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La teoría cinética trata de
explicar las propiedades de los
gases, tales como la presión, la
temperatura ó el volumen,
considerando su composición
molecular y su movimiento
2
2
1
3
Definimos la velocidad cuadrática media, como:
3rms
P v
Pv v
H 1,920 m/s
N 517 m/s
O 483 m/s
Vapor de agua 645 m/s
23
2 2
m vkT
La temperatura es
directamente proporcional
a la energía cinética media
de las moléculas del gas
Es una teoría mecánica de los gases suponiéndolos formados por partículas independientes o moléculas.El gas se supone a presión baja, es un gas ideal.Las distancias entre partículas son muy grandes frente al tamaño de las mismas.Cumple el “límite termodinámico”, o sea, que siendo N y V , su densidad de partículas se mantiene finita:
finitoV
Nn
•El gas está formado por partículas iguales, esféricas, macizas y de masa m
•Las partículas no ejercen fuerzas a distancia
•Las paredes del recipiente son perfectas
•Todos los choques son perfectamente elásticos
•No soporta ningún campo de fuerzas externo
•El espacio que ocupan es uniforme e isótropo
•Su densidad es el Número de Avogadro: 6.023 ×1023 moléculas/mol
2A 1A
L
Masa de cada molécula:
Velocidad de cada molécula: , ,x y z
m
v v v v
El estado mecánico de cada partícula se define por su posición y su velocidad:
El “espacio de configuración” tiene seis dimensiones y cada punto representa el estado de una partícula.
, , y , ,r x y z v x y z
Es el número de partículas por unidad de
volumen del espacio de configuración:
, , , ,
x y zdr dxdydz dv dv dv dv
dN r v t f r v t drdv
La función de distribución es la densidad de partículas
del gas en el espacio de configuración y está sometida
a las propiedades de ese espacio.
1) El espacio es uniforme y todos los puntos son equivalen
tes:
, , ,
2) El gas está en equilibrio y sus propiedades no dependen
del tiempo:
,
3) El espacio es isótropo y todas sus direcciones equivalentes:
x y z
f r v t f v t
f v t f v
f v f v f v f v f v
El número de partículas en un volumen
es
Por lo tanto, el número de partículas por unidad
de volumen en el espacio real será
drdv
dN f v drdv
dNdn f v dv
dxdydz
2
2
Usando coordenadas esféricas en el espacio
de las velocidades, tenemos
sen
y por tanto
, , sen
dNdn f v dv
dxdydz
dv v dvd d
dn v f v dv f v v dv d d
Desde luego se tiene que
es el ángulo polar
es el ángulo azimutal
2
Son las partículas por unidad de volumen
del espacio real cuyas variables
geométricas se encuentran entre
y y y ,
y cuyo mó
, ,
dulo de la velocida
e
e
d
s
s
n
e
dn v f v dv f v v dv
d d
d d
ncuentra entre
y v v dv
2
2 2
0
2
Como todas las direcciones son equivalentes,
( no depende de y ), podemos integrar
sobre sen y ob
, ,
sen 4
t er
sen
en
v
o
f v
d d
dn dn v f v v dv d d f v v dv
dn v f v dv f v v dv d d
d
24
Es el número de partículas por unidad de
volumen del espacio real
con una magnitud de la velocidad entre
y
en cualquier dirección
vdn dn v f v v dv
v v dv
2
2
Tenemos
4
y
, , sen
Por tanto, haciendo álgebra elemental
1, , sen
4
v
v
dn dn v f v v dv
dn v f v dv f v v dv d d
dn v dn d d
Consideremos un semiespacio limitado por una superficie, y estudiemos el número de choques que realizan las moléculas de un gas por unidad de área de esa superficie.
Imaginemos un cilindro de base ,
altura
e inclinación ,
Su volumen vale:
cos
dA
vdt
dV dAvdt
Todas las partículas con parámetros , , ,
contenidas en el volumen chocarán con la
superficie en el tiempo .
Por tanto, el número choques con será
el producto del número de partículas con ,
v
dV
dA dt
dA
v
,
por unidad de volumen por el volumen del cilindro,
( , , ) sen cos4
vdnd dn v dV v d d dAdt
El cambio de cantidad de movimiento de la partícula
al chocar con el área , está dado como
( ) cos ( cos ) 2 cos
dA
mv mv mv mv
v
v
senv
senv
cosv
cosv
dA
El impulso de la fuerza que sufre la pared es igual
al cambio de su cantidad de movimiento.
Este, a su vez, será igual a la suma la cantidad de
movimiento de las partículas que chocan:
( ) ( )dFdt MV mv (2 cos )d mv d
2 2
2 2
Sustituyendo se obtiene
sen cos2
y por tanto
sen cos2
sen cos4
2 cos
v
v
v
d
md
dnd v d d dA
Fdt v dn d d dAdt
dF mP v dn d
dt
dFd d
dA
t mv
d
/ 2 22 2
0 0 0
Integrando en el semiespacio que ocupa el gas,
o sea, entre los valores 0 /2 y 0 <2 ,
sen cos2 v
dF mp v dn d d
dA
2
0
/ 22
0
2
1sen cos
3
d
d
/ 2 22 2
0 0 0
2
0
2 2
0
sen cos2
3
Definimos ahora
1
que es el valor medio del cuadrado de la
velocidad
v
v
v
dF mP v dn d d
dA
mP v dn
v v dnn
/ 2 22 2
0 0 0
2
0
2
2
sen cos2
3
3
13
v
v
dF mP v dn d d
dA
mP v dn
nmP v
P v
2 22 1
2 1
Por las hipótesis estructurales hechas, un gas ideal
sólo acumula energía cinética. La energía interna
sólo es cinética. Así que
2 2
Pero según la interpretación cinética de la
m v m vU U U N
2
2 22 1
2 1 2 1
temperatura:
3 1
2 2y tenemos
3
2 2 2
kT m v
m v m vU U U N Nk T T
Tenemos que
3
2así que
3 3
2 2VV
U Nk T
UC Nk nR
T
Toda variable mecánica que exprese la energía
en forma del cuadrado de una variable contribuye
a la energía interna con la mitad de la constante
de Boltzmann por la temperatura absoluta.
Es decir, si l 2a energía mecánica es
la energía interna vinculada con esa variable vale:
1
2x
E x
U N kT
Sea una molécula que posee variables mecánicas,
o grados de libertad, que expresan la energía en
forma de cuadrado. En ese caso:
2 2
El calor molar del gas que forma valdrá:
1V
f
f fU N k T nR T
Uc
n
2
fR
T
2 2 2
Energía cinética de traslación:
1 1 1
2 2 2x y zmv mv mv
2 2 2
Energía cinética de rotación
1 1 1
2 2 2x x y y z zI I I
2 2 2
Energía cinética de vibración
1 1 1
2 2 2x y zmv mv mv
2 2 2
Energía potencial de vibración
1 1 1
2 2 2kx ky kz
Gas monoatómico:
1 3
2
5
2
VV
p v
Uc R
n T
c c R R
Gas diatómico:
1 5
2
7
2
VV
p v
Uc R
n T
c c R R
Gas poliatómico
Grados de libertad, 6 ó más, siendo traslaciones y rotaciones:
1 63
2
3 4
VV
p v
f
Uc R R
n T
c c R R R R
Cristal formado por átomos o moléculas monoatómicas
ordenados en el espacio.
Cada partícula vibra sobre su posición de equilibrio y
tiene tres grados de libertad cinéticos y tres potenciales:
1V p
Uc c
n T
6
32V
R R
