L2 Informatique UFR S.A.T Pr. Ousmane THIARE

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Graphes non orienteacutesL2 Informatique

UFR SAT

Pr Ousmane THIARE

othiareugbedusn[wwwousmanethiarecom]

16 avril 2020

Introduction

Deacutefinitions etpremiersexemples

Quelques typesparticuliers degraphes

Repreacutesentationdes graphes Graphes non orienteacutes

Pr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 247

Introduction

Repreacutesentationdes graphes

Chapitre XIV Graphes non orienteacutes

1 Introduction

2 Deacutefinitions et premiers exemples

3 Quelques types particuliers de graphes

4 Repreacutesentation des graphes

Introduction

La notion de graphe geacuteneacuteralise amplement la notion derelation sur un ensemble elle srsquointeacuteresse agrave la faccedilon dontsont lieacutes les objets Avec les plans de meacutetro les cartesroutiegraveres les scheacutemas de circuits eacutelectriques lesformules des moleacutecules les organigrammes les arbresgeacuteneacutealogiques on utilise chaque jour des graphes

Introduction

Deacutefinitions et premiers exemplesDeacutefinitions

Un graphe non orienteacute G = (S A) est deacutefini par lrsquoensemblefini S = s1 s2 middot middot middot sn dont les eacuteleacutements sont appeleacutessommets et par lrsquoensemble fini A = a1a2 middot middot middot am dontles eacuteleacutements sont appeleacutes arecirctesUne arecircte a de lrsquoensemble A est deacutefinie par une pairenon-ordonneacutee de sommets appeleacutes les extreacutemiteacutes de aSi les extreacutemiteacutes coiumlncident on parle de boucleSi lrsquoarecircte a relie les sommets si et sj on dira que cessommets sont adjacents ou incidents avec a ou encoreque lrsquoarecircte a est incidente avec les sommets si et sj Onnotera qursquoun graphe a au moins un sommet on noterapar la suite ordre drsquoun graphe son nombre de sommets

Introduction

Remarques Dans le preacutesent chapitre et ses prochessuccesseurs graphe signifie graphe non orienteacute (mecircmequand cela nrsquoest pas speacutecifieacute) Il existe aussi des graphesorienteacutes ils seront eacutetudieacutes plus loinRemarques La deacutefinition preacuteceacutedente nrsquointerdit pas lapossibiliteacute que deux mecircmes sommets soient relieacutes pardeux arecirctes diffeacuterentes

Introduction

Deacutefinitions et premiers exemplesRepreacutesentation graphique et notion de graphes pondeacutereacutes

Les graphes non orienteacutes admettent une repreacutesentationgraphique permettant leur visualisation

Signalons aussi degraves agrave preacutesent la possibiliteacute de pondeacutererles arecirctes drsquoun graphe non orienteacute (la deacutefinition de grapheest alors agrave adapter)

Introduction

Deacutefinitions et premiers exemplesDegreacute chaicircne

DeacutefinitionOn appelle degreacute drsquoun sommet s noteacute d(s) le nombredrsquoarecirctes dont le sommet s est une extreacutemiteacute (les bouclescomptent pour deux)

Proprieacuteteacute

La somme des degreacutes des sommets drsquoun graphe esteacutegale agrave deux fois le nombre drsquoarecirctesCette proprieacuteteacute est appeacuteleacutee Lemme des poigneacutees demains

DeacutefinitionLe degreacute drsquoun graphe est le degreacute maximum de tous sessommetsPr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 847

Introduction

ExerciceCalculez les degreacutes des sommets et le degreacute desgraphes ci-dessus

DeacutefinitionUn graphe dont tous les sommets ont le mecircme degreacute estdit reacutegulier Si le degreacute commun est k alors on dit que legraphe est k-reacutegulier

ExerciceLes graphes preacuteceacutedent sont-ils reacuteguliers

ExerciceRepreacutesentez un graphe 3-reacutegulierPr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 947

Introduction

Deacutefinitions et premiers exemplesChaicircne

DeacutefinitionUne chaicircne dans G est une suite de la forme(s0a1 s1a2 middot middot middot skminus1ak sk )

ayant pour eacuteleacutements alternativement des sommets (si)et des arecirctes (ai) commenccedilant et se terminant par un sommet et telle que les extreacutemiteacutes de ai soient siminus1 etsi i = 1 middot middot middot k

s0 est appeleacute le deacutepart de la chaicircne et sk lrsquoarriveacutee

Remarque On a choisi ici de reacuteserver le terme dechemin aux graphes orienteacutes

Introduction

DeacutefinitionDans un graphe (orienteacute ou non) on dit que le sommet srsquoest accessible agrave partir du sommet s srsquoil existe une chaicircnemenant de s agrave srsquo

Remarque On dit aussi qursquoon peut atteindre srsquo agrave partir des

DeacutefinitionUne chaicircne dans laquelle tous les sommets sontdiffeacuterents srsquoappelle une chaicircne eacuteleacutementaire

Remarque On parle aussi de chaicircne simpleRemarque Une chaicircne simple a forceacutement toutes sesarecirctes diffeacuterentes et ne contient eacutevidemment pas debouclePr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 1147

Introduction

Proprieacuteteacute

Eacutetant donneacute une chaicircne qui joint s et srsquo (diffeacuterents) onpeut toujours lui enlever arecirctes et sommets pour obtenirune chaicircne eacuteleacutementaire joignant s agrave srsquo

ExerciceReacutefleacutechir agrave la preuve de cette existence

Introduction

Deacutefinitions et premiers exemplescircuit-cycle

DeacutefinitionUne chaicircne de longueur n dont le deacutepart et lrsquoarriveacuteecoiumlncident srsquoappelle un circuit de longueur n

Exemple Une boucle est un circuit de longueur 1

DeacutefinitionUn circuit dont tous les sommets et toutes les arecirctes sontdiffeacuterentes srsquoappelle un cycle

ExerciceRepreacutesentez un graphe qui admet

un circuitun cycle

Introduction

DeacutefinitionUn graphe est dit simple srsquoil ne contient pas de boucles etsrsquoil nrsquoy a pas plus drsquoune arecircte reliant deux mecircmessommets

ExerciceRepreacutesentez un graphe simple (resp qui nrsquoest passimple)

ExerciceOn srsquointeacuteresse aux graphes 3-reacuteguliers simples

Essayez de construire de tels graphes ayant 4 sommets5 sommets 6 sommets et 7 sommetsQursquoen deacuteduisez-vous

Introduction

Reacuteponse Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains lasomme des degreacutes des sommets est eacutegale au double dunombre drsquoarecirctes Si chaque sommet est de degreacute 3 lasomme des degreacutes des sommets est

paire si le nombre de sommets est pairimpaire sinon

Comme cette somme doit ecirctre eacutegale agrave un nombre pair (ledouble du nombre drsquoarecirctes) seuls les graphes 3-reacuteguliersayant 4 ou 6 sommets sont possibles

Introduction

ExerciceMontrez qursquoun graphe simple a un nombre pair desommets de degreacute impair

Reacuteponse Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains lasomme S des degreacutes des sommets est eacutegale au doubledu nombre drsquoarecirctes donc cette somme est paire Drsquoautrespart S est eacutegale agrave la somme

des degreacutes pairsdes degreacutes impairs

Introduction

La somme des degreacutes pairs est paire Eacutetudions la sommeSrsquo des degreacutes impairs notons i0 le nombre de sommetsde degreacutes impairs Cette somme Srsquo est eacutegale agravesumi0

k=1(2ki + 1) puisque chaque degreacute est ici impairsDonc Sprime = 2(

sumi0k=1 ki)soit Srsquo est eacutegale agrave un nombre pair

plus i0 Quand on met tout bout ) bout on obtientfinalement lrsquoeacutequation en pariteacute pair+pair+i0=pair soit i0est pair

ExerciceEst-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte quechaque appareil soit relieacute avec exactement trois autres

Reacuteponse Non application directe de lrsquoexercicepreacuteceacutedent

Introduction

ExerciceUn groupe de 15 fans drsquoun chanteur ceacutelegravebre possegravede lesdeux particulariteacutes suivantes

Chaque personne connaicirct au moins 7 autresToute information deacutetenue par une personne estreacutepercuteacutee dans la minute qui suit agrave ses connaissances(et uniquement agrave elles)

Quel est le temps maximal entre le moment ougrave une des15 fans apprend une chose nouvelle sur leur idole et celuiougrave le groupe entier est au courant

Introduction

Reacuteponse Lrsquoeacutemeacutetteur de lrsquoinformation est un sommet relieacuteagrave au moins 7 autres Notons I lrsquoensemble de ces sommetsIl reste au plus 7 sommets (15-(7+1)) Notons J cetensemble Chacun des sommets de J est neacutecessairementrelieacute agrave un des sommets de I sinon il ne serait relieacute qursquoagrave 6sommets Lrsquoinformation met donc au plus 2 mins

Introduction

Quelques types particuliers de graphesGraphes planaires

DeacutefinitionSi on arrive agrave dessiner le graphe sans qursquoaucune arecirctenrsquoen coupe une autre (les arecirctes ne sont pas forceacutementrectilignes) on dit que le graphe est planaire

ExerciceRepreacutesentez un graphe planaire

ExerciceRepreacutesentez un graphe non planaire

Introduction

Quelques types particuliers de graphesMultigraphes

En geacuteneacuteral dans ce cours les graphes eacutetudieacutes sontsimples On a cependant vu qursquoil pouvait pour un graphequelconque exister des boucles voire des arecirctesmultiples on parle dans ce cas de multigrapheExemple Un exemple de multigraphe

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Quelques types particuliers de graphesGraphes connexes

DeacutefinitionUn graphe est connexe srsquoil est possible agrave partir denrsquoimporte quel sommet drsquoatteindre nrsquoimporte quel autresommet du graphe (si pour tout couple de sommets (ssrsquo) il existe une chaicircne reliant s agrave srsquo)

Remarque Crsquoest en particulier le cas lorsqursquoagrave partir drsquounsommet on peut atteindre tous les autres sommets

ExerciceRepreacutesenter un graphe (non orienteacute) connexe et ungraphe non connexe

DeacutefinitionUn graphe non connexe se deacutecompose en composantesconnexesPr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 2247

Introduction

Exemple Exemple drsquoun graphe nrsquoeacutetant pas connexe

S = 123456A = (13) (14) (23) (34) (56)Ici les composantes connexes sont 1234 et 56

Introduction

Quelques types particuliers de graphesGraphes complets

DeacutefinitionUn graphe est complet si chaque sommet du graphe estrelieacute directement agrave tous les autres sommets

DeacutefinitionOn note Kn tout graphe non orienteacute simple drsquoordre n telque toute paire de sommets est relieacutee par une uniquearecircte

Proprieacuteteacute

forallnKn est complet

Introduction

Exemple Graphe complet K5

S = 12345A =(12) (13) (14) (15) (23) (24) (25) (34) (35) (45)Exemple Combien drsquoarecirctes possegravede le graphe Kn Reacuteponse Chacun des n sommets possegravede n-1 arecirctes et

chaque arecircte est ainsi compteacutee deux foisn(n minus 1)

Introduction

ExerciceUn tournoi drsquoeacutechecs oppose 6 personnes Chaque joueurdoit affronter tous les autres

1 Construisez un graphe repreacutesentant toutes les partiespossibles2 Quel type de graphe obtenez-vous 3 Si lrsquoon ne joue qursquoun match par jour combien de joursfaudra-t-il pour terminer le tournoi 4 Aidez-vous du graphe pour reacutepondre aux problegravemessuivants

Si chaque joueur ne joue qursquoun match par jour combiende jours faudra-t-il pour terminer le tournoi Proposer un calendrier des matches

Introduction

Quelques types particuliers de graphesGraphes biparti

DeacutefinitionUn graphe est biparti si ses sommets peuvent ecirctre diviseacutesen deux ensembles X et Y de sorte que toutes les arecirctesdu graphe relient un sommet dans X agrave un sommet dans Y

On peut se rendre compte que les graphes biparti sont lesgraphes que lrsquoon peut colorier avec au plus deuxcouleurs de sorte que deux sommets adjacents nepossegravedent jamais la mecircme couleur En drsquoautres termesles graphes bipartis sont les graphes dont le nombrechromatique est infeacuterieur ou eacutegal agrave 2 (ce terme sera deacutefiniplus proprement dans la suite du cours)

Introduction

ExerciceResponsable drsquoorganiser des speed datings on souhaiteplacer les diffeacuterents individus inscrits agrave une soireacuteedonneacutee dans diffeacuterentes salles de telles sorte que nul nese connaicirct dans une salle donneacutee

1 Donner un exemple ougrave cela nrsquoest pas possible2 Comment modeacuteliser ce problegraveme agrave lrsquoaide drsquoungraphe 3 Peut-on nrsquoutiliser que deux salles srsquoil est possible deplacer 3 individus autour drsquoune table de telle sorte quechaque individu connaicirct ses trois voisins Que sepasse-t-il si on remplace 3 par 5 par 7

Le reacutesultat suivant se deacuteduit assez aiseacutementPr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 2847

Introduction

Proprieacuteteacute

Un graphe est biparti si et seulement il ne contient pas decycle impair

ExerciceRelier les notions de graphe biparti et de relation binaire

DeacutefinitionUn graphe biparti est dit biparti complet (ou encore estappeleacute une biclique) si chaque sommet de U est relieacute agravechaque sommet de V

Introduction

Exemple Exemple drsquoun graphe biparti complet

S = 12345A = (12) (14) (23) (25) (34) (45)Avec les notations de la deacutefinition on a U = 135 etV = 24 ou vice versaUn tel graphe se note K32 Plus geacuteneacuteralementNOTATION On note Kmn un graphe biparti complet liantm sommets agrave n sommets

Introduction

Proprieacuteteacute

Ces graphes Kmn possegravedent mn arecirctes

ExerciceSur un eacutechiquier 3x3 les deux cavaliers noirs sont placeacutessur les cases a1 et c1 les deux cavaliers blancs occupantles cases a3 et c3 Aidez-vous drsquoun graphe pourdeacuteterminer les mouvements qui permettront aux cavaliersblancs de prendre les places des cavaliers noirs et viceversa

Introduction

Reacuteponse Faire un graphe biparti a1a3 c1 c3 drsquoun cocircteacutea2b1b2b3 c2 de lrsquoautre

avec des arecirctes quand le passage drsquoune case agrave lrsquoautre estpossible pour un cavalier (par exemple entre a1 et b3) Onoriente alors les arecirctes suivant les parcours agrave reacutealiser parles cavaliers De a1 on peut envoyer le cavalier en b3 ouc2 Mais si on lrsquoenvoie en c2 il se retrouve le coup drsquoapregravesen a3

Introduction

ExerciceQuel est le nombre maximal drsquoarecirctes dans un graphe nonorienteacute drsquoordre n qui ne possegravede pas drsquoarecirctes parallegraveles Et si lrsquoon suppose qursquoil ne possegravede pas de boucle

Reacuteponse Le cas le pire correspond au graphe completKn et on a deacutejagrave calculeacute son nombre drsquoarecirctes

(n minus 1) + middot middot middot+ 1 =n(n minus 1)

2 Rajouter des boucles

revient dans le cas le pire agrave rajouter une arecircte surchaqursquoun des n sommets On ajoute donc n agrave ce qui

preacutecegravede pour trouvern(n minus 1)

Introduction

Repreacutesentation des graphesMatrice drsquoincidence

Preacutesentation La matrice drsquoincidence drsquoun graphe nonorienteacute est une matrice J agrave coefficients entiers dont leslignes sont repeacutereacutees par les sommets drsquoun graphe et lescolonnes par ses arecirctes

DeacutefinitionPar deacutefinition Jsε vaut

1 quand s est une extreacutemiteacute de lrsquoarecircte ε si celle-ci nrsquoestpas une boucle2 quand s est une extreacutemiteacute de la boucle ε0 si s nrsquoest pas une extreacutemiteacute de ε

On peut reconstituer un graphe non orienteacute agrave partir de samatrice drsquoincidence car elle donne le nombre desommets le nombre drsquoarecirctes et elle dit comment chaquearecircte est lieacutee agrave chaque sommetPr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 3447

Introduction

ExerciceRepreacutesentez le graphe non orienteacute dont la matricedrsquoincidence est

ExerciceRepreacutesentez les matrices drsquoincidences des graphes de cechapitre

Introduction

ExerciceReacutefleacutechir aux avantages et inconveacutenients drsquoun tel modede repreacutesentation des graphes

Proprieacuteteacute

Si s1 middot middot middot sn sont les sommets drsquoun graphe non orienteacutealors

ExerciceTrouvez pourquoiPr Ousmane THIARE Graphes non orienteacutes 16 avril 2020 3647

Introduction

Repreacutesentation des graphesMatrice drsquoadjacence

Preacutesentation On peut repreacutesenter un graphe non orienteacutepar une matrice drsquoadjacence

DeacutefinitionDans une matrice drsquoadjacence les lignes et les colonnesrepreacutesentent les sommets du graphe

Un 1 agrave la position (ij) signifie que le sommet i estadjacent au sommet jSinon on place un 0

En cas de boucle (pour le sommet i par exemple) onplace un 1 sur la diagonale (en position (i i))

Introduction

Remarque On aurait pu convenir de placer un 2 en casde boucle Lrsquoavantage serait de continuer agrave obtenir ledegreacute des sommets en faisant les sommes par lignes Parcontre on perdrait la possibiliteacutes eacutevoqueacutee ci-dessous dedeacuteterminer les chemins de longueur kExemple Consideacuterons le graphe G

Introduction

Voici la matrice drsquoadjacences du graphe G

Introduction

ExerciceDeacutecrivez le graphe G ci-dessous par une matricedrsquoadjacences

ExerciceRepreacutesentez les matrices drsquoadjacences des graphes dece chapitre

Introduction

Repreacutesentation des graphesProprieacuteteacutes de la matrice drsquoadjacence

Cette matrice a plusieurs caracteacuteristiques 1 Elle est carreacutee il y a autant de lignes que decolonnes 2 Un 1 sur la diagonale indique une boucle Si le graphenrsquoa pas de boucle alors la diagonale de sa matricedrsquoadjacence est nulle 3 La matrice drsquoadjacence drsquoun graphe non orienteacute estsymeacutetrique mij = mji

ExerciceCalculez M2 et M3 pour la matrice drsquoadjacence Mci-dessus Comparer ces matrices aux chaicircnes delongueur 2 et 3 reliant deux sommets quelconques

Introduction

Proprieacuteteacute

Soit A la matrice drsquoadjacence drsquoun graphe G Lecoefficient (st) de Ak est le nombre de chaicircnes delongueur k qui megravenent du sommet s au sommet t

ExerciceDeacutemontrez ce reacutesultat par reacutecurrence

Introduction

ExerciceOn pose

1 Dessinez le graphe non orienteacute ayant J pour matricedrsquoincidence2 Deacuteterminez sa matrice drsquoadjacence B3 Veacuterifiez les formules preacuteceacutedentes

le lien entre matrice drsquoincidence et degreacute des sommetsle lien entre Bk et les chaicircnes de longueur k

Introduction

ExerciceQuels sont les avantages et les inconveacutenients de cettemeacutethode de repreacutesentation des graphes Comparez-laaux matrices drsquoincidencesEn particulier pour un graphe agrave m sommets et n arecirctesquelle repreacutesentation est la plus gourmande en espacemeacutemoire Cela deacutepend du nombres drsquoarecirctes

Introduction

Repreacutesentation des graphesListe drsquoadjacence

Preacutesentation

DeacutefinitionOn peut encore repreacutesenter un graphe en donnant pourchacun de ses sommets la liste des sommets auxquels ilest adjacent On parle alors de liste drsquoadjacence

Exemple On considegravere le graphe G suivant

Introduction

Voici les listes drsquoadjacences de G 1 3 4 52 33 1 2 4 5 4 1 3 55 1 3 4

Introduction

ExerciceRepreacutesentez les listes drsquoadjacence des graphes de cechapitre

ExerciceDiscuter des avantages et des inconveacutenients de cettemeacutethode de repreacutesentation On la comparera auxmatrices drsquoadjacence et drsquoincidence

Introduction

Deacutefinitions et premiers exemples

Quelques types particuliers de graphes

Repreacutesentation des graphes

Introduction

Repreacutesentationdes graphes Graphes non orienteacutes

Introduction

1 Introduction

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

1 Introduction

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

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un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

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un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

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Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

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un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

Introduction

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

Introduction

Preacutesentation

Introduction

Proprieacuteteacute

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un circuitun cycle

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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ExerciceOn pose

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Preacutesentation

Introduction

un circuitun cycle

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Preacutesentation

Introduction

S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

Introduction

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Proprieacuteteacute

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S = 1234A = (11) (13) (14) (23) (23) (34)

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

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Preacutesentation

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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ExerciceOn pose

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Preacutesentation

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Proprieacuteteacute

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Proprieacuteteacute

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Preacutesentation

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Preacutesentation

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L2 Informatique UFR S.A.T Pr. Ousmane THIARE