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vicenzo-rocco
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Lezione
Progetto di Strutture
Sistemi a più gradi di libertà
Assegnando una deformata iniziale
generica
Assegnando una particolare
deformata iniziale
la forma varia man mano
la forma resta la stessa
modo di oscillazione libera del sistema
m1
m2
m3
Modi di oscillazione libera
Modi di oscillazione libera
Telaio piano (con traversi inestensibili):numero di modi di oscillazione libera = numero di piani
m1
m2
m3
Primo modo
T1
Secondo modo
T2
Terzo modo
T3
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di pianiSe la pianta ha due assi di simmetria, i
modi di oscillazione libera sono disaccoppiati:- n modi di traslazione in una direzione
Modi di oscillazione libera
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati:- n modi di traslazione in una direzione- n modi di traslazione nell’altra direzione
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati:- n modi di traslazione in una direzione- n modi di traslazione nell’altra direzione- n modi di rotazione
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Se la pianta ha un asse di simmetria, i modi di oscillazione libera secondo la direzione di simmetria sono disaccoppiati dagli altri:
- n modi di traslazione nella direzione di simmetria- 2n modi di traslazione e rotazione
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Modi di oscillazione liberaEsempio - edificio con un asse di simmetria
Modi di oscillazione liberaEsempio - edificio con un asse di simmetria
edificio con n.6 piani
In una struttura intelaiata T1 0.1 sec a piano
Periodi di vibrazioneOutput Modo Periodo
Sec
MODALE 1 0.72MODALE 2 0.66
MODALE 3 0.64
MODALE 4 0.25
MODALE 5 0.24
MODALE 6 0.23
MODALE 7 0.13
MODALE 8 0.13
MODALE 9 0.13
MODALE 10 0.09
MODALE 11 0.08
MODALE 12 0.08
In una struttura intelaiata i tre periodi sono abbastanza prossimi tra loro
Modi di oscillazione libera
Spostamenti Piano Modo U1 U2 R3
m m Radianti6
1
0.000 -0.032 0.0005 0.000 -0.027 0.0004 0.000 -0.021 0.0003 0.000 -0.015 0.0002 0.000 -0.009 0.0001 0.000 -0.003 0.000
6
2
0.025 0.000 0.0025 0.021 0.000 0.0014 0.017 0.000 0.0013 0.012 0.000 0.0012 0.008 0.000 0.0001 0.003 0.000 0.000
6
3
0.019 0.000 -0.0025 0.017 0.000 -0.0024 0.013 0.000 -0.0013 0.010 0.000 -0.0012 0.006 0.000 -0.0011 0.002 0.000 0.000
6
4
0.000 -0.031 0.0005 0.000 -0.004 0.0004 0.000 0.017 0.0003 0.000 0.026 0.0002 0.000 0.021 0.000
1 0.000 0.009 0.000
6
5
0.024 0.000 0.0025 0.005 0.000 0.0004 -0.012 0.000 -0.0013 -0.019 0.000 -0.0022 -0.017 0.000 -0.0011 -0.008 0.000 -0.001
6
6
-0.021 0.000 0.0025 -0.004 0.000 0.0004 0.011 0.000 -0.0013 0.017 0.000 -0.0022 0.014 0.000 -0.0011 0.006 0.000 -0.001
6
7
-0.023 0.000 -0.0015 0.020 0.000 0.0014 0.021 0.000 0.0013 -0.006 0.000 0.0002 -0.024 0.000 -0.0011 -0.016 0.000 0.000
6
8
0.000 0.023 0.0005 0.000 -0.020 0.0004 0.000 -0.022 0.0003 0.000 0.006 0.0002 0.000 0.027 0.0001 0.000 0.017 0.000
6
9
0.008 0.000 -0.0025 -0.007 0.000 0.0024 -0.007 0.000 0.0023 0.002 0.000 -0.0012 0.008 0.000 -0.0021 0.005 0.000 -0.001
Se la pianta non ha assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono accoppiati
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani
Telaio spazialesenza impalcati indeformabili nel piano
Il numero di modi di oscillazione libera è molto maggiore
Modi di oscillazione libera
L’equazione del moto, in termini matriciali, è analoga a quella dell’oscillatore semplice
0 m u k u
,( ) cos( )i i j ju t t
La soluzione, in caso di moto libero con deformata modale, è una funzione armonica
2det( ) 0j k mDall’ equazione
si ricavano le frequenze angolari j associate a deformate non nulle
Modi di oscillazione libera
Modi di oscillazione liberaFormula approssimata di Rayleigh
0( ) c ( )nt sen t u
0( ) c cos( )n nt t u
2
1,1
1
2
N
so j jo j oj
E k u u
2
1
1
2
N
Ko j joj
E m u
2
11
2
1
1
2
1
2
N
j j jj2
n N
j jj
k
m
m1
m2
m3
Si consideri il sistema che oscilla liberamente secondo un moto armonico, con spostamenti
e velocità delle masse
I valori massimi delle energie potenziali e cinetiche sono
Dall`eguaglianza di dette energie si desume la pulsazione associata alla forma di vibrazione fissata
Una qualsiasi deformata può essere espressa come combinazione delle deformate modali
Equazioni del moto libero
u = q
1 2 3
q1 q2 q3
Con questa posizione, l’equazione del moto
q q 0 T Tm k
0 ukum
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
diventa
*M *K
ovvero* *q q 0 M K
Nell’equazione del moto (in forma matriciale)
le matrici M* e K* sono diagonali, ovvero solo i termini della diagonale principale sono diversi da zero
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
* *q q 0 M K
**ijij
0 se i jm se i = j
Ti j
M m
Infatti:*
*ijij
0 se i jk se i = j
T
i j
K k
è quindi costituito da equazioni disaccoppiate
Il sistema di equazioni
Pertanto, si può valutare il contributo di ciascun modo separatamente, come se fosse un oscillatore semplice
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
ciascuna contenente una sola incognita
* *j j j jq q 0 m k
* *q q 0 M K
Con la stessa posizione ( ),
* * *M q + C q + K q = 0
u = q
0 ukucum
In molti casi, oltre a M* e K*, anche la matrice C* è diagonale e le equazioni
Equazioni del moto libero con smorzamento
l’equazione del moto in presenza di smorzamento
diventa
* * *j j j j j jq q q 0 m c k
sono disaccoppiate (sistemi classicamente smorzati)
L’equazione del motoTM q C q K q m I gu
gu Imukucum
diventa
Anche in questo caso se la struttura è classicamente smorzata il sistema si scompone in tante equazioni separate 22j j j j j j j gq q q u
Si noti che l’accelerazione del terreno è moltiplicata per j
n
ijii
n
ijii
j
m
m
1
2,
1,
Coefficiente di partecipazione modale:indica se il contributo del modo al moto totale del sistema è più, o meno, rilevante
Equazioni del moto (risposta ad un accelerogramma)
Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .
TT
Se Forze
sollecitazioni
spostamenti
Analisi modale con spettro
Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .
. . . e poi combinare le massime sollecitazioni (o spostamenti) trovati per i singoli modi
Analisi modale con spettro
La combinazione dei risultati può essere fatta come...
come combinazione quadratica completa (CQC)
Analisi modale con spettroRegole di combinazione modale
12
i jj i
E E E
12
ij i jj i
E E E
radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS)
dove = coefficiente di correlazione modale
Analisi modale con spettroCoefficiente di correlazione modale
0 0.5 1.0 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ij=Ti /Tj
ij
2 3 2
2 2
8
1 1 4
ijij
ij ij ij
=0.20
=0.10=0.02
=0.05
Il taglio alla base corrispondente al modo j è*
, ( )b j j e jV M S Tdove
Se(Tj) è l’ordinata spettrale corrispondente al periodo Tj
Mj* è detta massa partecipante
2
,* 1
,21,
1
n
i i jni
j i i j j ni
i i ji
mM m
m
Considerando tutti i modi, la massa partecipante totale coincide con l’intera massa presente nella struttura
Contributo dei singoli modi
Il primo modo è nettamente predominante per entità di massa partecipante.
Le forze sono tutte dello stesso verso
Gli altri modi hanno masse partecipanti via via minori.
Essi danno luogo a forze discordi, che producono un effetto minore rispetto alla base
Massa partecipanteContributo dei singoli modi
Rapporti Massa partecipante modaleOutput Modo Periodo MX MY
Sec
MODALE 1 0.72 0.00 0.75MODALE 2 0.66 0.49 0.00
MODALE 3 0.64 0.29 0.00
MODALE 4 0.25 0.00 0.14
MODALE 5 0.24 0.07 0.00
MODALE 6 0.23 0.05 0.00
MODALE 7 0.13 0.04 0.00
MODALE 8 0.13 0.00 0.06
MODALE 9 0.13 0.01 0.00
MODALE 10 0.09 0.02 0.00
MODALE 11 0.08 0.00 0.00
MODALE 12 0.08 0.00 0.03
Massa partecipanteEsempio
edificio con n.6 piani
Massa partecipante molto elevata
La somma delle masse partecipanti nelle direzioni x e y, considerate singolarmente,
deve essere unitaria
0.98
0.97
Massa partecipante meno elevata
in virtù della rotazione accoppiata alla traslazione
Negli schemi spaziali è più difficile valutare l’importanza dei modi:
se il comportamento è disaccoppiato, sono eccitati solo quei modi che danno spostamento nella direzione di azione del sisma
in caso contrario tutti i modi possono dare contributo
se non vi è un impalcato indeformabile nel suo piano il numero di modi cresce enormemente ed è più difficile cogliere la risposta totale della struttura
Considerazioni
Negli schemi spaziali è più probabile avere modi con periodi molto vicini tra loro:
in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione quadratica completa (CQC)
Una buona impostazione progettuale deve mirare ad avere una struttura con impalcato rigido e con comportamento disaccoppiato (cioè minime rotazioni planimetriche)
Contributo dei singoli modi
Consiste nel considerare un unico insieme di forze, che rappresentano (in modo semplificato) l’effetto del primo modo
im iz
kF
Il periodo proprio può essere valutato con formule semplificate
Analisi statica
11
1
( )
nk k
k i eni
i ii
m zF m S T
m z
Confronto analisi statica – modaleEdificio con travi emergenti
m = 60 t
m
m
m
m
m
m
m
5.00 5.00 5.00
3.30 30 90
30 80
30 70
30 60
30 50
30 40
30 30
30 30 pilastri
trave emergente 30 50
Zona 3ag = 0.15 g
Suolo B
Classe di duttilità B
Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con travi emergenti
5.1 %13.7 %70.1 %M*/M0.1145 g0.1145 g0.0484 gSe
0.259 s0.461 s1.183 sTModo 3Modo 2Modo 1
Forze statiche – modali [kN]Edificio con travi emergenti
modale analisi
piano modo 1 modo 2 modo 3 statica
8 40.0 -39.1 19.5 50.6
7 35.8 -14.4 -14.9 44.3
6 28.1 18.6 -22.8 38.0
5 21.7 31.3 -4.0 31.6
4 16.0 32.1 12.5 25.3
3 10.6 25.4 18.2 19.0
2 5.7 15.1 13.7 12.7
1 1.8 5.0 5.1 6.3
Tagli statici – modali [kN]Edificio con travi emergenti
piano analisimodale
analisistatica
differenza%
8 59.2 50.6 -14.5
7 92.9 94.9 2.2
6 111.1 132.9 19.6
5 127.6 164.5 28.9
4 144.8 189.9 31.1
3 161.7 208.8 29.2
2 173.7 221.5 27.5
1 178.1 227.8 27.9
Confronto analisi statica - modaleEdificio con travi a spessore
m = 60 t
m
m
m
m
m
m
m
5.00 5.00 5.00
3.30 30 90
30 80
30 70
30 60
30 50
30 40
30 30
30 30 pilastri
trave a spessore 80 24
Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con travi emergenti
5.4 %11.8 %70.9 %M*/M0. 1145 g0. 0947 g0. 0329 gSe
0. 328 s0. 604 s1.738 sTModo 3Modo 2Modo 1
Forze statiche – modali [kN]Edificio con travi a spessore
analisi
piano modo 1 modo 2 modo 3 statica
8 26.3 -30.3 20.4 34.5
7 24.1 -12.2 -12.5 30.1
6 20.1 11.6 -24.2 25.8
5 15.9 23.6 -6.2 21.5
4 11.5 25.4 12.9 17.2
3 7.3 19.9 19.6 12.9
2 3.6 11.2 14.4 8.6
1 1.0 3.4 5.0 4.3
Tagli statici – modali [kN]Edificio con travi a spessore
piano analisimodale
analisistatica
differenza%
8 45.0 34.5 -23.4
7 66.4 64.6 -2.7
6 78.7 90.4 15.0
5 89.6 112.0 25.0
4 100.0 129.2 29.2
3 112.3 142.1 26.5
2 121.9 150.7 23.6
1 125.3 155.0 23.7
Analisi statica o analisi modale?
L’analisi statica fornisce risultati attendibili purché:- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni
planimetriche)
modo 1
modo 2
inviluppo
Analisi statica
Per edifici con forti rotazioni, non va bene
Analisi modale
L’analisi statica è cautelativa purché:
- la struttura abbia periodo non eccessivamente alto
- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche)
Analisi statica o analisi modale?
L’analisi statica è cautelativa purché:
- la struttura abbia periodo non eccessivamente alto
- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche)
- la stima del periodo proprio sia affidabile
L’uso del coefficiente riduttivo rende i risultati dell’analisi statica non particolarmente gravosi rispetto a quelli dell’analisi modale
Analisi statica o analisi modale?
Oggi l’analisi modale è sicuramente il metodo principale di riferimento per l’analisi strutturale, perché è affidabile e ormai alla portata di tutti (grazie ai programmi per computer)
L’analisi statica è però uno strumento fondamentale per capire il comportamento fisico della struttura e per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per controllare a posteriori i risultati dell’analisi modale)
Analisi statica o analisi modale?
FINE