LE VARIABILI CASUALI - unina.it Lezione 2.pdf · 23 Le variabili casuali Per le v.c. è possibile derivare la relativa funzione di ripartizione: la funzione di ripartizione di una

1LE VARIABILI CASUALI

Introduzione

Data prova, ad essa risultano associati i k eventi

A1 , A2 , ..., Ak

con le relative probabilità p1 , p2 , ..., pk.

I k eventi Ai generati da una specifica prova sono necessari ed incompatibili:

pi = P(Ai ) ≥ 0, i=1, 2 ,...,k; ∑=

k

1i

pi = 1.

2 Lezione 2

Eventi Probabilità

A1 p1 A2 p2 ... ... Ak pk 1

Definiamo una funzione X(.) che associa ad ogni evento Ai un numero reale:

Valori Probabilitàx1 p1 x2 p2 ... ... xk pk 1

Questa è la variabile casuale (nel seguito v.c.) generata da quell’esperimento sotto la fun-zione X(⋅).

3 Le variabili casuali Non è detto che la relazione fra numeri reali ed eventi debba essere necessariamente biu-nivoca, ma ad eventi diversi potrebbe corrispondere lo stesso valore:

S =

ove agli otto eventi generati dalla prova corrispondono, tramite la X(⋅), cinque valori distinti della retta reale. La relativa v.c. associabile alla precedente figura avrebbe la struttura:

4 Lezione 2

xi pi x1 p4 x2 p2+p5 x3 p1 x4 p3+p6 x5 p7+p8 1

Dagli eventi generati da una data prova si possono derivare più variabili casuali mutando

la legge di associazione X(⋅).

Esempio Consideriamo come prova il lancio di un dado regolare. I possibili eventi sono:

A1 , A2 , ..., A6 , con P(Ai ) = pi = 1/6

5 Le variabili casuali

Ai A1 A2 A3 A4 A5 A6

pi 61

61

61

61

61

61

Se scegliamo la funzione

X(Ai ) = i , i=1,2,...,6

otteniamo la v.c. ad essa associata:

xi 1 2 3 4 5 6

pi 61

61

61

61

61

61

Sia ora X(Ai ) tale che: se si verificano gli eventi A1 o A2 o A3 vinco una lira, mentre se escono A4 o A5 o A6 perdo una lira:

6 Lezione 2

⎩⎨⎧

=−

==

6,5,4i se 1

32,1,i se 1)X(Ai

e la relativa v.c. associata allo stesso esperimento avrà la struttura seguente:

xi -1 1

pi 63

63

Una v.c. X è discreta se i valori che assume sono in numero discreto finito o numerabile:

xi pi x1 p1 x2 p2 ... ... xk pk 1

7 Le variabili casuali con:

pi ≥ 0, i =1 ,2 ,...,k ; ∑=

k

i 1

pi = 1,

Esempio

Supponiamo di aver rilevato il numero xi dei componenti di 105 famiglie ottenendo la di-stribuzione di frequenza delle famiglie per numero di componenti:

xi 1 2 3 4 6 7 ni 10 20 40 20 10 5

fi 10510

10520

10540

10520

10510

1055

Estraiamo a caso una famiglia, otteniamo uno degli venti

Ai = Viene estratta una famiglia con i componenti, i=1, 2, …, 7 con

8 Lezione 2

P(A1 ) =10510 ; P(A2 ) =105

20 ; P(A3 ) =10540 ; P(A4 ) =105

20 ; P(A6 ) =10510 ; P(A7 ) =105

5

I possibili risultati dell'esperimento sono:

xi A1 A2 A3 A4 A6 A7

pi 10510

10520

10540

10520

10510

1055

Consideriamo la regola che associa a ciascuno degli eventi Ai un numero reale

X(Ai ) = i

in altri termini X(Ai ) è la funzione che associa all'evento Ai il numero dei componenti della famiglia cui l’evento si riferisce. Otteniamo la v.c. discreta

xi 1 2 3 4 6 7

pi 10510

10520

10540

10520

10510

1055


Le variabili casuali sono una generalizzazione delle distribuzioni di frequenza.

MEDIA

E(X) = ∑=

k

1i

xi pi.

VARIANZA

( )[ ] 0μμpμ)(xμXEσ 22i

2i

k

1i

22 ≥−=−=−= ∑=

; 0σ ≥

MOMENTO DI ORDINE r

i

k

1i

ri

rr px)E(X ∑

=

==μ

10 Lezione 2

INDICE DI ASIMMETRIA

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=γ3

1 σμXE i

3i

k

1i3 p)x(1

μ−σ

= ∑=

INDICE DI CURTOSI

=−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=γ 3σμXE

4

2 4i

k

1i4 μ)(x

σ1

−∑=

pi - 3

Esempio

Calcoliamo media e varianza delle due variabili casuali. Per la prima otteniamo

=+++++=μ )654321(61 =

621 3.5

=−+++++=μ−μ=σ 222232222

2 )5.3()654321(61 2.91667.

11 Le variabili casuali Per la seconda otteniamo

0)11(21

=+−=μ

[ ] 11)1(21 22

22 =+−=μ=σ

Questa seconda variabile casuale è standardizzata (ha media 0 e varianza 1):

Xσ1

σμ

σμXZ +−=

−=

12 Lezione 2

Variabili casuali doppie discrete

Oltre alle variabili casuali semplici discrete esistono quelle multiple discrete ed in partico-

lare le doppie (X, Y) descritta in una tabella a doppia entrata:

Y\X x1 x2 x3 ... xk y1 p11 p21 p31 ... pk1 p.1 y2 p12 p22 p32 ... pk2 p.2 y3 p13 p23 p33

... pk3 p.3

... ... ... ... ... ... ... yh p1h p2h p3h ... pkh p.h p1. p2. p3. ... pk. 1

con

pi j = P{X=xi ∩Y=yj } = P{X=xi , Y=yj }


pi . = ∑=

h

j 1

pi j ; p. j =∑=

k

i 1

pi j ; 1 = ∑=

k

i 1

pi . =∑=

h

j 1

p. j = ∑∑==

h

j

k

i 11

pi j

Le marginali X ed Y, le h variabili casuali condizionate (X|Y=yj ) con

pi|j = P{X=xi|Y=yj} = .j

jip

p i=1, 2, …, h

le k condizionate (Y|X=xi ) con

pj|i = P{Y=yj|X=xi } = .i

jip

p j=1, 2, …, k.

X ed Y sono indipendenti se e solo se risulta

pi j = pi . p. j per ogni i , j. VETTORE DELLE MEDIE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y

xμ

μμ

14 Lezione 2

MOMENTO DI ORDINE 1,1

xyμ = E( X Y) = ∑∑==

h

j

k

i 11

xi yj pi j

COVARIANZA

xyσ = cov(X , Y) = E[(X- xμ )(Y- yμ )] = )μ)(yμ(x yjxi11

−−∑∑==

h

j

k

i

pi j= xyμ - yx μμ

CORRELAZIONE

≤−1 xyρ = corr(X,Y) = 1σσ

σ

yx

xy ≤

misura l’intensità dei legami lineari fra X ed Y. MATRICE DI VARIANZE-COVARIANZE

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 2

yyx

xy2x

σσ

σσΣ ; 0σσσΣ 2

xy2y

2x ≥−=


MOMENTI CONDIZIONATI

yxμ = Ex(X|Y=yj ) = ∑=

k

1i

xi pi|j = ∑=

k

1i

xi .j

ijp

p, per j=1,...,h

La media della marginale è pari alla media delle medie condizionate:

Ey [Ex ( X|Y=yj ) ] = E( X).

Un risultato analogo vale per la varianza:

la varianza della marginale è pari alla media delle varianze condizionate più la va-rianza delle medie condizionate,

Var( X) = Ey [Var( X|Y=yj ) ] + Vary [E( X|Y=yj ) ].

16 Lezione 2

Le variabili casuali continue

Esistono prove che generano un’infinità continua di eventi a cui potrà essere associata

una v.c continua. In questo caso non sarà possibile attribuire a ciascuno valore una probabilità, ma sarà

necessario definire una funzione che ne descriva il meccanismo probabilistico. Esempio

L’esperimento genera una infinità continua di eventi casuali identificabili con tutti i punti

17 Le variabili casuali della circonferenza che è pari all’intervallo [0; 2π].

Si vuole derivare la v.c. data dalla funzione

X(A) = lunghezza dell’arco (0, A)

Gli eventi generati da questa prova sono necessari; incompatibili; equiprobabili. Dovreb-be essere

P(A) = possibiliequalmenteCasiN.

favorevoliCasiN.

questo rapporto non è definibile matematicamente:

Nel continuo le probabilità devono essere calcolate in modo

differente rispetto al discreto.

Calcoliamo la probabilità in un intorno di ampiezza infinitesima [xo ; xo + d x ), definiamo

una funzione che descriva il meccanismo probabilistico dell’esperimento:

18 Lezione 2

misuriamo la probabilità come l’area sottesa dalla funzione in un intorno infinitesimo del punto prescelto

P{xo ≤ X < xo + d x} = f(xo ) dx La probabilità che la v.c. X assuma un valore nell’intervallo (c ; d) è

P{c < X < d} = ∫d

c

f(x) d x.


f(x) è la funzione di densità (f.d.) della v.c. X

• f(x) ≥ 0 per ogni x reale.

• ∫∞+

∞−

f(x)d x = 1

• P{c ≤ X ≤ c} = P{X=c} = f(c) × 0 = 0

• P{c < X < d} = P{c ≤ X < d}= P{c < X ≤ d} = P{c ≤ X ≤ d}

Tutte le funzioni f(x) per cui sono valide le due condizioni:

9

f(x) ≥ 0 per ogni x reale; ∫∞+

∞−

f(x) dx = 1

sono f.d. che possono descrivere il meccanismo probabilistico di qualche v.c. continua.

20 Lezione 2

Esempio Per l’esperimento della freccia nel cerchio risulta

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧ π∈

π=altrove0

2,0xper21

f(x)


Esempio Il meccanismo probabilistico non è perfettamente equilibrato: la probabilità che la freccia si fermi nell’intervallo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

23,

2

è doppia rispetto alla probabilità che si fermi altrove:

2p + p = 1 ⇒ p =31

Si ottiene

22 Lezione 2

La probabilità che la freccia si fermi nell’intervallo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

2,0 è

61 , la probabilità che si fermi

nell’intervallo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

23,

2è

32 , la probabilità che si fermi nell’intervallo ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ππ 2,

23

è 61 :

con c1 e c2

π=

31c1 ;

π=

32c2


Per le v.c. è possibile derivare la relativa funzione di ripartizione:

la funzione di ripartizione di una qualsiasi v.c. X è data da

F(x) = P{X ≤ x}

Nel caso discreto questa funzione si costruisce nel modo già visto per le distribuzioni di frequenza. Se invece X è una v.c. continua risulta

F(x) = ∫∞−

x

f(v) dv

24 Lezione 2

F(a) = ∫∞−

a

f(x) dx = 0; F(b) = ∫∞−

b

f(x) dx = 1

F(x1 ) ≤ F(x2 ) per tutti gli x1 < x2.

La funzione di ripartizione è sempre non decrescente

f(x) = dxd

F(x).


MOMENTO DI ORDINE r

∫∞

∞−

=μ dxf(x) x rr

se esiste, allora esistono tutti quelli di ordine inferiore ad r,

MEDIA

μ = E(X) = ∫∞

∞−

x f(x) dx.

VARIANZA

2σ = E[(X-μ ) 2) = )( μ−∫

∞

∞−

x2 f(x) dx 02

2 ≥μ−μ= .

26 Lezione 2

MEDIANA

∫∞−

==eM

e 0.5)F(Mf(x)dx

ASIMMETRIA

∫∫∞

∞−

∞

∞−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=γ dxf(x)zdxf(x)σμx 3

3

1 =momento terzo della standardizzata.

CURTOSI

3dxf(x)σμx 4

2 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=γ ∫∞

∞−


Esempio In un esempio visto è

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π≤≤

ππ

π≤<ππ

<≤π

=

altrove02

3x2

per32

2x2

3pere2

x0per31

)x(f

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

π≤

π<≤π

+π

π<≤

π−

π

π<≤

π

<

=

21

22

331

3

23

261

32

20

3

00

)(

xper

xperx

xperx

xperxxper

xF

28 Lezione 2

risulta:

∫∞

∞−

=μ f(x) dx = π∫

π

3x

2/

0

dx + +π∫

π

π

dx3

x22/3

2/

=π∫

π

π

dx3x

2

2/3

= 24π

+ 24

18π−

242π

+ 24

16π−

249π

= π


5.061

3M2 e =−π

⇒ 4Me - π = 3π ⇒ Me = π

Questa variabile casuale è simmetrica.

30 Lezione 2

VARIABILI CASUALI DOPPIE CONTINUE

Si ricorrere ad una f.d. doppia f(x ,y) che ne descriva il meccanismo probabilistico.

• f(x ,y) ≥ 0 per ogni (x , y)

• ∫∫∞

∞−

∞

∞−

f(x ,y ) dx dy =1

Fra f.d. e probabilità esiste la relazione

P{x ≤ X < x+dx , y ≤ Y < y+dy} = f(x ,y) dx dy

In tal modo la probabilità non è altro che il volume sottostante.


• La f.d. di X è fx (x) = ∫∞

∞−

f(x , y) dy ;

• La f.d. di Y è fy(y) = ∫∞

∞−

f(x ,y) dx ;

32 Lezione 2

• La f.d. di ( X| Y=y) è

fx|y ( x ) = (y)fy)f(x,

y; fy ( y ) > 0

• La f.d. di ( Y| X=x) è

fy|x ( y ) = (x)fy)f(x,

x ; fx ( x ) > 0

X ed Y sono indipendenti se e solo

f(x , y) = fx (x) fy ( y) per ogni (x ,y ) del piano reale

MOMENTO MISTO

xyμ = E(X Y) = ∫∫∞

∞−

∞

∞−

yx f(x , y) dx dy .


COVARIANZA

xyσ = E[(X- xμ )(Y- yμ )] = )μ)(yμ(x yx −−∫∫∞

∞−

∞

∞−

f(x,y) dx dy =

= xyμ - xμ yμ

che permette di derivare la correlazione.

)μ)(yμ(x yx −−∫∫∞

∞−

∞

∞−

fx(x) fy( y) dx dy =

)μx( x−∫∞

∞−

fx ( x) dx )μy( y−∫∞

∞−

fy ( y) dy = 0

34 Lezione 2

MOMENTI CONDIZIONATI

yxμ = Ex (X|Y=y) = ∫∞

∞−

x fx|y ( x) dx

e valgono ancora i risultati già illustrati che legano la media e la varianza delle marginali con quelle delle condizionate

E( X) = Ey [ Ex (X|Y=yj )]

Var( X) = Ey [Var( X|Y=yj )] + Vary [ E(X|Y=yj )].

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