Laopran Fiskom Fix

7/25/2019 Laopran Fiskom Fix

1/18

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model matematika dapat digunakan dalam persoalan-persoalan polusi

lingkungan seperti yang terjadi pada perairan, dengan disimulasikan atau

diturunkan fenomena kejadiannya (Haryanto, 2008). Gejala yang terjadi di

perairan sangat penting untuk di pelajari terutama yang ber ubungan dengan

ad!eksi dan difusi polutan. Hal ini sesuai dengan pernyataan "uknanto (#$$2) ba %a &enomena aliran dan transport merupakan suatu gejala alam yang

penting untuk dipelajari karena mempunyai pengaru ter adap beberapa studi

rekayasa.

&enomena tersebut terjadi dalam berbagai ma'am situasi fisik, seperti

transfer panas, proses pemisa an at kimia, aliran fluida dalam media berpori,

penyebaran kontaminan dalam 'airan dan juga transport partikel-partikel ke'il

seperti penyebaran polutan, garam, sedimen dan lain-lain di dalam perairan

dangkal.

i alam, proses penyebaran polutan terjadi melalui dua proses utama

yaitu difusi dan ad!eksi, dan dapat dianggap dua mekanisme yang terpisa

(Haryanto, 2008). *d!eksi adala proses perpinda an panas sebagai akibat

dari adanya aliran. ifusi adaala proses perpinda an panas berupa rambatan

dari air dengan temperatur tinggi ke air dengan temperatur yang lebi renda

(+upangat dan +usanna, 2008).

alam laporan ini anya akan diba as mengenai metode peme'a an

numerik eksplisit untuk menyelesaikan persamaan ad!eksi dan difusi #-

dimensi dengan metode eksplisit pstream. an juga mema ami penerapan

parameter model dalam kaitannya dengan stabilitas numerik. Hal ini la yang

melatarbelakangi pembuatan laporan ini.

1.2 Rumusan Masalah1


2/18

2

ermasala an yang akan di angkat pada laporan ini adala bagaimana

menerapkan dan menyelesaikan metode peme'a an numerik eksplisit untuk

menyelesaikan persamaan difusi # dimensi dengan metode eksplisit serta

mema ami penerapan parameter model dalam kaitannya stabilitas numerik.

1.3 Batasan Masalah

alam laporan ini penulis anya memba as dan menggunakan metode

ekplisit dengan koefisien difusi dan langka %aktu yang tela ditentukan.

1.4 Tu uan

ujuan dari pembuatan laporan ini adala untuk menerapkan metode

peme'a an numerik eksplisit dan untuk menyelesaikan persamaan difusi #

dimensi dengan metode eksplisit serta mema ami penerapan parameter model

dalam kaitannya stabilitas numerik.

1.! Man"aat

Manfaat dari laporan ini adala kita dapat mengeta ui bagaimana fungsi

program fortran untuk mem'a kan metode numerik eksplisit dalam persamaan

difusi # .


3/18

3

BAB IITIN#AUAN PU$TA%A

2.1 D&"us& 1 D&mens&

ifusi adala sala satu dari beberapa fenomena transportasi yang terjadi

di alam. erbedaan utama dari difusi ini adala asil dalam transportasi

pen'ampuran atau transportasi massa, tanpa memerlukan gerakan yang besar.

/adi, difusi berbeda dengan kon!eksi, atau ad!eksi, yang mekanisme

transportasinya memanfaatkan gerakan yang besar untuk meminda kan partikel

dari satu tempat ke tempat lain.

alam pendekatan fenomenologis, menurut ukum &i'k, fluks difusi

sebanding dengan gradien negatif dari konsentrasi. engan demikian, difusi

merambat dari daera konsentrasi tinggi ke daera konsentrasi renda . ari sudut

pandang atomik, difusi dianggap sebagai akibat dari pergerakan partikel se'ara

a'ak yang kemudian menyebar.

alam difusi molekular, molekul bergerak sendiri didorong ole energi panas. +ala satu faktor yang memengaru i ke'epatan difusi adala su u.

+emakin tinggi su u, partikel mendapatkan energi untuk bergerak dengan lebi

'epat. Maka, semakin 'epat pula ke'epatan difusinya.

onto proses difusi satu dimensi adala perambatan energi panas pada

logam besi. roses difusi akan terus berlangsung sampai panas tersebar luas

se'ara merata pada logam besi atau men'apai keadaan kesetimbangan dimana

perpinda an energi panas tetap terjadi %alaupun tidak ada perbedaan su u(*nonim, 20#1).

2.2 Persamaan M'(el

2.2.1 Persamaan Pem)angu n

ersamaan difusi # dimensi yang digunakan adala


4/18

4

F t

= Ad 2 F

x2

( 2.# )

dimana & menggambarkan konsentrasi suatu at terlarut, *d adala koefisien

difusi, dan 3 adala ara sumbu ori ontal (*nonim, 20#2).

2.2.2 Deskr&t&sas& M'(el

ersamaan beda ingga metode ini adala pendekatan beda maju untuk

turunan %aktu dan beda puat untuk turunan ruang. 4ila indeks n untuk %aktu,indeks i untuk ruang, dan *d dianggap konstan ter adap ruang dan %aktu, maka

persamaan di atas dapat dideskritasi menjadi

F in +1= F in+ ( F i+1n 2 F in+ F i 1n ) ( 2.2 )

imana,

= Ad t x 2

5riteria stabilitas untuk menyelesaikan persamaan difusi dengan metode beda

ingga eksplisit adala

= Ad t x2

12 ( 2.1 )

(*nonim, 20#2)

2.3 N&la& A*al (an $+arat Batas

2.3.1 N&la& A*al

5onsentrasi polutan dianggap belum ada, perairan dianggap bersi . Maka se'ara

matematis dapat dituliskan (*nonim, 20#2)

&60, 7 pada t60 ( 2. )

*tau F

i

0 = 0 untuk i6#, 2, 1, ... , ima3

1


5/18

5

(*nonim, 20#2)

2.3.2 $+arat Batas

+yarat batas di ulu (i60) dapat ditulis

F 0n +1= F in+

1

( 2.9 )

+edangkan syarat batas di ilir (i6ima3) dapat ditulis

F imaxn +1 = F imax 1n +

1

( 2.: )

2.4 Met'(e Numer&kMetode beda ingga adala metode numerik yang umum digunakan untuk

menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis.

+e'ara umum metode beda ingga adala metode yang muda digunakan dalam

penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti

inter!al dalam # (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik

dalam ruang tiga dimensi ( "i, 20#0).

*plikasi penting dari metode beda ingga adala dalam analisis numerik,

k ususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

rinsipnya adala mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan

diskritisasi beda ingga berdasarkan deret aylor. +e'ara fisis, deret aylor dapat

diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan %aktu (ruang dan %aktu

tinjauan) dapat di itung dari besaran itu sendiri pada ruang dan %aktu tertentu

yang mempunyai perbedaan yang ke'il dengan ruang dan %aktu tinjauan

(*nderson, #$8 ).

*k ir-ak ir ini banyak penyelesaian analitis dari masala perpinda an

kalor konduksi. ;amun dalam banyak situasi praktis, kita di adapkan pada

kondisi batas yang sedemikian rupa se ingga penyelesaian analitis tidak bisa

dilakukan ataupun biasa tetapi sangat kompleks, se ingga e!aluasi dengan angka-

angka sangat sulit. ntuk situasi yang demikian, pendekatan yang paling baik

adala didasarkan atas teknik-teknik beda ingga ( finite-difference technique ).

Misal diberikan persamaan


6/18

6

T t

= k y x2

: 0 < x< L ; 0


7/18

7

Gambar 2.# 4idang Hitungan enyelesaian ;umerik ( riatmodjo, #$$2)

*da empat tipe metode (skema) dasar untuk menyelesaikan persamaan (2.mplisit,

'. skema rank-;i' olson

2.! $kema Eks,l&s&t

ada skema eksplisit, !ariabel %aktu n?# di itung berdasarkan !ariabel

pada %aktu n yang suda diketa ui (Gambar 2.2). &ungsi (3,t) dan turunannya

dalam ruang dan %aktu didekati ole bentuk berikutT ( x ,t )= T jn

T ( x , t ) t

T j

n+1 T jn

t

2T ( x , t ) x

2 T j 1

n T jn+T j+1n

x2


8/18

8

+e ingga persamaan (2.##) dapat ditulis

T jn+1

T jn

t = K j T j 1n

2

T jn

+T j+1n

t

(2.#2 )

*tau,

T jn+1= T jn+ K j v(T j1n 2 T jn+T j+1n ) ( 2.#1 )

imana, v= t x2

Gambar 2.2 +kema Metode =ksplisit ( riatmodjo, #$$2)

ersamaan (2.


9/18

9

*pabila Bt besar, penyelesaian dari persamaan (2.#1) menjadi tidak stabil.

5eterbatasan ini menyebabkan metode eksplisit kurang disukai, karena diperlukan

%aktu itungan yang lebi lama.


10/18

10

BAB IIIMET-DEL- I

3.1 Parameter Per/')aan

a) anjang 5anal (") yang dimodelkan 2000 meter

b) "ebar Grid (C3) #00 meter

') 5oefisien ifusi (* ) #0m 2Adetik

d) 5onsentrasi di kanan persamaan

e) "ama +imulasi ( ) 200 detik f) "angka Daktu (Ct) 0 detik

3.2 0l'* hart

$


11/18

11

3.3 Alg'r&tma

#. arameter yang dimasukkan dalam model antara lain

a) anjang 5anal (") dalam meter

b) "ebar Grid ( 3) dalam meter

') 5oefisien ifusi (* ) dalam m 2Adetik, dalam praktikum ini dianggap

konstan ter adap ruang dan %aktu.

d) 5onsentrasi +umber dalam ( kr) mgAliter

e) "ama +imulasi ( ) dalam detik

f) "angka Daktu ( t) dalam detik

2. itetapkan ima3 6 panjang di! d3 E nma3 6 lama di! dt

1. 5riteria stabilitas

F 6 (*d dt)As rt(d3)

. /ika, if((i-#) d3.le.0.9)

ta(#)60. E tb(#)60. E ta(n?#)60. E tb(n?#)60. E j60.

9. ntuk, do 9 j6#,m E do #0 i62,n

''6dt 'kA(d3 2)

tb(i)6ta(i)?'' (ta(i-#)-2 ta(i)?ta(i?#))

:. do #9 i62,n

ta (i) 6 tb (i)


12/18

12

BAB IHA$IL DAN PEMBAHA$AN

4.1 Data (an Has&l

4.1.1 $/r&,t Pr'gram

IJGI*M persamaanKdifusiK#KdimensiIeal ", ,d3,dt,ad,*

ara'ter j%bimension &(#00), &0(#00)

"620006200

L Jutput file## Jpen(#0,file6 .t3t ,status6 unkno%n )

L >nput !ariabel$$ Drite( , ) masukkan lebar grid(m) 6

Iead( , )d3Drite( , ) masukkan langka %aktu (s) 6

Iead( , )dtDrite( , ) masukkan koefisien difusi 6Iead( , )ad>ma36"Ad3

;ma36 Adt

L 5reteria stabilitas*6ad dtA(d3 2)>f (*.gt.0.9) t enGoto $$=ndif

L +yarat bataso # i6#,>ma3

&0(i)60# 'ontinue

L >nput arga polutan&0(#9)6#00

L eskretisasi ifusio 2 j62,;ma3o 1 i62,>ma3-#

##


13/18

13

&(i)6* &0(i?#)?(#-2 *) &0(i)?* &0(i-#)

1 'ontinue

L +yarat batas&(#)6&(2)&(>ma3)6&(>ma3-#)

L etak asilDrite(#0, (#00.2) )(&(i),i6#,>ma3)

L ransfer !ariabelo i62,>ma3-#

&0(i)6&(i) 'ontinue

2 'ontinuelose(#0)

end

4.1.2 Has&l

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.16 7.36

0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.44 10.18

0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.81 12.53

92.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.0084.96 7.36 0.16 0.00 0.00 0.00

78.75 10.18 0.44 0.01 0.00 0.00

73.27 12.53 0.81 0.02 0.00 0.00


14/18

14

4.2 ra"&k

4.2.1 ra"&k %'nsentras& Terha(a, aktu

Gambar .# Grafik # imensi

4.2.2 ra"&k %'nsentras& Terha(a, aktu (an Ruang

Gambar .2 Grafik 1 imensi

% ' n s e n t r a s &

aktu

% ' n s e n t r a s &

aktu Ruang


15/18

15

Gambar .1 Grafik 1 imensi

4.3 Pem)ahasan

ada praktikum kali ini digunakan metode persamaan difusi & + untuk

meng itung sebaran polutan di kanal. engan panjang kanal 2000 meter, lebar

grid #00 meter, lama simulasi 200, langka %aktu 0 detik, koefisien 0 m 2Adetik.

4erdasarkan grafik dapat dili at ergerakannya polutan yang terli at adala

polutan tersebut bergerak menyebar ke kanan.ada grafik sebaran polutan se'ara diskontinyu, diketa ui ba %a polutan

dibuang pada grid ke #< dengan konsentrasi sebesar


16/18

16

sebesar ni

dikarenakan polutan bergerak menyebar ke segala ara akibat pengaru %aktu,

koefisien difusi, dan juga ruang (jarak grid).+edangkan untuk grid yang berada jau dari sumber polutan (grid #


17/18

17

BAB PENUTUP

!.1 %es&m,ulan

ari pemba asan diatas dapat ditari kesimpulan ba %a nilai

konsentrasi dengan persamaan difusi dipengaru i ole %aktu, jarak grid, dan

juga koefisien difusi. *rus memberikan peranan dalam proses ad!eksi

dengan pergerakan polutan yang sesuai dengan ara arus, sedangkan

faktor difusi memberikan gambaran penyebaran polutan ke segala ara .5e'epatan pergerakan dan penyebaran tergantung pada ke'epatan arus dan

besarnya koefisien difusi.

!.2 $aran

i arapkan pada praktikum selanjutnya dalam meme'a kan permasala an

numerik digunakan metode lain yang sala satunya metode implisit, agar

ma asis%a dapat mema ami berbagai ma'am metode dalam menyelesaikan

permasala an numerik.

#:


18/18

18

DA0TAR PU$TA%A

*nderson, .D., #$8 . *n >ntrodu'tion to Multi!arite +tatisti'al *nalysis, /o n

Diley and sons, ;e% Nork, :. alembang.

*nonim. 20#1. http://web-tri !blogspot!com/"#1$/11/difusi-s%tu-dimensi!html !

diakses pada 10 esember 20#9.

Haryanto 4. ebruari. 2008. engaru emili an 5ondisi 4atas, langka

Iuang,"angka Daktu, dan 5oefisien ifusi pada Model ifusi. /urnal

*plika. Ool 8.;o. #.

"uknanto. #$$2. &ng ut%n 'imb%h! * , >lmu eknik ni!ersitas Gadja Mada,

Nogyakarta

"i N and &. Iai' len, 2002, (on-)re% ing %nd )re% ing *olit%r ,% e .un- p ,

/. fluid. Me' ., 9:,2$9-1#8, ambridge ni!ersity, +*.

+upangat, *. P +usanna, 2001. 0eng%nt%r se%nogr%fi! /akarta usat Iiset

Dilaya "aut dan +umberdaya ;on-Hayati, 4adan Iiset 5elautan dan

erikanan, epartemen 5elautan dan erikanan.

riatmodjo, 4. #$$2. Metode (umeri . Nogyakarta 4eta Jffset.
http://web-trik.blogspot.com/2013/11/difusi-satu-dimensi.htmlhttp://web-trik.blogspot.com/2013/11/difusi-satu-dimensi.html

Documents

Laopran Fiskom Fix