Vortragsreihe "Mathematik und Physik zwischen Schule und Hochschule"

Universität Stuttgart, 23. November 2018

Leonhard Euler als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule

Moritz Adelmeyer

Kantonale Maturitätsschule für Erwachsene Zürich

Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften Winterthur

moritz.adelmeyer@kme.ch / adel@zhaw.ch

– 2 –

Zusammenfassung

Leonhard Euler (1707–1783) ist unbestritten einer der wissen-

schaftlich produktivsten und bedeutendsten Mathematiker aller

Zeiten. Weniger bekannt sind seine Verdienste um die Lehre der

Mathematik. Er hat ein Dutzend Lehrbücher verfasst, darunter die

noch heute lesenswerte "Vollständige Anleitung zur Algebra".

Sie gilt als eines der ersten mathematischen Lehrbücher im

modernen Sinne. Im Vortrag wird anhand von Originalpassagen

erläutert, was damit gemeint ist und inwieweit dies zutrifft.

Weiter wird im Vortrag dargelegt, wie die Schnittstellen-

diskussion zwischen Schule und Hochschule im Fach Mathe-

matik in der Schweiz verläuft und aufgezeigt, wie Euler und sein

Werk als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule dienen

können.

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Inhalt

Eulers Leben und Werk

Eulers mathematische Lehrbücher

Eulers Vollständige Anleitung zur Algebra

Schweizer Gymnasium

Bildungspolitische Entwicklungen in der Schweiz

Kanon Mathematik

Euler als Brückenbauer

Materialien zu Euler

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IN ERINNERUNG

an Klaus Kirchgässner

Professor für Mathematik an der Universität Stuttgart von 1972 – 1998

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Euler:

"Principes généraux du movement des fluides", 1757, E226

eulerarchive.maa.org

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Eulers Leben und Werk

1707 – 1727 Basel

1727 – 1741 St. Petersburg

1741 – 1766 Berlin

1766 – 1783 St. Petersburg

Euler, 1753

Pastellbild von Emanuel Handmann

Kunstmuseum Basel

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Ca. 500 wissenschaftliche Arbeiten, 12 Lehrbücher und ca. 3000 wissenschaftliche Briefe

Chronologisches Publikationsverzeichnis von Gustaf Eneström

Nummeriert E001 bis E866

Gesamtausgabe der Akademie der Naturwissenschaften Schweiz:

Leonhardi Euleri Opera Omnia

Teubner, Orell Füssli, Birkhäuser, Springer, 1911 bis heute Serie I : Mathematik, 29 Bände, alle erschienen

Serie II : Mechanik und Astronomie, 31 Bände, alle erschienen

Serie III : Physik und Sonstiges, 12 Bände, alle erschienen

Serie IV A : Briefe, 10 Bände, davon 4 erschienen

Serie IV B : Notizbücher und Tagebücher, noch keine erschienen

Online Archiv der Mathematical Association of America: eulerarchive.maa.org

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Euler: Auszug aus Brief an Johann Bernoulli I, 1740

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Eulers mathematische Lehrbücher

"Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gmnasii bey der Kayserlichen

Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg", 1738, 277, E17

"Vollständige Anleitung zur Algebra"

Zwei Teile, 1770, 256 und 384 Seiten, E387 und E388

"Introductio in analysin infinitorum"

Zwei Teile, 1748, 320 und 398 Seiten, E101 und E102

"Insitutiones calculi differentialis"

Zwei Teile, 1755, 880 Seiten, E212

"Insitutionum calculi integralis"

Drei Teile, 1768, 1769 und 1770, 542, 526 und 639 Seiten,

E342, E366 und E385

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"Es kommt vor, dass ein Mathematiker, der sich für die Geschichte seines Fachs

interessiert, einen Blick auf die Pionierwerke der wissenschaftlichen Revolution des

17. und 18. Jh. werfen möchte. Ein frustrierendes Unterfangen: Bahnbrechende

Arbeiten wie Descartes' Géometrie, die Nova Methodus, mit der Leibniz den Grund-

stein für die Differentialrechnung legte oder die Ars Conjectandi, Jacob Bernoullis

grosser Traktat über die Wahrscheinlichkeitsrechnung, sind dem historisch ungeschul-

ten Fachwissenschaftler heute völlig unzugänglich. Notation, Denkstil, Beweis-

führung, und Umgang mit dem Zielpublikum haben sich seither so grundlegend ver-

ändert, dass er den Darlegungen … kaum mehr in den Grundzügen wird folgen

können.

Ganz anders, wenn unser Experte ein Werk Eulers in die Hände bekommt, etwa die

Introductio in Analysin Infinitorum, die Vollständige Anleitung zur Algebra oder die

Lehrbücher zur Differential- und Integralrechnung. Hier wird er die vertrauten

Zeichen und Wörter finden, den Gedankengang nachvollziehen können und auf-

atmend erkennen: Ja, das sind die Wurzeln dessen, was wir heute tun."

Martin Mattmüller, Bernoulli-Euler-Zentrum Basel

Uni Nova – Wissenschaftsmagazin der Universität Basel, Heft 105/2007

www.euler-2007.ch/artikel.htm

– 11 –

Eulers Vollständige Anleitung zur Algebra

"Noch heute künden zahlreiche, sich auf Euler

beziehende Benennungen von Formeln, Glei-

chungen und Gesetzen in der Mathematik von

seiner anhaltenden Bedeutung; die Eulersche Zahl

(e = 2,718...) ist vielleicht die bekannteste darun-

ter. Neben Bahnbrechendem steht aber auch

Didaktisches: Die 'Vollständige Anleitung zur

Algebra', zuvor auf Russisch erschienen, erfuhr

1770 ihre erste Auflage in deutscher Sprache; es

folgten zahlreiche weitere, ebenso wie Überset-

zungen in andere Sprachen. Um Klarheit und Ein-

fachheit bemüht, stellt dieses Buch in handlichem

Format eines der ersten Lehrbücher im modernen

Sinn dar und prägt die Didaktik des Mathematik-

unterrichtes bis heute."

Historisches Museum Basel, 2007

www.hmb.ch/sammlung/

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"Die Anzahl der Rechenbücher, welche sowohl in Deutschland als anderwärts heraus-

gegeben worden, ist so gross und überhäuft, dass manchem diese Arbeit höchst

unnöthig und überflüssig scheinen möchte. … … befinden sich bei den meisten ausländischen Rechenbüchern solche Mängel,

welche man allhier abzuhelfen für höchst rathsam hielt. Denn entweder sind darinn

nichts als die blossen Regeln nebst einer grossen Anzahl Exempel enthalten; von dem

Grunde aber und den Ursachen, worauf die Regeln beruhen, wird nicht die geringste

Meldung gethan. … … so hat man sich bemühet, in gegenwärtiger Anleitung von allen Regeln und Opera-

tionen den Grund vorzutragen und zu erklären, … dabei hat man gleichwohl die Re-

geln und Vortheile, welche im Rechnen zustatten kommen können, ausführlich

beschrieben und mit Exempeln genugsam erläutert … Denn wenn man auf diese Art nicht nur die Regeln begreift, sondern auch den Grund

und Ursprung derselben deutlich einsieht, so wird man einigermassen in Stand

gesetzt, selbsten neue Regeln zu erfinden und vermittelst derselben solche Aufgaben

aufzulösen, zu welchen die sonst gewöhnlichen Regeln nicht hinreichend sind."

Euler: "Rechen-Kunst", Vorbericht

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EINFÜHRUNG IN GLEICHUNGSLEHRE

Euler:

"Algebra", Teil II, Kapitel 1

20 Personen, Männer und Weiber

ein Mann verzehrt 8 Groschen

ein Weib verzehrt 7 Groschen

ganze Zeche beträgt 6 Reichstaler

(= 144 Groschen)

wie viele Männer und Weiber gewesen?

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Anzahl der Männer x

Zahl der Weiber 20 – x

Verzehr der Männer 8 x Groschen

Verzehr der Weiber 140 – 7 x Groschen

Verzehr Männer und Weiber 140 + x

Gleichung 140 + x = 144

x = 4

– 15 –

20 Personen, Männer und Weiber

Männer verzehren 24 Gulden (= Floren)

Weiber verzehren 24 Gulden

ein Mann zahlt 1 Gulden mehr als ein Weib

wie viel waren es Männer und Weiber?

Zahl der Männer x

Zahl der Weiber 20 – x

ein Mann verzehrt ––– Gulden

ein Weib verzehrt –––––– Gulden

Gleichung ––– – 1 = ––––––

x

24

24

20 – x

x 24 24

20 – x

– 16 –

x = 8

––– – 1 = ––– ist 2 = 2

12

24 24

8

– 17 –

AUFBAU Zunächst ausführliche Hinführung zum Thema (§1–§4),

dann zwei eingehend erläuterte Beispiele (§5–§6)

und zuletzt eine Vororientierung über Auflösungsregeln und Gleichungstypen (§7–§10).

SPRACHE Überwiegend Umgangssprache, wenig Fach- und Formelsprache.

Grundvorstellungen und Zielsetzungen sind sorgfältig und explizit ausformuliert.

FOKUS Ausrichtung auf das Wesen einer Gleichung, nicht auf deren Auflösung.

Konzeptionelles Verständnis steht im Vordergrund, nicht die Rechentechnik.

– 18 –

BEISPIELE Einfache und doch algebraisch genug reichhaltige Textaufgaben.

Variablen stehen für konkrete Grössen und nicht nur abstrakte Symbole.

Notwendige Rechenfertigkeiten sind aus Teil I der „Algebra“ bekannt. Es treten keine

Gleichungsauflösungsschritte auf.

Zweites Beispiel ist eine Variation des ersten. Das Aufstellen der Gleichung ist im

zweiten Beispiel fast so einfach wie im ersten, die Auflösung der Gleichung dagegen

wäre bedeutend schwieriger.

FAZIT Eine fachlich und didaktisch gelungene expositorische Einführung: abgestimmt auf

Vorkenntnisse, konkret gehalten, konzeptionell orientiert, exemplarisch illustriert, ein-

gehend kommentiert.

Ergänzt mit Aufgaben zur aktiven Auseinandersetzung und Verarbeitung noch heute

als Selbststudienmaterial einsetzbar.

– 19 –

EINFÜHRUNG NEGATIVER EXPONENTEN

…..

Euler: "Algebra", Teil I, Kapitel 16

– 20 –

– 21 –

Schweizer Gymnasium

GESAMTSCHWEIZERISCHE VORGABEN ERZIEHUNGSDIREKTORENKONFERENZ (EDK) Dauer: Mindestens vier Jahre (mindestens Klassen 9 – 12)

Grundlagenfächer: u.a. Mathematik

Profilfächer / Schwerpunktfächer: u.a. Physik und Anwendungen der Mathematik

Rahmenlehrplan: ca. zwei Seiten pro Fach

Stundenzahlen: u.a. Mathematik durchgehend ca. 4 Lektionen pro Woche

Maturprüfungen: u.a. Mathematik schriftlich

Lehrerqualifikation: für Festanstellung Fachmaster plus didaktischer Weiterbildungsmaster

www.edk.ch

KANTON Erlass von Ausführungsbestimmungen, Koordination, Finanzierung, Kontrolle, u.a.

SCHULE Angebot der Profilfächer, Lektionentafel, Stoffpläne (ca. 2 Seiten pro Fach), Prüfungswesen, u.a.

NOCH Keine Kompetenzstandards, keine zentralen Prüfungen, keine Vorgaben zu Lehrmitteln, u.a.

– 22 –

Bildungspolitische Entwicklungen in der Schweiz

HARMOS UND LEHRPLAN 21

Interkantonale Vereinbarung über die Harmonisierung der obligatorischen Schule,

betrifft Klassen 1 – 8, in nationaler Volksabstimmung 2006 angenommen

Nationale Bildungsstandards zu Grundkompetenzen in Schulsprache, zwei Fremdsprachen,

Mathematik und Naturwissenschaften, inzwischen in fast allen Kantonen eingeführt

EVAMAR II

Wissenschaftliche Studie zum Leistungsstand von Maturand/innen, u.a. in Erstsprache und

Mathematik, von EDK in Auftrag gegeben, vom Institut für Erziehungswissenschaft der

Universität Zürich 2005 – 2008 durchgeführt

Ergebnis: Ausbildungsstand insgesamt zufriedenstellend, aber grosse Unterschiede

Fazit: "Interpretiert man allgemeine Studierfähigkeit dahin gehend, dass jeder Maturitätsausweis

genügend Eingangskenntnisse für alle Studienfächer bescheinigen sollte, so ist dies … nicht

gegeben."

EVAMAR II: Die Ergebnisse in Kürze. www.ife.uzh.ch

– 23 –

Neue Zürcher Zeitung, 21.01.2015, www.nzz.ch

BASALE KOMPETENZEN

Projekt zur Festlegung und Überprüfung basaler, fachlicher Studierkompetenzen,

von EDK in Auftrag gegeben, vom Institut für Erziehungswissenschaft der Universität Zürich

ausgearbeitet, von EDK 2016 beschlossen, Umsetzung in Erstsprache und Mathematik im Gange

www.edk.ch

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Kanon Mathematik

Ziel: Richtlinien zur Gestaltung des Grundlagenfachs Mathematik am Gymnasium

im Hinblick auf den Übergang zur Hochschule

Erarbeitung/Überarbeitung: Seit 1990 durch gesamtschweizerische Kommission von

Mathematiker/innen aus Schule und Hochschule

Umfang: derzeit 25 Seiten

Inhalt: Allgemeine Ziele des MU

u.a. Allgemeinbildung versus Hochschulvorbereitung

Themenübergreifende Aspekte des MU

u.a. handwerkliche Fertigkeiten versus Technologieeinsatz

Gewichtung der Themengebiete des MU

u.a. weniger Geometrie versus mehr Stochastik

Inhalte der Themengebiete des MU

Einteilung in verstehensorientierte Kenntnisse und verfahrensorientierte Fertigkeiten

Trennung zwischen Grundlagen und Erweiterungen/Vertiefungen

Hinweise zu Anwendungen und Querverbindungen

www.math.ch/kanon

– 25 –

"Es ist keine Frage, dass der Mathematikunterricht heute hinter dem zurückbleibt, was

er leisten könnte. Der Forderung der Bildungspolitik nach besseren schulischen

Leistungen ist nachvollziehbar. Es ist aber eine Tragödie, dass die Bildungspolitik die

Kompetenzorientierung in Verbindung mit Bildungsmonitoring als einzigen erfolg-

versprechenden Weg ansieht und sich auch durch fundierte Kritik nicht davon ab-

bringen lässt. Der richtige Weg wäre, zu Lehrplänen zurückzukehren, die auf einem authentischen

Bild von Mathematik beruhen und sich an Ausschnitten elementarer Theorien orien-

tieren. Darauf aufbauend müssten Curricula entwickelt werden, die aufbauendes

fachliches Lernen vom Kindergarten bis zum Abitur ermöglichen. Struktur- und

Anwendungsorientierung müssen dabei in sinnvolle Beziehung gesetzt werden. … Durch ein fachlich aufgebautes Curriculum kann für eine Sicherung der Grund-

kenntnisse in stetiger Wiederholung gesorgt werden, … Die Qualitätssicherung muss im

Unterricht selbst, d.h. systemisch, erfolgen. In dieser Richtung sollte die Bildungs-

administration mit der konstruktiven Entwicklungsforschung und der Lehrerschaft tätig

werden."

Erich Wittmann: Kompetenzorientierung vs. solide mathematische Bildung

Franco Caluori u.a. (Hrsg.): Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. WTM-Verlag, 2015

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Euler als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule

POLYEDERFORMEL

Euler: "Demonstratio nonnullarum insignium properietatum quibus solida

hedris planis inclusa sunt praedita", 1757, E231

David Richeson: Euler's Gem – The Polyhedron Formula and the Birth of Topology

Princeton University Press, 2008

– 27 –

Eulers Vorgehen:

Eine Ecke nach der anderen abschneiden und zeigen, dass dabei der Wert von e – k + f gleich bleibt.

Ecke mit n ausgehenden Kanten wird durch n – 2 Pyramiden weggeschnitten:

e, k, f e ' = e – 1 e ', k ', f '

k ' = k – n + (n – 3) = k – 3

f ' = f – n + (n – 2) = f – 2

e ' – k' + f ' = (e – 1) – (k – 3) + (f – 2) = e – k + f

– 28 –

BASLER PROBLEM

––– + ––– + ––– + ––– + ….. = ?

Euler: "De summis serierum reciprocarum", 1740, E41

Eulers Vorgehen:

f(x) = 24 – 20 x + 4 x2 = 4 (6 – 5 x + x

2) = 4 (2 – x) (3 – x) = 24 (1 – ––) (1 – ––)

–––––– = 1 – –– x2 + –– x

4 – ….. = (1 – ––– ) (1 + ––– ) (1 – ––– ) (1 + ––– ) …..

= (1 – ––––– ) (1 – ––––– ) ….. = 1 – ( ––––– + ––––– + ….. ) x2 + …..

=> –– = ––––– + ––––– + …..

Armin Barth: Einem Genie über die Schultern schauen – Euler trifft auf die Lehr- und Lernforschung

MINT-Lernzentrum ETH Zürich, www.armin-p-barth.ch/didaktik/referate/

12 2

2 3

2 4

2

1 1

1

1

sin(x) 1 1 x x x x

2 3

x 3! 5! 1 1 2 2

x2 x

2 1 1

12

2 2

2

2 1

2

2 2

2

2

3! 12

2 2

2

2

1 1 1

x x

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EULER ALS VERMITTLER

Euler verbindet Mathemtiker/innen aller Gebiete und Stufen. Noch immer gilt der Laplace

zugeschriebene Ausspruch:

"Lest Euler, lest Euler, er ist unser aller Meister!"

Euler verbindet Lehre und Forschung.

Euler verbindet reine und angewandte Mathematik, das Theoretische mit dem Praktischen.

Euler verbindet Problemlösung mit Theoriebildung.

Euler verbindet das Spezielle mit dem Allgemeinen, das Konkrete mit dem Abstrakten.

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Materialien zu Euler

Euler-Archiv der Mathematical Association of America (MAA): eulerarchive.maa.org

William Dunham: Euler – The Master of Us All. MAA, 1999

William Dunham: The Genius of Euler – Reflections on his Life and Work. MAA, 2007

William Dunham: A Tribute to Euler. Vortrag, Harvard University, 2008, Dauer 55 Min.

Edward Sandifer: How Euler Did It. MAA, 2007

Edward Sandifer: How Euler Did Even More. MAA, 2015

Eulerjahr 2007 in Basel: euler-2007.ch

Bernoulli-Euler-Zentrum der Universität Basel: bez.unibas.ch

Emil Fellmann: Leonhard Euler. Rowohlt Taschenbuch, 1995

Wladimir Velminski: Leonhard Euler im Paradies der Gelehrten. Film, Dauer 30 Min.

Yoko Ogawa: Das Geheimnis der Euerschen Formel. Liebeskind, 2012

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DANK

an meine Partnerin Hélène Berther für die grosse Unterstützung

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Gedenktafel für Euler in Riehen bei Basel