8
La proporción áurea à Érase una vez en Grecia Si hubo en pueblo en la Antigüedad obsesionado por la belleza, ese fue, sin lugar a dudas, el griego. Las ciudades-estado raramente paraban de combatir entre sí, y no era muy extraño que las alianzas entre unas y otras mudaran dependiendo de si el viento soplaba más fuerte desde Atenas o desde Esparta. En verdad, pocas cosas unían real- mente a todos los habitantes de la convulsa Hélade. Una de ellas eran las Olimpiadas que suponían una de esas raras ocasiones de paz, y otra era la apreciación de lo bello, en su sentido más amplio: la belleza del cuerpo humano, la de la naturaleza, la de la arquitectura, la escultura u otras formas de arte Por eso, no es de extrañar que los griegos adoptaran como suyo algo que ya conocían los antiguos egipcios, según verifi- có el gran matemático Herodoto. Éste se dio cuenta de que había una proporción deter- minada entre elementos que definían las facetas de las pirámides y que, en dicha pro- porción, quizá pudiera estar oculto el secreto de su perfecta armonía y su increíble belleza. Me refiero a la proporción áurea, también llamada sección o razón áurea, o divina proporción; nombre este último que se atribuye a Leonardo da Vinci, estereoti- po, como pocos, de genio artístico renacentista. Ángel Gutiérrez AUTORES CIENTÍFICO TÉCNICOS Y ACADÉMICOS 77 Figura 1. La altura y la inclinación de las facetas de las pirámides de Egipto guardan una proporción áurea (Fuente: http://local.wasp.uwa.edu.au)

la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

��������������� �

�������������������� ��

��������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������!������������"��������������� �������������#�������#�!��������������������������������������������������������������!�����$%������&�������������������'��������( ����������������������������������������(������������������������)��������������������������"�������*� ������������������������������������������������ ���������� ����������� ��������������������� ��������������+�,������������������������� ��� ���������������������������������� �������������������������������������-�!�������)�������������"�����$���������.�������������������� ������������������)��������������������������� �������������������������������"�������� �������������������)�� ���"� ������� ������ ������� ��� �������� ��� ��� �������� ������� �� ��� �����������������/�� ���������� ���������)�"������ �����%� �������� �����)��� ���)�"���������!���������)0������������-������ ����������������������������1����������������������������������������������������������

������������

����������������������������������������

��

������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������

Page 2: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

������������������������� ��������

���������������������������������������������������������������)��������������!����������������� 2�� �� ���� ������� ��� ������� 3�� �� ���������� 32�� ��� ������ ��� ��� ������)� ����� ��������������������������������%������������������������������������������������������������ ���

%���� �������!������4 5�� �����������)����

����� ���������������������)�"�����������!���������-����� �����������6�7689::;88<=;8;>+�������������������������������?��4Φ5�

��������������� �������� �������������� ������ ��� ��� ������� ��� ������ ������������ ������ �� ��� ������� ��������� ���� ������ �����������������������������������

���������������� ����

@�� ����� �������� ���������)�����������%���������������������)���!���������������������������������)�"����������!������������������������������������������������������������������������ �����������������������������������*

������� �!������������"���������������������#������$���������������������������������������������������$

�������

4 5�A����� ��� �������� 2��� ��������� ��� ����������/�

425�������������������������������2�����!�������������/2��������������������B�������������������� ���B�����������������

435�3����������B������������������������/2��������������������)��������������� B������"��������#�

4B5�,���-����������������������������� #������������� ������� ���������������)������������������������ 2�����������������������������3�� �����!��������������� 2���������������������)�"�����

������������� ����� ����

&� ����"����� "����� ��� � ���� ������ ������ ������������������)�"������ ���������������"���������!%������� ?CB������� ?������� ������������?C��������������� �������"������������������� ���

D�Φ 4-�����"����5�

������������)����������"������������������������������� ��� ���� ��������� ���� ����� �� ���� ��� ������������*

�������%�&'����������������������������������������������������������������

4 5�B���E�������������4�����?������:������!%����������� 23B5�

425�$��������������������������� 2����������������������������������#�

435�3������������������#����������#3�������������� �������������������������������)��������� 2��B������������������"�������?�� ��� ��� ���� ��!��� !%������� ���� ����"����"�����

4B5�3�����������������"���������!%������� ?CB�� ������ ������ ���"� ?� 4����� �����5� �� B4����������5�

&�� �������� ���������� ��� ���� ����"�����"��������� ���������������������� �������������������������������������� ���������� F����������G����������������������"������������������ �����������������!������"����������� �����������"� ��������������������������������"�������������41������?������=5��

������

����������������������� �

��

Page 3: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

������ ���� ������ ������ �����

�������� ?�������� ���� ���"� ����"�� ��������������"�����������#��������������������������������� %���������������E������ ���������!�� ��������)��������������������� ����������%�����"������ ���-����������������������

����%��������������%����� ������!��������������������������������������������%������� ���������������� �� ������� ���-���� ��� ������ ��� ����� �� �������� �����"������� ����� ������ ��� �������� ������������������������������������������������������������"�������

�������(������������)����������'��������������������'����������*������+��,�������������������������-������$

���������

#� ���� ����� ������ ��� ���� ��� �����"����� �������?������������������������������������������������������� �� ������������ �� ����������� B�� ���� �����)����������������� �����������������������)��%������#���������%��������������������������0����������������60�����������������������������!��%����������������� ����������� ������������������,��� ������ ���� ����� �������� �%������ ��� ��� ������ ��?����������*

966�49�H65I�46�H�65:�46�H�I5>�4I�H�:58�4:�H�>56:�4>�H85I6�48�H�6:5:=�46:�H�I65+

��!�������������������������������!��� ��������������������)������������������?��������������������)�"������������������,������������!�����������%�����������������������!������ �%�������*

D�42�������!�����������+5

D�6

D�I

D�6�>

D�6�77777+

D�6�7

D�6�7I>9

D�6�76>:8+

D�6�76;9=+

JA���!��������!�K� ������������������������������������!������������������������%�������"��!����������������������?����������������������� ��������������� ��� ������������������A�����������E�����������%���������������������������!�*

������������

��� �

��

�������.�/+����'�����0�������������������������������������'��"�������

Page 4: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

D�6�7689::;88<=;8;>+

#��!�������������������Φ ������������)�"������� ��� ������)� ��������� �� ���� �������� ���������������3���������!��������� ���������������������� ��� !�����?�� �������� ��� ��� ���������?���������� ���������� ������� ������)�� ��� ���"� �������������������"���!������������������

B��������������������������������� ���������������?������������������?���&��������������"�+

��!���������� �������������� ���

B�!������ ��������� ��� ����������� ��� ���������������)����������������)������������������������������������)�"������@������������������������ ��������������-������������������������������������������!��������������"����������

���������)������������������)���!������� �����������)�"�������!����������������������������������������������������#������������������������������#������������������)����������������)��������� ������)������������%����� �������������� �� ���E����� ��� ��������� ������� �E�������������������� �������������������������+�

�������������� ����������������������������

������������������� ������������"�������������������!�������#��������������������������� �����F�����E�������"����G����������������������������� ���������)��������E������� �!�������� ��!������������ ����������������� ��� ���� ����������� �����������������������������

#��� ������� ��!������ ��� ���� �����"������� �����-����� ���������� ��� ��� ��� !���!�� �������� �������� ��� ��� ��� ������)� "����� �������� ��� ������!�������������������B��������������������������� ��� ������ L������ M������ ��� ����������� �� ��������)�"�������������������������������������1� �� ���������� ��� ����� ����� ��� ���� �����"������ 4������� ������������ ���-�M��������� �����������,��"������5��

1��������!�������E���������������������������%��������"������������ ���?�������F��������������������G*

ANOP@C&�'�O@�3NOA'�#@�&@�3QN3&�'

�������2�!��������������������������������������������������� �����3�������������������������������'������

4 5�����������������"������ ���"������������������������

425���������������������������������������������� �������������"�����4�����?������7������������� ���25�

435�&�������������������� ���2�������������� ����� �������� ������ ���� ������ ��� �����������������������������������������������������������C�

4B5����!�������� ������������)������������������ 2������2C�4��C ��������������5��������������)�"������?��

3& BN B'�O@�3NOA'�#@�&@��#/O3QN3&�'

�������4�!�������������������������������������������������� �����3�������������������������������'������

4 5���� ������� ������ ��� ������ �� ���������� ������� 2��������������������������

425�,�������������������� 2������������������������������������������C���� ����������)���������������

435���������� ������������)���������������������������������������2C�4��C 5����?��

����������������������� �

Page 5: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

������������

��� �

�!

,N#@APC'@'�O@�3NOA'�#@�&@�3QN3&�'

�������5�!��������������������������������������������������� �����3��������������

����������������'������

4 5� ����������������"�������������������������������

425�B�� �����)���� ����� !%������� ������ �����������"������������������������� ��2���C�

435�#������������������ ������������)������������������ 2���2C��������!����"���?��

3�� �� ��"���� �������� ���� ����� ����� �"���������������� ������������������������������������)�"������2����������!�����������������������������

�������6�!��������������������������������������������������������������(�����������

�������������������)�����������E���������� ����� ������)� "����� ��� ���������� �� ������� ��������������������%��������&��������������������������!�����������������������)�����������������������������������������"��������������������������)"������ ��� ��E�� ���� �� �����"�� �������� 4�����!��"������ �%5�

��������������������������

���� �"�� ���%������ ����� ���������� ���� ������ ��� ���� ���"����� ��!������ ��� ���������"������%�����������-������������������������)�������� ���������������������������������������������������� ������������ ���� ��� �������� ��� ��� ������)"������������������������%�������

,�����������������%������ ����"��"����������������������������������������?�� ���������!�����������������@����������� �������E����������������*

� ��� ������)� ����� �������� ������������ ������������ �� �������� ���������� ��� ���� ���������� �������� ������ 4�� ��� ��� ��� ������� ������%� F���������G�,���)5��������������������������������������)�"�����

� ���������)������������������������������������� �������� ����� �������������� �����������������������������)�����������������)�"������@�������������������������� ��������)�����������������������������$��������1����!��� ������� ��� �������� B�� 1����� ���%�������������%��������������)�

��������7����8��'������,����"���������������������'��9��������

"� ��� ������#���$%%&&&������'���'�����������(�������������������� ������� �����(#�'� �� ���������� '� ������� �������� ������ �������������������)�����#���*��������� ��� ��������� �������� +�� ��������� �� ��� ��� ������ ���#�����������(�����������������(������������)��,-���������� �(�������������(�'���������#����������(��������������������(������������������������. ��������������������������

��������������4�������������������������������!���� �� ��� ���)5� ������� ����� ��� ?�� ��

������

Page 6: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

��������� ��������������������������������� ������ 4���� ����������� ���� ����������� �� ��������5�� R� ���� �� ��� ?�� ����� ��������� ������� ��� ���������� ������� �������!�����������-�����>*�ΦD�>9�> ��9�>�H�9�>�

'����� ��������� �����%� ���"� ����� ������������������?������������������������������!����������� !�!���� �������� ��� ���� ������� �� ��� �������������������)���

��� �������������"���������������� �������������������� ��� ��� �������� ����������� ���������������� B@�������������� ������������)�����������������"�����

� ���"����������������������������������������������� ���������� ��� ������ ������� �����!�!��� ��� ������� �� ��� ������)� "����� ���������������������4�"����������E������� ��� ��� ����������"�� ���������� ������� ����� ��� �� ��� ��� ����5�� ,����� ����������E������������������������������4���������������!�����������������������5��������%�����!��������&��E�������������������������������������� ����� ������ ���"� ������� ����������>>�������������������������������������������E�����������E�������� �������������������:=��8;�����������������������������@����E���������������� ���:=��>>���8;���������!����������������!������������������?��������

N��������� ���������� ��� ?�� �� ��� ��� ������ ��?�������� ����� ���������� �� ���� ������������������������������������������ ��������

�� ��� ��������� ����������������������� ��������������������������������������"�������

&����� �����������"�� �������!���������������������� ��� ��� ��� �� � ������������� �������@��������� #���� �� ��� �������)� S�����*TTSSS�!��������T�����T&����9�$A/�� #�������������������������� ����������������������� �������F&������� ����C�����N�������G�� � ������������� ���������������,�������������"#$% ���� ���������������������"�����"����������� �� ������ ��� %��� ������� !���� ������"#$% ������!���������� �������������!������"������ "������� ���� �� ������ ��� ���� �������������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������� ����"��������������������E������������������������� ��������������)������"����S�������������������������

&��!��� �����������������������)�������������������������������������������������� ��������������@��������4!���?�������6I���6:5��

����������������������� �

�/

�����������������������������������������������������������������$��������"���������������������'���������������

�����������9����������

�������� ��������������3�������'��������������������������������������������������������"����������������:�����78;<�

��������%�*������������=�������������������������������'�������

Page 7: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

+�� �������� �����.������ �������� �����������������������������������0�������1�������������������(��� �)���������������������2����������������(� �����������(��������$

#���$%%�&����������������%"3455�%���������������%��������3��6%7�������%8���������%������������#���

�����������������������������������

���������)�"�������������������?�����������"�������"��������������� ������������������������������!����������������� ��� ����������������&��E��������������������������)����������� �������)������U���"����������"����������������������������,����)���� ������#���������!��������� �������������� �� ������)����� ������� ���������� ����������������"�����

2��� �������� ��� ����)��(� ��� 2���������������������9���������������������������������(�����������������:��(�����������(����.���������� ��� ������� ������ ����������� ��� ��0#��.��������1�#��������:�������������������������� �� ��� ����;�(� ����� ��������� �� ����������������#��.������������� ����������������������������������������<�������������������������������������(��������������������� ��������� ���� ������ ��������� ��� ��� ������������������������� .����'����

��� ������)� "����� �����%� ���"� ������� �����������������������������������!����������*

,������� '����� ��� /������ P����� B������ ������������1����

/-������ 3����������� ��� 2�����!��� /������2������������2���)V�������������B���������#���"��������� ����������� ����������� ����� ���� !��������� ���"� ����������� ��������� ��� ������)"���������-��������������������������!������

������������#������� ��������#��������������1���������

��������������#����������;�����)��������� ���������� ��������� �� ��� ������ ����������(� ����� �� ��� �����#���$%%&&&�����������%=���%������(� �'�� #����� ������������������(�'����������������������� �����

��� ������)� "����� �����%� ��� �������� �� �����������)� ��� ������� ��������� �������� ������������������� ��� �����������)�� �� ������� ������������� ��� ������������� ��� ���� ������������"�������

#��"�� ����� ������������ ��������� �� �������������)������������������������������������+

�!���&���������� �� ���

3����������� ���������)������%������"�� ����������������� ������� ������ �����������������������������������!��������������������!�������������������)���������������)���������������*��D���H6�����������������)���"����������� ������������������?�������6>��

3����������� ������ ��� ������)� ����%������"���"���������������������D��I���������������)��"����������� ��������������?������67��

������

������

������

������������

��� �

�>

��������.�>������������������������������������!��������������������������������9����������

��������(�>���������������������������� ?-�@��A�#��������������������������)������������

�������������������"��������������������������

Page 8: la proporcion aurea - ACTA · la proporcion aurea.qxp Created Date: 11/13/2006 2:53:03 PM

����������������������� �

�?

#����������������������������%��������������%�������� �)��� ��� ������ ���� ������ '� ������ ��� �����������)�����������!�������������!����������������� ��� ������ ���������� ����� ����������� ��������!�������)������������������������������)��������%�����������%����������������������J����������� �%�!��������������������� �������������K

,���� �����������?��� ��� ������)� "������,������������ �����������!������������!"�����������������

!���������!��������� ���!������?��� �����!����������)��������������� �����!��+���� ������������ �����������*���������!���������� �����������������!��������������������������!��������?����

2��������� ��������������������������� �����&�!����������������������)�"�����+

��������2�>���������������������������� ?�- A�#�������������������������)�������������

�������������������"��������������������������

��������4�>����������������������������������������������������������������������������������)����� �����)�������������������������"��������������������������