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Laser-Doppler-Anemometrie Ein laseroptisches Messverfahren zur berührungslose n Messung von

Strömungsgeschwindigkeiten

Dr. Andreas Behrendt, 11/2007

behrendt@uni-hohenheim.de

Vortragsfolien: http://www.uni-hohenheim.de/www120/Downloads/F-Praktikum/LDA_SoSe2008.pdf

Anemometer = Windmesser (anemos – griechisch: Wind)

� Erfunden von Yeh und Cummins im Jahr 1964

� Messung der Strömungsgeschwindigkeit von Fluiden (Gasen, Flüssigkeiten), in de-

nen Streupartikel vorhanden sind

� Berührungslose Messung

� Absolute Messtechnik, keine Kalibrierung erforderlich

� Sehr hohe Messgenauigkeit

� Sehr hohe räumliche Auflösung der Messung, da kleines Messvolumen

Anwendungen:

� Geschwindigkeitsmessungen von Partikeln (Windmessung, Fließgeschwindigkeit

des Blutes,...)

� Untersuchung laminarer oder turbulenter Strömungen oder von Überschall-

Strömungen (Aerodynamic bzw. Hydrodynamic von Turbinen, Autos, Flugzeugen,

Schiffen,...)

� Untersuchung von Oberflächenbewegungen und -schwingungen

� Messungen auch in heißer Umgebung (Flammen, Plasma)

� ...... etc, etc, etc.

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1. Messprinzip

Das Prinzip der Laser-Doppler-Anemometrie (LDA) beruht auf der Gegebenheit, dass

Lichtwellen, die von bewegten Teilchen (oder allgemein, an Phasengrenzflächen) ge-

streut werden, eine Doppler-Frequenzverschiebung aufweisen und somit Geschwindig-

keitsinformationen enthalten. Im Fall eines Fluides (z.B. der Luft oder einer Flüssigkeit)

können suspendierte Teilchen, Tröpfchen, natürliche Verunreinigungen etc. für das

Messverfahren als Streuteilchen ausgenützt werden. Kann angenommen werden, dass

die Streuzentren hinreichend klein sind und keine Eigendynamik im Strömungsraum

entwickeln, so kann ihre lokale Geschwindigkeit als lokale Geschwindigkeit des Fluides

angesehen werden.

Eine direkte Messung der Doppler-Verschiebung von gestreutem Licht ist schwie-

rig, da die Frequenzverschiebung gegenüber der Lichtfrequenz selbst für hohe Teil-

chengeschwindigkeiten sehr klein ist (Verhältnis von Doppler- zur Lichtfrequenz in der

Größenordnung von 10 -7). Bei der Laser-Doppler-Anemometrie wird deshalb ein "Trick"

angewendet: Anstatt direkt die Frequenz des Streulichts zu messen wird durch Überla-

gerung eine Schwebungsfrequenz erzeugt, die genau der Frequenzverschiebung ent-

spricht. Dies funktioniert nur, weil wir eine kohärente Lichtquelle verwenden: einen La-

ser.

Ein Laser-Doppler-Anemometer (LDA) besteht also aus einer Laserlichtquelle, der

Sende- und der Empfangsoptik, einem Detektor und einer elektronischen Vorrichtung

zur Datenerfassung (Abbildung 1). Der Lichtstrahl des Lasers wird durch eine geeignete

Strahlteilungsoptik in zwei Partialstrahlen aufgespalten. Die beiden Partialstrahlen wer-

den mit einer Konvexlinse fokussiert und am Brennpunkt der Linse zum Schnitt ge-

bracht. Der Schnittpunkt der beiden Laserstrahlen stellt den Messort dar, an dem die

Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt werden. Die beiden Laserstrahlen bilden am

Ort ihrer Überlagerung ein Schnittvolumen, das als Messvolumen bezeichnet wird. Die-

ses Messvolumen wird in die zu messende Strömung positioniert. Durch die Verwen-

dung zweier Laserstrahlen nimmt ein Detektor die Überlagerung einer Doppler-

verschobenen Lichtfrequenz mit der ursprünglichen Sendefrequenz des Laserlichts

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wahr. Die sich ergebende Welle kann aufgefaßt werden als eine hochfrequente Signal-

welle, die von einer niederfrequenten Schwebung ∆f = f1 - f2 in ihrer Intensität moduliert

wird (siehe auch Abbildung 2). Diese Schwebungsfrequenz ∆f liegt in einem leicht auf-

lösbaren Frequenzbereich. In der Laser-Doppler-Anemometrie wird die Schwebungs-

frequenz ∆f als "Signalfrequenz" oder auch "Doppler-Frequenz" bezeichnet.

(In der Physik wird die Frequenz einer elektromagnetischen Welle meist mit ν (ny) be-

zeichnet. Der besseren Lesbarkeit wegen verwende ich hier jedoch f.)

Abbildung 1. Vereinfachte Messanordnung des Laser-D oppler-Anemometers (LDA). Praktisch kann der Detektor (ein Photomultip lier) an beliebiger Stelle ste-hen. Die Herleitung der Formel für die Signalfreque nz ist jedoch komplizierter für den allgemeinen Fall.

Aus Abbildung 3 erkennt man, dass die Doppler-verschobene Frequenz f ' des vom

Empfänger (Photomultiplier) detektierten Signals durch zweimalige Anwendung der

Doppler-Formel

±=cv

ff 112

ermittelt werden kann (v: Relativgeschwindingkeit zwischen Sender und Empfänger; c:

Lichtgeschwindigkeit; f1: Frequenz der ausgesendeten Welle; f2: Doppler-verschobene

Frequenz der empfangenen Welle). Einerseits empfängt das Partikel Doppler-

f0

f0

f0

f0 und f '

Detektor

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verschobenes Licht der Frequenz fP . Andererseits sendet es dieses bei der Streuung

nochmals Doppler-verschoben zum Empfänger. Das bedeutet: Die Streuung von Laser-

licht an bewegten Partikeln zeigt den Doppler-Effekt, auch wenn der ursprüngliche Sen-

der (Laser) und der endgültige Empfänger des Streulichts (Photomultiplier) sich nicht

relativ zueinander bewegen.

-100 -50 0 50 100

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

Zwei Schwingungen leicht unterschiedlicher Frequenz: y1 = sin x und y2 = sin( 1,1 x) .

-100 -50 0 50 100

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

Überlagerung y = y1 · y2 = sin(x) · sin( 1,1 x) (scharze dünne Linie)

und Schwebung y = 0.5 · cos(0,1 x) (graue dicke Linie)

Abbildung 2. Prinzip der Schwebungsfrequenz: Überla gern sich zwei Schwingun-gen mit leicht unterschiedlicher Frequenz entsteht eine Schwebung, deren Fre-quenz der Differenz der Frequenzen der überlagerten Schwingungen entspricht.

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Abbildung 3. Prinzip der zweifachen Doppler-Verschi ebung der Frequenz des Streulichts.

vP Geschwindigkeit des Partikel

vS Komponente von vP parallel zu dem Laserstrahl (Sender)

vE Komponente von vP parallel zu der Bewegungsrichtung der Photonen, die den Emp-

fänger erreichen

f0 Frequenz des ausgesandten Laserlichts

f ' Frequenz des detektierten Streulichts

2. Theorie

Für die Doppler-verschobene Frequenz des vom Partikel empfangenen Lichts fP und die

Frequenz des detektierten Streulichts f' gilt

+=c

vff S0P 1 und

−=′c

vff EP 1 , (♣♣♣♣)

also

+−+=

−

+=′2

ESES0

ES0 111

c

vv

cv

c

vf

cv

c

vff .

6

Da 6P 10−<c

v und damit auch 6SE 10, −<

c

v

cv

, wird 122

ES 10−<c

vv und ist damit vernach-

lässigbar gegenüber den anderen Summanden.

Man erhält mit dieser Näherung

−+=′c

vc

vff ES0 1

und damit für den Betrag der Doppler-Verschiebung

0

ESES

00 λ

−=−=−′=∆

vvvv

cf

fff (1)

mit 0λ für die Wellenlänge des ausgesendeten Laserlichts.

Wie man nachprüfen kann, bleibt der Betrag der "Gesamt"-Doppler-Verschiebung

∆f gleich, auch wenn die Bewegung des Partikels entgegengesetzt verläuft.

Streng genommen, müßten wir jetzt noch weitere Fälle für die Bewegungsrichtung des

Partikels betrachten, nämlich solche, bei denen die Doppler-Verschiebung in den Glei-

chungen (♣) beide positiv bzw. beide negativ sind. Oder wir müßten gleich eine allge-

meine vektorielle Betrachtung anstellen. Es zeigt sich jedoch dann, dass die im Folgen-

den abgeleiteten Ergebnisse dieselben sind und so sparen wir uns die Diskussion wei-

terer Fälle hier.

3. Messanordnung

Da die Doppler-Verschiebung der Lichtfrequenz schwierig direkt zu bestimmen ist, wird

wie oben bereits beschieben ein "Trick" angewendet: Das gestreute Licht der Frequenz

f ' wird mit einem Teil des Laserlichts der Ausgangswellenlänge f0 überlagert. Es ent-

steht dann eine Schwebung mit gerade der Doppler-Verschiebung als Schwebungsfre-

quenz

0

ESES

00 λ

−=−=−′=∆

vvvv

cf

fff .

Man erreicht dies mit der in Abbildung 1 dargestellten Versuchsanordnung. Der Partial-

strahl 1 entspricht dem auch in Abbildung 3 gezeigten Laserstrahl, der an dem Partikel

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gestreut wird. Partialstrahl 2 wird nicht gestreut und erreicht den Empfänger ohne Fre-

quenzverschiebung.

Wie hängt nun die Schwebungsfrequenz von dem experimentellen Aufbau (Winkel ϕ

und Frequenz des Laserlichts f0) und der Teilchengeschwindigkeit und

-bewegungsrichtung (vP und φ) ab?

Zur Beantwortung dieser Frage lassen sich zwei zueinander äquivalente Betrachtungen

anstellen. (Ein schönes Beispiel dafür, wie die Dinge in der Physik zusammenpassen –

zumindest in der "klassischen"...)

4. Herleitung der Signalfrequenz mit der Doppler-Ef fekt-Formel

Wir betrachten die folgende Skizze, in der die beiden Partialstrahlen mit 1 und 2 ge-

kennzeichnet sind:

Abbildung 4. Bezeichnungen der auftretenden Winkel.

φ Winkel, der die Bewegungsrichtung des Partikels kennzeichnet

ϕ Winkel, in dem sich die beiden Partialstrahlen (mit 1 und 2 bezeichnet) schneiden

Es gilt mit den Hilfswinkeln α = β + ϕ und β = 90° − φ − ϕ/2:

( ) ( )

ϕ+φ−=ϕ+β=α=2

90coscoscos PPPSovvvv (2)

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( )

ϕ−φ−=β=2

90coscos PPEovvv . (3)

Man beachte, dass die beiden Formeln sich lediglich im Vorzeichen von ϕ/2 unterschei-

den. Wir setzen (2) und (3) in (1) ein und erhalten

ϕ−φ−−

ϕ+φ−λ

=∆2

90cos2

90cos0

P oovf

Mit den Abkürzungen φ−=γ o90 und 2ϕ−=δ ergibt sich dann

( ) ( )δ+γ−δ−γλ

=∆ coscos0

Pvf .

Da ( ) ( ) )sin()sin(2coscos γδ=δ+γ−δ−γ ist, folgt

( )

ϕ−φ−λ

=∆2

sin90sin2

0

P ovf

und mit )sin()sin( χ−=χ− und )cos()90sin( χ=χ−o für beliebige Winkel χ erhält man

schließlich für die Signalfrequenz des Laser-Doppler-Anemometers (Schwebungsfre-

quenz des detektierten Signals)

( )

ϕφλ

=∆2

sincos2

P0

vf . (4)

5. Herleitung der Signalfrequenz über Betrachtung d es entstehenden

Interferenzmusters

Auch ohne Verwendung der Formel für den Doppler-Effekt läßt sich die soeben abgelei-

tete Formel (4) herleiten. Die nun folgende Herleitung über die Betrachtung des im

Schnittbereich der Partialstrahlen entstehenden Interferenzmusters ist der vorherge-

henden Ableitung äquivalent, hat jedoch den deutlichen Vorteil weitaus anschaulicher

zu sein.

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Wir betrachten eine Momentaufnahme der Wellenfronten des Lichts der sich überla-

gernden Partialstrahlen:

Abbildung 5. Interferenzmuster im Messvolumen. d be zeichnet den Anstand der Ebenen, in denen konstruktive (oder auch destruktiv e) Interferenz stattfindet.

Hier symbolisieren die Linien, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Partialstrah-

len gezeichnet sind, die Maxima der Wellenfronten. Man erkennt, dass sich im Überla-

gerungsbereich Linien konstruktiver und destruktiver Interferenz ausbilden. Da die Wel-

lenfronten der Partialstrahlen sich mit derselben Geschwindigkeit (nämlich der Lichtge-

schwindigkeit) fortbewegen, liegen die Schnittpunkte der Wellenfront-Maxima in der

Darstellung auf Linien parallel zur optischen Achse. Im zeitlichen Mittel entsteht im

Messvolumen ein räumliches Interferenzmuster. (Da die Partikeln sich in diesem Ver-

such deutlich langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, ist die Mittelung gerech-

tfertigt.) Es bilden sich also stationär äquidistante Ebenen hoher Lichtintensität aus

(senkrecht zur Zeichenebene von Abbildung 4). Zwischen diesen "hellen" Ebenen lie-

gen jeweils "dunklere" Bereiche. Ein Partikel, das sich in diesem Hell-Dunkel-Muster

bewegt, streut abwechselnd Licht mit hoher und niedriger Intensität. Der Detektor emp-

d

(a)

(b)

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fängt damit Signale, die mit der besagten Schwebungsfrequenz ∆f intensitätsmoduliert

sind.

Die Signalfrequenz ∆f ist also der Kehrwert der Zeit T, die das Streuteilchen benötigt,

um von einem Maximum zum nächsten zu gelangen,

Tf

1=∆ . (5)

Der Abstand d der Intensitätsmaxima, die Zeit T und die Geschwindigkeit des Teilchens

stehen über

( ) ( )P cos cosd d d

v fT Tφ φ

′= = = ∆ (6)

in Bezug zueinander. d' bezeichnet die vom Teilchen in T zurückgelegte Strecke, die ja

nicht zwingend die kürzeste Verbindung zwischen zwei Maxima ist. Oder anders aus-

gedrückt: Die Geschwindigkeitskomponente parallel zu d beträgt ( )φP cosv .

Abbildung 6. Skizze zur Berechnung des Abstandes d der Maxima-Ebenen

Es sind CEd = , EBAEa == und die Wellenlänge AF=λ0 .

Aus da=

2tan

ϕ in EBC∆ folgt ( )2tan ϕ

ad = (7)

und aus a22

cos 0λϕ =

in ABF∆ folgt ( )2cos20

ϕλ=a . (8)

0

a a

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Einsetzen von (8) in (7) ergibt

( ) ( ) ( )2sin22cos2tan200

ϕλ

=ϕϕ

λ=d (9)

und weiter erhält man mit (6)

( ) ( )0

P 2 sin 2 cosv f

λϕ φ

= ∆ . (10)

Wir stellen noch schließlich (10) um und bekommen ebenfalls die bereits bekannte

Formel (4)

( )

ϕφλ

=∆2

sincos2

P0

vf . (4)

6. Intensitätsverteilung

Da die beiden Partialstrahlen keine idealen ebenen Wellen sind, sondern jede für sich

im Querschnitt eine näherungsweise Gauss-förmige Intensitätsverteilung aufweisen,

ergibt sich auch im Überlagerungsbereich, d.h. im Messvolumen, eine entsprechende

Intensitätsmodulation. Die Maxima des Interferenzmusters haben also nicht alle diesel-

be Intensität.

C'

C'' C' C''

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Abbildung 7. Intensitätsverteilung im Messvolumen. Auf der Linie C'C'' entsteht qualitativ der skizzierte Intensitätsverlauf.

Durchläuft ein Partikel das Intensitätsfeld im Messvolumen erreicht den Detektor Strah-

lung, die mit der Schwebungsfrequenz ∆f intensitätsmoduliert ist. Ist die Geschwindig-

keit beim Durchlauf nicht konstant, so ändert sich T, d.h. die Zeit, in der das Partikel die

Ebenen maximaler Intensität erreicht.

Für den Praktikumsversuch (s.u.) gilt λ0 = 632 nm (rotes HeNe-Laserlicht) und

( ) ( ) 50/32tan2sin ≈ϕ≈ϕ . Aus Formel (9) erhält man damit für den Abstand der Maxi-

ma d = 5,3 µm. Veränderliche Geschwindigkeiten lassen sich also mit einer Ortauflö-

sung von 5,3 µm messen, was beispielsweise bei einer Geschwindigkeit von vP=300

m/s und φ = 0 einer Zeit T = 1,6 10-8 s = 16 ns entspricht. Die Genauigkeit der Ge-

schwindigkeitsmessung ist damit im Wesentlichen durch das (meist schlechtere) Auflö-

sungsvermögen des Detektors und der Messelektronik begrenzt und nicht durch das

grundlegende Auflösungsvermögen des Messprinzips.

Verständnisfrage: Was könnte man im Experimentaufbau ansonsten ändern, um die

prinzipielle Auflösung zu verbessern, d.h. um d zu verkleinern?

y

x

C'

C"

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7. Praktikumsexperiment

Grundlage der Messung von Strömungsgeschwindigkeiten mit Hilfe der Laser-Doppler-

Anemometrie ist die Lichtstreuung an Partikeln, welche der Strömung folgen. Besserer

Reproduzierbarkeit und der Übersichtlichkeit wegen wird im Praktikumsexperiment das

strömungsgetragene Partikel durch ein mechanisch definiert bewegtes Objekt ersetzt,

nämlich den Faden einer Spinne auf einem xy-Schreiber.

Abbildung 8. Versuchsaufbau

Der Spinnenfaden wird mit einer Halterung auf dem Schlitten des xy-Schreibers (auch

"Spannungskompensograph" genannt) befestigt. Die Position des Spinnenfadens in y-

Richtung ist proportional zur angelegten Spannung. Durch Anlegen einer Spannung

bestimmter Zeitabhängigkeit (Funktion, Amplitude und Frequenz) wird der Spinnenfa-

den durch das Messvolumen mit einer definierten Geschwindigkeit bewegt. Der Aufbau

wird so gewählt, dass φ = 0 gilt. Formel (4) vereinfacht sich daher zu

0

2

2

ϕλ

∆ =

P sinf v

und es gilt

( )0

2 2P sinv f

λϕ

= ∆ mit ( )0

2 2sind

λϕ

= .

x y

z

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Aufgaben:

1) Für fünf Frequenzen fSchreiber einer angelegten Sinus-Spannung soll die Geschwindig-

keit des Spinnenfadens vP im Nulldurchgang (= Maximalgeschwindigkeit) gemessen

werden. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den zu erwarteten Werten, d.h jeweils mit

dem mechanisch aus der Amplitude y0 und der Frequenz fSchreiber der Bewegung be-

stimmten Geschwindigkeit beim Nulldurchgang. Stellen Sie die Erwartungswerte und

die Messwerte graphisch dar.

Benötigte Formeln:

Mechanisch bestimmte Geschwindigkeit im Nulldurchgang

Für die Bewegung des Spinnenfadens (in y-Richtung) gilt

y(t) = y0 sin(ω t)

und damit für die Geschwindigkeit

vP(t) = dy/dt = y0 ω cos(ω t).

In den Nulldurchgängen bei sin(ω t)=0, also cos(ω t) = 1, gilt vP(t) = y0 ω = 2 π fSchreiber y0.

Mit dem LDA bestimmte Geschwindigkeit im Nulldurchgang

Es gilt λ0 = 632 nm (rotes HeNe-Laserlicht) und ( ) ( ) 50/32tan2sin ≈ϕ≈ϕ . Aus Formel

(9) erhält man damit für den Abstand der Maxima d = 5,3 µm.

Aus (4) ergibt sich dann für die Geschwindigkeit mit φ = 0

( )P 5,3 mcos

dv f f µ

φ= ∆ = ∆ ⋅ .

Zur besseren Ablesegenauigkeit bestimmt man ∆f aus mehreren Nulldurchgängen, d.h.

einem Vielfachen von T.

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2) Alternativ zu einer sinus-förmingen Spannung kann auch eine Dreiecks- oder Recht-

eckspannung an den xy-Schreiber angelegt werden.

Die jeweiligen Geschwindigkeiten beim Nulldurchgang sind die Steigungen der Weg-

Zeit-Diagramme an diesem Punkten (gestrichelte Linie in Abbildung 9).

Messen Sie die Geschwindigkeit des Spinnenfadens für gleichbleibendes fSchreiber und y0

bei den unterschiedlichen Formen der Spannungsfunktion und vergleichen Sie die Wer-

te wieder zunächst mit den mechanisch bestimmten Werten (aus fSchreiber und y0), an-

schließend miteinander. Erhalten Sie die theoretisch zu erwartenden Wer-

te/Verhältnisse?

S

S S

S

S

S

Abbildung 9. Weg-Zeit-Diagramme für verschiedene Be wegungsarten des Schrei-bers. TS bezeichnet die Periode der Bewegung des xy-Schreibe rs. Es gilt fSchreiber = 1/ TS .

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3) Bei einer sinus-förmigen Schwingung ist die Beschleunigung (Änderung der Ge-

schwindigkeit) in den Umkehrpunkten am größten und näherungsweise linear von der

Zeit t abhängig (denn es gilt hier χ≈χ)cos( ). Zeigen Sie dies mit entsprechenden Mes-

sungen. Hinweis: Tragen Sie hierfür die mit dem LDA bestimmte Geschwindigkeit ge-

gen die Zeit auf.

WICHTIG:

Wiederholen Sie für diesen Versuch die Formeln für sinusförmige Bewegungen,

d.h. Ort(Zeit), Geschwindigkeit(Zeit), Beschleunigu ng(Zeit),

falls Sie mit den Formeln nicht vertraut sind.