Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
I
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
VALENTINA PREDREVAC
KVANTNE RASPODJELE
Završni rad
Osijek, 2015.
II
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
VALENTINA PREDREVAC
KVANTNE RASPODJELE
Završni rad
Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike
Osijek, 2015.
III
''Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom izv.prof.dr.sc. Ramira Ristića u
sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa
Jurja Strossmayera u Osijek''.
IV
Sadržaj
1. UVOD ................................................................................................................................................................... 0
2. TEORIJSKI DIO ................................................................................................................................................. 1
2.1. Boltzmannova raspodjela ..................................................................................................................... 1
2.1.1. Stirlingova formula ......................................................................................................................... 3
2.2. Bose-Einsteinova raspodjela .............................................................................................................. 4
2.3. Fermi-Diracova funkcija raspodjele ................................................................................................. 6
2.4. Izvod raspodjela na drugi način......................................................................................................... 6
2.5. Zaključak .................................................................................................................................................. 12
2.6. Literatura .................................................................................................................................................. 13
2.7. Životopis ................................................................................................................................................... 13
V
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad
Odjel za fiziku
KVANTNE RASPODJELE
VALENTINA PREDREVAC
Sažetak
U kvantnoj statističkoj fizici jednake čestice ne možemo razlikovati, dok u klasičnoj statističkoj
fizici razlikujemo jednake čestice. Poznate su nam razne raspodjele, a to su: Boltzmannova
raspodjela, Bose-Einsteinova raspodjela, Fermi-Diracova raspodjela. U kvantnoj statističkoj
fizici ne vrijedi Boltzmannova raspodjela, ali vrijede ostale dvije navedene raspodjele. To su
Bose-Einsteinova i Fermi-Doracova raspodjela i one su kvantne raspodjele. Nakon što smo izveli
izraze za svaku pojedinu raspodjelu, možemo napraviti tablicu:
NAZIV RASPODJELE FORMULA
Boltzmannova raspodjela kT
E
CeE
)(
Bose-Einsteinova raspodjela
1
1
iEie
Fermi-Diracova raspodjela
1
1
iEie
Promatrajući formule za funkcije raspodjele, možemo zaključiti da se Bose-Einsteinova i Fermi-
Diracova funkcija raspodjele razlikuju u predznaku koji se nalazi ispred jedinice u nazivniku
razlomka.
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi: čestice/klasična fizika/kvantna fizika/raspodjele
Mentor: izv.prof.dr.sc. Ramir Ristić
Ocjenjivači:
Rad prihvaćen:
VI
University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis
Department of Physics
QUANTUM DISTRIBUTION
VALENTINA PREDREVAC
Abstract
In quantum statistical physics we can’t differ particles that are alike, while in classic statistical
physics we do differ particles that are alike. There are many different distribution that are well
known to us, some of them are: Boltzmann distribution, Bose – Einstein distribution, Fermi -
Dirac distribution. In quantum statistical physics we cannot apply Boltzmann distribution, but we
can use the other two distributions that are mentioned earlier . Therefore, in quantum statistical
physics we use quantum distributions, and those are Bose – Einstein distribution and Fermi -
Dirac distribution. After we have derived equation for each distribution, we can make table
below:
NAME OF DISTRIBUTION EQUATION
Boltzmann distribution, kT
E
CeE
)(
Bose – Einstein distribution
1
1
iEie
Fermi - Dirac distribution
1
1
iEie
As we look at those equations in table, we can conclude that the Bose – Einstein distribution and
Fermi – Dirac distribution function differ only in algebraic sign that stands before number one in
nominator.
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords: particles/classic physics/quantum physics/distributions
Supervisor: izv.prof.dr.sc. Ramir Ristić
Reviewers:
Thesis accepted:
0
1. UVOD
Kod klasičnog pristupa problemu mnoštva čestica pretpostavljeno je da jednake čestice možemo
međusobno razlučivati. U višečestičnom sustavu svaka čestica zadržava svoju individualnost.
Nasuprot klasičnoj, kvantna statistička fizika polazi od aksioma da jednake čestice ne možemo
razlikovati, te u kvantnoj statističkoj fizici ne vrijedi Boltzmannova raspodjela. Možemo
razlikovati bozonsku i fermionsku kvantnu statistiku. Također u klasičnoj fizici početni uvjeti i
jednadžbe gibanja jednoznačno određuju kooordinate i impulse čestica, što znači da u svakom
trenutku čestice zauzimaju potpuno određene pložaje u faznom prostoru. Za kvantnu fiziku
karakteristične su Heisenbergove relacije neodređenosti. Bose-Einsteinova statistika vrijedi za
čestice cjelobrojnog spina i te čestice zovemo bozonima. Fermi-Diracova statistika opisuje
čestice polucjelobrojnog spina. Također u kvantnim raspodjelama ne razlikujemo npr. bijelu od
crne kuglice, dok kod klasičnih raspodjela postoji razlika između kuglica.
Slika 1.
1
2. TEORIJSKI DIO
2.1. Boltzmannova raspodjela
Kako se plin sastoji od velikog broja molekula koje se gibaju i međusobno sudaraju, za teorijska
razmatranja treba se pojednostaviti stvarna situacija te izgraditi model idealnog plina u kojemu
promatramo čestice bez međudjelovanja. Maxwelloova raspodjela čestica po brzinama vrijedi
samo za homogeni sustav koji nije izložen djelovanju vanjskih sila te je isto tako kinetička
energija čestice ujedno i njena ukupna energija:
2v ~ EkT
mv
ee
2
2
(*)
Ako pogledamo funkciju, možemo zaključiti da se u eksponentu funkcije raspodjele pojavljuje
omjer translacijske i termičke energije. Energija molekule, osim energije translacije može
sadržavati i druge doprinose: kinetičku energiju, potencijalnu energiju u vanjskom polju itd.
Promatramo termički uravnotežen plin koji se sastoji od N identičnih čestica i ima temperaturu
T. Zamisliti ćemo da smo kontinuirani spektar izrezali te svakom području pridijelili kvantiziran
energetski nivo. Energiju i-tog područja, odnosno nivoa označiti ćemo sa iE , pripadni broj
faznih (kvantnih) ćelija ig , a broj čestica koje su se smjestile na nivo sa iN . Energetski nivo
jednak je srednjoj energiji područja. Ako je razmak između nivoa mali, energetski spektar je
kontinuiran.
Slika 2. Energijski spektar
Raspored molekula na energijske nivoe možemo prikazati i na ovakav način:
2
Slika 3. Raspored molekula na energijske nivoe
Uzeli smo da je broj molekula šest. U prvom slučaju svih šest molekula ima najnižu energiju. U
drugom slučaju tri su molekule zaposjele najniži energetski nivo, dvije molekule drugi energetski
nivo, a jedna treći energetski nivo. U trećem slučaju drugi energetski nivo je prazan, dok u
posljednjem slučaju na svakom od šest najnižih nivoa smještena je jedna molekula.
Sumiranjem po energijskim nivoima dobivamo ukupan broj čestica:
i
iNN
U idealnom plinu zanemarujemo međučestično djelovanje te za ukupnu energiju sustava
dobivamo:
i
ii ENU
Želimo znati na koliko različitih načina možemo ostvariti određenu raspodjelu. U toj raspodjeli
je 1N čestica smješteno u 1g ćelija energijskog nivoa 1E , 2N čestica smješteno u 2g ćelija
energijskog nivoa 2E , 3N čestica smješteno u 2g ćelija energijskog nivoa 3E itd. Ukupan broj
mogućnosti ostvarenja određene raspodjele biti će:
i i
N
iNNN
N
gNggg
NNN
NB
i
!!
!...!!
!321
321
321
(1)
Veličinu B nazivamo termodinamičkom vjerojatnošću.
!...!!
!
321 NNN
NB → Broj načina da se N čestica rasporedi tako da: 1N ima energiju 1E , 2N ima
energiju 2E , 3N ima energiju 3E ... Kako bismo odredili brojeve čestica ,...,, 321 NNN prvo
ćemo izvesti izraz za Stirlingovu formulu.
Raspodjelu po energijama odrediti ćemo iz uvjeta maksimuma entropije: S ~ lnB.
3
2.1.1. Stirlingova formula
Slika 4. Uz izvod Stirlingove formule
N elemenata možemo permutirati na !N = NN )1(...321 , gdje je N>>1. Polazimo od
izraza:
N
x
xNNN1
lnln1ln...3ln2ln1ln!ln , gdje je
N
x
NN
x
xdxxxx1 11
lnlnln .
Relativna pogreška koju činimo kod ove aproksimacije je manja što je N veći. Parcijalnim
integriranjem xxxxxdxxxdx lnlnlnln slijedi:
e
NNNNNNNNxdxN
N
lnln)1(lnln!ln1
, odnosno:
N
e
NN
! . Ako želimo
još točniji rezultat dobivamo: )(2! NStNe
NN
N
→ STIRLINGOVA FORMULA.
Zapitajmo se koji je raspored čestica na energijskim nivoima najvjerojatniji. Taj najvjerojatniji
raspored zastupljen je najvećim brojem mogućnosti, tj. njemu je pridijeljena maksimalna
termodinamička vjerojatnost B. Činjenica da logaritam raste porastom funkcije, pomaže nam da
izračunamo tu vjerojatnost. Tražimo logaritam termodinamičke vjerojatnosti:
i
iii gNNNB ln!ln!lnln
Primjenom Stirlingove formule i uvažavanjem uvjeta očuvanja broja čestica dobiva se:
i i
i
ig
NNNNB lnlnln
Potražiti ćemo maksimum funkcije uz uvažavanje uvjeta očuvanja broja čestica i njihove ukupne
energije UNB ln . Pretpostaviti ćemo da je varijacija promatrane funkcije jednaka nuli:
0ln UNB . Varirati ćemo broj čestica u energijskim nivoima te izračunavamo:
4
01ln
i
i
i
i
i NEg
N (2)
Veličine ...,, 321 NNN variramo nezavisno jednu od druge, pa će izraz (2) biti jednak nuli samo
ako je svaka zagrada u sumi jednaka nuli:
01ln i
i
i Eg
N
iE
ii egN
1
U termičkoj ravnoteži ta je raspodjela čestica najvjerojatnija i nju je izveo Ludwig Boltzmann
1871. godine. Da čestice ne bi spontano prelazile u viša energijska stanja Lagrangeov
multiplikator ne smije biti negativan ( 0 ). U Maxwellovoj raspodjeli energija translacije
jednaka je: 2
2mvEi (3) . Funkcija raspodjele za danu energiju je proporcionalna s brojem
čestica u promatranom energijskom nivou: )( 2v ~ iN (4) . Uvrštavajući izraze (3), (4) i (*)
dobivamo: iN ~ kT
Ei
e
. Parametar određen je: kT
1 . Također ovisnost broja čestica N(E) o
pripadnoj energiji izražena je formulom: )(EN ~ kT
E
e
. Na kraju ovog odjeljka dolazimo do
izraza za Boltzmannovu funkciju raspodjele čestica prema energijama:
kT
E
CeE
)(
2.2. Bose-Einsteinova raspodjela
Izvest ćemo kvantnu raspodjelu za idealan plin sastavljen od N jednakih čestica. Izračunati ćemo
termodinamičku vjerojatnost na i-tom energijskom nivou. Razmislimo na koliko načina možemo
razmjestiti iN bozona u ig kvantnih ćelija. Razmjestit ćemo dvanaest čestica u pet ćelija.
Slika 5.
ig ćelija označeno je sa 1ig crtica, a iN kružića označava bozone u tim ćelijama. Ukupan
broj razmještaja bozona po ćelijama jednak je broju permutacija promatranih 1 ii gN
elemenata. Eliminirati ćemo !iN permutacija u kojima smo samo međusobno zamjenjivali iN
5
kružića te 1ig ! unutrašnjih permutacija 1ig crtica. Broj mogućih razmještaja jednakih
bozona u kvantne ćelije jest:
!1!
!1
ii
ii
igN
gNB
Pošto je 1ig te 1iN dobivamo:
!!
!
ii
ii
igN
gNB
Logaritmiranjem i primjenom Stirlingove formule e
xxx ln!ln ; ii Ngx , dobivamo:
i
iiiiiiii ggNNgNgNB lnlnlnln
Maksimalna termodinamička vjerojatnost: 0ln UNB . Kako je i
iNN te
i
ii ENU slijedi:
i
iiiii NENgN 0lnln
Varijacije broja bozona na pojedinim nivoima su međusobno nezavisne. Zbog toga izraz u
svakoj zagradi mora biti jednak nuli:
0ln
i
i
ii EN
gN
Bose-Einsteinova raspodjela je prosječan broj bozona po kvantnoj ćeliji na i-tom energijskom
nivou pa dobivamo:
iE
i
ii eN
gN
1
iE
i
i eN
g →
1
1
iE
i
i
ieg
N
Da bi funkcija raspodjele bila pozitivna treba vrijediti: 0min E . minE je najniže
individualno energijsko stanje bozona. U sustavima u kojima je energija bozona jednaka
translacijskoj kinetičkoj energiji: m
pE
2
2
, minimalna energija je jednaka nuli pa slijedi: 0 .
Ako u sustavu broj bozona nije konstantan, uzimamo da je 0 . Tako Bose-Einsteinova
funkcija raspodjele postaje: 1
1
iEie
. Uvrstimo li izraze TkB
1 i iE , dobivamo
Planckovu funkciju raspodjele:
1
1
TkBe
.
6
2.3. Fermi-Diracova funkcija raspodjele
Paulijevo načelo govori da svako individualno kvantno stanje ili je prazno ili se u njemu nalazi
jedan fermion, pa mora biti: ii Ng . Iz toga slijedi da na ni jednom energijskom nivou broj
kvantnih ćelija ne može biti manji od broja fermiona. Ćelije razvrstavamo u dvije grupe: iN
ćelija je puno, a ii Ng ćelija je prazno. Broj mogućih raspodjela na i-tom energijskom nivou
jest:
!!
!
iii
i
iNgN
gB
Termodinamička vjerojatnost jednaka je umnošku broja mogućih raspodjela svih energijskih
nivoa:
i iii
i
NgN
gB
!!
!
Kada primjenimo Stirlingovu formulu, za logaritam termodinamičke vjerojatnosti dobivamo:
i
iiiiiiii NgNgNNggB lnlnlnln
Postaviti ćemo uvjet: 0ln UNB te izvodimo
i
ii
i
ii NEN
Ng0ln .
Uzimajući u obzir pomoćne uvjete, varijacije broja fermiona na različitim energijskim nivoima
su postale međusobno nezavisne te mora biti: i
i
ii EN
Ng
ln 0 . Iz toga slijedi izraz za
Fermi-Diracovu raspodjelu: 1
1
iE
i
ii
eg
N
.
Možemo uočiti sličan izraz za fermionsku i bozonsku funkciju raspodjele. Fermionska i
bozonska funkcija raspodjele razlikuju se u tome što je u Fermi-Diracovoj raspodjeli jedinica u
nazivniku s pozitivnim predznakom, a u Bose-Einsteinovoj raspodjeli s negativnim predznakom.
2.4. Izvod raspodjela na drugi način
Izveli smo kvantne raspodjele koristeći dosta matematike. Njih možemo izvesti i na
jednostavniji, ali isto tako i manje precizan način koji ćemo opisati u tekstu koji slijedi.
Razmatrati ćemo sustav u kojem su stanja čestica jednako raspoređena po energijama. Uzeti
ćemo nultu točku energije koja se podudara s najnižim dozvoljenim stanjem. Tada čestica može
imati energiju od 0 jedinica, 1 jedinice... Imamo N broj čestica i pitamo se kako će čestice biti
raspodijeljene u raznim energijskim stanjima u uvjetima termičke ravnoteže. Vremenski prosjek
će biti parametar koji možemo mijenjati. Zadatak nam je naći kako vremenski prosjek ovisi o
7
energiji određenog stanja. Vremenski prosjek za broj čestica koje zauzimaju jedno stanje
energije iE označava se sa iP i definira kao:
T
tN
T
t
T
t
tttt
tNttP N
N
N
i
...2
...
...21 21
210
21
Oznakom 0t označili smo vrijeme tijekom kojega nema čestica u i-tom stanju, 1t vrijeme
tijekom kojega jedna čestica zauzima i-to stanje, itd. Cjelokupno vrijeme označili smo s T. Ako
za period od deset sekundi neki nivo u vremenu od tri sekunde nema čestica, u vremenu od dvije
sekunde ima jednu česticu, a u vremenu pet sekundi dvije čestice, tada će prosječan broj čestica
u tom stanju biti: 2,110
52
10
2P . Pošto čestice jednog sustava mogu na složen način
djelovati jedna na drugu, moguća je svaka raspodjela čestica po energijskim stanjima pri kojoj se
održava energija. Pretpostavka statističke mehanike je da je svaka „različita raspodjela“ kod koje
se održava energija jednako vjerojatna. Postoje tri načina kojima bismo mogli definirati izraz
„različita raspodjela“.
Kod prvog načina uzimamo da se čestice mogu razlikovati i svaka permutacija čestica po
stanjima se računa kao različita raspodjela. Prosječna raspodjela izvedena na osnovi ove metode
računanja nazvana je po Maxwellu i Boltzmannu i primjenjuje se na plin male gustoće. U drugoj
metodi uzimamo da se čestice ne mogu razlikovati i računa se samo broj različitih kombinacija
čestica u stanjima. Takva vrsta statistike naziva se Bose-Einsteinova statistika i primjenjuje se na
fotonski plin. Treći način računanja javlja se kada se čestice pokoravaju Paulijevom načelu
isključenja. Ovu treću vrstu statistike nazivamo Fermi-Diracovom statistikom. Broj čestica i
njihova cjelokupna energija moraju biti sačuvani. Pretpostaviti ćemo da imamo sustav koji sadrži
tri čestice koje dijele ukupno osam jedinica energije. Za Maxwell-Boltzmannovu statistiku
čestice označavamo slovima a, b, c. Svaka različita raspodjela označena je na horizontalnoj liniji.
8
Slika 6. Četrdeset i pet mogućih rasporeda tri čestice koje se mogu razlikovati i koje dijele osam
jedinica energije (Maxwell-Boltzmannova statistika)
Prvi horizontalni red predstavlja situaciju u kojoj su čestice a i b u stanjima s energijom nula, a
čestica c u stanju sa osam jedinica energije. Kako je svaka od četrdeset i pet različitih raspodjela
jednako vjerojatna i javlja se u 1/45 dijelu vremena, vremenski prosjek broja čestica u stanju
nula iznosi:
6,045
03
45
32
45
2132 321
0 T
t
T
t
T
tP
Na sličan način se izračunavaju vremenski procesi za stanja od jedan do osam.
9
Slika 7. Prosječna raspodjela čestica po stanjima za tri čestice koje dijele osam jedinica energije i
pokoravaju se Maxwell-Boltzmannovoj statistici
Za Bose-Einsteinovu statistiku svaku česticu predstavljamo jednom točkom. Različite moguće
raspodjele dane su u tablici:
Slika 8. Deset mogućih rasporeda tri čestice koje se ne mogu razlikovati, a koje dijele osam
jedinica energije (Bose-Einsteinova statistika)
Imamo deset raspodjela koje odgovaraju desetorim grupama raspodjela razdvojenih
horizontalnim linijama.
10
Slika 9. Prosječna raspodjela čestica po stanjima za tri čestice koje se ne mogu razlikovati i koje
dijele osam jedinica energije
Slika 10. Pet mogućih rasporeda tri čestice koje se ne mogu razlikovati, koje dijele osam jedinica
energije i pokoravaju se Paulijevom principu isključenja (Fermi-Diracova statistika). Svaka
horizontalna linija predstavlja različitu raspodjelu koja se javlja u 1/5 vremena
11
Slika 11. Prosječna raspodjela čestica po stanjima za tri čestice koje dijele osam jedinica energije
i pokoravaju se Fermi-Diracovoj statistici
Slike 10. i 11. pokazuju pojedinačne raspodjele i prosječnu raspodjelu za čestice koje se ne mogu
razlikovati i za koje vrijedi Paulijev princip isključenja. Broj različitih raspodjela u Fermi-
Diracovoj statistici je još manji nego u Bose-Einsteinovom slučaju, radi nemogućnosti da dvije
čestice zauzimaju jedno stanje u isto vrijeme. Za Fermi-Diracovu statistiku događa se da je
vremenski prosjek broja elektrona u jednom stanju identičan s vjerojatnošću da jedna čestica
zauzima stanje u određenom vremenskom trenutku. Iz slika 8. i 10. Možemo zaključiti da nije
bilo dovoljno različitih raspodjela da bi se dobila glatka funkcija P od E. Broj čestica i energija
koju oni dijele može se izvesti direktno iz grafova prosječne raspodjele. U prosjeku, broj čestica
u stanju i iznosi iP . Cjelokupni broj čestica u sustavu je dan: i
iPN . Sumiranje se vrši po
svim stanjima, uključujući nulu. Energija, koja u prosjeku odgovara česticama u stanju i je ii PE .
Cjelokupna energija svih čestica je: i
ii PEU . Prosječna energija po čestici E definirana je
kao: N
UE . Parametar za opis raspodjele čestica po stanjima je broj čestica po jedinici energije
dN/dE. dN/dE, izraženo u funkciji od energije naziva se funkcija energetske raspodjele.
Cjelokupni broj čestica je jednak površini ispod krivulje dN/dE u funkciji od E pošto je:
sveN sveE
dEdE
dNdNN površina ispod krivulje dN/dE u funkciji od E
12
Pošto je cjelokupna energija svih čestica u intervalu dE dana s EdN, gdje je E prosječna energija
u intervalu, cjelokupna energija svih čestica je: sveN sveE
T dEdE
dNEEdNE . Prosječna
energija po čestici za kontinuiranu raspodjelu je:
sveE
sveE
sveN
sveN
dEdE
dN
dEdE
dNE
dN
EdN
E . Broj čestica dN
u intervalu energija dE može se izraziti kao broj kvantnih stanja dS s energijama u intervalu dE,
pomnožen sa prosječnim brojem P čestica u svakom kvantnom stanju. Zbog toga je dN=PdS.
Tako imamo: sveE
dEdE
dSPN
sveE
dEdE
dSEPU . Faktor dS/dE je gustoća stanja koja
se izračunava metodama kvantne mehanike.
2.5. Zaključak
Nakon izvedenih izraza za različite raspodjele zaključujemo da ne vrijede sve raspodjele za
kvantnu fiziku. Boltzmannova raspodjela je raspodjela koju ne možemo koristiti u kvantnoj
statističkoj fizici, zbog toga što ona vrijedi samo za klasične čestice. Kvantne čestice su bozoni
(čestice sa cjelobrojnim spinom) i fermioni (čestice sa polucjelobrojnim spinom). Za bozone
vrijedi Bose-Einsteinova raspodjela čestica po energijama i za nju ne vrijedi Paulijev princip
isključenja. Dok za bozone vrijedi Bose-Einsteinova raspodjela za fermione vrijedi Fermi-
Diracova raspodjela čestica po energijama i zasnovana je na Paulijevom principu isključenja.
Paulijev princip isključenja govori da se fermioni ne mogu istovremeno nalaziti u istom
kvantnom stanju.
Slika 12. Bozoni i fermioni
13
2.6. Literatura
1. Ivan Supek: Teorijska fizika i struktura materije,ŠK, Zagreb 1992.
2. Curtis. L. Hemenway: Fizička elektronika, Građevinska knjiga, Beograd 1974.
3. Vladimir Šips: Uvod u statističku fiziku, ŠK, Zagreb 1990.
4. Internetska stranica: http://www.znanje.org/i/i2011/11iv05/11IV05010725/fermioni.htm
2.7. Životopis