-
1
Laborator nr.3.: ALGORITMI DE CONDUCERE NUMERIC DIRECT
ALGORITMUL KALMAN
Scopul lucrrii:
prezentarea algoritmului Kalman de conducere numeric direct;
prezentarea problemelor legate de implementarea acestor
algoritmi
Consideraii teoretice:
Metoda clasic de abordare a problemei proiectrii algoritmului de
conducere se
bazeaz pe schema din fig. 5.1.a. Datorit modului discret de
funcionare a sistemului de
conducere, se consider structura din fig. 5.1.b., unde HSHo este
funcia de transfer a
elementului de eantionare-reinere de ordinul zero, respectiv
:
H se
sSH
T sE
0
1( )
.
Diversele tipuri de algoritmi de conducere numeric direct rezult
din cerinele
impuse funciei de transfer a sistemului nchis, cu alte cuvinte a
modului n care trebuie s
se comporte ieirea y(z) la o anumit referin w(z).
HR(s) w(s) (s) u(s) y(s)
-
Fig.5.1.a. Schema buclei de reglare continu
HP(s)
-
2
Metoda Kalman
Metoda propus de Kalman pleac de la impunerea mrimilor de
intrare i /sau de
comand. Se poate alege u(z) astfel nct y(z) s ating valoarea
staionar n "m" perioade
de eantionare, astfel nct se poate scrie:
y(z) = y1z-1
+ ... + ym-1z-m+1
+ z-m
+ ... =
= [y1z-1
+ (y2 - y1)z-2
+ ... + (1 - ym-1)z-m
]/(1-z-1
) =
= P(z-1
)/(1-z-1
) = P(z-1
)w(z)
cu observaia:
pi = 1
In mod similar:
u(z) = u0 + u1z-1
+ ... + umz-m
+ umz-m+1
+ ... =
= [u0 + (u1 - u0)z-1
+ ... + (um - um-1)z-m
]/(1-z-1
)=
= Q(z-1
)/(1-z-1
) = Q(z-1
)w(z)
cu observaia:
qi = um = 1/Kf
Funcia de transfer n "z" a algoritmului de reglare este:
H zQ z
P z
q A z
q B zR
1
1
1
0
1
0
11 1
HR(z)
HSHo(s)
w(s) w(z)
TE TE
TE
(z)
y(z) -
u(z) y(s)
HP(s)
Fig.5.1.b. Schema buclei de reglare numeric
-
3
unde q Bbi
0
1
11
Pentru eliminarea comenzii iniiale se poate adopta o procedur
Kalman extins. In acest
caz parametrul q0 poate lua valori cuprinse ntre:
qa bi
0
1
1
1min
q
bi0
1max
Pentru a controla valoarea iniial a comenzii, respectiv pentru a
evita intrarea n
saturaie a algoritmului se poate utiliza un algoritm Kalman
extins. In acest caz se
extinde durata procesului tranzitoriu la un numr de "m+1" taci
iar polinoamele P(z-1
)
i Q(z-1
) au urmtoarea structur:
P(z-1
) = p1z-1
+ ... + pm+1z-m-1
Q(z-1
) = q0 + q1z-1
+ ... + qm+1z-m-1
Prin identificarea coeficienilor qi, pj n funcie de ai, bj
rezult necesitatea includerii unei
rdcini suplimentare z = 1/ pentru rdcinile polinoamelor
B(z-1
) i A(z-1
). Astfel,
raportul polinoamelor P(z-1
) i Q(z-1
) poate fi scris sub forma:
P(z-1
)/Q(z-1
)=(p1'z-1
+p2'z-2
+..+ pm'z-m
)(-z-1
)/(qo+q1'z-1
+p2'z-2
+...+ pm'z-m
)(-z-1
)
Relaiile ce se impun n cazul identitii raportului polinoamelor
P/Q cu B/A sunt
echivalente:
qi' = aiq0', i=1,m
pj' = bjq0', j=1,m
innd seama de modelul extins, rezult relaiile:
q0 = q0' p1 = p1'
q1=q1' - q0' p2 = p2' - p1'
.
qm = qm' - qm-1' pm = pm' - pm-1'
qm+1 = -qm pm+1 = -pm'
Comanda iniial se calculeaz cu ajutorul relaiei:
-
4
u0 = q0 = 0q0' = [q0 - 1/bi]
Parametrii de acord ai algoritmului de reglare se calculeaz cu
ajutorul relaiilor:
q0 = u0 - care se alege n concordan cu cerinele procesului;
q1 = q0(a1 - 1) + 1/B p1=q0*b1;
q2 = q0(a2 - a1) + a1/B p1 = q0(b2 - b1) + b1/B
..
qm = q0(am - am-1) + am-1/B pm = q0(bm - bm-1) + bm-1/B
qm+1 = -am(q0 - 1/B) pm+1=-bm(q0 - 1/B)
Cu aceti parametri de acord se elaboreaz comanda, unde q0 se
alege aprioric, de aceast
alegere depinznd comportarea ulterioar a sistemului. Se impune
alegerea lui q0 astfel
nct s fie respectate relaiile:
q0min q0 q0max
Desfurarea lucrrii:
1. Se consider funcia de transfer:
H sT s
efsm( )
1
11
,
cu T1 3 ,34 sec , m 1 86, sec , TE = 1 sec.
Se cere algoritmul de reglare dup metoda lui Kalman. S se scrie
un program n
MATLAB pentru simularea conducerii numerice a procesului
considerat. Vor fi puse n
eviden rspunsul la treapt i evoluia comenzii pe durata de
simulare.
Probleme:
a) S se calculeze algoritmul de reglare pentru sistemul fizic
din laborator
b) S se implementeze algoritmul de reglare pe acest sistem
fizic.
