12 Vibrazioni libere di un sistema a più gradi di libertà · Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 2 Vibrazioni libere non smorzate 1/6! Le equazioni del moto di un

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Risposta in vibrazioni libere di un

sistema lineare viscoso a più gradi di libertà


Vibrazioni libere non smorzate 1/6

Le equazioni del moto di un sistema lineare a più gradi di libertà non smorzato in vibrazioni libere assumono la forma

in cui 0 è un vettore con componenti tutte nulle. Per analogia con il comportamento di un sistema a un grado di libertà, si assume che il moto in vibrazioni libere sia armonico e che possa essere espresso dalla relazione

M!!u(t)+Ku(t) = 0

u t( ) = usin !t +"( )dove ū è un vettore che non dipende dal tempo e che rappresenta la forma della configurazione del sistema durante il moto. L’ampiezza di tale forma varia nel tempo in accordo con la funzione sin(ωt−ϑ) in cui ϑ è un angolo di fase. Derivando due volte si ha

!!u t( ) = !" 2usin "t +#( )e sostituendo nelle equazioni del moto si ottiene

K !" 2M( )usin "t !#( ) = 0

cioè K !" 2M( )u = 0


Vibrazioni libere non smorzate 2/6 …

K !" 2M( )u = 0Si osserva che, per ogni valore di ω2, l’equazione precedente rappresenta un sistema lineare omogeneo le cui incognite sono le componenti del vettore ū. Il sistema ammette sempre la soluzione banale ū = 0 che corrisponde alla configurazione di equilibrio inderformato (il sistema non è in moto). Le soluzioni non banali, che corrispondono alle possibili configurazioni di equilibrio dinamico, si ottengono in corrispondenza dei valori di ω2 che annullano il determinante della matrice dei coefficienti del sistema, cioè

K !" 2M = 0

Si osserva che l’equazione precedente può essere interpretata come un problema di autovalori-autovettori. Le quantità ω2 che annullano il determinante rappresentano gli autovalori del problema, detti anche valori caratteristici, mentre i corrispondenti vettori di spostamento ū indicano le corrispondenti forme di vibrazione del sistema, detti anche autovettori o forme modali.



Per un sistema a N gradi di libertà, lo sviluppo del determinante

fornisce un’equazione algebrica di grado N in ω2, che prende il nome di equazione caratteristica

K !" 2M = 0

Si può dimostrare che nel caso in cui le matrici di massa e di rigidezza sono reali, simmetriche e definite positive, come sempre accade per i sistemi stabili, tutte le radici dell’equazione caratteristica sono reali e positive. Le radici quadrate di questi valori rappresentano le frequenze naturali ωn (n = 1, 2, …, N) degli N modi di vibrazione che sono possibili nel sistema. Il modo che ha la più piccola frequenza è chiamato primo modo o modo fondamentale di vibrazione, il successivo è chiamato secondo modo, e così via. In generale, le radici dell’equazione caratteristica possono essere determinate numericamente.

aN ! 2( )N + aN"1 ! 2( )N"1 + ...+ a1! 2 + a0 = 0



In corrispondenza di ogni frequenza naturale di vibrazione ωn, le equazioni

si possono scrivere

dipende dalla frequenza naturale di vibrazione ed è diversa per ogni modo. Poiché il suo determi-nante è uguale a zero, l’ampiezza del vettore ūn non può essere determinata univocamente. Tuttavia, la forma con cui il sistema oscilla può essere ottenuta esprimendo tutte le coordinate di spostamento in funzione di un’unica componente specifica. A tale scopo si assume che l’ampiezza della prima componente del vettore ūn sia unitaria, cioè

K !" 2M( )u = 0

E(n)un = 0

La matrice E(n) = K !"n

2M

un =

1u0n

!

"##

$

%&&



Pertanto, le equazioni

possono essere partizionate come segue E(n)un = 0

e00(n) E01

(n)

E10(n) E11

(n)

!

"

##

$

%

&&

1u0n

!

"##

$

%&&= 0

0!

"#

$

%&

Si ottengono le due equazioni e00(n) +E01

(n)u0n = 0

E10(n) +E11

(n)u0n = 0

Dalla seconda si ha u0n = ! E11

(n)( )!1E10(n)

La prima è ridondante e può essere utilizzata per controllare la soluzione. Sostituendo si ottiene il vettore di spostamento associato con la n-sima frequenza di vibrazione

un =

1u0n

!

"##

$

%&&



È tuttavia conveniente esprimere tale vettore in forma adimensionale, dividendo tutte le sue componenti per quella maggiore in valore assoluto, cioè

!n =

!1n!2n!!Nn

"

#

$$$$$

%

&

'''''

=1

ukn max

1u2n!uNn

"

#

$$$$$

%

&

'''''

Operando in questa maniera le componenti di ϕn risultano, in valore assoluto, tutte inferiori o uguali all’unità. Il vettore così ottenuto prende il nome di n-sima forma modale di vibrazione o n-simo modo naturale di vibrazione. Questi vettori possono anche essere denominati autovettori, vettori caratteristici o modi normali di vibrazione del problema di autovalori-autovettori. In definitiva, un sistema lineare a N gradi di libertà possiede N frequenze naturali di vibrazione ωn (n = 1, 2, …, N), ordinate in sequenza dalla più piccola alla più grande (ω1 < ω2 < … < ωN). A ogni frequenza ωn corrisponde un periodo naturale Tn ed un modo naturale di vibrazione ϕn. Il termine naturale è utilizzato per evidenziare che queste sono proprietà naturali della struttura in vibrazioni libere che dipendono solo dalle proprietà di massa e di rigidezza. Il pedice n denota l’indice del modo e il primo modo (n = 1) viene anche detto modo fondamentale di vibrazione.


Matrice spettrale matrice modale 1/2

Gli N autovalori e gli N autovettori del problema possono essere rappresentati in forma compatta attraverso speciali matrici.

Gli N autovalori ωn2, ordinati dal più piccolo al più

grande, possono essere assemblati in una matrice diagonale Ω2 indicata come matrice spettrale del problema di autovalori-autovettori.

Gli N modi naturali corrispondenti, ϕn, possono essere disposti per colonna in una matrice quadrata di ordine N che prende il nome di matrice modale del problema di autovalori-autovettori.

!2 =

!12

!22

!!N2

!

"

#####

$

%

&&&&&

! = "1 "2 ! "N

#

$

%%%

&

'

(((

! =

"11 "21 ! "1N"21 "22 ! "2N" " # ""N1 "N 2 ! "NN

#

$

%%%%%

&

'

(((((


Matrice spettrale matrice modale 2/2

Ogni coppia di autovalori-autovettori soddisfa l’equazione

K !" 2M( )u = 0che può essere riscritta nella forma

K!n =M!n"n2 con n = 1, 2, ..., N

Utilizzando la matrice spettrale e la matrice modale, tutte queste relazioni possono essere raccolte in un unica equazione matriciale

K! =M!!2

Tale equazione non dipende da come sono stati normalizzati gli autovettori e fornisce una rappresentazione compatta delle equazioni relative a tutti gli autovalori e autovettori


Proprietà di ortogonalità dei modi naturali di vibrazione 1/2

Con riferimento a due generiche coppie di autovalori e autovettori (ωn, ϕn) e (ωm, ϕm) si può scrivere

Moltiplicando a sinistra entrambi i membri della prima equazione per il vettore trasposto di ϕm ed entrambi i membri della seconda equazione per il vettore trasposto di ϕn si ha

Trasponendo la seconda equazione, e ricordando le proprietà di simmetria delle matrici di massa e di rigidezza, si ottiene

K!n ="n2M!n

K!m ="m2M!m

#$%

&%

!mTK!n ="n

2!mTM!n

!nTK!m ="m

2!nTM!m

#$%

&%

!mTK!n ="n

2!mTM!n

!mTK!n ="m

2!mTM!n

#$%

&%


Proprietà di ortogonalità dei modi naturali di vibrazione 2/2

…

Sottraendo membro a membro si ha

La relazione precedente esprime la proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa. Sostituendo la nella prima delle relazioni precedenti si ottiene, sempre per , la seguente proprietà di ortogonalità rispetto alla matrice di rigidezza

!mTK!n ="n

2!mTM!n

!mTK!n ="m

2!mTM!n

#$%

&%

!n2 "!m

2( )#mTM#n = 0

che, per , si scrive !n " !m

!mTM!n = 0

!n " !m

!mTK!n = 0


Rigidezze e masse modali generalizzate

Ponendo nelle equazioni n = m nell’equazione

si ottiene

Le quantità Kn e Mn, che prendono rispettivamente il nome di rigidezza modale generalizzata e massa modale generalizzata, risultano sempre positive poiché le matrici K ed M sono definite positive. Per tutti i modi naturali di vibrazione, Kn e Mn possono essere espresse in forma compatta come i termini delle matrici diagonali

!mTK!n ="n

2!mTM!n

cioè !nTK!n ="n

2!nTM!n

Kn =!n2Mn

K̂ = !TK! =!

Kn

!

"

#

$$$

%

&

'''

M̂ = !TM! =!

Mn

!

"

#

$$$

%

&

'''

dette matrici di rigidezza modale e di massa modale rispettivamente. Si può infine scrivere

K̂ = M̂!2


Espansione modale degli spostamenti 1/2

I modi naturale di vibrazione costituiscono un insieme di N vettori indipendenti che può essere utilizzato come base dello spazio delle configurazioni deformate. Ogni configurazione deformata, quindi, può essere espressa come combinazione lineare dei modi naturali di vibrazione del sistema. Infatti, se u è una generica configurazione deformata, si può scrivere

dove le costanti qi sono moltiplicatori scalari che prendono il nome di coordinate modali o coordinate normali. La costante qi rappresenta l’ampiezza con cui il modo ϕi contribuisce alla definizione della configurazione deformata u. Per la sua determinazione si moltiplichino a sinistra entrambi i membri della relazione precedente per ϕT

nM, cioè

u = qi!ii=1

N

"

!nTMu = qi!n

TM!ii=1

N

"

Per la proprietà di ortogonalità rispetto alla matrice di massa, i termini della sommatoria a secondo membro sono tutti nulli, tranne quello per i = n. Si ha quindi

!nTMu = qn!n

TM!n


Espansione modale degli spostamenti 2/2

…

In forma matriciale si può scrivere

La matrice modale Φ trasforma il vettore delle coordinate modali q nel vettore delle coordinate geometriche u. In definitiva, la configurazione deformata di un sistema strutturale a N gradi di libertà può essere espressa o dalle N componenti del vettore dei gradi di libertà u, o attraverso una combinazione lineare degli N modi naturali di vibrazione.

!nTMu = qn!n

TM!n

da cui si ricava la generica coordinata modale

qn =!nTMuMn

u = !q

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