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Trigonometria
La misura degli angoli
La misura degli angoli
•Gradi sessagesimali
•Gradi centesimali
•Radianti
I radianti
Il radiante è quell’arco che
rettificato è uguale al raggio
Un radiante è la misura di un angolo il cui
arco corrispondente è lungo quanto il
raggio della circonferenza cui l’arco
appartiene.
I radianti
l
r
rl
α
α : 360°= ρ : 2π
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’ P’’
Q’ Q’’
' ' '' ''
' ''
PQ P Q P Q
OP OP OP sin
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’ P’’
Q’ Q’’' ''
' ''
OQ OQ OQ
OP OP OP cos
2 2cos sin 1
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’ P’’
Q’ Q’’
' ' '' ''
' ''
PQ P Q P Q
OQ OQ OQ tan tg sin
cos
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’ P’’
Q’ Q’’
secOP
OQ 1
cos cos
OPec
PQ
1
sin
cotOQ
gPQ
1
t g
x
y r=1
r
P
Aα
La circonferenza goniometrica
Le funzioni trigonometriche
x
yOP=r=1
P
AαOQ
sinPQ
PQOP
cosOQ
OQOP
2 2cos sin 1
Le funzioni trigonometriche
x
y OP=OA=r=1
P
AαO
tanPQ BA
BAOQ OA
B
Qsin
tancos
≠0
Le funzioni trigonometriche
x
y
OP=OC=r=1P
AαO
cotOQ CB
g CBPQ OC
B
Q
C
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
AαOQ
α=45°=π/4
α2
sin4 2
2cos
4 2
tan 14
PQ
OQ
OQ=PQ
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
AαOQ
α=30°=π/6
3cos
6 2
3tan6 3
OP=PP’=OP’
2α
P’
α2α
PQ=OP/21sin6 2
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
Aα=60°OQ
α=60°= π/3
3sin3 2
tan 33
OQ=OP/21
cos3 2
30°
Angoli complementari
x
y
P
AαOQ
P’
tan cot2
g
Q’
90°-α
OP=OP’=r=1
PQ=OQ’sin cos2
OQ=P’Q’cos sin2
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
AαOQ
α=60°=π/3
1cos
3 2
3sin3 2
tan 33
Angoli supplementari
x
y
P
AαO Q
P’
tan tan
Q’
180°-α
OP=OP’=r=1
PQ=P’Q’ sin sin
OQ=OQ’ cos cos
Angoli esplementari o opposti
x
y
P
Aα
OQ
P’
tan tan 2 tan( )
360°-α
OP=OP’=r=1
PQ=P’Q sin sin 2 sin( )
OQ cos cos 2 cos( )
-α
Angoli che differiscono di 90°
x
y
P
AαO Q
P’
tan cot2
g
Q’
90°+α
OP=OP’=r=1
PQ=OQ’sin cos2
OQ=P’Q’cos sin2
Angoli che differiscono di 180°
x
y
P
AαO Q
P’ tan tan
Q’
180°+α
OP=OP’=r=1
PQ=P’Q’ sin sin
OQ=OQ’ cos cos
α sin α0 0π/6 1/2
π/4 √2/2
π/3 √3/2
π/2 1
π/2 < α < π sin (π/2+α)=sin (π/2-α)π 0
π < α < 3π/2 sin (π+α)=-sin α3π/2 -1
3π/2 < α < 2π sin (2π-α)=-sin α
Sinusoide
α cos α0 1π/6 √3/2
π/4 √2/2
π/3 1/2
π/2 0
π/2 < α < π cos (π/2+α)=-cos (π/2-α)π -1
π < α < 3π/2 cos (π+α)=-cos α3π/2 0
3π/2 < α < 2π cos (2π-α)=cos α
Cosinusoide
α tan α0 0π/6 √3/3
π/4 1
π/3 √3
π/2 Non definita
π/2 < α < π tg (π/2+α)=-tg (π/2-α)π 0
π < α < 3π/2 tg (π+α)=tg α3π/2 Non definita
3π/2 < α < 2π tg (2π-α)=-tg α
Tangentoide
Coseno di una differenza di angoli
x
y
P
AαO
Q
β
α-β
α-β
R
aa
AR=PQ=(cosα,sinα)
=(cosβ,sinβ)
=(cos(α- β),sin(α-β))
AR=PQ
=(cos0,sin0)=(1,0)
AR=PQ
2 2( ) ( )A R A RAR x x y y
Coseno di una differenza di angoli
cos( ) cos cos sin sin
Coseno di una somma di angoli
cos( ) cos( ( ))
cos cos sin sin
Seno di una somma di angoli
sin( ) cos ( )2
sin cos cos sin
Seno di una differenza di angoli
sin( ) sin( ( ))
sin cos cos sin
Seno di 2αsin(2 ) sin( )
sin cos cos sin
2sin cos
Coseno di 2α
2 2
cos(2 ) cos( )
cos cos sin sin
(cos ) (sin )
Tangente di una somma di angoli
sin( )tan( )
cos( )
sin cos cos sin
cos cos sin sin
cos cos
cos cos
tan tan
1 tan tan
sin cos cos sincos cos
cos cos sin sincos cos
Tangente di una differenza di angoli
sin( )tan( )
cos( )
tan tan
1 tan tan
Equazioni trigonometriche elementari
x
ycos α = q
P
Aα
O
Q
-1≤q≤1
1-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, 2π-α (-α)2π-α
Equazioni trigonometriche elementari
x
ycos α = q
AO 1
-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, -αq=
11 soluzione: 0P
Equazioni trigonometriche elementari
x
ycos α = q
P Aπ
O 1-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, π-αq=
11 soluzione: 0
q=-1 1 soluzione: π
Equazioni trigonometriche elementari
x
y cos α = q
AO
q>1 Nessuna soluzione
1
-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, -αq=1 1 soluzione:
0
q=-1 1 soluzione: π
q<-1
Nessuna soluzione
Equazioni trigonometriche elementari
x
ysin α = p
P
Aα
O
Q -1≤p≤11
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-α
π-α
Equazioni trigonometriche elementari
x
ysin α = p
P
Aπ/2
O
1
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-αp=1 1
soluzione: π/2
Equazioni trigonometriche elementari
x
ysin α = p
P
A3π/2O
1
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-αp=1 1
soluzione: π/2p=-1 1 soluzione: 3π/2
Equazioni trigonometriche elementari
x
y sin α = p
AO
p>1 Nessuna soluzione
1
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-αp=1 1
soluzione: π/2p=-1 1 soluzione: 3π/2
p<-1
Nessuna soluzione
Equazioni trigonometriche elementari
x
ytg α = m
PAα
O
Q
1
-1
mR 2 soluzioni:α, π+α
π+α ATTENZIONE:
α≠π/2α≠3π/2
Equazioni trigonometriche elementari
1sin
2x
3cos
2x
tan 1x
sin 1x
2cos
2x
tan 3x
2sin 2
2x
2 cos(2 ) 1 04
x
tan 12
x
Equazioni trigonometriche elementari
Esempi di applicazione
Materiali idrofobici
d l
cosd
l arccos
d
l
α=33°α
Equazioni trigonometriche elementari
Esempi di applicazione
Reticolo cristallino
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari
sin sin 2x x
Equazioni risolubili mediante applicazione della legge di annullamento del prodotto
22sin 3sin 0x x
tan (1 sin ) 0x x
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari
22sin 1x
Equazioni contenenti una sola funzione goniometrica
23 tan 4 tan 3 0x x
1 1 22
1 cos cos 1 3x x
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari
22sin 3cos 0x x
Equazioni riconducibili ad una sola funzione
goniometrica
2tan cot 3
3x anx
Equazioni trigonometriche lineari in seno e coseno
sin cos 0a x b x c
c=0
a≠0 b≠0
sin cos 0a x b x sin cos 00
cos cos
a x b x
x x
tan 0a x b
≠0 perché altrimenti sinx=±1 e a=0 contro l’hp.
Equazioni trigonometriche lineari
sin cos 0a x b x c
c ≠ 0
a≠0 b≠0
sin
cos
Y x
X x
0aY bX c 2 2 1Y X
Equazioni trigonometriche lineari
sin cos 0x x
sin cos 2
3 sin cos 3
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ycos α < q
P
Aα*
O
Q
-1≤q≤1
1-1
-1<q<1
Soluzione:α*<α<2π-α*
2π-α*
cos α = q
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ycos α < q
AO 1
-1
-1<q<1
q=1
Soluzione: 0<α<2πP
Soluzione:α*<α<2π-α*
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ycos α < q
P AO 1-1
q≤-1 Nessuna soluzione
-1<q<1
q=1
Soluzione: 0<α<2π
Soluzione:α*<α<2π-α*
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ysin α > p
P
Aα*
O
Q1
-1
-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*
π-α*
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ysin α > p
AO
1
-1
-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*
p=-1 1 soluzione:0<α<3π/2 U3π/2<α<2 π
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ysin α > p
A
1
-1
-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*
p=-1 1 soluzione:0<α<3π/2 U3π/2<α<2 π
p=1 Nessuna soluzione
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ytg α > m
PAα*
O
Q
1
-1
mR Soluzione:α*<α<π/2 Uπ+α*<α< 3π/2π+α
*
Disequazioni trigonometriche elementari
3tan 3x
2sin 1x
1 2cos
2 2x
Disequazioni trigonometriche di secondo grado
2cos cos 0a x b x c
Pongo cosx=t
2 0at bt c
a>0
t1
t2
t2<t<t1t2<cosx<t
12 0at bt c
Pongo cosx=t
Disequazioni trigonometriche di secondo grado
x
y
P
Aα
O
Q
1-1
R
S
2π-α
β
2π-β
α<x<β U
2π-β<x<2π-α
t2<cosx<t
1
Disequazioni trigonometriche di secondo grado
22 3 1 0sen x senx
2 3cos
4x
tan cot 2x anx
Disequazioni trigonometriche lineari
sin cos 0a x b x c
sin cos 0a x b x c
x
y
PA
α*
OQ
1
-1
sin cos 0a x b x c
Disequazioni trigonometriche lineari
sin cos 1 0x x
3 sin cos 3x x
Disequazioni trigonometriche
sin (2cos 1) 0x x
24sin 10
2cos
x
x