Kvantne tekucine

D. K. SunkoFizicki Odsjek

Prirodoslovno-matematicki fakultetp.p. 332

HR-10002 Zagreb

25. sijecnja 2010.

Sažetak

Ovo su bilješke autorovih predavanja iz kolegija Kvantne tekucine, na petojgodini istraživackog smjera studija fizike. Nisu strucno recenzirane. Daju se nauvid studentima kao podsjetnik, što treba pripremiti za ispit.

Osnovni udžbenik je Annettov [1]. Alternativno se može koristiti Leggett [2],koji je zahtjevniji. U pripremanju predavanja sam se služioi drugim knjigama, odkojih posebno navodim Migdala [3], de Gennesa [4], Mahana [5], te Abrikosova,Gorkova i Džalošinskog [6].

Sva prava pridržana.

Literatura

[1] Annett, J. F. Superconductivity, Superfluids and Condensates(Oxford Uni-versity Press, Oxford, 2004).

[2] Leggett, A. J.Quantum Liquids(Oxford University Press, Oxford, 2006).

[3] Migdal, A. B. Qualitative Methods in Quantum Physics(W. A. Benjamin,Reading, 1977).

[4] de Gennes, P.-G.Superconductivity of Metals and Alloys(W. A. Benjamin,New York, 1966).

[5] Mahan, G. D. Many-Particle Physics, second edition(Plenum, New York,1990).

[6] Abrikosov, A. A., Gorkov, L. P. & Dzaloshinski, I. E.Methods of QuantumField Theory in Statistical Physics(Dover, 1975).

[7] Culo, M. Supratekuci helij(Diplomski rad, 2008.). Voditelj D. Sunko.

[8] Vollhardt, D. & Woelfle, P.The Superfluid Phases of3He (Taylor and Francis,London, 1990).

1

Sadržaj

1 Opcenito o tekucinama 41.1 Uvod. Osnovni pojmovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Hidrodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Fermijeve tekucine 92.1 Landauova tekucina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Kvazicestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Landauov prikaz3He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Efektivna masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Parametrizacija kvazicesticne interakcije . . . . . . . . . 172.2.3 Zvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Supratekuci helij 223.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Fenomenologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Opažanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Model dva fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Kvantna hidrodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Zvuk [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Mikroskopska slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.1 Kvazicestice, fononi i rotoni . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.2 Valna funkcija i matrica gustoce . . . . . . . . . . . . . . 323.4.3 Vrtlozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.4 Dugodosežni red u prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Supravodljivost 404.1 Fenomenologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Otkrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

4.1.2 Narav prijelaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.3 Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Londonova slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Pippardov uvid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 Duljina koherencije i relacija neodredenosti . . . . . . . . 464.3.2 Usporedba Pippardove i Londonove skale . . . . . . . . . 474.3.3 Skala necistoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.4 Dimenzionalna analiza Pippardove jednadžbe . . . . . . .48

4.4 Makroskopski opis Landaua i Ginzburga . . . . . . . . . . . . . . 504.4.1 Znacenje parametara Landau-Ginzburgovog funkcionala . 504.4.2 Usporedba Landau-Ginzburgove i Pippardove skale . . .. 524.4.3 Vezanje na elektromagnetsko polje . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Vrtlozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.1 Londonova slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.2 Slika Landaua i Ginzburga . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.3 Kriterij za pojavu vrtloga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.4 Abrikosovljeva rešetka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6 Mikroskopska teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6.1 Stvaranje parova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6.2 Koherencija parova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.3 Privlacenje medu elektronima . . . . . . . . . . . . . . . 644.6.4 Energija osnovnog stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6.5 Pristup srednjeg polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6.6 Procjep na konacnoj temperaturi . . . . . . . . . . . . . . 714.6.7 Supravodljiva nestabilnost u raspršenju elektrona .. . . . 724.6.8 Eksperimentalne potvrde BCS teorije . . . . . . . . . . . 74

5 Zadaci 765.1 Fermijeva tekucina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Supratekuci 4He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Supravodljivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

Poglavlje 1

Opcenito o tekucinama

1.1 Uvod. Osnovni pojmovi.

Tekucine su stanja kondenzirane tvari, koja nemaju disperzivnog odgovora nasmik. (Viskoznost je disipativni odgovor na smik.) Drugim rijecima, mogu održa-vati laminarni tok bez vršenja rada, osim za savladavanje trenja. Rijec “kondenzi-rana” nosi dva ogranicenja. Prvo je da su to vezana stanja, dakle potrebno je do-dati energiju da se pretvore u plin. Drugo je da su to makroskopska stanja, daklenalaze se u termodinamickoj granici. Ovo drugo ogranicenje razlucuje tekucineod kolektivnih stanja u mikroskopskim sustavima, kakva su npr. atomske jezgre.

Tekucine koje srecemo u svakodnevnom životu su u klasicnoj granici. To znacida je raspodjela brzina njihovihcestica Maxwellova, kao u klasicnim plinovima.Ova pomalo iznenadujuca tvrdnja je posljedica toga, da interakcije medu cesti-cama, zbog kojih se pojavljuje tekuce stanje, ne ovise o impulsima, nego samoo koordinatama. Prema tome se impulsi mogu opcenito egzaktno integrirati uparticionoj funkciji, isto kao da interakcija nema. Posebno, ne mijenja se izvodMaxwellove raspodjele kao vjerojatnosti fluktuacije, dace nasumicno odabranacestica imati odredeni impuls.

Kvantni ucinci ulaze na dva nacina. Prvi je isti kao i kod plinova: i u odsustvuinterakcije, postoje jake kinematicke korelacije koje potjecu od neraspoznatljivosti.Drugi je da u prisustvu interakcija, koje ovise o položaju, više ne možemo egzak-tno integrirati impulse, jer su impuls i položajcestice povezani preko relacija neo-dredenosti. Ovo znaci da interakcije mijenjaju raspodjelu impulsa. Konkretno,Fermijeva raspodjela se promijeni na apsolutnoj nuli tako,da više nema “ste-penicu” visine jedan, nego se pojavi zaobljeni oblik, slican Fermijevoj raspodjeli

4

na konacnoj temperaturi, no još uvijek diskontinuiran na kemijskom potencijalu,ali sa diskontinuitetom manjim od jedan. Analogno, ni Boseova raspodjela naapsolutnoj nuli više nije uzak vrh (delta-funkcija) na energiji nula, nego se po-javi vrh konacne širine, u kojem kondenzirana komponenta (delta-funkcija) višenema težinu jedan, nego neku manju, koja se npr. kod tekuceg helija procjenjujena 8–10%.

Jedna secestica u kvantnoj tekucini ne može promatrati izdvojeno iz mnoštva.Gore navedene razlike u jednocesticnoj raspodjeli, u odnosu na plin, su upravoznak da svako probno pomicanjecestice povlaci reakciju mnoštva, koje mora pri-lagodavati svoje gibanje zadanom pomaku. Ovo se ponekad kaže da je cestica“obucena”, ili da nosi sa sobom “oblak” drugihcestica. U nacelu, ta bi reakcijamogla biti vrlo komplicirana, te nije isprva jasno, zašto bisam pojamcestice ostaokoristan, odnosno tehnicki, zašto se Fermijeva i Boseova jednocesticna raspodjelapromijene malo, a ne puno?

Jednocesticnu sliku spašavaju kinematicke korelacije. Kljucna je razlika izmeduklasicne i kvantne tekucine, da je kod ove potonje broj dostupnih stanja gibanjapuno manji od brojacestica. Ovo znaci da je fazni prostor na raspolaganju in-terakcijama vrlo malen, odnosno,cestice nemajucesto priliku da zbog interak-cije mijenjaju stanje gibanja. Konkretno, Fermijeva raspodjela se u blizini apso-lutne nule zbog interakcija mijenja samo u blizini kemijskog potencijala, daklemalo. Landau je ovu malu promjenu protumacio tako, da kolektivna pobudenjafermionske tekucine nose iste kvantne brojeve kao individualnecestice u fermion-skom idealnom plinu. Takva se pobudenja zovu kvazicestice. Slicno, jedinamoguca pobudenja u tekucem heliju u blizini apsolutne nule su valovi zvuka, takoda opet u jednom pobudenju (fononu) sudjeluje makroskopsko mnoštvocestica.Feynman je analizirao alternativnu mogucnost, da se pojedini atom helija gibajuna neki individualni nacin, i pokazao da su takve individualne ekskurzije ili prividkoji nestaje, kad se uzme u obzir neraspoznatljivost, ili seopet mogu svesti navalove zvuka. S obzirom da fonona blizu apsolutne nule ima puno manje negoatoma, opet se može reci da atomi helija veci dio vremena provode brinuci se daostanu neraspoznatljivi, a manji u medusobnim interakcijama.

Fizikalno ovo ima znacajnu posljedicu, da je neinteragirajuca slika dobra po-lazna osnova za razumijevanje kvantnih tekucina, toliko dobra da je u prvim de-setljecima kvantne mehanike uspjeh “prejednostavnih” modela zbunjivao istraži-vace. Tehnicki to znaci da se niskoležeca pobudenja u kvantnim tekucinama moguanalizirati racunom smetnje. Ponekad tekucina pod utjecajem interakcija postajetermodinamicki nestabilna, te prelazi u novo stanje faznim prijelazom.U nekimje slucajevima uspjelo identificirati takve nestabilnosti u okviru racuna smetnje, a

5

cesto se i niskoležeca pobudenja tako nastale faze mogu shvatiti kao nova kvantnatekucina, koja se opet analizira racunom smetnje. Najpoznatiji takav primjer suelektroni u metalima, koji su kvantna tekucina u kondenziranom stanju, nastalomkad se ukapljio izolirajuci metalni plin. Kad se ta elektronska tekucina uzme kaozadana, moguce je racunom smetnje identificirati njenu nestabilnost, koja dovodido supravodljivog stanja, opet nove kvantne tekucine.

1.2 Hidrodinamika

Za razliku od gornjih mikroskopskih razmatranja, klasicni je pristup tekucinamamakroskopski. Ovdjecemo razmotriti osnovne postavke takvog pristupa, da bipostalo jasnije, kako se kvantne tekucine od njega razlikuju.

Da bi neka nakupina tvari bila klasicna tekucina, potrebno je ispuniti dvauvjeta. Prvi je uvjet pojava lokalne termodinamicke ravnoteže. Podijelimo sus-tav na mnoge malecelije, mnogo manje od njega, ali same po sebi još uvijekmakroskopski velike. Pretpostavimo da je svaka od tihcelija u termodinamickojravnoteži, tako da joj možemo pridijeliti temperaturu, pritisak, i brojcestica, kaošto bismo to ucinili za mali sustav u termostatu. Takva pretpostavka ima smislaako je vrijeme termalizacije svake malecelije puno krace od vremena potrebnogda jednacelija promijeni temperaturu zbog utjecaja drugih, koje suod nje pros-torno udaljene. Time se uspostavlja hijerarhija vremenskih skala, od lokalne ter-malizacije jednecelije do globalne termalizacije cijelog sustava. Do nje možerealno doci onda kadcelije medusobno komuniciraju iskljucivo lokalno, prekopovršina kojima se dodiruju. S obzirom da je na površini punomanjecestica negou dubinicelije, ocekujemo da utjecaj susjednihcelija sporo prodire u unutrašnjostbilo koje pojedine medu njima. Prvi je uvjet za tekucinu upravo da je takva hijer-arhija skala uspostavljena, te da sustav možemo opisati kaomakroskopsko poljetermodinamickih parametera, posebno pritiska i temperature, koji karakterizirajute malecelije.

Drugi se uvjet tice evolucije tih parametara, odnosno mehanizma uspostaveglobalne ravnoteže. Taj je mehanizam kod klasicnih tekucina bitno disipativan.Zamislimo, tako, val pritiska prema gornjem opisu, recimo zvuk, pa se pitamo,zašto on trne. Ocito, dolazi do ireverzibilnog pretvaranja energije zvukau toplinu.No to je moguce samo zato što val zvuka može pobuditi mnoštvo individual-nih (kratkovalnih) gibanja u tekucini, koja se makroskopski ne opažaju. Daklemožemo reci da je svako dugovalno pobudenje vezano na mnoštvo kratkovalnih,koja uspijeva lako pobuditi. Da bi to bilo tako, mora postojati spektar tih nev-

6

idljivih pobudenja,cija je karakteristicna energija mnogo manja od temperature, ito je naš drugi uvjet. Kad su oba uvjeta ispunjena, kažemo da je sustav u hidrodi-namickoj granici.

Kod kvantnih tekucina je ispunjen prvi uvjet, ali ne i drugi. Mehanizmi disi-pacije su kod njih bitno ograniceni raspoloživim faznim prostorom, koji je malen.Zbog toga dolazi do pojava makroskopske koherencije: jednokvantno stanje, ukojem sudjeluje makroskopsko mnoštvocestica, dugo opstaje, jer nema kanalau koje bi se moglo raspasti. Na primjer, postoji bitna razlika izmedu zvuka utekucem heliju i zvuka u vodi na sobnoj temperaturi. U prvom slucaju imamonacelno jedan fonon (jedno kvantno stanje!) koji se proteže preko cijelog uzorka,i u njemu koherentno sudjeluju svi atomi. U drugom slucaju imamo val pritiska,kojeg vidimo kao najvjerojatnije stanje, jer ima najviše mikroskopskih realizacija,koje su medusobno nekorelirane. Dakle je u prvom slucaju val jedno odredenostanje, a u drugom nasumicni izbor izmedu mnoštva “jednako dobrih” mikroskop-skih stanja,cije se medusobne energije razlikuju za puno manje odkT . Ova na-sumicnost znaci, da atomi u klasicnoj tekucini lokalno ne mogu razlikovati valzvuka od bilo koje druge perturbacije pritiska, odnosno da je njihovo je gibanjepreko velikih udaljenosti nekoherentno: gibanje jednog odredenog atoma ne pred-vida gibanje drugog, nasumicno odabranog, preko velikih udaljenosti, danih val-nom duljinom zvuka. Naprotiv, bilo koju termaliziranuceliju u sustavu možemonacelno zamijeniti drugom nasumicno odabranomcelijom, sa istim makroskop-skim parametrima. Tako je ocito da individualni atomi ne mogu biti koreliraniu klasicnoj hidrodinamickoj granici. Kvantni koherentni sustav, koji odgovarajednom fononu, ne možemo tako cijepati, jer duljina preko koje atomi jesuko-relirani je kod njega upravo ista makroskopska valna duljina zvuka, opet punoveca od velicine termaliziranihcelija, koje se dakle u kvantnom slucajune moguproizvoljno zamjenjivati drugim “jednako dobrim”celijama — jednako je dobrasamo onacelija u kojoj atomi “plešu” tocno tako, kako hoce fonon koji opisujejednomakroskopsko kvantno stanje, kojem pripadajusviatomi u uzorku.

Kod kvantnih tekucina dakle dominira mehanizam komunikacije medu celi-jama koji nije lokalan, i ne može se prikazati kao termalna relaksacija putemrubacelije. Neki takvu komunikaciju zovu “Einstein-Podolski-Rosen (EPR) ko-relacije”, prema autorima koji su prvi o njoj raspravljali.Nju je intuitivno teškozamišljati — ispada kao da je svaki dio nekog velikog sustavatrenutno svjes-tan svih svojih dijelova, na rubu kontradikcije sa ogranicenjem brzine svjetlosti.Drugi je zovu “fazna koherencija”, naime valna funkcija imaamplitudu i fazu, asamo amplituda ima klasicnu interpretaciju, pa bi se u slucajevima kad je fizikaodredena fazom i trebale dogadati “cudne stvari”. (Kako god ih zvali, posljedice

7

takvih korelacija mogu biti dramaticne, tako su npr. u tekucem heliju mogucielasticnivalovi temperature.) Fizikalno su takve korelacije posljedicacinjeniceda mnoštvo atoma pripada istoj valnoj funkciji. Iskustvo medutim pokazuje daovakvi globalni pokušaji da se stekne intuicija za kvantne pojave nisu previšekorisni u konkretnim situacijama. Naprotiv, kad se ide od slucaja do slucaja,pokazalo secesto moguce opisati kvantne pojave jednostavnim intuitivnim kon-strukcijama, koje razjašnjavajucitave skupine opažanja. Tako se umjesto jednemisticne “EPR korelacije” pojavi mnoštvo specijalnih ali zauzvrat jasnih pojmova,od kojih su neki, temeljni za kvantne tekucine, tema ovog kolegija. Prvi je od njihFermijeva tekucina.

8

Poglavlje 2

Fermijeve tekucine

2.1 Landauova tekucina

Landau je prvi opisao genericku situaciju, štoce se dogoditi sa fermionskim ide-alnim plinom, kad se ukljuce opcenite interakcije medu cesticama, tj. kako seplin pretvara u tekucinu. Za njegovu je konstrukciju kljucna pretpostavka, da do-voljno slaba interakcija predstavlja zanemarivu perturbaciju plina, dakle ako seinterakciju sporo pojacava, plinska stanjace evoluirati kontinuirano. Ovo se zove“adijabatsko ukljucivanje interakcije”, i nije uvijek moguce: konkretno, postojeinterakcije koje djeluju singularno, tako da proizvoljno slaba interakcija drasticnomijenja stanja plina, i u takvim slucajevima ne nastaje Landauova tekucina. Jošje jednostavniji primjer vezanje fermiona u molekule, recimo atomi deuterija sufermioni, a njihove molekule bozoni, za koje ocito nece vrijediti Fermijeva raspod-jela.

Razlog zašto Landauova tekucina nastaje u najvecem broju prakticnih sluca-jeva jest da je njegova pretpostavka vrlo blaga. Moguce ju je opisati vec kvantnimsustavom dva nivoa, koji se prikazuje matricom2×2. Landauova je osnovna ideja,da se energetski nivoi plina nece križati, kad se ukljuci interakcija. Pokušajmo ihnaprotiv “natjerati” da se prekriže:

H =

[

ǫ(u − u0) uVuV −ǫ(u − u0)

]

, (2.1)

gdje jeu neki parametar interakcije, kojicini da se nivoi prekriže kad jeu = u0,ako jeV = 0. Bit je Landauovog argumenta, da se opcenito ne može ocekivatiV = 0, a kadV nije nula, rješenje pokazuje izbjegnuto presijecanje, sa procjepom

9

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

Slika 2.1: Izbjegnuto presijecanje.

2|V |u0 kad jeu = u0:

E± = ±√

ǫ2(u − u0)2 + V 2u2. (2.2)

Ovo je prikazano na slici 2.1.Naime,V = 0 bi znacilo da je kvantni prijelaz izmedu ova dva stanja zabran-

jen. Možemo zamisliti da su zau = 0 popisani upravo nivoi neinteragirajucegplina N cestica, svaki sa svojim brojevima impulsa(px, py, pz)i, 1 ≤ i ≤ N— drugih kvantnih brojeva nema, jer je sva energija kineticka. Tada bi zabranaprijelaza znacila da se neka dva stanja gibanja ne raspršuju, kao da za njihinter-akcije nema. Ovakve zabrane su genericki moguce samo kao posljedica simetrija,odnosno specijalnih svojstava interakcije. Ako nema takvih specijalnih svojstava,nema ni presijecanja, zato je Landauov uvjet tako blag, odnosno argument jak:nema razloga pretpostavljati da opcenita interakcija ne bi raspršivala bilo kojedvije cestice, ma kako se one gibale.

2.1.1 Kvazicestice

Posljedice nepresijecanja su znacajne. Kad se ukljuci interakcija, dio energijeceotici u potencijalnu, no na slici možemo prstom pratiti svaki pojedini nivo, i ocitoga i dalje možemo obilježavati istim kvantnim brojevima kaozau = 0, dokle godnema presijecanja, ma kako jaka bila interakcija. Ovo znaci da stanja Landauovetekucine možemo opisati istim nizom brojeva zaposjednuca, kojim smo opisivalii plinska stanja. Ocito je najjednostavniji nacin da to shvatimo da kažemo da i utekucini postoje jednocesticna stanja, koja mogu biti popunjena ili prazna, i kojanose iste kvantne brojeve impulsa kao i u plinu. Takva se stanja zovu kvazicestice.

10

Kvazicestice sukolektivnastanja onih pocetnih “golih” cestica od kojih sesastojao plin. S obzirom da smo isto tako prstom mogli pratiti i kemijski poten-cijal u funkciji u, Fermijeva raspodjela za kvazicestice je naT = 0 ista kao i zaneinteragirajuce cestice, oštra stepenica: broj nivoa ispod nekog zadanog senemijenja, ako nema presijecanja. Realna tekucina cestica se pretvorila u idealniplin kvazicestica!

Ocito je ovaj rezultat na neki nacin predobar da bi bio istinit: kamo je nestalainterakcija medu cesticama? Zapravo je konstrukcija kvazicestica egzaktna samozaT = 0, odnosno za osnovno stanje. Naprotiv, kvazicesticna pobudenja, iako suformalno jednocesticna pobudenja u idealnom plinu, nisu stacionarna, nego se po-javi gušenje, koje potjece od efektivnih (rezidualnih) interakcija medu kvazicesti-cama. Iako interakcije medu pocetnimcesticama mogu biti jake, interakcije medukvazicesticama su ogranicene raspoloživim faznim prostorom, odnosno time dase moraju “umiriti” zaT = 0, inace se ne bi mogla pojaviti raspodjela idealnogplina. Ucestalost raspada kvazicesticnih pobudenja je proporcionalna ucestalostiinterakcija,

1/τ ∝ (kTg(ǫF ))2 (2.3)

gdje jeg gustoca nivoa, pa jekTg(ǫF ) ocjena broja stanja raspoloživih za interak-ciju u blizini apsolutne nule. Opcenitoce dakle poluživot kvazicestice rasti kakotemperatura pada, odnosno one postaju stacionarne tek zaT = 0. Stoga naizgledjednostavnu formulu za jednocesticnu raspodjelu

n(E) =1

e(E−µ)/kT − 1(2.4)

u slucaju kvazicestica treba promatrati kao samosuglasnu jednadžbu zan(E), jerje kvazicesticna energijaE funkcional raspodjelen, ovisan o temperaturi.

No što to znaci za samecestice? Njihova se raspodjela naT = 0 ocitopromijenila, jer se osnovno kvazicesticno stanje sad sastoji od neke superpozi-cije cesticnih stanja, razlicitih energija, koja su pod utjecajem interakcije pre-stala biti stacionarna. Možemo dokuciti opci oblik te promjene, oslanjajuci sena temelj Landauove konstrukcije, da su kvazicestice fermioni kao icestice (da jenpr. nastala molekularna tekucina, to ne bi bilo tako).

Fizikalno, bitna je osobina fermiona Paulijev princip, znaci dok je god sustavfermionski, mora postojati Fermijev nivo, na kojem pobudenja prelaze izcesticnihu šupljinska. Ovo se u jednocesticnoj Greenovoj funkciji (propagatoru) neinter-agirajuceg plina vidi tako, da imaginarni dio, koji predstavlja gušenje, mijenja

11

predznak na Fermijevom nivou:

G0(k, ω) =1 − nk

ω − ǫk + iδ+

nk

ω + ǫk − iδ, (2.5)

gdje suǫk energijecestica, aǫk šupljina. Isto se odražava uegzaktnompropagatoruFermijeve tekucine tako, da ga se u terminima ishodišnih (“golih”)cestica možepisati

G(k, ω) =

∫ ∞

0

dω′

(

A(k, ω′)

ω − ω′ − µ + iγ+

B(k, ω′)

ω + ω′ − µ − iγ

)

, (2.6)

gdje seA(k, ω) i B(k, ω) zovu spektralne gustocecestica, odnosno šupljina, aγ = 1/τ = γ(k, ω′) su gušenja pojedinih kvazicesticnih stanja, koja trnu naniskoj temperaturi, u skladu sa ocjenom (2.3). Tako uvijek postoji režim dobrodefiniranih kvazicestica, u kojem je njihova širina manja od njihovog pobudenja,γ ≪ |ǫk − µ|. U tom režimu, za realne frekvencijeω, ocito ce ovim integralomdominiraticlan sa najmanjim gušenjem, jer je pripadni pol najbliži realnoj osi. (Uvremenskoj domeni, to znaci da ce najduže preživjeti kvazicestica,cije je polu-vrijeme raspada najvece.) Ako je realni dio njene energijeEk, možemo izdvojitidominantni (singularni) doprinos integrala (2.6) za duga vremena:

Gp(k, ω) =Z

ω − Ek − µ + iγ+ Greg. (2.7)

ako se radi ocestici, a

Gh(k, ω) =Z

ω + Ek − µ − iγ+ Greg. (2.8)

ako se radi o šupljini. Ovdje smo saZ oznacili pripadajucu vrijednostA odnosnoB, a doprinos ostalih polova, na njima neodgovarajucoj energijiEk, sakupili uneki “regularni” dio. Primijetimo da singularni dio izgleda upravo kao propagatorneinteragirajuce cestice, ali na nekoj drugoj energiji,Ek a neǫk, koja ukljucujeefekte interakcije, dok gušenje, koje takoder potjece od interakcije, nestaje naT = 0. Dakle smo u egzaktnom propagatoru zacestice uspjeli identificiratikvaz-icesticni pol, i ti polovi dominiraju spektrom pobudenja u granici niskih temper-atura, tj. kad je broj kvazicestica malen, a njihovo poluvrijeme raspada dugo. Diospektralne snage se medutim prelio iz kvazicesticnog pola u regularni (nekoher-entni) dio spektra, što se odražava urenormalizacijiZ, 0 < Z < 1. Ukratko,

G(cestice) = ZG0(kvazicestice) + regularni ostatak. (2.9)

12

kF k0,0

0,5

1,0

nk

Slika 2.2:Cesticna (puna linija) i kvazicesticna (crtkana linija) raspodjela na tem-peraturiT = 0.

Sad smo konacno u položaju da izracunamo jednocesticnu raspodjelu golihcestica naT = 0, iz njihovog egzaktnog propagatora, uzimajuci u obzir da tadaγ → 0. S obzirom da se Greenova funkcija definira kao

G(r, t; r′, t′) = −i⟨

TΨ(r, t)Ψ†(r′, t′)⟩

, (2.10)

to je ocito

nk ≡⟨

Ψ†kΨk

⟩

= −iFk G(r, t; r′, t + 0) (2.11)

gdje jeFk Fourierov transformat u prostoru. Eksplicitno,

nk = limτ→0+

∫ ∞

−∞

G(k, ω)eiωτ dω

2πi(2.12)

i ako racunamo raspodjelu naT = 0 za stanje na Fermijevoj energiji,k = kF , tomožemo uciniti na dva nacina, puštajuci γ → 0 ili u izrazuGh ili u Gp. U jednomslucaju je predznak gušenja takav da je pol unutar puta integracije, a u drugomtakav da nije, pa izlazi

limk→kF−0

nk − limk→kF +0

nk = Z, (2.13)

i to je kljucni rezultat za Fermijeve tekucine Landauovog tipa: ocuvana fermion-ska narav pobudenja znaci da naT = 0 ostaje ocuvan diskontinuitet u jednocesticnojraspodjeli impulsa, odnosno Fermijeva površina. Iznos togdiskontinuiteta semedutim smanji, i on je jednak dijelu spektralne snage koji je ostao u kvaz-icesticnom vrhu. Ovo je prikazano na slici 2.2.

13

2.2 Landauov prikaz 3He

Landau (1956) je svoj prikaz Fermijeve tekucine motivirao tekucim 3He, fermion-skom kvantnom tekucinom direktno analognom bozonskom4He, koji je tada biou vrhu znanstvenog interesa. Argumenti su mu medutim toliko opceniti, da senjegov prikaz u udžbenicima obicno navodi kao teorija “bilo koje” Fermijevetekucine. Njegova je ideja dace kvantni efekti, posebno neraspoznatljivost, postavitiuvjete na klasicnu funkciju distribucijenp(r), kakvu je prvi razmatrao Boltzmann.Prije svega, uvjet nepresijecanja znaci da ostane ocuvan volumen Fermijeve sfere,

∫

δnp(r)d3p = 0, (2.14)

što znaci da kolikonp(r)-a “izviri” iz sfere, toliko mora i ”utonuti”. Ovdje se vidida je uloga prostorne varijabler zapravo ambivalentna, ocito je Landau imao naumu neku semiklasicnu velicinu koja odgovara pojedinim malimcelijama tekuceghelija u posudi. Mikroskopska konstrukcija velicine koja bi odgovarala Lan-dauovomnp(r) nije nikad do kraja provedena: Landauovi argumenti su uglavnomu impulsnom prostoru, kakocemo vidjeti, pa je ne treba znati u detalje, a to jezapravo zato što je Fermijev valni vektor reda meduatomskog razmaka kad jetemperatura blizu nuli. Tada se svaka makroskopska ovisnost o r na mikroskop-skoj skali doživljava kao ekstremna dugovalna granica, odnosno ovisnost or se uargumentima koji se ticu neraspoznatljivosti može zamijeniti konstantom, što jeirazlog da vecina udžbenika ni ne navodi tu ovisnost, pa senp(r) redovno miješasa mikroskopskom Fermijevom raspodjelomn(p).

Na skali makroskopske raspodjelenp(r), može se definirati disperzijaǫ(p)kvazicesticnog pobudenja tako da se izravno vidi njegova kolektivna narav:

δE(r) = 2V

∫

ǫ(p)δnp(r)d3p

(2π)3, (2.15)

gdje faktor 2 dolazi od spinske degeneracije. Dakle ako se funkcija raspodjelemalo promijeni, energija se promijeni upravo tako, kao da sesvakom impulsumože pridijeliti energijaǫ(p). (Zadržavamo ovisnost or iz konceptualnih razloga,iako je se može zamišljati kao konstantu.)

Prvi stvarno impresivni rezultat Landauove teorije je da i funkcijanp(r) zado-voljava samosuglasnu jednadžbu, koja izgleda tocno kao Fermijeva raspodjela.Naime, zbog nepresijecanja, entropija Fermijeve tekucine mora biti dana istimkombinatorickim izrazom kao i ona Fermijevog plina: to je upravo tvrdnjada se

14

energija pobudenja može raspisati preko ”jednocesticnih” energijaǫ(p). Dakle

S(r) = −2V

∫

[np(r) lnnp(r) + (1 − np(r)) ln(1 − np(r))]d3p

(2π)3. (2.16)

No mi znamo da je entropija izoliranog sustava maksimalna, što znaci da adi-jabatska promjenaδnp(r) u nekoj celiji, tj. takva da je pri tomeδE(r) = 0 iδN(r) = 0 (ne stigne se ništa premjestiti preko rubacelije), ostavlja entropijunepromijenjenom u prvom redu:

δS(r)

δnp(r)= 0. (2.17)

Eksplicitni izraz ove varijacione jednadžbe uz dana ogranicenja se dobije uvoden-jem Lagrangeovih multiplikatora (1/kT i µ/kT ), i glasi

np(r) =1

e(ǫ(p)−µ)/kT − 1, (2.18)

gdje je ǫ(p) = δE(r)/δnp(r) sad neki komplicirani funkcional same gustoce,dakle se izraz za Fermijevu raspodjelu pojavi kao samosuglasna jednadžba Lan-dauove teorije.

To znaci da je kvazicesticni spektar ovisan o temperaturi. Konkretno, za vari-jaciju koja potjece od temperature,δnp(r) = np(r)− np(r)|T=0, imamo do prvogreda

ǫ(p) = ǫ0(p) + 2

∫

f(p, p′)δnp′(r)d3p′

(2π)3. (2.19)

Sjetimo se da jeǫ(p) bio prva varijacija ukupne energije, dakle jef(p, p′) druga:

δE(r) = 2

∫

ǫ(p)δnp(r)d3p

(2π)3+ 4 · 1

2

∫

f(p, p′)δnp(r)δnp′(r)d3p

(2π)3

d3p′

(2π)3,

(2.20)gdje smo pažljivo razlucili faktor 1/2 od Taylorovog razvoja i faktore 2 i 4 kojidolaze od spinske degeneracije. Ovo znaci da f(p, p′) opisuje interakcije medukvazicesticama. Termodinamicki gledano, ona je susceptibilnost na varijacije im-pulsne raspodjele. To je glavni fenomenološki parametar Landauove teorije.

2.2.1 Efektivna masa

Ne smijemo zamišljati da je funkcijaǫ0(p) mikroskopska. To je jednostavno tem-peraturno neovisni dio termodinamicke varijable (”sile”) koja je konjugirana im-pulsnoj raspodjeli Fermijeve tekucine Landauovog tipa. Njena ”jednocesticnost”

15

je u stvari termodinamicka intenzivnost. Za mala odstupanja od Fermijeve en-ergije može se pisati Taylorov razvoj

ǫ(p) − ǫF = ǫ(p) − ǫ(pF ) ≈ v(p − pF ), (2.21)

gdje jev ≡ ∇pǫ(p)|p=pFbrzina. No ako brzinu želimo prirodno pisati

v =pF

m∗, (2.22)

moramo se pomiriti s time da ova masa nije masa fermiona od kojih se sastoji samatekucina, jer je uvedena makroskopski, pa ukljucuje sve kolektivne efekte. Buducida je brzina nastala kao derivacija disperzije, a disperzija je prva varijacija en-ergije, ocito je efektivna masa nekako povezana sa drugom varijacijom, odnosnosusceptibilnošcuf(p, p′). To je i fizikalno jasno, jer ona predstavlja ucinke inter-akcije. Veza se može dobiti pozivanjem na ocuvane velicine, koje se moraju mociizraziti i pomocu cestica i pomocu kvazicestica. Tako, impulscelije tekucine je iu kvazicesticnoj slici

P(r) = 2

∫

pnp(r)d3p

(2π)3, (2.23)

makar bio drugacije raspodijeljen medu kvazicesticama nego medu cesticama. Sdruge strane, nepresijecanje znaci i da je broj kvazicestica isti kao brojcestica,tako da je njihova brojcana struja

j(r) = 2

∫

vnp(r)d3p

(2π)3, (2.24)

a impuls (masena struja) se dobiva iz brojcane struje jednostavno množenjem smasomcesticeispred integrala,P = mj. Kako je brzina gradijent kvazicesticnedisperzije, imamo

∫

pnp(r)d3p

(2π)3= m

∫

(∇pǫ(p))np(r)d3p

(2π)3, (2.25)

i sad variramo ovaj izraz s obzirom na distribuciju impulsa —takoce se pojavitif(p, p′) kao varijacijaǫ(p):

∫

p

mδnp

d3p

(2π)3=

∫

(∇pǫ(p))δnpd3p

(2π)3+ 2

∫

(∇p′f(p′, p))δnpnp′d3p

(2π)3

d3p′

(2π)3,

(2.26)

16

gdje smo u drugom integralu zamijenilip i p′. Jedna parcijalna integracija ondadaje

p

m= ∇pǫ(p) − 2

∫

f(p′, p)∇p′np′d3p′

(2π)3, (2.27)

jer je varijacijaδnp proizvoljna, a na granicama impulsne integracija išcezava(Fermijeva raspodjela je “smrznuta” daleko od Fermijeve energije). NaT = 0 ip = pF je∇pǫ(p) = ∇pǫ(pF ) = pF/m∗, a derivacija raspodjele je delta-funkcija,te od njenog gradijenta ostaje okomica na Fermijevu površinu:

∇p′np′ = −p′

p′δ(p′ − pF ). (2.28)

S obzirom da je tekucina izotropna,f(p′F , pF ) = G(cos θ) može ovisiti samo omedusobnom kutu impulsa na Fermijevoj plohi, a ne i o apsolutnoj orijentaciji uimpulsnom prostoru, tako je na kraju

1

m∗=

1

m− pF

2π2

∫ 1

−1

G(t)tdt. (2.29)

Kao što se vidi,1/m∗ se nacelno umanjuje interakcijom, dakle je efektivna masaveca nego “gola” masa, kao što bismo i ocekivali. Ovo znaci da kad god mjerenjapokažumanju efektivnu masu nego li se izracuna, teorija ima problem: doda-vanje interakcijace izracunatu masu samo još više povecati! (To je slucaj i usupravodljivim kupratima, i u heterostrukturama galijevog arsenida.)

2.2.2 Parametrizacija kvazicesticne interakcije

Interakcija se tradicionalno piše

f(p, p′) = fs(p, p′) + fa(p, p

′)σ · σ′ (2.30)

gdje smo eksplicitno naveli ovisnost o spinu (u gornjim jednadžbama se ona skrivau faktorima 2 i 4, kao da jef2 = 0). S obzirom da je teorija korisna jedino ublizini Fermijeve površine, zadovoljavamo se parametrizacijom kutne ovisnosti,p · p′ = pp′ cos θ, dakle

g(ǫF )fs(p, p′) =

∑

l

F sl Pl(cos θ) (2.31)

g(ǫF )fa(p, p′) =

∑

l

F al Pl(cos θ) (2.32)

17

Tablica 2.1: Parametri kvazicesticne interakcije [8]. U prvom stupcu je molarnivolumen.

gdje je normiranje gustocom nivoa (koja sadrži faktorV ) zgodno, jer su ondaF s,al

bezdimenzionalni brojevi. Za3He se pokazuje da su znacajni samoF s0 ≈ 10–100,

F s1 ≈ 6–14 iF a

0 ≈ −0.7– −0.8, ovisno o pritisku u u eksperimentalnom rasponuod nula bara do granice taljenja, v. tablicu 2.1.

Znacaj je ovih parametara da oni opisuju termodinamicke susceptibilnosti Fer-mijeve tekucine, na nacin vrlo slican Weissovoj teoriji molekularnog polja. To sevidi iz zapisa druge varijacije energije. Naime, ako Fermijev plin reagira na nekoukupno poljeVtot svojom “golom” susceptibilnošcuχ0,

S(k, ω) = χ0(k, ω)Vtot(k, ω) (2.33)

gdje jeS odgovor sistema (npr. magnetizacija, ili promjena volumena), onda seVtot može rastaviti kaoVtot = Vext + Vmol. Ovdje je “molekularno polje” upravo

Vmol = − F

g(ǫF )S, (2.34)

gdje se pojavljuje onajF koji se vezuje na dano vanjsko polje (F s0 za kompresiju

i F a0 za magnetizaciju). Ovo je zato jer je

δ2E =1

2g(ǫF )FS2 (2.35)

upravo energija polarizacije u molekularnom poljuVmol:

δ2E = −∫ S

0

Vmol(S′)dS ′. (2.36)

18

Kad se iz ovih jednadžbi eliminiraVmol, dobije se kao i uvijek

S(k, ω) =χ0(k, ω)

1 + Fχ0(k, ω)/g(ǫF )Vext, (2.37)

što znaci da se parametri Fermijeve tekucine mogu “citati” direktno iz kompre-sibilnosti, odnosno spinske susceptibilnosti realnih sustava, ako se zna odgovorneinteragirajuceg Fermijevog plina.

Ovaj je rezultat posebno zgodan zato, što su susceptibilnosti neinteragirajucegFermijevog plina blizuT = 0 i same proporcionalne gustoci nivoa, tako da se dona prikladan izbor jedinica može pisati

χ =g(ǫF )

1 + F a0

, κ−1 =g(ǫF )

1 + F s0

(2.38)

za spinsku susceptibilnost, odnosno kompresibilnost. Time se odmah vidi da jenegativniF a

0 povezan sa “sklononšcu feromagnetizmu”.Postoji još samo jedan parametar kojim se Fermijeva tekucina razlikuje od

plina, a to je efektivna masa. Dakle ta tri broja,F s0 , F a

0 i m∗/m, su sve pocemuse Landauova tekucina razlikuje od plina,cime se Landauova teorija svodi naneku vrstu “zakona odgovarajucih stanja”. U stvari, rezultat je još restriktivniji,jer suF s

0 i F a0 izotropniparametri, pa ne mogu dati doprinos uδ2E osim ako je

pobudenje na koje se vezuju neizotropno, tj. ako je naprotiv∫

δn(ǫ, σ,pF /pF )dǫ = 0 (2.39)

za sve smjerovepF /pF Fermijevog valnog vektora, onda je ucinak F s,a0 nula, i

preostaje samo efektivna masa, kao jedina razlika izmedu plina i tekucine. Takavje slucaj npr. s toplinskim kapacitetom, jer toplina ravnopravnopobuduje sve stup-njeve slobode, odnosno, kad bi se u toplinskom kapacitetu vidjelo ucinakF s,a

0 , tobi bilo kao perpetuum mobile druge vrste!

2.2.3 Zvuk

Kada je frekvencija zvuka niska, odnosno relaksacijsko vrijeme kratko, tako daje ωτ ≪ 1, Fermijeva tekucina može prenositi obicni (hidrodinamicki) zvuk istokao i Fermijev plin, jer tada jednacelija tekucine može pritiskati drugu uobica-jenim termodinamickim kolektivnim efektom, koji je izražen jednadžbom stanja.Tada se može pokazati da je atenuacija zvukaα ∼ ω2/T 2. S druge strane, kako

19

Slika 2.3: Nulti i prvi zvuk, za dvije frekvencije na 0.32 atm.

temperatura pada, vrijeme relaksacije raste,τ ∼ T−2, tako da se priωτ ≈ 1 po-jedinacelija više ne može promatrati kao nekoherentni termodinamicki kolektiv.Tada svaki pokušaj da joj povecamo gustocu završava emisijomcestica u drugecelije bez sudara, jer se dodanecestice ne stignu termalno relaksirati sudarima ujednom periodu titranja zvuka. Jednostavno govoreci, kad jeωτ ≫ 1, povecanjegustoce rezultira trenutnim (na skali1/ω) gubitkomcestica izcelije, a ne povecan-jem njenog pritiska. Primijetimo da povecanje gustoce uzrokuje promjenu radiusaFermijeve sfere,pF ∼ (N/V )1/3, tako da pri normalnom zvuku Fermijeva sfera“diše” od celije docelije, odnosno volumen joj se mijenja.

Medutim, u ovom režimu bez sudara Fermijeva tekucina, za razliku od plina,ima jedan alternativni nacin prenošenja vala pritiska bez promjene gustoce, putemmodifikacije parametara interakcije, odnosno susceptibilnosti f(p, p′). Kako sef(p, p′) pojavljuje u varijaciji energije, može se reci da se radi o deformaciji oblikaFermijeve sfere bez promjene volumena. Mehanizam tog prijenosa je jednostavnou snažnoj ovisnosti parametaraF s

0 i F s1 o pritisku. Ovaj se zvuk zove nulti zvuk.

Prijelaz iz jednog u drugi režim se vidi i u brzini i u atenuaciji, s time da je uatenuaciji jasniji jer je kvalitativan, izα ∼ ω2/T 2 na višim uα ∼ T 2 na nižimtemperaturama. Veza brzine “obicnog” (prvog) zvuka i Landauovih parametara je

c21 = 1/(ρκ) =

1

3(1 + F s

0 )(1 +1

3F s

1 )v2F , (2.40)

što daje 180 m/s uzvF ≈ 50 m/s, dok je brzina nultog zvuka oko 190 m/s priistom pritisku, v. sliku 2.3.

S obzirom da u nacelu sviF -parametri ovise o pritisku, to svaki nosi sa sobomsvoj nulti zvuk, kojeg se u principu može opažati probama na koje se vezuje pri-

20

padajuce “molekularno polje”F .

21

Poglavlje 3

Supratekuci helij

3.1 Uvod

Helij je jedini atomski plin koji pri normalnim uvjetima ne prelazi u kruto stanje.To je zato što je privlacna van der Waalsova sila medu atomima vrlo slaba, pa jepotencijalna jama zbog odbojne sile na kratkim udaljenostima dubine svega oko∼ 9 K, a neodredenost impulsa na pripadnom meduatomskom razmaku je∼ 5 K,pa se kruto tijelo spontano tali kvantnim fluktuacijama. Potreban je pritisak oko2.5 MPa da se dobije krutina, kako se vidi iz faznog dijagramana slici 3.1. Takoje tekuci helij jedan od prvih primjera makroskopske kvantne tekucine. On seukapljuje na 4.2 K, a na 2.17 K prelazi u drugo termodinamicko stanje, u kojempokazuje niz neocekivanih svojstava, od kojih je najlakše uocljivo tecenje bezunutarnjeg otpora, prvi puta primijeceno 1938. kao nagli pad viskoznosti (faktorbarem 1500) u protoku kroz usku kapilaru sa nametnutom razlikom pritiska,cimje temperatura pala ispod 2.17 K.

F. London je odmah (1938) pripisao to ponašanje makroskopskom Bose-Ein-steinovom kondenzatu (BEC) atoma4He, koji su ocito bozoni, što je naišlo nakritiku L. Landaua, koji je upozorio da je BEC stanje plina, odnosno ima energijunula, dok je tekucina vezano stanje, tako da nema smisla pretpostavljati da se plinponovo pojavio na 2 K nakon što je nestao na 4 K.Cinjenica je da je BEC služiokao pomoc fizikalnoj intuiciji u razumijevanju supratekucosti desetljecima, a dase njegovo postojanje u heliju nije moglo dokazati ni teorijski ni eksperimentalno.Tek su dva pokusa, neutronskog raspršenja (Glyde 1994) i evaporacije valovimazvuka (Wyatt 1998) uvjerljivo pokazala da u heliju postoji frakcija BEC-a, odoko 8% kad se podaci ekstrapoliraju na apsolutnu nulu temperature. Odgovor

22

Slika 3.1: Fazni dijagram4He. Primijetite da nema trojne tocke.

na Landauovu primjedbu je ocito da je tekucina vrlo slabo vezana, tako da zbogkvantnih fluktuacija provodi dio vremena u nevezanom (plinovitom) stanju i naapsolutnoj nuli. (Ovakvo ponašanje nije necuveno, može se na primjer pokazatida neutron i proton u deuteriju provode približno 1/3 vremena na medusobnojudaljenosti, vecoj nego je doseg privlacne nuklearne sile.) Teorijskog argumenta,da bi se BEC morao pojaviti u interagirajucoj bozonskoj tekucini makar i naT =0, nema ni do danas. Teškoca u konstrukciji takvog argumenta je u kompeticijisa krutinom, naime ocito je iz relacija neodredenosti da za dovoljno teške atomei dovoljno dubok meduatomski potencijal frakcija BEC-a može biti proizvoljnomalena, no nije jasno da lice krutina uvijek nastati prije nego BEC u potpunostiišcezne.

Landau je medutim uspio objasniti sve kljucne pokuse hidrodinamskim argu-mentima, koristeci samocinjenicu da je fazni prostor reduciran, slicno kao što jekasnije ucinio sa fermionskom tekucinom 3He. Cak je na temelju opažanja dapostoji kriticna (granicna) brzina toka4He kroz cijevi, iznad koje on prelazi unormalno stanje, uspio predvidjeti anomaliju u fononskoj disperziji, takozvani ro-tonski minimum, koja je kasnije izmjerena neutronskim raspršenjem. S obziromda mu BEC nije trebao ni za jedan od tih uspjeha, to izoštrava pitanje razlikeizmedu BEC-a i supratekucine. Eksperimentalno se ta razlika vidi tako da je na

23

T = 0 sav4He supratekuc, a ne samo 8%. Makroskopski se može reci, da je BECocekivana vrijednost brojacestica u kondenzatu, dakle prva derivacija slobodneenergije ili jednocesticno svojstvo. Supratekucost je medutim odgovor sustava napobudu koja uspostavlja tok, dakle je ona susceptibilnost ili druga derivacija slo-bodne energije, odnosno dvocesticno svojstvo. Singularnost toga odgovora znaciupravo da je makroskopski dio tekucine supratekuc, analogno divergenciji mag-netske susceptibilnosti kad se pojavi spontana magnetizacija, koja isto tako znacida je makroskopski dio spinova okrenut u istom smjeru.

3.2 Fenomenologija

3.2.1 Opažanja

λ-tocka. Prilikom prijelaza izmedu tekuceg He-I i supratekuceg He-II na 2.17 Kdolazi do divergencije toplinskog kapaciteta, koja na prvipogled izgledalogaritamski, ali je zapravo slabog potencijskog tipa, sa kriti cnim ekspo-nentomα ≈ 0.009:

cV ∼ 1

|T − Tc|α(3.1)

za T ≈ Tc, gdje je konstanta proporcionalnosti razlicita iznad i ispodTc,dok je konstantaα ista.

Supratekucost. U fazi He-II (ispodλ-tocke) nije moguce uspostaviti razliku pritiska u cijevikojom tece helij, slicno kao što nije moguce uspostaviti razliku napona kodsupravodljive žice.

Kriti cna brzina. Ako se tok u cijevi ubrza preko neke kriticne brzine, He-II prelazi u He-I,analogno kriticnoj struji kod supravodica.

Drugi zvuk. Moguci su elasticni valovi temperature, isto kao što je obicni zvuk elasticnival pritiska. Ulogu volumena igra toplina, odnosno entropija.

Efekt fontane. Kad se od dvije posude povezane kapilarom u kojima je He-II jedna zagrije,dode do naglog dotoka He-II iz druge posude, suprotno nego bismo ocelivaliiz klasicne intuicije.

Mehanokaloricni efekt. Kad se od dvije posude povezane kapilarom u kojimaje He-II u jednojpoveca tlak, ta se zagrije, a druga ohladi.

24

Slika 3.2: Rezultat Andronikashvilijevog pokusa sa rotirajucim diskovima. Ovis-nost supratekuce komponente je∼ T 4

3.2.2 Model dva fluida

Ovaj je model postavio Tisza 1938. godine kao konkretizaciju Londonovih idejao supratekucosti kao Bose-Einsteinovom kondenzatu. Glavna je misao dase He-II promatra kao mješavina dviju komponenti, normalne i supratekuce. Zasnovanje na Andronikashvilijevom opažanju (1935, v. sliku 3.2) promjene viskoznostiu postavu s rotirajucim diskovima, koja se tumaci kao promjena udjela dvajukomponenti. Buduci da je samo supratekuca komponenta sposobna prolaziti krozkapilare bez pada pritiska, efekt fontane i mehanokaloricni efekt se prirodno tu-mace, da pod tim uvjetima dolazi do razlicitog udjela dvaju komponenti u dvjemaposudama, a kako supratekucina ima entropiju nula, to nje ima manje u toplijojposudi. Zato kod fontane dolazi do dotoka supratekuce komponente, do ukupnerazlike nivoa medu posudama, dok kod povecanja tlaka u jednoj posudi otjecesupratekuca komponenta, pa ohladi onu drugu. Drugi se zvuk zgodno tumaci is-tovremenim postojanjem valova zvuka u jednoj i drugoj komponenti, ali u medu-sobnoj kontrafazi, tako da se ukupna gustoca i pritisak ne mijenjaju. No tamo gdjeje gustoca supravodljive komponente veca, entropija je manja, pa je temperaturaniža.

25

3.3 Kvantna hidrodinamika

Landau je i sam koristio model dva fluida, jedino je tvrdio da supratekuca kompo-nenta nema veze s BEC-om. Minimalan nacin da secudnovato ponašanje He-IIobuhvati hidrodinamskim jednadžbama je upravo da ih se proširi postojanjem jošjednog fluida, kojice doprinijeti toku mase, ali ne i toku entropije. Dakle, bitnapretpostavka kojom ulazi kvantna redukcija faznog prostora je da supratekucakomponenta nema entropije. To je u skladu s mikroskopskom idejom da onaodgovara jedinstvenoj valnoj funkciji osnovnog stanja, koje nije degenerirano.

Za bilo koju tekucinu u hidrodinamickoj granici, jednadžbe linearizirane ubrzini se svode na tri ocuvane struje, i dvije veze medu strujama i gustocama:

∂ρ

∂t+ ∇ · j = 0, (3.2)

∂S

∂t+ ∇ · jS = 0, (3.3)

∂j

∂t+ ∇P = 0, (3.4)

gdje jejS struja entropije,j masena struja, aP pritisak. Ove tri jednadžbe u petnepoznatih funkcija(P, T, v) se nadopunjuju sa preostale dvije:

j = ρv, (3.5)

jS = Sv, (3.6)

cime u principu znamo izracunati evoluciju sistema kojem su ut = 0 daneprostorne raspodjele pritiska, temperature, i brzine, dokse entropija dobiva jed-nadžbom stanja. Pojava supratekuce komponente znaci dodatni doprinos masenojstruji,

j = ρnvn + ρsvs, (3.7)

koji medutim ne doprinosi struji topline:

jS = Svn, (3.8)

i sad nam nedostaje jedna jednadžba, koja opisuje porijeklosupratekuceg toka.Linearizirana u brzini, ona glasi

m∂vs

∂t+ ∇µ = 0, (3.9)

26

gdje jeµ kemijski potencijal. Ovo je analogno Fourierovoj jednadžbi, koja naisti nacin povezuje tok topline sa gradijentom temperature. Primijetimo da jekemijski potencijal povezan s promjenom broja svihcestica, ne samo onih u kon-denzatu, tako da bismo u gornjem izrazu prirodno ocekivali vs + vn, a ne samovs. No tu upravo ulazi specijalno svojstvo supratekucosti, da je ona za tokcesticaanalogna supravodljivosti za tok struje: ako u paralelnom spoju normalnog vodicai supravodica pokušamo uspostaviti razliku napona, njuce supravodic “kratkospojiti”, te normalnim vodicem nece uopce poteci struja. Posebno je dakako pi-tanje, kako to supratekucina “kratko spaja” gradijent kemijskog potencijala, no nato fenomenologija nema odgovora.

Iz ovoga se vec može zakljuciti da je naT = 0 sva gustoca supratekuca,ρs = ρ. Naime, iz Gibbs-Duhemove relacijeSdT − V dP + Ndµ = 0, uzS = 0naT = 0, slijedi

∇P =N

V∇µ =

ρ

m∇µ (3.10)

a odavde je∂vs

∂t= − 1

m∇µ = −1

ρ∇P =

1

ρ

∂j

∂t, (3.11)

odnosnoj = ρvs, dakle ukupnoj masenoj struji doprinosi samo brzina supravodljivekomponente, a to je konzistentno samo saρ = ρs.

Nadalje, ako imamo dvije posude spojene kapilarom, bilo ravnoteža (vs = 0)bilo stacionarnost toka (∂vs/∂t = 0) supravodljive komponente povlace∇µ = 0,dakle kemijski potencijal je isti u obje posude:

µ(P1, T1) = µ(P2, T2). (3.12)

Ovo znaci da su promjene pritiska povezane s promjenama temperature, a istaGibbs-Duhemova relacija uzdµ = 0 kaže

∆P

∆T=

S

V= s, (3.13)

dakle adijabatsko povecanje temperature u jednoj posudi dovodi do toga da sis-tem poveca pritisak, povlacenjem tekucine iz druge posude — to je efekt fontane.Mehanokaloricni efekt je obrat toga, povecanje pritiska dovodi do povecanja tem-perature, na racun topline iz druge posude.

S obzirom da je kemijski potencijal rijetko izravno pod kontrolom, možemoupotrijebiti Gibbs-Duhemovu relaciju da zamijenimo

∇µ = − S

N∇T +

V

N∇P = −s

m

ρ∇T − m

ρ

∂j

∂t(3.14)

27

pa je opcenito

(ρn + ρs)∂vs

∂t= − ρ

m∇µ = s∇T +

∂(ρnvn + ρsvs)

∂t, (3.15)

gdje se pojavljuju izrazi poputv∂ρ/∂t, koji su višeg reda, jer se u stanju blizuravnoteže sve vremenske promjene smatraju malim velicinama prvog reda, poputsamih brzina. Konzistentno linearizirane, jednadžbe kvantne hidrodinamike nakraju glase

ρn

(

∂vn

∂t− ∂vs

∂t

)

= −s∇T, (3.16)

ρn∂vn

∂t+ ρs

∂vs

∂t= −∇P, (3.17)

∂ρ

∂t+ ρn∇ · vn + ρs∇ · vs = 0, (3.18)

∂s

∂t+ s∇ · vn = 0. (3.19)

Imamo osam jednadžbi za dva vektorska poljavs i vn, te pet skalarnih poljaρs,ρn, s, P i T . Kako medu termodinamickim poljima dva odreduju trece jed-nadžbom stanja, ocito moramo dva skalarna polja u ovim jednadžbama promatratikao zadana vanjskim uvjetima (“izvore”), dok su ostala dva rješenja za tako danusituaciju.

3.3.1 Zvuk [7]

Zbrajanjem i oduzimanjem jednadžbi (3.16) i (3.17) dobije se

ρ∂vs

∂t= s∇T −∇P, (3.20)

ρ∂vn

∂t= −s

ρs

ρn

∇T −∇P. (3.21)

Divergencija tih izraza zajedno sa vremenskom derivacijom(3.18) i (3.19) omogucujeeliminaciju brzina, pa se pojavi par vezanih jednadžbi drugog reda u vremenu

∂2ρ

∂t2−∇2P = 0, (3.22)

∂2ρ

∂t2− ρs

s

∂2s

∂t2+ s

ρs

ρn

∇2T = 0. (3.23)

28

Sad se treba odluciti, koje su od ovih velicina nezavisne. Akocemo promatrativalove gustoce i temperature, možemo eliminirati pritisak i entropiju pomocu lin-earizirane promjene varijabli:

∇2P =

(

∂P

∂T

)

ρ

∇2T +

(

∂P

∂ρ

)

T

∇2ρ, (3.24)

∂2s

∂t2=

(

∂s

∂T

)

ρ

∂2T

∂t2+

(

∂s

∂ρ

)

T

∂2ρ

∂t2, (3.25)

pa kad se to uvrsti gore, dobiju se dvije vezane valne jednadžbe:

∇2ρ − 1

c21

∂2ρ

∂t2+ γ1∇2T = 0, (3.26)

∇2T − 1

c22

∂2T

∂t2+ γ2

∂2ρ

∂t2= 0. (3.27)

Ovdje se pojavljuju brzine

c21 =

(

∂P

∂ρ

)−1

T

, (3.28)

c22 =

s2ρs

ρρn(∂s/∂T )ρ

=TS2ρs

c1ρn

, (3.29)

i konstante veze

γ1 =(∂P/∂T )ρ

(∂P/∂ρ)T

= −(

∂ρ

∂T

)

P

, (3.30)

γ2 =ρn

sρs

[

1 − ρ

s

(

∂s

∂ρ

)

T

]

. (3.31)

Ako se konstante veze mogu zanemariti, valovi gustoce i valovi temperaturece senezavisno prostirati tekucim helijem. To je i opaženo: pojavljuju se i valovi gus-toce uz konstantnu temperaturu (prvi zvuk), i valovi temperature uz konstantnugustocu (drugi zvuk). Ovo je posljedica vrlo male vrijednosti koeficijenta ter-malne ekspanzijeα ∼ γ1, zbog kojeg lokalno zagrijavanje helija temperaturnimvalom ne izaziva prateci val gustoce.

29

3.4 Mikroskopska slika

3.4.1 Kvazicestice, fononi i rotoni

Na temperaturi nula je sav4He u osnovnom stanju, te mu je entropija nula: sviatomi pripadaju jednoj valnoj funkciji. Vrlo blizu apsolutne nule, postoje samokolektivna pobudenja, jer je broj pobudenja i dalje malen, a brojcestica puno veci.(Cim se zbog neraspoznatljivosti ne zna kojacestica sudjeluje u pobudenju, morase dozvoliti da sve sudjeluju, a kako to ne dovodi do velikog broja stanja, za-kljucak je da sudjeluju koherentno, odnosno pobudenja su kolektivna.) Postavljase dakle pitanje što kod4He igra ulogu kvazicestice, odnosno pobudenja kojenosi iste kvantne brojeve kao jedan atom helija, ali je kolektivno. Sigurno znamoza jedno kolektivno pobudenje, a to je zvuk. No zbog bozonske naravi4He,kvantni brojevi fonona i atoma helija su isti, to su jednostavno tri komponenteimpulsa bozonaciji je intrinsicni spin nula. Kako osim valova zvuka nema drugihniskoležecih pobudenja, njih možemo pokušati identificirati sa kvazicesticama.Izravan fizikalni dokaz da to ima smisla dao je Landau, i usputpredvidio jednonetrivijalno svojstvo spektra niskoležecih pobudenja.

Prvo je opisao, što se dogada u realnim viskoznim tekucinama. Jedan nacinda izazovemo nekoherentna pobudenja je da gurnemo nasumce odabrane individ-ualne atome, a ostale ostavimo na miru. Jednostavan uredaj za to je cijev u kojojtekucina miruje, a koju u nekom trenutku pocnemo vuci duž njene osi brzinomv.Hrapavi zidovi cijevice gurnuti poneke atome, kojice dobiti energiju

εf − εi = v · (pf − pi) (3.32)

gdje jev · (pf − pi) rad koji je cijev obavila na atomu. Ako je atom na pocetkumirovao,εi = ε(pi) = 0, pa imamo uvjet na disperziju atoma

ε(p) = v · p (3.33)

i za normalne tekucine se to uvijek može zadovoljiti, jer zaε(p) = p2/(2m)postoji geometrijsko mjesto (stožac) tocaka koje zadovoljavaju

p2

2m= v · p (3.34)

te tako atomi koji miruju dobivaju nekoherentna ubrzanja.No u 4He nije tako: tamo atomi “ne reagiraju” na pobude od stijenkecijevi.

To je jedino moguce, zakljucio je Landau, ako disperzija kvazicestica izgleda dru-gacije, tako da nije moguce zadovoljiti jednadžbu (3.33). Konkretno, ako one

30

Slika 3.3: Fononska disperzija na niskim temperaturama. Primijetite da je roton-ski minimum dio iste krivulje.

imaju disperziju zvuka,v · p = c|p| (3.35)

se ne može riješiti za|v| < c, dok za|v| > c pobudujemo valove zvuka, a neindividualne atome. Naravno, to ne bi sprijecilo da se jedan val zvuka raspadneu mnoštvoindividualnih pobudenja,c|p| =

∑

i p2i /2m, tako dacinjenica da se

to ne dogada dokazuje da su valovi zvuka jedine kvazicestice, tj. nema drugihpobudenja u tom rasponu energija i valnih brojeva.

Posebna je suptilnost ovog argumenta da je on pogrešan u neinteragirajucemBEC-u, naime tamo je osnovno stanje energije nula dio kontinuuma jednocesticnihstanja parabolicne disperzije, i nema nacina da se pojedini atom sprijeci da za-uzme jedno od tih proizvoljno niskih pobudenih stanja ako se gurne baš njega —prostorna lokalizacija izbocine na cijevi, koja ga udari, je sve što je potrebno daga se “obilježi”, tj. da on izgubikinematickukoherenciju sa mnoštvom. Interak-cije igraju bitnu ulogu u uspostavi takvedinamickekoherencije, da niskoležecepobudenje ima linearnu disperziju.

Iz prethodnoga bi proizlazilo da nije moguce izazvati pobudenja u supratekucemheliju za brzine toka manje od brzine zvuka. No pokusi su pokazali drugacije, kri-

31

ticna brzina kod koje se pojavljuje disipacija jevc ≈ 60 m/s, dok je brzina zvukac1 ≈ 238 m/s. Iz toga je Landau zakljucio da oblik disperzije mora biti neobican,tako da pravacvcp “pogodi” neki minimum u disperziji na konacnom impulsup = p0, i pocnu se pobudivati neke drugacije kvazicestice, ne valovi zvuka, uokolini toga minimuma. Te je tada hipotetske kvazicestice Landau nazvao ro-toni. Disperzija sa odgovarajucim minimumom na približno 2Å−1 se doista našlaneutronskim raspršenjem (v. sliku 3.3), a položaj minimumaodgovara otprilikemeduatomskim razmaku, dakle rotoni su nekako povezani sa kratkodosežnim ko-relacijama medu atomima. Ime im potjece od toga što se mislilo da imaju veze samikroskopskim vrtlozima, no danas je to napušteno, dapace pobudivanje takvihvrtloga dovodi do disipacije i na brzinama bitno manjim od kriti cne, ako pokusnije pažljivo izveden, tako da vrtlozi zapravo ometaju opažanje mikroskopskihrotonskih pobudenja.

Suvremeno shvacanje rotona se zasniva na tome da neutronska raspršenja videcijelu fononsku disperziju, koja je neprekidna krivulja u impulsu, sa rotonskimminimumom tamo gdje ga je predvidio Landau. Ovo jednostavnoznaci da nekivalovi zvuka imaju anomalno nisku energiju. To se može shvatiti po analogiji sastrukturnim faznim prijelazima. Na primjer, prijelaz iz kvadratne u ortorompskustrukturu znaci da je nestala harmonicka restitutivna sila koja osigurava širenjevala zvuka,cije titranje uzrokuje tu istu ortorompsku deformaciju. Umjesto datitra, kristal se trajno deformira. No to znaci da je energija takve deformacije išce-zla — zato je deformacija “spontana”, odnosno predstavlja fazni prijelaz. Sad za-mislimo što se dogada na temperaturama malo iznad temperature prijelaza: ocitoje energija ortorompskog moda malena, iako konacna, i disperzija zvuka ima naodgovarajucem valnom vektoru izraženi minimum, takozvanu Kohnovu anomal-iju.

Rotoni u tekucem heliju se danas tumace upravo kao Kohnova anomalija,dakle lokalno uredenje atoma helija koje je energetski narocito povoljno, a kojeje moguce prouzrociti valom zvuka odredene valne duljine. No u tekucini jeKohnova anomalija bitno manje informativna nego u krutom tijelu, gdje imamo naraspolaganju razne orijentacije kristala, odnosno sve tripolarizacije zvuka, pa jojje moguce precizno odrediti simetriju. Stoga ostaje otvoreno pitanje, da li rotonskiminimum ukazuje na sklonost kristalizaciji, kvazikristalizaciji, ili ustakljivanju.

3.4.2 Valna funkcija i matrica gustoce

Kada ne bi bilo interakcija, osnovno stanje bozonskog plina4He bi bio BEC, valnafunkcija u kojoj sudjeluju svi atomi iciji je impuls nula. Kako su valne funkcije

32

pojedinih atoma ravni valovi, impuls nula odgovara jednostavno konstanti, pa jesimetrizirana valna funkcija mnoštva opet konstanta,

Ψr(0, 0, . . . , 0) ∼ eiθ(r) (3.36)

do na faktor normalizacije. Ovdje smo medutim dozvolili da se faza valne funkcijemijenja na makroskopskoj razini, u ovisnosti o koordinaticelije r. Kad se iz togaizracuna kvantna strujacestica,js ∼ Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗, dobije se

vs ∼ js ∼ ∇θ, (3.37)

a iz ovog se izraza može dobiti bitna osobina supratekuceg toka, da je on irotacion(∇× vs = 0), kao što kaže fenomenološka jednadžba (3.9). To je upravo razlogzašto se vjerovalo da supratekucost “ima neke veze” s BEC-om, jedini je problembio da ta veza nije izravna. Ona bi bila izravna da je tekuci helij slaba pertur-bacija BEC-a, kada bi izraz (3.37) odgovarao za vecinu supratekuce struje. Noovako shvacen, on odgovara za približno 8%, pa nije jasno kako iz toga objasnitidominantnu komponentu. Ili tehnickim jezikom, perturbativna teorija se ne možekoristiti a priori za objašnjenja sustava sa jakim interakcijama: to je formalnavarijanta Landauovog argumenta protiv BEC-a.

Medutim, izraz (3.37) ima opcenitije znacenje nego što sugerira gornji izvoddirektnim racunom u BEC-u. On zapravo kaže da kad god postoji mnogocesticnavalna funkcija sa makroskopski fiksiranom fazom na razini jednecelije, modu-lacije te faze medu celijama dovode do supratekuceg toka medu njima. Trebadakle vidjeti, može li se takvo stanje uspostaviti i u prisustvu interakcija, bezobzira na njihovu jakost. Umjesto valne funkcije, korisnije je promatrati am-plitudu takve fluktuacije mnogocesticnog stanja, da se nade atom i u tocki r utrenutkut, i u tocki r′ u trenutkut′:

ρ(r, t; r′, t′) ≡∫

Ψ∗(r, r2, . . . , rN, t)Ψ(r′, r2, . . . , rN, t′)d3r2 . . . d3rN , (3.38)

gdje jeΨ odgovarajuca mnogocesticna simetrizirana valna funkcija. Ova se velicinazove jednocesticna matrica gustoce, i analogna je Greenovoj funkciji u kvantnojstatistickoj fizici. Razlika je u tome, da kod Greenove funkcije ubacimo probnucesticu u neko unaprijed pripremljeno stanje, te je kasnijeuklonimo, dok kodmatrice gustoce projiciramo proizvoljnu mnogocesticnu funkciju na jednocesticnipotprostor, tako da vidimo efekte korelacija, a ne odziva, na evoluciju jedneces-tice. Ova simetricnost u vremenu se formalno odražava u hermiticnosti matrice

33

gustoce, zbog koje se ona može dijagonalizirati:

ρ(r, t; r′, t′) =∑

i

λiχ∗i (r, t)χi(r

′, t′). (3.39)

Primijetimo da nema razloga pretpostaviti da su funkcijeχ normalizirane po in-deksui: tvrdnja da jecestica “sigurno negdje” ne znaci da je baš u tockama(r, t) i(r′, t′) koje smo odabrali. S druge strane, ako dovoljno dugocekamo, prirodno jepretpostaviti dace se naci u svakom stanjui, inace bismo to stanje mogli otpocetkaizbaciti iz razmatranja:

∫

d3r

∫ T

0

dt|χi(r, t)|2 = 1, (3.40)

za svakii i makroskopski duga vremenaT . Ova normalizacija ne znaci da svastanja uzimamo s a priori jednakom vjerojatnošcu, nego da razlicite zastupljenostipojedinih stanja tokom vremena prikazujemo iskljucivo putem razlicitih vrijed-nostiλi, te tako fiksiramo proizvoljnosti u definicijiχ, ako jeT doista puno dužeod svih vremenskih skala, definiranih mikroskopskim interakcijama.

Sad promislimo štoce biti u jednoj tocki prostorar = r′, odnosno kako iz-gledaρ(r, 0; r, t) nakon ne prekratkog vremenat. Pojedine funkcijeχi mijenjajutijekom vremena i amplitudu i fazu, a ne prekratko je ono vrijeme u kojem su sesve faze stigle nekoliko puta zavrtiti za puni krug, svaka svojom brzinom, tako damedu njima nema korelacija. Ako su sve svojstvene vrijednostiλi reda1, aN brojcestica, jednocesticna matrica gustoce je suma mnoštva nasumicnih doprinosa, injena se ukupna faza ponaša kao slucajna varijabla u svakoj tocki prostora, dok jojje amplituda reda varijance svihλi. To ocito opisuje nekoherentan kvantni sustav.S druge strane, ako je jedna od vrijednostiλi redaN , a ostale reda1, ukupnacematrica gustoce biti dominirana tom jednom:

ρ(r, 0; r, t) = λ0|χ∗0(r, 0)χ0(r, t)|ei[φ(r,t)−φ(r,0)]. (3.41)

Brojcano, ako jeλ0 jedan promil odN , to je1020 za jedan mol, a ostali suλi ∼ 1i zbrajaju se sa slucajnim fazama, pa im je zbroj reda

√N ∼ 1012, što opravdava

znak jednakosti.Drugim rijecima,cim se pojavi makroskopska komponenta, ne nužno BEC-a,

ma kako mala bila s tocke gledišta mjerenja, matrica gustoce ce imati fazu kaoda je sva od te komponente. Usporedivanjem (3.38) i (3.41) vidimo da možemopisati

arg Ψ(r, . . . , t) − arg Ψ(r, . . . , 0) = i(φ(r, t) − φ(r, 0)), (3.42)

34

što znaci da je makroskopska komponenta “natjerala” cijelu mnogocesticnu funkcijuda se ponaša kao da ima upravo njenu fazu.

S druge strane, argument valne funkcije je povezan s energijom:

ΨNr(r, t) ≡

∫

Ψ(r, . . . , t) = ΨNr(r, 0)e−iE(r)t/h, (3.43)

gdje se integrira po preostalim koordinatama unutar jednecelije, cime r postajenjena makroskopska koordinata, aE(r) unutarnja energija, te je kemijski poten-cijal (Nr je ravnotežni brojcestica uceliji r)

µ(r) = E(r, Nr + 1) − E(r, Nr), (3.44)

pa je medu susjednimcelijama [E(r, Nr) = E(r′, Nr′) u ravnoteži]:

µ(r) − µ(r′) = E(r, Nr + 1) − E(r, Nr) − E(r′, Nr′ + 1) + E(r′, Nr′)

= E(r, Nr + 1) − E(r′, Nr′ + 1)

= ih∂

∂t

(

arg ΨNr+1(r) − arg ΨNr′+1(r

′))

= −h∂

∂t(φ(r) − φ(r′)) , (3.45)

odnosno, kad se razlike zamijene gradijentima,

∇µ(r) = −h∂∇φ

∂t= −m

∂vs

∂t, (3.46)

a to je jednadžba (3.9). Tako smo otkrili mikroskopski mehanizam “kratkogspoja” kemijskog potencijala supratekucim tokom. Njegova je suština u dom-inaciji faze makroskopske komponente, a ne u naravi te komponente, tako dafunkcija χ0 može sadržavati efekte bilo kakvih interakcija, samo je bitno da jepripadniλ0 redaN . NaT = 0 je citav sustav supratekuc, jer su svecestice u os-novnom stanju odredenom saχ0, no cim se pojavi makroskopska komponenta naT = Tc, onace kratko spajati kemijski potencijal, ma kako malen bio njen udio.

Komentar izvoda jednadžbe (3.9)

Dva koraka u gornjem izvodu secine nejasnima. Prvo, ako jeE(r, Nr) = E(r′, Nr′),zašto nijeE(r, Nr+1) = E(r′, Nr′+1)? Zato jer ako jeNr ravnotežni brojcesticau celiji r, ondaNr + 1 to nije, a izbacivanjecelije iz ravnoteže dovodenjem jedne

35

cestice ne mora dovesti do iste promjene energije na raznim mjestima u tekucini,osim ako je sustav globalno u ravnoteži. No da jest, ne bi biloni gradijenata, nitoka.

Drugo, zašto se argumentΨNr+1(r) povezuje s fazomφ(r) isto kao argumentΨNr

(r)? Zato jer zamišljamo da je dodatnacestica dovedena uceliju adijabatski,odnosno da se lokalni Hamiltonijancelije nije promijenio, jedino se promijenilafaza valne funkcije u skladu s promijenjenom energijom. Drugim rijecima, adija-baticnost znaci da se sustav ponaša kao da ima zadan spektarχi. Dolazak novecestice onda ne može pokvariti dominaciju faze makroskopske komponente, jercenovacestica ili postati dio te komponente, ili neke koja je premanjoj zanemariva.

3.4.3 Vrtlozi

Kao što smo gore rekli, temeljna jednadžba (3.9) povlaci da je supratekuci tokirotacion,∇× vs = 0. Postavlja se pitanje, štoce se dogoditi, ako zavrtimo kantutekuceg He-I tako da se uspostavi globalna rotacija tekucine, pa je ohladimo ispodtemperature prijelaza, sve doT = 0. Kako ce supratekuca komponenta preuzetizakretni impuls?

Irotacionost vektorskog polja je tvrdnja, da ako obidemo bilo koju zatvorenukrivulju u prostoru, ukupni otklon vektora od orijentacijeu pocetnoj tocki je nula.To je doista slucaj s gradijentnim poljima: zamislimo da smo na padini nekogbrda, svi vektori nagiba gledaju u istom smjeru, pa im je relativni otklon nula.Takoder se bilo kakve neravnine, odnosno fluktuacije smjera, u konacnici kom-penziraju, jednostavno zato jer se vracamo u istu tocku. No što ako obilazimo okobrda: svi vektori gledaju prema unutra, u smjeru vrha, pa kadobidemo puni krug,ocito je ukupna promjena otklona2π. Ovo nije u kontradikciji s irotacionošcugradijentnog polja, nego je posljedica toga što ono u maksimumu nema definiransmjer, jer je iznos gradijenta nula. Dakle je to singularna tocka polja, u kojojderivacije, koje su odgovorne za rezultat∇×∇ = 0, nemaju smisla. Primijetimoda se ta singularna tocka može otkriti obilazeci brdo vrlo daleko od vrha, što znacida se radi o topološkoj invarijanti, odnosno da se ukupni otklon2π za obilaske okobrda ne može ukloniti lokalnim promjenama polja.

Opisani singularitet u elektromagnetskoj analogiji odgovara naboju,cije pos-tojanje otkrivamo prateci smjer elektricnog polja na zatvorenoj površini (Gaussovzakon). Slicno medutim možemo preko Stokesovog zakona otkriti singularitetemagnetskog polja, koji odgovaraju žicama u kojima tece struja. Razlika je dapolje koje cini vrtlog tada nece biti radijalno nego tangencijalno. Na analogannacin ce supratekucina moci napraviti vrtlog u ravnini, ako žrtvuje jednu tocku

36

u kojoj joj faza nece biti odredena, tj. u kojojce nestati makroskopska kompo-nenta: tekucina je u toj tocki u normalnom stanju. Najjednostavniji nacin da tovidimo je da fazu valne funkcijeθ shvatimo kao funkciju azimutalnog kuta tockeu ravnini, a singularna tocka, u kojoj faza nije odredena, je ishodište. Za putanjeoko ishodišta, cirkulacija je

κ ≡∫

vs · ds =h

m

∫

∇θ · ds =h

m

∫

θ′(φ) · dφ =h

m[θ(2π) − θ(0)], (3.47)

no akoce valna funkcija biti jednoznacna, razlika faza mora biti umnožak2π, paje cirkulacija kvantizirana:

κ = nh

m, (3.48)

gdje je za helijh/m ≈ 10−7 m2/s. Pokazuje se da su vrtlozi san > 1 nestabilni naraspad u više vrtloga san = 1, tako da ih ne treba uzimati u obzir. Tada se ukupnamakroskopska cirkulacija helija u posudi može dobiti kao zbroj singularnih cirku-lacija uNv vrtloga:

∫

v(R) · ds = ωR · 2πR = Nvh

m, (3.49)

gdje jeR promjer posude, aω kutna brzina. Za danu je brzinu razumno ocekivatikonstantnu gustocu kvantnih vrtloga

Nv

R2π= 2ω

m

h. (3.50)

To je i opaženo, dapace se vrtlozi organiziraju u trokutastu rešetku.Isto kao što strujni krug mora biti zatvoren, tako Stokesov zakon brani da

vrtlog završava negdje u tekucini, nego mora ili ici od ruba do ruba, ili se zat-vara u sebe. Nukleacija samog vrtloga je prijelaz prvog reda, jer se topološkainvarijanta ne može uspostavljati postepeno. Zbog toga stvaranje vrtloga pratenestabilnosti, odnosno metastabilnosti, koje stalno prijete neredom, slicno kao štoprilikom kristalizacije lakše nastaju polikristali nego monokristali. Kod vrtlogase to ocituje medusobnim zaplitanjem i stvaranjem zatvorenih petlji, dakle jed-nom vrstom turbulencije, koja je glavni izvor disipacije u He-II, jer su energijepovezane s deformacijama vrtloga vrlo malene.

Josephsonov efekt

Prema jednadžbi (3.46), razlika kemijskih potencijalace inducirati vremenskupromjenu razlike faza. Dakle ako imamo dvije posude povezane kapilarom, i

37

jednu malo podignemo, izazvatcemo promjenu faze

∆φ(t) =∆µ · t

h(3.51)

i supratekucinace curiti kroz kapilaru, što se i ocekuje ako je jedna posuda malopodignuta. Nocim razlika faza postane veca odπ, u kapilari se može stvoritivrtlog koji vrati fazu za2π; ako se to desi svaki put kad faza dovoljno naraste,pojavit ce se izmjenicni tok mase u kapilari, sa frekvencijom

ω =∆µ

h. (3.52)

Ovo se zove Josephsonov izmjenicni (AC) efekt, koji je prvi put primijecen usupravodicima, gdje se dakako kemijski potencijal ne vezuje na gravitaciono poljenego na napon, tako da istosmjerni napon nametnut na kontaktdva supravodica,izmedu kojih je tanki sloj izolatora, generira izmjenicnu struju.

3.4.4 Dugodosežni red u prostoru

Umjesto da promatramo korelacije u jednoj tocki prostora za duga vremena, možemoih promatrati u danom trenutku za velike udaljenosti. Zbog translacione invarijant-nosti, matrica gustoce ovisi samo o razmakur − r′, te se zaT < Tc numerickimracunom pokazuje da i u granici jakih interakcija vrijedi

lim|r−r′|→∞

ρ(r, t; r′, t) = n0 +const .

|r− r′| , (3.53)

gdje jen0 frakcija BEC-a, koja je konacna, ali može biti i dosta manja od 100%.Pojava, da jednocesticna matrica gustoce ne išcezava na velikim udaljenostima, sezove nedijagonalni dugodosežni red, “off-diagonal long-range order” (ODLRO:“off-diagonal” znaci r 6= r′).

Iz ovog se razloga smatra da supratekucost nije moguca bez konacnog udjelaBEC-a naT = 0. Naime, bitna su osobina supratekucosti korelacije preko velikihprostornih udaljenosti, a ovdje se vidi da je upravo BEC odgovoran za opstanaktih korelacija. Zanimljivo je medutim da nije važno koliko ga ima: faza cijelevalne funkcije osnovnog stanja je fiksirana preko velikih udaljenosti, iako je BECsamo dio nje. Ovo se intuitivno može shvatiti kao efekt neraspoznatljivosti: svakise atom u svakom trenutku može naci u BEC-u sa fiksnom vjerojatnošcu. ImpulsBEC-a je nula, dakle je svaki njegov atom delokaliziran sa konstantnom valnom

38

funkcijom. Jedan nacin da bilo koji atom bilo gdje može zamijeniti mjesto sanekim u BEC-u je sigurno taj, da imaju istu fazu, pa do izmjenedolazi bez inter-ferentnih efekata. (Gornji numericki racun sugerira i da je to jedini nacin, iakoto nije dokazano.) Tako ispada da BEC osigurava referentnu tocku za fazuci-tave supratekucine, koliko god ga malo bilo, te prisustvo BEC-acini da je ta fazafizikalni parametar uredenja, a ne proizvoljni izbor ishodišta kompaktne varijable.Ili, malo ucenijim jezikom, BEC je znak loma simetrije (nestanka proizvoljnosti)u izboru faze valne funkcije, a tako fiksirana faza je bitna zasupratekucost (beznje nema “kratkog spoja” kemijskog potencijala).

39

Poglavlje 4

Supravodljivost

4.1 Fenomenologija

4.1.1 Otkrice

Supravodljivost je prvi put uocena u laboratoriju Heike Kamerlingh-Onessa u Lei-denu 1911. g., koji je pokušavao provjeriti Drudeov model vodljivosti metala.Taj se model svodi na tvrdnju, da je otpor proporcionalan ukupnoj ucestalostiraspršenja elektrona na preprekama, koje mogu biti razne vrste: intrinsicne (za-kaljene) necistoce, drugi elektroni, ili vibracije kristalne rešetke:

ρ =m

ne2

(

1

τint+

1

τel+

1

τvib

)

. (4.1)

Od ovih je doprinosa prvi neovisan o temperaturi, dok druga dva rastu,1/τel kaoT 2 prema jednadžbi (2.3) a1/τvib kaoT 5 za temperatureT ≪ ΘDebye. Ideja jebila da se na niskim temperaturama gleda kako se iskljucuju pojedini doprinosi,dok na najnižima ne bi ostao samo konstantni dio. Orijentacione temperaturnetocke su bile vrelišta raznih plinova, od kojih je najniže biloono helija, na 4.2 K.Mjerenja su provodena na metalima velikecistoce, te su se zlato i platina ponašaliprema ocekivanjima, no živa se nije: na 3 K je njen otpor bio strogo nula, unutartocnosti instrumenta. (U to je vrijeme u istom laboratoriju najniža postignutatemperatura bila 0.9 K, Joule-Thompsonovim procesom.)

Nekoliko se dana mislilo da je u uredaju nastao kratki spoj, no onda je sluca-jnim kvarom na sustavu za hladenje uoceno da se otpor vraca kad se uzorak za-grije, te je kasnije te godine izmjereno da se prijelaz dogada na 4.19 K (danasse uzima 4.15 K), slucajno vrlo blizu temperature ukapljivanja helija. Doktorand

40

Gilles Holst, koji je dežurao uz aparaturu kad se otpor vratio, pojavljuje se uzahvalama oba prvaclanka, gotovo istom frazom: “... i gospodinu G. Holstu,koji je pažljivo izvršio sva mjerenja Wheatstoneovim mostom”. Kamerlingh-Oness je 1913. g. dobio Nobelovu nagradu, a Holst je iste godine na njegovupreporuku postao direktor tek osnovanog Philipsovog laboratorija u Eindhovenu.H. B. G. Casimir u svojim uspomenama navodi, da u cijelo vrijeme dok je bio nainstitutu, nije nikad tražio da potpiše i jedanclanak ucijoj je izradi sudjelovao,osim ako sam nije dao glavnu ideju.

4.1.2 Narav prijelaza

Kamerlingh-Oness je odmah ustvrdio da se radi o novoj fazi materije, no bilo jerazloga za sumnju. Vodenje struje je po svojoj naravi neravnotežan proces, te jeotpor transportni koeficijent, a ne termodinamicka susceptibilnost. U to se vri-jeme nije znao fluktuaciono-disipacioni teorem, bolje reci nije se razumio dosegEinsteinove relacije, te se fazni prijelazi teorijski nisumogli povezivati sa ner-avnotežnim mjerenjima. (Danas je teret na onome tko tvrdi daprijelaz u trans-portnom koeficijentuneznaci ravnotežni prijelaz.)

Prvo mjerenje koje je sve uvjerilo da se radi o pravom termodinamickomprijelazu, za koji struja nije bitna, je bilo ono Meissnera iOchsenfelda 1933.,koji su pokazali da supravodic bez kontakata izbacuje iz sebe magnetsko poljekada se uzorak hladi u polju kroz temperaturu prijelaza. To se ne bi oceki-valo od “savršenog vodica”, zato jer dijamagnetski odgovor vodica uzrokovanLenzovim pravilom zahtijeva da se polje mijenja, dok se Meissnerov efekt do-godi u statickom polju. Ovo znaci da stanje supravodica na danom polju i tem-peraturi ne ovisi o povijesti promjena tih varijabli, daklese radi o ravnotežnomtermodinamickom stanju. Izbacivanje polja se manifestira kao sila kojom mag-net odbija supravodic, pa se u nekim konfiguracijama postižecak da supravodiclebdi. U originalnom pokusu to nije bilo tako dramaticno, nego se uocilo da se iz-duženi uzorak zakrece u homogenom polju tako, da mu pokazuje najmanji mogucipoprecni presjek.

Za Meissnerov je efekt važno da polje nije prejako. Svi supravodici imaju“kriti cno polje” na kojem uzorak prelazi natrag u normalno stanje.

Mjerenja toplinskog kapaciteta takoder pokazuju da se nešto dogada: na tem-peraturi prijelaza se vidi jasan “zubac” diskontinuiteta,koji ukazuje na fazni pri-jelaz drugog reda (bez latentne topline). Još je zanimljivije ponašanje ispod Tc,gdje toplinski kapacitet trne eksponencijalno, što znaci da se u spektru pobudenjapojavio procjep.

41

Slika 4.1: Toplinski kapacitet kositra. Desna slika u logaritamskoj skali pokazujeda je ponašanje ispod Tc eksponencijalno. Normalno stanje ispod Tc na lijevojslici je dobiveno natkriticnim magnetskim poljem.

4.1.3 Brojevi

Supravodljivost se u metalima pojavljuje samo na vrlo niskim temperaturama, na-jviša je ona niobija, Tc=9.6 K. Najviša do 1986. je Tc=23.2 K u Nb3Ge, kadaje otkrivena tzv. visokotemperaturna supravodljivost u bakrenim perovskitima,konkretno La2−xSrxCuO4 na 35 K zax ≈ 0.12, dok je najviša zabilježena temper-atura prijelaza u toj klasi materijala 135–165 K za živin spoj Hg2Ba2CaCuO8+δ,ovisno oδ. Magnezijev diborid MgB2 supravodi na 39 K, što je otkriveno tek2001., iako je prvi put sintetiziran 1953.

Kriti cna polja se znacajno razlikuju u dvije grupe supravodica. Supravodici1. vrste ili Pippardovi supravodici imaju malena kriticna polja, najviše oko 0.1 T,koja naglo unište supravodljivost kad se dosegnu, faznim prijelazom 1. reda. Supra-vodici 2. vrste ili Londonovi imaju dva kriticna polja, jedno je nisko kao kod Pip-pardovih, kad polje pocne ulaziti u supravodic ali ga ne uništi, dok je drugo dalekoviše, reda desetak i više tesla, kad supravodljivost konacno nestaje. Zbog toga se uizradi magneta koriste iskljucivo supravodici 2. vrste. Vecina elementarnih metalasu supravodici 1. vrste, a prijelazni metali, neuredene legure i intermetalni spojevisupravodici 2. vrste. Bakreni perovskiti su ekstreman primjer potonjih, njihovogornje kriticno polje je preko 90 T.

Uz kriticno polje prirodno ide i kriticna struja: to je ona kod koje polje napovršini supravodljive žice postiže kriticnu vrijednost. Ovako “idealno” defini-

42

Slika 4.2: Kriticna polja supravodica 1. (lijevo) i 2. vrste (desno), ovisno o tem-peraturi.

rana kriticna struja ne nosi više informacije od vrijednosti kriticnog polja, no izdefinicije je jasno da u nju ulazi komponenta koju je teže kontrolirati, a to jegeometrija i opcenito izvedba same žice.1 Zato je informativnije znati kolikese realne kriticne struje mogu postici u odredenim tehnologijama izrade. Prvaje komercijalna supravodljiva žica napravljena u Westinghouseovom laboratoriju1962., i sastojala se od snopa tankih niti legure (Nb,Ti) u matrici bakra, koja jedavalacvrstocu i služila kao rezervni vodic za slucaj gubitka supravodljivosti.(Supravodic kratko spaja bakar, tako da on u normalnom režimu rada ne vodistruju.) Tako je nastao pojam “inženjerske” gustoce struje, koji racuna prom-jer cijele materijalne žice koja se koristi, a ne samo supravodljive komponente.Za ilustraciju, druga generacija visokotemperaturnih supravodljivih žica, koje seprave od tankih traka, slicnih magnetofonskima, ima kriticnu laboratorijsku gus-tocu 1 MA/cm2 (1995.), a inženjersku 12.4 kA/cm2 u konkretnoj industrijskojizvedbi, uz proizvodacevu garanciju najmanje 145 A apsolutne struje na tempera-turi vrenja dušika (77 K). Demonstracijski komercijalni kabel dužine oko 600 m,koji se pravi od upredenih takvih žica, sa slojem tekuceg dušika tamo gdje stan-dardni kablovi imaju ulje, koristi se od 2008. u jednom dijelu elektricne mrežeLong Islanda, gdje na 138 kV prenosi 2400 A bez gubitaka.

Važan je tehnicki parametar i iznos vanjskog polja u kojem žica može raditi,

1Kasnijecemo vidjeti kako termodinamicki pristup Landaua i Ginzburga daje fizikalno smis-leniju interpretaciju kriticne struje, preko pojma korelacione duljine.

43

zbog konstrukcije supravodljivih magneta. Tako jedna legura niobija, kositra itantala može na 9 T održati laboratorijsku gustocu struje 280 kA/cm2.

4.2 Londonova slika

Tokom približno 25 godina od otkrica Meissnerovog efekta do mikroskopsketeorije Bardeena, Coopera i Schrieffera, objavljeno je mnoštvo pokušaja da semikroskopski razumije supravodljivost, koji su danas svi zaboravljeni, osim jed-nadžbe kojom su Fritz i Heinz London 1935. opisali Meissnerov efekt. To jezato jer je ta jednadžba tocna, i može se izvesti i iz mikroskopske teorije. BracaLondon su je izveli iz fenomenološke pretpostavke, da elektron u supravodicuubrzava bez ogranicenja kad ga se stavi u elektricno polje, tj. nema granicnu brz-inu, koja bi bila znak elektricnog otpora. Ova se pretpostavka balistickog vodenjane može opravdati, i ne predstavlja dobru sliku supravodljive struje. No 1937. jeF. London objavio rafiniraniji izvod iste jednadžbe, koji eksplicitno sadrži glavnumikroskopsku ideju supravodljivosti: da svi elektroni koji sudjeluju u vodenjustruje bez otporacine jednu makroskopsku valnu funkciju. (To je ista ideja ko-jom je isti London pokušao objasniti tekuci helij, samo je tu jednu funkciju krivoidentificirao kao BEC.)

London se pita, kakojednomatomu uspijeva imati dijamagnetski odgovor. Štoradi jedan elektron u jednom kvantnom stanju, da zasjeni magnetsko polje? Prvo,korekcija valne funkcije zbog polja je mala, jer su magnetske skale puno niže odatomskih:

Ψ ≈ Ψ0 + B · BΨ1 + . . . , (4.2)

pa je dozvoljeno stati na prvom neišcezavajucem redu, koji je kvadratican jer dija-magnetski odgovor ne ovisi o smjeru polja. Za valnu funkcijuvezanu na vektorskipotencijal,B = ∇×A, kvantna je struja

j =hc

2iM(Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗) − e2

Mc|Ψ|2A. (4.3)

Kad se za valnu funkciju uvrsti ona u polju, prvi neišcezavajuci red u vektorskompotencijalu daje

j = − e2

Mc|Ψ0|2A + O(A3), (4.4)

jer je za dijamagnetski atomΨ∗0∇Ψ0 − Ψ0∇Ψ∗

0 = 0. Kad se napiše veza brzine iimpulsa u prisustvu polja,

p = Mv +e

cA, (4.5)

44

postane jasno što radi atom. On namjesti fazu valne funkcijetako da ona bude“slika vanjskog polja” (Londonove rijeci), te “mehanicka” strujaMv tocno poništidoprinos polja tako, da kanonski impulsp koji odgovara kvantnoj strujij budenula, kao što je bio i prije, kad je u odsustvu polja kvantna struja imala samomehanicku komponentu,p = Mv. Fizikalna bit takvog zasjenjenja je da jefaza valne funkcije odredena kanonskim impulsomp, a ne mehanickim impulsomMv. Razlika ta dva impulsa se može apsorbirati promjenom faze valne funkcije,što znaci da se zasjenjenje ostvaruje kompenzacijom vanjskog vektorskog poten-cijala unutarnjim baždarnim stupnjem slobode elektrona.

Bitni korak je da se ovo ponašanje postulira za hipotetsku jedinstvenu valnufunkciju svih elektrona, najjednostavnijim mogucim poopcenjem,

J = −e2n

McA ≡ − c

λ2L

A, (4.6)

gdje jeJ sad makroskopska struja,n koncentracija elektrona, a konstantaλL kojase pojavila ima dimenziju dužine. Da se izbjegnu proizvoljnosti baždarenja, istase jednadžba može pisati

∇× J = − c

λ2L

B, (4.7)

što u kombinaciji sa Maxwellovom jednadžbomc∇× B = J daje

−λ2L∇×∇× B = λ2

L∇2B = B, (4.8)

cije rješenje je funkcija koja eksponencijalno trne,Bx ∼ exp(−x/λL), a to upravoopisuje Meissnerov efekt. Dakle jedinstvena valna funkcija bešumnim pomakomfaze uspostavi mehanicku struju koja zasjeni magnetsko polje, a da se sama nedeformira, tj. kvantna struja ostane nula, isto kao kod atoma.

Londonova duljinaλL je prema tome dubina prodiranja (“penetration depth”)magnetskog polja u supravodic. Naime, na samoj površini supravodica postojijaci rubni uvjet, da okomito na površinu struja mora biti nula,inace bi naboj curiovan. Taj je rubni uvjet ocito isti za supravodic i obicni metal, u koji staticko poljemože prodrijeti. Londonova duljina je upravo udaljenost, preko koje se faza uspijepromijeniti, koliko treba da zasjeni polje.

4.3 Pippardov uvid

Dubina prodiranja se može mjeriti pomocu tankog sloja supravodica, naparenogna staklenu cijev, koju se stavi izmedu dvije zavojnice, i prati kadce ona unutra

45

primiti signal od one izvana. Opažena dubina prodiranja se ne slaže uvijek dobrosa Londonovom formulom (4.6). Brian Pippard je 1953. pokušao popraviti Lon-donov izraz tamo gdje on povezuje struju i polje u istoj tocki prostora, kao da naodgovor supravodica ne utjece magnetsko polje iz okoline tocke u kojoj se mjeristruja. To ga je navelo da poopci Londonovu formulu kao (nelokalni) integral

J = −ne2

Mc

3

4πξ0

∫

(A · R)R

R4e−R/ξd3R, (4.9)

gdje za sada zamišljamoξ = ξ0, a normalizacija dolazi od zahtjeva da se re-producira Londonova formula u graniciξ = ξ0 → 0, odnosno fizikalno, kad jeA konstantan na skaliξ (tada seA izvadi ispred integrala, a ostatak se integriraegzaktno). Pippardova jednadžba (4.9) uvodiξ0 kaoduljinu koherencijeprocesakoji uspostavlja Meissnerov odgovor. Ta bi duljina trebalabiti povezana sa nekomkarakteristicnom energetskom skalom supravodljivosti, a tu se prirodnopojavljujeprocjep∆ ∼ kTc, koji se vidi u toplinskom kapacitetu. Ideja je da se energetskiiznos toga procjepa izrazi kao debljina ljuske u impulsnom prostoru, što prirodnodaje dužinsku skalu: nazovimo

p2±

2M≡ p2

F

2M± ∆, (4.10)

iz cega proizlazi, do prvog reda u∆, δp = p+ − p− = M∆/pF , odnosnoξ0 ∼1/δp, ili

ξ0 =hvF

π∆, (4.11)

gdje su faktori kako ih je uveo Pippard, sa dobrim osjecajem za fiziku. Naime,poslije se pokazalo da Pippardova jednadžba najbolje reproducira rezultat mikro-skopske teorije kad se zaξ0 uzme baš (4.11). Ova skala ocito nema nikakve vezes Londonovom duljinom.

4.3.1 Duljina koherencije i relacija neodredenosti

Duljina koherencijenije dana relacijom neodredenosti, što je najbrži nacin da seiz bilo koje energije∆ izvuce dužinska skala:∆x

√∆ ∼ h. Ovako odredeni∆x

se može shvatiti kao velicina molekule,cija je energija veze dana sa∆, i koris-tan je na primjer za ocjenu energije vibracionog doprinosa toplinskom kapacitetudvoatomnih plinova. Supravodljivost medutim nije vezano stanje dva elektrona.Da jest, imali bismo situaciju analognu vezanju atoma deuterija (fermiona) u

46

molekule deuterija (bozone). Kondenzacijska energija koja je s time povezanaje proporcionalna broju svih nastalih molekula,∼ N∆, dok je kondenzacijskaenergija supravodica puno manja,∼ N∆ · T/TF . Ovo znaci da u supravodljivostisudjeluju samo elektroni u blizini Fermijeve površine, i samo njihova raspršenjadestabiliziraju Landauovu tekucinu. Zato se u ocjeniξ0 pojavila Fermijeva brzina,koja je fizikalni parametar mnoštva fermiona, i ne može imativeze sa kondenzaci-jom u molekule, u kojem mnoštvo nema nikakvu ulogu.

Supravodljivost je, kao štocemo vidjeti, posljedica dinamickih korelacija elek-trona koji se raspršuju bez stvaranja vezanog stanja, jer jeskala interakcije∆zanemariva prema kinetickoj skali kTF . U teoriji raspršenja takve se korelacijezovu “rezonancije u kontinuumu”. Nije medutim lako zamisliti, kako energetskislaba raspršenja medu elektronima na Fermijevom nivou mogu biti neadijabatska,u smislu da naruše Landauove argumente o Fermijevoj tekucini, i za to se moralocekati mikroskopsku teoriju supravodljivosti.

4.3.2 Usporedba Pippardove i Londonove skale

Ako imamo dvije razlicite duljinske skale, ocito ce se materijali dijeliti prematome, koja je veca. Pippardovi se zovu supravodici kod kojih je ξ0 ≫ λL, aLondonovi kad je obrnuto. Fenomenološki, Pippardovi supravodici su prve vrste,jer kad duljina koherencije nadmašuje duljinu prodiranja,prodor polja je mogucsamo po cijenu potpunog gubitka supravodljivosti, odnosnouzorak supravodicase u polju ponaša kao jedinstvena cjelina. S druge strane, ako je duljina prodi-ranja veca, supravodljivost može biti narušena u jednom dijelu uzorka, gdje jeprodrlo polje, a da drugi dio, udaljen za više odξ0, “ništa ne primijeti”, odnosnouzorak supravodica se ponaša kao mozaik uzoraka velicineξ0, koji razdvajaju ne-supravodljiva podrucja, u kojima je polje uspostavilo normalno stanje.

U supravodicima prve vrste, kakav je aluminij,ξ0 ∼ 10000 Å, a λL ∼ 300 Å,dok je u prijelaznim metalima i intermetalnim legurama efektivna masa veca, štopovecavaλL, dok je Fermijeva brzina manja, a supravodljivi procjep veci, štosve smanjujeξ0. Tako je u realnim supravodicima druge vrsteξ0 ∼ 50 Å, aλL ∼ 2000 Å.

4.3.3 Skala necistoca

Pippard je u svojoj jednadžbi dozvolio, da koherencija budeometena i ekstrin-sicnim ucincima necistoca u materijalu. Ovo je u skladu s opažanjem da necistoce

47

mogu pretvoriti supravodic 1. vrste u supravodic 2. vrste, te da su neuredene le-gure sve redom supravodici druge vrste. Dakle, ako srednji slobodni put elektronazbog necistoca nazovemol, imamo

1/ξ = 1/ξ0 + 1/l, (4.12)

gdje seξ pojavljuje u integralnoj jezgri Pippardove jednadžbe (4.9). Supravodiciu kojima jeξ0 ≪ l, tj. ξ ≈ ξ0, zovu secisti, inace su prljavi (“dirty”). Ako jeξ ≈ l ≪ λL ≪ ξ0, necistoce su pretvorile supravodic 1. vrste u supravodic 2.vrste, odnosno Pippardova jednadžba se svede na lokalnu Londonovu samo zbogkratkog srednjeg slobodnog puta, preko kojeg se usrednjavaju ucinci polja.

Gornja su razmatranja plauzibilna ako nemamo jasnu sliku mikroskopskogmehanizma supravodljivosti. Kad se shvati mehanizam, treba preispitati feno-menologiju ispocetka. Posebno, nije jasno zašto necistoce imaju utjecaja na duljinukoherencije, a ne uništavaju supravodljivost kao takvu. Odnosno, ako je ne uniš-tavaju, zašto imaju utjecaja na duljinu koherencije? Razlog je opet da su supra-vodljive korelacije rezonancije u kontinuumu, a ne vezana stanja koja bi bila en-ergetski zašticena. Iako elektron korelira svoje gibanje sa drugim elektronom,on to cini kao gotovo slobodni elektron, i može se usput raspršitina necistociisto kao i da nema supravodljivih korelacija. Tako necistoce posluže kao filter,koji iz supravodljivih korelacija ukloni one preko udaljenosti vecih od srednjegslobodnog puta. Pri tome se temperatura prijelaza bitno ne mijenja, jer su ener-getske korekcije od narušenja dugodosežnih korelacija zanemarive. Intuitivno jeto zato jer elektron kojem su ometene dugodosežne korelacije još uvijek možesudjelovati u kratkodosežnima, koje takoder doprinose stvaranju makroskopskogsupravodljivog procjepa, odnosno, makroskopska medusobna koherencija kucicavelicine l je “isto tako dobra” kao koherencija kucica velicine ξ0, do na razlikesupravodica 1. i 2. vrste.

4.3.4 Dimenzionalna analiza Pippardove jednadžbe

Pippardova jednadžba zaξ = ξ0 se može izraziti mjereci varijablu integracije ujedinicama Londonove duljine,R = rλL, pa se

J = − c

λ2L

3λL

4πξ0

∫

(A · r)rr4

e−rλL/ξ0d3r (4.13)

usporeduje s “efektivnom” Londonovom jednadžbom

J = − c

λ2A, (4.14)

48

koja služi za podešavanje rezultata mjerenja. Ocito, ako jeλL ≫ ξ0 (Londonovagranica), podintegralna funkcija je znacajna samo okor ≈ 0, i ako jeA kon-stantan u tom podrucju, reproduciratce se tocno lokalna Londonova jednadžba,λ = λL, jer se integral bez velike greške može protegnuti dor ≈ ∞. Eksperi-mentalno je uoceno da su dubine prodiranja dosta manje odξ0, a ne previše veceod λL. Dobro, kaže Pippard, ta se efektivna dubina prodiranja svodi na to daje u integraluλ umjestoξ0, pa ista logika konstantnogA dajeλ/λL kao vrijed-nost integrala, a kako je to upravo onajλ iz efektivne jednadžbe, konzistentnostzahtijeva

1

λ2=

1

λ2L

λ

ξ0

, (4.15)

iz cega se ocjenjuje da je mjerena dubina prodiranjaλ neka vrsta geometrijske sre-dine Londonove i Pippardove duljine,λ3 ∼ λ2

Lξ0, u kojoj dominira Londonova.Netko bi mogao prigovoriti, da smo u integralu pomiješali znacenje dubine prodi-ranja i korelacione duljine, no poanta ove analize je da su oni pomiješani i u rezul-tatu mjerenja,cim ga se iskazuje efektivnom lokalnom Londonovom jednadžbom.Razlika u znacenjuλ u efektivnoj jednadžbi i u Pippardovom integralu se možeobuhvatiti pažljivijim racunanjem integrala, no iz dimenzionalnih razloga takvopoboljšanje može rezultirati samo numerickim prefaktorom.

Necistoce se ukljucuju tako da se pod integralom pojavljujeξ umjestoξ0. Uekstremnom slucaju kad jeξ ≈ l ≪ λ, isto razmišljanje daje

1

λ2=

1

λ2L

l

ξ0, (4.16)

odnosno

λ = λL

√

ξ0

l. (4.17)

Ovo je zanimljivo jer se koncentracija necistoca može kontrolirati, i Pippard jedoista našao da se u nizu legura indija i kositra eksperimentalna dubina prodiranjapolja mijenja s korijenom iz srednjeg slobodnog puta.

Pippardova jednadžba je fenomenološka, te su njeni rezultati pouzdani u onojmjeri u kojoj ne ovise o detaljima. Vrijednost gornjih razmatranja je upravo utome, da se ona oslanjaju na grube argumente, prije svega dimenzionalne analize.Bit Pippardovog uspjeha je medutim da je uocio duljinu koherencije kao novu inezavisnu karakteristicnu skalu supravodica, uz Londonovu duljinu.

49

4.4 Makroskopski opis Landaua i Ginzburga

Landau i Ginzburg su opisali termodinamiku supravodica izrazom za slobodnu en-ergiju, ciji je oblik bio zasnovan na Landauovoj opcenitoj predodžbi o slobodnojenergiji sustava u kojem se pojavljuje fazni prijelaz drugoga reda. U osnovi se radio kvarticnom polinomu u parametru uredenja, kome kvadratniclan mijenja predz-nak na kriticnoj temperaturi. Prvi je korak u Landauovom opisu identifikacijaparametra uredenja, na primjer za feromagnetske sustave to je trodimenzionalnirealni vektor magentizacije. U iducem se koraku konstruira najopcenitiji izrazkoji zadovoljava simetrije sustava. Za sustave blizu ravnoteže, treba ukljuciti igradijentneclanove, koji daju ucinke prostornih varijacija parametra uredenja naslobodnu energiju. Pri tome se koristi uobicajena hidrodinamicka predodžba, dasu te prostorne varijacije makroskopske na skali procesa koji su odgovorni za samparametar uredenja.

Landau i Ginzburg su pretpostavili da je parametar uredenja jedan kompleksnibroj Ψ(r), konzistentno s Londonovom idejom iz 1937., da svi supravodljivi elek-troni cine jednu makroskopsku valnu funkciju. Za izotropni sustav, odgovarajucirazvoj gustoce slobodne energije je

F [Ψ(r)] = F0 + α(T − Tc)|Ψ(r)|2 +1

2β|Ψ(r)|4 + γ|∇Ψ(r)|2, (4.18)

gdje se za miješane kvarticneclanove,|Ψ(r)|2|∇Ψ(r)|2, pretpostavlja da su mali,jer je Ψ(r) malo u blizini Tc, gdje razvoj ima smisla ia priori, shvacen kaoTaylorov. Kvarticni gradijentniclanovi, |∇Ψ(r)|4, su pak mali po pretpostavcio slabim varijacijama parametra uredenja. Primijetimo da se dalje odTc možezadržati ova druga pretpostavka, ali ne i prva, tako da bi miješaneclanove teoret-ski trebalo uzimati u obzir. Medutim, to u “školskim” kontekstima ne dovodi dokvalitativnih promjena, pa se u literaturi uobicajilo ogranicenje na izraz (4.18) ucijelom rasponu0 < T < Tc.

4.4.1 Znacenje parametara Landau-Ginzburgovog funkcionala

U ravnotežnom sustavu gradijentniclanovi su nula, aΨ(r) je konstanta, pa seekstrem slobodne energije zaT < Tc nalazi uΨ = Ψ0:

α(T − Tc) + β|Ψ0|2 = 0, (4.19)

odakle jekondenzacijska energija

F [Ψ0] −F0 = −α2

2β(T − Tc)

2, (4.20)

50

što trne kvadraticno s temperaturom, odnosno, pripadni toplinski kapacitetne di-vergira, nego ima diskontinuitet velicineα2/2β. Primijetimo da parametar ure-denja trne kao kvadratni korijen,|Ψ0| ∼

√Tc − T , što je univerzalni kriticni ek-

sponent teorije srednjeg polja.Nadalje, ako jeΨ = Ψ0e

iφ(r), energija u gradijentnomclanu je u stvari energijakoju nosi supravodljiva struja:

Es = γ|Ψ0|2|∇φ(r)|2 =γα

β(Tc − T )|∇φ(r)|2 (4.21)

S druge strane, možemo zajedno s bracom London proglasiti tu energiju kinetickomenergijom supravodljive gustoce:

Es =1

2Mnsv

2s =

1

2Mns

∣

∣

∣

∣

h

2M∇φ

∣

∣

∣

∣

2

, (4.22)

odakle se usporedivanjem dobijekoncentracijasupravodljive komponente:

ns =8M

h2

γα

β(Tc − T ). (4.23)

Time su parametri fizikalno fiksirani, jer im apsolutna vrijednost ovisi o normal-izaciji parametra uredenja. Pri tome se parametar uredenja izravno povezao sasupravodljivom koncentracijom,cime se može interpretirati Londonov intuitivniprijelaz sa valne funkcije na koncentraciju:

|Ψ0|2 = nsh2

8Mγ. (4.24)

Naposljetku, i najzanimljivije, usporedba kondenzacijske energije i energijestruje daje fizikalnu ocjenu kriticne struje, naime

−α2

2β(T − Tc)

2 +γα

β(Tc − T )|∇φ(r)|2c = 0. (4.25)

To se može tako shvatiti, da gradijent daje dužinsku skalu (valni broj!) na kojoj semijenja faza,φ ≡ eir/(2ξ), pa se tako pojavikorelaciona duljina

ξ(T ) =

√

γ

α(Tc − T ). (4.26)

Kriti cna je struja malena kad je korelaciona duljina velika, a to je blizu kriticnetemperature. Fizikalno, do uništavanja supravodljivostistrujom dolazi zato štokvantni sustav vodi struju zakretanjem faze, a da bi supravodljivo stanje bilo ter-modinamicki stabilno, mora imati fazu koreliranu preko udaljenostiξ(T ). Dakle,struja ne smije “previše” zakrenuti fazu unutar te udaljenosti.

51

4.4.2 Usporedba Landau-Ginzburgove i Pippardove skale

Landau-Ginzburgova korelacijska dužinaξ(T ) divergira naTc, u skladu s opcimponašanjem statisticki inducirane korelacijske dužine kod faznih prijelaza drugogreda. S druge strane, Pippardova koherencijska duljinaξ0 karakterizira mikroskop-ski proces, koji uspostavlja Meissnerov efekt, i iz njene jedefinicije jasno dacetakoder divergirati naTc ako supravodljivi procjep kontinuirano išcezava, ali izdrugog razloga. Da bi se razlucilo te razloge, korisno je napraviti usporedbu saferomagnetskim prijelazom.

Zamislimo prvo klasicni (Isingov) model feromagnetizma, u kojem postojikratkodosežna interakcija Heisenbergovog tipa, ali bez kvantnih fluktuacija. Uneposrednoj blizini prijelaza, dovoljno je “rukom” zadržati jedan jedini spin, pada njegova orijentacija odredi orijentaciju magnetizacije cijelog sustava. To znacida svi ostali “vide” tog jednog, odnosno, korelaciona duljina je statisticki diver-girala, iako je interakcija kratkog dosega. Porijeklo te divergencije je ocito utermodinamickim fluktuacijama, te na samom prijelazu prostorna velicina jednefluktuacije raste bez granica. Ona je analogna Landau-Ginzburgovoj korelacijskojduljini supravodica.

S druge strane, ako dozvolimo kvantne fluktuacije, u neposrednoj blizini os-novnog stanjace se pojaviti magnonska pobudenja, slicno fononima u tekucemheliju. Pojavu magnetske faze možemo shvatiti kao išcezavanje energije jednogodredenog magnonskog pobudenja. Neposredno iznad prijelaza, magnonski modima nisku ali konacnu energiju, analogno Kohnovoj anomaliji. Prijelaz se u kvant-noj slici odvija tako da energija tog moda kontinuirano išcezava, no to znaci damu valna duljina divergira. Valna duljina koherentnog magnonskog pobudenjau ovoj slici je analogna Pippardovoj koherencijskoj duljini supravodica: ona jemjera velicine objekta kojeg su stvorile koherentne kvantne fluktuacije.

S obzirom na poznatu mikroskopsku teoriju supravodljivosti (BCS), Pippar-dova je skala velicina para supravodljivo koreliranih elektrona, a Landau-Ginz-burgova skala duljina preko koje se parovi koreliraju medusobno. Možemo zamis-liti supravodljivost u kojoj bi se naT > Tc prvo uspostavili parovi bez medusobnekorelacije, a onda se korelirali u makroskopsku supravodljivost naT = Tc, sa pri-padajucom divergencijom Landau-Ginzburgove duljine. Takve se teorije za sadaozbiljno razmatraju pri pokušajima objašnjenja visokotemperaturnih supravodica.Kako god to ispalo, teoretski je moguce da Landau-Ginzburgova duljina divergiratek kad je Pippardova vec prošla kroz divergenciju, i postala konacna.

Zanimljivo je medutim pitanje, mora li par “doci iz beskonacnosti”, ili se Pip-pardova duljina može uspostaviti i diskontinuiranim kvantnim prijelazom, nalik

52

termodinamickom prijelazu prvog reda, u funkciji jacine mikroskopskih interak-cija. U mehanizmu BCS teorije to se može dogoditi samo u vanjskom magnet-skom polju, koje uspostavlja kompeticiju magnetske i supravodljive skale i naT = 0. Razlog je, kao štocemo vidjeti, da u odsustvu polja i proizvoljno slabainterakcija odredene vrste destabilizira Fermijevo more naT = 0, no što je slabijato jeTc niži, tako da imamo kontinuirano smanjivanje parova, od beskonacnosti, ipodizanje kriticne temperature, od nule, kako se interakcija pojacava.

Na kraju, primijetimo da se može zamisliti shematska supravodljiva teorijabez kvantnih fluktuacija, kod koje je procjep∆ neovisan o temperaturi doTc,gdje termodinamicka korelaciona duljina svejedno divergira, baš kao kod Isin-govog modela feromagnetizma. Ovo je vrlo blizu realnoj situaciji u klasicnimsupravodicima: na slici 4.1 se vidi kako je diskontinuitet u toplinskom kapacitetuoštar i konacan, iako bismo po analogiji s tekucim helijem (parametar uredenja jetakoder kompleksni broj) ocekivali lambda-prijelaz sa slabom potencijskom diver-gencijom. Zbog toga se u udžbenicima ponekad navodi i da Pippardova duljina nedivergira naTc, kao da parovi konacnih dimenzija trenutno nastanu na temperaturiprijelaza.

4.4.3 Vezanje na elektromagnetsko polje

Ako se zahtijeva baždarna invarijantnost, kao jedna od simetrija koju mora zado-voljavati funkcional slobodne energije, onda se elektromagnetsko polje može ukljucitiili kao magnetsko polje∇ × A(r), ili minimalnom supstitucijom gradijentnogclana:

F =

∫

d3r

F0 + α(T − Tc)|Ψ(r)|2 +1

2β|Ψ(r)|4

+ γ

∣

∣

∣

∣

(

∇− 2ie

hcA(r)

)

Ψ(r)

∣

∣

∣

∣

2

+1

2(∇× A(r))2

. (4.27)

Ovdje smo stavili naboj2e u minimalnu supstituciju, u skladu s mikroskopskomteorijom supravodljivih parova. Landau i Ginzburg su originalno stavilie, noGinzburg je primijetio da može bolje podesiti mjerenja ako stavi neki broj e∗,izmedu 1.8e i 2.2e, što su odbacili na temelju Landauove primjedbe da takavefektivni naboj narušava baždarnu invarijantnost. Zanimljivo je da nisu primijetilida je unutar tog raspona cjelobrojni iznose∗ = 2e, koji je ne narušava.

Cim se ukljuci polje, u Landau-Ginzburgovom funkcionalu se pojavi još jedna

53

dužinska skala, koja je upravo Londonova duljina:

λ2L =

Mc2

nse2=

h2c2

8e2

β

γα(Tc − T ). (4.28)

Kao što se vidi, ona divergira s istim korijenom kao iξ(T ), tako da su u blizinikriti cne temperature te dvije skale usporedive:

limT→Tc

λL(T )

ξ(T )=

hc

2e

√

β

2γ2≡ κ. (4.29)

Fizikalno, medutim, one opisuju dva razlicita nacina kako supravodic u mag-netskom polju može prijeci u normalno stanje: jedan je da ga “pojede polje”,a drugi da ga “pojede temperatura”. Ocito ce supravodic biti prve vrste ako jeξ(Tc) ≫ λL(Tc), a druge vrste ako je obrnuto. No kako one jednako brzo divergi-raju, nema kvalitativnih razloga da jedna dominira u blizini kriti cne temperature,pa preostaje kvantitativna usporedba, što odgovara tome dau prirodi stvarno pos-toje dvije vrste supravodica. Konkretno, pokazatcemo da se vrtlozi stabilizirajuako jeκ > 1/

√2, inace je supravodic 1. vrste.

Landau-Ginzburgov funkcional varijacijom daje jednadžbugibanja za param-etar uredenja u prisustvu zadanog polja:

γ

(

∇− 2ie

hcA(r)

)2

Ψ(r) + α(T − Tc)Ψ(r) + β|Ψ(r)|2Ψ(r) = 0 (4.30)

Ovakva se jednadžba u literaturi zove Gross-Pitaevskii ilinelinearna Schrödingerovajednadžba. Njezina nelinearnost potjece od samosuglasnosti, odnosno zahtjeva daparametar uredenja minimizira slobodnu energiju koja je opisana pomocu njegasamog. Druga jednadžba, koja se dobiva varijacijom s obzirom na vektorski po-tencijal, za zadanu valnu funkciju, je poopcena Londonova jednadžba:

J = −2ie

hγΨ∗

(

∇− 2ie

hcA(r)

)

Ψ + c.c., (4.31)

U stvari, ako se uoci da jeγ|Ψ0|2 ∼ ns ∼ λ−2L prema (4.24) i (4.28), obje se

jednadžbe mogu napisati svaka pomocu svoje karakteristicne duljine:

ξ(T )2

(

∇− 2ie

hcA(r)

)2

Ψ(r) − Ψ(r) − β

α(Tc − T )|Ψ(r)|2Ψ(r) = 0, (4.32)

c

λ2L

(

hc

2e∇φ − A(r)

)

= J, (4.33)

54

gdje smo u prvoj jednadžbi uzeli u obzirT < Tc, a u drugoj staviliΨ = Ψ0eiφ

da se istakne veza s Londonovom jednadžbom, na koju se ona svodi u statickojgranici∇φ = 0. Ovdje seξ(T ) pojavila kao duljina preko koje trnu perturbacijeu polju Ψ(r): u granici ξ(T ) = 0 dobijemo jednadžbu za staticko ravnotežnopolje (4.19), a u graniciξ(T ) → ∞ dominira prviclan, koji predstavlja jednadžbuslobodnog elektrona u vanjskom polju, što upravo odgovara tome da korelacionaduljina divergira na kriticnoj temperaturi.

4.5 Vrtlozi

4.5.1 Londonova slika

U razmatranju supravodica 2. vrste ostalo je nejasno, kako to supravodic puštapolje u sebe, a da se supravodljivost ne uništi. Zbog Stokesovog je zakona jasnoda silnica polja ne može stati negdje unutar uzorka, dakle ako je ušla, mora iizaci. Po analogiji s tekucim helijem, možemo odmah zakljuciti da ce se po-javiti vrtlog supravodica, koji ce zasjeniti polje na skaliλ. Sama jezgra vrtloganije supravodljiva, što znaci da je njena najmanja moguca dimenzijaξ0, jer je toskala na kojoj se supravodic ponaša kao jedan cjeloviti uzorak, koji ili jest ili nijesupravodljiv.

Ova nam slika omogucuje opisivanje supravodica u podrucju prodiranja poljaξ0 < ρ < λ, izvan kojeg podrucja vrtlog eksponencijalno trne. Londonova jed-nadžba za poljeB = Bzz u cilindricnoj geometriji je

∂2Bz

∂ρ2+

1

ρ

∂Bz

∂ρ− Bz

λ2= 0. (4.34)

Formalno rješenje je

Bz =Φ0

2πλ2K0(

ρ

λ) (4.35)

gdje jeK0 modificirana Besselova funkcija, a konstanta podešena takoda jeΦ0

ukupni magnetski tok kroz jezgru vrtloga,

Φ0 =

∫

Bz(ρ)d2r = 2π

∫

Bz(ρ)ρdρ. (4.36)

Za male vrijednostiρ ≪ λ je K0(z) ∼ − ln z, pa je

Bz =Φ0

2πλ2ln(

λ

ρ), ξ0 < ρ ≪ λ. (4.37)

55

Pripadajuca struja jeJ = ∇×B/c ∼ eφ/ρ, što je irotaciono, isto kao kod vorteksau tekucem heliju. S obzirom da je i ovdje faza valne funkcije povezana s pripada-jucim vektorskim potencijalom, fluks je kvantiziran kao i kod helija, kao štocemokasnije vidjeti.

U suprotnoj granici Besselova funkcija jeK0(z) ∼√

π/(2z)e−z, pa je

Bz =Φ0

2πλ2

√

πλ

2ρe−ρ/λ, ρ ≫ λ, (4.38)

što odgovara zasjenjenju polja unutar supravodica.

4.5.2 Slika Landaua i Ginzburga

Landau-Ginzburgov funkcional predstavlja kvalitativni napredak u odnosu na Lon-donovu jednadžbu, kojom se prvo opisao Meissnerov efekt i, posljedicno, pojavavrtloga u supravodicima druge vrste. U njemu se istovremeno pojavljuje polje iparametar uredenja, dok je kod Londona intuitivno uvedena valna funkcijaodmahzamijenjena klasicnim pojmom supravodljive koncentracije. Zbog toga Landau-Ginzburgov funkcional može opisati kvantizaciju vrtloga,i još bolje, prostornuorganizaciju tih vrtloga u trokutaste rešetke, što je prvi pokazao A. A. Abrikosov.

Kvantizacija magnetskog toka u vrtlogu je jednostavna posljedica jednoznacnostiparametra uredenja koji opisuje zatvorenu petlju struje. Zamislimo, dakle, prstensupravodljive žice kojom tece struja. U ocitoj cilindricnoj geometriji, kutna ovis-nost parametra uredenja mora biti

Ψ(φ) = Ψ0einφ,

gdje je n cijeli broj, inace on nije jednoznacan. Za razliku od tekuceg helija,pripadajuca je struja nabijena, pa se unutar prstena stvori magnetskopolje toka

Φ = 2πRAφ, (4.39)

gdje jeAφ vektorski potencijal toga polja. Kad se isti vektorski potencijal uvrstiu Landau-Ginzburgov funkcional, dobije se

F (T ) = F0(T ) + V

(

h2

2m

∣

∣

∣

∣

in

R− 2ieΦ

2πhR

∣

∣

∣

∣

2

|Ψ|2)

+1

2LI2, (4.40)

56

-4 -2 0 2 4

Φ/Φ0

0

Fn(Φ)

Slika 4.3: Familija Landauovih funkcionala za razne vrijednosti perioda fazen, ufunkciji magnetskog toka.

gdje jeF0 dio slobodne energije u odsustvu polja, aclan kvadratican u struji vaku-umska energija magnetskog polja,I2 ∼ B2 ∼ Φ2. Struktura ovog izraza je

Fn(Φ) = c1(Φ − nΦ0)2 + c2Φ

2 + ostatak, (4.41)

gdje je

Φ0 =ch

2e(4.42)

kvant magnetskog toka. Na slici 4.3 se vidi familija metastabilnih funkcionala,parametrizirana san, u funkciji magnetskog toka. Ako uspostavimo struju uprstenu iznad temperature prijelaza, pa ga ohladimo, supravodljivi funkcional ce“zapeti” u jednom od tih minimuma, ovisno o iznosu magnetskog toka, i tako“zarobiti” tok u prstenu. Buduci da ga se ne može riješiti osim diskretnim tuneli-ranjem ili termalnim pobudenjem preko barijere, što su sve malo vjerojatni do-gadaji u makroskopskim prstenima na niskim temperaturama, struja koja održavatok može trajati godinama bez vidne promjene. Barijere izmedu parabola suovisne o velicini uzorka, jer se u faktorimac1 i c2 pojavljuje volumen, tako da jeu malim (mezoskopskim) prstenima doista primijeceno proklizavanje faze (phaseslip), odnosno degradacija struje kvantnim tuneliranjem prema globalnom mini-mumun = 0.

Zanimljivo je pitanje, kako se takav topološki nemoguc dogadaj realno odvije,odnosno kako valna funkcija otkrije minimum s one strane barijere. Fizikalna bit

57

topološke zabrane je u tome da sesvi elektroni moraju korelirati da otpuste jedankvant magnetskog toka. U mezoskopskim prstenima je to moguce jer je velicinaprstena manja od koherencijske duljine supravodica. Ovakvo kolektivno pon-ašanje, organizirano putem kvantnih fluktuacija, samo je još jedna manifestacijaEinstein-Podolski-Rosen “paradoksa”, to jestcinjenice da je fizikalni prostor do-gadaja prostor stanja mnogocesticne valne funkcije, a ne geometrijski prostor nakojeg se oslanja klasicna intuicija.

4.5.3 Kriterij za pojavu vrtloga

Kad su i temperatura i magnetsko polje malo manji od (gornjeg) kriti cnog, param-etar uredenja je malen, pa se u jednadžbi gibanja (4.30) može zanemariti kubicniclan. Time ona postane formalno samo malo razlicita od jednadžbe slobodnogelektrona u vanjskom magnetskom polju. Razlika je nehomogeni clan, u kojem jekorelacijska duljina:

(

∇− 2ie

hcA(r)

)2

Ψ(r) =1

ξ(T )2Ψ(r). (4.43)

Slobodni dio se svodi na jednadžbu harmonickog oscilatora (v. zadatak 6), pa sepojave Landauovi nivoi,

h2

2m∗

(

∇− 2ie

hcA(r)

)2

Ψ(r) = E(n, kz)Ψ(r), (4.44)

gdje je

E(n, kz) = (n + 1/2)hωc +h2k2

z

2m∗, (4.45)

a

ωc =2eB

m∗c(4.46)

ciklotronska frekvencijacestice naboja2e. Dakle jednadžba (4.45) daje lijevustranu jednadžbe (4.43), a desna strana u prvom redu racuna smetnje nece promi-jeniti valnu funkciju, tako da se uvjet kvantizacije svodi na

(n + 1/2)hωc +h2k2

z

2m∗=

h2

2m∗ξ(T )2, (4.47)

gdjen mora biti cijeli broj, akz proizvoljan valni broj u smjeru polja. Pitamo seza kojece vrijednosti temperature i polja ovaj uvjet biti zadovoljen prvi put, tj. za

58

najnižu energijun = 0, kz = 0. Zahtijevamo, prema tome,

1

2hωc =

h2

2m∗ξ(T )2=⇒ r2

0 = 2ξ(T )2, (4.48)

gdje jer0 =√

hc/(eB) ciklotronski radiuscestice naboja2e. Ovaj se uvjet možeshvatiti na dva nacina. Jedan je da racunamo na kojoj je temperaturi zadovoljenza zadano polje,

T (B) = Tc −hωc

2α= Tc −

eh

αm∗cB, (4.49)

no to drugim rijecima znaci da jednadžba (4.43)nemarješenja za temperatureviše od toga, pa smo upravo izracunali kako kriticna temperatura pada u prisustvupolja,T (B) ≡ Tc(B). Alternativno, možemo pogledati za koje je polje zadovol-jen uz daniTc = Tc(0), pa se dobije gornje kriticno polje

Bc2 =Φ0

2πξ(T )2=

Φ0

2πξ(0)2

(

1 − T

Tc

)

, (4.50)

gdje jeΦ0 = ch/2e kvant magnetskog toka. Ovo je vrlo zgodan nacin da se izm-jeri Landau-Ginzburgova korelacijska duljinaξ(0), mjerenjem gornjeg kriticnogpolja u ovisnosti o temperaturi, malo ispodTc. Primijetimo da je gornje kriticnopolje ono kod kojeg površina ciklotronske orbiter2

0π = 2πξ(T )2 primi tocnojedan kvant magnetskog toka.

Supravodici prve i druge vrste se termodinamicki razlikuju po tome, što uprvom slucaju energija kriticnog polja tocno poništi kondenzacijsku energiju, a udrugom ne. Kondenzacijsku energiju (4.20) možemo izrazitipomocu korelacijskeduljine (4.26) i njenog omjera s Londonovom duljinom (4.29):

F [Ψ0] − F0 = −α2

2β(Tc − T )2 = −

(

hc

4eκξ(T )2

)2

= −1

2

(

Bc2

κ√

2

)2

. (4.51)

Ako je κ√

2 < 1, supravodic je 1. vrste sa jedinstvenim kriticnim poljem

Bc =Bc2

κ√

2. (4.52)

U suprotnom slucajuκ√

2 > 1 Bc definira “efektivno” kriticno polje, koje izražavaiznos kondenzacijske energije, noBc < Bc2 znaci da to polje nije dovoljnoda uništi supravodic, dakle je on zaB < Bc2 u miješanom stanju, tj. imamo

59

supravodic druge vrste. Iako je energija polja veca od njegove kondenzacijskeenergije, supravodic se prilagodava velikoj gustoci toka tako da pušta polje usebe putem vrtloga, koje onda zasjenjuje na skali Londonoveduljine, dok je nje-gova korelacijska skala manja od nje, te se supravodljivo stanje uspijeva održatiizmedu vrtloga. Ovo je slicno tome kako šuma preživljava krcenje površina ra-diusa mnogo veceg od razmaka izmedu drveca, pod uvjetom da se takve površinene pocnu preklapati.

4.5.4 Abrikosovljeva rešetka

Gornja razmatranja objašnjavaju pojavu vrtloga u supravodicima 2. vrste, ali negovore ništa o njihovom ponašanju jednom kad se pojave. Problem se svodi naoptimiranje Landau-Ginzburgovog funkcionala za neku globalnu konfiguracijuparametra uredenja, koja dopušta mnoštvo vrtloga. Ovako opisan, problemimatoliko stupnjeva slobode da secini nerješiv. Abrikosov je uspio naci probni ob-lik funkcionala koji daje tocno rješenje, vrlo jednostavnom pretpostavkom dacese vrtlozi urediti u periodicnu rešetku, kao kristal. Sve što onda treba optimiratije jedinicnacelija, i pokazalo se da je trokutasta rešetka optimalna. Fizikalni ra-zlog je da izmedu vrtloga postoji elektromagnetska interakcija, kao izmedu za-vojnica kojima tece struja, a skala te interakcije je veca odTc, tako da se nasupravodljivim temperaturama vrtlozi “smrznu” u kristalnu rešetku. To je takoza klasicne supravodice, dok se kod viskotemperaturnih rešetka vrtloga rastopi,te se u nekom rasponu ispodTc pojavi tekucina vrtloga, koja je opet primjermakroskopske tekucine uzrokovane koherentnim kvantnim efektima.

Rješenje u neposrednoj blizini gornjeg kriticnog polja mora imati oblik super-pozicije Landauovih rješenja, što je s jedne strane zgodno jer ga možemo lakonapisati,

Ψ =∑

ky

C(ky)eikyye−(x−x0)2/(2ξ(T )2), (4.53)

gdjex0 = hky/mωc ovisi o ky. Upotrijebili smo valnu funkciju osnovnog stanjaoscilatora, odnosno prvog Landauovog nivoa, koja je Gaussian. Ocito

ky =2nπ

ly(4.54)

daje periodicnost uy smjeru sa periodomly, odaklex0 = nlx i C(ky) = Cn. Sdruge strane, izgleda teško ugraditi periodicnost ux-smjeru. Abrikosov je primi-jetio da to može uciniti ako stavi da su koeficijenti periodicni,Cn+ν = Cn, odcega

60

je najlakši primjer da su konstantni,Cn+1 = Cn, jer je Fourierov red Gaussianaopet red Gaussiana,

∑

n

e2πin y

ly e− (x−nlx)2

2ξ(T )2 =∑

n

e2πi(n+ y

ly) x

lx e−2π2 ξ(T )2

l2x(n+ y

ly)2

, (4.55)

a iz toga se vidi da je rješenje sa konstantnim koeficijentimaperiodicno i u x-smjeru, i to sa periodom

lx =hc

2eBly=

Φ0

Bly. (4.56)

Ako su oba perioda jednaka, imamo kvadratnu rešetku sa konstantom

lx = ly =

√

Φ0

B. (4.57)

Malo kompliciranija varijanta istog racuna pokazuje da se može dobiti i trokutastarešetka, ako se staviCn+2 = Cn i C1 = iC0. Uvrštavanjem rješenja u slobodnuenergiju se na kraju vidi da je trokutasta rešetka malo stabilnija, svega za oko1%.To odgovara eksperimentu.

4.6 Mikroskopska teorija

Mikroskopsku teoriju supravodljivosti objavili su 1957. Bardeen, Cooper i Schri-effer. Ona se sastoji od tri kljucna uvida. Prvi je da dva elektrona energijeǫ >≈ ǫF

stvaraju korelirano stanje energijeǫ <≈ ǫF za ma kako slabu privlacnu interakcijumedu njima. Drugi je da se tako korelirani parovi elektrona mogu koherentno su-perponirati, te stvoriti makroskopsku valnu funkciju u kojoj svi parovi imaju istufazu, formalno analogno makroskopskoj valnoj funkciji tekuceg helija. Ovo jemoguce zato jer su kvantni brojevi para bozonski, pa je valna funkcija simetricna uparovima, iako je naravno antisimetricna u originalnim fermionima. Treci je uvid,da doista postoji interakcija elektrona u metalima koja je efektivno privlacna, a donje dolazi zbog vezanja elektrona na vibracije kristalne rešetke.

4.6.1 Stvaranje parova

Parovi koji se stvore zbog slabe privlacne interakcije elektrona na Fermijevommoru nisu vezani. Energija elektrona u njima je i dalje blizuFermijeve, dakledominantno kineticka. Kljucni razlog, zašto oni ipak destabiliziraju Fermijevu

61

tekucinu, jest da im je energija malo manja od Fermijeve, pa je elektronima po-voljnije provoditi vrijeme u parovima malo ispod Fermijeveenergije, nego kaoslobodnima na Fermijevoj energiji. Buduci da se energija destabilizacije mjeri uodnosu na Fermijevu energiju, za nju je bitno postojanje mnoštva. Kad ga ne bibilo, dva fermiona u praznom prostoru ne bi bezuvjetno stvarala vezano stanje, en-ergije manje od nula, nego samo za privlacne interakcije jace od nekog kriticnogiznosa.

Shematski se osnovni (Cooperov) rezultat može dobiti ako sepromatra samodva elektrona pod jedinim uvjetom da ih medusobna privlacna interakcija ne možeraspršiti u stanja ispod Fermijeve površine. Krajnje pojednostavljena, Schrödingerovajednadžba za takav par glasi

2ǫ(k)φ(k) − Vkm∑

k′=kF

φ(k′) = Eφ(k), (4.58)

gdje je φ(k) valna funkcija relativnog gibanja para, aǫ(k) energija s obziromna Fermijev nivo. Uzeli smo konstantnu privlacnu interakciju u nekom rasponuvalnih brojeva iznad Fermijevog nivoa. Ako nazovemoC =

∑km

k=kFφ(k), imamo

φ(k) = CV

2ǫ(k) − E, (4.59)

a suma toga je opetC, pa samosuglasnost zahtijeva

1 =

km∑

k=kF

V

2ǫ(k) − E= V

∫ hωm

0

g(ǫ)

2ǫ − Edǫ, (4.60)

gdje jeg gustoca nivoa, aωm energetska skala koja odgovara rasponu valnih bro-jeva odkF do km. Ova skala potjece od interakcija sa fononima, tako da je danaDebyevom energijom,ωm = ωD, koja je daleko manja od Fermijeve, što znaci dase gustoca nivoa u rasponu integracije jedva promijeni, te se izraz može još višepojednostavniti,

1 = V g(ǫF )

∫ hωD

0

dǫ

2ǫ − E=

g(ǫF )V

2ln

2hωD − E

−E, (4.61)

odnosno

E = − 2hωD

e1/λ − 1≈ −2hωDe−1/λ, (4.62)

62

gdje se podrazumijeva da jeλ = V g(ǫF ) malen broj, zbog slabe interakcije. Daklese stvorilo stanje negativne energije (u odnosu na Fermijevu!), no pripadna jeskala eksponencijalno manja od Debyeve. Ovo objašnjava zašto su temperatureprijelaza nacelno niske. No još je neobicnije, da je energija para neperturbativniizraz u konstanti vezeλ, konkretno jeλ = 0 bitni singularitet izraza zaE, tako dase ovaj rezultat ne može dobiti racunom smetnje.

4.6.2 Koherencija parova

Valnu funkciju para u prethodnom odjeljku nije trebalo pobliže opisivati, jer seneperturbativno korelirano stanje dobilo kao kvalitativni ucinak mnoštva na parsa privlacnom interakcijom, a ne zbog nekog detalja u valnoj funkcijisamogpara. Shvacena kao funkcija prostornih koordinata dva elektrona, onamože bitisimetricna ili antisimetricna, ovisno o tome da li je spinsko stanje singletno ilitripletno. Obje ove mogucnosti postoje za supravodljiva stanja u prirodi, no paroviu svim klasicnim i visokotemperaturnim supravodicima su spinski singleti, padruge necemo razmatrati. Dakle je prostorna valna funkcija simetricna, što znacida može bitis-val ili d-val. Prva je mogucnost ostvarena u klasicnim, a drugau visokotemperaturnim supravodicima, pacemo dalje razmatrati samos-valove.Formalni je prikaz takvog para

vka†↑(k)a†

↓(−k) |0〉 , (4.63)

gdje je |0〉 pravi vakuum (prazna vrpca), avk amplituda vjerojatnosti nalaženjapara. Zbogs-valne simetrije jevk = v(−k). Stavili smo da je impuls centramase para jednak nuli. Kasnijece se pokazati, da parovi kojima se centar masegiba “ispadaju” iz faznog prostora obuhvacenog privlacnom interakcijom. Tako seovaj prikaz svodi na to, da se sparuju elektroni u vremenski invertiranim orbitama.

Sad se postavlja pitanje, kako iz ovakve valne funkcije napraviti valnu funkcijumnoštva parova. Naivni pokušaj

∏

k

vka†↑(k)a†

↓(−k) |0〉 (4.64)

daje vrlo malo vjerojatno stanje, jer se amplitude|vk| < 1 množe mnogo puta.Osnovni je problem takvog pokušaja da on promatra parove kaozadane, daklekao da su nastale neke molekule elektrona sa doista negativnom energijom veze(manjom od nule). Da se to dogodilo, bili bi svivk = 1, daklevk < 1 u stvari

63

znaci da svaki elektron provodi u paru samodio vremena — to upravo znaci danije vezan. Dio vremena, znaci, ne provodi, pa popravljena valna funkcija

|BCS〉 ≡∏

k

(

uk + vka†↑(k)a†

↓(−k))

|0〉 , (4.65)

gdje je|uk|2 + |vk|2 = 1, cuva vjerojatnost. Primijetimo da se po naravi fermionaisto stanje može napisati simetricno izmeducestica i šupljina, ako se za referentnostanje uzme Fermijevo more|ΨF 〉:

|BCS〉 =∏

k>kF

(

uk + vka†↑(k)a†

↓(−k))

∏

k′<kF

(

uk′a↑(k′)a↓(−k′) + vk′

)

|ΨF 〉

(4.66)Dakle jevk vjerojatnost nalaženjacesticnog para iznad Fermijeve površine, auk

vjerojatnost nalaženja šupljinskog para ispod Fermijeve površine.Najcudnija je osobina valne funkcije|BCS〉 da necuva brojcestica. Po tome

je direktno analogna (cak i formom) particionoj funkciji velekanonskog ansambla.Isto kao što je tamo postojao kontrolni parametar, kemijskipotencijal, koji je osig-uravao makroskopski zadan brojcesticauz zanemarive fluktuacije, takoce ovdjebroj vremenski invertiranih parovaformalno kontrolirati specificna kombinacijaparametarauk i vk, koja se zovepotencijal sparivanja. Fizikalna pozadina takvogopisa je da parovi i u realnom sustavu neprestano nastaju i nestaju, i jedino jevažno kojom ucestalošcu tocine, a ne da li rezervoar iz kojeg dolaze (elektronskavrpca) ima zadan brojcestica, ili kemijski potencijal.

4.6.3 Privlacenje medu elektronima

Temeljno gledano, jedina sila koja djeluje na elektrone je kulonska, koja je jaka,dugog dosega, i medusobno ih odbija. Priroda je metalne veze u tome, da semože dobiti na energiji delokalizacije ako se valne funkcije elektrona u susjed-nim atomima medusobno preklapaju. Mjera tog dobitka je koliko je jedinicnacelija, odnosno njen volumen po atomu, veci od slobodnog metalnog atoma. Touvecanje znaci da je kulonska sila “malo popustila” i dozvolila da elektron prijedeu susjednuceliju, kroz podrucje u kojem mu valna funkcija nije jako izvijugana,odnosno, kineticka energija može biti malena, jer vodljivi elektron tu ne moraizbjegavati elektrone u ionskim orbitalama. Medutim, kulonska sila to popuštanjeuvjetuje preciznom kompenzacijom naboja preko vecih udaljenosti, takozvanimzasjenjenjem:cim jedan elektron napusti jedinicnuceliju, vec mora drugi uci, jerje energija povezana s nekompenziranim nabojem vrlo visoka.

64

1 2 3 4Ω

-2

2

4

<V>

Slika 4.4: Shematski prikaz interakcije (4.68) medu elektronskim parovima nanekom valnom vektoru, sa dodanim gušenjem. Vidi se podrucje privlacenja nasrednjem rasponu frekvencija.

Ovo znaci da je efektivna sila medu elektronima ne samo manja nego bi bila uslobodnom prostoru, nego i kraceg dosega. Na primjer, najjednostavnija teorijatakvog zasjenjenja kaže dace umjesto potencijskog, kulonska sila dobiti tzv.Yukawin oblik, odnosno u inverznom prostoru kulonskice potencijal biti

Uq =4πe2

q2 + q2TF

, (4.67)

gdje jeqTF tzv. Thomas-Fermijev valni vektor, mjera dosega zasjenjene kulonskesile. On je u metalima reda meduatomskog razmaka, to jest zasjenjenje je vrloefikasno.2

Drugi izvor medudjelovanja elektrona je da rešetka neprestano titra. Ovodovodi do toga da ravni (Blochovi) valovi elektrona nisu stacionarna stanja, tesu moguci prijelazi uzrokovani raspršenjem na fononima. Opet, najjednostavnijimodel ovog procesa je da je matricni element prijelaza upravo odgovor harmonickogoscilatora, tako da je na kraju interakcija dva elektrona suprotnih impulsa dana sa

〈k,−k| V |k + q,−k − q〉 = Uq +2|Wq|2

h

ωq

ω2 − ω2q

, (4.68)

2Kad se uzme u obzir Fermijeva raspodjela, ova idilicna slika se promijeni: pojave se Friede-love oscilacije, koje su gušene potencijski, a ne eksponencijalno.

65

gdje jeωq disperzija fonona. To je shematski prikazano na slici 4.4. Kao što sevidi, možemo dobiti privlacnu interakciju zaωmin < ω < ωq, akoUq nije prevelik.

Fizikalno je najzanimljiviji aspekt ovog privlacenja da ono opcenito prelazi uodbijanje za najniže frekvencije, dakle postoji “prozor” frekvencija u kojem je in-terakcija privlacna. Za privlacenje je dakle bitna retardacija interakcije, odnosnokašnjenje odziva iona na pobudu nabijenim elektronom. Rijecima, elektron iza-zove lokalno okupljanje pozitivnih iona (privuce ih, odnosno oni ga pokušavajuzasjeniti), koje ostane izvan ravnoteže i nakon što prvi elektron napusti to po-drucje, pa takva pozitivna nakupina privuce drugi elektron. To se ne može do-gadati u statickoj granici (trenutne interakcije), jer kad elektron stoji na mjestu,on izravno odbija druge elektrone:clanUq je odbojan.

Ovo znaci da se zaUq ne bi smjela koristiti granica statickog zasjenjenja, kadje interakcija privlacna samo na konacnim frekvencijama. To je samo jedan odprimjera kako udžbenicki prikazi supravodljivosti vrlo lako postanu shematski.Takoder, vidimo da je skala fononske disperzijeωq ∼ ωD, pa smo dobili privlacnusilu za ωmin < ω < ωD, no to se u shematskim primjerima dalje pojednos-tavni na konstantnu silu sve doω = 0, kakvu smo koristili u prikazu Cooper-ovog mehanizma. U obranu udžbenika, može se s jedne strane reci da ti primjeridoista ilustriraju bitne aspekte fizikalnih mehanizama. S druge, postoji fizicki ra-zlog zašto je teško napraviti “pošteni” opceniti prikaz mikroskopskog mehanizmasupravodljivosti. Supravodljivost se u prirodicesto pojavljuje u tzv. prijelaznimrežimima parametara, u kojima doista nije moguce zanemariti pojedine sekun-darne doprinose, a ako ih se ne zanemari, formalni prikaz postane previše detaljanza udžbenik. Posebno se to odnosi na odbojni doprinos izravne kulonske silemedu elektronima, zacije je konzistentno ukljucivanje potrebno proširiti modelsupravodljivosti u tzv. granicu jake veze, što u ovom kontekstu znaci da se zasjen-jenje racuna samosuglasno sa elektron-fonon interakcijom.

4.6.4 Energija osnovnog stanja

Valna funkcija|BCS〉 je varijacionog tipa, sa slobodnim parametrimauk i vk kojetreba podesiti tako da minimiraju energiju osnovnog stanja, pazeci pri tome nazadani ukupni brojcestica. Ako se zadržimo na slici interakcija iskljucivo meduparovima,

H =∑

k,σ

ǫ(k)a†σ(k)aσ(k)−V

∑

k,q,σ

a†σ(k + q)a†

−σ(−k− q)aσ(k)a−σ(−k), (4.69)

66

pa je

〈BCS|H |BCS〉 = 2∑

k

ǫ(k)|vk|2 − V∑

k,k′

v∗k′uk′vku

∗k, (4.70)

〈BCS|N |BCS〉 = 2∑

k

|vk|2, (4.71)

Ove izraze treba varirati s obzirom nau∗k i v∗

k, koristeci µ kao Lagrangeov mul-tiplikator za broj cestica (4.71) iEk kao Lagrangeov multiplikator za zahtjev|uk|2 + |vk|2 = 1. Dobije se

(ǫ(k) − µ)uk + ∆vk = Ekuk,

∆∗uk − (ǫ(k) − µ)vk = Ekvk. (4.72)

Ovdje je∆ = V

∑

k

u∗kvk (4.73)

potencijal sparivanja, kojeg se izravno može interpretirati kao srednje polje zaparove:

∆ = V∑

k

〈BCS| a↑(k)a↓(−k) |BCS〉 . (4.74)

Pomocu njega se dijagonalizacijom može izrazitikvazicesticna energija

Ek = ±√

(ǫ(k) − µ)2 + ∆2 (4.75)

što je energija elektrona ili šupljine dodanog na osnovno stanje. Kao što se vidi,ta energija sadrži procjep u spektru.

Eliminacijomclana uǫ(k) − µ iz svojstvenih jednadžbi (4.72) dobije se

u∗kvk =

∆

2Ek, (4.76)

a to mora biti suglasno sa definicijom (4.73), izcega slijedi jednadžba za supravodljiviprocjep

1 = V∑

k

1

2√

(ǫ(k) − µ)2 + ∆2. (4.77)

Ako se suma svede na integral pomocu konstantne gustoce nivoag(ǫF ), dobije se

1 = λ

∫ hωD

0

dǫ√ǫ2 + ∆2

, (4.78)

67

gdje jeλ = g(ǫF )V kao i prije, te je rješenje za maliλ

∆ = 2hωDe−1/λ, (4.79)

iz cega se vidi da se procjep ponaša kao energija koherencije para u Cooperovojshemi.

4.6.5 Pristup srednjeg polja

Varijacione valne funkcije su vrlo efikasan nacin da se kontrolira fizikalne ko-relacije u nekom problemu. To je vjerojatno razlog zašto ih uliteraturi ima takomalo, a još manje ima onih za koje je moguce naci opravdanje iz prvih prin-cipa. Takvih je upravo tri, a princip na kojem se zasnivaju jesrednje polje. Zadvocesticne interakcije su moguca tri srednja polja, imena Hartreeja, Focka, i Bo-goliubova. Promotrimo, naime, opcu dvocesticnu interakciju

∑

ijkl

Vij;kla†ia

†jalak, (4.80)

gdje oznakei, j itd. nose sve kvantne brojeve. Weissova ideja srednjeg polja je dasvecestice zajedno u prosjeku djeluju kao vanjski potencijal za bilo koju od njih,to jest da se ovaj izraz pokuša zamijeniti sa npr.

∑

jl

a†jal

⟨

∑

ik

Vij;kla†iak

⟩

, (4.81)

gdje 〈· · ·〉 oznacava prosjek po stanjima sistema. Ako on ovisi “slabo” o kvant-nim brojevimaj i l, ideja je uspjela, i ovako definirano srednje polje zove seHartreejevo. Ako ne ovisi uopce, srednje se polje ne može razlikovati od zadanogvanjskog potencijala. Ovisnost o istaknutim kvantnim brojevima je korekcija fluk-tuacija u odnosu na tu idealnu sliku. Precizno se može reci da je ta ovisnostslaba ako su fluktuacije srednjeg polja dugovalne i spore. Tada je ono stabilno nalokalne perturbacije, koje tu dugovalnu, niskofrekventnugranicu vide kao kon-stantno vanjsko polje.

Alternativno, mogli smo uzeti faktorizaciju

−∑

il

a†ial

⟨

∑

jk

Vij;kla†jak

⟩

, (4.82)

68

gdje negativni predznak dolazi od antikomutacije fermiona. Ovo se polje zoveFockovo, ili potencijal izmjene. Ono nema klasicnu analogiju kao Hartreejevo,nego upravo daje korekciju neraspoznatljivosti na klasicnu predodžbu srednjegpolja kao potencijala nakupinecestica. Ta je korekcija to važnija, što sucesticezbijenije u prostoru, tako je za vodljive elektrone u metalima obicno zanemariva,za elektrone u teškim atomima iznosi oko10%, a za lake atome i nukleone u jez-grama je Fockovo polje iznosom podjednako Hartreejevom, ili gacak nadmašuje.3

Na kraju, može se pisati

∑

ij

a†ia

†j

⟨

∑

kl

Vij;klalak

⟩

, (4.83)

i to se polje zove Bogoliubovljevo. Za razliku od prethodna dva, koja djeluju ucesticno-šupljinskom kanalu, ono djeluje ucesticno-cesticnom. Zbog toga nje-gova ocekivana vrijednost nestaje u konfiguracijama sa zadanim brojem cestica,što bi ga trebalo eliminirati iz razmatranja, no u kontekstuBCS varijacione funkcijega upravo tocini vrlo zanimljivim.

Konstrukcija varijacione funkcije na ideji srednjeg poljase oslanja na Lan-dauov pojam kvazicestica, kao onih pobudenja medu kojima interakcija nestajeu osnovnom stanju. Ovo upravo znaci da se kvazicestice u osnovnom stanjuponašaju kao da vide samo neko vanjsko polje, ono koje je zadalo njihove jed-nocesticne energije. Formalno se to svodi na zahtjev, npr. za Hartreejevo polje,

⟨

∑

ik

Vij;kla†iak

⟩

= ∆ǫjδjl, (4.84)

odakle interakcijskiclan postane

∑

j

∆ǫja†jaj , (4.85)

dakle se ne razlikuje od jednocesticnog. Tucemo konstrukciju sad detaljno provestiza Bogoliubovljevo polje.

Kao prvo, kad bi se zahtjev poput (4.84) mogao provesti linearnom (kanon-skom) transformacijom, ta bi transformacija egzaktno rješavala problem. Srednje

3U molekulama je još zanimljivije, može se reci da doprinos neraspoznatljivosti kontinuiranoprevodi kemijsku vezu iz ionske (zanemariv) u kovalentnu (znacajan). No to ne znaci da je idejasrednjeg polja uvijek dobra!

69

se polje može uvijek formalno dobiti tako da se napiše takva transformacija, pase traži da interakcija u transformiranoj slici išcezne. Ako se taj zahtjev možepribližno riješiti u fizikalno smislenom režimu parametara, onda imamo aproksi-maciju srednjeg polja u tom režimu. Konkretno, Bogoliubov je predložio linearnutransformaciju

α†σ(k) = uka

†σ(k) + vka−σ(−k) (4.86)

koja povezujecesticu sa njoj vremenski invertiranom šupljinom. Transformiranacestica je takoder fermion, te je transformacija invertibilna ako je|uk|2+|vk|2 = 1,što je uvjet ocuvanja norme. Tako

(

α†σ(k)

α−σ(−k)

)

=

(

uk vk

−v∗k u∗

k

)(

a†σ(k)

a−σ(−k)

)

(4.87)

povlaci(

a†σ(k)

a−σ(−k)

)

=

(

u∗k −vk

v∗k uk

)(

α†σ(k)

α−σ(−k)

)

, (4.88)

gdje konzistentnost zahtijevauk = u−k i vk = −v−k. Sad se u Hamiltoni-janu (4.69) faktorizira srednje polje

−V∑

k,q,σ

a†σ(k + q)a†

−σ(−k − q)aσ(k)a−σ(−k) =∑

k

∆∗kaσ(k)a−σ(−k) + c.c.

(4.89)koji se onda raspisuje pomocu kvazicesticnih operatora,

∑

kσ

(

u∗kα

†σ(k) − vkα−σ(−k)

)

(ǫ(k) − µ)(

v∗−kα

†σ(−k) + u−kα−σ(k)

)

+ . . . , (4.90)

gdje se pojavljuju samo kvadraticni clanovi uα†σ(k) i ασ(k), pa se sve zajedno

može pisati

∑

k

(

α†↑(k) α↓(−k)

)

U †

(

ǫk − µ −∆k

−∆∗k −(ǫk − µ)

)

U

(

α↑(k)

α†↓(−k)

)

(4.91)

gdje jeU matrica u jednadžbi (4.88). No zahtjev da ona dijagonalizira matricukoja se pojavila je

(

u∗k −vk

v∗k uk

)

=

− Ek+ǫk−µ√2Ek(Ek+ǫk−µ)

Ek−ǫk+µ√2Ek(Ek−ǫk+µ)

∆k√2Ek(Ek+ǫk−µ)

∆k√2Ek(Ek−ǫk+µ)

(4.92)

70

gdje jeEk =√

(ǫ(k) − µ)2 + ∆2k, odakle slijedi

u∗kvk =

∆k

2Ek, (4.93)

a to opet mora biti konzistentno sa faktorizacijom kojom je uvedeno srednje polje,konkretno

−V∑

q

⟨

a†σ(k + q)a†

−σ(−k − q)⟩

= ∆∗k, (4.94)

i jednakost posljednja dva retka opet daje jednadžbu supravodljivog procjepa,

−V∑

q

∆k+q

2Ek+q= ∆k, (4.95)

što se svodi na prethodni izraz ako se zanemari ovisnost procjepa o valnom vek-toru. Na kraju, lako se pokaže da je BCS varijaciona funkcijavakuum za Bogoli-ubovljeve kvazicestice (v. zadatak). To daje jasnu fizikalnu interpretaciju energijeEk, kao energijedodanekvazicestice, a ne spektar onih kojecine BCS vakuum.

Bogoliubovljev je rezultat znacajan iz dva razloga. Prvo, on poopcava Lan-dauovu konstrukciju Fermijevih tekucina tako da kvazicestica uspijeva obuhvatitii specificnu neperturbativnu destabilizaciju Fermijevog mora privlacnom inter-akcijom na Fermijevom nivou. Drugo, on smješta BCS varijacionu funkciju uprirodan kontekst teorije srednjeg polja, te je tako povezuje s prvim principima.Interpretacija Cooperove jednadžbe za supravodljivi procjep kao jednadžbe sred-njeg polja temeljni je korak u sustavnom opisu supravodljivosti mnogocesticnimmetodama.

4.6.6 Procjep na konacnoj temperaturi

Poopcenje jednadžbe za procjep na konacne temperature zahtijeva, prvo, da seocekivana vrijednost potencijala sparivanja

−V∑

q

⟨

a†σ(k + q)a†

−σ(−k − q)⟩

(4.96)

racuna na konacnoj temperaturi, i drugo, da se optimira slobodna energijaa neenergija osnovnog stanja. Konacni se rezultat razlikuje od onog na temperaturi

71

nula za samo jedan, ali znacajan faktor, koji odreduje fazni prostor na raspolaganjuza raspršenje parova:

−V∑

q

∆q

2Eq

(1 − 2fµ(Eq)) = ∆k, (4.97)

gdje je fµ(Eq) Fermijeva funkcija. Ovaj faktor se može formalno izvesti kaonavedena termalna ocekivana vrijednost, no može ga se i izravno fizikalno protu-maciti, tako da ocijenimo fazni prostor za raspršenje parova udrugom redu racunasmetnje, tj. koliko je na raspolaganju medustanja za raspršenje dva fermiona iz-nad Fermijevog mora. Konkretno, medustanje mora biti prazno, što daje prostor(1 − fq)

2, no ukupno raspršenje umanjuju oni procesi kod kojih se nekidrugipar raspršio natrag u pocetno stanje promatranog para, a tih imaf 2

q (vremenskainverzija), te je ukupno

(1 − fq)2 − f 2

q = 1 − 2fq (4.98)

što objašnjava navedeni faktor.Ovako “popravljena” jednadžba za procjep daje u istim pojednostavljenjima

kao prije integral

1 = λ

∫ hωD

0

(1 − 2f(E))

Edǫ, (4.99)

gdje jeE =√

∆2 + ǫ2. Kad jeT ≈ Tc, ∆ ≈ 0 pa se razvojem po malom∆dobije ocjena za temperaturu prijelaza

kTc = 1.13hωDe−1/λ. (4.100)

Isti integral se može izracunati i u graniciT = 0, što daje∆(0). Usporedbom seonda dobije slavni rezultat

∆(0) = 3.52kTc. (4.101)

4.6.7 Supravodljiva nestabilnost u raspršenju elektrona

Fazni faktor1−2f(E) u BCS jednadžbi smo tumacili kao fazni prostor za raspršenjeparova. Supravodljiva se nestabilnost može i izravno vidjeti u amplitudi takvograspršenja, i tu isti fazni faktor igra kljucnu ulogu: on je i razlog što raspršenjeizaziva nestabilnost upravo na Fermijevom nivou, i razlog zašto parovi morajuimati impuls centra mase jednak nuli.

72

Efektivno je raspršenje parova do drugog reda racuna smetnje

V(2)eff = V (k − k′) +

∫

d3q

(2π)3V (k − q)V (q − k′)

1 − 2f(ξq)

2ξk − 2ξq

(4.102)

gdje jeξk = ǫk − µ. Ako uzmemo uobicajenu shematsku interakciju−V0 unutar±ωD, bitni dio integrala je

(−V0)2g(ǫF )

∫ ωD

−ωD

−f(E)

ξ − EdE = −V 2

0 g(ǫF )

∫ 0

−ωD

1

ξ − EdE = V 2

0 g(ǫF ) lnξ

ωD

.

(4.103)Ukupno je onda do drugog reda

V(2)eff = −V0

[

1 − λ lnξ

ωD

]

, (4.104)

gdje je kao i uvijekλ = V0g(ǫF ). Prva korekcija verteksa je dala logaritamskisingularitet na Fermijevoj plohiξ = 0! To se dogodilo samo zato što je Fermi-jeva funkcija u brojniku integrala precizno odrezala podrucje integracije tocno nanuli nazivnika: to je jedini nacin da integral preko pola da logaritamski singu-laritet. Naime, kad se pol nade unutar podrucja integracije, pokrati se u glavnojvrijednosti (odnosno, preseli se uimaginarnidio raspršenja), a kad ostane izvan,naravno da ne daje ništa. Dakle ova nestabilnost mora biti baš na Fermijevoj plohi.

Nadalje, vidi se i zašto centar mase para mora mirovati. Kad bi par imao nekiukupni impuls2P , fazni faktor bi se poopcio na

1 − 2f(ξq) → 1 − f(ξP+q) − f(ξP−q), (4.105)

te sada ni jedna od dvije Fermijeve funkcije nema rub tamo gdje je nula nazivnika,i singularitet nestaje.

Kad se korekcija iterira, što odgovara višestrukom raspršenju, dobije se

Veff = −V0

[

1 − λ lnξ

ωD+

(

λ lnξ

ωD

)2

− . . .

]

=−V0

1 + λ ln(ξ/ωD), (4.106)

i sad se vidi da je efektivna interakcija dobila pol za po volji malu vrijednostλ,jer je logaritam omjeraξ/ωD negativan i proizvoljno velik, kad jeξ proizvoljnomalen, odnosnoǫk blizu Fermijevoj plohi. Polce se pojaviti na energiji

ξ0 = ωDe−1/λ, (4.107)

73

te za energije niže od ove sustav prelazi u novo stanjekvantnim faznim prijelazom,jer je cijeli racun bio naT = 0. Nestabilnost se pomakla od Fermijeve plohe, štoznaci da se pojavio procjep.

Isti racun na konacnoj temperaturi se svodi na to, da se u rezultatu zamijeni

ξ →√

ξ2 + (kT )2, (4.108)

te je sad moguce postaviti pitanje, na kojoj se temperaturi prijelaz dogodi tek nanajnižoj energiji, samoj Fermijevoj plohiξ = 0. Ocito je to isti izraz kao maloprije,

kTc = ωDe−1/λ, (4.109)

što opet odgovara BCS rješenju, do na faktore.

4.6.8 Eksperimentalne potvrde BCS teorije

Klasicna potvrda BCS teorije je izotopni efekt: temperatura prijelaza se mijenjakao korijen iz mase iona, kod izotopne supstitucije. Ovo je posljedica promi-jenjene Debyeve frekvencije u izrazu (4.100) za kriticnu temperaturu. Argumentje suptilniji nego secini, jer i konstanta veze u eksponentu takoder ovisi o masiiona. Medutim, |V |2 ∼ 1/(Mω2

D), gdje1/M dolazi iz elektron-fonon verteksa uizrazu (4.68), aω2

D je skala disperzijeω2q u istom izrazu, pa kako je

ωD ∼ M−1/2 (4.110)

to se masa u eksponentu pokrati. Nocim se pocnu racunati temperature prijelaza uformalizmu jake veze, ovo fino kracenje nestane, i mogu se dobiti vrijednosti ek-sponenta vrlo razlicite od−1/2, sve do nule, pa i pozitivne. To odgovara eksperi-mentu, jer se “cisti” eksponent1/2 i vidi samo u nekoliko klasicnih supravodica,kao što je olovo. Iz tog razloga izostanak izotopnog efekta kod visokotemper-aturnih supravodica nije dokaz da mehanizam sparivanja kod njih nije fononski.

Izravna potvrda da u sustavu ima parova je Andrejevljeva refleksija, ili zr-caljenje. Ako elektron pokušava prijeci iz normalnog metala u supravodic, neceuspjeti ako mu je energija ispod supravodljivog procjepa, te ce se zrcalno odrazitiod ruba. Ovakva potpuna unutarnja refleksija bi se desila i daje s druge stranevakuum. No postoji i druga mogucnost, da se elektron udruži s drugim elek-tronom u normalnom metalu i zajedno prijedu u supravodic kao par. Ovo znaci daje tunelirajuca struja dvostruko veca nego kad je drugi metal u normalnom stanju,umjesto da je nula! Efekt se zove refleksija jer je neto ucinak nestanka elektrona

74

isti kao da se njegovom putanjom sa sucelja vratila šupljina (vremenski inverti-rani elektron). Drugi nacin da se racuna struja je onda zbrajanje struje nestalogelektrona i vracene šupljine. Kako je šupljina pozitivno nabijena, opet jerezultatudvostrucenje struje.

75

Poglavlje 5

Zadaci

5.1 Fermijeva tekucina

1. Pokažite da u slucaju izbjegnutog presijecanja valne funkcije zamijene narav,tako da daleko od tocke najveceg približavanja nivoa izgledaju kao da nijebilo izbjegnuto. Kako se u samoj tocki najveceg približavanja na valnimfunkcijama vidi da se presijecanje ipak izbjegava?

2. Pokažite da je

θ(τ)e±iω0τ = ∓i

∫ ∞

−∞

dω

2π

e±iωτ

ω − ω0 ∓ iδ(5.1)

ako jeδ > 0. (θ(τ) = 1 zaτ > 0 i nula inace.)

3. Izracunajte eksplicitno rezultat (2.13).

4. Izracunajte eksplicitno rezultat (2.18).

5. Izracunajte eksplicitno rezultat (2.29).

6. Zašto izotropni Landauovi parametri nemaju ucinka kad pobuda ne polar-izira Fermijevo more, v. jednadžbu (2.39)?Savjet. Razmislite o razliciizmedu uvjeta (2.14) i (2.39).

76

5.2 Supratekuci 4He

1. Procijenite energiju povezanu sa kvantnim fluktuacijamaatoma4He na medu-atomskom razmaku od3 Å.

2. Riješite zadatak 2.6 iz Annetta.

3. Riješite jednadžbe prvog i drugog zvuka za opcenite vrijednosti konstantiveze. Koja grana ima vecu brzinu? Savjet. Jednadžbe su linearne, pa semogu dijagonalizirati u inverznom prostoru.

4. Možete li dati argument da bi konstanta vezeγ2 trebala biti mala na niskimtemperaturama?Savjet. Izracunajte izraz u uglatoj zagradi za slucaj ide-alnog bozonskog plina.

5. Nadite konstantu rešetke vrtloga, ako se zna da je trokutasta.

77

5.3 Supravodljivost

1. Izracunajte idealnu kriticnu struju i pripadnu gustocu struje u žici promjera1 mm ako je kriticno polje0.1 T .

2. Izracunajte Londonovu duljinu za1029 slobodnih elektrona pom3, što gruboodgovara živi (0.86 × 1029) i olovu (1.3 × 1029).

3. Iz toplinskog kapaciteta na slici 4.1 ocijenite omjer kriticne temperature kTci supravodljivog procjepa.

4. Riješite zadatak 3.3 iz Annetta.

5. Riješite zadatak 3.4 iz Annetta.

6. Riješite jednadžbu (4.30) za homogeno magnetsko polje u slobodnoj graniciα = β = 0, u Landauovom baždarenjuA = B0xy. Savjet.Rješenje tražiteu dvije dimenzije,Ψ(x, y) = f(x)eiky.

7. Što bi se desilo da u jednadžbi (4.58) nema ostalih parova,odnosno sumase svede na jedanclan?

8. Dodajte jednu Bogoliubovljevu kvazicesticu na BCS stanje. Što se do-godilo?

9. Pokažite da je BCS varijaciona funkcija vakuum za Bogoliubovljeve kvaz-icestice.

10. Riješite zadatak 6.5 iz Annetta.

78