Embed Size (px)
Citation preview
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
LE MODELE KRANZ : ENJEUX CONCEPTUELS ET CONSIDERATIONS PRATIQUES
THE KRANZ MODEL: CONCEPTUAL ISSUES AND PRACTICAL CONSIDERATIONS
Fahd Cuira, Bruno SIMON
Terrasol, Paris, France
RÉSUMÉ — La norme d’application de l’Eurocode 7 pour les écrans de soutènement
(NF P 94 282) sortie en 2009 impose explicitement le recours à un modèle de type
Kranz pour la justification de la stabilité du massif d’ancrage d’un tirant scellé ou d’un
tirant ancré sur un contre-rideau. L’article proposé apporte un éclairage sur les
enjeux conceptuels liés à cette justification et ce à travers des exemples d’application
pour lesquels des comparaisons avec des calculs éléments finis ont été menées. Les
résultats obtenus illustrent notamment l’incidence sur les déplacements dans les
situations où la stabilité du massif d’ancrage n’est pas justifiée avec une sécurité
suffisante au sens du modèle Kranz. Des considérations pratiques sur le choix des
paramètres et la mise en œuvre du modèle sont également présentées.
ABSTRACT — The French standard NF P 94-282 which applies Eurocode 7 to
design of embedded walls imposes the Kranz model for checking the stability of the
anchoring block and ensuring that the anchor forces can be safely transferred to the
ground without any interaction with the retaining wall. This paper aims at highlighting
conceptual issues related to this model, through a comparative study of practical
examples using finite elements. In particular, the obtained results reveal the impact
on displacements in the case when the stability of the anchoring block is fulfilled
according to Kranz model. Practical considerations focusing on parameter choice and
model implantation are also presented.
1. Introduction
La publication de la norme Ecran (NF P 94 282) en 2009 a été l'occasion de rappeler
l'importance de la vérification de la stabilité du massif d'ancrage (Kranz, 1953), une
vérification souvent ignorée dans les études des écrans ancrés. Cela concerne les
ancrages par tirants actifs ou passifs, qu'ils soient scellés ou connectés à un contre
rideau. Cette vérification, parfois confondue à tort avec celle relative à la stabilité
générale, vise à démontrer que la localisation des ancrages est acceptable et ne
remet pas en cause les efforts considérés pour justifier la résistance et la stabilité de
l'écran de soutènement. En d'autres termes, il s'agit de s'assurer que les tirants sont
ancrés suffisamment loin de l'écran pour éviter toute interaction avec celui-ci. En
effet, si des modèles complets tels que les éléments finis ou les différences finies
permettent dans certaines situations critiques d'alerter l'ingénieur sur l'inefficacité des
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
ancrages du fait de leur proximité de l'écran, les modèles aux coefficients de réaction
et aux équilibres limites (MEL), pratiqués usuellement pour le dimensionnement des
soutènements, supposent implicitement qu'il n'y a aucun report des efforts d'ancrage
sur l'écran (ou que les points où sont reportés les efforts d'ancrage sont fixes). Un
exemple basique est celui d'un écran "isostatique" simplement buté en pied : la mise
en équation de l'équilibre de l'écran impose directement l'effort à transmettre au
tirant. En réalité, la reprise de cet effort par le tirant et donc l'obtention d'un équilibre
stable ne pourra être garantie que si la stabilité du massif d'ancrage est justifiée avec
une sécurité suffisante.
2. Stabilité du massif d'ancrage : modèle Kranz
2.1. Définition du massif d'ancrage
Par convention, on désigne par massif d'ancrage le massif de sol compris entre la
face arrière de l'écran et le plan vertical passant par le point C. La base du massif est
une surface de rupture usuellement supposée plane. Le point D correspond au point
d'effort tranchant nul de l'écran et marque la base de la partie "active" de celui-ci. Le
point C est le point d'ancrage "effectif". Pour un tirant scellé, ce point est confondu
usuellement avec le milieu du scellement. Pour un tirant ancré sur un contre rideau,
le point C est pris à la base de la partie active du contre rideau (pied du contre rideau
quand celui-ci est court).
AB
D
C
écran
Massif d’ancrage
scellement
Tirant (partie libre)
Figure 1. Définition du massif d'ancrage
2.2. Mise en œuvre du modèle
La mise en œuvre du modèle Kranz consiste à examiner l'équilibre limite du massif
d'ancrage ABCD: l'effort qui provoque la déstabilisation de ce massif doit être
supérieur, avec une sécurité suffisante, à celui effectivement repris par le tirant. Le
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
schéma ci-dessous récapitule le bilan des efforts s'appliquant sur le massif à
l'équilibre limite dans le cas d'une surface piézométrique horizontale à l'arrière de
l'écran. Ce bilan fait intervenir le poids déjaugé du massif W, la réaction de l'écran P1
(qui n'est autre que l'opposée de la pression des terres à l'arrière de l'écran), la
poussée amont sur le massif P2 (à l'état limite), la réaction mobilisable à l'état limite
le long de la surface de rupture qui se décompose elle-même en un terme de
cohésion Rc et un terme de frottement Rf (celui-ci est incliné de φ par rapport à la
normale à la surface de rupture, φ étant l'angle de frottement du sol), et enfin l'effort
d'ancrage déstabilisant Tu.
AB
C
D
α
β
P1
Tu
θ1
P2θ2 W
Rf
Rc
φ
Fe
• P1 : réaction de l’écran
• P2 : poussée amont
• Fe : charges extérieures
• W : poids déjaugé
• Tu : effort déstabilisant
• Rf : résistance frottement
• Rc : résistance cohésion
• φ : angle de frottement
Figure 2. Modèle Kranz : bilan des efforts sur le massif d'ancrage
La mise en équation de cet équilibre limite conduit à un système à deux équations
scalaires et deux inconnues qui sont Rf et Tu. Graphiquement, cela consiste à
rechercher les intensités de Rf et Tu permettant de "fermer" le polygone des forces
s'exerçant sur le massif, comme le schématise la figure suivante.
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
W
Fe
P2
P1
Rc
Rf
Tu
Figure 3. Modèle Kranz : polygone des forces à l'équilibre limite du massif d'ancrage
Notons que le choix d'une surface de rupture plane n'est qu'une simplification. Une
approche plus rigoureuse consiste à explorer des surfaces de rupture en arcs de
spirale (à concavité vers le bas) par recours à la méthode cinématique du calcul à la
rupture. Celle-ci conduit forcément à des efforts déstabilisants inférieurs ou égaux à
ceux obtenus en admettant une surface de rupture plane !
2.3. Traitement d'un multicouche
Le schéma d'équilibre présenté précédemment suppose implicitement un angle de
frottement unique φ le long de la surface de rupture [CD]. Dans le cas général où la
surface de rupture traverse plusieurs couches de sol d'angles de frottement
différents, la résolution de l'équilibre limite du massif nécessite de discrétiser le
massif d'ancrage en autant de blocs que de couches traversées, avec un angle de
frottement par bloc. On établit ensuite successivement l'équilibre limite de chaque
bloc en partant de celui en contact direct avec l'écran. Il est d'usage d'adopter
l'hypothèse de Bishop qui consiste à supposer que les réactions "inter-blocs" sont
horizontales. La figure suivante récapitule les schémas d'équilibre limites ainsi
obtenus. Il est à noter que du fait des coupures successives, l'effort déstabilisant est
évalué uniquement dans l'équilibre du dernier bloc. En réalité, comme la ligne
d'action est unique, l'affectation de cet effort à l'un quelconque des blocs s'avère
sans incidence.
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
Rf(1)
Rc(1)
φ1
H2(1) W(1)
Fe(1)
C(1)
D
P1V
P1H
Bloc« k »
1 < k < n
Rf(k)
Rc(k)
φk
H1(k)H2
(k) W(k)
Fe(k)
C(k)
C(k-1)
Bloc « n »
Rf(n)
Rc(n)
φn
W(n)
Fe(n)
C
C(n-1)
H1(n)
P2V
P2H
Tu
Bloc « 1 »
Figure 4. Décomposition du massif d'ancrage dans le cas d'un multicouche
2.4. Justification de la stabilité du massif d'ancrage
A ce stade, il est utile de rappeler que le dimensionnement d'un écran de
soutènement par la méthode des coefficients de réaction assimile usuellement un
tirant scellé à une barre élastique de longueur égale à la longueur utile du tirant
(longueur libre + moitié de la longueur scellée). Cela suppose implicitement que le
déplacement du point d'ancrage effectif (milieu du scellement) est nul ou négligeable.
La validité de cette hypothèse exige un niveau de sécurité suffisant entre l'effort du
tirant et l'effort déstabilisant du massif d'ancrage. Le modèle Kranz permet d'évaluer
cet effort déstabilisant. Le rapport entre celui-ci et l'effort dans le tirant doit être
justifié avec sécurité globale d'au moins F = 1,50 garantissant ainsi un faible niveau
de déformations. En dessous de cette valeur, le déplacement du point d'ancrage
effectif ne peut plus être négligé. L'obtention d'une sécurité inférieure à 1,00 signifie
la rupture du massif d'ancrage.
3. Etudes de cas
On se propose à présent d'illustrer les enjeux conceptuels liés à la stabilité du massif
d'ancrage à travers deux exemples simples. Pour chacun d'eux, la longueur libre du
tirant a été choisie volontairement insuffisante au sens du modèle Kranz, mais
néanmoins telle que la zone scellée soit située bien en dehors du coin de poussée
de Coulomb (une règle substituée parfois à tort au modèle Kranz).
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
3.1. Description des cas étudiés
Le cas étudié est celui d'un écran ancré "isostatique" (figure suivante) : un seul
niveau d'ancrage par tirants scellés et butée simple en pied. Le sol de caractère
sableux est caractérisé par un angle de frottement φ = 32° (valeur caractéristique) et
dépourvu de cohésion. La hauteur de soutènement est de 8,0 m. Les inclinaisons
limites des efforts de poussée/butée sont prises égales à 2/3 φ (en valeur absolue).
Z = 0.00
Z = -8.00
Z = -2.00
Tirant
Z = -3.00
Z = -13.00
ϕsol = 32° et γsol = 20 kN/m3
|δa,p| = 2/3 x ϕsol
Kh,sol = 40 MN/m3
EIecran = 400 MN.m²/mlKtirant = 10 MN/m/ml
20°
Z = 0.00
Z = -8.00
Z = -2.00
Tirant
Z = -10.00ϕsol = 32° et γsol = 20 kN/m3
|δa,p| = 2/3 x ϕsol
Kh,sol = 40 MN/m3
EIecran = 100 MN.m²/mlKtirant = 6,5 MN/m/ml
20°
Cas 1 : sans nappe Cas 2 : avec nappe
Figure 5. Décomposition du massif d'ancrage dans le cas d'un multicouche
Deux situations sont étudiées : cas 1 "sans nappe", cas 2 avec une nappe
initialement à -3,00 m de profondeur et rabattue au niveau du fond de fouille en
phase d'excavation (-8,00 m). Dans chaque cas, la fiche de l'écran a été pré-
dimensionnée de manière à assurer une sécurité de 1,50 entre la butée disponible et
la butée mobilisée (ouvrage provisoire). On suppose que dans le cas 2, l'écran est
posé au toit d'un substratum imperméable : tout écoulement est donc négligé.
L'équilibre local de l'écran peut être abordé par un modèle aux coefficients de
réaction. Les résultats obtenus sont récapitulés dans le tableau ci-dessous (valeurs
caractéristiques): on relève en particulier une flèche maximale de l'ordre de 2 cm
dans les deux situations.
Tableau 1. Résultats de l'équilibre local
Flèche maximale Moment maximal Effort repris par le tirant
Cas 1 2,1 cm 176 kNm/ml 97 kN/ml
Cas 2 2,2 cm 440 kNm/ml 175 kN/ml
3.2. Analyse de la stabilité du massif d'ancrage
Le tableau suivant récapitule les données d'entrée nécessaires à la mise en œuvre
du modèle Kranz. Ces données sont obtenues par exploitation des résultats de
l'équilibre local de l'écran présenté précédemment (les notations et conventions
utilisées sont celles de la figure 2). En particulier, notons que le point d'effort
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
tranchant nul (point D) est obtenu à z = -10,0 m pour le cas 1 (pied de l'écran) et z = -
11,7 m pour le cas 2 (1,3 m au dessus du pied de l'écran). L'inclinaison de la réaction
de l'écran a été prise égale à θ1 = 2/3φ (état limite de poussée), celle de la poussée
amont est prise nulle θ2 = 0.
Tableau 2. Mise en œuvre du modèle Kranz : données et résultats
Longueur utile Lu
(m)
Point d'effort tranchant nul (cote en m)
Réaction de l'écran P1
(kN/ml)
Poussée amont P2 (kN/ml)
Poids du massif W (kN/ml)
Effort déstabilisant Tu
(kN/ml)
Cas 1 6,0 -10,0 280 43 792 45
Cas 2 8,0 -11,7 275 55 843 70
Dans les deux cas étudiés, l'effort déstabilisant obtenu est bien inférieur à l'effort
repris par le tirant. Ce qui est synonyme d'instabilité du massif d'ancrage ! Il est
intéressant de compléter cette analyse par l'examen de la stabilité générale de
l'ouvrage de soutènement. Celle-ci peut être menée à l'aide d'un modèle classique
de stabilité des pentes basé sur la méthode de Bishop par exemple (surfaces de
rupture circulaires), dont le résultat pour le cas 1 est présenté par la figure 6 : le
calcul est mené sans pondérations, le cercle de glissement critique présente un
coefficient de sécurité de Fmin = 1,58 ! La même analyse menée pour le cas 2
conduit à un coefficient de sécurité Fmin = 1,38. Les deux valeurs permettent de
justifier la stabilité générale s'agissant d'un ouvrage provisoire. Notons que la
désactivation du tirant dans ce modèle est sans incidence sur le résultat.
Figure 6. Cas 1 - examen de la stabilité générale par la méthode Bishop
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
Ce résultat met en évidence la nécessité de compléter systématiquement l'analyse
de la stabilité générale par une analyse de type Kranz afin de valider le choix de la
longueur libre du tirant : l'analyse de la stabilité générale s'avère en effet incapable
de révéler ici le risque d'instabilité du massif d'ancrage. En réalité, cela s'explique par
un choix non pertinent du mécanisme de rupture dans la présente situation (surface
de rupture circulaire unique). En toute rigueur, le mécanisme de rupture potentielle
est un mécanisme plus complexe, composé de trois mécanismes élémentaires
(figure ci-dessous) : un mécanisme de rupture par poussée à l'arrière du massif
d'ancrage, un mécanisme de rupture par glissement entre le point d'ancrage effectif
et la base de la partie active de l'écran, puis un mécanisme de rupture par butée côté
fouille.
Figure 7. Schéma de rupture potentiel avec défaut de stabilité du massif d'ancrage
La construction d'un tel mécanisme peut se faire en trois étapes successives à l'aide
de la méthode cinématique du calcul à la rupture comme le schématise la figure
suivante. L'étape 1 consiste à calibrer un diagramme de poussée à l'arrière du massif
d'ancrage (exploration d'arcs de spirales à concavité vers le haut débouchant au
point C). L'étape 2 permet de calibrer le diagramme de butée devant la partie fichée
de l'écran (exploration d'arcs de spirales à concavité vers le haut émergeant du point
D). Enfin, l'étape 3 consiste à isoler le massif d'ancrage soumis aux diagrammes de
poussée / butée calibrés précédemment et à examiner son équilibre limite par
exploration d'arcs de spirales à concavité vers le bas entre les points C et D.
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
Etape 1 (poussée)
Etape 2 (butée)
Etape 3(massif d’ancrage)
F = 0,88
C
D
Figure 8. Construction du mécanisme de rupture potentiel par un modèle basé sur la
méthode cinématique du calcul à la rupture (cas 1)
La mise en œuvre de ce modèle pour le cas 1 par exemple conduit à un mécanisme
de rupture caractérisé par un coefficient de sécurité global inférieur à 1,00 : la
stabilité du massif d'ancrage n'est pas assurée, ce qui rejoint le résultat du modèle
simplifié de Kranz. Il peut être constaté dans ce cas particulier que le segment [CD],
adopté de manière conventionnelle pour la stabilité du massif d'ancrage, ne conduit
pas au mécanisme le plus défavorable à l'inverse d'un arc de spirale à concavité vers
le bas.
3.3. Modélisation éléments finis du comportement d'ensemble
En complément de l'analyse précédente, nous proposons de simuler le
comportement d'ensemble de l'ouvrage à l'aide d'un modèle aux éléments finis. Dans
ce modèle, la partie libre du tirant est modélisée par un élément de type "node to
node" n'interagissant pas avec le sol. La partie scellée est modélisée par un élément
de volume de caractéristiques équivalentes. Le sol est modélisé à l'aide d'une loi
hyperbolique de type "Hardening Soil Model" caractérisée par un module sécant de
référence en 1er chargement égal à 60 MPa ainsi qu'un rapport de 3 entre le module
de rechargement et celui en 1er chargement. La mise en œuvre du modèle
manifeste, pour les deux situations étudiées (cas avec et sans nappe), l'amorce d'un
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
champ de déformations irréversibles englobant tout le massif d'ancrage comme
l'illustre la figure suivante. Le déplacement maximal atteint une dizaine de
centimètres. Le comportement observé s'apparente à celui d'un écran en console
avec une rotation globale autour de la base de l'écran. Ces observations corroborent
parfaitement les indications du modèle Kranz sur le caractère instable du massif
d'ancrage.
dmax > 10 cmdmax > 10 cm
Cas 1 (sans nappe) Cas 2 (avec nappe)
Figure 9. Champs de déplacements obtenus par modélisation éléments finis
3.4. Redimensionnement de la longueur des tirants
Afin de garantir la stabilité du massif d'ancrage, il convient en toute rigueur de viser
une sécurité minimale de 1,50 entre l'effort déstabilisant et l'effort repris par le tirant.
Il faut pour cela une longueur utile de 8,0 m pour le cas 1 (contre 6,0 initialement) et
de 11,5 m pour le cas 2 (contre 8,0 initialement). Avec ces valeurs, le modèle Kranz
conduit aux résultats suivants.
Tableau 3. Longueur utile permettant d'atteindre une sécurité suffisante
Longueur utile Lu
(m)
Réaction de l'écran P1
(kN/ml)
Poussée amont P2 (kN/ml)
Poids du massif W (kN/ml)
Effort déstabilisant Tu
(kN/ml)
Rapport entre Tu et effort
repris le tirant
Cas 1 8,0 280 58 1110 160 F = 1,65
Cas 2 11,5 275 80 1280 270 F = 1,54
La reconduite des modèles éléments finis précédents avec les longueurs ci-dessus
montre un comportement cohérent avec celui obtenu par un calcul aux coefficients
de réaction avec des déplacements de l'ordre de 3 à 4 cm.
4. Conclusion
Après une présentation des considérations pratiques et théoriques liées à la mise en
œuvre du modèle Kranz, l'analyse présentée a permis d'illustrer les enjeux de cette
vérification notamment en termes de déplacements et de comportement d'ensemble.
Pour les écrans ancrés, cette vérification a pour vocation à garantir la validité des
Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2014 – Beauvais 8-10 juillet 2014
hypothèses implicitement introduites dans les méthodes de dimensionnement
simplifiées comme les équilibres limites ou les coefficients de réaction. Quand la
stabilité du massif d'ancrage n'est pas justifiée, cela a un impact direct sur l'amplitude
des déplacements que seuls des modèles complets tels les éléments finis ou les
différences finies permettent d'appréhender. La vérification de la stabilité générale
par des mécanismes classiques de rupture circulaire s'avère souvent incapable de
révéler le risque d'instabilité du massif d'ancrage. Enfin, il est important de noter que
cette vérification va bien au-delà de celle consistant à vérifier simplement que la zone
scellée est située à l'extérieur du coin de poussée de Coulomb.
Références bibliographiques
Kranz E., 1953, Über die Verankerung von Spundwänden, Wilhem Ernst und Sohn.
Norme Ecran NF P 94 282, ANFOR 2009.
Recommandations T.A. 95, Eyrolles 1995, 150 pages.
Recommendations EAU 2004, Ernest & Shon 2006, 636 pages.
