LÓGICA MATEMÁTICA...→ : 𝒊 4√16=2 𝒆 𝒄𝒆 24=16 Esta proposición compuesta es “ F ” ( falsa) cuando la primera proposición es ^V _ (verdadera) y la segunda es ^F

Lic. Fabian Izquierdo Física y Matemática

LÓGICA MATEMÁTICA

Es la rama de la matemática que, en base a razonamientos y herramientas, permite asignar un

valor de verdad a un enunciado partiendo de proposiciones previas.

¿QUÉ ES UNA PROPOSICIÓN SIMPLE?

Es una oración de la cual es posible establecer su veracidad o falacia, pero no las dos al mismo

tiempo.

Ejemplos:

ORACIÓN OBSERVACIÓN

3 es un numero impar oración verdadera

1 es par oración falsa

La raíz de diez es cinco oración falsa

Además, existen ciertas oraciones que no son proposiciones, pues no es posible determinar si

son verdaderas o falsas.

¿CÓMO SE REPRESENTA UNA PROPOSICIÓN SIMPLE?

En álgebra las incógnitas comúnmente se las representa por “x”, “y” o “z”, las matrices por “A”,

“B”, “I”, de igual forma en lógica matemática a las proposiciones comúnmente se la representa

por las letras minúsculas “p”, “q”, “r”, además es posible usar las mismas letras usando

subíndices para aquellos casos que se traten un número considerable de proposiciones.

Veamos algunos ejemplos de como se representan las proposiciones:

¿CÓMO SE REPRESENTA EL VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN?

El valor de verdad de una proposición se representa por: “V(p)” y se lee “valor de verdad de p”

Por ejemplo, en la proposición:

Estas oraciones

son proposiciones

¡Practique, se lo ruego!

¿Cuál es su edad?

¡Auxilio!

De estas oraciones, no es posible

establecer si son verdaderas o falsas.

𝑝: 𝑒𝑙 𝑢𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑞: 1

2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 2

𝑟: √83

= 2

𝑝1: 16 + 10 = 11


Todo numero elevado a la cero es igual a uno

La representamos por:

p: todo número elevado a la cero es igual a uno

luego el valor de verdad de esta proposición está dado por:

𝑉(𝑝) = 𝐹 → (𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜)

Por ejemplo, en la proposición anterior, se también expresar el valor de verdad por:

𝑉(𝑝) = 0

¿QUÉ ES UNA PROPOSICIÓN COMPUESTA?

No es más que la combinación de dos proposiciones simples, mediante un término o conector

lógico, por ejemplo:

𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝒚 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑒

OPERACIONES LÓGICAS

Haciendo una analogía con las operaciones aritméticas tales como: suma, resta, multiplicación,

con sus respectivos operadores (+, -, x), en lógica matemática existen varias operaciones lógicas,

también con sus respectivos conectores lógicos, las mismas que se resumen en la siguiente

tabla:

OPERACIÓN OPERADOR TÉRMINO EJEMPLO

Negación ~ No… No es el uno un número par

Intersección, conjunción ˄ …y… 8 es par y número compuesto

Contrasección ↖ …pero no… √4 = 2 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 4 × 2 = 8

Subsección ↙ No…sino No es 4 número primo sino compuesto

Extersección ↓ Ni…ni… Ni 2 es menor que 1 ni 4 menor que 5

Bicondicional ↔ …si y solo si… √83

= 2 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 2 × 2 × 2 = 8

Interdisyunción ↑ No…tampoco 𝑵𝒐 𝑒𝑠 24 = 8 𝒕𝒂𝒎𝒑𝒐𝒄𝒐 √84

= 2

Condicional → Si…entonces 𝑺𝒊 2 − 3 = −1, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 2 + 1 = 3

Subdisyunción ← …entonces… 32 = 9 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 3 × 3 = 9

Disyunción inclusiva ∨ …y/o… 42 = 16 𝒚

𝒐⁄ 4 × 4 = 16

Disyunción exclusiva ⊻ …o… −12 = 1 𝑜 (−1)2 = 1

Nota: En ciertas ocasiones se suele utilizar en vez de “V” o “F”, los números “1” o “2”

para el valor de verdad de una proposición.

El conector lógico es “y”


Es conveniente analizar la “propiedad fundamental” de cada operación lógica, es decir

establecer en qué casos dicha operación es verdadera y en qué casos es falsa.

NEGACIÓN:

Sea la proposición “p”, su negación se denota por “~p” y se lee “ no p”

Ejemplo:

𝑝: 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟

~𝑝: 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 3 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟

Además, si una proposición “p” es verdadera (V), su negación “~p” será por definición falsa (F).

La propiedad fundamental de la negación está dada por:

𝒑 ~𝒑

𝑉 𝐹

𝐹 𝑉

𝒑 ~𝒑 ~(~𝒑)

𝑉 𝐹 𝑉

𝐹 𝑉 𝐹

CONJUNCIÓN

Cuando dos proposiciones simples “p” y “q” se asocian mediante el conector lógico “˄” (y), se

obtiene la proposición compuesta “p˄q” (p y q) llamada conjunción:

Ejemplo:

Dadas las siguientes proposiciones:

𝑝: − 1 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑞: 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

Nota: El término “no” puede reemplazarse por “es falso que”, “no es cierto que”.

Se ubican aquí un “V” y un

“F” debido a que una

proposición o es verdadera

o falsa.

Doble negación: cuando se efectúa la doble negación a una proposición ~(~𝑝), se

obtiene la proposición inicial.


Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “˄” (y).

𝑝˄𝑞: − 1 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑦 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

El valor de verdad de la conjunción es “V” (verdadero) cuando ambas proposiciones simples

asociadas son verdaderas, para las demás combinaciones es “F” (falsa), esto se observa en la

propiedad fundamental de la conjunción planteada a continuación.

𝒑 𝒒 𝒑˄𝒒

𝑉 𝑉 𝑽 𝑉 𝐹 𝐹 𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹

Ejemplo:

Determine si la siguiente proposición compuesta es verdadera:

𝑝˄𝑞: 0,5 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒:

𝑝: 0,5 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑉(𝑝) = 𝑉

𝑞: 0,5 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑉(𝑞) = 𝐹

Por lo tanto, vemos que:

𝑝˄𝑞: 0,5 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝒚 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

𝑉 𝐹

Según esto, el valor de verdad de la proposición compuesta es:

𝑉(𝑝˄𝑞) = 𝐹

CONTRASECCIÓN

Al unirse dos proposiciones simples “p” y “q” mediante el conector lógico ↖ (pero no), se

obtiene la proposición compuesta “p↖q” (p pero no q) denominada contrasección.

Ejemplo:


𝑝: √83

= 2

𝑞: 3 × 2 = 8

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “↖” (pero no).

𝑝 ↖ 𝑞: √83

= 2 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 3 × 2 = 8

Cuando son dos

proposiciones, las

combinaciones lógicas

posibles son cuatro (4).


La proposición compuesta contraseccion es “V” (verdadera) cuando la primera proposición

simple es “V” (verdadera) y la segunda es “F” (falsa), para las demás combinaciones lógicas es

“F” (falsa), esto se resumen en la propiedad fundamental de la contrasección citada a

continuación:

𝒑 𝒒 𝒑 ↖ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑭 𝑉 𝐹 𝑽 𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹

Ejemplo:

Determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:

𝑝 ↖ 𝑞

𝑝 ↖ 𝑞: √83

= 2 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐 3 × 2 = 8

𝑉 𝐹

Por lo tanto, el valor de verdad de esta proposición compuesta será:

𝑉(𝑝 ↖ 𝑞) = 𝑉

SUBSECCIÓN

Las proposiciones simples “p” y “q” se pueden asociar mediante el conector lógico “↙”

(No…sino), y formar la proposición compuesta “p↙q” (No p sino q) llamada subsección.

Ejemplo:


𝑝: −12 = 1

𝑞: (−1)2 = 1

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “↙” (No…sino).

𝑝 ↙ 𝑞: 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 − 12 = 1 𝒔𝒊𝒏𝒐 (−1)2 = 1

La propiedad fundamental de la subsección indica que esta proposición compuesta es “V”

(verdadera) cuando la primera proposición simple es “F” (falsa) y la segunda proposición es “V”

(verdadera), para las demás combinaciones es “F” falsa, según la siguiente tabla.

𝑉(𝑝) = 𝑉 𝑉(𝑞) = 𝐹


𝒑 𝒒 𝒑 ↙ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑭 𝑉 𝐹 𝑭 𝐹 𝑉 𝑽 𝐹 𝐹 𝐹

Ejemplo:


𝑝 ↙ 𝑞

𝑝 ↙ 𝑞: 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 − 12 = 1 𝒔𝒊𝒏𝒐 (−1)2 = 1

𝐹 𝑉


𝑉(𝑝 ↙ 𝑞) = 𝑉

EXTERSECCIÓN

Cuando dos proposiciones simples “p” y “q” se unen mediante el conector lógico “↓” (Ni…ni…),

se obtiene la proposición compuesta “p↓q” (ni p ni q) denominada extersección.

Ejemplo:


𝑝: 00 = 1

𝑞: 10 = 0

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “↓” (Ni…ni).

𝑝 ↓ 𝑞: 𝒏𝒊 00 = 1 𝒏𝒊 10 = 0

La proposición compuesta extersección es “V” (verdadera) cuando ambas proposiciones simples

son “F” (falsas), para las demás combinaciones es “F” (falsa), la propiedad fundamental de esta

proposición está dada por.

𝒑 𝒒 𝒑 ↓ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑭 𝑉 𝐹 𝑭 𝐹 𝑉 𝑭 𝐹 𝐹 𝑽

𝑉(𝑝) = 𝐹 𝑉(𝑞) = 𝑉


Ejemplo:


𝑝 ↓ 𝑞

𝑝 ↓ 𝑞: 𝒏𝒊 00 = 1 𝒏𝒊 10 = 0

𝐹 𝐹


𝑉(𝑝 ↓ 𝑞) = 𝑉

BICONDICIONAL

Al asociar dos proposiciones simples “p” y “q”, mediante el conector lógico “↔” (si y solo sí), se

forma la proposición compuesta “p↔q” (p si y solo si q), denominada bicondicional

Ejemplo:


𝑝: 53 = 125

𝑞: 5 × 5 × 5 = 125

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “↔” (si y solo sí).

𝑝 ↔ 𝑞: 53 = 125 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 5 × 5 × 5 = 125

Esta proposición compuesta es “V” (verdadera) cuando ambas proposiciones son “V”

(verdaderas) o cuando ambas son “F” (falsas), para las demás combinaciones es “F” (falsa), como

se muestra en la siguiente propiedad fundamental.

𝒑 𝒒 𝒑 ↔ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑽 𝑉 𝐹 𝑭 𝐹 𝑉 𝑭 𝐹 𝐹 𝑽

Ejemplo:


𝑝 ↔ 𝑞

𝑝 ↔ 𝑞: 53 = 125 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 5 × 5 × 5 = 125

𝑉 𝑉

𝑉(𝑝) = 𝐹 𝑉(𝑞) = 𝐹

𝑉(𝑝) = 𝑉

𝑉(𝑞) = 𝑉



𝑉(𝑝 ↔ 𝑞) = 𝑉

INTERDISYUNCIÓN (NEGACION ALTERNATIVA, BARRA DE SCHAFFER)

Al asociarse dos proposiciones simples “p” y “q” por medio del conector lógico “↑”

(No…tampoco), se forma la proposición compuesta “p↑q” (no p tampoco q), llamada

interdisyunción.

Ejemplo:


𝑝: − 3 − 6 = 9

𝑞: 6 − 9 = 3

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “↑” (No…tampoco).

𝑝 ↑ 𝑞: 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 − 3 − 6 = 9 𝒕𝒂𝒎𝒑𝒐𝒄𝒐 6 − 9 = 3

Esta proposición compuesta es “F” (falsa) cuando ambas proposiciones son “V” (verdaderas),

para las demás combinaciones es “V” (verdadera), como se muestra en la siguiente propiedad

fundamental.

𝒑 𝒒 𝒑 ↑ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑭 𝑉 𝐹 𝑽 𝐹 𝑉 𝑽 𝐹 𝐹 𝑽

Ejemplo:


𝑝 ↑ 𝑞: 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 − 3 − 6 = 9 𝒕𝒂𝒎𝒑𝒐𝒄𝒐 6 − 9 = 3


𝑉(𝑝 ↑ 𝑞) = 𝑉

𝑉(𝑝) = 𝐹 𝑉(𝑞) = 𝐹

𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: ↑


CONDICIONAL

Las proposiciones simples “p” y “q” se pueden asociar mediante el conector lógico “→”

(Si…entonces), y formar la proposición compuesta “p→q” (Si p entonces q) llamada condicional.

Ejemplo:


𝑝: √164

= 2

𝑞: 24 = 16

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “→” (Si…entonces).

𝑝 → 𝑞: 𝒔𝒊 √164

= 2 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 24 = 16

Esta proposición compuesta es “F” (falsa) cuando la primera proposición es “V” (verdadera) y la

segunda es “F” (falsa), para las demás combinaciones es “V” (verdadera), como se muestra en

la siguiente propiedad fundamental.

𝒑 𝒒 𝒑 → 𝒒

𝑉 𝑉 𝑽 𝑉 𝐹 𝑭 𝐹 𝑉 𝑽 𝐹 𝐹 𝑽

Ejemplo:


𝑝 → 𝑞: 𝒔𝒊 √164

= 2 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 24 = 16


𝑉(𝑝 → 𝑞) = 𝑉

𝑉(𝑝) = 𝑉 𝑉(𝑞) = 𝑉

𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: →


SUBDISYUNCIÓN

Cuando dos proposiciones simples “p” y “q” se asocian mediante el conector lógico “←”

(No…entonces) forman la proposición compuesta “p←q” (no p entonces q) denominada

subdisyunción.

Ejemplo:


𝑝: (−2)(−3) = 6

𝑞: (6) ÷ (−2) = −3

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “←” (No…entonces).

𝑝 ← 𝑞: 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 (−2)(−3) = 6 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 (6) ÷ (−2) = −3

Esta proposición compuesta es “F” (falsa) cuando la primera proposición es “F” (falsa) y la

segunda es “V” (verdadera), para las demás combinaciones es “V” (verdadera), como se

muestra en la siguiente propiedad fundamental.

𝒑 𝒒 𝒑 ← 𝒒

𝑉 𝑉 𝑽 𝑉 𝐹 𝑽 𝐹 𝑉 𝑭 𝐹 𝐹 𝑽

Ejemplo:


𝑝 ← 𝑞: 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆 (−2)(−3) = 6 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 (6) ÷ (−2) = −3


𝑉(𝑝 ← 𝑞) = 𝑉

𝑉(𝑝) = 𝑉 𝑉(𝑞) = 𝑉

𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: ←


DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Al asociarse dos proposiciones simples “p” y “q” por medio del conector lógico “∨” (y/o), se

forma la proposición compuesta “p∨q” (p y/o q), llamada disyunción inclusiva.

Ejemplo:


𝑝: √9 = 3

𝑞: √9 = −3

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “∨” (y/o).

𝑝 ∨ 𝑞: √9 = 3 𝒚/𝒐 √9 = −3

La propiedad fundamental de la disyunción inclusiva indica que esta proposición compuesta es

“F” (falsa) cuando ambas proposiciones simples son “F” (falsas), para las demás combinaciones

lógicas es “V” (verdadera), según la siguiente tabla.

𝒑 𝒒 𝒑 ∨ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑽 𝑉 𝐹 𝑽 𝐹 𝑉 𝑽 𝐹 𝐹 𝐹

Ejemplo:


𝑝 ∨ 𝑞: √9 = 3 𝒚/𝒐 √9 = −3


𝑉(𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑉

𝑉(𝑝) = 𝑉

𝑉(𝑞) = 𝑉

𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: ∨


DISYUNCIÓN EXCLUSIVA (BIDISYUNCIÓN)

Al asociarse dos proposiciones simples “p” y “q” por medio del conector lógico “⊻” (o), se forma

la proposición compuesta “p⊻q” (p o q), llamada disyunción exclusiva.

Ejemplo:


𝑝: √−9 = 3

𝑞: √−9 = −3

Asociando ambas proposiciones con el conector lógico “⊻” (o).

𝑝 ∨ 𝑞: √−9 = 3 𝒐 √−9 = −3

La propiedad fundamental de la disyunción exclusiva indica que esta proposición compuesta es

“F” (falsa) cuando ambas proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad sea “F” (falso)

o sea “V” (verdadero), para las demás combinaciones lógicas es “V” (verdadera), según la

siguiente tabla.

𝒑 𝒒 𝒑 ⊻ 𝒒

𝑉 𝑉 𝑭 𝑉 𝐹 𝑽 𝐹 𝑉 𝑽 𝐹 𝐹 𝑭

Ejemplo:


𝑝 ⊻ 𝑞: √−9 = 3 𝒐 √−9 = −3


𝑉(𝑝 ⊻ 𝑞) = 𝐹

𝑉(𝑝) = 𝐹

𝑉(𝑞) = 𝐹

𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: ⊻


POLINOMIO BOOLIANO

De igual forma que en algebra un polinomio es la combinación de números y letras mediante las

operaciones de suma, resta y multiplicación, en lógica matemática el polinomio booliano es la

combinación de variables o proposiciones lógicas mediante las operaciones lógicas.

Además, hay que tomar en cuenta que al igual que en algebra, en lógica matemática se utilizan

los signos de agrupación, paréntesis, corchetes, llaves y barras.

Ejemplos:

[(𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑞˄𝑟)] ↔ 𝑞

𝑝 ↖ (𝑝 ↔ 𝑞)

(𝑝 → 𝑞)˄[(𝑝˄𝑝) ⊻ (𝑝 ← 𝑟)]

VALOR DE VERDAD DE UN POLINOMIO BOOLIANO

Para determinar el valor de verdad de un polinomio booliano se utilizan “tablas de verdad”,

existen dos casos, cuando se conoce el valor de verdad de cada variable este es un caso

particular, y para todas las combinaciones lógicas.

VALORES PARTICULARES

Cuando se conoce el valor de verdad de cada variable lógica que aparece en un polinomio

booliano se puede seguir el siguiente procedimiento:

Ejemplo:

Halle el valor de verdad de:

(𝑝˄𝑞) ∨ [𝑞 → (𝑝 ↔ 𝑞)]

Para:

𝑉(𝑝) = 𝐹

𝑉(𝑞) = 𝑉

PROCESO DESCRIPCIÓN DEL PROCESO ( 𝑝 ˄ 𝑞 ) ∨ [ 𝑞 → ( 𝑝 ↔ 𝑞 ) ]

Escribimos el polinomio dando la adecuada separación entre variables, conectores y signos de agrupación.

( 𝑝 ˄ 𝑞 ) ∨ [ 𝑞 → ( 𝑝 ↔ 𝑞 ) ] F V V F V

Debajo de cada variable lógica ubicamos el valor de verdad particular de cada variable.

( 𝑝 ˄ 𝑞 ) ∨ [ 𝑞 → ( 𝑝 ↔ 𝑞 ) ] F F V F V F F F V

Mediante las propiedades fundamentales de cada operación compuesta, resolver las operaciones lógicas.

𝑉{(𝑝˄𝑞) ∨ [𝑞 → (𝑝 ↔ 𝑞)]} = 𝐹


VALOR DE VERDAD DE UN POLINOMIO BOOLIANO PARA TODAS LAS COMBINACIONES

LÓGICAS

Para determinar el valor de verdad de un polinomio booliano para todas las combinaciones

lógicas, se construye la tabla de verdad del polinomio, luego hay que observar la columna

resultante y determinar el valor de verdad, con el siguiente criterio:

✓ Si se obtiene una columna de “V” (verdadero), entonces se tiene una tautología o

verdad lógica.

✓ Si se obtiene una columna de “F” (falsos), entonces se tiene una antitautología, falsedad

lógica o contradicción.

✓ Si se obtiene una columna con “V” (verdaderos) y “F” (falsos), entonces se tiene una

contingencia.

Para construir una tabla de verdad hay que tomar en cuenta el número de variables lógicas que

tiene el polinomio, para determinar cuantas combinaciones lógicas hay que realizar, conviene

entonces analizar lo siguiente.

P

V F

p q

V V F F

V F V F

Con una variable “p”

Con dos variables “p” y “q”

p q r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

Con tres variables “p”, “q” y “r”

Nota: para “n” variables se puede utilizar la ecuación: 2n-1, para determinar la cantidad de

verdaderos y falsos para la primera proposición, de ahí que el número de verdaderos y falsos

para las siguientes proposiciones será la mitad del anterior.


Con estos detalles vamos a determinar el valor de verdad del siguiente polinomio booliano:

(𝑝˄𝑞) ↔ (𝑞 ∨ 𝑝)

i) Primero construimos la tabla de verdad para dos variables y ubicamos el polinomio

booliano a la derecha.

p q ( p ˄ q ) ↔ ( q ∨ p )

V V F F

V F V F

ii) Luego colocamos los valores de verdad respectivos de cada variable bajo las variables

del polinomio booliano:

p q ( p ˄ q ) ↔ ( q ∨ p )

V V F F

V F V F

V V F F

V F V F

V F V F

V V F F

iii) En esta parte se resuelven los signos de agrupación, operando de dentro hacia afuera,

utilizando las propiedades fundamentales de las proposiciones.

p q ( p ˄ q ) ↔ ( q ∨ p )

V V F F

V F V F

V V F F

V F F F

V F V F

V F F V

V F V F

V V V F

V V F F

iv) Finalmente se observa la columna resultante (marcada con color rojo), y se establece

el valor de verdad del polinomio, en este caso vemos que:

p q ( p ˄ q ) ↔ ( q ∨ p )

V V F F

V F V F

V V F F

V F F F

V F V F

V F F V

V F V F

V V V F

V V F F

Podemos ver entonces que

hay “V” y “F”, por lo tanto,

es una contingencia.


Luego el valor de verdad del polinomio booliano es:

𝑉[(𝑝˄𝑞) ↔ (𝑞 ∨ 𝑝)] = 𝐶 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)

Ejemplo:

Determinar el valor de verdad del siguiente polinomio booliano:

(𝑝 ↓ 𝑞) ↔ (~𝑝 ˄ ~𝑞)

Construimos la tabla de verdad para determinar el valor de verdad:

p q ( p ↓ q ) ↔ ( ~ p ˄ ~ q )

V V F F

V F V F

V V F F

F F F V

V F V F

V V V V

F F V V

V V F F

F F F V

F V F V

V F V F

Observamos que en la columna resultante hay únicamente “V” verdaderos, por lo tanto:

𝑉[(𝑝 ↓ 𝑞) ↔ (~𝑝 ˄ ~𝑞)] = 𝑉 (𝑡𝑎𝑢𝑡𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎)

Veamos otro ejemplo, ahora con tres variables.

Determinar el valor de verdad del polinomio booliano:

𝑝˄(𝑞 → 𝑟)

La tabla de verdad queda de la siguiente forma, tomando en cuenta que hay tres variables

lógicas.

p q r p ˄ ( q → r )

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

V V V V F F F F

V F V V F F F F

V V F F V V F F

V F V V V F V V

V F V F V F V F

De acuerdo a la columna resultante, vemos que se trata de una contingencia, pues hay tanto

“V” verdaderos como” F” falsos.

𝑉[𝑝˄(𝑞 → 𝑟)] = 𝐶


EJERCICIOS PROPUESTOS:

Determine el valor de verdad de los siguientes polinomios boolianos (determine si son

tautologías, antitautologías o contingencia).

1) (𝑝 ↙ 𝑞) ⊻ (𝑝 ↑ 𝑞)

2) ~[~(𝑞 → 𝑞)]

3) (𝑝˄𝑞) ↔ ~(𝑝 ↑ 𝑞)

4) (𝑝 ↔ 𝑞) → ~(𝑝 ⊻ 𝑞)

5) (𝑝 ↓ 𝑞) ↔ ~(𝑝 ∨ 𝑟)

6) (𝑝 ← 𝑞) ⊻ 𝑞

7) ~𝑝 ↔ (𝑞 ↑ 𝑟)

8) ~(𝑝˄𝑞)

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