Laplace Transforms Proof 01

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  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    1/17

    Laplace Transforms 1

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    LAPLACE TRANSFORMS

     Obtain Laplace transform of the following :

    (i)   3sin   t  Ans:-

       

     

          2 2

    3 1 1 4 1 9s s 

    (ii)    cos cos2 cos3t t t  Ans:-      

         2 2 2

    1

    44 36 4 4 4 16

    s s s 

    s s s s 

    (iii)   4cos   t  Ans:-

       

             

    2 2

    1 3 2

    4 2 4 2 16

    s s 

    s  s s 

    (iv) cos (t + ) where  and  are constants.

    Ans:-

         

     2 2 cos sins 

    (v)   1 sint  Ans:-

       

       

       

    2

    1

    2

    1

    4

    (vi) Prove that          

       

    5

    2 2 2

    5! L sin

    1 9 25 t 

    s s s 

    (vii) Prove that        

        1/4 3/2

    L sin 2

    s e  s 

    (viii) Prove that        

       

    1/4cosL    s  t 

    e  s t 

     Find the Laplace transform of  f  (t ) defined as

    (i)         t 

     f t  k 

    , 0

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    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    Ans:-    

     

    2

    2 1

    4

    s e 

    (iv)   f  (t ) =

      

       

    1, 0 1

    ,1 4 0, 4

    e t  t 

    Ans:-      

     

     

     

        

     

    4 1 11

    1 1

    s  s s e  e e 

    s s s 

     Find Laplace transform of the following

    (i)       2 2   t t e  Ans:-

          

    2

    3

    2 2 2 1

    1 s s 

    (ii)   3 sin3 sinh4t e t t  Ans:-

                 

    2 2

    3 1 1

    2 2 10 14 58s s s s  

    (iii)   sinh2s t t  Ans:-    

           

    6 6

    1 1 60

    2 2s s 

    (iv)     

       

    2 cos sin

    t t 

    e  Ans:-

             

           2 2

    1 2 1

    2 2 4 2 1s  s s 

    (v)   3 cosh 4t t e t  Ans:-    

      

    2 2 1 1

    2 7 2 1s s 

    (vi)   4 sin cosht e t t  Ans:-

        

                 2 2

    1 1

    2 3 1 2 5 1s s 

    (vii)    

       

    cos2 sint t 

    et  Ans:-

        

                 2 2

    3 1

    2 1 9 2 1 1s s 

    (viii)   4 sinh4t t  Ans:-

       

     

    3 3

    1 1

    4 4s s 

    (ix) sin 2t  sin 4t   sinh  t 

    Ans:-    

     

     

     

     

     

     

     

                      

    2 2 2 2

    1 1 1 11

    4 1 4 1 36 1 4 1 36

    s s s s  

    s s s s  

    (x) sin 2t   sin  t  cosh 2t 

    Ans:-        

                   

    2 2 2 2

    1 3 3 1 1

    4 2 9 2 9 2 1 2 1s s s s  

    (xi)       31   t te  Ans:-      

         

    2 3 4 1 3 6 6

    1 2 3s  s s s 

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

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    Laplace Transforms 3

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (xii)   4 cosh4t t  Ans:-    

           

    5 5

    1 1 12

    4 4s s 

    (xiii)       3cosh4 sin3   t t t e  Ans:-

       

         

        

    2 2

    1 3 3

    2 1 9 7 9s s 

     Using second shifting property. Find

    (i) L [g (t )], where

    g (t ) = cos (t  –  ),  t  > 

    = 0,   t   2

    = 0, t  < 2

    Ans:-   2 3

    2s e  s 

     

     Change of scale property

    If       L   f t f s       , then

        1

    L    s 

     f at f  

    a a 

            

     

    (i) If      

     

    2

    2 2

    8 125 25 L 

    4

     f at 

        

    , find L [ f  (2t )]

    Ans:-  

     

    2

    2 2

    4 16 12

    16

    s s 

     

    (ii) If      3

    2 L    s  f t e 

         , find L [ f  (2t )]

    Ans:-   2 3

    8 s 

    e  s 

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     Laplace transform of    ( )n t f t 

    If       L   f t f s       , then

         L 1 n 

    n n 

    d  t f t f s  

    ds 

             

     Obtain Laplace transform of the following

    (i)   2sint t  Ans:-  

     

    2

    2 2 2

    41 1

    2 4

    s  s 

       

         

    (ii)   2cost t  Ans:-  

     

    2

    2 2 2

    41 1

    2 4

    s  s 

       

         

    (iii)   2 sin 3t t  Ans:-  

     

    3

    3 2

    18 3

    9

    (iv)   sinh 2

    t  at 

    a  Ans:-

      2

    2 2

    2as 

    s a 

    (v)   2 cost at  Ans:-  

     

    2 2

    3 2 2

    2 3s s a 

    s a 

    (vi)   3 3t t e  Ans:-  

    4 3

    s  

    (vii)   3sint t  Ans:-

        2 2

    2 2

    3 3

    2 1 2 9

    s s 

    s s 

     

    (viii)   sinat t e at   Ans:-    

      2

    2   2

    2a s a 

    s a a 

        

    (ix)   t sin 2t  cosh   t  Ans:-    

     

     

      2 2

    2 2

    2 1 2 1

    1 4 1 4

    s s 

    s s 

      

                

    (x)   t  [3 sin 2t  – 2 cos 2t ] Ans:-

     

    2

    2 2

    2 12 8

    4

    s s 

         

    (xi)   1 sint t  Ans:-  

     

    2

    2 2

    4 4 4 1

    4 1

    s s 

     

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    5/17

    Laplace Transforms 5

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (xii) L [ cos ( –  )] Ans:-  

     

    2 2

    2 2 2

    cos 2 sins s 

         

     

    (xiii)     2

    L sin2t t  Ans:-

          3 2   2

    2

    2 1

    2 2 41

    s s 

    s s    s s 

      

    

     Laplace transform of    ( ) 1

     f t  t 

        

    If       L   f t f s       , then

        1

     f t f s ds  t 

      

         

     Obtain Laplace transform of the following

    (i)   sin t 

    t  Ans:-   1cot   s 

    (ii) 2sin 2t 

    t  Ans:-

    2

    2

    1 16 log

    4

          

    (iii)   cosh2 sint t 

     Ans:-   1

    2

    1 4 tan

    2   s s 

          

      

    (iv)

      cos cosat bt  

     Ans:-