Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sự

hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm

trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sau

đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tôi cũng xin gửi

lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống

kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tại

Khoa.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn

góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015

Học viên

1

Mục lục

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Công thức Itô và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Phát biểu bài toán martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Chương 3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang

thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Ước lượng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . 60

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2

Lời mở đầu

Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tích

phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ...) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích

xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫu

nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học,

y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . . . và được nhiều nhà toán học quan

tâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liên

tục đã được nghiên cứu khá đầy đủ.

Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta

thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quan

sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân)

và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả

thiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không

hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen

lẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào

đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián

đoạn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để

mô tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc

phục nhược điểm này. Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S. Hilger,

một nhà Toán học người Đức. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian

cho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không

đều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thu

hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều

công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín.

Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chủ yếu ở giải tích tất định.

Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi

3

trường không có nhiễu biến đổi. Tuy nhiên, các mô hình thực tế phải tính đến các yếu

tố ngẫu nhiên tác động vào. Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả về giải tích

trên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên.

Bố cục của luận văn bao gồm ba chương:

• Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu

nhiên trên thang thời gian.

• Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích;

công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài

toán martingale.

• Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu

là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm

của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương

trình qua các hàm Lyapunov.

Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai

sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn

đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015

Học viên

4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích tất định và quá

trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của

luận văn ở các chương sau.

1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian

Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2].

Định nghĩa 1.1.1. Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là thang

thời gian (time scales). Ký hiệu thang thời gian là T.

Dễ thấy rằng các tập hợp: R, Z, N, N0, [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N và tập Cantor là các

thang thời gian.

Trong khi đó, các tập hợp: Q, R Q, (0, 1) không phải là các thang thời gian vì chúng

không phải là các tập đóng.

Trong luận văn, tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có một tôpô, chính là tôpô

cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử T là một thang thời gian. Ánh xạ σ : T → T xác định bởi

σ(t) = infs ∈ T : s > t,

được gọi là toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) trên thang thời gian T. Ánh

xạ ρ : T → T xác định bởi

ρ(t) = infs ∈ T : s > t,

được gọi là toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) trên thang thời gian T.

5

Quy ước inf ∅ = supT (nghĩa là σ(M) =M nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất

là M) và sup ∅ = inf T (nghĩa là ρ(m) = m nếu thang thời gian T có phần tử nhỏ nhất

là m).

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử T là một thang thời gian. Một điểm t ∈ T được gọi là trù

mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t, trù mật

trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t và là điểm cô lập

(isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải.

Với mỗi a, b ∈ T, kí hiệu [a, b] là tập hợp t ∈ T : a ≤ t ≤ b, tương tự, kí hiệu các tập

hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng là các tập hợp t ∈ T : a < t ≤ b; t ∈ T : a < t < b;

t ∈ T : a ≤ t < b. Kí hiệu Ta = t ∈ T : t ≥ a và

kT =

T nếu minT = −∞T\ [m,σ (m)) nếu minT = m

Tk =

T nếu maxT = +∞T\ (ρ(M),M ] nếu maxT =M

Kí hiệu:

I1 =t : t cô lập trái

, I2 =

t : t cô lập phải

, I = I1 ∪ I2. (1.1.1)

Mệnh đề 1.1.1. Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải của thang

thời gian T là tập không quá đếm được.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là thang thời gian. Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định bởi

µ(t) = σ(t)− t,

được gọi là hàm hạt tiến (forward graininess function) trên thang thời gian T. Ánh xạ

ν :k T → R+ xác định bởi

ν(t) = t− ρ(t),

được gọi là hàm hạt lùi (backward graininess function) trên thang thời gian T.

Ví dụ 1.1.1. • Nếu T = R thì ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0.

• Nếu T = Z thì ρ(t) = t− 1, σ(t) = t+ 1, µ(t) = ν(t) = 1.

6

• Với h là số thực dương, chúng ta định nghĩa thang thời gian T = hZ như sau:

hZ = kh : k ∈ Z = ...− 3h,−2h, 0, h, 2h, 3h, ... ,

khi đó ρ(t) = t− h, σ(t) = t+ h, µ(t) = ν(t) = h.

• Với a, b là các số thực dương, ta xét thang thời gian T = Pa,b như sau

Pa,b =

∞∪k=1

[k(a+ b), k(a+ b) + b].

Khi đó

σ(t) =

t nếu t ∈

∞∪k=1

[k(a+ b), k(a+ b) + b)

t+ a nếu t ∈∞∪k=1

k(a+ b) + b

ρ(t) =

t nếu t ∈

∞∪k=1

[k(a+ b), k(a+ b) + b)

t− a nếu t ∈∞∪k=1

k(a+ b)

µ(t) =

0 nếu t ∈

∞∪k=1

[k(a+ b), k(a+ b) + b)

a nếu t ∈∞∪k=1

k(a+ b) + b

và

ν(t) =

0 nếu t ∈

∞∪k=1

[k(a+ b), k(a+ b) + b)

a nếu t ∈∞∪k=1

k(a+ b)

• Với n ∈ N0, xét dãy số điều hòa

H0 = 0, Hn =

n∑k=1

1

k, n ≥ 1.

Xác định thang thời gian như sau

H = Hn : n ∈ N.

Khi đó,

σ(Hn) =

n+1∑k=1

1

k, ρ(Hn) =

n−1∑k=1

1

knếu n ≥ 2

0 nếu n = 0, 1

và

µ(Hn) =1

n+ 1, ν(Hn) =

1

nnếu n ≥ 1

0 nếu n = 0.

7

Định nghĩa 1.1.5. Cho hàm số f : T → R. Hàm số f được gọi là

i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn

phải tại các điểm trù mật phải.

ii) rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn

trái tại các điểm trù mật trái. Tập các hàm rd-liên tục kí hiệu là Crd hoặc Crd(T,R).

iii) ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải

tại các điểm trù mật phải. Tập các hàm ld-liên tục kí hiệu là Cld hoặc Cld(T,R).

Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T. Khi đó, chúng ta viết fρ : T → R là

hàm số xác định bởi fρ = f ρ, nghĩa là fρ(t) = f(ρ(t)) với mọi t ∈ kT. Kí hiệu limσ(s)↑t

f(s)

bởi f(t−) hoặc ft− nếu tồn tại giới hạn trái. Ta thấy rằng nếu t là điểm cô lập trái thì

ft− = fρ(t).

Định lý 1.1.1. Giả sử f : T → R là một hàm xác định trên T. Khi đó,

i) Nếu f là hàm số liên tục thì f là hàm số rd-liên tục và ld-liên tục.

ii) Nếu f là hàm số rd-liên tục thì f là hàm số chính quy.

iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd-liên tục.

iv) Toán tử bước nhảy lùi là hàm số ld-liên tục.

v) Nếu f là hàm số ld-liên tục thì fρ cũng là hàm số ld-liên tục.

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R. Hàm

số f được gọi là có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có đạo hàm) tại t ∈ kT

nếu tồn tại f∇(t) ∈ R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại một lân cận U của t để∣∣f(ρ(t))− f(s)− f∇(t)(ρ(t)− s)∣∣ ≤ ε |ρ(t)− s| với mọi s ∈ U.

f∇(t) ∈ R được gọi là ∇-đạo hàm của hàm số f tại t.

Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại mọi điểm t ∈ kT thì f được gọi là có ∇-đạo hàm trên

T.

Ví dụ 1.1.2. • Nếu T = R thì f∇(t) ≡ f ′(t) chính là đạo hàm thông thường.

• Nếu T = Z thì f∇(t) = f(t)− f(t− 1) chính là sai phân lùi cấp một.

8

Định lý 1.1.2. Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ kT. Khi đó,

i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t.

ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇-đạo hàm tại t và

f∇(t) =f(t)− f(ρ(t))

ν(t).

iii) Nếu t là điểm trù mật trái thì f là hàm số có ∇-đạo hàm tại t nếu và chỉ nếu giới hạn

lims→t

f(t)− f(s)

t− s,

tồn tại và hữu hạn. Trong trường hợp đó,

f∇(t) = lims→t

f(t)− f(s)

t− s.

iv) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì

fρ(t) = f(t)− ν(t).f∇(t).

Định lý 1.1.3. Giả sử f, g : T → R là một hàm số xác định trên T và có ∇-đạo hàm tại

t ∈ kT. Khi đó,

i) Hàm tổng f + g : T → R có ∇-đạo hàm tại t và

(f + g)∇(t) = f∇(t) + g∇(t).

ii) Hàm tích fg : T → R ∇-đạo hàm tại t và ta có quy tắc đạo hàm của tích

(fg)∇(t) = f∇(t)g(t) + fρ(t)g∇(t) = f(t)g∇(t) + f∇(t)gρ(t).

iii) Nếu g(t)gρ(t) = 0 thì hàm sốf

gcó ∇-đạo hàm tại t và quy tắc đạo hàm của thương

là (f

g

)∇

(t) =f∇(t)g(t)− f(t)g∇(t)

g(t)gρ(t).

Sau đây là quy tắc tính đạo hàm của lũy thừa bậc n.

Định lý 1.1.4. Giả sử α là một hằng số và n ∈ N. Khi đó,

i) Nếu f là hàm số xác định bởi f(t) = (t− α)n thì

f∇(t) =

n−1∑i=0

(ρ(t)− α)i(t− α)n−i−1.

9

ii) Nếu g là hàm số xác định bởi g(t) =1

(t− α)nthì

g∇(t) = −n−1∑i=0

1

(ρ(t)− α)n−i(t− α)i+1,

với điều kiện (t− α)(ρ(t)− α) = 0.

Định nghĩa 1.1.7. Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồi quy (re-

gressive) nếu

1 + µ(t)p(t) = 0, với mọi t ∈ Tk.

Kí hiệu

R =p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) = 0

.

R+ =p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) > 0

.

Tiếp theo, tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thang thời gian.

Giả sử A là hàm tăng, liên tục phải, xác định trên T. Kí hiệu M1 = (a; b] : a, b ∈ T là

họ tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải của T. Khi đó, M1 là nửa vành các

tập con của T. Lấy m1 là hàm tập xác định trên M1 và được xác định bởi

m1 ((a, b]) = Ab − Aa. (1.1.2)

Chúng ta thấy rằng m1 là hàm cộng tính đếm được trên M1. Kí hiệu µA∇ là mở rộng

Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là ∇A-độ đo Lebesgue

- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T. Chúng ta chứng minh được kết quả sau:

Với t ∈k T, tập một điểm t là ∇A-đo được và

µA∇ (t) = At − At− .

Với a, b ∈ T và a ≤ b,

µA∇ ((a, b)) = Ab− − Aa;µA∇ ([a, b)) = Ab− − Aa− ;µ

A∇ ([a, b]) = Ab − Aa− .

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5].

Lấy E ⊂ kT là một tập µA∇-đo được và f : T → R là một hàm số µA∇-đo được. Kí

hiệu∫Efτ∇Aτ là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo µA∇ trên E và được gọi là

∇A -tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T ta có µA∇ là ∇-độ đo

Lebesgue trên T và∫Efτ∇Aτ là ∇-tích phân Lebesgue. Trong luận văn, tôi sử dụng kí

10

hiệub∫a

f(τ)∇τ thay cho∫(a,b]

f(τ)∇τ . Sau đây là một số tính chất quen thuộc của ∇-tích

phân.

Định lý 1.1.5. Giả sử a, b, c ∈ T, α ∈ R và f : T → R, g : T → R là các hàm số

ld-liên tục. Khi đó:

i)b∫a

(f(τ) + g(τ))∇τ =b∫a

f(τ)∇τ +b∫a

g(τ)∇τ ;

ii)b∫a

αf(τ)∇τ = αb∫a

f(τ)∇τ ;

iii)b∫a

f(τ)∇τ = −a∫b

f(τ)∇τ ;

iv)c∫a

f(τ)∇τ +b∫c

f(τ)∇τ =b∫a

f(τ)∇τ ;

v)b∫a

f(ρ(τ))g∇(τ)∇τ = f(b)g(b)− f(a)g(a)−b∫a

f∇(τ)g(τ)∇τ ;

vi)b∫a

f(τ)g∇(τ)∇τ = f(b)g(b)− f(a)g(a)−b∫a

f∇(τ)g(ρ(τ))∇τ .

Ví dụ 1.1.3. Giả sử a, b ∈ T, f : T → R là hàm số xác định trên T và ld-liên tục.

i) Nếu T = R thìb∫

a

f(τ)∇τ =

b∫a

f(τ)dτ .

ii) Nếu T là thang thời gian sao cho một điểm t ∈ T là điểm cô lập thì

b∫a

f(τ)∇τ =

∑

t∈(a,b]f(t)ν(t) nếu a < b

0 nếu a = b

−∑

t∈(b,a]f(t)ν(t) nếu a > b

iii) Nếu T = hZ thì

b∫a

f(τ)∇τ =

bh∑

k= ah+1

f(kh)h nếu a < b

0 nếu a = b

−ah∑

k= bh+1

f(kh)h nếu a > b

11

iv) Nếu T = Z thì

b∫a

f(τ)∇τ =

bh∑

k=a+1

f(k) nếu a < b

0 nếu a = b

−ah∑

k=b+1

f(k) nếu a > b

Các bước xây dựng ∆-tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng ∇-tích phân Lebesgue

(xem [2]). Trong trường hợp tổng quát ta không có mối liên hệ nào giữa ∆-tích phân và

∇-tích phân. Trường hợp đặc biệt hàm số dưới dấu tích phân là chính quy ta có bổ đề

sau:

Bổ đề 1.1.1. Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ Tk, a ∈ kT, a < b.

Khi đó đẳng thức sau đúng

b∫a

f(τ−)∇τ =

b∫a

f(τ)∆τ (1.1.3)

Chứng minh. Áp dụng Định lý 6.5 trong [4], ta có

b∫a

f(τ)∆τ =

∫[a,b)

f(τ)∆τ +∑a≤s<b

f(s)µ(s)

=

∫(a,b]

f(τ−)∆τ +∑a<s≤b

f(s−)ν(s)

=

b∫a

f(τ−)∇τ .

Ta có điều phải chứng minh.

Từ định lý 2.33 trong [1] và Bổ đề 1.1.1 suy ra, nếu p ∈ R thì ep(t, t0) là nghiệm của

phương trình

x(t) = 1 +

t∫a

p(τ)y(τ)∆τ ,

cũng là nghiệm của bài toán Cauchy:y∇(t) = p(t−)y(t−) ∀t ∈ Tay(a) = 1

(1.1.4)

12

Với hàm số hk : T× T → R; k ∈ N0 được xác định bởi

h0(t, s) = 1 và hk+1(t, s) =

t∫s

hk(τ, s)∆τ với k ∈ N0.

Khi đó, hk(t, s) là hàm số liên tục theo t. Do đó ta có

hk+1(t, s) =

t∫s

hk(τ−, s)∇τ .

Hơn nữa, ta có ước lượng sau

0 ≤ hk(t, s) ≤(t− s)k

k!, (1.1.5)

với bất kì k ∈ N và t > s.

Bổ đề 1.1.2. Giả sử u(t) là một hàm số chính quy, ua, p ∈ R+. Khi đó,

u(t) ≤ ua + p

t∫a

u(τ−)∇τ ∀t ∈ Ta,

kéo theo

u(t) ≤ uaep(t, a) ∀t ∈ Ta.

Chứng minh. Bằng cách thế liên tiếp, ta có

u(t) ≤ ua + p

t∫a

u(τ1−)∇τ1

≤ ua + p

t∫a

ua + p

τ1−∫a

u(τ2−)∇τ2

∇τ1

= ua + uaph1(t, a) + p2

t∫a

τ1−∫a

u(τ2−)∇τ2

∇τ1.

Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K∗ sao cho

|u(t)| ≤ K∗ ∀t ∈ [a, T ]. Tiếp tục quá trình này ta có

u(t) ≤ ua + uaph1(t, a) + uaph2(t, a) + . . .+ pn

t∫a

τ1−∫a

τ2−∫a

. . .

τn−∫a

u(τn+1−)∇τn . . .∇τ2∇τ1

≤n∑

k=0

uapkhk(t, a) +K∗hn+1(t, a) ≤

∞∑k=0

uapkhk(t, a) + lim

n→∞K∗hn+1(t, a).

13

Từ (1.1.5) suy ra limn→∞

hn+1(t, a) = 0, áp dụng công thức khai triển Taylor, ta có

u(t) ≤ ua

∞∑k=0

pkhk(t, a) = uaep(t, a) với mọi t ∈ Ta.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

14

1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian

Thông thường, chúng ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số là tập con nào

đó của tập số thực R. Thang thời gian là một tập con đóng của tập số thực R. Chính

vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian cũng được định nghĩa

theo cách thông thường.

Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên trên thang thời

gian. Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên các tài liệu tham khảo [5,

6, 7, 8].

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω,F) là không gian đo. Cho (Ft)t∈Talà họ σ-trường con của

F . Khi đó, (Ft)t∈Tađược gọi là không giảm, nếu

Fs ⊂ Ft,∀s, t ∈ Ta và s ≤ t.

Với mỗi t ∈ Ta đặt

Ft+ =∩s>t

Fs,Ft− = σ(∪s<t

Fs),Fa− = Fa,F∞ = σ(∪a<t

Fs)

trong đó σ(C) là σ-trường bé nhất của F chứa lớp các tập con C ⊂ F .

Nếu (Ft)t∈Takhông giảm thì

Ft− ⊂ Ft ⊂ Ft+ .

Ta nói rằng họ σ-trường con (Ft)t∈Taliên tục phải nếu Ft = Ft+ với mọi t ∈ T.

Xét không gian xác suất đầy đủ (Ω,F ,P) với bộ lọc (Ft)t∈Tathỏa mãn các điều kiện

thông thường (Fa chứa các tập có độ đo 0, Ft liên tục phải Ft =∩s>t

Fs), B(R) là σ-trường

các tập con Borel của tập số thực R.

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử T là một thang thời gian. Khi đó, ánh xạ

X :T× Ω → R

(t, ω) 7→ Xt(ω),

được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu thỏa mãn:

1) Với mỗi t ∈ T thì Xt : Ω → R là ánh xạ F-đo được.

2) Với mỗi ω ∈ Ω thì X.(ω) : T → R là hàm số xác định trên T.

15

X.(ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω.

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X = (Xt)t∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T. Khi đó,

X = (Xt)t∈T được gọi là:

1) Liên tục ( rd-liên tục, ld-liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X.(ω) là hàm số liên tục

(rd-liên tục, ld-liên tục) .

2) (Ft)-phù hợp nếu với mỗi t thì Xt là Ft-đo được.

3) Đo được nếu B(T)×F-đo được.

4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm.

5) Đo được dần nếu với mọi T ∈ Ta, (Xt)t∈[a,T ] là quá trình B([a, T ])×FT -đo được.

Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω,F ,P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu

nhiên và G là σ-trường con của F . Khi đó, kì vọng có điều kiện của X đối với σ-trường

G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:

i) Y là biến ngẫu nhiên G-đo được.

ii) Với mỗi A ∈ G, ta có ∫A

Y dP =

∫A

XdP.

Ta kí hiệu Y = E(X|G).

Định nghĩa 1.2.5. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈Tađược gọi là (Ft) −martingale

nếu

i) X = (Xt)t∈Talà quá trình (Ft)-phù hợp;

ii) E|Xt| <∞ với mọi t ∈ Ta;

iii) Với mọi s, t ∈ Ta, s ≤ t,

E(Xt|Fs) = Xs h.c.c.

Martingale (Xt)t∈Tađược gọi là martingale bình phương khả tích nếu E|Xt|2 < ∞ ∀t ∈

Ta. Kí hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2.

16

Định nghĩa 1.2.6. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈Tađược gọi là (Ft)−supermartingale

nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và

iii’) Với mọi s, t ∈ Ta, s ≤ t,

E(Xt|Fs) ≤ Xs h.c.c.

Định nghĩa 1.2.7. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈Tađược gọi là (Ft)−submartingale

nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và

iii”) Với mọi s, t ∈ Ta, s ≤ t,

E(Xt|Fs) ≥ Xs h.c.c.

Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Doob). Giả sử (Mt)t∈Talà (Ft)-submartingale, không

âm, liên tục phải với E|Mt|p <∞, 1 < p < +∞ và T ∈ Ta. Khi đó,

E(

supa≤t≤T

Mpt

)≤(

p

p− 1

)p

EMpT .

Kí hiệu L là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (ϕt)t∈Taxác định

trên Ta × Ω với quỹ đạo liên tục trái trên Ta và (Fρ(t))-phù hợp.

Lấy P là σ-trường các tập con của Ta × Ω sinh bởi các quá trình ngẫu nhiên trên L.

Dễ dàng thấy rằng P được sinh bởi họ các tập (s, t]× F : s, t ∈ Ta, s < t, F ∈ Fs .

Định nghĩa 1.2.8. Mỗi phần tử của σ-trường P được gọi là một tập khả đoán. Một quá

trình ngẫu nhiên ϕ được gọi là khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường P.

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quá trình khả

đoán.

Chú ý 1.2.1. i) Nếu T = N thì quá trình ϕt là khả đoán nếu ϕt là quá trình Ft−1-đo

được.

ii) Nếu T = R thì quá trình ϕt là khả đoán nếu ϕt là quá trình đo được đối với σ-trường

sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái.

Mệnh đề 1.2.1. Giả sử Φ là không gian tuyến tính gồm các quá trình ngẫu nhiên

ϕ : Ta × Ω → R đo được, bị chặn thỏa mãn:

i) Φ chứa tất cả các quá trình ϕ bị chặn và ϕ ∈ L;

17

ii) Mọi dãy đơn điệu ϕn ⊂ Φ sao cho limn→∞

ϕn = ϕ là quá trình bị chặn thuộc Φ.

Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán.

Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω,F ,P là không gian xác suất với lọc là (Ft)t∈Ta. Khi đó, ánh

xạ τ : Ω → Ta được gọi là thời điểm dừng (stopping time) đối với họ σ-trường (Ft)t∈Ta

nếu biến cố (τ ≤ t) ∈ Ft, với mọi t ∈ Ta.

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử (Xt)t∈Ta, Xa = 0 là một quá trình (Ft)-phù hợp. Khi đó,

(Xt)t∈Tađược gọi là martingale địa phương bình phương khả tích nếu tồn tại một dãy thời

điểm dừng τn , τn ∞ sao cho (Xt∧τn)t∈Talà (Ft)-martingale bình phương khả tích.

Định nghĩa 1.2.11. Giả sử (Xt)t∈Ta, Xa = 0 là một quá trình (Ft)-phù hợp. Khi đó

(Xt)t∈Tađược gọi là semimartingale nếu với mọi t ∈ Ta ta có

Xt =Mt + At,

trong đó (At)t∈Talà quá trình liên tục phải, (Ft)-phù hợp, với quỹ đạo có biến phân giới

nội và (Mt)t∈Talà martingale địa phương bình phương khả tích.

Định nghĩa 1.2.12. Giả sử H ⊂ L1. Họ H được gọi là khả tích đều nếu

supX∈H

∫[|X|>c]

|X|dP → 0 khi c→ ∞. (1.2.6)

Định lý 1.2.2. (Dunford - Pettis). Giả sử (Yn)n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích

đều. Khi đó tồn tại một dãy con (Ynk)k∈N của (Yn)n∈N hội tụ yếu về biến ngẫu nhiên Y ,

nghĩa là với mọi biến ngẫu nhiên bị chặn ξ ta có

limk→∞

E(ξYnk) = E(ξY ).

Bổ đề 1.2.1. Giả sử (Yn)n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không

gian xác suất (Ω,F ,P) hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên khả tích Y, khi đó với mỗi σ-trường

G ⊂ F , dãy các biến ngẫu nhiên (E [Yn|G])n∈N hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên E [Y |G] .

Chứng minh. Với bất kì biến ngẫu nhiên ξ bị chặn, xác định trên không gian xác suất

(Ω,F ,P) ta có

E [ξE(Yn|G)] = E[EξE(Yn|G)|G] = E[E(ξ|G)E(Yn|G)]

= E[EYnE(ξ|G)|G] = E[YnE(ξ|G)].

18

Mặt khác,

limn→∞

E[YnE(ξ|G)] = E[Y E(ξ|G)] = E[ξE(Y |G)].

Điều đó kéo theo

limn→∞

E[ξE(Yn|G)] = E[ξE(Y |G)].

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.2.13. Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thuộc lớp (DL) nếu với mỗi

T ∈ Ta thìXτ : τ là thời điểm dừng thỏa mãn a ≤ τ ≤ T

khả tích đều.

19

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên trên thangthời gian

Trong chương này, Mục 2.1, tôi trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo

martingale bình phương khả tích. Mục 2.2 và 2.3, tôi trình bày công thức Itô đối với bộ

d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale.

2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 là một martingale bình phương khả tích. Vì M2

là submartingale, nên theo khai triển Doob - Meyer trong [18], tồn tại duy nhất một quá

trình tăng tự nhiên ⟨M⟩ = (⟨M⟩t)t∈Tasao cho M2

t − ⟨M⟩t là một martingale. Quá trình

tăng tự nhiên ⟨M⟩t được gọi là đặc trưng của martingale M .

Kí hiệu L2(M) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả

đoán ϕ = ϕtt∈Tathỏa mãn

∥ϕ∥2T,M = ET∫

a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ <∞, ∀T > a.

Với mỗi b > a cố định, gọi L2((a, b] ;M) là hạn chế của không gian L2(M) trên (a, b].

Trên không gian L2((a, b] ;M) xét chuẩn xác định bởi

∥ϕ∥2b,M = Eb∫

a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ <∞.

Hai quá trình ϕ, ϕ ∈ L2((a, b] ;M) được gọi là trùng nhau nếu∥∥ϕ− ϕ

∥∥b,M

= 0.

Một quá trình ϕ xác định trên [a, b] được gọi là quá trình đơn giản, nếu tồn tại một

phân hoạch π : a = t0 < t1 < . . . < tn = b của [a, b] và dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn

20

(fi) sao cho fi là Fti−1-đo được với mọi i = 1, n và

ϕ(t) =

n∑i=1

fi1(ti−1,ti](t); t ∈ (a, b] . (2.1.1)

Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các quá trình đơn giản là L0.

Bổ đề 2.1.1. L0 trù mật trong L2((a, b] ;M) với metric xác định bởi

d(ϕ, φ)2 = ∥ϕ− φ∥2b,M = Eb∫

a

|ϕτ − φτ |2∇⟨M⟩τ .

Chứng minh. Rõ ràng, L0 ⊂ L2((a, b] ;M). Lấy ϕ ∈ L2((a, b] ;M). Đặt

ϕK(t, ω) := ϕ(t, ω)1[−K,K](ϕ(t, ω)).

Khi đó, ϕK ∈ L2((a, b] ;M) và∥∥ϕ− ϕK

∥∥b,M

→ 0 khi K → +∞. Do đó, chúng ta

cần chỉ ra với mỗi quá trình ϕ ∈ L2((a, b] ;M) bị chặn thì có thể xác định được dãy

ϕ(n) ∈ L0, n = 1, 2, . . . sao cho∥∥ϕ− ϕ(n)

∥∥b,M

→ 0 khi n→ ∞. Lấy

Υ = ϕ ∈ L2( (a, b] ;M) :ϕ bị chặn và tồn tại ϕ(n) ∈ L0

sao cho∥∥∥ϕ− ϕ(n)

∥∥∥b,M

→ 0 khi n → ∞.

Υ là không gian tuyến tính và nếu ϕ(n) ∈ Υ,∥∥ϕ(n)∥∥ < K với hằng số K > 0 nào đó và

ϕ(n) ↑ ϕ thì ϕ ∈ Υ. Với mỗi ϕ ∈ L2, đặt

ϕ(n)(t) := ϕ(σ(ti)), nếu t ∈ (ti, ti+1] với i = 0,kn − 1,

trong đó ti là một phân hoạch của [a, b] sao cho maxi

(ρ(ti+1)− ti) ≤ 2−n. Điều này dẫn

tới ϕ ∈ L0 và∥∥ϕ(n) − ϕ

∥∥b,M

→ 0 khi n → ∞. Từ Mệnh đề 1.2.1, suy ra Υ chứa tất cả

các quá trình khả đoán bị chặn. Do đó, Υ = L2((a, b] ;M).

Định nghĩa 2.1.2. Giả sử ϕ là một quá trình thuộc L0, có dạng (2.1.1). Khi đó,

b∫a

ϕτ∇Mτ :=

kn∑i=1

fi.(Mti −Mti−1), (2.1.2)

được gọi là ∇-tích phân ngẫu nhiên của ϕ ∈ L0 theo martingale bình phương khả tích M

trên (a, b].

Chúng ta chứng minh được rằng ∇-tích phân ngẫu nhiênb∫a

ϕτ∇Mτ là biến ngẫu nhiên

Fb-đo được và mệnh đề sau đây được thỏa mãn.

21

Mệnh đề 2.1.1. Giả sử ϕ là một quá trình ngẫu nhiên thuộc L0 và α, β là các số thực.

Khi đó,

i) Eb∫a

ϕτ∇Mτ = 0,

ii) E

[b∫a

ϕτ∇Mτ

]2= E

[b∫a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ

],

iii)b∫a

[αϕτ + βξτ ]∇Mτ = αb∫a

ϕτ∇Mτ + βb∫a

ξτ∇Mτh.c.c.

Với mỗi ϕ ∈ L2 ((a, b] ;M), từ Bổ đề 2.1.1 suy ra tồn tại dãy ϕ(n) ⊂ L0 sao cho∥∥ϕ(n) − ϕ∥∥b,M

→ 0 khi n→ ∞. Mặt khác,

E

b∫a

ϕ(n)τ ∇Mτ −

b∫a

ϕ(m)τ ∇Mτ

2

=∥∥∥ϕ(m) − ϕ(n)

∥∥∥2b,M

,

điều này đảm bảo b∫a

ϕ(n)(τ)∇Mτ là dãy Cauchy. Do đó, b∫a

ϕ(n)(τ)∇Mτ hội tụ đến

biến ngẫu nhiên ξ trong L2(Ω,F ,P). Tức là

ξ = L2 − limn→∞

b∫a

ϕ(n)(τ)∇Mτ .

Giới hạn ξ không phụ thuộc vào việc chọn dãyϕ(n).

Định nghĩa 2.1.3. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ;M), ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ

theo martingale bình phương khả tích M ∈ M2 trên (a, b], kí hiệu làb∫a

ϕτ∇Mτ và được

xác định bởib∫

a

ϕτ∇Mτ = L2 − limn→∞

b∫a

ϕ(n)τ ∇Mτ , (2.1.3)

trong đóϕ(n)

là dãy các quá trình thuộc L0 sao cho

limn→∞

Eb∫

a

∣∣∣ϕτ − ϕ(n)τ

∣∣∣2∇⟨M⟩τ = 0.

Ví dụ 2.1.1. i) Nếu T = N và ϕ ∈ L2 ((a, b] ;M) thì (ϕn) là dãy các biến ngẫu nhiên

(Fn−1)-phù hợp vàb∫

a

ϕτ∇Mτ =

b∑i=a+1

ϕi(Mi −Mi−1).

22

ii) Nếu T = R thì L2 ((a, b] ;M) chứa tất cả các quá trình khả đoán (quá trình đo được

đối với σ-trường sinh bởi các quá trình liên tục trái). Hơn nữa,

b∫a

ϕτ∇Mτ =

b∫a

ϕτdMτ ,

trong đób∫a

ϕτdMτ là tích phân ngẫu nhiên Ito được xác định theo nghĩa thông thường

như trong [6].

Sau đây là một số tính chất cơ bản của ∇-tích phân ngẫu nhiên.

Mệnh đề 2.1.2. Giả sử ϕ, ξ ∈ L2 ((a, b] ;M) và α, β là hai số thực. Khi đó các khẳng

định sau được thỏa mãn.

i)b∫a

ϕτ∇Mτ là Fb-đo được;

ii) Eb∫a

ϕτ∇Mτ = 0

iii) E

[b∫a

ϕτ∇Mτ

]2= E

b∫a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ ;

iv)b∫a

[αϕτ + βξτ ]∇Mτ = αb∫a

ϕτ∇Mτ + βb∫a

ξτ∇Mτh.c.c.

v) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên bị chặn và Fa-đo được, thì ϕξ ∈ L2 ((a, b] ;M) và

b∫a

ξϕτ∇Mτ = ξ

b∫a

ϕτ∇Mτ .h.c.c. (2.1.4)

Chứng minh. Các tính chất trên luôn đúng với ϕ ∈ L0. Bằng cách lấy giới hạn qua dấu

tích phân ta có các tính chất trên đúng với ϕ ∈ L2 ((a, b] ;M).

Định lý 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 và ϕ ∈ L2 ((a, b] ;M). Khi đó,

E

b∫a

ϕτ∇Mτ

∣∣∣∣∣∣Fa

= 0 h.c.c. (2.1.5)

E

b∫

a

ϕτ∇Mτ

2∣∣∣∣∣∣∣Fa

= E

b∫a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ

∣∣∣∣∣∣Fa

h.c.c. (2.1.6)

23

Chứng minh. Đẳng thức (2.1.5) suy ra trực tiếp từ định nghĩa ∇-tích phân ngẫu nhiên

và tính chất của kì vọng có điều kiện. Hơn nữa, với mọi A ∈ Fa ta có

E

1A

b∫a

ϕτ∇Mτ

2 = E

b∫a

1Aϕτ∇Mτ

2

= Eb∫

a

1Aϕ2τ∇⟨M⟩τ = E

1A

b∫a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ

.

Như vậy,

E

1A

b∫a

ϕτ∇Mτ

2 = E

1A

b∫a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ

∀A ∈ Fa,

nghĩa là

E

b∫

a

ϕτ∇Mτ

2∣∣∣∣∣∣∣Fa

= E

b∫a

ϕ2τ∇⟨M⟩τ

∣∣∣∣∣∣Fa

h.c.c.

Ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 2.1.4. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ;M). Với mỗi t ∈ [a, b], đặt

I(a) = 0; I(t) =

b∫a

1(a,t]ϕτ∇Mτ ∀a < t ≤ b.

Khi đó, I(t) được gọi ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ theo martingale bình phương

khả tích M , kí hiệu làt∫a

ϕτ∇Mτ .

Định lý 2.1.2. Giả sử ϕ là một một phần tử bất kì thuộc L2 ((a, b] ;M). Khi đó, ∇-tích

phân ngẫu nhiên I(t)t∈[a,b] là một (Ft)-martingale bình phương khả tích. Hơn nữa, ta

có ước lượng sau

E

supa≤t≤b

∣∣∣∣∣∣b∫

a

ϕτ∇Mτ

∣∣∣∣∣∣2 ≤ 4E

b∫a

|ϕτ |2∇⟨M⟩τ . (2.1.7)

Chứng minh. Rõ ràng I(t)t∈[a,b] là một quá trình (Ft)-phù hợp, bình phương khả tích.

Tính chất martingale của I(t) được suy ra từ

E (I(t)|Fs) = E (I(s)|Fs) + E

t∫s

ϕτ∇Mτ

∣∣∣∣∣∣Fs

= I(s).

24

Bất đẳng thức (2.1.7) được suy ra từ Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 2.1.2(iii).

25

2.2. Công thức Itô và ứng dụng

Định nghĩa 2.2.1. Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t]

π(n) : a = t(n)0 < t

(n)1 < . . . < t

(n)kn

= t, (2.2.8)

thỏa mãn

maxi

(ρ(t(n)i+1)− t

(n)i ) ≤ 2−n. (2.2.9)

Giả sử X và Y là hai quá trình ngẫu nhiên. Khi đó,

[X,Y ]t = P− limn→∞

kn∑i=1

(X

t(n)i

−Xt(n)i−1

)(Yt(n)i

− Yt(n)i−1

),

được gọi là biến phân hỗn hợp của X và Y trên đoạn [a, t], nếu giới hạn tồn tại. Nếu X =

Y thì [X,X]t= [X]t được gọi là biến phân bậc hai của X, nghĩa là

[X]t = P− limn→∞

kn∑i=1

(X

t(n)i

−Xt(n)i−1

)2.

Mệnh đề 2.2.1. Giả sử M và N là hai semimartingale thì biến phân hỗn hợp [M,N ]t

luôn tồn tại và hệ thức sau được thỏa mãn

MtNt =MaNa +

t∫a

Mτ−∇Nτ +

t∫a

Nτ−∇Mτ + [M,N ]t (2.2.10)

Chứng minh. Với phân hoạcht(n)i

của đoạn [a, t] được xác định bởi (2.2.8) và (2.2.9).

Ta có

MtNt −MaNa =

kn∑i=1

(MtiNti −Mti−1Nti−1) =

kn∑i=1

(Mti −Mti−1) (Nti −Nti−1)

+

kn∑i=1

Nti−1 (Mti −Mti−1) +

kn∑i=1

Mti−1 (Nti −Nti−1).

Ta có

P− limn→∞

kn∑i=1

Mti−1 (Nti −Nti−1) =

t∫a

Mτ−∇Nτ

và

P− limn→∞

kn∑i=1

Nti−1 (Mti −Mti−1) =

t∫a

Nτ−∇Mτ .

26

Như vậy, tồn tại giới hạn

P− limn→∞

kn∑i=1

(Mti −Mti−1) (Nti −Nti−1) = [M,N ]t,

và hệ thức sau đây đúng

MtNt =MaNa +

t∫a

Mτ−∇Nτ +

t∫a

Nτ−∇Mτ + [M,N ]t

Ta có điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.2.1 chỉ ra rằng, biến phân hỗn hợp của hai martingale địa phương bình

phương khả tích M,N luôn tồn tại. Hơn nữa, với X ∈ L2(Ta,M) và Y ∈ L2(Ta, N) ta

có t∫a

Xτ∇Mτ ,

t∫a

Yτ∇Nτ

t

=

t∫a

XτYτ∇[M,N ]τ (2.2.11)

Chúng ta thấy rằng, nếu M là semimartingale và X là quá trình cadlag thì

Yt =

t∫a

Xτ−∇Mτ ∀t ∈ Ta, (2.2.12)

là semimartingale. Hơn nữa, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1. (Tính chất kết hợp). Giả sử M là semimartingale và X, H là hai quá trình

cadlag. Khi đó,b∫

a

Hτ−∇Yτ =

b∫a

(Hτ−Xτ−)∇Mτ , (2.2.13)

trong đó, Yt được xác định bởi (2.2.12).

Chứng minh. Nếu X,H ∈ L0 thì (2.2.13) đúng. Giả sử rằng(X

(n)t

)thuộc L0 hội tụ đến

Xt theo chuẩn ∥.∥b,M . Khi đó, Y(n)t :=

t∫a

X(n)t ∇Mτ hội tụ đến Yt =

t∫a

Xτ−∇Mτ với mỗi

t ∈ (a, b]. Hơn nữa, vì H ∈ L0 nên

b∫a

Hτ−∇Yτ = limn→∞

b∫a

Hτ−∇Y(n)τ

= limn→∞

b∫a

Hτ−X(n)τ ∇Mτ = lim

n→∞

b∫a

Hτ−Xτ−∇Mτ .

27

Lấy(H

(n)t

)hội tụ đến Ht− thì

b∫a

H(n)τ ∇Xτ hội tụ đến

b∫a

Hτ−∇Xτ . Do đó,

b∫a

Hτ−∇Yτ = limn→∞

b∫a

H(n)τ ∇Yτ

=

b∫a

H(n)τ Xτ∇Mτ=

b∫a

Hτ−Xτ−∇Mτ .

Ta có điều phải chứng minh.

Với mỗi t ∈ Ta và G : R → R là hàm số liên tục. Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t]

được xác định bởi (2.2.8), (2.2.9).Đặt

Sn(t) :=

kn∑i=1

G(Mti−1)(Mti −Mti−1)2. (2.2.14)

Bổ đề 2.2.2. Giả sử M là semimartingale và Sn(t) được xác định bởi (2.2.14). Khi đó,

P− limn→∞

Sn(t) :=

t∫a

G(Mτ−)∇[M ]τ .

Chứng minh. Xét thời điểm dừng

τm= inft : |Mt| ≥ m.

Khi đó, martingale Mt∧τm bị chặn bởi m. Hơn nữa, quỹ đạo của Ms bị chặn với xác suất

1, suy ra τm ↑ ∞. Bổ đề 2.2.2 đúng với Mt∧τm với mỗi m, bằng cách lấy giới hạn khi

m→ ∞ suy ra Bổ đề 2.2.2 đúng với M . Vì vậy, chúng ta giả thiết M bị chặn. Mặt khác,

M2τ − [M ]t là semimartingale. Do đó, từ (2.2.10) và Bổ đề 2.2.1, suy ra

t∫a

G(Mτ−)∇(M2

τ − [M ]τ)= 2

t∫a

G(Mτ−)Mτ−∇M.

Hệ thức trên tương đương với

t∫a

G(Mτ−)∇[M ]τ =

= limn→∞

(kn∑i=1

G(Mti−1)(M2

ti −M2ti−1

)− 2

kn∑i=1

G(Mti−1)Mti−1

(Mti −Mti−1

))

= limn→∞

(kn∑i=1

G(Mti−1)(Mti −Mti−1

)2).

28

Ta có điều phải chứng minh.

Kí hiệu C1,2(Ta × Rd;R)là họ tất cả các hàm V (t, x) xác định trên Ta × Rd sao cho

∇-khả vi liên tục theo biến t và khả vi liên tục 2 lần theo biến x.

Định lý sau là công thức Itô đối với bộ d-semimartingale trên thang thời gian. Kết quả

là sự tổng quát hóa cho công thức Itô đối với thời gian rời rạc và liên tục.

Định lý 2.2.1. (Công thức Itô). Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale

V ∈ C1,2(Ta×Rd;R). Khi đó, V (t,X) là một semimartingale và công thức sau được thỏa

mãn

V (t,X(t)) = V (a,X(a)) +

∫ t

a

∂∇V

∂∇τ(τ,X (τ−))∇τ

+

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−))∇Xi (τ) +

1

2

∑i,j

∫ t

a

∂2V

∂xi∂xj(τ,X (τ−))∇[Xi, Xj ]τ

+∑s∈(a,t]

(V (s,X (s))− V (s,X (s−)))−∑s∈(a,t]

d∑i=1

∂V

∂xi(s,X (s−))∇∗Xi (s)

− 1

2

∑s∈(a,t]

∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(s,X (s−)) (∇∗Xi (s)) (∇∗Xj (s)), (2.2.15)

trong đó ∇∗Xi (s) = Xi (s)−Xi (s−) và∂∇V

∂∇t(t, x) là ∇-đạo hàm riêng của V (t, x) theo

biến t.

Chứng minh. Từ công thức khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến, ta có

V (t, y)− V (t, x)

=

d∑i=1

∂V (t, x)

∂xi(yi − xi) +

1

2

∑i,j

∂2V (t, x)

∂xi∂xj(yi − xi) (yj − xj) +R (x, y) ,

trong đó |R(x, y| ≤ r (∥y − x∥) ∥y − x∥2 với r : R+ → R+ là hàm tăng sao cho limu↓0

r (u) =

0, đúng với V ∈ C2 xác định trên tập compact.

Xác định thời điểm dừng τm = inf t : ∥X (t)∥ ≥ m . Khi đó, semimartingale X(t∧τm)

bị chặn bởi m và nếu công thức Itô đúng với X(t ∧ τm) với mỗi m, thì công thức đúng

với X. Do đó, ta luôn giả thiết rằng X bị chặn.

Lấy ε > 0, vì các điểm gián đoạn của martingale X không quá đếm được và∑s∈(a,t]

∥X(s)−X(s−)∥2 <∞,

29

chúng ta có thể phân tập các điểm gián đoạn của X trên (a, t] thành hai lớp: C1 là tập

hữu hạn và C2 là tập các điểm gián đoạn sao cho∑s∈C2

∥X(s)−X(s−)∥2 < ε2.

Xét phân hoạch π(n) của [a, t] được xác định bởi (2.2.8) và (2.2.9), ta có

V (t,X (t))− V (a,X (a)) =∑k

[V (tk, X (tk))− V (tk−1, X (tk−1))]

=∑k

[V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))]

+∑k

[V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))] .

Vì C1 hữu hạn và X là cadlag, nên

limn→∞

∑C1∩(tk−1,tk] =∅

[V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))]

=∑s∈C1

[V (s,Xs)− V (s,Xs−)]. (2.2.16)

Để đơn giản trong trình bày, ta kí hiệu∑

C1∩(tk−1,tk] =∅bởi

∑(1)

và∑

C1∩(tk−1,tk]=∅bởi

∑(2)

.

Bằng cách phân tích thành tổng các số hạng trên các khoảng rời nhau và dùng công thức

Taylor, ta có∑(1)

[V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))]

=∑(2)

(d∑

i=1

∂V

∂xi(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1))

)

+1

2

∑(2)

(∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1))

)+∑(2)

R (X (tk−1) , X (tk))

=

kn∑k=1

(d∑

i=1

∂V

∂xi(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1))

)

+1

2

kn∑k=1

(∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1))

)

−∑(1)

(d∑

i=1

∂V

∂xi(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1))

)

30

− 1

2

∑(1)

(∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1))

)+∑(2)

R (X (tk−1) , X (tk)).

Vì C1 hữu hạn, ta có

limn→∞

kn∑k=1

(d∑

i=1

∂V

∂xi(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1))

)

=∑s∈C1

(d∑

i=1

∂V

∂xi(s,X (s−)) (Xi (s)−Xi (s−))

), (2.2.17)

và

limn→∞

∑(1)

(∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1))

)

=∑s∈C1

(∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(s,X (s−)) (Xi (s)−Xi (s−)) (Xj (s)−Xj (s−))

). (2.2.18)

Ta có∑(2)

R (X (tk−1) , X (tk))

≤ r

(max

C1∩(tk−1,tk]=∅∥X (tk)−X (tk−1)∥

)∑(2)

∥X (tk)−X (tk−1)∥2.

Do đó,

limsupn→∞

∣∣∣∣∣∣∑(2)

R (X (tk−1) , X (tk))

∣∣∣∣∣∣≤ r (ε+) limsup

n→∞

∑tk∈π(n)

∥X (tk)−X (tk−1)∥2 ≤ r (ε+)

d∑i=1

[Xi]t.

Cho ε ↓ 0, ta có

limsupn→∞

∣∣∣∣∣∣∑(2)

R (X (tk−1) , X (tk))

∣∣∣∣∣∣→ 0,

(2.2.16) hội tụ về∑s∈(a,t]

[V (s,X (s))− V (s,X (s−))],

31

(2.2.17) hội tụ về∑s∈(a,t]

d∑i=1

∂V

∂xi(s,X (s−)) (∇∗Xi (s)),

(2.2.18) hội tụ về1

2

∑s∈(a,t]

∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(s,X (s−))∇∗Xi (s)∇∗Xj (s).

Suy ra

limn→∞

kn∑k=1

(d∑

i=1

∂V

∂xi(tk, X (tk−1)) (Xi (tk)−Xi (tk−1))

)

=

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−))∇Xi (τ). (2.2.19)

Sử dụng Bổ đề 2.2.2, ta có

limn→∞

kn∑k=1

d∑i=1

∂2V (tk, X (tk−1))

∂xi∂xj(Xi (tk)−Xi (tk−1)) (Xj (tk)−Xj (tk−1))

=∑i,j

∫ t

a

∂2V

∂xi(τ,X (τ−))∇ [Xi, Xj ] (τ). (2.2.20)

Hơn nữa,

limn→∞

(∑k

[V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))]

)

= limn→∞

(∑k

[V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))]

tk − tk−1(tk − tk−1)

)

=

∫ t

a

∂∇V

∂∇τ(τ,X (τ−))∇τ .

Mặt khác,

V (t,X (t))− V (a,X (a)) =∑k

[V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))]

+∑k

[V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))]

=∑k

[V (tk, X (tk−1))− V (tk−1, X (tk−1))]

+∑(1)

[V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))]

+∑(1)

[V (tk, X (tk))− V (tk, X (tk−1))].

32

Vế phải hội tụ đến∫ t

a

∂∇V

∂∇τ(τ,X (τ−))∇τ +

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−))∇Xτ

+1

2

∑i,j

∫ t

a

∂2V

∂xi(τ,X (τ−))∇ [Xi, Xj ] (τ)

+∑s∈(a,t]

(V (s,X (s))− V (s,X (s−)))

−∑s∈(a,t]

d∑i=1

∂V

∂xi(s,X (s−))∇∗Xi (s)

− 1

2

∑s∈(a,t]

∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(s,X (s−))∇∗Xi (s)∇∗Xj (s).

Ta có điều phải chứng minh.

Từ định lý trên ta có hê quả sau. Kết quả này chính là công thức Itô rời rạc được xây

dựng bởi D. Kannan và B. Zhan năm 2002 trong [16].

Hệ quả 2.2.1. Lấy T = N, a = 0 và Xn là biến ngẫu nhiên nào đó. Khi đó, với các giả

thiết của Định lý 2.2.1 thì công thức (2.2.15) có dạng.

V (n,Xn) = V (0, X0) +

n∑k=1

(V (k,Xk−1)− V (k − 1, Xk−1))

+

n∑k=1

Vx (k,Xk−1)∇∗Xk +1

2

n∑k=1

(Vx (k,Xk)− Vx (k,Xk−1))∇∗Xk

+

n∑k=1

(V (k,Xk)− V (k,Xk−1))−1

2

n∑k=1

(Vx (k,Xk) + Vx (k,Xk−1))∇∗Xk (2.2.21)

trong đó Vx (k, ·) = ∂V (k,·)∂x và ∇∗Xk = Xk −Xk−1.

Trường hợp T = R, a = 0 hệ quả là Định lý 32 trong [17].

Kí hiệu Lloc1 (Ta,R) là họ các quá trình ngẫu nhiên f (t)t∈Ta

nhận giá trị thực,

(Ft)-phù hợp, thỏa mãn∫ T

a

|f (τ)|∇τ < +∞ h.c.c, với mọi T ∈ Ta. (2.2.22)

Lấy fi ∈ Lloc1 (Ta,R) và M ∈ M2; gi ∈ L2 (Ta,M) với i = 1, 2. Xét 2 quá trình

Xi (t) = Xi (a) +

∫ T

a

fi (τ)∇τ +∫ T

a

gi (τ)∇Mτ ∀i = 1, 2. (2.2.23)

33

Chứng minh của bổ đề sau được suy ra trực tiếp từ các hệ thức

[t, t]t =∑a<s≤t

ν2 (s); [Mt, t]t =∑a<s≤t

ν (s)∇∗M (s)

và đẳng thức (2.2.11).

Bổ đề 2.2.3. Giả sử X1, X2 là các semimartingale được xác định bởi (2.2.23). Khi đó,

[X1, X2]t =

∫ t

a

f1 (τ) f2 (τ)∇τ

+∑a<s≤t

(f1 (s) g2 (s) + f2 (s) g1 (s)) ν (s)∇∗M (s) +

∫ t

a

g1 (τ) g2 (τ)∇[M ]τ ,

trong đó ∇∗Ms =Ms −Ms− .

Hệ quả 2.2.2. Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale được xác định bởi

Xi (t) = Xi (a) +

∫ t

a

fi (τ)∇τ +∫ t

a

gi (τ)∇Mτ , (2.2.24)

trong đó M ∈ M2, fi ∈ Lloc1 (Ta,R) và gi ∈ L2 (Ta,M) với i = 1, d. Lấy V ∈

C1,2(Ta ×Rd;R

). Khi đó, hệ thức sau được thỏa mãn

V (t,X (t)) = V (a,X (a)) +

∫ t

a

∂∇V

∂∇τ(τ,X (τ−))∇τ

+

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−)) (1− 1I (τ)) fi (τ)∇τ

+

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−)) gi (τ)∇Mτ

+1

2

∑i,j

∫ t

a

∂2V

∂xi∂xj(τ,X (τ−)) gi (τ) gj (τ)∇[M ]τ

+∑s∈(a,t]

(V (s,X (s))− V (s,X (s−)))−∑s∈(a,t]

d∑i=1

∂V

∂xi(s,X (s−)) gi (s)∇∗Ms

− 1

2

∑s∈(a,t]

∑i,j

∂2V

∂xi∂xj(s,X (s−)) gi (s) gj (s) (∇∗Ms)

2.

Chứng minh. Từ (2.2.24), ta có

∇∗Xi (t) = fi (t) ν (t) + gi (t)∇∗Mt. (2.2.25)

Phần chứng minh còn lại được suy ra bằng cách áp dụng trực tiếp công thức Itô và Bổ

đề 2.2.3.

34

Hệ quả sau đây của Định lý 2.2.1 là một kết quả của McKean trong [10].

Hệ quả 2.2.3. Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale được xác định bởi

Xi (t) = Xi (0) +

∫ t

0

fi (τ) dτ +

∫ t

0

gi (τ) dWτ , (2.2.26)

trong đó Wt là quá trình chuyển động Brown, fi ∈ Lloc1 ([0,∞) ,R) và gi ∈ L2 ([0,∞) ,R)

với i = 1, d. Lấy V ∈ C1,2(R+ ×Rd;R

). Khi đó, hệ thức sau đây được thỏa mãn

V (t,X (t)) = V (0, X (0)) +

∫ t

0

∂V

∂τ(τ,X (τ)) dτ

+

d∑i=1

∫ t

0

∂V

∂xi(τ,X (τ)) fi (τ) dτ +

d∑i=1

∫ t

0

∂V

∂xi(τ,X (τ−)) gi (τ) dWτ

+1

2

∑i,j

∫ t

0

∂2V

∂xi∂xj(τ,X (τ)) gi (τ) gj (τ) dτ . (2.2.27)

Ví dụ 2.2.1. Giả sử M là semimartingale, với mọi t ∈ Ta ta có

M2t =M2

a + [M ]t + 2

∫ t

a

Mτ−∇Mτ . (2.2.28)

Đẳng thức (2.2.28) có thể thu được từ (2.2.10) với M ≡ N . Ở đây, chúng ta chứng

minh bằng cách áp dụng công thức Itô.

Thật vậy, sử dụng Định lý 2.2.1 với V (t, x) = x2 và X(t) =Mt, ta có

M2t =M2

a +

∫ t

a

∇[M ]τ + 2

∫ t

a

Mτ−∇Mτ

+∑s∈(a,t]

[(M2

s −M2s−

)− 2Ms− (Ms −Ms−)− (Ms −Ms−)

2]=M2

a + [M ]t + 2

∫ t

a

Mτ−∇Mτ .

35

2.3. Phát biểu bài toán martingale

Kí hiệu B lớp tất cả các tập Borel đóng trong R, không chứa điểm không, Mr2 là

không gian con của không gian M2 gồm các martingale bình phương khả tích với đặc

trưng liên tục. Với bất kì M ∈ M2, gọi δ(t, A) là số các bước nhảy của M trên (a, t] với

giá trị thuộc A ∈ B. Vì martingale M là quá trình cadlag nên quá trình δ(t, A) xác định

với xác suất 1 với mọi t ∈ Ta, A ∈ B. Chúng ta mở rộng δ(t, A) lên Ω bằng cách đặt

δ(t, A) ≡ 0 với những ω ∈ Ω mà t → Mt (ω) không có tính cadlag. Rõ ràng quá trình

δ(t, A) là quá trình (Ft)−phù hợp, nhận giá trị nguyên, có quỹ đạo là hàm liên tục phải,

đơn điệu không giảm trên Ta, δ(t, A) = 0. Ngoài ra, với mỗi t cố định, δ(t, ·) là một độ

đo trên B và tích phân ∫ t

a

∫R

f (τ, u) δ (∇τ, du)

hoàn toàn xác định với f(t, u) là hàm Borel, không âm bất kì. Đồng thời∫ t

a

∫R

f (τ, u) δ (∇τ, du) =∑s∈(a,t]

f (s,∇∗Ms) (2.3.29)

Đặt

Mt :=Mt −∑s∈(a,t]

(Ms −Mρ(s)

). (2.3.30)

Dễ thấy rằng Mt là (Ft)−martingale và Mt = Mρ(t) với mọi t ∈ T. Hơn nữa,

E [(⟨M⟩ t − ⟨M⟩s) |Fs] = E[(Mt −Ms)

2|Fs

]= E

[(Mt − Ms

)2|Fs

]

+ 2E

(Mt − Ms

) ∑u∈(s,t]

(Mu −Mρ(u)

)|Fs

+ E

∑

u∈(s,t]

(Mu −Mρ(u)

)2

|Fs

= E

[(Mt − Ms

)2|Fs

]+ 2E

∑u∈(s,t]

(Mu − Mρ(u)

)(Mu −Mρ(u)

)|Fs

+ E

∑

u∈(s,t]

(Mu −Mρ(u)

)2

|Fs

= E

[(Mt − Ms

)2|Fs

]+ E

∑

u∈(s,t]

(Mu −Mρ(u)

)2

|Fs

.36

Do đó, ⟨M⟩

t = ⟨M⟩ t −∑s∈(a,t]

(⟨M⟩s − ⟨M⟩ρ(s)

). (2.3.31)

Như vậy, M ∈ Mr2 nếu và chỉ nếu M ∈ Mr

2.

Tương tự như định nghĩa δ(t, A) chúng ta có thể định nghĩa δ(t, A) đối với Mt. Lấy

δ (t, A) = #s ∈ (a, t] :Ms −Mρ(s) ∈ A

. Suy ra

δ (t, A) = δ (t, A) + δ (t, A) .

Với mỗi t cố định, δ (t, ·) và δ (t, ·) là hai độ đo.

Các quá trình δ (t, A), δ (t, A) và δ (t, A), t ∈ Ta là các (Ft)−submartingale chính quy

với mỗi A ∈ B cố định. Áp dụng định lý khai triển Doob-Meyer, ta có biểu diễn duy

nhất dạng

δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A) , δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A)

δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A) , (2.3.32)

trong đó

π (t, A) , π (t, A) và π (t, A)

là các quá trình tăng tự nhiên, khả tích. Đồng thời

ζ (t, A) , ζ (t, A) và ζ (t, A)

là các martingale.

Từ tính chất cadlag, chúng ta có thể chỉ ra bản sao của các quá trình này sao cho

chúng là các độ đo với mỗi t cố định.

Với mỗi M ∈ Mr2, martingale Mt có thể mở rộng thành martingale chính quy xác định

trên [a,∞)R. Do đó, sử dụng Định lý 13 [9] suy ra π (t, A) là quá trình tăng tự nhiên có

quỹ đạo liên tục. Đặt

M ct := Mt − Md

t , (2.3.33)

trong đó

Mdt =

∫ t

a

∫Ruζ (∇t, du). (2.3.34)

Khi đó, M ct là martingale trực giao với martingale Md

t , nghĩa là⟨M c, Md

⟩t= 0. Ngoài

ra,

[Md]t =

∫ t

a

∫R

u2δ (∇t, du) (2.3.35)

37

và

[M ]t = [M c]t + [Md]t +

∫ t

a

∫R

u2δ (∇t, du)

= [M c]t +

∫ t

a

∫R

u2δ (∇t, du). (2.3.36)

Hơn nữa, ⟨M⟩

t =⟨M c⟩

t +⟨Md⟩

t. (2.3.37)

Với các khái niệm ở trên thì Hệ quả 2.2.2 có thể được viết lại như sau:

Lấy X = (X1, . . . , Xd) là bộ d−semimartingale được xác định bởi

Xi (t) = Xi (a) +

∫ t

a

fi (t)∇τ +∫ t

a

gi (t)∇Mτ ,

trong đóM ∈ M2, fi ∈ Lloc1 (Ta;R) và gi ∈ L2(Ta;M) với i = 1, d. Lấy V ∈ C1,2

(Ta ×Rd;R

).

Khi đó, hệ thức sau được thỏa mãn

V (t,X(t)) = V (a,X(a)) +

∫ t

a

∂∇V

∂∇t(τ,X (τ−))∇τ

+

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−)) (1− 1I (τ)) fi (τ)∇τ

+

∫ t

a

(V (τ,X (τ−) + f (τ) ν (τ))− V (τ,X (τ−))) Φ (τ)∇τ

+

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(τ,X (τ−)) gi (τ)∇Mτ

+1

2

∑i,j

∫ t

a

∂2V

∂xi∂xj(τ,X (τ−)) gi (τ) gj (τ)∇[M c]τ

+

∫ t

a

∫R

(ΨV (τ,X (τ−) , u)−

d∑i=1

u∂V

∂xi(τ,X (τ−)) gi (τ)

)δ (∇τ, du)

+

∫ t

a

∫RΨV (τ,X (τ−) , u) δ (∇τ, du), (2.3.38)

trong đó ΨV (t, x, u) = V (x+ f (t) ν (t) + g (t)u)−V (x+ f (t) ν (t)); f = (f1, f2, . . . , fd);

g = (g1, g2, . . . , gd) và

Φ (t) =

0 nếu t trù mật trái1

ν (t)nếu t cô lập trái.

Giả sử rằng ⟨M⟩ t tuyệt đối liên tục với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, từ hệ thức (2.3.31)

và (2.3.37) suy ra⟨M c⟩

t cũng tuyệt đối liên tục đối với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T,

38

nghĩa là tồn tại quá trình Kct là (Ft)−phù hợp, đo được dần sao cho⟨

M c⟩

t =

∫ t

a

Kcτ∇τ . (2.3.39)

Với mỗi n, xét phân hoạch π(n) : s = t(n)0 < . . . < t

(n)kn

= t của [s, t] sao cho maxi

(ρ (ti+1)− ti) ≤

2−n. Từ bất đẳng thức∑∇∗Mu≥ε;u∈(s,t]

(∇∗Mu

)2≤ lim

n→∞

kn∑k=1

(Mtk − Mtk−1

)2,

nếu A ⊂ x : |x| ≥ ε,

limn→∞

kn∑k=1

E[δ (tk, A)− δ (tk−1, A) |F tk−1

]≤ 1

ε2limn→∞

kn∑k=1

E[(Mtk − Mtk−1

)2|Ftk−1

],

thì

π (t, A)− π (s, A) ≤ 1

ε2

(⟨M⟩

t −⟨M⟩

s

).

Từ đó suy ra π (t, A) tuyệt đối liên tục với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, nghĩa là tồn

tại quá trình Υ (t, A) là (Ft)−phù hợp, đo được dần sao cho

π (t, A) =

∫ t

a

Υ (τ, A)∇τ . (2.3.40)

Vì B được sinh bởi họ đếm được các tập Borel, nên bản sao của Υ (t, A) đo được và với

mỗi t cố định Υ (t, ·) là một độ đo.

Mặt khác,

π (t, A) =∑s∈(a,t]

E[1A(Ms −Mρ(s)

)|Fρ(s)

]. (2.3.41)

Do đó, nếu đặt

Υ (τ, A) =

E[1A(Mt −Mρ(t)

)|Fρ(t)

]ν (t)

nếu ν(t) > 0

0 nếu ν(t) = 0

thì

π (t, A) =

∫ t

a

Υ (τ, A)∇τ . (2.3.42)

Với mỗi martingale bình phương khả tích M ∈ M2, xét phân hoạch ti của đoạn [s, t]

sao cho maxi

(ρ (ti+1)− ti) ≤ 2−n, ta có

E((Mt −Ms)

2|Fs

)= E

(∑i

(Mti −Mti−1)2|Fs

)n→∞→ E (([M ]t − [M ]s) |Fs) .

39

Nghĩa là, M2t − [M ]t là một (Ft)−martingale, suy ra [M ]t − ⟨M⟩t cũng là martingale. Vì

[M ]t và ⟨M⟩t là hai quá trình tăng, suy ra∫ t

0hτ−∇ ([M ]τ − ⟨M⟩τ ) là một martingale địa

phương với bất kì hàm ht là hàm cadlag, phù hợp.

Kí hiệu C2(Rd;R

)là tập tất cả các hàm V : Rd → R khả vi liên tục đến cấp 2. Xét

toán tử ngẫu nhiên At xác định trên C2(Rd;R

),

AtV (x) =

d∑i=1

∂V (x)

∂xi(1− 1I (t)) fi (t) + (V (x+ f (t) ν (t))− V (x)) Φ (t)

+1

2

∑i,j

∂2V (x)

∂xi∂xjgi (t) gj (t) Kc

t +

∫RΨV (x, u) Υ (t, du)

+

∫R

(ΨV (t, x, u)−

d∑i=1

u∂V (x)

∂xigi (t)

)Υ (t, du).

Định lý 2.3.1. Giả sử X = (X1, . . . , Xd) là bộ d−semimartingale xác định bởi

Xi (t) = Xi (a) +

∫ t

a

fi (t)∇τ +∫ t

a

gi (t)∇Mτ ,

trong đó M ∈ M2, gi ∈ L(Ta;M) và fi ∈ L1(Ta;R) với i = 1, d. Khi đó, với bất kì hàm

V ∈ C2(Rd;R

),

V (X (t))− V (X (a))−∫ t

a

AτV (Xτ−)∇τ

là một Ft−martingale địa phương.

Chứng minh. Áp dụng công thức (2.3.38) ta có

V (X (t)) = V (X (a)) +

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(X (τ−)) (1− 1I (τ)) fi (τ)∇τ

+

∫ t

a

(V (τ,X (τ−) + f (τ) ν (τ))− V (τ,X (τ−))) Φ (τ)∇τ

+

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)∇Mτ +

1

2

∑i,j

∫ t

a

∂2V

∂xi∂xj(X (τ−)) gi (τ) gj (τ)∇[M c]τ

+

∫ t

a

∫R

(ΨV (X (τ−) , u)−

d∑i=1

u∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)

)δ (∇τ, du)

+

∫ t

a

∫RΨV (X (τ−) , u) δ (∇τ, du).

40

Từ công thức (2.3.32), (3.1.10), (2.3.42) và tính chất của tích phân ngẫu nhiên, suy ra∫ t

a

∫R

(ΨV (X (τ−) , u)−

d∑i=1

u∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)

)δ (∇τ, du)

=

∫ t

a

∫R

(ΨV (X (τ−) , u)−

d∑i=1

u∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)

)Υ (τ, du)∇τ

+

∫ t

a

∫R

(ΨV (X (τ−) , u)−

d∑i=1

u∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)

)ζ (∇τ, du)

và ∫ t

a

∫RΨV (X (τ−) , u) δ (∇τ, du) =

∫ t

a

∫RΨV (X (τ−) , u) Υ (τ, du)∇τ

+

∫ t

a

∫RΨV (X (τ−) , u) ζ (∇τ, du).

Ta có

d∑i=1

∫ t

a

∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)∇Mτ

+

∫ t

a

∫R

(ΨV (X (τ−) , u)−

d∑i=1

u∂V

∂xi(X (τ−)) gi (τ)

)ζ (∇τ, du)

+

∫ t

a

∫RΨV (X (τ−) , u) ζ (∇τ, du),

là (Ft)−martingale địa phương. Do đó,

V (X (t))− V (X (a))−∫ t

a

AτV (Xτ−)∇τ

là một Ft−martingale địa phương.

41

Chương 3

Tính ổn định của phương trình độnglực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Trong chương này, tôi trình bày về phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là

martingale bình phương khả tích trên thang thời gian, chỉ ra điều kiện tồn tại và duy

nhất nghiệm, công thức ước lượng moment và tính ổn định mũ của phương trình động

lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. Các kết quả chính của chương này được viết dựa vào

[12, 13].

3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

LấyM ∈ M2 và xa là biến ngẫu nhiên, Fa đo được, nhận giá trị thực sao cho Ex2a <∞.

f, g : [a, T ]×R → R là hai hàm Borel.

Xét phương trình vi phân Itô dạngd∇X (t) = f (t,X (t−)) d

∇t+ g (t,X (t−)) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T ]

X (a) = xa(3.1.1)

Trong chương này tôi giả thiết

⟨M⟩t =∫ t

a

Nτ∇τ , (3.1.2)

trong đó Nt là quá trình bị chặn, (Ft)−phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho

P

supa≤t≤T

|Nt| ≤ N

= 1. (3.1.3)

Định nghĩa 3.1.1. Một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực X (t)t∈[a,T ] được gọi

là nghiệm của phương trình (3.1.1) nếu có các tính chất sau:

i) X (t) là quá trình (Ft)−phù hợp,

ii) f (·, X (·−)) ∈ L1 ([a, T ] ;R) và g (·, X (·−)) ∈ L2 ([a, T ] ;M)

42

iii) Phương trình sau được thỏa mãn

X (t) = X (a) +

∫ t

a

f (τ,X (τ−))∇τ +∫ t

a

g (τ,X (τ−))∇Mτ , ∀t ∈ [a, T ] , (3.1.4)

với xác suất 1.

Phương trình (3.1.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T ] nếu khi X(t) và X (t)

là hai nghiệm của phương trình thì

PX (t) = X (t) ∀t ∈ [a, T ]

= 1.

Chúng ta có∫ t

ag (τ,X (τ−))∇Mτ là (Ft)−martingale, suy ra nó có bản sao cadlag. Do

đó, X(t) thỏa mãn (3.1.4) thì X(t) có tính chất cadlag. Hơn nữa, nếu Mt là rd−liên tục

thì X(T ) cũng rd−liên tục.

Định lý 3.1.1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và

K sao cho

(i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ R và t ∈ [a, T ] thì

(f (t, x)− f (t, y))2 ∨ (g (t, x)− g (t, y))2 ≤ K(x− y)2; (3.1.5)

(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi (t, x) ∈ [a, T ]×R thì

f2 (t, x) ∨ g2 (t, x) ≤ K(1 + x2

). (3.1.6)

Khi đó, phương trình (3.1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm X(t) và nghiệm là semimartingale

bình phương khả tích.

Chứng minh. Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng nếu điều kiện tăng tuyến tính (3.1.6) được

thỏa mãn và X(t) là nghiệm của phương trình (3.1.1) thì

E(

supa≤t≤T

X2 (t)

)≤(1 + 3Ex2a

)e3K(T−a+4N) (T, a) , (3.1.7)

trong đó N được xác định bởi (3.1.3).

Thật vậy, với mọi số nguyên dương n ≥ 1, xác định thời điểm dừng

vn = T ∧ inf t ∈ [a, T ] : |X (t)| ≥ n .

Rõ ràng, vn ↑ T h.c.c, khi n→ ∞. Đặt un (t) := X (t ∧ vn) với t ∈ [a, T ]. Chúng ta thấy

un (t) = xa +

∫ t

a

f (τ, un (τ−)) 1[a,vn]∇τ +∫ t

a

g (τ, un (τ−)) 1[a,vn]∇Mτ ,

43

với t ∈ [a, T ] bất kì. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản (a+ b+ c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2

)và bất

đẳng thức Holder suy ra

u2n (t) = 3x2a + 3 (t− a)

∫ t

a

f2 (τ, un (τ−)) 1[a,vn](τ)∇τ

+ 3

(∫ t

a

g (τ, un (τ−)) 1[a,vn](τ)∇Mτ

)2

Áp dụng Định lý 2.1.2 và điều kiện (3.1.6), ta có

E(

supa≤s≤t

u2n (s)

)= 3Ex2a + 3 (T − a)

∫ t

a

f2 (τ, un (τ−)) 1[a,vn] (τ)∇τ

+ 12E∫ t

a

g2 (τ, un (τ−)) 1[a,vn] (τ)∇⟨M⟩τ

≤ 3Ex2a + 3K (T − a+ 4N)

∫ t

a

(1 + Eu2n (τ−)

)∇τ .

Từ đó suy ra

1 + E(

supa≤s≤t

u2n (s)

)≤ 1 + 3Ex2a + 3K (T − a+ 4N)

∫ t

a

(1 + Eu2n (τ−)

)∇τ

≤ 1 + 3Ex2a + 3K (T − a+ 4N)

∫ t

a

(1 + E

(sup

a≤s≤τ−

u2n (s)

))∇τ .

Kết hợp Bổ đề 1.1.2 ta có

1 + E(

supa≤t≤t

u2n (s)

)≤(1 + 3Ex2a

)e3K(T−a+4N) (T, a) .

Cho n→ ∞ ta có bất đẳng thức (3.1.7).

Tính duy nhất: Giả sử X(t) và X (t) là hai nghiệm của phương trình (3.1.1). Từ hệ

thức

X (t)−X (t) =

∫ t

a

(f (τ,X (τ−))− f

(τ,X (τ−)

))∇τ

+

∫ t

a

(g (τ,X (τ−))− g

(τ,X (τ−)

))∇Mτ ,

bất đẳng thức Holder, Định lý 2.1.2, điều kiện Lipschitz (3.1.5) và chứng minh tương tự

như chứng minh bất đẳng thức (3.1.7) ta có

E(

supa≤s≤t

(X (s)−X (s)

)2)≤ 2K (T − a)

∫ t

a

(X (τ−)−X (τ−)

)2∇τ

+ 8KE∫ t

a

(X (τ−)−X (τ−)

)2∇⟨M⟩τ

≤ 2K (T − a+ 4N)

∫ t

a

E(

supa≤s≤τ−

(X (s)−X (s)

)2)∇τ .

44

Kết hợp với Bổ đề 1.1.2 ta suy ra

E(

supa≤s≤T

(X (s)−X (s)

)2)= 0

Vậy X (t) = X (t) h.c.c, với mọi a ≤ t ≤ T . Tính duy nhất nghiệm của phương trình

được chứng minh.

Sự tồn tại: Đặt X0(t) := xa và với n = 1, 2, . . . xác định dãy xấp xỉ Picard

Xn (t) = xa +

∫ t

a

f (τ,Xn−1 (τ−))∇τ +∫ t

a

g (τ,Xn−1 (τ−))∇Mτ , (3.1.8)

với t ∈ [a, T ]. Chúng ta thấy E(

supa≤s≤t

X20 (s)

)= Ex2a < ∞ với mọi t > a. Do đó, bằng

phương pháp quy nạp suy ra E(

supa≤s≤t

X2n (s)

)<∞ với mọi n ∈ N∗ và t ≥ a. Hơn nữa,

(X1 (t)−X0 (t))2 = (X1 (t)− xa)

2

≤ 2

(∫ t

a

f (τ, xa)∇τ)2

+ 2

(∫ t

a

g (τ, xa)∇Mτ

)2

.

Từ đó ta có

E(

supa≤s≤t

(X1 (s)−X0 (s))2

)≤ C, (3.1.9)

với C = 2K[(T − a)2 + 4N (T − a)

] (1 + Ex2a

).

Chứng minh tương tự ta có

E(

supa≤s≤t

(Xn+2 (s)−Xn+1 (s))2

)≤ P

∫ t

a

E(

supa≤s≤τ

(Xn+1 (s−)−Xn (s−))2

)∇τ

≤ P

∫ t

a

E(

supa≤s≤τ−

(Xn+1 (s)−Xn (s))2

)∇τ

với P = 2K (T − a+ 4N).

Vì vậy, bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng

E(

supa≤s≤t

(Xn+2 (s)−Xn+1 (s))2

)≤ CPnhn (t, a) , (3.1.10)

với hn (t, s) được xác định bởi (1.1.1).

Từ (3.1.10) và bất đẳng thức Chebychev suy ra

P

sup

a≤t≤T|Xn+1 (s)−Xn (s)| ≥

1

2n

≤ C(4P )nhn (t, a) .

Theo công thức khai triển Taylor ta có

∞∑n=0

(4P )nhn (T, a) = e2P (T, a) .

45

Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli và Định lý Weierstrass suy ra chuỗi hàm

xa +

∞∑n=0

(Xn+1 (s)−Xn (s))

hội tụ hầu chắc chắn đến một quá trình ngẫu nhiên X(t). Hơn nữa,

limn→∞

E supa≤t≤T

(Xn (t)−X (t))2 = 0.

Ta có (X(t)) là quá trình cadlag, (Ft)−phù hợp. Ngoài ra

f (·, X (·−)) ∈ L1 ([a, T ] ;R) và g (·, X (·−)) ∈ L2 ([a, T ] ;M) .

Bây giờ, ta cần chỉ ra rằng X(t) thỏa mãn phương trình (3.1.4). Ta có

E(∫ t

a

f (τ,Xn (τ−))∇τ −∫ t

a

f (τ,X (τ−))∇τ)2

+ E(∫ t

a

g (τ,Xn (τ−))∇Mτ −∫ t

a

g (τ,X (τ−))∇Mτ

)2

≤ K (T − a)

∫ T

a

E(Xn (τ−)−X (τ−))2∇τ

+KN

∫ T

a

E(Xn (τ−)−X (τ−))2∇τ → 0 khi n→ ∞,

cho n→ ∞ từ (3.1.8), suy ra

X (t) = X (a) +

∫ t

a

f (τ,X (τ−))∇τ +∫ t

a

g (τ,X (τ−))∇Mτ trên a ≤ t ≤ T.

Ta có điều phải chứng minh.

Trong chứng minh của Định lý 3.1.1 chúng ta đã chỉ ra rằng phương pháp lặp Picard

cho ta dãy (Xt) hội tụ về nghiệm duy nhất X(t) của phương trình (3.1.1). Định lý sau

ước lượng tốc độ hội tụ của dãy (Xn(t)) về nghiệm X(t) của phương trình (3.1.1).

Định lý 3.1.2. Giả sử các giả thiết trong Định lý 3.1.1 đúng. Lấy X(t) là nghiệm của

phương trình (3.1.1) và (Xn(t)) là dãy có được bằng phương pháp lặp Picard xác định bởi

(3.1.8). Khi đó,

E supa≤t≤T

(Xn (t)−X (t))2 ≤ CPnhn (T, a) , (3.1.11)

với mọi n ≥ 1, trong đó C và P được xác định như trong chứng minh của Định lý 3.1.1,

nghĩa là,

C = 2K[(T − a)2 + 4N (T − a)

] (1 + Ex2a

);P = 2K (T − a+ 4N) .

46

Chứng minh. Ta có

Xn (t)−X (t) =

∫ t

a

(f (τ,Xn−1 (τ−))− f (τ,X (τ−)))∇τ

+

∫ t

a

(g (τ,Xn−1 (τ−))− g (τ,X (τ−)))∇Mτ ,

suy ra

E(

supa≤s≤t

(Xn (s)−X (s))2)

≤ 2K (T − a)

∫ T

a

E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ

+ 8KN

∫ t

a

E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ

= 2K (T − a+ 4N)

∫ t

a

E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ

= P

∫ t

a

E(Xn−1 (τ−)−X (τ−))2∇τ

≤ P

∫ t

a

E[

supa≤s≤τ−

(Xn−1 (s)−X (s))2]∇τ .

Bằng phương pháp truy hồi, ta có được bất đẳng thức (3.1.11).

Ví dụ 3.1.1. Xét phương trình tuyến tínhd∇X (t) = rX (t−) d

∇t+ pX (t−) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T ]

X (a) = 1(3.1.12)

trong đó r, p là hai hằng số và M là martingale bình phương khả tích thỏa mãn (3.1.2) và

(3.1.3).

Rõ ràng, phương trình tuyến tính (3.1.12) có duy nhất nghiệm. Giả sử X(t) là nghiệm

của phương trình (3.1.12). Nếu tồn tại s ∈ Ta sao cho

rν (s) + p∇∗Ms = −1,

thì

∇∗Xs = rX (s−) ν (s) + pX (s−)∇∗Ms = −X (s−) ,

điều này suy ra X(s) = 0. Do tính duy nhất nghiệm của phương trình, suy ra X(t) = 0

∀t ≥ s. Do đó, chúng ta chỉ xét trường hợp 1 + rν (s) + p∇∗Ms = 0 với mọi s ∈ Ta. Đặt

Zt := r (t− a) + pMt −1

2p2[M ]t +

1

2p2∑s∈(a,t]

(∇∗Ms)2,

Yt :=∏

s∈(a,t]

(1 + rν (s) + p∇∗Ms) e−(rν(s)+p∇∗Ms).

47

Chúng ta thấy Zt là semimartingale và Yt là quá trình cadlag, (Ft)−phù hợp. Đặt

Λs :=|rν (s) + p∇∗Ms| ≤ 1

2

và Us := (rν (s) + p∇∗Ms)1Λs

. Sử dụng bất đẳng thức

|ln (1 + x)− x| ≤ x2 với mọi |x| ≤ 12 và∑

s≤t

U2s ≤ r

∑s≤t

ν (s) + p2[M ]t,

suy ra chuỗi

ζt :=∑s∈(a,t]

U2s (ln (1 + Us)− Us),

hội tụ tuyệt đối đến quá trình có biến phân giới nội.

Do đó,

exp ζt =∏

s∈(a,t]

(1 + (rν (s) + p∇∗Ms)1Λs)e−(rν(s)+p∇∗Ms)1Λs

cũng có biến phân giới nội. Vì rt+ pMt là quá trình cadlag nên chỉ tồn tại hữu hạn điểm

s sao cho |rν (s) + p∇∗Ms (ω)| > 12 trên mỗi tập compact (với mỗi ω). Do đó, Yt là quá

trình có biến phân giới nội.

Chúng ta chỉ ra rằng nghiệm duy nhất của phương trình (3.1.12) xác định bởi

X(t) = exp(

r (t− a) + pMt −1

2p2[M ]t

)+

1

2p2∑

a≤s≤t(∇∗Ms)

2

×∏

s∈(a,t]

(1 + rν (s) + p∇∗Ms)e−(rν(s)+p∇∗Ms) = Yte

Zt . (3.1.13)

Thật vậy, áp dụng công thức Itô cho V (y, z) = yez cho bộ 2-semimartingale (Yt, Zt) ta có

X(t) = 1 +

∫ t

a

Xτ−∇Zτ +

∫ t

a

eZτ−∇Yτ +1

2

∫ t

a

Xτ−∇[Z]τ +

∫ t

a

eZτ−∇[Y, Z]τ

+∑s∈(a,t]

(X (s)−X (s−)−X (s−)∇∗Zs − eZs−∇∗Ys

)−∑s∈(a,t]

(1

2X (s−) (∇∗Zs)

2 − eZs−∇∗Ys

).

Ta lại có∫ t

a

Xτ−∇[Z]τ −∑s∈(a,t]

X (s−) (∇∗Zs)2

= p2∫ t

a

Xτ−∇[M ]τ − p2∑s∈(a,t]

X (s−) (∇∗Ms)2,

48

và ∫ t

a

eZτ−∇[Y, Z]τ =∑s∈(a,t]

eZs−∇∗Zs∇∗Ys.

Do đó,

X(t) = 1 +

∫ t

a

Xτ−∇Zτ +

∫ t

a

eZτ−∇Yτ +1

2p2∫ t

a

Xτ−∇[M ]τ

+∑s∈(a,t]

(X (s)−X (s−))−∑s∈(a,t]

(X (s−)∇∗Zs + eZs−∇∗Ys +

1

2X (s−) (∇∗Ms)

2).

Vì Yt là quá trình thuần túy bước nhảy, nên∫ t

a

eZτ−∇Yτ =∑s∈(a,t]

eZs−∇∗Ys.

Hơn nữa,

∇∗Zs = rν (s) + p∇∗Ms

và

X (s)−X (s−) = X (s−) (rν (s) + p∇∗Ms) = X (s−)∇∗Zs∀s ∈ Ta.

Nên ta có

X (s)−X (s−)−X (s−)∇∗Zs = 0∀s ∈ Ta.

Điều đó kéo theo,

X (t) = 1 +

∫ t

a

X (τ−)∇Zτ +1

2p2∫ t

a

X (τ−)∇[M ]τ −1

2p2∑s∈(a,t]

X (s−) (∇∗Ms)2

= 1 +

∫ t

a

rXτ−∇τ +∫ t

a

pXτ−∇Mτ .

Như vậy X(t) xác định bởi (3.1.13) thỏa mãn phương trình (3.1.12).

Xét toán tử ngẫu nhiên A xác định trên tập các hàm V ∈ C1,2(Ta ×Rd;R

),

AV (t, x) =∂∇V (t, x)

∂∇t+

d∑i=1

∂V (t, x)

∂xi(1− 1I (t)) fi (t, x)

+ (V (t, x+ f (t) ν (t))− V (t, x)) Φ (t)

+1

2

∑i,j

∂2V (t, x)

∂xi∂xjgi (t, x) gj (t, x) K

ct +

∫RΨV (t, x, u) Υ (t, du)

+

∫R

(ΨV (t, x, y, u)−

d∑i=1

u∂V (t, x)

∂xig (t, x)

)Υ (t, du). (3.1.14)

49

Điều kiện Lipschitz toàn cục và điều kiện tăng tuyến tính trong Định lý 3.1.1 đảm bảo cho

sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (3.1.1). Tuy vậy, điều kiện Lipschitz có thể

thay bởi điều kiện yếu hơn (điều kiện Lipschitz địa phương) nếu tồn tại hàm Lyapunov

thỏa mãn điều kiện Hasminskii. Định lý sau chúng tôi chỉ ra điều kiện tồn tại duy nhất

nghiệm của phương trình (3.1.1) với điều kiện Lipschitz địa phương của các hệ số.

Định lý 3.1.3. Nếu với mọi T ∈ Ta và số nguyên k ≥ 1 tồn tại hằng số KT,k > 0 sao

cho, thỏa mãn |x| ∨ |y| ≤ k thì

(f (t, x)− f (t, y))2 ∨ (g (t, x)− g (t, y))2 ≤ KT,k(x− y)2 ∀t ∈ [a, T ] . (3.1.15)

Hơn nữa, nếu tồn tại hằng số c > 0 và hàm số không âm V ∈ C1,2(Ta ×Rd;R+

)thỏa

mãn

V ∇t (t, x) +AV (t, x) ≤ cV (t−, x) , với mọi (t, x) ∈ Ta ×Rd (3.1.16)

và limx→∞

inft∈[a,T ]

V (t, x) = ∞ thì phương trình (3.1.1) có nghiệm duy nhất, xác định trên

Ta.

Đặc biệt, nếu thêm điều kiện tồn tại hằng số dương c1 sao cho

c1|x|p ≤ V (t, x) , với mọi (t, x) ∈ Ta ×Rd, (3.1.17)

thì nghiệm của phương trình có moment bậc p hữu hạn.

Chứng minh. Với mỗi k ≥ 1, xác định hàm

fk(t, x) =

f(t, x) nếu |x| ≤ k

f

(t,kx

|x|

)nếu |x| > k,

và

gk(t, x) =

g(t, x) nếu |x| ≤ k

g

(t,kx

|x|

)nếu |x| > k.

Khi đó, fk và gk thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục và điều kiện tăng tuyến tính. Do

đó, theo Định lý 3.1.1 thì phương trìnhd∇Xk (t) = fk (t,Xk (t−)) d

∇t+ gk (t,Xk (t−)) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T ]

Xk (a) = xa ∈ Rd,(3.1.18)

có nghiệm duy nhất Xk(t). Chúng ta định nghĩa thời điểm dừng

θk = T ∧ inf t ∈ [a, T ] : |Xk (t)| ≥ k .

50

Ta có

Xk+1(t) = Xk(t) nếu a ≤ t ≤ θk, (3.1.19)

nên θk tăng và có giới hạn θ∞ = limk→∞

θk.

Xét quá trình X (t) : a ≤ t ≤ θ∞ xác định bởi

X (t) = Xk (t) , θk−1 ≤ t < θk, k ≥ 1,

trong đó θ0 = a. Bằng cách sử dụng (3.1.19), ta có

X (t ∧ θk) = Xk (t ∧ θk) .

Từ phương trình (3.1.18) suy ra

X (t ∧ θk) = xa +

∫ t∧θk

a

fk (τ,X (τ−))∇τ +∫ t∧θk

a

gk (τ,X (τ−))∇Mτ

= xa +

∫ t∧θk

a

f (τ,X (τ−))∇τ +∫ t∧θk

a

g (τ,X (τ−))∇Mτ ,

với mọi t ∈ [a, T ] và k ≥ 1. Chúng ta thấy rằng nếu θ∞ < T thì

lim supt→θ∞

|X (t)| ≥ lim supk→∞

|x (θk)| = lim supk→∞

|xk (θk)| = ∞.

Do đó, X (t) : a ≤ t ≤ θ∞ là nghiệm cực đại địa phương.

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của nghiệm. Lấy X(t) và X (t) là hai nghiệm của

phương trình (3.1.1), chúng ta cần chỉ ra rằng, nếu

θk = inf t ∈ Ta : |X (t)| ≥ k và θk = inft ∈ Ta :

∣∣X (t)∣∣ ≥ k

thì

θk = θk và (t) = X (t) với mọi t ≤ θk.

Ta có

X(t ∧ θk ∧ θk

)−X

(t ∧ θk ∧ θk

)=

∫ t∧θk∧θk

a

(f (τ,X (τ−))− f

(τ,X (τ−)

))∇τ

+

∫ t∧θk∧θk

a

(g (τ,X (τ−))− g

(τ,X (τ−)

))∇Mτ .

Do đó, nếu t ∈ [a, T ] thì

E(X(t ∧ θk ∧ θk

)−X

(t ∧ θk ∧ θk

))2≤ 2KT,k (T − a)

∫ t∧θk∧θk

a

(X (τ−)−X (τ−)

)2∇τ + 8KT,kE∫ t∧θk∧θk

a

(X (τ−)−X (τ−)

)2∇⟨M⟩τ

≤ 2KT,k (T − a+ 4N)

∫ t∧θk∧θk

a

E(X (τ−)−X (τ−)

)2∇τ .51

Kết hợp điều này với Bổ đề 1.1.2, suy ra

E(X(t ∧ θk ∧ θk

)−X

(t ∧ θk ∧ θk

))2= 0,

cho T ↑ ∞, ta có

X(t ∧ θk ∧ θk

)= X

(t ∧ θk ∧ θk

)h.c.c với mọit ∈ Ta.

Vì X(t) và X (t) liên tục theo t, suy ra X(t) = X (t) với mọi t ∈[a, θk ∧ θk

). Do đó

θk = θk h.c.c và tính duy nhất nghiệm của phương trình (3.1.1) được thỏa mãn.

Cố định xa ∈ Rd và viết X(t) thay cho nghiệm Xa,xa(t) của phương trình (3.1.1). Với

mỗi n ≥ |xa|, xác định thời điểm dừng

τn = inf t ≥ a : |X (t)| ≥ n .

Ta sẽ chứng minh limn→∞

τn = ∞ h.c.c. Thật vậy, theo công thức Itô, với t ≥ a,

E [V (t ∧ τn, X (t ∧ τn))] = V (a, xa) + E∫ t∧τn

a

(V ∇t (t, x) +AV (s,X (s−))

)∇s

≤ V (a, xa) + c

∫ t

a

EV (τn ∧ s−, X (τn ∧ s−))∇s.

Từ bất đẳng thức trên và Bổ đề 1.1.2, suy ra

E [V (t ∧ τn, X (t ∧ τn))] ≤ V (a, xa) ec (t, a) .

Sử dụng điều kiện limx→∞

inft∈[a,T ]

V (t, x) = ∞ suy ra limn→∞

τn = ∞ h.c.c.

Từ điều kiện (3.1.17) suy ra

c1E|X (t ∧ τn)|p ≤ E [V (t ∧ τn, X (t ∧ τn))] ≤ V (a, xa) ec (t, a) .

Cho n→ ∞, ta có

c1E|X (t)|p ≤ V (a, xa) ec (t, a)

tức là

E|Xa,xa (t)|p ≤ 1

c1V (a, xa) ec (t, a) .

Ta có điều phải chứng minh.

Chú ý 3.1.1. Nếu hàm số V (t, x) = V (x), tức là không phụ thuộc vào t, thì điều kiện

(3.1.16) được viết lại

AV (x) ≤ cV (x) , ∀(t, x) ∈ Ta ×Rd.

52

Hệ quả 3.1.1. Giả sử điều kiện (3.1.15) và điều kiện tăng tuyến tính (3.1.6) được thỏa

mãn. Khi đó, phương trình (3.1.1) có nghiệm duy nhất Xa,xa(t) xác định trên Ta thỏa

mãn

E∥Xa,xa (t)∥2 ≤ 1

c1V (a, xa) ec (t, a) .

với c, c1 là hai hằng số nào đó.

53

3.2. Ước lượng moment

Chúng ta biết rằng trong trường hợp thời gian liên tục, nếu đặc trưng của Mt bị chặn

thì nghiệm của phương trình (3.1.1) có moment bậc p hữu hạn. Tuy nhiên, đối với phương

trình động lực học trên thang thời gian thì khẳng định trên không đúng. Ví dụ sau chỉ

ra điều đó.

Ví dụ 3.2.1. Xét hai biến ngẫu nhiên ξ1, ξ2 nhận giá trị trên Z\0 với

P ξ1 = ±i =k

|i|5;P [ξ2 = j|ξ1 = i] = Ci|j|

−(4+ 1

|i|

).

Ta có8

3≥

∑j∈Z\0

|j|−4 > C−1i >

∑j∈Z\0

|j|−5 > 1 và E [ξ2|ξ1] = 0.

Do đó, dãy M1 = ξ1 và M2 = ξ1 + ξ2 là hai martingale. Hơn nữa,

E[ξ22 |ξ1 = i

]=

∑j∈Z\0

j2P [ξ2 = j|ξ1 = i]

= Ci

∑j∈Z\0

j2

|j|4+1|i|

≤ Ci

∑j∈Z\0

1

|j|2.

Từ đó suy ra ⟨M⟩ bị chặn. Mặt khác,

E|ξ2|3 =∑

i,j∈Z\0

|j|3P [ξ2 = j|ξ1 = i]Pξ1 = i

= k∑

i,j∈Z\0

Ci1

|j|1+1|i| |i|5

≤ 4k∑

i∈Z\0

1

i4<∞.

Nên

E|M1|3 ≤ ∞, E|M2|3 ≤ 4(Eξ31 + Eξ32

)<∞.

Xét phương trình sai phân trên thang thời gian T = 1, 2d∇Xn = −Xn− +Xn−d

∇MnX1 = ξ1.

Phương trình này có nghiệm duy nhất X1 = ξ1 và X2 = ξ1ξ2. Chúng ta có

E|X2|3 = E|ξ1ξ2|3 =∑

i,j∈Z\0

|ij|3P [ξ2 = j|ξ1 = i]Pξ1 = i

≥ 3k

8

∑i,j∈Z\0

1

|j|1+1|i| |i|2

≥ 3k

8

∑i∈Z\0

|i| 1i2

= ∞.

54

Sau đây chúng tôi chỉ ra các điều kiện để nghiệm của phương trình (3.1.1) có moment

bậc p. Đặt

Υ(t, A) := Υ (t, A) + Υ (t, A) .

Khi đó,

π (t, A) =

∫ t

a

Υ(τ, A)∇τ .

Định lý 3.2.1. Lấy xa ∈ Lp(Ω,Rd

)với p ≥ 2, f(t, x); g(t, x) là các hàm thỏa mãn điều

kiện tăng tuyến tính (3.1.6) và tồn tại hằng số mp sao cho∫R|u|pΥ(t, du) ≤ mp. ∀t ∈ T h.c.c. (3.2.20)

Khi đó,

E|X (t)|p ≤(1 + ∥xa∥2

) p2 eH (t, a) ∀t ∈ [a, T ] , (3.2.21)

trong đó X(t) là nghiệm của phương trình (3.1.1) và

H = p√K(1 +m

1pp

)+p (p− 1)KN

2+p

2

(1 + 2

√Kν∗ +Kν2∗

) p2−1 (

2√K +Kν∗

)+ 3p−1

(1 +K

p2

(νp∗ +mp

)).

Chứng minh. Từ điều kiện (3.2.20) suy ra∫R |u|Υ (t, du) ≤ m

1pp . Sử dụng hàm Lyapunov

V (t, x) =(1 + ∥x∥2

) p2 và (3.2.20), (3.1.14) ta có

LV (t, x) = p(1 + ∥x∥2

) p−22 (1− 1I (t,))x

T f (t, x)

+((

1 + ∥x+ f (t, x) ν (t)∥2) p

2 −(1 + ∥x∥2

) p2

)Φ (t)

+p

2

(1 + ∥x∥2

) p−22 ∥g (t, x)∥2Kc

t +p (p− 2)

2

(1 + ∥x∥2

) p−42∣∣xT g (t, x)∣∣2Kc

t

+

∫R

[(1 + ∥x+ f (t, x) ν (t) + g (t, x)∥2

) p2 −(1 + ∥x+ f (t, x) ν (t)∥2

) p2

]Υ(t, du)

− p(1 + ∥x∥2

) p−22 xT g (t, x)

∫RuΥ (t, du) ≤

[p√K +

pK

2Kc

t +p (p− 2)

2KKc

t

+3p−1

∫R

(1 +K

p2 νp (t) +K

p2up)Υ(t, du) + p

√K

∫R|u| Υ (t, du)

] (1 + ∥x∥2

) p2

≤p√K(1 +m

1pp ) +

p (p− 1)KN

2+p

2

(1 + 2

√Kν∗ +Kν2∗

) p2−1 (

2√K +Kν∗

)+3p−1

(1 +K

p2

(νp∗ +mp

)) (1 + ∥x∥2

) p2 ≤ HV (x) ,

55

với

H = p√K(1 +m

1pp ) +

p (p− 1)KN

2+p

2

(1 + 2

√Kν∗ +Kν2∗

) p2−1 (

2√K +Kν∗

)+3p−1

(1 +K

p2

(νp∗ +mp

)). (3.2.22)

Mặt khác,

∥x∥p ≤(1 + ∥x∥2

) p2 = V (x) .

Từ chứng minh của Định lý 3.1.3, ta có

E∥X (t)∥p ≤(1 + ∥xa∥2

) p2 eH (t, a) .

Bổ đề 3.2.1. (Bất đẳng thức Burkholder). Giả sử (Mt)t∈Talà (Ft)−martingale với Ma =

0, E|Mt|p <∞ ∀ p ≥ 2. Khi đó, tồn tại hằng số dương Bp sao cho

E supa≤s≤t

|Ms|p ≤ Bp

E ⟨M⟩

p2

t + E∑a≤s≤t

|∇∗Ms|p.

Chứng minh. Theo bất đẳng thức Doob ta có

E supa≤s≤t

|Ms|p ≤(

p

p− 1

)p

E|Mt|p.

Sử dụng kí hiệu trong Mục 2.3, ta có

Mt = Mt + Mt,

trong đó Mt =∑

a≤s≤t

(Ms −Mρ(s)

). Martingale Mt có thể được mở rộng thành một

martingale chính quy trên [a;∞)R. Áp dụng Bổ đề 5 trong [14], ta có

E∣∣∣Mt

∣∣∣p ≤ Bp

E⟨M⟩ p

2

t+ E

∑a≤s≤t

∣∣∣∇∗Ms

∣∣∣p ,

với Bp là một hằng số nào đó. Hơn nữa, martingale Mt là tổng các biến ngẫu nhiên. Nên

áp dụng Định lý 13.2.15 trong [15], ta có

E∣∣∣Mt

∣∣∣p ≤ Bp

E⟨M⟩ p

2

t+ E

∑a≤s≤t

∣∣∣∇∗Ms

∣∣∣p .

56

Do đó,

E|Mt|p ≤ 2p−1(E∣∣∣Mt

∣∣∣p + E∣∣∣Mt

∣∣∣p)≤ 2p−1Bp

E⟨M⟩ p

2

t+ E

∑a≤s≤t

∣∣∣∇∗Ms

∣∣∣p+ 2p−1Bp

E⟨M⟩ p

2

t+ E

∑a≤s≤t

∣∣∣∇∗Ms

∣∣∣p .

Điều đó dẫn tới,

E supa≤s≤t

|Ms|p ≤ Bp

(E(⟨

M⟩t+⟨M⟩t

)p+ E

∑a≤s≤t

(∣∣∣∇∗Ms

∣∣∣p + ∣∣∣∇∗Ms

∣∣∣p))

= Bp

E ⟨M⟩

p2

t + E∑a≤s≤t

|∇∗Ms|p,

trong đó Bp = 2p−1(

pp−1

)pmax

Bp, Bp

.

Định lý 3.2.2. Lấy p ≥ 2, M ∈ M2 sao cho (3.1.2) và (3.2.20) được thỏa mãn, lấy

g ∈ L2 ((a, T ] ;M) với ∫ t

a

E|g (τ)|p∇τ <∞ ∀t ∈ Ta.

Khi đó,

E

∣∣∣∣∣∫ T

a

g (τ)∇Mτ

∣∣∣∣∣p

≤ Cp

∫ T

a

E|g (τ)|p∇τ ,

trong đó Cp = Bp

(T − a)

p2−1N

p2 +mp

.

Chứng minh. Đặt

xt :=

∫ t

a

g (τ)∇Mτ , t ∈ [a, T ] .

Ta thấy

⟨x⟩t :=∫ t

a

g2 (τ)∇⟨M⟩τ .

Vì ⟨M⟩t liên tục nên ⟨x⟩t cũng liên tục. Áp dụng Bổ đề 3.2.1 đối với martingale (xt), ta

57

có

E|x (t)|p ≤ Bp

E ⟨x⟩

p2

t + E∑a≤s≤t

|∇∗xs|p

= Bp

E ⟨x⟩

p2

t + E

∫ t

a

∫|g (τ)u|pδ (∇τ, du)

= Bp

E[∫ t

a

g2 (τ)∇⟨M⟩τ

] p2

+ E∫ t

a

∫|g (τ)u|pπ (∇τ, du)

≤ Bp

(t− a)

p2−1N

p2

∫ t

a

E|g (τ)|p∇τ + E∫ t

a

|g (τ)|p∫R|u|pΥ(τ, du)∇τ

≤ Bp

(t− a)

p2−1N

p2 +mp

∫ t

a

E|g (τ)|p∇τ .

Suy ra điều phải chứng minh.

Hệ quả 3.2.1. Lấy M ∈ M2 thỏa mãn điều kiện (3.1.2) và (3.1.3). Giả sử (gn) ⊂

L2 ((a, T ] ;M) là dãy các quá trình ngẫu nhiên sao cho

limn→∞

E∫ T

a

|gn (τ)− g (τ)|p∇τ = 0.

Khi đó

limn→∞

E

(∫ T

a

g (τ)∇Mτ −∫ T

a

gn (τ)∇Mτ

)p

= 0.

Định lý 3.2.3. Giả sử điều kiện (3.2.20) đúng. Lấy T ∈ Ta và p ≥ 2 và quá trình ζ(t)

là nghiệm của phương trình

ζ (t) = φ (t) +

∫ t

a

ψ (τ) ζ (τ−)∇τ +∫ t

a

χ (τ) ζ (τ−)∇Mτ , t ∈ [a, T ] , (3.2.23)

với φ (t) , ψ (t) và χ (t) là các quá trình (Ft)−phù hợp và tồn tại hằng số G sao cho với

xác suất 1, ∥ψ (t)∥ ≤ G và ∥χ (t)∥ ≤ G. Khi đó,

E supa≤t≤T

∥ζ (t)∥p ≤ 3p−1E(

supa≤t≤T

∥φ (t)∥)p

eH (T, a) , (3.2.24)

với H = 3p−1Gp((T − s)p−1 + Cp

).

58

Chứng minh. Với mỗi n > 0, kí hiệu θn = inf t > s : ∥ζ (t)∥ > n . Từ (3.2.23) ta có

E supa≤r≤t

∥ζ (r ∧ θn)∥p ≤ 3p−1

(E sup

a≤t≤T∥φ (t)∥p + E sup

a≤r≤t

∥∥∥∥∥∫ r∧θn

a

ψ (τ) ζ (τ−)∇τ

∥∥∥∥∥p

+ E supa≤r≤t

∥∥∥∥∥∫ r∧θn

a

χ (τ) ζ (τ−)∇Mτ

∥∥∥∥∥p)

Theo Định lý 3.2.2≤ 3p−1

(E sup

a≤t≤T∥φ (t)∥p

+Gp(T − s)p−1

∫ t∧θn

a

E∥ζ (τ−)∥p∇τ + CpGp

∫ t∧θn

a

E∥ζ (τ−)∥p∇τ

)

= 3p−1

(E sup

a≤t≤T∥φ (t)∥p +Gp

((T − s)p−1 + Cp

) ∫ t∧θn

a

E∥ζ (τ−)∥p∇τ

)

= 3p−1E supa≤t≤T

∥φ (t)∥p +H

∫ t∧θn

a

supa≤r≤τ−

E∥ζ (r)∥p∇τ ,

với H = 3p−1Gp((T − s)p−1 + Cp

). Sử dụng Bổ đề 1.1.2 suy ra

E(

supa≤t≤T

∥ζ (t ∧ θn)∥)p

≤ 3p−1E(

supa≤t≤T

∥φ (t)∥)p

eH (T, a) .

Cho n→ ∞ ta được (3.2.24). Suy ra điều phải chứng minh.

59

3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên

thang thời gian

Mặc dù chúng ta định nghĩa một phương trình động lực ngẫu nhiên với ∇−tích phân

nhưng ta thấy rằng tốc độ hội tụ của ∇−hàm mũ ep không tốt. Hơn nữa, theo (1.1.4)

∆−hàm mũ ep cũng là một nghiệm của một ∇−phương trình động lực. Do đó, thay vì

sử dụng ep, ta sẽ sử dụng ep để định nghĩa tính ổn định mũ.

Ta xét phương trình động lực (3.1.1) đối với martingale bình phương khả tích M thỏa

mãn (3.1.2), (3.1.3) và (3.2.20). Giả sử với điều kiện ban đầu xa ∈ Rd, nghiệm Xa,xa(t)

với Xa,xa(t) = xa của phương trình (3.1.1) tồn tại duy nhất và xác định trên Ta. Hơn

nữa,

f(t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ 0. (3.3.25)

Những giả thiết trên suy ra rằng phương trình (3.1.1) có nghiệm tầm thường Xa,0(t) ≡ 0.

Định nghĩa 3.3.1. Nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) được gọi p−ổn định mũ

nếu tồn tại một cặp hằng số dương α và K = K(a) > 1 thỏa mãn

E|Xa,xa (t)|p ≤ K|xa|pe⊖α (t, a) trên [a,∞) , (3.3.26)

với mọi xa ∈ Rd.

Nếu ta có thể chọn K không phụ thuộc a thì nghiệm tầm thường của phương trình

(3.1.1) được gọi là p−ổn định mũ đều.

Định lý 3.3.1. Giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C1,2(Ta ×Rd;R+

)và các hằng số

dương α1, α2, α3 thỏa mãn

α1∥x∥p ≤ V (t, x) ≤ α2∥x∥p (3.3.27)

và

V ∇t (t, x) +AV (t, x) ≤ −α3V (t, x) , ∀ (t, x) ∈ Ta ×Rd. (3.3.28)

Khi đó

E∥Xa,xa (t)∥p ≤ α2

α1∥x∥pe⊖α3 (t, a) trên [a,∞) (3.3.29)

với mọi xa ∈ Rd. Tức là, nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) là p−ổn định mũ

đều.

60

Chứng minh. Để đơn giản kí hiệu, ta viết X(t) thay cho Xa,xa(t). Với mỗi n > |xa|, ta

định nghĩa thời điểm dừng

θn := inf t ≥ a : ∥X (t)∥ ≥ n .

Hiển nhiên, θn → ∞ khi n→ ∞ h.c.c. Theo (3.3.28) và tính toán kì vọng ta được

E [eα3 (t ∧ θn, a)V (t ∧ θn, X (t ∧ θn))]

= V (a, xa) + E∫ t∧θn

a

eα3 (τ− ∧ θn, a) [α3V (τ,X (τ−)) +AV (τ,X (τ−))]∇τ

≤ V (a, xa).

Sử dụng điều kiện (3.3.27) ta có

α1eα3 (t ∧ θn, a)E∥X (t ∧ θn)∥p ≤ E [eα3 (t ∧ θn, a)V (t ∧ θn, X (t ∧ θn))]

≤ V (a, xa) ≤ α2∥xa∥p.

Cho n→ ∞ ta thu được

α1eα3 (t, a)E∥X (t)∥p ≤ α2∥xa∥p.

Do đó,

E∥Xa,xa (t)∥p ≤ α2

α1∥x∥pe⊖α3 (t, a) .

Ta có điều phải chứng minh.

Bây giờ ta xét bài toán ngược bằng cách chỉ ra rằng nếu nghiệm tầm thường của (3.1.1)

p−ổn định mũ đều thì một hàm Lyapunov như vậy tồn tại. Đầu tiên, ta nghiên cứu sự

khác biệt của các nghiệm đối với các điều kiện ban đầu và tính liên tục đối với các hệ số.

Bổ đề 3.3.1. Giả sử các hệ số của phương trình (3.1.1) liên tục theo s, x và chúng có các

đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục, bị chặn và điều kiện (3.2.20) đúng với p ≥ 4.

Khi đó, nghiệm Xs,x(t), s ≤ t ≤ T của phương trình (3.1.1) khả vi hai lần đối với x. Hơn

nữa, các đạo hàm riêng

∂

∂xi(Xs,x (t)) ,

∂2

∂xi∂xj(Xs,x (t))

liên tục bình phương trung bình theo x.

61

Chứng minh. Giả sử các đạo hàm f′

x (t, x) , g′

x (t, x) , f′′

xx (t, x) , g′′

xx (t, x) bị chặn bởi một

hằng số λ. Để đơn giản kí hiệu, ta đặt Ys,∆x (t) = Xs,x+∆x (t)−Xs,x (t). Sử dụng định lý

Lagrange ta thấy với i = 1, d, tồn tại θi ∈ [0, 1] sao cho

fi(t,Xs,x (t) + Ys,∆x (t)

)− fi (t,Xs,x (t))

=

d∑j=1

∂fi∂xj

(t,Xs,x (t) + θiYs,∆x (t)

)Yi,s,∆x (t),

gi(t,Xs,x (t) + Ys,∆x (t)

)− gi (t,Xs,x (t))

=

d∑j=1

∂gi∂xj

(t,Xs,x (t) + ξiYs,∆x (t)

)Yi,s,∆x (t).

(3.3.30)

Kí hiệu As,∆x (t) ( tương ứng Bs,∆x (t)) là ma trận gồm các phần tử aijs,∆x (t) ( tương

ứng bijs,∆x (t)) được xác định bởi aijs,∆x (t) = ∂fi∂xj

(t,Xs,x (t) + θiYs,∆x (t)

)( tương ứng

bijs,∆x (t) = ∂fi∂xj

(t,Xs,x (t) + ξiYs,∆x (t)

)). Khi đó, phương trình (3.3.30) được viết lại

thành

f(t,Xs,x (t) + Ys,∆x (t)

)− f (t,Xs,x (t)) = As,∆x (t)Ys,∆x (t) ,

g(t,Xs,x (t) + Ys,∆x (t)

)− g (t,Xs,x (t)) = Bs,∆x (t)Ys,∆x (t) .

Do đó,

Ys,∆x (t) = ∆x+

∫ t

a

As,∆x (t)Ys,∆x (t)∇τ +∫ t

a

Bs,∆x (t)Ys,∆x (t)∇Mτ .

Chú ý rằng As,∆x (t) và Bs,∆x (t) bị chặn bởi hằng số λ. Sử dụng Định lý (3.2.3) ta có

E sups≤t≤T

∥∥Ys,∆x (t)∥∥2 ≤ 3∥∆x∥2eH2

(T, s) , (3.3.31)

trong đó H2 = 3λ2 (T − s+ C2). Suy ra

E sups≤t≤T

∥∥Ys,∆x (t)∥∥2 P→ 0 khi ∥∆x∥ → 0.

Lấy ζs,x (t) là nghiệm của phương trình động lực biến phân

ζs,x (t) = I +

∫ t

s

f′

x (τ,Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−)∇τ +∫ t

s

g′

x (τ,Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−)∇Mτ ,

với mọi s ≤ t ≤ T . Bởi vì f′

x và g′

x bị chặn bởi hằng số λ nên ta có

E sups≤t≤T

∥ζs,x (t)∥4 ≤ 27eH3(T, s) , (3.3.32)

62

trong đó H3 = 27λ3((T − s)3 + C4

). Ta định nghĩa

ζ∆x (t) = Ys,∆x (t)− ζs,x (t)∆x ∀s ≤ t ≤ T.

Khi đó, quá trình ζ∆x (t) thỏa mãn phương trình

ζ∆x (t) = ϕ∆x (t) +

∫ t

a

As,∆x (τ−) ζ∆x (τ−)∇τ +∫ t

a

Bs,∆x (τ−) ζ∆x (τ−)∇Mτ .

trong đó

ϕ∆x (t) =

∫ t

s

[(As,∆x (τ−)− f

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ζs,x (τ−)∆x

]∇τ

+

∫ t

s

[(Bs,∆x (τ−)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ζs,x (τ−)∆x

]Mτ .

Áp dụng Định lý 3.2.3 ta thu được

E sups≤t≤T

∥ζ∆x (t)∥2 ≤ 3E sups≤t≤T

∥ϕ∆x (t)∥2eH2(T, s) . (3.3.33)

Bởi vì f′

x (t, x), g′

x (t, x) liên tục và E sups≤t≤T

∥∥Ys,∆x (t)∥∥2 P→ 0 khi ∥∆x∥ → 0, nên ta có

P− lim∆x→0

(∥∥∥As,∆x (t)− f′

x (t,Xs,x (t))∥∥∥+ ∥∥∥Bs,∆x (t)− g

′

x (t,Xs,x (t))∥∥∥) = 0.

Do đó, bởi tính bị chặn của A, B, f ′, g′, ta thu được

E(

sups≤t≤T

∥ϕ∆x (t)∥2

∥∆x∥2

)≤ 2 (T − s)

∫ T

s

E∥∥∥(As,∆x (τ−)− f

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ζs,x (τ−)

∥∥∥2∇τ+ 4

∫ T

s

E∥∥∥(Bs,∆x (τ−)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ζs,x (τ−)

∥∥∥2∇⟨M⟩τ → 0 khi ∥∆x∥ → 0.

Từ (3.3.33) suy ra

E sups≤t≤T

∥ϕ∆x (t)∥∥∆x∥

= 0 khi ∆x→ 0.

Điều này có nghĩa là

ζs,x (t) =∂

∂xXs,x (t) ∀s ≤ t ≤ T.

Tính liên tục bình phương trung bình của ζs,x (t) đối với x suy ra tính liên tục của

f′

x (t,Xs,x (t)) và g′

x (t,Xs,x (t)).

Tiếp theo, ta chứng minh sự tồn tại của∂2Xs,x (t)

∂2x. Để đơn giản kí hiệu, nếu F là một

ánh xạ song tuyến tính thì ta viết Fh2 thay cho F (h, h). Lấy ánh xạ song tuyến tính

63

ηs,x (t) là nghiệm của phương trình động lực biến phân bậc hai

ηs,x (t) =

∫ t

s

f′′

xx (τ,Xs,x (τ−)) ζ2s,x (τ−)∇τ +

∫ t

s

f′

x (τ,Xs,x (τ−)) ηs,x (τ−)∇τ

+

∫ t

s

g′′

xx (τ,Xs,x (τ−)) ζ2s,x (τ−)∇Mτ +

∫ t

s

g′

x (τ,Xs,x (τ−)) ηs,x (τ−)∇Mτ .

với mọi s ≤ t ≤ T . Sử dụng Định lý 3.2.3 và (3.3.32) ta có

E sups≤t≤T

∥ηs,x (t)∥2 ≤ ∞. (3.3.34)

Định nghĩa

η∆x (t) = ζs,x+∆x (t)∆x− ζs,x (t)∆x− ηs,x (t) (∆x)2,∀s ≤ t ≤ T.

Quá trình η∆x (t) thỏa mãn phương trình

η∆x (t) = ψ∆x (t) +

∫ t

s

f′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)η∆x (τ−)∇τ

+

∫ t

s

g′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)η∆x (τ−)∇Mτ ,

trong đó,

ψ∆x (t)

=

∫ t

s

[(f

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− f

′

x (τ,Xs,x (τ−))− f′′

xx (τ,Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−)∆x)ζs,x (τ−)∆x

+(f

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− f

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ηs,x (τ−) (∆x)

2]∇τ

=

∫ t

s

[(g

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−))− g′′

xx (τ,Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−)∆x)ζs,x (τ−)∆x

+(g

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ηs,x (τ−) (∆x)

2]∇Mτ .

Sử dụng Định lý 3.2.3 ta thu được

E∥η∆x (t)∥2 ≤ E sups≤t≤T

∥ψ∆x (t)∥2eH2(T, s) , (3.3.35)

trong đó H2 = 3λ2 (T − s+ 4N). Dễ dàng thấy rằng

64

• E sups≤t≤T

∥∥∥∫ t

s

[(f

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− f

′

x (τ,Xs,x (τ−))− f′′

xx (τ,Xs,x (τ−))

× ζs,x (τ−)∆x) ζs,x (τ−)∆x]∇τ∥2 ≤ 2 (T − s)E∫ T

s

∥∥∥(f ′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)−f

′

x (τ,Xs,x (τ−))− f′′

xx (τ,Xs,x (τ−))Yx,∆x (τ−))ζs,x (τ−)∆x

∥∥∥2∇τ+ 2 (T − s)E

∫ T

s

∥∥∥f ′′

xx (τ,Xs,x (τ−))(Yx,∆x (τ−)− ζs,x (τ−)∆x

)ζs,x (τ−)∆x

∥∥∥2∇τ= o(∥∆x∥4

);

•∫ T

sE∥∥(f ′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− f

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ηs,x (τ−) (∆x)

2∥∥2∇τ = o

(∥∆x∥4

);

• E sups≤t≤T

∥∥∥∫ t

s

[(g

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−))− g′′

xx (τ,Xs,x (τ−))

× ζs,x (τ−)∆x) ζs,x (τ−)∆x]∇Mτ∥2 ≤ 4NE∫ T

s

∥∥∥(g′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)−g

′

x (τ,Xs,x (τ−))− g′′

xx (τ,Xs,x (τ−))Yx,∆x (τ−))ζs,x (τ−)∆x

∥∥∥2∇τ+ 4NE

∫ T

s

∥∥∥g′′

xx (τ,Xs,x (τ−))(Yx,∆x (τ−)− ζs,x (τ−)∆x

)ζs,x (τ−)∆x

∥∥∥2∇τ= o(∥∆x∥4

);

• E sups≤t≤T

∥∥∥∫ t

s

[(g

′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ηs,x (τ−) (∆x)

2]∇Mτ

∥∥∥2≤ 2N

∫ T

s

∥∥∥(g′

x

(τ,Xs,x+∆x (τ−)

)− g

′

x (τ,Xs,x (τ−)))ηs,x (τ−) (∆x)

2∥∥∥2∇τ = o

(∥∆x∥4

).

Kết hợp các kết quả trên ta có: E sups≤t≤T

∥ψ∆x (t)∥2 = o(∥∆x∥4

), điều này suy ra

E∥η∆x (t)∥2 = o(∥∆x∥4

).

Do đó,∥η∆x (t)∥∥∆x∥2

= 0 hoặc∂2

∂x2Xs,x (t) = ηs,x (t) .

Ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 3.3.2. Cho p ≥ 4 và 2 ≤ β ≤ p. Khi đó, ánh xạ F (ϕ) : ϕ→ ∥ϕ∥β từ Lp (Ω,F ,P)

tới R khả vi hai lần tại mọi ϕ0 = 0 và

F′(ϕ0) .ϕ = βEϕβ−1

o ϕ; F′′(ϕ0) .ϕ.ψ = β (β − 1)Eϕβ−2

o ϕψ.

65

Chứng minh. Ta có∣∣∣F (ϕ0 +∆ϕ)− F (ϕ0)− βE|ϕ0|β−1∆ϕ∣∣∣ = E|ϕ0 +∆ϕ|β − Eϕβo − βE|ϕ0|β−1∆ϕ

= β (β − 1)E[|η|β−2(∆ϕ)2

]≤ β (β − 1)

[E|η|m(β−2)

] 1mE[(∆ϕ)p

] 2p ,

trong đó η ∈ (ϕ0;ϕ0 +∆ϕ) nếu ϕ0 +∆ϕ > ϕ0 hoặc η ∈ (ϕ0 +∆ϕ;ϕ0) nếu ϕ0 > ϕ0 +∆ϕ.

Do đó, với 1m + 2

p = 1 ta có

∣∣∣F (ϕ0 +∆ϕ)− F (ϕ0)− βE|ϕ0|β−1∆ϕ∣∣∣ ≤ β (β − 1)

[E|η|m(β−2)

] 1mE[(∆ϕ)p

] 2p

≤ β (β − 1)[Emax |ϕ0| ; |ϕ0 +∆ϕ|m(β−2)

] 1mE[(∆ϕ)p

] 2p .

Từ hệ thức 1m + 2

p = 1 suy ra m (β − 2) < p. Do đó, Emax |ϕ0| ; |ϕ0 +∆ϕ|m(β−2) <∞.

Như vậy,∣∣∣F (ϕ0 +∆ϕ)− F (ϕ0)− βE|ϕ0|β−1∆ϕ∣∣∣

≤ β (β − 1)[E|η|m(β−2)

] 1mE[(∆ϕ)p

] 2p = O(1) ∥∆ϕ∥2p khi ∥∆ϕ∥p → 0.

Điều này có nghĩa là: F′(ϕ0) .ϕ = βEϕβ−1

o ϕ. Tương tự ta chứng minh được sự tồn tại và

tính liên tục của đạo hàm cấp hai F′′.

Bổ đề 3.3.3. Lấy các hệ số của phương trình (3.1.1) liên tục theo t, x và thỏa mãn các

điều kiện (3.3.25). Giả sử các điều kiện của Bổ đề 3.3.1 thỏa mãn và 2 ≤ β ≤ p. Khi đó,

với t > a cố định, hàm số u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β; a < s < t khả vi liên tục hai lần theo x

ngoại trừ tại x = 0.

Chứng minh. Theo Bổ đề 3.3.1, ánh xạ x → Xs,x (t) khả vi hai lần theo x. Ánh xạ

X → ∥X∥ từ Rd tới R và ánh xạ F (ϕ) = E|ϕ|β từ Lp (Ω,F ,P) tới R cũng khả vi hai lần.

Do đó theo quy tắc chuỗi, ánh xạ u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β cũng khả vi hai lần. Hơn nữa,

u′

x (s, x)h = βE[∥Xs,x (t)∥β−2 ⟨Xs,x (t) , ζs,x (t)h⟩

](3.3.36)

u′′

xx (s, x)h2 = βE

[(β − 2) ∥Xs,x (t)∥β−4⟨Xs,x (t) , ζs,x (t)h⟩2

+∥Xs,x (t)∥β−2∥ζs,x (t)h∥2 + ∥Xs,x (t)∥β−2 ⟨Xs,x (t) , ηs,x (t)h2⟩].

66

Định lý 3.3.2. Giả sử M có gia số độc lập và các điều kiện của Bổ đề 3.3.1 đúng và

2 ≤ β ≤ p. Khi đó, hàm số u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β; a < s < t ∇−khả vi theo s, khả vi

liên tục hai lần theo x và thỏa mãn phương trình

u∇s (s, x) +AV (s, x) = 0. (3.3.37)

Chứng minh. Theo Bổ đề 3.3.1, u(s, x) khả vi hai lần theo x. Từ (3.3.26), (3.3.31), (3.3.32),

(3.3.34) và (3.3.36), ta suy ra∫ t

sAu (h,Xs,x (τ−))∇τ khả tích. Do đó

u (h,Xs,x (r))− V (h, x)−∫ r

s

Au (h,Xs,x (τ−))∇τ , s ≤ r ≤ h ≤ t

là một Fr−martingale. Suy ra,

Eu (h,Xs,x (h))− u (h, x) =

∫ h

s

EAu (h,Xs,x (τ−))∇τ .

Bởi vì Mt có gia số độc lập nên Xh,y(t) độc lập với Xs,x(t) khi s ≤ h ≤ t, điều này suy ra

rằng Eu (h,Xs,x (h)) = u (s, x). Do đó,

u (s, x)− u (h, x)

s− h=

1

s− h

∫ h

s

EAu (h,Xs,x (τ−))∇τ .

Cho h→ s ta thu được

u∇s (s, x) = −Au (s, x) .

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 3.3.3. Giả sử các điều kiện của Bổ đề 3.3.1 đúng và 2 ≤ β ≤ p. Giả sử với

T > 0 cố định, tồn tại 1 hàm γT : T → T với γT (s) ≥ s + T , ∀s ∈ T sao cho γT (s)− T

và ∇−đạo hàm γ∇T (s) bị chặn. Nếu nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) β−ổn

định mũ đều thì tồn tại 1 hàm V (s, x) ∈ C1,2

(Ta ×Rd;R+

)thỏa mãn các bất đẳng thức

(3.3.27) và (3.3.28).

Chứng minh. Theo Bổ đề 3.3.3 và Định lý 3.3.2, hàm số

V (s, x) =

∫ γT (s)

s

E∥Xs,x (τ)∥β∇τ .

thuộc lớp C1,2

(Ta ×Rd;R+

). Từ (3.3.26),

V (s, x) ≤∫ γT (s)

s

N∥x∥βe⊖α (τ−, s)∇τ = α1∥x∥β,

67

trong đó α1 =N⊖α (e⊖α (γT (s) , s)− 1) .

Theo giả thiết, nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) β−ổn định mũ đều và γ∇T (s)

bị chặn nên ta có thể chọn T > 0 sao cho

E∥Xs,x (γT (s))∥p < 1

2∥x∥p, và E∥Xs,x (γT (s))∥βγ∇T (s) <

1

2∥x∥p. (3.3.38)

Hơn nữa, bởi vì các hệ số f, g có các đạo hàm riêng theo x bị chặn trong khi f(t, 0) =

0, g(t, 0) = 0 nên ta có đánh giá

∥f (t, x)∥ ≤ G ∥x∥ ; ∥g (t, x)∥ ≤ G ∥x∥ và∥∥A [∥x∥p] (s, x)∥∥ < c∥x∥p. (3.3.39)

với hằng số c nào đó. Do đó, áp dụng công thức Ito cho hàm số ∥x∥p và sử dụng (3.3.39)

suy ra

E∥Xs,x (γT (s))∥p − ∥x∥p =∫ γT (s)

s

EA∥Xs,x (τ−)∥p∇τ

≥ −c∫ γT (s)

s

E∥Xs,x (τ−)∥p∇τ = −cV (s, x).

Kết hợp với (3.3.38) ta có bất đẳng thức V (s, x) > α2∥x∥p với α2 = 12c . Do đó, V thỏa

mãn điều kiện (3.3.27).

Lấy ∇−đạo hàm của V theo s và áp dụng Định lý 3.3.2 ta có

V ∇s (s, x) +AV (s, x) = E∥Xs,x (γT (s))∥βγ∇T (s)− ∥x∥β,

Sử dụng (3.3.38) ta thu được

V ∇s (s, x) +AV (s, x) ≤ −1

2∥x∥p ≤ − 1

2α1V (s, x) .

Suy ra

V ∇s (s, x) +AV (s, x) ≤ −α3V (s, x)

trong đó α3 =1

2α1. Như vậy, hàm V thỏa mãn các điều kiện (3.3.27), (3.3.28). Ta có điều

phải chứng minh.

Ví dụ 3.3.1. Xét phương trình tuyến tínhd∇X (t) = aX (t−) d

∇t+ bX (t−) d∇M (t) ∀t ∈ Ta

X (t0) = 1(3.3.40)

trong đó a, b là hai hằng số, M là một martingale liên tục có gia số độc lập và thỏa mãn

các điều kiện (3.1.2), (3.1.3).

68

Bằng cách sử dụng phương pháp như trong chứng minh của Định lý 3.1.3 và áp dụng

công thức Itô, ta thu được

X2(t)

= 1+

∫ t

t0

(2a (τ) (1− 1I (τ)) + b2 (τ)Kτ + a2 (τ) ν2 (τ) + 2a (τ) ν (τ)

)X2 (τ−)∇τ+B (t) .

với t ∈ [t0, T ], trong đó B(t) là một Ft−martingale. Lấy kì vọng hai vế, ta có

EX2 (t) = 1 +

∫ t

t0

(2a (1− 1I (τ)) + b2Kτ + a2ν2 (τ) + 2aν (τ)

)EX2 (τ−)∇τ .

Đặt q (t) = 2a (1− 1I (t)) + b2Kt + a2ν2 (t) + 2aν (t) ∀t ≥ t0. Khi đó q ∈ R+. Điều này

suy ra

EX2 (t) = eq (t, t0) .

Kí hiệu Xs,x(t), t ≥ s là nghiệm của phương trình (3.3.40) với giá trị ban đầu tại s là

Xs,x(s) = x. Khi đó

E∥Xs,x (t)∥2 = eq (t, s)x2.

Dễ dàng thấy rằng u (s, x) = E∥Xs,x (t)∥2 là hàm số không âm xác định trên T×Rd thỏa

mãn ∇−khả vi liên tục 1 lần theo t và khả vi liên tục 2 lần theo x.

Với T > 0 bất kì cố định, lấy γT (s) được xác định như trong Định lý 3.3.3. Đặt

V (s, x) =

∫ γT (s)

s

E∥Xs,x (τ−)∥2∇τ .

Khi đó, ta có

V ∇s (s, x) +AV (s, x)

= E∥Xs,x (γT (s))∥2γ∇T (s)− E∥Xs,x (s)∥2

=(eq (γT (s) , s) γ∇T (s)− eq (s, s)

)x2

=

∫ γT (s)

s

(2a (1− 1I (τ)) + b2Kτ + a2ν2 (τ) + 2aν (τ)

)eq (τ−, t0)x

2∇τ .

Từ Định lý 3.3.1 và 3.3.3 ta suy ra rằng:

Nghiệm tầm thường của phương trình (3.3.40) ổn định mũ bình phương trung bình

nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

i) Nếu q (t) = 2a (1− 1I (t)) + b2Kt + a2ν2 (t) + 2aν (t) thì q ∈ R+,

ii) 2a (1− 1I (t)) + b2Kt + a2ν2 (t) + 2aν (t) < 0 ∀t ≥ t0.

69

Kết luận

Qua đề tài nghiên cứu này, luận văn đã trình bày được các kết quả chính như sau:

1. Trình bày tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian theo martingale bình phương

khả tích.

2. Phát biểu và chứng minh công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời

gian.

3. Trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu là mar-

tingale bình phương khả tích, định nghĩa nghiệm và chỉ ra điều kiện về sự tồn tại

duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên.

4. Phát biểu bài toán martingale, trình bày các công thức ước lượng moment đối với

nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên.

5. Trình bày điều kiện cần và đủ đối với tính ổn định mũ của phương trình động lực

ngẫu nhiên trên thang thời gian qua các hàm Lyapunov.

Hà nội - 2015.

70

Tài liệu tham khảo

[1] M. Bohner and A. Peterson. (2001), Dynamic equations on time scale, Birkhauser

Boston, Massachusetts.

[2] M. Bohner and A. Peterson. (2003), Advances in Dynamic equations on time scale,

Birkhauser Boston, Basel, Berlin.

[3] A.Cabada anh D.R.Vivero. (2006), Expression of the Lebesgue ∇-integral on the time

scale as an usual Lebesgue integral: Application to the calculus of ∇-antiderivatives,

Mathematical and Computer Modeling. 43, 194 - 207.

[4] A.Deniz and U.Ufuktepe. (2009), Lebesgue-Stieltjes measure on time scale, Turk J.

Math. 33, 27 – 40.

[5] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1996), Introduction to the theory of random

processes, W. B. Saunders Company, Philadelphia. London. Toronto.

[6] N. Ikeda and S. Wantanabe. (1981), Stochastic differential equations and diffusion

processes, North Holland, Amsterdam.

[7] X. Mao. (1997), Stochastic differential equations and their applications, Horwood

Publishing Chichester.

[8] P. Medvegyev. (2007), Stochastic dynamic equations, Oxford University Press Inc,

New York.

[9] S. Sanyal. (2008), Stochastic integration theory, Ph.D. Dissertation, Applied Mathe-

matics, Missouri University of Science and Technology.

[10] H. P. McKean. Jr. (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York.

[11] L. C. G. Rogers and D. William. (1987), Diffusions, Markov process and martingales,

Volume 2: Itô’s Calculus, John Wiley & Sons Ltd.

71

[12] N. H. Du and N. T. Dieu. (2012), Stochastic dynamic equation on time scale, Acta

Mathematica Vietnamica.38, 317 - 338.

[13] N. H. Du and N. T. Dieu. (2012), On the P−exponential stability of stochastic dy-

namic equation on disconnected sets, Journal of Stochastic Analysis and Application

(submitted).

[14] A. Tartakovsky. (1998), Asymptotically optimal sequential tests for nonhomogeneous

processes, Sequential Analysis.17, 33 - 61.

[15] K. B. Athreya and S. N. Lahiri. (2006), Measure Theory and Probability Theory,

Springer Science Business Media, LLC.

[16] D. Kannan and B. Zhan. (2002), A discrete - time Itô’s formula, Stochastic Analysis

and Application. 20, 1133 - 1140.

[17] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1972), Stochastic differential equations, Springer

- Verlag, Berlin.

[18] N. H. Du and N. T. Dieu. (2011), The first attempt on the stochastic calculus on time

scale, Stochastic Analysis and Application. 29, 1057 - 1080.

72