DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier ... · Faktorisering af polynomier I Faktorisering af polynomier II Eulers formler Eulers formler II Eulers formler III

Eksponentialfunktion,Polynomier

Preben Alsholm

Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning

Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II

Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III

DesignMatDen komplekse eksponentialfunktion og

polynomier

Preben Alsholm

Uge 8 Forår 2010


Preben Alsholm




DefinitionenI Den velkendte eksponentialfunktion

x → ex

vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså

exp (x) = ex

for alle x ∈ R.

I Denne funktion har den fundamentale egenskab

exp (x + y) = exp (x) exp (y)

eller anderledes skrevet ex+y = ex ey for alle x , y ∈ R.I Vi definerer nu

exp (x + iy) = exp x · (cos y + i sin y)eller anderledes skrevet

ex+iy = ex · (cos y + i sin y)gældende for alle x , y ∈ R.


Preben Alsholm





x → ex


exp (x) = ex

for alle x ∈ R.I Denne funktion har den fundamentale egenskab


eller anderledes skrevet ex+y = ex ey for alle x , y ∈ R.

I Vi definerer nu




Preben Alsholm





x → ex


exp (x) = ex

for alle x ∈ R.I Denne funktion har den fundamentale egenskab


eller anderledes skrevet ex+y = ex ey for alle x , y ∈ R.I Vi definerer nu




Preben Alsholm




Egenskaber for expI Når x , y ∈ R har ex+iy modulus ex og argument y :∣∣ex+iy ∣∣ = ex arg

(ex+iy

)= y

I For alle z1, z2 ∈ C gælder

exp (z1 + z2) = exp z1 · exp z2 altså ez1+z2 = ez1ez2

I Bevis: Sæt z1 = x1 + iy1 og z2 = x2 + iy2, så har vi:

|ez1 · ez2 | = |ez1 | · |ez2 | =∣∣ex1+iy1 ∣∣ · ∣∣ex2+iy2 ∣∣ = ex1 · ex2

= ex1+x2 =∣∣∣ex1+x2+i (y1+y2)∣∣∣ = ∣∣ez1+z2 ∣∣

arg (ez1 · ez2) = arg (ez1) + arg (ez2)

= arg(ex1+iy1

)+ arg

(ex2+iy2

)= y1 + y2

= arg(ex1+x2+i (y1+y2)

)= arg

(ez1+z2

)Tallene ez1+z2 og ez1ez2 har altså samme modulus ogsamme argument. De er derfor ens.


Preben Alsholm





(ex+iy

)= y





= ex1+x2 =∣∣∣ex1+x2+i (y1+y2)∣∣∣ = ∣∣ez1+z2 ∣∣


= arg(ex1+iy1

)+ arg

(ex2+iy2

)= y1 + y2


)= arg

(ez1+z2



Preben Alsholm





(ex+iy

)= y





= ex1+x2 =∣∣∣ex1+x2+i (y1+y2)∣∣∣ = ∣∣ez1+z2 ∣∣


= arg(ex1+iy1

)+ arg

(ex2+iy2

)= y1 + y2


)= arg

(ez1+z2



Preben Alsholm




Polær formI Den polære form for tallet a med modulus r ogargument v blev sidste gang skrevet

a = rv = r (cos v + i sin v)

Den vil i fremtiden blive skrevet således:

a = r exp (iv) = re iv

I Eksempel. Vi finder den polære form for tallet

−√3− i . Modulus er

√(−√3)2+ (−1)2 = 2 og et

argument er − 5π6 . Tegn! Så

−√3− i = 2 exp

(−i 5π

6

)= 2e−i

5π6

I Maple.


Preben Alsholm










√(−√3)2+ (−1)2 = 2 og et


−√3− i = 2 exp

(−i 5π

6

)= 2e−i

5π6

I Maple.


Preben Alsholm










√(−√3)2+ (−1)2 = 2 og et


−√3− i = 2 exp

(−i 5π

6

)= 2e−i

5π6

I Maple.


Preben Alsholm




Moivres formelI For n ∈N og x ∈ R gælder

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx

I Bevis:(cos x + i sin x)n =

(e ix)n= e inx = cos nx + i sin nx

I Eksempel.

cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re((cos x + i sin x)3

)= Re

(cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x

)= cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x

(1− cos2 x

)= 4 cos3 x − 3 cos x

I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen

sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x= 3

(1− sin2 x

)sin x − sin3 x

= −4 sin3 x + 3 sin xI Maple.


Preben Alsholm








I Eksempel.


)= Re



(1− cos2 x

)= 4 cos3 x − 3 cos x



(1− sin2 x

)sin x − sin3 x



Preben Alsholm








I Eksempel.


)= Re



(1− cos2 x

)= 4 cos3 x − 3 cos x



(1− sin2 x

)sin x − sin3 x



Preben Alsholm








I Eksempel.


)= Re



(1− cos2 x

)= 4 cos3 x − 3 cos x



(1− sin2 x

)sin x − sin3 x

= −4 sin3 x + 3 sin x

I Maple.


Preben Alsholm








I Eksempel.


)= Re



(1− cos2 x

)= 4 cos3 x − 3 cos x



(1− sin2 x

)sin x − sin3 x



Preben Alsholm




Den komplekse logaritmefunktionI exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da

ez+ip2π = ez · e ip2π = ez (cos (p2π) + i sin (p2π)) = ez

I Hvis z ,w ∈ C opfylder expw = z , så kaldes w enlogaritme til z . Vi skriver w = ln z .

I Lad z ∈ C med z 6= 0. Så har z følgende logaritmer

ln z = ln (|z |)+ i (arg z + p2π) = ln (|z |)+ i arg z+ ip2π

hvor p ∈ Z, og arg z er et argument for z , og hvorln (|z |) er den reelle velkendte logaritme af det positivetal |z |.

I Vi finder samtlige logaritmer til tallet a =√3− i . Da

|a| = 2 og arg a = −π6 fås (med p ∈ Z):

ln a = ln(√

3− i)= ln 2− i π

6+ p2πi

I Maple.


Preben Alsholm












ln a = ln(√

3− i)= ln 2− i π

6+ p2πi

I Maple.


Preben Alsholm












ln a = ln(√

3− i)= ln 2− i π

6+ p2πi

I Maple.


Preben Alsholm












ln a = ln(√

3− i)= ln 2− i π

6+ p2πi

I Maple.


Preben Alsholm












ln a = ln(√

3− i)= ln 2− i π

6+ p2πi

I Maple.


Preben Alsholm




Den binome ligning II Lad n ∈N og a ∈ C. En binom ligning har formen

zn = a (1)

I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved

z = n√re i(

vn+p

2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1

I Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ ≥ 0 og θ ∈ R. Vedindsættelse i (1) fås(

ρe iθ)n= re iv og hermed ρne inθ = re iv

De to sider af denne ligning er polære former af sammetal, så ρn = r og nθ = v + p2π, hvor p ∈ Z. Heraffølger formlen.

I Korollar. Er z0 en rod i ligningen zn = a, så er samtligerødder givet ved z = z0e ip

2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.


Preben Alsholm





zn = a (1)

I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.

I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved

z = n√re i(

vn+p

2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1





2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.


Preben Alsholm





zn = a (1)


z = n√re i(

vn+p

2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1





2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.


Preben Alsholm





zn = a (1)


z = n√re i(

vn+p

2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1





2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.


Preben Alsholm





zn = a (1)


z = n√re i(

vn+p

2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1





2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.


Preben Alsholm




Andengradsligning II Vi løser

az2 + bz + c = 0

hvor a, b, c ∈ C, og a 6= 0.

I Vi har:

az2 + bz + c = a

((z +

b2a

)2− b

2 − 4ac4a2

)I Andengradsligningen kan altså omskrives til(

z +b2a

)2=b2 − 4ac4a2

I Sæt w = z + b2a , så har vi den binome ligning

w2 =b2 − 4ac4a2


Preben Alsholm





az2 + bz + c = 0

hvor a, b, c ∈ C, og a 6= 0.I Vi har:

az2 + bz + c = a

((z +

b2a

)2− b

2 − 4ac4a2

)

I Andengradsligningen kan altså omskrives til(z +

b2a

)2=b2 − 4ac4a2


w2 =b2 − 4ac4a2


Preben Alsholm





az2 + bz + c = 0


az2 + bz + c = a

((z +

b2a

)2− b

2 − 4ac4a2


z +b2a

)2=b2 − 4ac4a2


w2 =b2 − 4ac4a2


Preben Alsholm





az2 + bz + c = 0


az2 + bz + c = a

((z +

b2a

)2− b

2 − 4ac4a2


z +b2a

)2=b2 − 4ac4a2


w2 =b2 − 4ac4a2


Preben Alsholm




Andengradsligning III Sæt w = z + b

2a , så har vi den binome ligning

w2 =b2 − 4ac4a2

I Denne har 2 (komplekse) rødder, som vi skriver som

±√b2 − 4ac4a2

I Så rødderne i andengradsligningen az2 + bz + c = 0 er

z = − b2a±√b2 − 4ac4a2

=−b±

√b2 − 4ac2a

I Eksempel. Løs ligningen z2 + z + 1 = 0. Vi finder

z =−1±

√1− 4

2=−1±

√−3

2=−1± i

√3

2=

{−12 + i

√32

−12 − i

√32


Preben Alsholm






w2 =b2 − 4ac4a2


±√b2 − 4ac4a2


z = − b2a±√b2 − 4ac4a2

=−b±

√b2 − 4ac2a


z =−1±

√1− 4

2=−1±

√−3

2=−1± i

√3

2=

{−12 + i

√32

−12 − i

√32


Preben Alsholm






w2 =b2 − 4ac4a2


±√b2 − 4ac4a2


z = − b2a±√b2 − 4ac4a2

=−b±

√b2 − 4ac2a


z =−1±

√1− 4

2=−1±

√−3

2=−1± i

√3

2=

{−12 + i

√32

−12 − i

√32


Preben Alsholm






w2 =b2 − 4ac4a2


±√b2 − 4ac4a2


z = − b2a±√b2 − 4ac4a2

=−b±

√b2 − 4ac2a


z =−1±

√1− 4

2=−1±

√−3

2=−1± i

√3

2=

{−12 + i

√32

−12 − i

√32


Preben Alsholm




Andengradsligning IIII Eksempel. Løs ligningen z2 − 2z + (1+ i) = 0. Vifinder

z =2±

√4− 4 (1+ i)2

=2±√−4i2

I Vi skal så løse den binome ligningw2 = −4i = 4 exp

(−i π

2

). Vi finder

w = ±2 exp(−i π4

)= ±2

(√22−√22i

)= ±

(√2− i√2)

I Løsningerne til andengradsligningen er dermed

z =2±

(√2− i√2)

2= 1± 1√

2(1− i) =

{1+ 1√

2− i√

21− 1√

2+ i√

2


Preben Alsholm





z =2±

√4− 4 (1+ i)2

=2±√−4i2


(−i π

2

). Vi finder

w = ±2 exp(−i π4

)= ±2

(√22−√22i

)= ±

(√2− i√2)


z =2±

(√2− i√2)

2= 1± 1√

2(1− i) =

{1+ 1√

2− i√

21− 1√

2+ i√

2


Preben Alsholm





z =2±

√4− 4 (1+ i)2

=2±√−4i2


(−i π

2

). Vi finder

w = ±2 exp(−i π4

)= ±2

(√22−√22i

)= ±

(√2− i√2)


z =2±

(√2− i√2)

2= 1± 1√

2(1− i) =

{1+ 1√

2− i√

21− 1√

2+ i√

2


Preben Alsholm




Polynomier generelt

I Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen

anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0

I Algebraens Fundamentalsætning. Ethvertpolynomium af grad ≥ 1 har mindst én rod indenfor dekomplekse tal.

I Generelle løsningsformler findes for n ≤ 4, men det kanbevises, at der ikke kan konstrueres generelleløsningsformler for n ≥ 5.

I Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad menmed kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbartgiver den polære form for løsningerne.

I Se Maple om 3. og 4. gradsligninger.


Preben Alsholm




Polynomier generelt


anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0






Preben Alsholm




Polynomier generelt


anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0






Preben Alsholm




Polynomier generelt


anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0






Preben Alsholm




Polynomier generelt


anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0






Preben Alsholm




Faktorisering af polynomier I

I En rod z1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvisp (z) = (z − z1)k q (z), hvor q (z) er et polynomium,og hvor z1 ikke er rod i q (z).

I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.

I Polynomiet p (z) = anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0,hvor n ≥ 1 (og an 6= 0) kan skrives som et produkt afan og n førstegradsfaktorer:

p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)

I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har altså n rødder,hvis disse regnes med multiplicitet.


Preben Alsholm






I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.

I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.


p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)



Preben Alsholm








p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)



Preben Alsholm








p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)



Preben Alsholm








p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)



Preben Alsholm




Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.

I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.

I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.

I Vi betragter produktet af disse to faktorer:

(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:

= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:

= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm










= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm






I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.

I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.




= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm










= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm








(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))

I Sætter andre parenteser:


= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm









= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)

I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm










= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13


Preben Alsholm




Eulers formler I

I Ifølge definitionen af den komplekseeksponentialfunktion har vi

e iv = cos v + i sin v

e−iv = cos v − i sin v

I Ved addition af disse formler og efter division med 2 fås

cos v =12

(e iv + e−iv

)I Tilsvarende fås ved subtraktion og division med 2i

sin v =12i

(e iv − e−iv

)


Preben Alsholm




Eulers formler I





cos v =12

(e iv + e−iv

)

I Tilsvarende fås ved subtraktion og division med 2i

sin v =12i

(e iv − e−iv

)


Preben Alsholm




Eulers formler I





cos v =12

(e iv + e−iv

)I Tilsvarende fås ved subtraktion og division med 2i

sin v =12i

(e iv − e−iv

)


Preben Alsholm




Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..

I Vi udnytter den ene af Eulers formler

sin x =12i

(e ix − e−ix

)I og vi finder dermed

sin4 x =(12i

(e ix − e−ix

))4=

1

(2i)4(e ix − e−ix

)4I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:

=116

(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix

)I

=116

(e4ix + e−4ix − 4

(e2ix + e−2ix

)+ 6)

I

=18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


Preben Alsholm






sin x =12i

(e ix − e−ix

)

I og vi finder dermed

sin4 x =(12i

(e ix − e−ix

))4=

1



=116

(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix

)I

=116

(e4ix + e−4ix − 4

(e2ix + e−2ix

)+ 6)

I

=18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


Preben Alsholm






sin x =12i

(e ix − e−ix


sin4 x =(12i

(e ix − e−ix

))4=

1


)4

I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:

=116

(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix

)I

=116

(e4ix + e−4ix − 4

(e2ix + e−2ix

)+ 6)

I

=18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


Preben Alsholm






sin x =12i

(e ix − e−ix


sin4 x =(12i

(e ix − e−ix

))4=

1



=116

(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix

)

I

=116

(e4ix + e−4ix − 4

(e2ix + e−2ix

)+ 6)

I

=18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


Preben Alsholm






sin x =12i

(e ix − e−ix


sin4 x =(12i

(e ix − e−ix

))4=

1



=116

(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix

)I

=116

(e4ix + e−4ix − 4

(e2ix + e−2ix

)+ 6)

I

=18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


Preben Alsholm






sin x =12i

(e ix − e−ix


sin4 x =(12i

(e ix − e−ix

))4=

1



=116

(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix

)I

=116

(e4ix + e−4ix − 4

(e2ix + e−2ix

)+ 6)

I

=18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


Preben Alsholm




Eulers formler III

I Såsin4 x =

18cos 4x − 1

2cos 2x +

38

I Ved hjælp af denne formel beregnes integralet∫ π

0sin4 xdx

I som følger∫ π

0sin4 xdx =

∫ π

0

(18cos 4x − 1

2cos 2x +

38

)dx

=

[132sin 4x − 1

4sin 2x +

38x]π

0=3π

8


Preben Alsholm




Eulers formler III

I Såsin4 x =

18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


0sin4 xdx

I som følger∫ π

0sin4 xdx =

∫ π

0

(18cos 4x − 1

2cos 2x +

38

)dx

=

[132sin 4x − 1

4sin 2x +

38x]π

0=3π

8


Preben Alsholm




Eulers formler III

I Såsin4 x =

18cos 4x − 1

2cos 2x +

38


0sin4 xdx

I som følger∫ π

0sin4 xdx =

∫ π

0

(18cos 4x − 1

2cos 2x +

38

)dx

=

[132sin 4x − 1

4sin 2x +

38x]π

0=3π

8

Documents

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier ... · Faktorisering af polynomier I Faktorisering af polynomier II Eulers formler Eulers formler II Eulers formler III