft se ai n hyrjen e vonuar prgjigjet me dalje t vonuar pr t njjtn vones kohore.
Sistemi i vazhduar
Ligj. 2 12
y n S x n y n k S x n k Sistemi diskret
y t t x t 1y n S x n x n x n i pandryshueshm n koh (invariant n zhvendosje)
i ndryshueshm n koh (joinvariant n zhvendosje)
Sinjale&Sisteme
5. Lineariteti
Sistemi sht linear n qoft se ai sht homogjen dhe aditiv.Sistemi sht homogjen nse n hyrjen e shkallzuar me konstant ai prgjigjet me dalje t shkallzuar me t njjtin konstant t shkallzimit.
Ligj. 2 13
S ax aS xSistemi homogjen n hyrjen zero prgjigjet me dalje zero
0 0 0S x S x
Sinjale&Sisteme
1 2 1 2S x x S x S x
1 1 2 2 1 1 2 2S a x a x a S x a S x
Sistemi sht aditiv nse n shumn e hyrjeve prgjigjet me shumn e daljeve.
Pr t qen sistemi linear ai duhet t jet njkohsisht homogjen dhe aditiv.
Ligj. 2 14
Parimi i mbishtrimit mund t zgjerohet edhe pr numr arbitrar t hyrjeve.
Kjo shprehje prkufizon parimin e mbishtrimit (superpozicionimit) q sht veti e t gjitha sistemeve lineare.
k k k kk k
S a x a S x Sinjale&Sisteme
Sax S[ax]=aS[x] S+
x1
x2
x1+x2 S[x1+x2]=S[x1]+S[x2]
Sistemi homogjen Sistemi aditiv
a1x1a1x1+a2x2 S[a1x1+a2x2]=a1S[x1]+a2S[x2]
Ilustrimi grafik i parimit t mbishtrimit.
Ligj. 2 15
S+a1x1 a2x2 S[a1x1 a2x2] a1S[x1] a2S[x2]
Sistem homogjen dhe aditiv = Sistem linear
a2x2
y t S x t ax t y t S x t ax t b
Sistem linear:
Sistem jolinear:
Sinjale&Sisteme
6. StabilitetiN qoft se sistemi n hyrjen e kufizuar prgjigjet me dalje t kufizuar ather ai sht stabil.
Sistemi sht stabil nse pohimi vijues sht i sakt
x yx B y B ku Bx sht kufiri i sinjalit n hyrje, ndrsa By sht kufiri i sinjalit n dalje t sistemit.
Ligj. 2 16
Ky prkufizim i stabilitetit njihet me emrtimin BIBO (Bounded Input Bounded Output)
2y t S x t x t Sisteme stabile: x ny n S x n e Sisteme jostabile: ty t S x t e x t
n
ky n x k
Sinjale&Sisteme
Prshkrimi i sistemeve prmes ekuacioneve diferenciale ose
t diferencs
Modelet e sistemeve reale fizike d l
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 1
Modelet e sistemeve me natyra t tjera Diskretizimi i ekuacioneve diferenciale Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale dhe t
diferencs Vetit
Vendosja e varsis hyrje-dalje t sistemit prmes ekuacionevediferenciale/t diferencs
x(t) y(t)SSistemi kontinual
( ) ( )0 0
k kN M
k kk kk k
dy t dx ta b
dt dt=
Ekuacioni diferencial me koeficiente konstant
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 2
x[n] SSistemi diskret
y[n]
0 0k kdt dt= =
[ ] [ ]0 0
N M
k kk k
a y n k b x n k= =
= Ekuacioni i diferencs me
koeficiente konstant
N Rendi i sistemit; ak, bk-koeficientet e ekuacionit ose parametrat e sistemit. T dy ekuacionet paraqesin modele parametrike t sistemit!
Modelet e sistemeve reale fizike10 Qarqet elektrike
Elementet: Kondensatori (C) dhe induktiviteti (L) jan akumulator t energjis, ndrsa (R) sht shndrrues (shpenzues) i energjis
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 3
( ) ( )u t Ri t= ( ) ( )
( ) ( )
1 tu t i d
Cdu t
i t Cdt
=
=
( ) ( )( ) ( )1 t
di tu t L
dt
i t u dL
=
=
i(t)
u(t)
R
C
+
uc(t)=y(t)x(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 0 0
;
, 1, 1
dy tRi t y t x t i t C
dtdy t
RC y t x tdt
a RC a b
+ = =
+ =
= = =
Shembull:
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 4
Rendi i sistemit t siprm sht N=1, q tregon numrin e akumulueseve t pavarur t energjis n nj qark elektrik.
20 Sistemet mekanike me lvizje drejtvizore
Elementet: Masa dhe susta jan akumulator t energjis, ndrsa shuarsi sht
( ) ( )1 2c c cF k y y k y t= = ( ) ( )1 2d d dd y y dy tF k kd dt
= =
( )22i
d y tF m
dt=
( ) ( )cF t F t= ( ) ( )dF t F t= ( ) ( )iF t F t=
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 5
shndrrues i enrgjis.
Parametrat: m masa, kc koeficienti i ngurtsis s susts kd koeficienti i shuarjes.
Shnim: Ekuacionet q prshkruajn sistemet mekanike shtrohen n baz t ligjitmbi ruajtjen e impulsit apo t energjis. Ky parim reduktohet n ligjin Newton-it:Forcs s veprimit i kundrshton forca e kundrveprimit.
Shembull: Sistemi i amortizimit t automobilit
Sistemi prbhet nga susta dhe shuarsi (amortizatori). Pr shkak t simetris, e tr makina sht reduktuar n e saj.y(t) - dridhjet e automjetitx(t)- valzimet e rrugs.
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 6
i c dmg F F F= + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 c ddy t dy t dx t
mg m k y t x t kdt dt dt
= + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 c d cdy t dy t dx t
m k y t k k x t mgdt dt dt
+ + = + +
Rendi i sistemit?
Sistemet me natyra t tjeraShembull: Kredia bankare (Financa)
n Numri i muajit rrjedhs s kredisI Interesi vjetorx[n] Ksti mujor i kthimit t kredisy[n] Bilanci i huas (kredis) n muajin e n-t
[ ] [ ] [ ] [ ]1 112Iy n y n y n x n= +
Bilanci paraprak
Shtesa e huas pr nj muaj
[ ] [ ] [ ]1 1Iy n y n x n + [ ] [ ] [ ]1y n ay n x n=
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 7
[ ] [ ] [ ]1 112
a
Iy n y n x n + = [ ] [ ] [ ]1y n ay n x n=
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ] ( )
2
2 3 2
1 0 1
2 1 2
3 2 3
y ay x aK R
y ay x a aK R R a K aR R
y ay x a a K aR R R a K a R aR R
= =
= = =
= = =
[ ]1
, 1n
n n k
ky n Ka R a n
=
=
Zgjidhja me rekursion:
Zgjidhja e prgjithshme:
Diskretizimi i ekuacioneve diferenciale
y(t)
T
y[n]y[n+1]
Mnyra m e thjesht e shndrrimit sht ajo sipas prafrimit t Euler-it.
( ) ( ) ( )t nT
dy t y nT T y nTdt T
=
+ =
( ) [ ] ( ) [ ]; 1y nT y n y nT T y n + +
1y n y ndy t
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 8
tnT+TnTHapi i mostrimit
( ) [ ] [ ]1t nT
y n y ndy tdt T
=
+ =
( ) [ ] [ ] [ ]22 2
2 2 1
t nT
y n y n y nd y tdt T
=
+ + +=Derivati i dyt:
Shembull:
( ) ( ) ( ) ( )dy t dx tay t bx tdt dt
+ = + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1y n y n x n x nay n bx nT T
+ + + = +
Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale dhe t diferencs
o Zakonisht zgjidhja krkohet pr n0o Pr prcaktimin e zgjidhjes nevojitet edhe njohja e kushteve fillestare
Pr ekuacionin e rendit t N-t nevojiten N kushte fillestare
( ) ( ) ( ) ( )1 2
0, , , ,
N N
t
d y t d y t dy ty t
dt dt dt
Kushtet fillestare pr k i i dif i l
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 9
( ) 000 0
, , , ,t
tt t
y tdt dt dt =
== =
( ) ( ) [ ] [ ]1 , 2 , , 1 , 0y N y N y y
ekuacionin diferencial
Kushtet fillestare pr ekuacionin e diferencs
Zgjidhja e ekuacioneve shtrohet si shum e dy komponentve:
( ) ( ) ( ) , 0n fy t y t y t t= + [ ] [ ] [ ], 0n fy n y n y n n= + Zgjidhja e ekuacionit diferencial Zgjidhja e ekuacionit t diferencs
( ) [ ],n ny t y n Zgjidhja e natyrshme (homogjene)( ) [ ],f fy t y n Zgjidhja e detyruar
Ku:
Zgjidhja e natyrshme Prcakton prgjigjen e sistemit kur nuk ka sinjal hyrs dhe tregon se si
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 10
Prcakton prgjigjen e sistemit kur nuk ka sinjal hyrs dhe tregon se si sistemi lirohet nga energjia paraprakisht e akumuluar n t.
Zgjidhja e detyruar Prcakton prgjigjen e sistemit t shkaktuar vetm nga sinjali hyrs duke supozuar se sistemi fillimisht ka qen i relaksuar, q do t thot se t gjitha kushtet fillestare merren me vler zero.
Prcaktimi i prgjigjes s natyrshme
( )0
0kN
n
k kk
d y ta
dt=
= [ ]0
0N
k nk
a y n k=
=Sistemi kontinual: Sistemi diskret:
Zgjidhja e natyrshme supozohet n trajtn:
( ) [ ] dhe rt nn hy t e y n r= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 11
( ) [ ] dhe k
n k rt n knk
d y tr e y n k r
dt
= =
Me rrjedhime:
Bhet zvendsimi n ekuacionin diferencial:0 0
0N N
k rt rt kk k
k ka r e e a r
= =
= =
00
Nk
kk
a r=
=Ekuacioni karakteristik i sistemit kontinual:
00
Nn k
kk
a r
=
=Ekuacioni karakteristik i sistemit diskret::Ekuacionet karakteristike jan polinome t r
0 1 10 1 1
00
Nk N N
k N Nk
a r a r a r a r a r
=
= + + + + = 1 1 0
0 1 10
0N
n k N Nk N N
ka r a r a r a r a r
=
= + + + + = Sistemi diskret:
Sistemi kontinual:
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 12
0k =
Sistemi kontinual:
o Ekuacionet karakteristike kan N rrnj: r1,r2,...,rN.o T gjitha kto rrnj quhen vlera karakteristike t ekuacioneve.
Prgjigja e natyrshme e sistemit
( )1
i
Nr t
n ii
y t c e=
= [ ]1
Nn
n i ii
y n c r=
=Sistemi diskret:
Vlerat e konstanteve ci prcaktohen nga kushtet fillestare.
Nse ndonj rrnj e ekuacionit karakteristik sht e shumfisht, ta zm se rrnja e j-t sht e p-fisht ather n termin prkats t prgjigjes s natyrshme lajmrohen kto terme:
1, , ,
j j jr t r t r tpe te t e 1, , ,n n p nj j jr nr n r
Rrnjt e shumfishta t ekuacionit karakteristik
Prgjigja e natyrshme e sistemit kontinual
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 13
( ) 11 11 1 j j j Nr t r t r t r tr t pn j j j p Ny t c e c e c e c t e c e += + + + + + +
[ ] 11 1 1 1n n n p n nn j j j j j p j N Ny n c r c r c r c n r c r += + + + + + +
Prgjigja e natyrshme e sistemit kontinual
Prgjigja e natyrshme e sistemit diskret
Shembulli 1:T prcaktohet prgjigja e natyrshme e sistemit. Kushtet fillestare jan y[-1]=1 dhe y[-2]=0, ndrsa sistemi sht prkufizuar si n vijim:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 14
y n y n x n x n = +
Vrejm se rendi i sistemit sht N=2. Zgjidhja:
Prgjigja e natyrshme prcaktohet kur x[n]=0, duke supozuar:
[ ] nny n r=
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 14
[ ]ny n rZvendsojm n ekuacionin e diferencs:
( ) ( )2 2 21/ 4 1/ 4 0n n nr r r r = = Ekuacioni karakteristik ( )2 1/ 4 0r = i ka rrnjt (vlerat karakteristike) r1=1/2, r2=-1/2. Prgjigja e natyrshme sht n trajtn:
[ ] ( ) ( )1 21/ 2 1/ 2 , 0n nny n c c n= +
Pr caktimin e c1 dhe c2 nevojiten dy ekuacione:
[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]1/ 4 2 , 0 1/ 4 2 0, 1 1/ 4 1 1/ 4y n y n y y y y= = = = =[ ] ( ) ( )0 01 2 1 20 1/ 2 1/ 2 0y c c c c= + = + =
[ ] ( ) ( )1 11 2 1 21 1/ 2 1/ 2 / 2 / 2 1/ 4y c c c c= + = + =Pas zgjidhjes s dy ekuacioneve t siprme, fitohet: 1 21/ 4, 1/ 4c c= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 15
Prgjigja e natyrshme e sistemit sht:
[ ] ( )( ) ( )( )1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 2 , 0n nny n n= + Shembulli 2: ( ) ( ) ( )
2
2 3 2 0d y t dy t
y tdt dt
+ + =
Kushtet fillestare: ( ) ( )0 1, 0 / 0y dy dt= =
Prgjigja e natyrshme supozohet n trajtn: ( ) rtny t e=
1 21, 2r r= =
( )2 23 2 3 2 0rt rt rt rtr e re e e r+ + = + + =zvendsohet n ekuacion:Fitohet ekuacioni karakteristik: 2 3 2 0r + + = me vl.karakteristike:
( ) 21 2 , 0t tny t c e c e t = + Prgjigja e natyrshme sht n trajtn:Prcaktohen konstantet: ( ) 21 2/ 2t tndy t dt c e c e =
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 16
1 2
1 1 1 2
12 0; 2, 1
c c
c c c c
+ =
= = =
Q rezulton me:( ) 22 , 0t tny t e e t =
Prgjigja e detyruar formohet nga termat e prgjigjes s natyrshme, t cilave ishtohet edhe zgjidhja e veant.T gjitha kushtet fillestare jan zero.
Prcaktimi i prgjigjes s detyruar
Zgjidhja e veant yp(t), yp[n] i prshtatet sinjalit hyrs
( ) ( )x t t= ( ) 0py t =( ) ( )x t u t= ( ) ( )y t cu t=
Sinjali hyrs Zgjidhja e veant
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 17
( ) ( )x t u t= ( ) ( )py t cu t=( ) ( )atx t e u t= ( ) ( )atpy t ce u t=
( ) ( ) ( )0cosx t t u t= ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0cos sinpy t c t c t u t = + Zgjidhja e veant yp(t) apo yp[n] i prshtatet sinjalit hyrs x(t) apo x[n].
Nse sinjali hyrs ka trajt t njjt me ndonjrin nga termat e prgj. s natyrshmeather zgjidhja e veant formohet duke shumzuar sinjalin hyrs me t apo n.
Shembulli 3:T caktohet prgjigja e detyruar e sistemit, me kushte fillestare y[-1]=1 dhe y[-2]=0.
[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 14
y n y n x n x n = +
Zgjidhja:
Kur sinjali hyrs sht: (a) x[n]=(1/3)nu(n) dhe (b) x[n]=(1/2)nu(n).
(a) Nga shembulli 1 kemi: [ ] 1 21 1 , 02 2n n
ny n c c n
= + n
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 18
Prgjigja e veant i prshtatet hyrjes: [ ] ( )1/3 , 0npy n c n= [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 1
4p py n y n x n x n = +
2n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 11/3 1/ 4 1/3 3 1/3 1/3 , / 9 / 4 1/3 1/3c c c c = + = +24/5c =
[ ] 24 1 , 05 3n
py n n
=
(b) N kt rast trajta e sinjali hyrs prputhet me njrin nga termat e yn[n]
Prandaj prgjigja e veant prve prshtatjes me hyrje duhet shumzuar me n.
[ ] ( )1/ 2 , 0npy n n n= ( ) ( )( ) ( ) ( )2 111/ 2 2 1/ 2 3 1/ 2 1/ 2
4n n n n
cn c n
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 12 1/ 2 1/ 4 0 1/ 2 3 1/ 2 1/ 2 , 5 / 2c c = + =[ ] 5 1 , 0
2 2
n
py n n n
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 19
2 2p [ ] [ ] [ ]f n py n y n y n= +Prgjigja e detyruar formohet si n vijim:
Rasti (a) [ ] 1 224 1 1 1 , 05 3 2 2n n n
fy n c c n
= + +
[ ] 3 45 1 1 1 , 02 2 2 2n n n
fy n n c c n
= + + Rasti (b)
Koeficientet c1, c2, c3 dhe c4 prcaktohen nga kushtet fillestare zero
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]0 1/ 4 2 3 0 1 0 3 0 3y y x x= + + = + + =[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]1 1/ 4 1 3 1 0 0 1 1 2y y x x= + + = + + =Rasti (a)
[ ] [ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )( ) ( ) ( )
0 0 01 2
1 1 11 2
0 0 3 24 /5 1/3 1/ 2 1/ 2
1 1 2 24 /5 1/3 1/ 2 1/ 2f
f
y y c c
y y c c
= = = + +
= = = + +
Kto vlera zvendsohen n shprehjen pr yf[n]
Q rezulton me:
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 20
1 2
1 2 1 2
39 /536/5 , 15/ 2, 3/10
c c
c c c c
= +
= = =
Q rezulton me:
Pas prcaktimit t koeficienteve mund t shtrohet shprehja pr prgjigje t detyruar
[ ] 24 1 15 1 3 1 , 05 3 2 2 10 2n n n
fy n n
= + +
Rasti (b)
Me ecuri t ngjashme si n rastin e mparshm, fitohet
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]0 1/ 4 2 3 0 1 0 3 0 3y y x x= + + = + + =
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( )1 1/ 4 1 3 1 0 0 3/ 2 1 5/ 2y y x x= + + = + + =[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0 0 03 40 3 5/ 2 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2y c c= = + +
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )1 1 13 41 5/ 2 5/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2y c c= = + + 3 4 3c c+ =
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 21
3 4
3 4 3 4
35/ 2, 11/ 4, 1/ 4
c c
c c c c
+
= = =
[ ] 5 1 11 1 1 1 , 02 2 4 2 4 2
n n n
fy n n n
= + +
Q jep prgjigjen e detyruar
VetitLineariteti:
Ekuacioni diferencial dhe ai i diferencs me koeficiente konstant kan vetin e linearitetit.
( )( ) ( )( )0 0
k kN M
k kk kk k
d cy t d cx ta b
dt dt= =
= [ ] [ ]
0 0
N M
k kk k
a cy n k b cx n k= =
= Homogjeniteti:
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 22
0 0k k= =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 20 0
k kN M
k kk kk k
d y t y t d x t x ta b
dt dt= =
+ +=
[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 20 0
N M
k kk k
a y n k y n k b x n k x n k= =
+ = + Aditiviteti:
o Vetia e linearitetit vlen vetm kur t gjitha kushtet fillestare jan zero.o Kur ky nuk sht rasti ather sistemi nuk sht linear n kuptimin eprkufizimit ton t linearitetit.
Pandryshueshmria n koho Kur kushtet fillestare jan zero dhe koeficientet ak dhe bk kan vlera konstantesistemi sht invariant n zhvendosje (i pandryshueshm n koh).o Nse sistemi nuk ka qen n qetsi fillestare ather sistemi nuk e ka kt veti,pavarsisht nga pandryshueshmria e koeficienteve.
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 23
Kujtesao Sistemet e prshkruara me ekuacione diferenciale apo t diferencs kankujtes.
( ) ( ) ( )0
limh
dy t y t h y tdt h
+ =
Shkaksiao Kur sistemet paraqesin procese reale fizike q sipas natyrs s tyre janshkaksore.oSistemet e prshkruara me ekuacione t diferencs mund t paraqesin edhealgoritme kompjuterike t cilat zhvillohen jasht kohs reale, prandaj ato jo rrallparaqesin sisteme joshkaksore.
StabilitetiLe t jet sinjali hyrs i kufizuar. Sistemi do t jet stabil n qoft se vlen:
Sinjale&Sisteme Ligj. 3 24
j j y j q
( )1
, 0iN
r tn i
iy t c e t
=
= < < [ ]1
, 0N
n
n i ii
y n c r n=
= < < Meq koeficientet ci kan vlera t fundme, kto dy kushte shndrrohen n.
, 1,2, , ; 0ir te i N t< = < 1, 1,2, , ; 0nir i N n< = <
Sistemi kontinual
i i i ir t t j t ti i ir j e e e e = + = = <
0i =
Shembulli 2: Prcakto prmes thurjes sinjalin n dalje tsistemit, nse x[n] dhe h[n] duken si n figur.
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 11
sistemit, nse x[n] dhe h[n] duken si n figur.
N llogaritjen e thurjes sipas shprehjes s siprme dallohen kto tri raste karakteristike:
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
=
=
[ ] [ ] [ ]0, 0 0n x k h n k y n< = =10
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 12
kh[n-k]
0
1
0n
11
1
Na
a
Prgjigja e sistemit y[n] n ngacmimin x[n] duket si n figur.
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 15
Vetit e thurjes10 Vetia e asociativitetit
[ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n h n =
[ ]x n [ ] [ ]x n h n [ ] [ ]{ } [ ]x n h n h n
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 16
[ ]x n [ ] [ ]1x n h n [ ] [ ]{ } [ ]1 2x n h n h n
[ ]x n [ ] [ ] [ ]{ }1 2x n h n h n
Vrtetimi:[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2e
kh n h n h n h k h n k
=
= = [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2
l k l kx n h n h n x l h k h n l k x l h k h n l k
= = = =
= = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1
m
y n x n h n x m h n m
=
= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 17
,m l i m k= =
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2i i m
x n h n h n y i h n i x m h i m h n i= = =
= =
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2l k
x n h n h n x l h k h n l k
= =
=
20 Vetia e komutacionit[ ] [ ] [ ] [ ]x n h n h n x n =
Vrtetimi:
[ ]x n [ ] [ ]x n h n[ ] [ ] [ ] [ ]k
x n h n x k h n k
=
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 18
[ ]h n [ ] [ ]h n x n[ ] [ ] [ ] [ ]
kx n h n x k h n k
=
= n l k =
[ ] [ ] [ ] [ ]k
h n x n h n k x k
=
=
30 Distributiviteti ndaj mbledhjes
[ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n + = +
[ ]x n[ ] [ ]1x n h n
[ ] [ ] [ ] [ ]1 2x n h n x n h n +
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 19
[ ] [ ]2x n h n
[ ] [ ] [ ]{ }1 2x n h n h n +
40 Vetia e zhvendosjes
[ ]x n [ ] [ ]x n h n l
N daljen e vonuar y[n-l] t dy termat e thurjes kontribuojn njsoj.
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 20
[ ]x n l [ ] [ ]x n l h n
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y n l x n l h n x n h n l = =
50 Thurja me impuls njsi dhe me impuls njsi t vonuar
[ ]x n
[ ]x n
[ ]x n
[ ]x n l
Impulsi njsi d[n] sht element identiteti i thurjes.
[ ] [ ] [ ]x n x n n= vlen edhe:
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 21
vlen edhe:
[ ] [ ] [ ]x n l x n n l = Sistemi me prgjigje impulsive h[n] sht invertibil nse mund
t gjendet nj h-1[n] pr t cilin vlen:[ ] [ ] [ ]1h n h n n =
III. 2 Sistemet kontinuale Sinjalet kontinuale, ngjashm si sinjalet diskrete, mund t
prshkruhet si integral (jo shum) i peshuar i delta impulseve.
t
(t- )
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 22
t
x( ) (t- )
( ) ( ) ( )x t x t d
=
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }y t S x t S x t d x S t d
= = = Duke supozuar linearitetin, prgjigja y(t) e sistemit ne hyrjen
x(t) do t jet:
N qoft se prgjigja impulsive e sistemit sht h(t)=S{d(t)} dhe supozojm invariancn e sistemit n zhvendosje, do t vlej:
( ) ( ){ } ( ){ } ( )h t S t S t h t = = Prgjigja e sistemit y(t) llogaritet si thurje e sinjalit hyrs x(t) me
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 23
Prgjigja e sistemit y(t) llogaritet si thurje e sinjalit hyrs x(t) me prgjigjen impulsive t sistemit h(t), sipas shprehjes:
( ) ( ) ( )y t x h t d
= Q mund t shnohet shkurtimisht edhe n trajtn:
( ) ( ) ( )y t x t h t=
Shembulli 3: Prcakto prmes thurjes sinjalin n dalje t sistemit, nse x(t) dhe h(t) duken si n figur.
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 24
( ) ( ) ( ) 0 0y t x h t d d
= = =
( ) ( ) ( ) ( )0
1t t ty t x h t d e d e
= = =
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20
1t ty t x h t d e d e e
= = =
Vetit e thurjes s sinjaleve kontinuale: Vetit themelore jan t njjta me ato t sinjaleve
diskrete.10 Vetia e asociativitetit
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 26
1 Vetia e asociativitetit( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )1 2 1 2x t h t h t x t h t h t =
Interpretimi: Prgjigja impulsive e sistemit q ekuivalenton dy
sisteme t lidhura n seri sht e barabart me thurjen e prgjigjeve t veanta impulsive, h1(t)*h2(t).
20 Vetia e komutacionit( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t =
Interpretimi: Renditja e termave t thurjes nuk sht e rndsishme.
30 Vetia e distributivitetit ndaj mbledhjes
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 27
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t h t h t x t h t x t h t + = + Interpretimi: Prgjigja impulsive e sistemit q ekuivalenton dy
sisteme t lidhura paralel sht e barabart me shumn e prgjigjeve t veanta impulsive, h1(t)+h2(t).
40 Vetia e zhvendosjes( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0y t t x t t h t x t h t t = =
Interpretimi: Zhvendosja e cilitdo term t thurjes pr kohn t0
shkakton zhvendosjen e daljes pr t njjtin interval.
50 Thurja e sinjalit me delta impulse, d(t) dhe d(t-t )
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 28
50 Thurja e sinjalit me delta impulse, d(t) dhe d(t-t0) ( ) ( ) ( )x t x t t=
Interpretimi: Sistemi me prgjigje impulsive (t) e prcjell t
pandryshuar sinjalin nga hyrja n dalje, ndrsa ai me prgjigje impulsive (t-t0) e vonon sinjalin pr t0.
( ) ( ) ( )0 0x t t x t t t =
III. 2 Prgjigja impulsive dhe vetit e sistemeve(a) Lineariteti dhe invarianca n zhvendosje Pr t qen t vlefshme shprehjet vijuese t thurjes:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ose y t x h t d y n x k x n k
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 29
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ose k
y t x h t d y n x k x n k
=
= = Lineariteti dhe invarinaca n zhvendosje e sistemit
nnkuptohen.
(b) Kujtesa Sistemi nuk ka kujtes vetm dhe vetm nse prgjigja
e tij impulseve sht n trajtn:( ) ( ) [ ] [ ] ose h t C t h n C n = =
Ky pohim sht rrjedhim i shprehjeve pr thurje. N veanti, vetis s thurjes s sinjalit me impuls.
ku C sht nj konstant arbitrare.
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 30
veanti, vetis s thurjes s sinjalit me impuls. (c) Shkaksia Sistemi sht shkaksor vetm dhe vetm nse prgjigja
e tij impulseve sht zero pr vlerat negative t variablit t pavarur t ose n.
( ) [ ]0, 0 ose 0, 0h t t h n n= < =
(d) Invertibiliteti Sistemi me prgjigje impulsive h(t) ose h[n] sht
invertibil vetm dhe vetm nse mund t gjendet prgjigja impulsive e sistemit t kundrt h-1(t) ose h-1[n]q knaq barazimin:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]1 1 ose h t h t t h n h n n = =
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 31
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
Procedura e prcaktimi t h-1(t) ose h-1[n] nga barazimet e siprme quhet shthurje (dekonvolucion).
(e) Stabiliteti Sistemi me prgjigje impulsive h(t) ose h[n] sht stabil
vetm dhe vetm n qoft se prgjigja impulsive e sistemit sht e integrueshme (mbledhshme) sipas modulit.
( ) [ ]< ose n
h t dt h n
=
< Vrtetim:
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 32
Vrtetim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h d y t x t h d
= Sinjali n hyrje duhet t jet me amplitud t kufizuar, prandaj
( ) , ,xx t B t < < ku Bx sht nj kufi i siprm q nuk tejkalohet nga asnj vler |x(t)|.Nga kjo kemi rrjedhimin:
( ) ( ) ( )x xy t B h t d B h t dt
= Nga ky jobarazim kemi implikimin:
( ) ( ) yh t dt y t B
< q do t thot se kushti:
( )h t dt
<
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 33
sht kusht i mjaftueshm pr stabilitet t sistemit. Se ky kusht sht edhe i nevojshm, mund t bindemi si n vijim: Le t kemi n hyrje t sistemit sinjalin e kufizuar n trajtn:
( ) ( )( ) ( )*
, 0h t
x t h th t
=
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
* *h hy t h t d h t d
h h
= = +
Prgjigja e sistemit n kt sinjal do t jet:
Pr t=0, vlera e sinjalit do t jet:
( ) ( )( ) ( )2
0h
y d h dh
= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 4 34
( )h Po t mos plotsohej kushti:
( )h t dt
< Ather y(0), q do t thot se ky kusht sht edhe i nevojshm. Ngjashm bhet vrtetimi edhe pr sisteme diskrete.
Zbrthimi i sinjaleve periodike n seri Furie
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 1
SERIA DHE TRANSFORMIMI FURIE
Nj klas shum e gjer e sinjaleve mund t shprehet si shum apo integral i peshuar i sinusoidave me frekuenca t ndryshme.
N kto raste thuhet se sinjali paraqitet prmes spektrit t tij Variabli i pavarur i spektrit sht
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 2
spektrit t tij. Variabli i pavarur i spektrit sht frekuenca .
Ky koncept i rndsishm i zbrthimit t sinjaleve sht emrtuar sipas inxhinierit francez Jean BaptiseFourier (1768-1830). Furie zbatoi kt koncept, n vitin 1807, n problemet e prcjelljes s energjis termike.
far dobie ka q sinjalet t zbrthehen n sinusoida e jo n ndonj familje tjetr t funksioneve?
Nj arsye e rndsishme:
0j tx t e Le t jet dhn nj sinusoid komplekse
Dhe nj sistem linear dhe invariant n zhvendosje me prgjigje
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 3
impulsive h(t). Prgjigja e ktij sistemi n x(t) do t jet:
0
0 0 0
0
0 0
j t
j t j j t
H
y t x t h d e h d
e h e d H e H x t
H(0), n rastin e prgjithshm, sht madhsi komplekse dhe me rndsi sht t vrehet se ai llogaritet nga h(t), por pr nj 0 t caktuar ka vler konstante.
Konstatimi i mparshm implikon prfundimin e rndsishm se sinusoida pas kalimit npr sistem linear dhe invariant n zhvendosje nuk e ndryshon trajtn e vet funksionale.
Pra, sinusoidat jan sinjale (funksione) karakteristike t sistemeve lineare dhe invariante n zhvendosje, pavarsisht se
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 4
a prshkruhen kto prmes ekuacioneve diferenciale/t diferencs apo prmes prgjigjes impulsive.
Rndsia e zbrthimit t sinjaleve n sinusoida komplekse qndron pikrisht n kt: Nse e zbrthejm nj sinjal hyrs n shum (integral) t sinusoidave komplekse dhe nse e dim prmes H() se si sistemi i modifikon amplitudat dhe fazat e sinusoids hyrse, ather sinjalin dals e prfitojm prsri duke mbledhur (integruar) sinusoidat n dalje.
Le t merret n trajtim nj sinjal periodik pr t cilin vlen:
III. 2 SERIA FURIE
x t T x t Ku T sht perioda themelore e sinjalit. Frekuenca themelore e sinjalit do t jet:
02
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 5
0 T Themi se ky sinjal mund t zbrthehet si shum e peshuar e
sinusoidave komplekse t trajts:
0 ,jn tne t e n n paraqet rendin e sinusoids komplekse q lidhet me
frekuencn e saj n0.
Nse e1(t) sht sinusoid me frekuenc themelore 0, ather komponenti i zbrthimit en(t) me frekuenc n0 paraqet harmonikun e n-t t sinjalit (zbrthimit).
Prandaj kjo mnyr e zbrthimit quhet analiz harmonike.
Duke iu kthyer pohimit ton paraprak shtrojm zbrthimin e sinjalit periodik si shum e komponentve harmonik:
0jn tnx t c e
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 6
nn
Ku cn paraqesin koeficientet pesh t zbrthimit Duhet t vrehet se trajta e siprme i ngjan zbrthimit, t njohur
nga matematika, t nj vektori n komponentt e veta baz.
Pr t ditur se a sht nj zbrthim i till i vlefshm, patjetr duhet t gjendet formula pr llogaritjen e koeficienteve cn n mnyr t vetme (unike).
Prcaktimi i formuls pr llogaritjen e koeficienteve pesh
0jn tnn
x t c e
Zbrthimi:
Shumzojm dy ant me 0 ,jk tke t e k integrojm brenda nj periode T dhe rezultatin e pjestojm me T.
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 7
0 0 0/ 2 / 2/ 2 / 2
1 1T Tjk t jn t jk tnT T
nx t e dt c e e dt
T T
00/ 2 / 2/ 2 / 2
1 1T T j n k tjk tnT T
nx t e dt c e dt
T T
0 0
/ 2 / 2
/ 20/ 2
2 22 2
0
1 1
sin 0,11,
T t Tj n k t j n k t
t TT
T Tj n k j n kT T
n k
e dt eT j n k T
n k n ke e
n kj n k T n k
0/ 2/ 2
1 T jk tn kT
nx t e dt c n k c
T
Barazimi i fundit na jep formuln pr llogaritjen e koeficienteve
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 8
Barazimi i fundit na jep formuln pr llogaritjen e koeficienteve cn.
2/
2/
0
0
1 T
T
tjnn
n
tjnn
dtetxT
c
ectx
Sinjali periodik x(t) mund t zbrthehet n seri Furie sipas formulave:
Seria Furie
Koeficientet e seris Furie
Sinteza
Analiza
Pr t qen nj sinjal i zbrthyeshm n seri Furie duhet t plotsohen tri kushtet e Dirichlet-it.
2/2/
T
T
dttx
10 Sinjali x(t) duhet t jet i integrueshm sipas vlers absolute
Kushtet e Dirichlet-it
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 9
2/T20 Brenda nj periode sinjali x(t) duhet t jet i kufizuar dhe t ketnumr t fundm t minimumeve dhe maksimumeve.
30 Brenda nj periode sinjali x(t) duhet t ket numr t fundm tdiskontinuiteteve dhe amplitudat e krcimeve t sinjalit n pikat ektyre diskontinuiteteve duhet t jen t fundme.
Prshkrimi i sinjalit periodik prmes koeficienteve cn quhet paraqitje spektrale e sinjalit, ose thjesht spektr i sinjalit
nn jn
cjnn ececc
nnn ccc 22 ImRe nnn cc
cReIm
arctan
Trajta polare e spektrit cn:
Spektri amplitudor:
Spektri fazor:
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 10
ncReShembull: T prcaktohet spektri i sinjalit n figur.
2
sin211
1111
0
0
22
0
5.0
5.00
5.0
5.0
2/
2/
00
000
nj
Tjnee
Tjn
eTjn
dteT
dtetxT
c
njnj
t
t
tjntjnT
T
tjnn
,3,2,1,0,2
sin2 00
nn
Tncn
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 11
Frekuenca themelore: 02T
Sink funksioni-nj funksion i dobishm:
xxxx ,sinsinc
xxx sinsinc
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 12
22
00 nxxn
2
sinc1 0n
Tcn
2
sinc1 0n
Tcn
,3,2,1,0,2
sin2 00
nn
Tncn
Spektri amplitudor:
0
Spektri i sinjalit periodik sht diskret!
022,2
T
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 13
5/20
025,5
T
Me rritjen e periods T spektri dendsohet dhe amplitudat shtypen. Mbshtjellsi i spektrit mbetet i njjt.
Mbshtjellsi i spektrit
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 14
Shnime shtes pr serin Furie1. Spektri i sinjaleve reale Spektri amplitudor i sinjaleve reale ka varsi ifte nga frekuenca
n0, ndrsa spektri fazor ka varsi teke. 0/ 2 *
/ 2
1 Re ImT
jn tn n n n
T
c x t e dt c c j cT
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 15
2 2Im
Re Im , arctanRe
nn n n n n n
n
cc c c c
c
2. Seria trigonometrike Furie Ndonjher spektri prcaktohet vetm pr frekuenca pozitive, t
cilave mund tju jepet interpretim i mirfillt fizik. N kto raste thuhet se sinjali sht shprehur si seri trigonometrike.
100
110
1
1
0
cos200
000
nnn
n
tjnjn
n
tjnjn
n
tjnn
n
tjnn
n
tjnn
tncceeceecc
ececcectx
nn
0 0 0 01
cos , , 2n n n nn
x t A A n t A c A c
Trajta e seris trigonometrike.
S kt i it t t f k iti
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 16
Spektri paraqitet vetm n frekuenca pozitive. A0=c0 paraqet komponentin njkahor t sinjalit.
3. Fuqia e sinjalit periodik
/ 2 2 2/ 2
1 Tn
nT
P x t dt cT
Teorema e Parseval-it:
Vrtetim:
0 0
0
*/ 2 / 2*
/ 2 / 2/ 2
2*
/ 2
1 1
1
T Tjn t jk t
n kn kT T
Tj n k t
n k nn k nT
n k
P x t x t dt c e c e dtT T
c c e dt cT
4. Fenomeni i Gibbs-it Kur sinjali periodik ka hope, n pikat e diskontinuitetit lajmrohen
Sinjale&Sisteme Ligj. 5 17
Kur sinjali periodik ka hope, n pikat e diskontinuitetit lajmrohen oscilime q tejkalojn vlerat nominale t sinjalit.
Kjo dukuri quhet fenomeni i Gibbs-it dhe lajmrohet pr shkak t konvergjencs jouniforme t seris Furie.
Transformimi Furie dhe vetit e tij
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 1
III. 3 TRANSFORMIMI FURIE Spektri i sinjalit periodik sht diskret. Komponentt spektral
jan t prqendruar n shumfishin e frekuencs themelore, n pikat n0.
Shtrohet pyetja e natyrshme far spektri kan sinjalet aperiodike? Piknisje e trajtimit le t njohuria q kemi mbi spektrin e sinjalit
periodik
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 2
periodik. Themi se nj sinjal aperiodik mund t sajohet nga sinjali aperiodik,
ashtu q periodat fqinje largohen n pafundsi, T.
TT
txtx TT limku xT(t) sht sinjal periodik me period T dhe x(t) sht sinjali aperiodik.
Sinjali periodik xT(t) mund t shprehet prmes seris Furie
0jn tT nn
x t c e
0/ 21 T jn tt
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 3
0/ 2
jn tn T
T
c x t eT
Po t merrej drejtprsdrejti T ather cn0. Kjo do ta mbyllte diskutimin. Por mund t lejohet q prodhimi Tcn t ket kuptim (mos t jet zero).
0/ 2/ 2
Tjn t
n TT
Tc x t e dt
T shohim se far konsekuencash ka supozimi T.0lim limT T dT
Frekuenca themelore 0 shndrrohet n shtes infinitezimale d. Pasoj e supozimit sht se spektri ngjesht (0=d) dhe e ndrron
natyrn, nga ajo diskrete n at kontinuale. Edhe njher. Pikat diskrete n boshtin frekuencor n0 ngjeshn n
b hk i t hd t ik
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 4
Prandaj, mund t shnohet:
0/ 2/ 2
lim limT
jn t j tn TT T
T
Tc x t e dt x t e dt X
bashksi t vazhduar t pikave .
X() paraqet transformimin Furie (spektrin) e sinjalit x(t).
Si do t rimkmbet sinjali x(t) nga spektri i tij X()? Nisemi nga formula pr sinjale
periodike: 0jn tT nnx t c e
N prputhje me qasjen e deritashme marrim se vlen:
0lim , lim lim2 2n nT T T
X Xc T X c X d
T
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 5
Nga supozimi n0= rrjedh edhe: limT n
Me kt arrijm edhe deri te formula e sintezs (rimkmbjes):
12
j tx t X e d
q quhet transformimi i kundrt Furie i X().
Ngjashm si pr sinjale periodike ashtu edhe pr ato aperiodike, pr t pasur sinjali transformim Furie duhet ti plotsoj kushtet e Dirichlet-it
x t dt
10 Sinjali x(t) duhet t jet i integrueshm sipas vlers absolute
20 Sinjali x(t) duhet t jet i kufizuar dhe t ket numr t fundm t
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 6
2 Sinjali x(t) duhet t jet i kufizuar dhe t ket numr t fundm tminimumeve dhe maksimumeve.
30 Sinjali x(t) duhet t ket numr t fundm t diskontinuitetevedhe amplitudat e hopeve duhet t jen t fundme.
Ilustrimi grafik i kalimit nga spektri diskret n at t vazhduar.
0 2 /T
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 7
Prmbledhje:
Transformimi Furie: j tX x t e dt
1
2j tx t X e d
Transformimi i kundrt Furie:
ifti transformues Furie: x t X
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 8
Spektri amplitudor: 2 2Re ImX X X Spektri fazor:
Imarctan
ReXX
Trajta polare e transformimit jX X e
Vetit e transformimit Furie10 Lineariteti
1 1 2 2,F Fx t X x t X Nseather 1 2 1 2 ; ,Fax t bx t aX bX a b C
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 9
20 Zhvendosja n kohNse Xtx F ather pr nj zhvendosje kohore t0vlen Xettx tjF 00
Shembulli 1:
1 1 1 sin2 2 sincj t j t j jX e dt e e ej j
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 10
j j
2 1x t x t 2 1 2 sincj jX e X e
30 Shkallzimi n kohNse Xtx F ather vlen:
Koment: Ndrydhjes s sinjalit n domen kohor i prgjigjet zgjerimi i spektrit n domenin frekuencor dhe e anasjella.
1Fx at Xa a
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 11
Shembulli 2: T caktohet transformimi i sinjalit x(at), dhe at pr vlera t konstants a m e madhe dhe m e vogl se nj.
at
at
atxatat
atx0
,1ose
0,1
2 sincF x t
2 sinc2
F x t
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 12
2/ 2 4 sincF x t
40 Pasqyrimi n kohNse Xtx F ather vlen: Xtx FNse x(t) sht real ather: *Xtx F
Shembulli 3: Le t jet x(t)=e-btu(t). Prcakto transformimin e x(-t).
tjbtjbtjbttjbt dtdtdtttF 1
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 13
j
tjbtjbtjbttjbt
eXXjb
ejb
dtedteedtetuetxF
1
000
bb
X
arctandhe,122
ku
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 14
50 Shumzimi me fuqi t t-sNse Xtx F ather vlen: Xd
djtxt nn
nFn
Shembulli 4: Prcakto transformimin e x(t).
101,
ttt
tx
sinc21X 2 sincos2sin2
jddjX
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 15
|X( )|
60 Shumzimi me sinusoid komplekseNse Xtx F ather vlen: 00 Xetx Ftj
70 Shumzimi me sinusoid reale-Vetia e modulimitNse Xtx F ather vlen:
000 2sin XXjttx F
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 16
Shembulli 5: Prcakto transformimin e x(t).
000 2 000 2
1cos XXttx F
ststt
tx5.0,05.0,60sin
x(t) mund t shprehet si prodhim i sinjalit puls, me amplitud njsi dhe kohzgjatje prej 1s, me nj sinusoid me frekuenc 0=60(rad/s)
ttxtx 01 sin 01012 XX
jX 010121 XXX
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 17
80 Integrimi n domenin kohorNse Xtx F ather vlen:
01 XXj
dx Ft
90 Thurja n domenin kohorNse Xtx F ather vlen:
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 18
Nse tx
HXdthxthtx F
Ndrlidhja e daljes dhe hyrjes s sistemit n domenin frekuencor.
dtethH tjPrgjigja frekuencore
100 Shumzimi n domenin kohorNse Xtx F ather vlen:
YXtytx F 21
Koment pr vetit 9 dhe 10: Thurjes n domen kohor i prgjigjet prodhimi n domen frekuencor dhe e anasjella.
110 Teorema e Parseval it
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 19
110 Teorema e Parseval-it
dYXdttytx 2
1
Rrjedhim: Pr y(t)=x(t) vlen: 2 212x t dt X d
Q jep relacionin n mes t energjis s sinjalit n domenin kohor dhe at frekuencor.
120 Dualiteti n mes t domenit kohor dhe frekuencorVlen ekuivalenca:
xtXXtx FF 2Me fjal: Nse sinjalit x(t) i prket transformimi X(), ather sinjalit me varsi funksionale X(t) i prket transformimi me trajt funksionale x(-) i shumzuar me konstantn 2.
Vrtetim:
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 20
Vrtetim:
j tX x t e dt
1
2j tx t X e d
Fx t X
1Fx t X
2 j tx t X e d
Shprehjen e fundit e rregullojm duke riemruar variablet
2 jx X e d
zvendsojm =t
zvendsojm t=-
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 21
2 jt j tx X t e dt X t e dt
zvendsojm t
Vrtetohet: 2FX t x Ngjashm vrtetohet edhe e anasjella.
Shembulli 6: Prmes dualitetit t domeneve prcakto iftin dual t x(t).
tt
tx0,1
sincdteX tj
sincX
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 22
BB
Rx0,1
BtBtr sinc
2
BtBtr sinc
2
III.4 Transformimi i prgjithsuar Furie
Shum sinjale t rndsishme nuk kan transformim Furie sepse nuk e plotsojn kushtin:
x t dt
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 23
Prfaqsuesi m i shquar i ktyre sinjaleve aperiodike q nuk kan transformim Furie sht sinjali shkall njsi u(t).
Gjithashtu sinjalet periodike nuk kan transformim Furie n kuptimin e zakonshm,
Prfaqsues tipik i ktyre sinjaleve sht sinusoida.
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 24
Shtrohet pyetja: A mund t formohet nj korniz e prbashkt matematikore, e
atill q edhe ato sinjale q nuk e plotsojn kushtin e par t Dirichlet-it t ken transformim Furie?
N qoft se n domenin e transformimit Furie lejohen delta impulset, prgjigja n kt pyetje sht afirmative.
Prfshirja e delta impulsit () n shprehjen e transformimit Furie shpie deri te transformimi te prgjithsuar Furie.
Mbshtetja e transformimit t prgjithsuar Furie Shprehja pr transformim Furie t sinjalit x(t)=1 sht e papr-
caktuar n kuptimin e zakonshm.
, 1 e paprcaktuarF j tt e dt
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 25
Por, nse kemi parasysh transformimin e delta impulsit
0 1,F j t jt t e dt e
dhe vetin e dualitetit t transformimit Furie
xtXXtx FF 2
Kemi kt rrjedhim:
12 1 ose 2
j t j te dt e dt
1, , 1 2 2F Ft t Kemi kt rrjedhim:
Interpretimi:
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 26
Spektri i sinjalit me vler konstante sht plotsisht i prqendruar n frekuencn =0, me pesh 2.
x(t)=11
0 t
Themi: Transformimi i prgjithsuar Furie sinjalit x(t)=1 sht 2().
T rikujtojm: Ky sinjal nuk ka transformim Furie n kuptimin e zakonshm.
Me kt rezultat n dispozicion mund t gjendet edhe trans-formimi i prgjithsuar i sinusoids reale, cos(0t).
Le t jet x(t)=1, ather sipas vetis s modulimit vlen:
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 27
1 2Fx t 0 0 01 1cos 2 2Fx t t X X
Nga,
Kemi pr rrjedhoj: 0 0 0cos Ft
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 28
Spektri i sinjalit sinusoidal sht plotsisht i prqendruar n frekuencat =0 dhe =-0 me peshat .
Se spektri i fituar sht i sakt bindemi me transformim t kundrt:
0 0
0 0 0 0
0
1 1 12 2 2
1 1 cos2 2
j t j t j t
j t j t
e d e d e d
e e t
Transformimi i sinjalit shkall njsi u(t)Zbatimi i drejtprdrejt i shprehjes pr transformim n sinjalin shkall njsi u(t) nuk jep rezultat, sepse
0
e paprcaktuarF j tu t e dt
Por n qoft se sinjalin u(t) e zbrthejm n komponentin ift dhe tek
1 1
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 29
1 1,2 2s a
u t u t u t u t u t u t Fitohet,
1/ 2, 01 1, ; sgn1/ 2, 02 2s a
tu t t u t t
t
Sinjali sgn(t) lexohet signum dhe paraqet sinjalin e parashenjs.
us(t)
1/2
0
= +
Transformimi i us(t) sht i gatshm. 1/ 2 Fsu t Ndrsa pr prcaktimin e transformimit t u (t) vrejm se:
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 30
Ndrsa pr prcaktimin e transformimit t ua(t) vrejm se:
1 sgn 1,2
Fdt tdt
Nga vetia e derivatit kemi rrjedhimin:
1 1, sgn2
F Fdx t j X tdt j
Zbatojm vetin e linearitetit t transformimit dhe fitojm:
1Fu tj
u(t)1
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 31
0 t
Transformimi i prgjithsuar Furie i sinjaleve periodike
Le t jet dhn nj sinjal periodik x(t) me period T dhe frekuenc themelore 0=2/T.
Ky sinjal mund t zbrthehet n seri Furie.
0jn tnn
x t c e
Secili term i seris mund t shprehet n domenin frekuencor
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 32
Secili term i seris mund t shprehet n domenin frekuencor 0 02jn t Fn nc e c n
Duke marr n konsiderat vetin e linearitetit, fitohet:
0 02jn t Fn nn n
c e c n
Paraqitja grafike e spektrit t sinjalit periodik
Sinjale&Sisteme Ligj. 6 33
Shihet se n spektrin e sinjalit periodik komponentt spektral jan t prqendruar vetm n shumfishet e frekuencs themelore 0.
Kjo paraqitje sht ekuivalente me at t spektrit diskret t paraqitur m par te serit Furie.
Zbatimet e transformimit Furie
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 1
Modulimi dhe mostrimi Analiza e sistemeve n domenin
frekuencor
Dy zbatime t analizs n domenin frekuencor(Modulimi dhe mostrimi)
Rndsia e analizs spektrale t sinjaleve vjen fuqishm n shprehje n shum situata t prpunimit t sinjaleve.
Pr ilustrim, ktu sht zgjedhur rasti i modulimit amplitudor dhe i mostrimit t sinjaleve t vazhduara.
Modulimi amplitudor
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 2
Le t supozojm se dshirojm t transmetojm me val elektromagnetike nj sinjal t t folurit me spektr q ka brez t kufizuar frekuencor n 3KHz.
Po t transmetohej ky sinjal drejtprsdrejti gjatsi valore minimale vals elektromagnetike do t ishte:
8
min 3 -1max
3 10 m/s 100 km3 10 s
c
f
= = =
Pr tu transmetuar me efikasitet kjo val nevojitet q gjatsia e antens t jet s paku /10.
Kjo do t thot se pr frekuencs maksimale n spektrin e sinjalit nevojitet gjatsia minimale e antens t jet 10 km. Pr komponentt spektral me frekuenca m t ulta, kjo gjatsi sht edhe m e madhe.
Pr shkak t prmasave t ekstreme t antens, transmetimi i drejtprdrejt i sinjalit sht i pamundur.
Ky problem mund t zgjidhet prmes modulimit amplitudor.Skema e ksaj mnyre t prpunimit t sinjalit sht treguar n vijim:
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 3
Sinjali modulues
Diagramet kohore t modulimit amplitudor
t
cos( 0t)
t
x(t)cos( 0t)
Informata Bartsi AM sinjali
Spektri i sinjalit me amplitud t moduluar prcaktohet me:
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 4
( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 1cos 2 2Fx t t X X + +
Spektri i sinjalit t moduluar prbhet nga versionet e zhvendosura t spektrit origjinal t informats.
Ruajtja e trajts s spektrit origjinal ka pr rrjedhoj edhe ruajtjen e sinjalit t informacionit.
XAM(f)()X(f-f0)()X(f+f0)
Diagramet frekuencore t modulimit amplitudor
2f
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 5
fmax-fmax 0 f0-fmax f0+fmaxf0-f0-fmax -f0+fmax-f0 f
8
0 max 0 max 6 -10
3 10 m/s, p.sh. 1000 3MHz, 100m
3 10 scf f f f f
>> = = = =
far u fitua praktikisht me modulim amplitudor?
U rrit frekuenca e sinjalit q ka pr pasoj zvoglimin e gjatsis valore t valve elektromagnetike.
Antena me gjatsi /10=10m mund t realizohet!
Modulimi i amplituds s pulseve-Mostrimi
Te modulimi i amplituds s pulseve sinjali i informacionit sht i prmbajtur n amplitudat e vargut t pulseve me kohzgjatje shum t shkurt dhe period T.
Shkurtesa pr kt lloj t modulimit sht PAM nga anglishtja Pulse Amplitude Modulation.
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 6
Bllok-skema:
Prfitimi i sinjalit PAM mund t parafytyrohet edhe kshtu:Nj qels elektronik mbyllet do T sekonda dhe n pozit t mbyllur rrin sekonda.
Nse n njrin skaj t elsit zbatohet sinjali i informacionit x(t) n tjetrin skaj prfitohet PAM sinjali.
x(t) xPAM(t)=x(t) p(t)
Ky prshkrim i prfitimit t PAM sinjalit i prgjigjet procesit s marrjes s mostrave nga sinjali i vazhduar.
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 7
Ajo q ndodh n domenin kohor n kt proces sht ilustruar n vijim:
Lidhur me PAM sinjalin shtrohet pyetja themelore:A prcillet e tr informata e x(t) n sinjalin PAM?
Prgjigja n kt pyetje nuk mund t nxjerrt nga prshkrimi i procesit n domenin kohor, prandaj i referohemi atij frekuencor.
Pr t thjeshtuar trajtimin le t supozohet se 0 dhe (1/)=1. Me kt supozim vargu i pulseve p(t) prafrohet me vargun periodik t delta impulseve
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 8
( ) ( ) ( )Tn
p t t t nT
=
= ( ) ( )T
n
t t nT
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )PAM Tn n
x t x t t x t t nT x nT t nT
= =
= = = PAM sinjali mund t shtrohet n trajtn:
Pr t fituar njohuri m t thell pr kt sinjal t moduluar nevojitet q vargu periodik i delta impulseve t shprehet n domen frekuencor.
( ) ( ) mjn tT nn n
t t nT c e
= =
= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 9
Ku:
( )/ 2 0/ 2
1 1 1m m
T jn t jnn T
c t e dt eT T T
= = =
2m T
= paraqet frekuencn e mostrimit
dhe cn paraqesin koeficientet Furie t vargut periodik T(t)
M kt modifikim PAM sinjali mund t shprehte edhe si:
( ) ( ) ( ) ( )1 mjn tPAMn n
x t x t t nT x t eT
= =
= = N shprehjen e siprme zbatojm transformimin Furie, duke pasur parasysh vetin e
Kjo do t thot se vlen:
( ) ( ) 1 mjn tTn n
t t nT eT
= =
= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 10
shumzimit me sinusoid komplekse
( ) ( )01 1jn t F mn n
x t e X nT T
= =
Prfundojm se spektri i PAM sinjalit sht zgjerim periodik i spektrit t sinjalit x(t),
me period n domenin frekuencor m.
N vijim sht paraqitur spektri i PAM sinjalit
A/TXPAM( )
A/T A/T A/T
0
A
max- max
X( )
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 11
0 max- max
m/2
m maxm- maxm
- m max- m- max
- m - m/2 2 m
Prfundojm se: Informacioni i x(t) ruhet n PAM sinjal nse periodat fqinje t spektrit nuk prputhen, q do t thot:
max max
max
122 2
m f TT f
Prgjigja frekuencore e sistemit Shpesh analiza e sinjaleve dhe e sistemeve bhet drejtprsdrejti
n domenin frekuencor. Arsyet mund t jen kto:a) Nevoja q rezultatet e analizs t paraqiten drejtprsdrejti
n domen frekuencor.b) Interpretimi i rezultateve bhet m i kuptueshm n kt
domen.c) Prcaktimi i sinjalit dals n domen frekuencor bhet m
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 12
c) Prcaktimi i sinjalit dals n domen frekuencor bhet m thjesht n domenin kohor.
Prshkrimi i sistemit n domenin kohor dhe at frekuencor.
( )h t( )H
( )x t ( ) ( ) ( )y t h t x t= ( ) ( ) ( )Y H X =( )X
H() paraqet transformimin Furie t prgjigjes impulsive dhequhet prgjigje frekuencore e sistemit dhe prkufizohet me
( ) ( ) j tH h t e dt
= H() mund t prcaktohet edhe si raport i spektrit t sinjalit dals
ndaj atij hyrs.( ) ( )( )
YH
X
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 13
H() mund t paraqitet n trajt polare.( ) ( ) ( ) ( ) ( )j jH H e A e = =
ku ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }2 2Re ImA H X X = = +( ) ( ){ }( ){ }
Imarctan
ReXX
=
A() paraqet karakteristikn apo prgjigjen amplitudore tsistemit, ndrsa () paraqet karakteristikn fazore t sistemit.
Kur prgjigja impulsive h(t) sht madhsi reale, prgjigjafrekuencore H() tregon veti t simetris.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ose j jH H A e A e = = Prfundojm se kur h(t) sht real karakteristika amplitudore e
sistemit do t jet funksion ift, ndrsa karakteristika fazore do tjet funksion tek i .
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 14
jet funksion tek i .( ) ( ) ( ) ( )dhe A A = =
Le t se marrim se spektrat e sinjalit dals dhe hyrs t shprehurn trajt polare, jan:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dhe yx jjX X e Y Y e = =
Me kalim t sinjalit npr sistemin me karakteristik amplitudoreA(), spektri i tij amplitudor ndryshon n pajtim me shprehjen:
( ) ( ) ( )Y A X = Spektri fazor i sinjalit dals fitohet ashtu q spektrit fazor t
sinjalit hyrs i shtohet karakteristika fazore e sistemit( ) ( ) ( )y x = +
Shembull 1: T prcaktohet prgjigja frekuencore e sistemit me
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 15
Shembull 1: T prcaktohet prgjigja frekuencore e sistemit meprgjigje impulsive:
( ) ( )a th t e u t=ku a paraqet nj konstant t fardoshme.
Zgjidhje:( ) ( )
0
1a t a tj t j tH e u t e dt e e dta j
= = =
+
Moduli i H() paraqet karakteristikn amplitudore t sistemit( )
2 2
1Aa
=
+
Deri sa karakteristika fazore e sistemit do t jet:
( ) arctan arctana a
= =
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 16
( )
0
- /2
/2A( )
0
1/|a|
Prgjigja e sistemit n sinusoidn komplekse Le t jet sinjali hyrs sinusoid komplekse me frekuenc 0
( ) 0j tx t e = Prgjigja e sistemit n domen t frekuencs n kt ngacmim
sht( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0 02 2 jjY H X A e A e = = =
Nse zbatojm transformimin e kundrt Furie n shprehjen esiprme prfitojm sinjalin dals n domenin kohor
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 17
siprme prfitojm sinjalin dals n domenin kohor( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
0 0
0 0
0
1 122 2
jj t j t
j t
y t Y e d A e e d
A e
+
= =
=
Sinusoida nuk e ndrron trajtn e vet me kalim npr sistem linear. Amplituda e sinusoids ndryshon duke u shumzuar me vlern e
karakteristiks amplitudore n pikn =0. Ndryshon edhe faza e sinusoidspr kndin t prcaktuar me (0).
( ) ( ) ( )00 02 jA e
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 18
Prgjigja e sistemit n sinusoidn reale Le t jet sinjali hyrs
( ) ( )0cosx t t=
Q mund t shprehet n trajt polare si:( ) ( ) 0 00 1 1cos 2 2
j t j tx t t e e = = +
Transformimi Furie i ktij sinjali sht( ) ( ) ( )0 0X = + +
Spektri i prgjigjes s sistemit Y() n kt ngacmim do t jet:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0j jY A e A e + +
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 19
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0j jY A e A e = + +
( ) ( ) ( )00 0jA e ( ) ( ) ( )00 0jA e +
Sinjali dals y(t) prcaktohet prmes shprehjes
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 0 00 0
0 0 0
12 2 2
cos
j t j tj t A Ay t Y e d e e
A t
+ +
= = +
= +
Prsri n dalje fitohet varsi sinusoidale e sinjalit, por meamplitud t modifikuar pr A(0) dhe shfazim (0).
( ) ( )cosx t t=
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 20
( ) ( )0cosx t t=
( ) ( )[ ]0 0cosy t t = +
Prgjigja e sistemit n sinjal t fardoshm periodik N hyrje t sistemit le t veproj nj sinjal periodik x(t) me
period T dhe le t jet ky sinjal i zbrthyeshm n seri Furie.( ) 0jn tn
n
x t c e
=
= Spektri i ktij sinjali mund t shprehet prmes transformimit t
prgjithsuar Furie si( ) ( )2X c n =
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 21
( ) ( )02 nn
X c n =
= Ku cn jan koeficientet e seris Furie t cilat n trajtn polare
mund t shprehen sinj
n nc c e
=
Spektri i sinjalit dals Y() n sistemin me prgjigje frekuencoreH() sht( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 2n n
n n
Y H X H c n H n c n
= =
= = =
N qoft se n shprehjen e siprme marrim se vlerat e funksionittransmetues mund t shprehen si
( ) ( ) ( )00 0 j nH n H n e = dhe me dn shnojm
( ) ( ) ( )00 0 n nj nn n n nd H n c H n c e d e + = = = do t fitohet shprehja e rregulluar pr spektr t sinjalit dals
( ) ( )02 nY d n
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 22
( ) ( )02 nn
Y d n=
Nga analogjia me shprehjen pr x(t) dhe spektrin e tij X(), mund
t prfundojm se vlen edhe( ) 0jn tn
n
y t d e
=
=
Shprehja e fundit tregon qartazi se edhe sinjali dals sht periodik, meperiod t njjt t prsritjes si sinjali x(t).
Natyra periodike e sinjalit nuk ndryshon me kalim t tij npr sistem lineardhe invariant n zhvendosje.
Por megjithkt ekziston nj dallim thelbsor n mes t ktyre dy rasteve. Nrastin e ngacmimit me sinjal t pastr sinusoidal trajta funksionale e sinjalitnuk ndryshon, ndrsa n rastin e sinjalit periodik kjo ndodh sepse pr rastin eprgjithshm nuk do t vlej dn=cn. Ilustrimi grafik sht dhn n figurnvijuese, ku trajta e spektrit sht diskrete, por jo e njjt pr shkak se dncn.
Sinjale&Sisteme Ligj. 7 23
Zbatimet e transformimit Furie
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 1
Filtrimi dhe filtrat ideal Demodulimi dhe rimkmbja
Filtrimi dhe filtrat ideal Filtrat jan sistemet q vendosen n shtegun e sinjalit, me qllim
q prmes tyre t formsohet spektri i sinjalit. N kt aspekt do sistem, funksioni primar i t cilit prkufizohet
prmes vetive t prgjigjes frekuencore t tij mund tkonsiderohet filtr.
N t shumtn e rasteve filtri ka pr detyr q n nj interval tcaktuar t frekuencs, q quhet brez frekuencor, t lejoj apo mos
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 2
caktuar t frekuencs, q quhet brez frekuencor, t lejoj apo most lejoj prcjelljen e spektrit t sinjalit nga hyrja n dalje.
Filtr ideal konsiderohet ai sistem i cili prcjell pa asnjndryshim prmbajtjen spektrale t sinjalit n nj brez t caktuarfrekuencor dhe n nj brez tjetr frekuencor plotsisht e pengonkt prcjellje t spektrit.
Tipat themelor t filtrave ideal jan:1. Filtri ideal ult-lshues2. Filtri ideal lart-lshues3. Filtri ideal brez-lshues4. Filtri ideal brez pengues
Filtri ideal ult-lshues Karakteristika amplitudore e ktij filtri sht e prkufizuar si
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 3
Karakteristika amplitudore e ktij filtri sht e prkufizuar si
( ) 1,0,c
ulc
A
ku c parqet frekuencn e prerjes.
Filtri ideal lart-lshues
( ) 1,0,c
llc
A
>=
Karakteristikat amplitudore t filtrave ideal jan paraqitur nfigurn vijuese.
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 5
Karakteristika fazore e filtrave ideal Karakteristikat e rrafshta amplitudore t filtrave ideal nuk
shkaktojn shtrembrime amplitudore n brezin e tyre lshues. Pr tiu shmangur shtrembrimeve fazore nevojitet q
karakteristika fazore e filtrit t jet lineare. Le t marrim se n hyrje t filtrit ideal ult-lshues vepron nj
sinjal i prbr nga dy komponent sinusoidal( ) ( ) ( )cos cosx t t t
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 6
( ) ( ) ( )1 2cos cosx t t t = + Frekuencat e t dy komponentve le t gjenden brenda brezit
lshues t filtrit, q do t thot se 1
Ather me kalim t sinjalit npr filtr, sinusoidat do tshfazohen pr kndet:
1 1 0 2 2 0 dhe t t = = Amplitudat e sinusoidave n dalje t filtrit mbesin t njjta sepse
A(1)=A(2)=1. Prandaj drejtprsdrejti shnojm:( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 2 2 0 1 0 2 0cos +cos cos cosy t t t t t t t t t = = +
Amplitudat e sinusoidave n dalje t filtrit mbesin t njjta sepse
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 7
Amplitudat e sinusoidave n dalje t filtrit mbesin t njjta sepseA(1)=A(2)=1. Prandaj drejtprsdrejti shnojm:
( ) ( )0y t x t t= Kur karakteristika fazore sht lineare t dy komponentt
sinusoidal t sinjalit, edhe pse me frekuenca t ndryshme,vonohen pr zhvendosje t njjt kohore t0.
N kt rast thuhet se nuk ka shtrembrime fazore.
N rastin e kundrt, po t ishte karakteristika fazore jolineareather nuk do t mund t vendosej prpjesa lineare n mes tshfazimeve
1 1
2 2
q pr rrjedhoj do t kishte pashmangshm edhe( ) ( )0y t x t t
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 8
me prfundim se sinjali dals nuk i ngjan sinjalit hyrs pr arsyet shtrembrimeve t shkaktuara nga karakteristika jolinearefazore e filtrit.
Filtri ideal ult-lshues me karakteristik lineare fazore Le t jet filtri ideal ult-lshues me karakteristik t rrafsht
amplitudore dhe karakteristik lineare fazore, t treguara nfigur.
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 9
( ) 01 ,0,
j tc
ulc
eH
far prgjigje impulsive h(t) ka ky filtr?
( ) ( )( ) ( )
( )( )
0
0 0 0
0
1 12 2
sin1sinc
2
c
c
c
c
j tj t j tul
cj t t cc c
c
h t H e d e e d
t t t te d
t t
= =
= = =
hul(t)
t0+ / ct0- / c
c/
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 10
Prgjigja impulsive hul(t) sht me kohzgjatje t pakufizuar ngat dy ant q do t thot se filtri ideal sht joshkaksor dhefizikisht i parealizueshm.
0 tt0
2 / c
Shembull : T prcaktohet prgjigja e filtrit ideal ult-lshues mefrekuenc t prerjes c n sinjalin
( ) sinc tx t
=
Nga vetia e dualitetit t domenit kohor dhe t atij frekuencordim se spektri i x(t) ka trajt drejtkndshe si n figur.
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 11
Parametrat e spektrit llogariten nga shprehja e prgjithshme( ) 1 1sinc sinct tx t A
= =
Prej ktu rrjedh: 1=1, A=.
Spektri i sinjalit dals do t jet( ) ( ) ( )Y H X =
Prgjigja frekuencore e filtrit ideal ult-lshues sht e dhn me
( ) 01 ,0,
j tc
c
eH
Rasti (a) - frekuenca kufitare e spektrit t sinjalit hyrs sht m
e vogl se frekuenca e prerjes c, c>1.0, 1j te
T shohim se far ndodh me procesin e demodulimit n t dydomenet, kohor dhe at frekuencor.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
20 0
0
cos cos
1 1 cos 22
AMy t x t t x t t
t x t
= =
= + ( ) ( ) ( ) ( )0 01 1 12 22 4 4Y X X X = + + +
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 15
Skema e plot e demodulatorit sinkron.
Multipleksimi i sinjaleve n frekuenc
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 16
Npr nj kanal (medium fizik) mund t transmetohennjkohsisht m shum sinjale t informacionit nse spektrat etyre palosen n frekuenc.
Kjo mnyr e prpunimit t sinjalit quhet multipleksimfrekuencor.
Le t jen N sinjale t informacionit x1(t), x2(t),...,xN(t) q t gjithq zn brezin e njjt frekuencor ||B.
N qoft se sinjalet e informacionit modulohen me barts t frekuencave nmes veti t zhvendosura pr 2B, ather spektrat e AM sinjaleve nukprputhen. Kjo situat sht ilustruar n figurn vijuese.
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 17
Skema parimore e multipleksimit dhe demlutipleksimit
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 18
2. Rimkmbja e PAM sinjalit PAM sinjali
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 19
( ) ( ) ( )PAMk
x t x t p t kT
=
= Nse vargu periodik i pulseve prafrohet me varg t delta
impulseve, ather vlen
( ) ( ) ( ) ( )1 mjk tPAMk k
x t x t t kT x t eT
= =
= =
( ) ( )1PAM mk
X X kT
=
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 20
Rimkmbja e sinjalit bhet duke veuar spektrin e sinjalit nbrezin themelor prmes nj filtri ult-lshues.
Le t jet prgjigja frekuencore e filtrit si n vijim
0 B
Hul( )T
-B
( ) ,0,ulT B
HB
=
> Prgjigja impulsive e filtrit.
( ) sincul BT Bth t
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 21
N dalje t filtrit kemi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ul PAM PAM uly t h t x t x h t d
= = ( ) ( ) ( )PAM
kx t x kT t kT
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )ul
ulk
ulk
x kT h t kT
ulk
y t x kT kT h t d
x kT kT h t d
x kT h t kT
=
=
=
=
=
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 22
( ) ( ) ( ) ( ) sinck
BT By t x kT t kT x t
=
= =
Formula interpoluese (rimkmbse)
Rast i veant
,
2mB BT = =
( ) ( ) ( ) sinc2
m
ky t x kT t kT
=
=
Sinjale&Sisteme Ligj. 8 23
Transformimi Furie i sinjaleve diskrete
Seria Diskrete Furie (SDF) Transformimi Furie n Koh Diskrete
(TFKD)
Sinjale&Sisteme 1Ligj. 9
1. Seria Diskrete Furie (SDF) Dihet se sinjali i vazhduar periodik, me period T, mund t
paraqitet prmes Seris Furie
( ) 0l jl tll
x t c e =
=
= Supozojm se edhe sinjali diskret periodik mund t paraqitet
prmes nj serie t trajts s ngjashme
[ ] 01 jk nkk
x n d eN
=
Sinjale&Sisteme 2Ligj. 9
Le t evidentohen ngjashmrit dhe dallimet n mes t ktyre dyrasteve
t dhe T kan njsi n sekonda [s]Sinjali i vazhduar periodik
-10
2rad s
T
= Frekuenca themelore:
Sinjali diskret periodikn dhe N nuk kan njsi
Frekuenca themelore:
[ ]0 2 radN =
( ) 0jl tle t e = [ ] 0jk nke n e =
T
Sinusoidat baz t zbrthimit t sinjaleve t vazhduara periodike
Sinusoidat baz t zbrthimit t sinjaleve diskrete periodike
Kufijt e seris
l
=
Kufijt e seris
?
?k=
Sinjale&Sisteme 3Ligj. 9
Sinusoida e vazhduar sht periodike vetm n varsi tvariablit t pavarur t, e jo edhe n varsi t indeksit l.
( ) ( ) ( )0 0 2jl t T jl t j ll le t T e e e e t ++ = = = Kjo ka pasoj q ( ) ( )
1 21 2 l ll l e t e t
Prandaj kufijt e shums te sinjalet e vazhduara e prshkojntr brezin e vlerave t indeksit l, -
Sinjali diskret periodik x[n] mund t paraqitet prmes seris[ ]
21
0
1 N jk nNk
kx n d e
N
=
= q quhet Seria Diskrete Furie (SDF). dk jan koeficientet e SDF. Prcaktimi i koeficienteve t SDF
[ ] ( )2 2 2 21 1 1 1 1
0 0 0 0 0
1 1N N N N Njm n jk n jm n j k m nN N N Nk k
n n k k nx n e d e e d e
N N
= = = = =
= =
( )
( )[ ]
21 1
20 0
1 1 1
1
j k mN N
k k mj k mk kN
e d N k m d dN N
e
= =
= = =
Pra, koeficientet e SDF llogariten nga shprehja
[ ]21
0
N jk nN
kn
d x n e
=
= Shumat e fundme nuk kan probleme me konvergjenc!
Sinjale&Sisteme 5Ligj. 9
2. Transformimi Furie i kohs diskrete (TFKD)
Ngjashm si te transformimi Furie i kohs s vazhduar edhe teprkufizimi i TFKD, sinjali diskret aperiodik mund t merret sirast limit i sinjalit periodik kur N.
Kushti N implikon q edhe indekset e koeficienteve t SDFdk t marrin vlera nga intervali i pafundm, -
Transformimi Furie i nj sinjali diskret X(ej) i sinjalit x[n] sht iprkufizuar me: ( ) [ ]j j n
n
X e x n e
=
= () Cilat sinjale, sipas definicionit (), kan TFKD ?
a) T gjitha sinjalet me kohzgjatje t fundme dhe vlera t kufizuara.b) Vetm ato sinjale me kohzgjatje t pafundme q jan t mbledhshme
sipas modulit, domethn, q plotsojn kushtin:[ ]
n
x n
< n=
Ky sht kusht i mjaftueshm (por jo edhe i nevojshm) q sinjaletenergjis t ken TFKD, sepse:
[ ] [ ]2
2
n n
E x n x n
= =
=
Shembulli 1. Sinjali [ ] [ ]1 1x n u nn
=
sht sinjal i energjis, sepse: [ ]2
2
21 1
16n n
E x nn
= =
= = = por nuk sht i mbledhshm sipas modulit.
Sinjale&Sisteme 7Ligj. 9
TFKD X(ej) quhet edhe spektr i sinjalit x[n]. X(ej) mund t paraqitet si:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj j j jR IX e X e jX e X e e = + =( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2, arctan
jIj j j
R I jR
X eX e X e X e
X e
= + =
|X(ej)| quhet spektr amplitudor i sinjalit x[n]. Madhsia () quhet spektr fazor i sinjalit x[n]. N qoft se x[n] sht sinjal real, ather |X(ej)| dhe [X (ej)] N qoft se x[n] sht sinjal real, ather |X(ej)| dhe [XR(ej)]
jan funksione ifte t , derisa () dhe [XI(ej)] janfunksione teke t . (T provohet kjo si detyr shtpie)
TFKD X(ej) sht funksion periodik variablit . Perioda e tij sht 2. ( )( ) [ ] ( ) [ ]
[ ] ( )
2 2 2j k j k n j n j kn
n n
j n j
n
X e x n e x n e e
x n e X e
+ +
= =
=
= =
= =
Sinjale&Sisteme 8Ligj. 9
TFKD sht trsisht i prcaktuar brenda nj periode [-,]. Transformimi i sinjalit t vazhduar nuk sht periodik! Ky sht nj dallim i rndsishm n mes t transformimit t
domenit t vazhduar kohor dhe t atij diskret kohor. TFKD e bn zbrthimin e sinjalit x[n] n komponentt spektral,
( ) [ ]j j nn
X e x n e
=
= Prandaj shprehja e siprme quhet formul e analizs (spektrale). Prandaj shprehja e siprme quhet formul e analizs (spektrale). Formula pr transformim t kundrt Furie Nse sht i njohur X(ej), ather prmes transformimit t kundrt
prfitohet sinjali x[n].[ ] ( )12 j j nx n X e e d
=
Kjo sht formul e sintezs s x[n] nga X(ej).Sinjale&Sisteme 9Ligj. 9
Vrtetimi i formuls s sintezs:[ ] [ ] [ ] ( )
[ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ]
1 12 2
sin
j n kj k j n
k k
k k
x n x k e e d x k e d
n kx k x k n k x n
n k
= =
= =
= =
= = =
Shembulli 2. Spektri i impulsit njsi [n].( ) [ ] [ ]0 1j j ne n e = = =( )
n=
Shembulli 3. Spektri i sinjaleve: x1[n]=anu[n] dhe x2[n]=-anu[-n-1]
( ) [ ] ( )10
1, 1
1nj n j n j
jn n
X e a e u n ae aae
= =
= = =
A jan t njjta rezultatet e fituara?Sinjale&Sisteme 10Ligj. 9
Transformimi i prgjithsuar Furie i sinjaleve diskrete. Shum sinjale t rndsishme nuk kan transformim Furie n
kuptimin e zakonshm. Pr shembull: x[n]=u[n] apo [ ] 0j nx n e = Transformimi i sinjalit t fundit sht:
( ) ( )02 2jk
X e k
=
= + Vrtetimi:
[ ] ( ) ( )( ) ( )0 0
0
0
2 20
1 1 2 22 2
1 2 22
j j n j n
k
j k n j nj n j k
kj n
x n X e e d k e d
k e d e e e
e
=
=
= = + = + = =
=
Sinjale&Sisteme 11Ligj. 9
Vetit e TFKD Ndrlidhja n mes t domenit kohor dhe atij frek