Laplace Transforms Proof 01

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  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    1/17

    Laplace Transforms 1

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    LAPLACE TRANSFORMS

    Obtain Laplace transform of the following :

    (i)   3sin   t  Ans:-

    2 2

    3 1 14 1 9s s 

    (ii)   cos cos2 cos3t t t  Ans:-

    2 2 2

    1

    44 36 4 4 4 16

    s s s 

    s s s s 

    (iii)   4cos   t  Ans:-

    2 2

    1 3 2

    4 2 4 2 16

    s s 

    s  s s 

    (iv) cos (t + ) where  and  are constants.

    Ans:-

    2 2cos sins 

    (v)   1 sint  Ans:-

    2

    1

    2

    1

    4

    (vi) Prove that  

    5

    2 2 2

    5!L sin

    1 9 25t 

    s s s 

    (vii) Prove that    

      1/43/2

    L sin2

    s e s 

    (viii) Prove that    

    1/4cosL    s t 

    e s t 

    Find the Laplace transform of  f  (t ) defined as

    (i)      t 

     f t k 

    , 0

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    Ans:-

    2

    2 1

    4

    s e 

    (iv)   f  (t ) =

    1, 0 1

    ,1 40, 4

    e t t 

    Ans:-  

    4 1 11

    1 1

    s  s s e  e e 

    s s s 

    Find Laplace transform of the following

    (i)     22   t t e  Ans:-

    2

    3

    22 2 1

    1s s 

    (ii)   3 sin3 sinh4t e t t  Ans:-

    2 2

    3 1 1

    2 2 10 14 58s s s s  

    (iii)   sinh2s t t  Ans:-

    6 6

    1 160

    2 2s s 

    (iv) 

    2cos sin

    t t 

    e Ans:-

     

      2 2

    1 2 1

    2 2 4 2 1s  s s 

    (v)   3 cosh 4t t e t  Ans:-

    2 21 1

    2 7 2 1s s 

    (vi)   4 sin cosht e t t  Ans:-

    2 2

    1 1

    2 3 1 2 5 1s s 

    (vii) 

    cos2 sint t 

    et Ans:-

    2 2

    3 1

    2 1 9 2 1 1s s 

    (viii)   4 sinh4t t  Ans:-

    3 3

    1 1

    4 4s s 

    (ix) sin 2t  sin 4t   sinh  t 

    Ans:- 

    2 2 2 2

    1 1 1 11

    4 1 4 1 36 1 4 1 36

    s s s s  

    s s s s  

    (x) sin 2t   sin  t  cosh 2t 

    Ans:-

    2 2 2 2

    1 3 3 1 1

    4 2 9 2 9 2 1 2 1s s s s  

    (xi)     31   t te  Ans:-

    2 3 41 3 6 6

    1 2 3s  s s s 

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    Laplace Transforms 3

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    (xii)   4 cosh4t t  Ans:-

    5 5

    1 112

    4 4s s 

    (xiii)     3cosh4 sin3   t t t e  Ans:-

    2 2

    1 3 3

    21 9 7 9s s 

    Using second shifting property. Find

    (i) L [g (t )], where

    g (t ) = cos (t  –  ),  t  > 

    = 0,   t   2

    = 0, t  < 2

    Ans:-   23

    2s e s 

    Change of scale property

    If    L   f t f s     , then

      1

    L   s 

     f at f  

    a a 

     

    (i) If    

    2

    22

    8 125 25L 

    4

     f at 

    , find L [ f  (2t )]

    Ans:-

    2

    22

    4 16 12

    16

    s s 

    (ii) If    3

    2L    s  f t e 

      , find L [ f  (2t )]

    Ans:-   23

    8s 

    e s 

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    4

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    Laplace transform of    ( )n t f t 

    If    L   f t f s     , then

    L 1n 

    n n 

    d t f t f s  

    ds 

     

    Obtain Laplace transform of the following

    (i)   2sint t  Ans:-

    2

    2 22

    41 1

    24

    s  s 

    (ii)   2cost t  Ans:-

    2

    2 22

    41 1

    24

    s  s 

    (iii)   2 sin 3t t  Ans:-

    3

    32

    18 3

    9

    (iv)   sinh2

    t at 

    a Ans:-

    2

    2 2

    2as 

    s a 

    (v)   2 cost at  Ans:-

    2 2

    32 2

    2 3s s a 

    s a 

    (vi)   3 3t t e  Ans:-

    43

    s  

    (vii)   3sint t  Ans:-

    2 2

    2 2

    3 3

    2 1 2 9

    s s 

    s s 

    (viii)   sinat t e at   Ans:- 

    2

    2   2

    2a s a 

    s a a 

    (ix)   t sin 2t  cosh   t  Ans:- 

    2 2

    2 2

    2 1 2 1

    1 4 1 4

    s s 

    s s 

    (x)   t  [3 sin 2t  – 2 cos 2t ] Ans:-

    2

    22

    2 12 8

    4

    s s 

    (xi)   1 sint t  Ans:-

    2

    22

    4 4 4 1

    4 1

    s s 

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    Laplace Transforms 5

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    (xii) L [ cos ( –  )] Ans:-

    2 2

    22 2

    cos 2 sins s 

    (xiii)   2

    L sin2t t  Ans:-

      3 2   2

    2

    2 1

    2 2 41

    s s 

    s s    s s 

    Laplace transform of    ( )1

     f t t 

    If    L   f t f s     , then

    1

     f t f s ds t 

     

    Obtain Laplace transform of the following

    (i)  sin t 

    t Ans:-   1cot   s 

    (ii)2sin 2t 

    t Ans:-

    2

    2

    1 16log

    4

    (iii)  cosh2 sint t 

    Ans:-   1

    2

    1 4tan

    2   s s 

     

    (iv)

      cos cosat bt  

    Ans:-

    2 2

    2 2

    1

    log2

    s b 

    s a 

    (v)at bt  e e 

    Ans:- log

      s b 

    s a 

    (vi)  sinh t 

    t Ans:-

     1 1log

    2 1

    (vii) 1

    , 0t e 

    t t 

    Ans:-

      1log

      s 

    (viii)   2 1sin3t e t t  Ans:-   1   2cot3

    s   

    (ix)2 sin2 cosht e t t 

    Ans:-   1 11 1 3

    cot cot2 2 2

    s s 

    (x)2sin   t 

    t Ans:-

    2

    2

    1 4log

    4

    Laplace transform of derivative

    If    L   f t f s     , then

    L 0 f t s f s f    

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    where   0

    0 limt 

     f f t 

    (i) Find  sin

    L   d t 

    dt t 

    Ans:-  1

    cot 1s s 

    (ii) Given, f  (t ) = (t  + 1), 0 ≤  t  ≤ 2

    = 3, t  > 2, find L [ f  (t )] and   L   f t 

    Ans:-     221 1

    L 1   s  f t e s    s 

      and     21

    L 1   s  f t e s 

     

    (iii) Given, f  (t ) =  t , 0   t   3

    = 6 , t  > 3

    Find L [ f  (t )] and   L   f t 

    Ans:-     32 2

    1 3 1L    s  f t e 

    s s s 

       

    and     31 1

    L 3s  f t e s s 

         

    (iv) Find Laplace transform of   1 cos2d t 

    dt t 

    Ans:-2 22

    log  s 

    s s 

    Laplace transform of an IntegralIf    L   f t f s     , then

    0

    1L 

     f u du f s s 

    Find Laplace transform of the following

    (i)   2 3

    0

    t u e u du   Ans:-

    4

    6

    2s s 

    (ii)

    0

    sin4t  t t  e dt t 

    Ans:-1cot   s 

    (iii)   2

    0

    cost 

    u u du   Ans:-

    2

    3 22

    41 1

    22 4

    s s  s 

    (iv)

    0

    sint 

    u t du 

    u Ans:-

    1

    22

    1 cot

    1

    s s s 

    (v)   2

    0

    sin3t t e t t dt   Ans:-

    2

    2

    6

    4 13s s 

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    Laplace Transforms 7

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    (vi)   3

    0

    sin4t 

    t t e t dt   Ans:- 

    2

    2

    8 3

    6 25

    s s s 

    (vii)

    0

    sint 

    t    t e dt 

    Ans:-  1cot 1s 

    (viii)

    0

    cosht 

    x x dx   Ans:-

    2

    22

    1

    1

    s s 

    (ix)   3

    0 0 0

    sint t t 

    t t dt   Ans:-

    22 2

    2

    1s s   

      Show that  1

    L 1

    e r f t  s s 

     

    Find Laplace transform of the following

    (i)   3t e erf t   Ans:-

    1

    3 4s s 

    (ii)   2t e erf t   Ans:-

    1

    2 3s s 

    (iii)   2t erf t   Ans:-

    3/22 2

    2

    1s s   

    (iv)   3t t e erf t   Ans:- 

    2 3/2

    3 7

    2 3 2

    s s 

    (v) If    1 1

    L t s 

    , find L 

    Ans:-s 

    (vi) Find L  c erf t   Ans:- 1

    1 1 1s s 

    Prove the following integrates using Laplace transform

    (i)   3

    0

    2sin2

    13

    t e t dt  

    (ii)   3

    0

    3sin

    50

    t t e t dt  

    (iii)   3 2

    0

    62sin

    1521

    t t e t dt  

    (iv)   0

    sin2 sin3   34t 

    t t  dt t e 

     

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    8/17

    8

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    (v)   2 3

    0

    6sin

    65

    t e t dt  

    (vi)2

    0

    sinh sin

    8

    t e t t dt 

     

    (vii)2

    0

    sin 1log 5

    4

    t    t e dt t 

    Evaluate the following integrates using Laplace transform

    (i) 

    0

    cos6 cos4t t dt 

    Ans:-

      2log

    3

    (ii)2

    0

    sin3t 

    t t dt 

    Ans:-  12

    169

    (iii)   3 2

    0

    cos 2t e t t dt  

    Ans:-

      281

    5625

    (iv)   3

    0

    sint t e t dt  

    Ans:- 0

    (v)   2

    0

    sinht    t e dt t 

    Ans:- 1

    log 32

    (vi)

    0

    t e erf t dt   Ans:-  1

    2

    (vii)   3 00

     J 4t t e t dt  

      where   0

    2

    1L J

    1t 

    Ans:-  3

    125

    Inverse Laplace Transform

    Evaluate the following

    (i)   12

    1L 

    9s 

     

    Ans:-

     1sin 3

    3t 

    (ii)   1  8

    L 5 1s 

     

    Ans:-   /58

    5

    t e 

    (iii)

    22

    1

    5

    7 1L 

    3

    Ans:-   2 47 7 7

    3 3 72t t 

    (iv)   12

    3 7L 

    4 25

     

    Ans:-

     3 5 7 5cosh sin

    4 2 10 2t h t 

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    9/17

    Laplace Transforms 9

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (v)   12

    3 4 3L 

    7

     

    Ans:-

      4 33cos 7 sin 7

    7t 

    Method of partial traction

    Evaluate the following

    (i)

    21

    2 2 2 2L 

      s 

    s a s b  

    Ans:-

     

    2 2

    1sin sina at b bt  

    a b 

    (ii) 21

    3 2

    1L 

    3 2

    s s s 

    Ans:-   21

    22 2

    t t s e e 

    (iii) 

    1   2L 

    1 3

    s s s 

     

    Ans:-

    32

    3 2 6

    t t e e 

    (iv)

    21

    2 2

    2 1L 

    1 4

    s s 

    Ans:-  3sin2

    sin2

    t t 

    (v)

    21

    2 2

    2 3L 

    2 2 2 5

    s s 

    s s s s  

    Ans:-   sin sin23

    t e t t 

    (vi)

     

    1

    2L 

    1 4

    s s 

    Ans:-  cos2 2

    sin25

    t e t t 

    s s 

    (vii)

    12

    L 2 1

    s s 

     

    Ans:-   2 22t t t e t e e  

    (viii)  

    1

    2

    5 3L 

    1 2 5

    s s s 

    Ans:-  3cos2 sin2

    2

    t t t e e t e t  

    (ix)   14 2

    L 1

    s s 

     

    Ans:-

      2 3sin sin

    2 23

    t t h 

    Formula : If    ( ) ( )1L  f t f s − = , then   ( ) ( )1L    at  f s a e f t − − + =

    Evaluate the following

    (i) 

    1

    2

    2L 

    4 7

    s s 

    Ans:-   2 24

    cos 3 sin 33

    t t e t e t  

    (ii)

    15

    3L 

    3s 

     

    Ans:-4 3

    8

    t t e 

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    10/17

    10

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (iii)

    15

    L 5

     

    Ans:-5 3

    5 45

    6 24

    t t e t  e t 

    (iv)

    14

    3 1L 

    1

     

    Ans:-3

    23

    2 3

    t t    t e t e 

    (v)   12

    2 3L 

    2 2

    s s 

     

    Ans:- 2 cos sint t e t e t  

    (vi)   12

    14 10L 

    49 28 13

    s s 

     

    Ans:-

    2

    72 3 3

    cos sin7 7 7

    t e t t 

    Formula : If    ( ) ( )1L    f s f t  −   = , then   ( ) ( ) ( )1L 1

    d  f s t f t 

    ds 

    −   = −

    Find the following

    (i)2 2

    12 2

    L log  s b 

    s a 

     

    Ans:-

      2 cos cosat bt  

    (ii)

    2

    11

    L log1

    s s 

    Ans:- 1

    1 2cost e t t 

    (iii)   1  1

    L log1

    s s k 

      where ‘ k ’ is a constant. Ans:-

    2

    2 2cosh sinht t 

    t    t 

    (iv)   12

    1L log 1

     

    Ans:-  2 1 cos t 

    (v)   1  2 1

    L log2 3

     

    Ans:-

    3 1

    2 2t t 

    e e 

    (vi)   1  1

    L log1

     

    Ans:-

      1sinh t 

    (vii)   1L log   s m s n 

     

    Ans:-nt mt  

    e e t 

    (viii)2 2

    12

    L log  s a 

     

    Ans:-  1 coshat 

    (ix)   1 1L cot   s 

    Ans:- sint 

    (x)   1 1L tan5

    Ans:- sinat 

    (xi)   1 1L tan 2s  Ans:-2 sint e t 

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    11/17

    Laplace Transforms 11

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (xii)   1 12

    2L tan

    Ans:- sint t e e 

    t t 

    (xiii)   1 1  2

    L tan3

    Ans:-2 sin3t e t 

    (xiv)   1 1L 2 tanh   s 

    Ans:- 2sinh t 

    Convolution Theorem

    Using convolution theorem find

    (i)

    21

    22

    4

    Ans:-   1

    sin2 2 cos24

    t t t 

    (ii)

    1

    22 2

    L   s 

    s a 

    Ans:-  sin

    2

    t at 

    (iii)

    12

    1L 

    2 2s s 

     

    Ans:-   212

    t t  e 

    (iv)

    122

    1L 

    1s s 

     

    Ans:-   2 2t t te e t  

    (v)

    21

    22 2

    L   s 

    s a 

    Ans:- 1 1

    cos sint at at  t a 

    (vi)

    21

    2 2L 

    1 4

    s s 

    Ans:-   1

    2sin2 sin3

    t t 

    (vii)

    1

    2

    2

    1L 

    4 13s s 

    Ans:-2 sin3

    cos3

    18 3

    t e t t t 

    (viii)

    21

    22 2

    L   s 

    s a 

    Ans:-   1

    cosh sinh2

    at at at  a 

    (ix) 

    21

    22

    2L 

    4 8

    s s 

    Ans:-2 sin2

    cos22 2

    t e t t t 

    (x)

    1

    4 2L 

    13 36

    s s 

    Ans:-   1

    cos2 cos35

    t t 

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    12/17

    12

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    Using Laplace transform technique, solve the following differential equations

    (i)2

    2

    d y y t 

    dt    , given y  (0) = 1,   0 0y   

    Ans:-  t  + cost  – sin  t 

    (ii)2

    2  4 8 1

    d y dy  y 

    dt dt    , given y  = 0 and 0

    dy 

    dx    at  t  = 0

    Ans:-2

    21 cos2 1 sin28 8 8

    t t e t  e t 

    (iii)   2D 2D 5 sint y e t    where D   d dt 

      and y  (0) = 0,   0 1y   

    Ans:-   sin sin23

    t e t t 

    (iv)     23 3   t y t y t y t y t t e     where y (0) = 0,   0 0y      ,   0 2y   

    Ans:-5 2

    2120 2

    t t t e t e  

    (v)2

    2  2 3   t 

    d y dy  y te 

    dt dt 

      , given y (0) = 4,   0 2y   

    Ans:-3

    4 62

    t t t e t  e t e 

    (vi)   3 2D 2D 5D 0y    , with y (0) = 0,   0 0y      ,   0 1y   

    Ans:- 1 sin2 cos2

    5 10 5

    t t t e t  

    (vii)   4 9x t x t t       , where  x (0) = 0 and   0 7x   

    Ans:- 9 19

    sin24 8

    t t 

    (viii)  3 2 2D 3D 3D 1   t x t e    , given x (0) = 1, D[x (0)] = 0,   2D 0 2x      where D  d 

    dt 

    Ans:-5 2

    60 2

    t t t t e t t e  e te 

    (ix)2

    2  2 1

    d y dy  y 

    dt dt    , given y (0) = 1 and   0 1y   

    Ans:-   1t te   

    (x)

    0

    2 sint 

    dy y y dt t  

    dt    , where  y (0) = 1

    Ans:-   3 1 sin2 2

    t t e e t t  

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    13/17

    Laplace Transforms 13

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (xi)2

    2  9 18

    d y y t 

    dt    where  y (0) = 0 and 0

    2y 

     

    Ans:- 2t  +  sin 3t 

    (xii)2

    2

    2  2

    d y dy  t t 

    dt dt    , given that y  = 4 and   2

    dy 

    dt    at  t  = 0

    Ans:-3

    2 16

    t    t e 

    (xiii)2

    2  9 cos 2

    d y y t 

    dt    , with  y (0) = 1 and 1

    2y 

     

    Ans:- 4 4 1

    sin3 cos3 cos25 5 5

    t t t 

    Laplace Transform of special functions

    (I) Theory question (periodic function)

    If  f  (t ) is periodic function with period T > 0 show that

       T 

     T 0

    1L 

    1

    st 

    s  f t e f t dt 

        , s  > 0

    Example

    (i) Find Laplace transform of 

     T 0

    2 T 

     T 2

    k t 

     f t 

    k t 

     

    Where f  (t ) = f  (t  + T)

    Ans:-  T 

    tanh4

    k s 

    (ii) Find Laplace transform of 

      1 0

    1 2

    t b  f t 

    b t b 

     

    Where f  (t ) = f  (t  + 2b )

    Ans:- 1

    tanh2

    bs 

    (iii) Find Laplace transform of 

    sin , 0

    20,

    a pt t   p 

     f t 

    t  p p 

    where     2

     f t f t  p 

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    14/17

    14

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    Ans:-

    2 2 1s 

     p 

    ap 

    s p e 

    (iv) Find Laplace transform of 

     f  (t ) = t , 0

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    15/17

    Laplace Transforms 15

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    (vii) Find the Laplace transform of      sin f t p t    ,  t   0

    Ans:-

    2 2P

    2

    s th 

     p s p 

     

    (II) Heaviside unit step function

    Prove the following

    (i)   L Has e 

    t a s 

      (ii)     1

    L H   t s 

    (iii) If    L   f t f s     then   L H  as  f t a t a e f s 

    (iv)   L H L as  f t a t a e f t a 

    Find the following

    (i)   3L sin H H2 2

    t t t 

    Ans:-

    3

    2 22

    1

    1

    s s s 

    e e s s 

    (ii)   2L H 2t t 

    Ans:-   23 2

    2 4 4s e s s s 

     

    (iii)     2 3L 1 2 3 4 H 2te t t t  

    Ans:-   24 3 2

    24 42 38 25s e s s s s 

     

    (iv) L [sint  H (t  –  )]

    Ans:-

    21

    1

    s e s 

    (v)  

    4

    L H 2t t 

    Ans:-   25 4 3 2

    24 48 48 32 16s e s s s s s  

     

    (vi)     2 3L 1 2 H 1t t t t  

    Ans:-4 3 2

    6 4 3 3s e s s s s 

     

    Find

    (i)

    15/2

    L as e 

    s b 

     

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    16/17

    16

    Proof_01_(19-12-2014) Prof. A. Y. Shete … Mobile : 98693 38374

    Ans:-   3/24

    H3

    b t a e t a t a  

    (ii)

    31

    3L 

    4

    s e 

     

    Ans:-    

    2

    4 3   2H

    2

    t    t e t a 

     

    (iii)2

    12

    L 8 25

    s e 

    s s 

     

    Ans:-   4 81

    sin 3 6 H 23

    t e t t 

    (iv)

    4 31

    5/2L 

    4

    s e 

     

    Ans:-   4   3

    4 32

    43 H 3

    3

    t e e t t 

    (v)

    1

    2L 

    4

    s e 

    Ans:-   1

    sin2 H2

    t t 

    (vi) 

    1

    2

    2L 

    3

    s s e 

    s s 

     

    Ans:-   31 2 1

    H 19 3 9

    t t e t 

    (vii) Solve   2

    2  4

    d y y f t 

    dt    , with condition f  (t ) = H(t  – 2),  y (0) = 0,   0 1y   

    Ans:-   1 sin2

    1 cos2 2 H 24 2

    t y t t t  

    (III) Dirac-delta function

    (Unit – impulse function)

    Note : (i)   L    as t a e 

    (ii)   L    as  f t t a e f a 

    (iii)   0

     f t t a dt f a 

    Evaluate the following

    (i)   2

    0

    sin 2t t e t t dt  

  • 8/17/2019 Laplace Transforms Proof 01

    17/17

    Laplace Transforms 17

    Proof 01 (19 12 2014) Prof A Y Shete Mobile : 98693 38374

    Ans:-2

    4sin2

    (ii)   0

    log 3n m t t t dt  

    Ans:-   3 log3  n m 

    (iii)

    0

    cos23

    t t dt  

    Ans:-  1

    2

    Find the following

    (i)   L sin2

    4

    t t 

    Ans:-   4s 

    (ii)   3 2L H 4 4t t t t  

    Ans:-   44 3 2

    6 24 48 6416s e 

    s s s s 

     

    (iii)   2L sin2 44

    t t t t  

    Ans:-   44 16

    s s e e 

    (iv)   3L H 4 2t t t t  

    Ans:-   4 22

    1 48s s e e 

    s s 

    (v)   L sin2 2t t 

    Ans:-   2 sin4s e 

    (vi)   2L H 4 4t t t t  

    Ans:-4

    2

    2  1 4 10

    s e s s