Le correnti permanenti a superficie libera a portata variabilepeople.unica.it/mgbadas/files/2012/03/Qvariabile.pdf · Correnti permanenti con portata variabile lungo il percorso”

Le correnti permanenti Le correnti permanenti a superficie liberaa superficie liberaa portata variabilea portata variabile

Parte del materiale di questa presentazione è tratto da: -Presentazione PPT di M. Pilotti e A. Maranzoni -Università di Brescia-G. Noseda. “Correnti permanenti con portata variabile lungo il percorso”.

• Riveste un certo interesse pratico lo studio delle caratteristiche delle correnti stazionarie caratterizzate da afflussi o deflussi laterali che determinano l’aumento o la diminuzione della portata lungo il percorso.

• Infatti diversi sono i problemi idraulici che si pongono in talecontesto, sia in termini di verifica che di dimensionamento di opere in grado di raccogliere o erogare determinati quantitativi di acqua.

• I processi di erogazione e immissione differiscono sostanzialmente dal punto di vista fenomenologico: i processi di efflusso avvengono senza apprezzabili dissipazioni energetiche aggiuntive rispetto a quelle connesse alla corrente principale; i processi di immissione, invece, producono agitazione nella corrente e causano la dissipazione di quasi tutta l’energia cinetica immessa: in tal caso, l’acqua che affluisce acquista quantità di moto a spese della corrente principale.

• Una vasta campagna sperimentale ha fornito dati che confermano largamente i risultati degli studi teorici.

INTRODUZIONEINTRODUZIONE

22

33

•• Derivazione delle equazioni differenziali del moto e Derivazione delle equazioni differenziali del moto e dell’equazione differenziale del profilo della dell’equazione differenziale del profilo della superficie libera per una corrente permanente con superficie libera per una corrente permanente con portata variabile lungo il percorso.portata variabile lungo il percorso.

•• Discussione dei possibili andamenti dei profili del Discussione dei possibili andamenti dei profili del pelo libero per canali a forte pendenza o a debole pelo libero per canali a forte pendenza o a debole pendenza, sia in caso di portata crescente che in pendenza, sia in caso di portata crescente che in caso di portata decrescente nella direzione del caso di portata decrescente nella direzione del moto.moto.

•• Presentazione di alcuni approcci numerici utili al Presentazione di alcuni approcci numerici utili al calcolo dei profili longitudinali del pelo libero.calcolo dei profili longitudinali del pelo libero.

Piano di lavoro:

SOMMARIOSOMMARIO

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

44

•• G.G. NosedaNoseda.. “Correnti permanenti con portata variabile lungo il percorso”. Istituto di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Politecnico di Milano, Milano. (Riferimento utilissimo ed esauriente)

•• G. De Marchi.G. De Marchi. “Canali con portata progressivamente crescente (grondaie e collettori di sfioratori)”. L’Energia Elettrica, Vol. 18 (1941). (Contributo molto interessante e ricco di spunti)

•• E. Marchi & A.E. Marchi & A. RubattaRubatta.. “Meccanica dei Fluidi. Principi e applicazioni idrauliche”. UTET, Torino (1981). Cap. 18. (Un cenno sintetico al problema)

•• G. De Marchi, G.G. De Marchi, G. NosedaNoseda & D. Citrini.& D. Citrini. “Nozioni di Idraulica con particolare riguardo ai problemi delle bonifiche e delle irrigazioni”.Edagricole, Milano (1977). Cap. 3B. (Riferimento con approccio didattico e sviluppo sintetico)

IPOTESI DI BASEIPOTESI DI BASE

55

Assunzionidi base:

• Corrente monodimensionale; pertanto le velocità si mantengono sensibilmente parallele alla direzione del moto e uniformemente distribuite sulla sezione trasversale; inoltre l’intersezione tra una sezione trasversale e la superficie libera risulta un segmento orizzontale.

• Canale di forma prismatica.• La portata varia gradualmente lungo il canale: non sono presi in

considerazione apporti o prelievi concentrati di portata.

IPOTESI DI BASEIPOTESI DI BASE

66

Assunzioni di base:• Variazioni graduali di sezione e di velocità nello spazio (se non in

prossimità di eventuali risalti idraulici); pertanto le curvature delle linee di corrente risultano piccole e la corrente sostanzialmente cilindrica; le accelerazioni verticali sono conseguentemente trascurabili e la distribuzione della pressione sulla sezione trasversale è idrostatica.

• Liquido omogeneo incomprimibile; pertanto la densità è uniforme e costante.

• Pendenza locale del fondo contenuta; pertanto le sezioni trasversali si dispongono con buona approssimazione verticalmente.

• Effetti dissipativi della resistenza computati mediante leggi diresistenza valide in regime di moto uniforme assolutamente turbolento; i coefficienti di ragguaglio α e β sono assunti unitari.

• Condizioni di stazionarietà: le grandezze idrauliche non dipendono dal tempo.

• In caso di afflussi laterali, si prescinde dal forte emulsionamentoe dalle rilevanti oscillazioni del pelo libero della corrente.

77

APPLICAZIONIAPPLICAZIONI

77

Esempi di opere idrauliche interessate da correnti permanenti a portata variabile

Canali collettori delle acque sfiorate

Canali di derivazione delle centrali idroelettriche ad acqua fluente dotati di sfioratore laterale

LP

HLP

HLP

H

Grondaie per la raccolta delle acque piovane

88

PROFONDITPROFONDITÀÀTOTALETOTALE

88

Concetti di profondità totale e linea delle profondità totali per una corrente lineare

Essi stanno al teorema del bilancio della quantità di moto come i concetti di carico totale e di linea dei carichi totali stanno all’equazione di bilancio dell’energia meccanica.

Come noto, per sezione di forma generica la spinta totale si calcola:

)()()(/)()(

)()()()(

2

2

yQ

gyyySy

yQyyyS

G

G

Ω+Ω==Σ

Ω+Ω=

βζγ

βρζγdove ςG indica l’affondamento del baricentro dell’area bagnata rispetto al pelo libero

Per sezione di forma rettangolare di larghezza b:

ybQ

gybySy

ybQybyS

22

22

2/)()(

2)(

β+=γ=Σ

βρ+γ=

La spinta totale ammette valore minimo, per assegnata portata, in corrispondenza dello stato critico. Ugualmente, la massima portata compatibile con una nota spinta totale è quella critica.

99

PROFONDITÀPROFONDITÀTOTALETOTALE

Si definisce profondità totale H la profondità della corrente lineare tale che la propria spinta idrostatica uguagli quella totale.

99

Per sezione di forma rettangolare di larghezza b:

22

222 HbybQyb γ=βρ+γ

La linea delle profondità totali è il luogo dei punti che in ogni sezione sovrastano il fondo di una quota pari alla profondità totale.

)()()(

)()()(2

HHy

QyyyS GG Ω=Ω

+Ω= ζγβρζγ

EQUAZIONIEQUAZIONIDEL MOTODEL MOTO

1010

Conservazione della massa

Per un tronco infinitesimo di corrente lineare di liquido Per un tronco infinitesimo di corrente lineare di liquido incomprimibileincomprimibile, in presenza di afflussi o deflussi laterali (indicandoqe e qu le portate volumetriche per unità di lunghezza rispettivamente entranti ed uscenti lateralmente), si ottiene:

( ) 0=⋅+∂∂

∫∫ ScVcdSnudV

tρρ Formulazione euleriana della

equazione cardinale di continuità

( )dsqqdsxQQQds

t ue ρρρρρρ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−=∂Ω∂ )()(

da cui:da cui: ue qqsQ

t−=

∂∂

+∂Ω∂

Condizioni Condizioni stazionariestazionarie

ue qqdsdQ

−=Equazione differenziale di continuità


1111

Bilancio della quantità di moto

Componente nella direzione del moto della risultante delle forze di massa (forza di gravità) agenti sul volume di controllo

dsidsgG fs Ω=Ω= γθρ sen

Componente nella direzione del moto della risultante delle forze tangenziali resistenti di superficie che si sviluppano sul contorno laterale del volume di controllo

dsjdsBsL

Ω−=−=Π γτ 0B è la lunghezza del contorno bagnato,t0 la tensione tangenziale media alla parete.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ω∂

+Ω−Ω=+ dss

ΠΠ GGGss

)(21

ζγζγζγComponente nella direzione del moto della risultante delle forze statiche di superficie agenti sulle sezioni trasversali di chiusura del volume di controllo

0=sI

ςG è l’affondamento del baricentro G dell’area bagnata

per l’ipotesi di stazionarietà del moto

ΠGMI +=+

Proiettando nella direzione del moto,moltiplico scalarmente per is ssLssss GΠMMMI +=+++ 21


1212

Bilancio della quantità di moto

UdsqdsVqdssQUQUQUM ues ρρρρρ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= *)(

Componente nella direzione del moto della risultante del flusso di quantità di moto entrante nel volume di controllo

V* indica la componente della velocità dell’afflusso laterale nella direzione del flusso principale.La componente nella direzione della corrente principale della velocità effluente si assume pari a quella media U nel canale.In definitiva:

da cui:

)()()()( * UqVqdsdssQUds

sjids ue

Gf −−

∂∂

=∂Ω∂

−−Ω ρρζγγ

UqVqQss

gjig ueG

f +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω∂

∂+

∂Ω∂

=−Ω *2)()( ζ

UqVqjiggQdsd

uefG −+−Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+

Ω*

2

)(ζEquazione differenziale del moto


1313

Bilancio della quantità di motoScrittura alternativa dell’equazione del moto:

UqVqjidsdS

uef ρργ −+−Ω= *)(

Trascurando la differenza if – j (di entità modesta se la pendenza dell’alveo è piccola ed esigua la resistenza offerta dal fondo):

UqVqdsdS

ue ρρ −= *

S=S(y(s),Q(s)) ed energia specifica riferita al fondo E=E(y(s),Q(s)):

dsdQ

QS

dsdy

yS

dsdS

∂∂

+∂∂

=

QE

gQQ

QS

yE

gbQ

yQ

yyS G

∂∂

Ω=Ω

Ω=Ω

=∂∂

∂∂

Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω=∂Ω∂

Ω−

∂Ω∂

=∂∂

γγρ

γγρζγ

222

1)(

2

3

2

2

2

Dove:


1414

Sostituendo, l’equazione del moto diventa:

UqVqjidsdQ

QE

dsdy

yE

uef ρργγγ −+−Ω=∂∂

Ω+∂∂

Ω *)(2

e per l’equazione di continuità in cond. stazionarie si ottiene:

Note le caratteristiche geometriche del canale, assegnate le leggi di immissione ed erogazione laterale della portata e le opportune condizioni al contorno, il profilo profilo può essere determinato per punti mediante integrazione alle differenze finite.

UqVqjiqqQE

dsdy

yE

uefue ρργγγ −+−Ω=−∂∂

Ω+∂∂

Ω *)()(2

Pertanto:yE

qgU

yEq

gV

yEji

yEQEqq

dsdy uef

ue ∂∂Ω−

∂∂Ω+

∂∂

−+

∂∂∂∂

−−=*

)(2

yEji

yEQEqq

yEq

gV

dsdy f

uee

∂∂

−+

∂∂∂∂

−−∂∂Ω

= )2(* Equazione differenziale del profilo

del pelo libero di corrente permanente gradualmente variata con afflussi e deflussi laterali

PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE

1515

Canali con portata crescente nella direzione del moto(graduale immissione di portata ortogonalmente al canale)

0e0 * == VquEquazione di continuitàeqds

dQ=

Equazione dinamica)( jidsdS

f −Ω=γ

Se la differenza if – j è circa nulla, l’equazione del moto diviene:

Equazione del profilo del pelo libero

0=dsdS

cioè il processo di moto si sviluppa mantenendosi inalterata la spinta totale per l’intero tratto interessato da immissione laterale; pertanto la linea delle profondità totali si mantiene parallela al fondo.

2

2

Fr1

2

2−

Ω−−

=∂∂

−+

∂∂∂∂

−= dsdQ

gQji

yEji

yEQEq

dsdy f

fe


1616

Assegnata la spinta totale a cui avviene il processo di immissione laterale:

)()()()( ygyySyQ G Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−= ζ

γ- La massima portata Qmax compatibile con l’assegnata spinta totale si ottiene in corrispondenza dello stato critico per la stessa portata.

- Ogni portata Q inferiore alla massima puòdefluire in due distinti stati di moto (uno di corrente veloce, l’altro di corrente lenta) caratterizzati da profondità idriche coniugate.

- La portata si annulla per y = 0 e y pari alla profondità totale H (H è la minima profonditàtotale con la quale può defluire la portataQmax).

- Il diagramma della portata a spinta totale fissata presenta tangenti orizzontali per y = 0e y = H; il ramo ad y > yc appartiene alle correnti lente, viceversa quello con y < yc alle correnti veloci.


1717

Poiché a causa dell’immissione laterale la portata aumenta nella direzione del moto:

- se la corrente è lenta, la profonditàidrica diminuisce e la corrente èaccelerata;

- se la corrente è veloce, la profonditàidrica aumenta e la corrente èritardata.

Pertanto la condizione critica non può che verificarsi a valle del tratto di canale interessato dall’immissione laterale: la corrente è perciò interamente lenta o veloce.

)()()()( ygyySyQ G Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−= ζ

γ


1818

Debole pendenza

Tracciamento qualitativo del profilo della superficie libera: alcuni esempi

Forte pendenza


1919

Tracciamento quantitativo del profilo della superficie libera(nell’ipotesi che la spinta totale resti inalterata lungo il tratto

- Si calcola la spinta totale caratteristica del processo di immissione in corrispondenza della sezione di controllo (quella a monte del tratto alimentato se la corrente ivi è veloce, viceversa se è lenta).

- Nota la geometria del canale prismatico, prefissata la spinta totale caratteristica del processo, si può tracciare la curva Q = Q(y) a S fissata.

- Assunta nota la legge di immissione (per esempio una portata per unità di lunghezza in ingresso uniforme), si ricava la distribuzione di portata lungo il canale:

alimentato)

0)( QsqsQ e +=- Si stima il tirante della corrente a progressiva fissata risolvendo l’equazione:

)()()( ygyySQ G Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−= ζ

γIn generale essa è non lineare in y e richiede, ai fini dell’individuazione degli zeri, il ricorso a tecniche numeriche iterative.


2020

Tracciamento quantitativo del profilo della superficie libera(nell’ipotesi che la spinta totale resti inalterata lungo il tratto alimentato e l’alimentazione sia uniforme)

I dati sperimentali si mostrano in buon accordo con i risultati di questa interpretazione matematica (soprattutto con riferimento ai profili di corrente lenta, meno in riferimento a quelli di corrente veloce, in relazione ai quali non puòessere considerato valido a rigore l’assunto che la differenza if – j sia sostanzialmente nulla).

Nel caso in cui l’alveo prismatico presenti sezione rettangolare di larghezza b:

Equazione di continuità 0)( QsqsQ e +=

dove Q0 indica la portata alla progressiva s = 0

Equazione del moto

cost)( =sS

22)()()( 2 ygybSbygyySQ G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−=

γζ

γda cui l’equazione del profilo del pelo libero esplicita in s: ee q

QygybS

qbs 02

22

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

γ

PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE

2121

Canali con portata decrescente nella direzione del moto (graduale sfioro laterale di portata)

0=eq

Equazione di continuitàuqdsdQ

−=

Equazione dinamicaUqjidsdS

uf ργ −−Ω= )(

Equazione del profilo del pelo libero 2

2

Fr1−Ω

−−=

∂∂

−+

∂∂∂∂

= dsdQ

gQji

yEji

yEQEq

dsdy f

fu


2222

Se la differenza if – j è circa nulla, l’equazione del moto diviene:

0=dsdE

cioè il processo di sfioro laterale avviene rimanendo inalterata l’energia specifica riferita al fondo: pertanto la linea dei carichi totali si mantiene parallela al fondo.

UqVqjidsdQ

QE

dsdy

yE

uef ρργγγ −+−Ω=∂∂

Ω+∂∂

Ω *)(2

dsdQ

QE

dsdE

dsdQ

QE

dsdQ

QE

dsdy

yE

dsdQ

QE

dsdy

yE

∂∂

Ω+Ω=∂∂

Ω+∂∂

+∂∂

Ω=∂∂

Ω+∂∂

Ω γγγγγγ )(2

2ΩΩ−Ω=

∂∂

Ω−Ω=∂∂

Ω+ΩgQq

dsdE

QEq

dsdE

dsdQ

QE

dsdE

uu γγγγγγ

QqjigQq

dsdE

ufu ργγγ −−Ω=Ω

Ω−Ω )(2

)( jidsdE

f −Ω= γ


2323

Nota l’energia specifica a cui avviene il processo di sfioro laterale: ( )yEgyyQ −Ω= 2)()(

- La massima portata Qmax compatibile con l’assegnata energia specifica si ottiene in corrispondenza dello stato critico per quella portata.

- Ogni portata Q inferiore alla massima puòdefluire in due distinti stati di moto (uno di corrente veloce, l’altro di corrente lenta).

- La portata si annulla per y = 0 e y pari alla energia specifica assegnata E (E è la minima energia specifica riferita al fondo con la quale può defluire la portata Qmax).

- Il diagramma della portata ad energia specifica E fissata presenta tangente orizzontale per y = E; il ramo ad y > ycappartiene alle correnti lente, viceversa quello con y < yc alle correnti veloci.


2424

La progressiva diminuzione della portata nella direzione del moto comporta:

- se la corrente è lenta, un aumento della profondità della corrente che, pertanto, risulta ritardata;

- se la corrente è veloce, una diminuzione della profondità della corrente che, pertanto, risulta accelerata.

Lo stato critico può allora verificarsi solo nella sezione iniziale del tratto di canale interessato ad erogazione laterale: la corrente è perciò interamente lenta o veloce, se non interviene un risalto idraulico.

( )yEgyyQ −Ω= 2)()(


2525

Forte Forte pendenzapendenza

Tracciamento qualitativo del profilo della superficie libera

Debole Debole pendenzapendenza

Esempio di profilo mistoEsempio di profilo misto


2626



2727



2828

Tracciamento quantitativo del profilo della superficie libera(nell’ipotesi che l’energia specifica resti inalterata lungo il tratto

- Si calcola l’energia specifica riferita al fondo caratteristica del processo di erogazione in corrispondenza della sezione di controllo (quella a monte del tratto alimentato se la corrente ivi è veloce, a valle se è lenta).

- Nota la geometria del canale prismatico, prefissata la energia specifica E0caratteristica del processo, si può tracciare la curva Q = Q(y) a E fissata.

- Assunta nota la legge di erogazione, si ricava la distribuzione di portata lungo il canale e si determina quantitativamente il profilo della superficie libera risolvendo il sistema:

alimentato)

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−Ω=

−=

yEgQ

qdsdQ

u

02In caso di alveo di forma rettangolare di larghezza b:

e l’equazione del profilo del pelo libero diviene:

( )yEgybyQ −= 02)(

)23()(2

0

0

EybgyEg

qdsdy

u −−

=


2929

Tracciamento quantitativo del profilo della superficie liberaL’integrazione del profilo del pelo libero richiede la conoscenza della legge di erogazione.Nel caso in cui lo sfioro avvenga mediante uno sfioratore laterale, la portata scaricata dipende dal carico sulla soglia.In generale:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−=

−Ω

−−=

2/3

2

2

)(2

Fr1

cygdsdQ

dxdQ

gQji

dsdy f

μ

È necessario ricorrere a metodi numerici di integrazione, avendo fissate le condizioni al contorno.Nel caso di alveo a debole pendenza, il fatto che la portata scaricata non sia nota costringe all’adozione di una procedura iterativa per tentativi.

dove μ è un coefficiente di efflusso e c l’altezza della soglia rispetto al fondo del canale.


3030

Tracciamento quantitativo del profilo della superficie liberaPer canale prismatico rettangolare di larghezza b, nell’ipotesi che la differenza if – j sia trascurabile, si ottiene:

Di tale problema differenziale ordinario con valori ai limiti De Marchi ha fornito la soluzione:

0

0

23))(()(2

EyyEcycy

bdsdy

−−−−

=μ

λη

ληη

λλμ

−−

−−−

−−

=−

11arcsen31

1320

bss

dove: 00 /e/ EcEy =λ=η

Inoltre s0 indica la progressiva per la quale y = E0 e Q = 0.

Documents

Le correnti permanenti a superficie libera a portata variabilepeople.unica.it/mgbadas/files/2012/03/Qvariabile.pdf · Correnti permanenti con portata variabile lungo il percorso”