Integralai:

1. Apibrkite pirmykts funkcijos ir neapibrtinio integralo svokas, uraykite neapibrtinio integralo pagrindines savybes.

2. Sudarykite funkcijos integralin (Rymano) sum atkarpoje . Apibrtinio integralo apibrimas. Paaikinkite apibrtinio integralo geometrin prasm. )

Apibrtinio integralo samprata

Duota funkcija , Tolydi ir apibrta intervale [a, b]. 1. Atkarp [a, b] padalijame n dali (nebtinai lygi)

.2.

Kiekvienoje dalyje parenkame po tak :

3. Suskaiiuojame funkcijos reikmes pasirinktuose takuose .4. Sukonstruojame sandaugas (intervalo ilg padauginame i funkcijos reikmi pasirinktuose takuose)

, .

5. Gautas sandaugas susumuokime

.6.

Gautoji suma priklausys nuo intervalo padalinimo. Tam, kad nepriklausyt, pareikalaukime , arba jeigu ir jeigu , tai gauta suma nebepriklausys nuo padalinim kiekio ir gausime . i suma vadinama integraline suma.

Apibrtinio integralo geometrin prasm

Kreivins trapecijos plotas:

3. Apibrtinio integralo savybs. (Prasm mokti pakomentuoti).

Sakykime, kad ir - integruojamos atkarpoje funkcijos. Tuomet teisingi ie teiginiai:

1) Tiesikumo savyb: , - bet kokie realieji skaiiai.

2) .

3) Kai , tai .

4) Adityvumo savyb. Kad ir kokie bt skaiiai teisinga lygyb

,jei tik visi trys integralai egzistuoja.

5) Pastovaus enklo savyb.

1) Jei atkarpoje , tai .

2) Jei atkarpoje , tai .

6) Palyginimo savyb. Jei atkarpoje , tai .7) Apibrtinio integralo vertis.

Tarkime, kad ir . Tada .

8) Vidutins reikms teorema.

Jei funkcija tolydi atkarpoje , tai egzistuoja tos atkarpos takas c, kuriame

.

vadinama vidutine funkcijos reikme atkarpoje .

4. Suformuluokite ir rodykite teorem apie integral su kintamu virutiniu riu.

Teorema. Jei funkcija tolydi atkarpoje , kiekvienam atkarpos take x.

rodymas: Kintamajam x suteikiame pokyt ir apskaiiuojame pokyt :

.

Integralui taikome vidutins reikms teorem:

;

ia c yra tarp x ir . Tuomet

.Pasinaudoj ivestins apibrimu:

.

Kadangi , kai , tai dl tolydumo

.Taigi

.

I ia seka, kad yra funkcijos pirmykt atkarpoje .

Taigi, kiekviena tolydi atkarpoje funkcija turi pirmykt funkcij .

5. Iveskite Niutono-Leibnico formul.

Teorema. Jei funkcija tolydi atkarpoje ir kuri nors jos pirmykt funkcija ioje atkarpoje, tai

.

rodymas. Remiantis ankstesne teorema galima teigti, kad tolydi atkarpoje funkcija turi pirmykt, lygi . Kadangi pagal slyg irgi yra funkcijos pirmykt, tai jos turi skirtis tik konstanta, todl .

Jeigu , gautume , .

Taigi, .

Jeigu , gautume

i formul vadinama Niutono Leibnico formule. Skirtum prasta ymti . Tada

.

6. Netiesioginio integralo su begaliniais integravimo riais svoka. Paaikinkite jo geometrin prasm.

7. Netiesioginio integralo su begaliniais integravimo riais konvergavimo ir divergavimo poymiai (be rodym). Itirkite integralo konvergavim. Mokkite j taikyti, nustatant kit integral konvergavim ,

Dvilypiai integralai:

8. Sudarykite funkcijos dvimat integralin sum udaroje srityje D. Dvilypio integralo apibrimas. Geometrin prasm. Savybs. )

Rymano integralins sumos baigtin riba, kai , vadinama funkcijos dvilypiu integraluapibrtoje srityje D.

Integralin suma:

Savybs:

9. Dvilypio integralo skaiiavimas staiakampje ir polini koordinai sistemose (be rodym).

Kreiviniai integralai:

10. Sudarykite pirmojo tipo kreivinio integralo integralin sum. Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrimas.

11. Uraykite formules pirmojo tipo kreiviniam integralui apskaiiuoti, kai kreivs lygtis:

Kai , tai

Kai , tai

Kai , tai

12. Uraykite materialiosios kreivs lanko mass ir lanko ilgio apskaiiavimo formules bei mokkite jas taikyti.

13. Sudarykite antrojo tipo kreivinio integralo integralin sum. Antrojo tipo kreivinio integralo apibrimas.

14. Uraykite antrojo tipo kreivinio integralo apskaiiavimo formul, kai kreiv apibrta lygtimi:

Jei , tai

P(x,y) dx +Q(x,y) dy = jei f-jai y=f(x) egzistuoja atvirktin f-ja x=(y) , ir y=f(x) monotinin atkaroje AB.

Jei

P(x,y) dx +Q(x,y) dy =

15. Iveskite formul kintamos jgos darbui apskaiiuoti (mechanin prasm).

16. Dvilypio ir kreivinio integral ryys. Gryno formul (be rodymo, mokti pakomentuoti, kada taikoma ir taikyti).

Gryno formul nustato ry tarpdvilypio integralo irkreivinio integralo antrojo tipo.

Panaudojant Gryno formul, galima apskaiiuoti ploki figr plotus.

17. Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio slygos: (rodykite teorem apie integral udaruoju kontru; suformuluokite ir mokkite taikyti teorem apie dalini ivestini lygyb).

Diferencialins lygtys:

18. Uraykite antrosios eils tiesin homogenin diferencialin lygt. Tiesikai nepriklausomi sprendiniai (apibrimas). Vronskio determinanto apibrimas, jo taikymas sprendini tiesiniam priklausomumui nustatyti. Fundamentalioji sprendini sistema.

Antrosios eils tiesin homogenin diferencialin lygtis:

ia - tolydios funkcijos bendrasis sprendinys;ia - laisvosios konstantos, tiesikai nepriklausomi atskirieji sprendiniaiKai inomas, tai randamas : Vronskio determinanto radimas:

Kai tai tiesikai priklausomos funkcijos,

Kai tai tiesikai nepriklausomos funkcijos.

Kaiiryra atskirieji lygties sprendiniai, tada jie sudaro FUNDAMENTALIUJ SPRENDINI SISTEM, jei )0 intervale .Det kurie du tiesikai nepriklausomi tiesins homogenins dif. lygties sprendiniai sudaro FUNDAMENTALIJ SPRENDINI SISTEM.

19. rodykite teorem apie antrosios eils tiesins homogenins dif. lygties bendrojo sprendinio struktr.

Teorema:Jei sudaro lygties fundamentalij sprendini sistem, tailygtiesbendrasis sprendinys yra lygus: - konstantos.

20. Antrosios eils tiesins nehomogenins dif. lygtys. Suformuluokite ir rodykite teorem apie antrosios eils tiesins nehomogenins dif. lygties bendrojo sprendinio struktr.

Tiesin nehomogenin diferencialin lygtis Teorema.Jeiyra bendrasis homogenins lygties sprendinys,-kuris nors atskirasis nehomogenins lygties sprendinys, tainehomogeninslygties sprendinys yra

rodymas. Pirmiausia rodysime, kad reikinysyra nehomogenins lygties sprendinys. Kadangi- homogenins lygties sprendinys, o - nehomogenins lygties sprendinys, tai jie turi tenkinti atitinkamas lygtis, todl

Sudj ias lygybes ir pritaik ivestini savybes, gauname

Kadangi

i lygyb rodo, kadyra nehomogenins lygties sprendinys.

Norint isprsti tiesin nehomogenin diferencialin lygt, reikia rasti j atitinkanios homogenins lygties bendrj sprendin ir bet kur atskirj nehomogenins lygties sprendin.

21. Antrosios eils tiesini homogenini dif. lygi su pastoviaisiais koeficientais sprendimas (kai charakteringosios lygties aknys skirtingos arba sutampa - su rodymais, kai aknys kompleksins be rodymo, bet mokkite naudotis formule).

Antrosios eils tiesin homogenin diferiancialin lygtis: Tokia lygtis isprendiama parinkusToliau gauname,

Kadangi nra tokiok, kadbt lygi nuliui, tai

Isprendiant i lygt ir bus gautas diferencialins lygties sprendinys (arba du sprendiniai). Yra trys atvejai,: kai ( Bendrasis sprendinys: kai, ( Bendrasis sprendinys: kai sprendiniai yra kompleksiniai skaiiai. ( Bendrasis sprendinys: bendrasis sprendinys

0

x

y

a

b

0

x

y

a

b