INDICE

1. Fundamento teórico 2

2. Objetivos 4

3. Materiales a utilizar 5

4. Procedimiento 7

5. Cálculos y resultados 9

6. Observaciones 13

7. Conclusiones 16

8. Recomendaciones 17

1

I. Fundamento teórico

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Definición: El movimiento armónico simple es un movimiento periódico

de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de

equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional)

podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un movimiento

circular uniforme (m.c.u.). Cuando tenemos un punto que da vueltas

uniformemente alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un eje

(una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., lo que nos va a permitir

deducirnos sus ecuaciones a partir del movimiento circular (un movimiento

auxiliar, bidimensional, que no es armónico simple). Puede verse el ejemplo en

la figura siguiente

 

Pero, el movimiento armónico es el del punto que vemos moverse sobre

el eje vertical (sube y baja). El movimiento circular de la partícula que da

vueltas alrededor de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no

es un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos están

directamente relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta circunstancia

nos va a permitir encontrar fácilmente una ecuación para el m.a.s.,

simplemente relacionándolo con el movimiento circular auxiliar.

La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del

ángulo que nos da la posición de la partícula del m.c.u.:

y = A.sen(w.t + Fo)

2

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s. Como

puede verse, la elongación es una función periódica del tiempo y el máximo

valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre

los valores +1 y -1.

Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partícula

sometida a un m.a.s. vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo de la

función y:

v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)

donde observamos que la velocidad es también función periódica del tiempo.

Análogamente, derivando en la expresión de la velocidad, obtenemos el

valor de la aceleración:

a = dv/dt = - A.w2 sen (w.t + Fo) = - y.w2

en la que observamos que la aceleración en un m.a.s. es directamente

proporcional a la elongación cambiada de signo. Lo que nos lleva a que la

aceleración de la partícula sometida a un m.a.s. es, también, función periódica

del tiempo, resultando máxima cuando se encuentra en la posición más alejada

del punto de equilibrio, mientras que en este la aceleración es nula.

 Período y frecuencia en el m.a.s.: Período es el tiempo que tarda el

movimiento en repetirse. Dicho de otra forma, es el tiempo que tarda la

partícula en realizar una oscilación completa. Se representa por T.

Frecuencia es el número de oscilaciones que la partícula realiza en la

unidad de tiempo. Se representa por N ó f y se mide en s-1, vibraciones/s,

ciclos/s o hertzios.

El período y la frecuencia se relacionan de la siguiente manera: f = 1/T .   

3

II. Objetivos

Verificar las leyes de la naturaleza que determina el MAS

Determinar la constante de fuerza del resorte

Determinar si la masa del resorte afecta los resultados obtenidos sobre la constante del resorte

Determinar si el periodo depende de la amplitud de oscilación.

4

III. Materiales a utilizar :

- Un resorte

- Una base y soporte universal

- Un cronómetro

- Masas de diferentes medida

5

- Una regla milimetrada

- Una balanza

6

IV.Procedimiento

1. Disponga del equipo como se indica. Marque con el indicador y sobre la hoja del papel milimetrado, la posición de equilibrio de la masa “m”.

2. Mida la deformación del resorte al suspender de él y una por una las masas. Para medir la elongación x del resorte deje oscilar la masa hasta el reposo. Se pondrá los datos en la tabla 1.

TABLA 1

# masa (g) Lf (cm) ΔL (cm)

1 623.5 26.2 5.2

2 933.5 31.1 10.1

3 1238 36 15

4 1547.5 41.2 20.2

5 1861 46.3 25.3

Longitud Inicial del resorte (L0) = 21cm

3. Suspenda el resorte con cada masa y a partir de la posición de equilibrio de un desplazamiento hacia abajo y suelte la masa para que oscile. Y cuando se estabilice se contará un número de oscilaciones para luego medir el tiempo total y así poder hallar el periodo.

7

TABLA 2

# masa (g)# de

oscilaciones

Tiempo (s) Tiempo Promedio Frecuencia

t1 t2 t3 (s) f (Hz)

1 623.5 10 7 5.83 5.89 6.24 1.60

2 933.5 10 7.94 7.91 7.97 7.94 1.26

3 1238 11 9.19 9.95 9.2 9.45 1.16

4 1547.5 8 8 8.11 8.18 8.10 0.99

5 1861 8 8.96 8.99 8.96 8.97 0.89

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V. Cálculos y resultados

1. Determine la constante del resorte.

# masa (g) x = ΔL (cm)

1 623.5 5.2

2 933.5 10.1

3 1238 15

4 1547.5 20.2

5 1861 25.3

= 1240.7 = 15.16

F = 12.17N

k=Fx= 83.84N/m

2. Determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare:

(1)

f 12

f 22

con

m2

m1 (2)

f 12

f 32

con

m3

m1 (3)

f 12

f 42

con

m4

m1

(4)

f 12

f 52

con

m4

m2 (5)

f 22

f 32

con

m3

m2 (6)

f 22

f 42

con

m4

m2

(7)

f 22

f 52

con

m5

m2 (8)

f 32

f 42

con

m4

m3 (9)

f 32

f 52

con

m5

m3

(10)

f 42

f 52

con

m5

m4

9

÷f 1

2 f 22 f 3

2 f 42

f 22 1.62 - - -

f 32 1.90 1.17 - -

f 42 2.63 1.63 1.39 -

f 52 3.23 2.00 1.71 1.23

 ÷m1 m2 m3 m4

m2 1.50 - - -

m3 1.99 1.33 - -

m4 2.48 1.66 1.25 -

m5 2.98 1.99 1.50 1.20

3. Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las razones, esto es

f 12

f 22

con

m2+13

(m de resorte )

m1+13

(m de resorte ), etc.

# Masa (g)M=m+

13 mresorte (g)

1 623.5 647.23

2 933.5 957.23

3 1238 1261.73

4 1547.5 1571.23

5 1861 1884.73

10

mresorte = 71.2g

÷f 1

2 f 22 f 3

2 f 42

f 22 1.62 - - -

f 32 1.90 1.17 - -

f 42 2.63 1.63 1.39 -

f 52 3.23 2.00 1.71 1.23

 ÷M1 M2 M3 M4

M2 1.48 - - -

M3 1.95 1.32 - -

M4 2.43 1.64 1.25 -

M5 2.91 1.97 1.49 1.20

4. Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la ecuación f= 12π √−F

mx,

compare el resultado con las frecuencias obtenidas.

# m(kg) F(N) x (m) fformula (Hz) fexperimental (Hz)

1 0.6235 -6.18 0.052 2.20 1.60

2 0.9335 -9.25 0.101 1.58 1.26

3 1.238 -12.27 0.15 1.29 1.16

4 1.5475 -15.34 0.202 1.11 0.99

5 1.861 -18.44 0.253 1.00 0.89

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5. ¿Cómo reconocería si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armónico?

Lo que diferencia a un movimiento armónico de uno oscilatorio es porque éste presenta una fuerza recuperadora que está relacionada en forma directamente proporcional al desplazamiento de la masa. En cambio, un movimiento oscilatorio sólo posee la característica de ser periódico y que oscila sobre un punto de equilibrio.

Entonces, un movimiento armónico posee:

- Fuerza recuperadora- Periodo- Posición en equilibrio- La conservación de la energía

6. ¿Qué tan próximo es el movimiento estudiado aquí, a un movimiento armónico simple?

Las oscilaciones realizadas en el experimento, no están aisladas del medio, entonces sufren pequeñas variaciones por factores como: el rozamiento del aire, o la elongación irrevertible a causa de la excesiva carga de peso, esas condiciones afectan las características principales de un MAS, en este caso la conservación de energía.

Entonces el movimiento estudiado es próximo a un MAS, debido a que tienen las mismas condiciones iniciales, afectando únicamente el medio que rodea el experimento.

7. Haga una gráfica del periodo al cuadrado versus la masa.

# masa (kg) T2 (s2)

1 0.6235 0.39

2 0.9335 0.63

3 1.238 0.74

4 1.5475 1.02

5 1.861 1.26

12

13

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

f(x) = 0.655320518539122 x

T2 vs m

T^2 vs m

Linear (T^2 vs m)

m (kg)

T2

(s

2)

VI.Observaciones

La regla usada en este experimento no facilitaba calcular las longitudes

tomadas para el resorte junto con sus elongaciones.

Con la indicación del error de medición expresamos la fiabilidad que

nuestro proceso de medición puede introducir en la determinación de la

magnitud medida.

El comportamiento del sistema no puede ser reconocido como un

sistema ideal dado que existen factores externos que provocan una

variación en el experimento.

Se daba que las amplitudes tomadas no eran iguales para así intentar

demostrar que el periodo no depende del parámetro de la amplitud

Notar que el observador pudo haber tenido dificultades con el uso del

cronometro, se pudo haber adelantado o haber atrasado de modo que

los resultados varíen.

En el momento de tomar los datos, podemos observar que se tiene una

dificultad para obtener la sincronización entre los experimentadores ya

que uno disponía de la barra mientras que el otro usaba el cronometro

para obtener los resultados.

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Según la tabla:

# masa (g)Fuerza Longitud Final

x= Δ L (m)mg (N) Lf

1 623.5 6.18 26.2 0.052

2 933.5 9.25 31.1 0.101

3 1238 12.27 36 0.150

4 1547.5 15.34 41.2 0.202

5 1861 18.44 46.3 0.253

m: masag: aceleración de la gravedad

g = 9.81m/s2

L0: Longitud inicial del resorteL0 = 21cm

Se puede graficar la relación F vs x

Se puede deducir que la constante k siempre será un valor constante igual a la pendiente de la gráfica.

Además cuando no existe una deformación provocada por la masa aplicada en el resorte aún aparece una fuerza que actúan sobre el resorte. Está fuerza existe debido al peso mismo del resorte que actúan sobre él. Ésta fuerza es igual al término independiente de la gráfica F vs x.

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0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.3000.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

f(x) = 60.8509136066895 x + 3.07033849722587

Gráfica F vs x

F vs x

Línea de ajuste

x (cm)

F (

N)

VII. Conclusiones

1. Se logró demostrar que la fuerza sale en función de X ( la deformación) , pero además se halló una constante

2. F = k.x + b ; esa constante b indica una cifra parecida a la de la masa del resorte

3. Para el experimento, utilizamos diferentes amplitudes, para las 3 mediciones de cada una de las masas; se llegó a la conclusión de que el periodo no depende de la amplitud.

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VIII. Recomendación

1. En un video sacado de internet:

http://www.youtube.com/watch?v=swV44MaXHpw&feature=related

Se observa otra manera de hacer un experimento armónico simple.El experimento es simple, se tiene una masa entre dos resortes, con una base muy lisa. Ventajas:

Se nota que la disipación de la energía es mínima, ya que el movimiento lineal no tiende a irse a otras dimensiones como el actual hecho, tampoco hay mucho rozamiento con el aire, ya que en los laterales no tienen mucha área, y la resistencia del aire ejercería poco trabajo.

Podría ser muy ventajoso trabajar con ese modelo de experimento, ya que se podría colocar una regla y medir la amplitud del movimiento, así poder hallar su ecuación y trabajar de manera más teórica, que es lo que se quiere demostrar.

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