Lezione n. 10Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 1 Induzione elettromagnetica: evidenza sperimentale Base sperimentale: gli esperimenti di Faraday

Lezione n. 10 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

1

Induzione elettromagnetica: evidenza sperimentale Base sperimentale: gli esperimenti di Faraday (1831)

1. Il moto relativo delle due spire provoca una corrente indotta; il verso del moto determina il verso della corrente nella spira

2. Moto del magnete rispetto alla spira; il polo del magnete determina il verso della corrente nella spira

3. Mutua induzione: l’accensione o lo spegnimento del tasto nel circuito 1 provoca una corrente indotta nel circuito 2 (il verso è diverso nei due casi)

aaaa

B

B

I1

I1

I 0

I2 corrente indotta


2

Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica Faraday intuì che la corrente era indotta dalla variazione del flusso B di B nel tempo.

Detta E la forza elettromotrice indotta nella spira (volt) e B il flusso del campo

magnetico attraverso una superficie di cui la spira è contorno (weber), la legge di Faraday è data da:

Si noti che il flusso B può variare in seguito ad una variazione del campo magnetico, o

della forma della superficie attraverso cui si calcola B.

Si parla quindi di flusso tagliato quando il circuito si muove o si deforma in una regione delle spazio dove esiste B, oppure quando la sorgente di B si muove rispetto al circuito.

Si noti che il flusso concatenato con la spira varia anche quando il circuito sorgente di B (primario) ed il circuito secondario sono fissi: se c’è una variazione di corrente nel primario, questa provoca una variazione del campo magnetico B da essa generato cioè una variazione di B.

E è una fem indotta (non localizzata) cioè il lavoro per unità di carica (volt) necessario per portare una carica lungo un percorso chiuso. In questo caso tale energia è fornita da B per cui in ogni regione dello spazio dove il campo magnetico B varia nel tempo è presente un campo elettrico E non conservativo

E =

dB

dt

E = Edl

l Edll

d B

dt


3

Legge di LenzSe la spira ha una resistenza R, l’intensità della corrente indotta vale:

vale a dire

Se invece di una spira si ha una bobina di N spire, la f.e.m. indotta è:

La corrente indotta nella spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla corrente si oppone alla variazione di campo magnetico che l’ha indotta (legge di Lenz).Avvicinando un magnete ad una spira, B (e quindi B) attraverso la spira

aumenta e viene indotta nella spira una corrente. La spira si comporta come un dipolo magnetico ed il verso della corrente è tale che è orientato in senso contrario a B. Se si allontana il magnete dalla spira, il verso di cambia. Analogamente succede muovendo la spira e tenendo fisso il magnete.

aaa

I

B

i 1R

dB

dt

E = N

dB

dt

i

ER


4

Spira ruotante in un campo magnetico uniforme Si consideri una spira di sezione A che ruoti con velocità angolare costante . Se il tutto è immerso in un campo magnetico di intensità B uniforme, poiché la spira è in rotazione, il flusso di B concatenato con la spira varierà in continuazione, essendo dato da:

per cui vi sarà una f.e.m. indotta data da:

Se invece di una spira vi è una bobina con N spire, si genera una f.e.m. alternata e quindi una corrente alternata date da:

B A B cos A B cos t

E =

dB

dtA B sin t

E = N

dB

dtN A B sin t

i

ER

N A B

Rsin t


5

La corrente alternataSi è visto che una bobina con N spire ruotante con velocità angolare costante immersa in un campo magnetico di intensità B uniforme genera una f.e.m. indotta (ed una corrente indotta se inserita in un circuito) esprimibili come:

La potenza erogata dal generatore vale:

aaa

E( R

i

E t E0 sin t E0 N A B V

i t I sin t I

E0

RA

p t E i E0 I sin 2 t

aaaa

t

E

E0

aa

t

i

I

aaaa

t

E0 I

p


6

Trasferimenti energeticiAvvicinando un magnete ad una spira, per effetto della f.e.m. indotta nasce anche una forza che si oppone al moto e che costringe a produrre lavoro positivo contro quella forza. Tale energia si trasferisce nel materiale sotto forma di energia termica (la spira si riscalda). Un fenomeno analogo si verifica muovendo una spira immersa in un campo magnetico. Nel caso in figura, una spira viene tirata verso destra a velocità costante v fino ad uscire dalla regione in cui c’è B. Per far questo,

si deve compiere il lavoro dL = F dx poichè occorre applicare una forza costante F, e quindi la potenza applicata vale P = F v.

D’altra parte, il flusso di B vale = B A = B L x e la sua variazione è:

Per cui la spira è elettricamente equivalente al circuito in basso, e i = E / R. Inoltre, sui tre lati della spira agisce la forza magnetica (BL) F1=iLB; F2=F3= ixB con F2=-F3 e F4=0 perchè su quel lato B=0.

BLvdt

dxBLBLx

dt

d

dt

dE

Sostituendo il valore di I si ottiene F=F1=B2L2v/R e quindi la potenza applicata vale P=Fv=B2L2v2/R da uguagliarsi con la potenza termica dissipata nella spira P=Ri2=B2L2v2/R esattamente uguale alla precedente.

il lavoro necessario per estrarre la spira attraverso B è convertito in energia termica dentro la spira.

Correnti di Foucault


7

Campi elettrici indottiSe in un anello di Cu B uniforme aumenta in maniera uniforme (dB/dt=cost) anche B aumenterà in maniera uniforme nell’anello f.e.m. indotta i indotta all’interno dell’anello c’è un campo elettrico indotto E le cui linee di forza sono circolari concentriche con l’anello. Se B=cost allora E=0.

Una carica q0 in moto lungo la circonferenza di raggio r in un giro subirà il lavoro L=q0E (E=f.e.m.) ma il lavoro può anche essere espresso come prodotto di forza per spostamento:

cioè si ha

Ciò significa che il campo elettrico indotto NON è conservativo.

La legge di Faraday può essere scritta come:

Il potenziale elettrico ha senso soltanto per le cariche statiche.

rEq 2 0 dsF dsEdsEdsF E 0qL

dt

d B dsE


8

Induttori ed induttanzeInduttore o induttanza: dispositivo utilizzabile per produrre un campo magnetico noto in una determinata regione.

Il simbolo normalmente usato è: (ricorda il solenoide)

Se la corrente circolante nelle N spire (o avvolgimenti) del solenoide in cui è presente un flusso di B dato da B è i, l’induttanza vale:

La grandezza NB è chiamata flusso concatenato all’induttanza. L’unità di misura dell’induttanza è l’henry. 1 H = 1 T m2 A-1.

Nel caso di un solenoide (indefinito) con n spire per unità di lunghezza percorso dalla corrente i, si è visto che il campo magnetico vale B = 0 i n. Il flusso concatenato vale:

e quindi l’induttanza è

E vicino al centro del solenoide l’induttanza per unità di lunghezza vale L/l=0n2A

Come nel caso della capacità, essa dipende da fattori geometrici, ed ha la generica espressione di 0 = 4 10-7 T m A-1 (o H/m) moltiplicato per una lunghezza.

i

NL B

BAnlN B lAni

inAnl

i

nlBA

i

NL B 2

00


9

Se due bobine (induttanze) sono molto vicine l’una all’altra, una corrente variabile nella prima creerà una f.e.m. indotta nella seconda. Per lo stesso motivo, una f.e.m. indotta apparirà anche nella prima bobina (fenomeno dell’autoinduzione). Se in una bobina varia i, in essa si genera una f.e.m. autoindotta EL.

Il verso è tale per cui la f.e.m. autoindotta EL ende ad opporsi al cambiamento che la causa:

È possibile definire una d.d.p. autoindotta ai capi di un’induttanza VL= EL. In un’induttanza reale occorre considerare, oltre a L, anche la resistenza interna del filo dell’induttanza r.

Autoinduzione

dt

diL

dt

NdLiN B

LB

E


10

Circuiti RLSi consideri un circuito ad una maglia con R e L ed un generatore E. Quando il tasto S chiude il circuito, in assenza di L la corrente tenderebbe istantaneamente al valore i0= E /R. La presenza di L invece causa l’insorgere della f.e.m. indotta EL che limita la crescita di i.

Applicando la legge delle maglie di Kirchhoff al circuito RL, si ha:

Integrando tale equazione ed imponendo le condizioni iniziali i=0 per t=0 e i= i0= E /R per t, si arriva all’espressione:

0 Edt

diLiR

dove L=L/R è la costante di tempo induttiva. Per t=L la corrente vale

i = 0.63 i0.

Spegnendo in queste condizioni il generatore, invece, si ha:

L

t

eR

i 1E

0dt

diLiR L

t

eR

i

E


11

Energia in un campo magneticoL’equazione delle maglie di Kirchhoff applicata ad un circuito RL con generatore E è:

e moltiplicando per i si ottiene:

Tali termini hanno le dimensioni di una potenza. Il primo rappresenta la potenza erogata dal generatore, il secondo la potenza dissipata nella resistenza per effetto Joule ed il terzo la potenza immagazzinata nel campo magnetico. L’integrale di tale termine fornirà l’energia magnetica EL:

Nel caso di un tratto l di un solenoide indefinito di sezione A con n spire per unità di lunghezza, la densità volumica di energia magnetica vale:

Come nel caso della densità volumica di energia elettrica,

tale risultato è stato ottenuto per il solenoide ma ha validità

generale.

0 Edt

diLiR 02

dt

diLiRiiE

2

00 2

1LidiLidt

dt

diLiE

it

L

2

0

220

2

2

1

2

1

2Bin

Al

Li

Al

Eu L

L


12

Mutua induzioneLa corrente i1 circolante nella bobina 1 prodotta da una batteria produce il campo B1. La seconda bobina, senza batteria, è attraversata dal flusso di B1 21. Si definisce mutua induttanza della bobina 2 rispetto alla bobina 1 la grandezza:

Se i1 varia nel tempo, si ha e per la legge di Faraday:

è la f.e.m. indotta nella seconda bobina.

1

21221 i

NM

dt

dN

dt

diM 21

21

21

dt

diM 1

212E

Se invece è la bobina 2 ad avere il generatore di f.e.m. variabile, la corrente i2 circolante nella bobina 2 produce il campo B2 e la prima bobina, senza batteria, è attraversata dal flusso di B2 12. Si ha:

Le costanti di proporzionalità M12 e M21 coincidono per cui si ha:

M = M12 = M21

M si misura in henry come L.

dt

diM 2

121E


13

Induttanze in serie ed in paralleloInduttori in serie

(senza accoppiamento magnetico)

Per la legge di Kirchhoff delle maglie, le f.e.m. si sommano:

Per cui si ha:

Cioè:

aaa

L1 L2 L3

i

Induttori in parallelo

(senza accoppiamento magnetico)

Per la legge di Kirchhoff dei nodi, le correnti si sommano:

Per la legge di Faraday:

Da cui si ottiene:

Cioè:

L1didt

L2didt

L3didt

Ldidt

L L1 L2 L3

L Lii

aaaa

L1L2

L3E

i i1 i2 i3didt

di1dt

di2

dt

di3dt

EL

EL1

EL2

EL3

1L

1L1

1L2

1L3

=

1L

1Lii

Documents

Lezione n. 10Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 1 Induzione elettromagnetica: evidenza sperimentale Base sperimentale: gli esperimenti di Faraday