2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikinesgraiku matematikos savadas

Vilius Stakenas

VU MIF

2014

Geometrijos raidaI Akmens amžiaus geometrines formos ir

ornamentai ( ...- 3 t. pr. Kr.)I Matavimu žinios ir igudžiai (3000-500 m.

pr. Kr.)I Teorinis graiku mokslas (500-300 pr. Kr.)I Beveik nieko naujo iki XV amžiausI Daug naujoviu, stoka griežtumoI XIX a. - galimos ir kitokios geometrijos!I Daug ivairiu geometriju!I XX-XXI a. taikymai: kompiuterine grafika,

video, virtuali interneto tikrove...

Neišsaugotos geometrijos žinios

Akmens amžiaus žmones: rašto nebuvo, betgeometrija išmane!Didieji statiniai

Egiptas ir Tarpupio civilizacijos

Matematiniai egiptieciu papirusai

Rhindo papirusas 534 cm × 33 cmMaskvos papirusas 544 cm × 33 cm

Keturkampio plotas: egiptieciu nuomone

S =a+ c

2· b+d

2

Kaip egiptieciai skaiciavo skritulio plota

d 89d

S =(8

9d)2

Nupjautine piramide!

Nejaugi ispejo?

S = (a2+ab+b2) · h3

Civilizacijos Tarpupyje

3000-2700 pr.Kr. Šumeru miestai valstybes,dantirašcio išradimas1600-625 hetitu, kasitu, asiru valdymas

Matematines babilonieciu lenteles

Pitagoro teorema 1000 m. prieš Pitagora

Uždavinys: i siena atremtas strypas. Pastumusjo pagrinda per 9 ilgio vienetus nuo sienos,strypas i siena atsiremia 3 vienetais žemiau.Koks strypo ilgis?

Skritulio plotas: babilonieciu nuomone

S =C2

12,

cia C – apskritimo ilgis.

Pitagoro skaiciu trejetai

x2+ y2 = z2

Graiku istorijos tarpsniai

I 3-2 tukst. pr. Kr. Mikenu ir Kretosvaldymas 1 tukst. pr. Kr. dorenu isiveržimas

I Apie 900 metus pereme finikieciu abecele.I 600-450 Jonijos periodas: Talis ir kiti

gamtos filosofaiI 490 - Maratono mušis, PitagorasI 450-300 - Atenu klestejimasI 387 - Platono akademija AtenuoseI 300-150 helenistinis periodas, Aleksandrija.

Euklidas, Archimedas, Apolonijus Pergietis

Talis Miletietis

Talis (640-546 pr. Kr.) pirmasis matematikas,kurio varda žinome

Talio teoremos

Penkios teoremos, kurias šaltiniai priskiriaTaliui

Irodymai, „tikrosios“ matematikos pradžia

Pitagoras

Pitagoras žinias igijo kelionese. 6 a. pr.Kr. viduryje isteige mokykla Italijos pietuose,Krotone. Individualaus inašo i matematikaneimanoma nustatyti.Aristotelis (4 a. pr. Kr.) jau mini terminapitagorieciai. Vertina matematinius tyrimus, betne filosofija.Pitagoras, šaltiniu teigimu, paverte geometrija„laisvuoju mokslu“, t.y. kuris studijuojamas nedel naudos ar taikymu.

Skaiciai ir figuros

Kvadratiniai ir trikampiai skaiciai

Pitagoro skaiciu trejetai

n2 +(2n+1) = (n+1)2

n = 4, 2n+1 = 9 = 32, 42 +32 = 52

n = 12, 2n+1 = 25 = 52,122 +52 = 132

x2 + y2 = z2

Kvadratai ir nelyginiai skaiciai

1+3+5+7 = 42

1+3+5+7+9 = 52

1+3+ · · ·+(2n−1) = n2

Bendrasis matas

Nebendramatiškumo atradimas

Pitagoro teorema

Pitagoro teorema: pjaustymo irodymai

Atenu klestejimas

Platono trikampiai

Platono akademija ikurta 387 m. Kr.

Trikampis ir kvadratas iš vienarušiu trikampiu

Platono trikampiai

Platono akademija ikurta 387 m. Kr.

Bet penkiakampiui sudeti dvieju rušiutrikampiu negana!

Aleksandrija

Euklido „Pradmenys“

Euklido „Pradmenys“

Euklido „Pradmenys“

Euklido „Pradmenys“I I knyga: aksiominis plokštumos geometrijos

destymas (jonieciu periodo ir pitagorieciurezultatai)

I II knyga: veiksmai su geometriniaisdydžiais (geometrine algebra)

I III knyga: teiginiai apie apskritima(pitagorieciu)

I IV knyga: ibrežtiniu ir apibrežtiniutaisyklinguju daugiakampiu braižymas

I V knyga: Santykiu (proporciju teorija,Eudoksas)

I VI knyga: Santykiu teorijos taikymasplokštumos geometrijoje

Euklido „Pradmenys“

I VII-IX knygos: teiginiai apie naturaliuosiusskaicius

I X knyga: dydžiu, kuriuos galimasukonstruoti skriestuvu ir liniuote teorija,klasifikacija (tikriausiai Theaiteto sukurta)

I XI knyga: Erdves geometrijos pagrindaiI XII knyga: Teiginiai apie turiusI XII knyga: Taisyklingu briaunainiu

konstravimas (briaunainiai ibrežiami isfera), irodymas kad tera tik penki tokiekunai.

Pradmenu struktura

I ApibrežimaiI PostulataiI AksiomosI Teoremos ir konstravimo uždaviniai

(formuluotes, algoritmai, irodymai)

Iš I knygos

23 apibrežimai

1 apibrežimas. Taškas yra tai, kas neturi daliu

2 apibrežimas. Linija yra ilgis be plocio

3 apibrežimas. Linijos galai yra taškai

4 apibrežimas. Tiese yra linija, kurios taškaiišsideste vienodai

Iš I knygos

5 apibrežimas. Paviršius yra tai, kas turi tik ilgiir ploti.

10 apibrežimas. Jei dvi tieses sudaro lygiusgretutinius kampus, tie kampai vadinamistaciaisiais

23 apibrežimas. Jei tieses yra vienojeplokštumoje ir pratesus jas i abi pusesnesusikerta, jos vadinamos lygiagreciomis.

Iš I knygosPostulatai

1. Du taškus galima sujungti tiese

2. Tiese galima pratesti i bet kuria puse

3. Iš bet kokio centro galima nubrežti apskritimasu bet kokiu spinduliu

4. Visi status kampai lygus tarpusavyje

5. Jei dvi tieses kerta trecioji ir vienoje pusejevidiniu kampu suma mažesne už du stacius, taišioje puseje pratesus pirmasias dvi tieses, jossusikirs.

5 postulatui ekvivalentus teiginys: per taškašalia duotos tieses galima išvesti tik viena tiese,lygiagrecia duotajai.

Iš I knygos

Aksiomos

1. Jei A = B ir B = D, tai A = D

2. Jei A = B, tai A+C = B+C

3. Jei A = B, tai A−C = B−C

4. Jei A ir B sutampa, tai A = B

5. Visuma didesne už dali

1.1 uždavinysDuota kraštine, nubraižyti lygiakrašti trikampi.

Lygiakraštis trikampis

1.2 uždavinys

Atideti duoto ilgio atkarpa nuo duotojo taško.

1.4 teorema. Trikampiu lygybes požymysJei vieno trikampio dvi kraštines ir kampas tarpju atitinkamai lygus kito trikampio dviemskraštinems ir kampui tarp ju, tai trikampiailygus.

Trikampiu lygybes požymis

1.5 teorema. Talio teorema apie lygiašonitrikampi

Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yralygus.

1.11, 1.12 uždaviniai. Statmenys duotai tiesei

Statmuo iš taško šalia tiesesStatmuo iš tieses taško

1.15 teorema. Talio teorema apie kryžminiuskampus

Dvieju besikertanciu tiesiu sudaryti kryžminiaikampai lygus.

1.22 teorema. Trikampio su duotomis kraštinemisbraižymas

Jei vieno trikampio dvi kraštines ir kampas tarp ju atitinkamailygus kito trikampio dviems kraštinems ir kampui tarp ju, taitrikampiai lygus.

1.26 Trikampiu lygybes požymys: du kampai irkraštine

1.27, 1.28 teiginiai apie priešinius kampus

Dvi tieses kerta trecioji, jei priešiniai kampailygus, tieses lygiagrecios. Jei dvi lygiagreciastieses kerta trecioji, tai priešiniai kampai lygus.

1.31 Lygiagrecios tieses braižymas

Lygiagretes braižymas

1.32 Trikampio kampu suma

1.42 Lygiagretainio lygiaplocio trikampiuibraižymas

Lygiagretainis lygiaplotis trikampiui

1.43 Lygiagretainio lygiaplocio trikampiuibraižymas

Lygiagretainis lygiaplotis trikampiui

1.44 Lygiagretainio lygiaplocio daugiakampiuibraižymas

Duotas lygiagretainio kampas ir kraštine

Lygiagretainio braižymas

1.47 Pitagoro teorema

Irodymai: 1 2 3

2.4 Algebrine tapatybe

(x+ y)2 = x2+2xy+ y2

2.4 Algebrine tapatybe

AC = CB, staciakampis su kraštinemis AD,DBir CD kvadratas lygus CB kvadratui

2.6 Kvadratines lygties (x−b)x = c2 sprendimas

AC = CB, staciakampis su kraštinemis AD,DBkartu su CB kvadratu lygus CD kvadratui

2.11 teorema. Atkarpos dalijimas

AB reikia padalyti i dvi dalis, kad butu

AB ·HB = HB2

2.11 teorema. Atkarpos dalijimas

AB reikia padalyti i dvi dalis, kad butu

AB ·HB = AH2 arbaABHB

=AHHB

AB = 1,HB = x,1x=

x1− x

= ϕ, ϕ ≈ 1,618...

Staciakampiai

Aukso pjuvio santykis architekturoje, mene irgamtoje

Aukso pjuvisFibonacio skaiciai ir aukso pjuvis

2.12 Kosinusu teorema

Buko kampo atvejis

BC kvadratas lygus AB ir AC kvadratu ir dviejustaciakampiu su kraštinemis AC ir AD sumai

2.14 Kvadratas lygiaplotis daugiakampiui

III knyga. Apskritimai ir tieses

3.10 teiginys. Du apskritimai negali turetidaugiau kaip 2 bendrus taškus.

3.13 teiginys. Du apskritimai negali liestisdaugiau kaip viename taške.

3.35 teiginys apie stygas

IV knyga. Daugiakampiai ir apskritimai

4.4 uždavinys. I trikampi ibrežti apskritima

4.5 uždavinys. Apibrežti apskritima apie trikampi

4.5 uždavinys. Apie trikampi apibrežti apskritima

4.10 uždavinys. Auksinio trikampio braižymas

4.11 uždavinys. Taisyklingojo penkiakampiobraižymas

Pentagrama

4.15 uždavinys. Taisyklingojo šešiakampiobraižymas

4.16 uždavinys. Taisyklingojo penkiolikakampiobraižymas

Kokius taisyklinguosius daugiakampius galimanubraižyti?

I jeigu galima n-kampi, tai ir 2,22 ·n,23 ·n, . . .galima;

I jeigu galima n-kampi ir m-kampi, ir n,m neturibendru dalikliu išskyrus 1 (pav., 3 ir 5) tai irn ·m galima.

Kokius taisyklinguosius daugiakampius supirminiu kraštiniu skaiciumi galima nubraižyti?

Po dvieju tukstanciu metu ...

1796 metais devyniolikmetis K. F. Gausasirode:Skriestuvu ir liniuote galima nubraižyti tiktokius taisyklinguosius daugiakampius supirminiu kraštiniu skaiciumi p, jei

p = 22m+1.

Tokie pirminiai skaiciai vadinami Fermatskaiciais. Nežinoma, kiek ju yra.

VI knyga. Proporcingumo ir panašumo teorija

Rasti X, kad butuAB=

CX

6.10 Atkarpos dalijimas duotu santykiu

6.13 Geometrinio vidurkio radimas

6.31 Pitagoro teoremos apibendrinimas

Erdves geometrijos knygos XI-XIII

Penki Platono kunai

13.18 Briaunainiu kraštines

Archimedo kunai

Ko neišdeste Euklidas?

Trys didieji Antikos uždaviniai

I Kubo padvigubinimas

I Kampo trisekcija

I Skritulio kvadratura

Kugio pjuvio kreives

Kugio pjuvio kreives

Neeuklidine geometrija XIX a.

Neeuklidine geometrija XIX a.Per taška šalia duotos tieses galima išvestidaugiau kaip viena tiese, nekertancia duotosios.