Upload
ngotuyen
View
218
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
Eulerove jednadžbe
• gibanje zvrka možemo opisati iz sustava ukojem zvrk miruje tj. s obzirom na promatracafiksiranog na zvrku
• trebamo povezati vremenske promjene vektora~A u vanjskom sustavu (O′) i sustavu zvrka (O)
• ako je vremenska promjena vektora ~A u sustavuzvrka jednaka
• veza vremenske promjene vektora ~A u vanjskomsustavu i sustavu zvrka glasi
d~Adt
=d ′~Adt
+ ~Ω × ~A (1)
Derivacije...
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• koordinatni sustav vezan uz zvrk biramo tako davrijedi
• ishodište sustava je u centru mase zvrka• osi sustava se poklapaju s glavnim osima zvrka
• jednadžbe gibanja zvrka
d~Pdt
=d ′~Pdt
+ ~Ω × ~P = ~F (2)
d ~Mdt
=d ′ ~Mdt
+ ~Ω × ~M = ~N (3)
• koristimo oznake: x , y , z → 1, 2, 3• impuls zvrka: ~P = µ~V• zakretni impuls zvrka: ~M = I~Ω
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• promotrimo prvo jednadžbu (2)• prvi clan na lijevoj strani
d ′~Pdt
=d ′P1
dt~i +
d ′P2
dt~j +
d ′P3
dt~k
= µd ′V1
dt~i + µ
d ′V2
dt~j + µ
d ′V3
dt~k (4)
• drugi clan na lijevoj strani(
~Ω × ~P)
k=
∑
ij
ǫijkΩiPj (5)
(
~Ω × ~P)
1= Ω2P3 − Ω3P2 (6)
(
~Ω × ~P)
2= Ω3P1 − Ω1P3 (7)
(
~Ω × ~P)
3= Ω1P2 − Ω2P1 (8)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• jednadžbu (2) možemo napisati u sljedecemobliku
d ′V1
dt+ Ω2V3 − Ω3V2 =
F1
µ(9)
d ′V2
dt+ Ω3V1 − Ω1V3 =
F2
µ(10)
d ′V3
dt+ Ω1V2 − Ω2V1 =
F3
µ(11)
• još je preostala jedn. (3)• osi sustava se poklapaju s glavnim osima zvrka
pa vrijedi
~M = M1~i+M2
~j+M3~k = I1Ω1
~i+I2Ω2~j+I3Ω3
~k (12)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• racunamo vektorski produkt(
~Ω × ~M)
k=
∑
ij
ΩiMjǫijk =∑
ij
Ωi IjΩjǫijk (13)
(
~Ω × ~M)
1= Ω2Ω3 (I3 − I2) (14)
(
~Ω × ~M)
2= Ω1Ω3 (I1 − I3) (15)
(
~Ω × ~M)
3= Ω1Ω2 (I2 − I1) (16)
• jedn. (3) svela se na
I1d ′Ω1
dt+ Ω2Ω3 (I3 − I2) = N1 (17)
I2d ′Ω2
dt+ Ω1Ω3 (I1 − I3) = N2 (18)
I3d ′Ω3
dt+ Ω1Ω2 (I2 − I1) = N3 (19)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• izraze (9-11) i (17-19) zovemo Eulerovejednadžbe
• jedn. (9-11) opisuju gibanje tocke vanjskogsustava u odnosu na zvrk
• jedn. (17-19) opisuju vrtnju okoline u odnosu nazvrk
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
Slobodan simetrican zvrk• dvije od tri glavne vrijednosti tenzora tromosti su
jednakeI1 = I2 6= I3 (20)
• zvrk je slobodan pa ukupan moment sileišcezava
• gledano iz vanjskog sustava moment kolicinegibanja je konstanta
~M = 0 =⇒ ~M = konst. (21)
• vanjski sustav možemo orjentirati tako da vrijedi
~M = M~k ′ (22)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
φ
θ
ψ
x ′
y ′
z ′
~n
x
yz
~M
• osi y i z se nalaze uistoj ravnini kao vektorzakretnog impulsa ~M
=⇒ M1 ≡ Mx = 0
• promotrimo zvrk utrenutku kada se os xpoklapa s cvornimpravcem ~n
• tada vrijedi ψ = 0
φ
θ
x ′
y ′
z ′
x = ~n
yz
~M
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• osi xyz se poklapaju s glavnim osima zvrka pavrijedi
~M = I1Ω1~i + I2Ω2
~j + I3Ω3~k (23)
• komponente kutne brzine u sustavu zvrka
Ω1 = θ cosψ + φ sin θ sinψ (24)
Ω2 = −θ sinψ + φ sin θ cosψ (25)
Ω3 = ψ + φ cos θ (26)
• projekcija zakretnog impulsa na os x išcezavapa vrijedi
M1 = I1Ω1 = I1θ = 0 =⇒ θ = 0 (27)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
y
z
~Mθ
M2
M3
• promatramo ravninu yz• projekcije zakretnog
impulsa na glavne osi zvrka
M2 = M sin θ (28)
M3 = M cos θ (29)
• uvrstimo ψ = 0 u komponente kutne brzine (25) i(26)
M2 = I2Ω2 = I2φ sin θ = M sin θ =⇒ φ =MI2
(30)
M3 = I3Ω3 = I3(
ψ + φ cos θ)
= M cos θ (31)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• zvrk je po pretpostavci simetrican pa vrijedi
I1 = I2 ≡ I (32)
• izbor glavnih osi x i y je zbog degeneracijeI1 = I2 proizvoljan
• u svakom trenutku sustav možemo izabrati takoda se cvorni pravac poklapa s glavnom osi x
• stoga iz jedn. (27) slijedi
θ = konst. (33)
• kut izmedu glavne osi zvrka s momentomtromosti I3 i vektora momenta kolicine gibanja ~Mje konstantan
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• jedn. (30) daje brzinu precesije zvrka• glavna os zvrka s momentom tromosti I3 vrti se
oko vektora momenta kolicine gibanja ~Mkonstantnom kutnom brzinom
φ =MI
(34)
• jedn. (31) daje kutnu brzinu kojom se zvrk vrtioko svoje glavne osi s momentom tromosti I3
Ω3 =M3
I3=
M cos θI3
(35)
• kut θ je konstantan pa je i kutna brzina Ω3
konstantna• brzina promjene kuta ψ
ψ = Ω3I − I3
I= M cos θ
I − I3II3
(36)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
Iz prethodnih razmatranja možemo izvesti sljedecezakljucke
• uz odabir~i = ~n vektor kutne brzine nalazi se uravnini definiranoj osima z i z ′
~Ω = Ω2~j + Ω3
~k =M sin θ
I~j +
M cos θI3
~k (37)
• ravnina zz ′, a to znaci i vektori ~k i ~Ω, vrte sekonstantnom kutnom brzinom φ = M/I okovektora momenta kolicine gibanja ~M
• zvrk se pritom vrti kutnom brzinom Ω3 oko osi ~k
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• do istih zakljucaka možemo doci koristeciLagrangeov formalizam
• zvrk je slobodan pa je Lagrangian jednakkinetickoj energiji
T =12
[
I(
Ω21 + Ω2
2
)
+ I3Ω23
]
(38)
• uvrstimo jedn. (24-26)
L = T =12
[
I(
θ2 + φ2 sin2 θ)
+ I3(
ψ + φ cos θ)2
]
(39)• primjetimo da Lagrangian ne ovisi o kutu ψ zbog
degeneracije I1 = I2 ≡ I
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• Lagrangian (39) ima dvije ciklicke varijable: φ i ψ• pripadni generalizirani impulsi su konstante
gibanja
pφ =∂L
∂φ= I sin2 θφ+ I3(ψ + φ cos θ) cos θ (40)
pψ =∂L
∂ψ= I3(ψ + φ cos θ) (41)
• promotrimo impuls pφ
pφ = I sin θφ sin θ + I3(ψ + φ cos θ) cos θ (42)
• uz odabir~i = ~n tj. ψ = 0 slijedi
pφ = IΩ2 sin θ + I3Ω3 cos θ = Mz′ (43)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• vanjski sustav orjentiramo tako da vrijedi~M = M~k ′
=⇒ pφ = |~M| ≡ M (44)
• impuls pψ je ocito jednak projekciji vektoramomenta kolicine gibanja na glavnu os zvrka smomentom tromosti I3
=⇒ pψ = M3 = M cos θ (45)
• M3 i M su konstante gibanja pa vrijedi
cos θ =M3
M= konst. (46)
• kut izmedu osi simetrije zvrka i vektoramomenta kolicine gibanja je konstantan
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• da bi opisali gibanje u odnosu na promatracavezanog uz zvrk koristimo Eulerove jednadžbe
• u slucaju slobodnog simetricnog zvrka one glase
IΩ1 + (I3 − I)Ω2Ω3 = 0 (47)
IΩ2 + (I − I3)Ω1Ω3 = 0 (48)
I3Ω3 = 0 (49)
• vremenske derivacije Ω1, Ω2 i Ω3 odnose se napromatraca vezanog uz zvrk
• iz jedn. (49) slijedi
Ω3 = 0 =⇒ Ω3 = konst. (50)
• koristimo oznaku
ω ≡ Ω3I3 − I
I(51)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• prve dvije Eulerove jednadžbe svode se na
Ω1 + ωΩ2 = 0 (52)
Ω2 − ωΩ1 = 0 (53)
• deriviramo prvu jednadžbu po vremenu
Ω1 + ωΩ2 = 0 (54)
• uvrstimo Ω2 iz druge jednadžbe
Ω1 + ω2Ω1 = 0 (55)
• dobili smo jednadžbu harmonickog oscilatora• jedno moguce rješenje glasi
Ω1 = Ω0 cosωt i Ω2 = Ω0 sinωt (56)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• komponenta kutne brzine oko glavne osi smomentom tromosti I3 je konstantna
• ostale dvije komponente osciliraju pa njihovvektorski zbroj
Ω1~i + Ω2
~j = Ω0
[
cosωt~i + sinωt~j]
(57)
rotira u ravnini odredenoj osima s momentomtromosti I i pritom zadržava stalnu duljinu
Ω0 =√
Ω21 + Ω2
2 (58)
• kutna brzina te rotacije iznosi
ω = Ω3I3 − I
I(59)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
Skica ravnine xy :
x
y
Ω1~i + Ω2
~j
Ω1
Ω2 φ = ωt
• gledano iz sustava zvrka, vektor kutne brzinerotira oko osi z kutnom brzinom ω
•
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• zakretni impuls zvrka
~M = I(
Ω1~i + Ω2
~j)
+ I3Ω3~k (60)
• u sustavu zvrk vektor zakretnog impulsa rotiraoko osi z kutnom brzinom ω
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
Simetrican zvrk u poljusile teže
• promatramo simetrican zvrk na podlozi koji sevrti tako da mu je tocke kojom dodiruje podlogufiksna
• tocu dodira s podlogom odaberemo za ishodištevanjskog sustava
• os z ′ vanjskog sustava orjentiramo tako davrijedi
~g = −g~k ′ (61)
• primjetimo da zakretni impuls zvrka ~M više nijekonstanta jer na zvrk djeluje moment sile teže
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• sustav vezan uz zvrk orjentiramo tako da se osz poklapa s osi simetrije zvrka
φ
θ
ψ
x ′
y ′
z ′
~n
x
yz
c.m.
µ~g
• udaljenost centramase od fiksne tockeiznosi a
• momenti tromosti uodnosu na fiksnutocku
I ′ = I + µa2 i I3
• potencijalna energija zvrka
U = µgz ′
c.m. = µga cos θ (62)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• kao generalizirane koordinate koristimoEulerove kuteve
• Lagrangian zvrka
L = T − U
=I ′
2
(
θ2 + φ2 sin2 θ)
+I32
(
ψ + φ cos θ)2
− µga cos θ (63)
• kao i u slucaju slobodnog simetricnog zvrkaLagrangian ne ovisi o kutevima ψ i φ
• pripadni generalizirani impulsi su konstantegibanja
pψ =∂L
∂ψ= I3(ψ + φ cos θ) (64)
pφ =∂L
∂φ= (I ′ sin2 θ + I3 cos2 θ)φ+ I3ψ cos θ
(65)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• generalizirani impuls pψ odgovara projekcijizakretnog impulsa duž glavne osi zvrka z, dokpφ odgovara projekciji zakretnog impulsa na osz ′ vanjskog sustava
pψ = M3 i pφ = Mz′ (66)
• našli smo dvije konstante gibanja: M3 i Mz′
• treca konstanta gibanja je energija jerLagrangian ne ovisi eksplicitno o vremenu
E = T + U
=I ′
2
(
θ2 + φ2 sin2 θ)
+I32
(
ψ + φ cos θ)2
+ µga cos θ (67)
• trebamo eliminirati ψ i φ iz prethodnog izraza
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• iz jedn. (64) izrazimo ψ
ψ =M3
I3− φ cos θ (68)
• uvrstimo ψ u jedn. (65)
Mz′ = I ′ sin2 θφ+M3 cos θ =⇒ φ =Mz′ − M3 cos θ
I ′ sin2 θ(69)
• eliminiramo φ i ψ iz kineticke energije
I ′
2φ2 sin2 θ =
(Mz′ − M3 cos θ)2
2I ′ sin2 θ(70)
I32
(
ψ + φ cos θ)2
=M2
3
2I3(71)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• energija zvrka sada ovisi samo o kutu θ ipripadnoj generaliziranoj brzini θ
E =I ′
2θ2 +
(Mz′ − Mz cos θ)2
2I ′ sin2 θ+
M23
2I3+ µga cos θ
(72)
=I ′
2θ2 +
M23
2I3+ Ueff (θ) (73)
• problem zvrka s tri stupnja slobode smo sveli nagibanje u jednodimenzionalnom efektivnompotencijalu
Ueff (θ) =(Mz′ − Mz cos θ)2
2I ′ sin2 θ+ µga cos θ (74)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• problem dalje možemo rješavati kvadraturom
E =I ′
2θ2 + Ueff (θ) +
M23
2I3
=⇒dθdt
=2I ′
[
E −M2
3
2I3− Ueff (θ)
]
=⇒ t =
∫
dθ[
2I′
(
E −M2
32I3
− Ueff (θ))]1/2
(75)
• kvalitativne zakljucke o gibanju možemo izvestikoristeci supstituciju
cos θ ≡ u , −1 ≤ u ≤ 1 (76)
=⇒ − sin θθ = u =⇒ θ2 =u2
1 − u2(77)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• energija zvrka (72) svodi se na
E =I ′
2u2
1 − u2+
M23
2I3+
I ′
2
(
Mz′
I′ − M3I′ u
)2
1 − u2+ µgau
(78)• uvodimo supstitucije
Mz′
I ′≡ mz i
M3
I ′≡ m3 (79)
E =I ′
2u2
1 − u2+
M3
2I3+
I ′
2(mz − m3u)2
1 − u2+µgau (80)
=⇒ u2 =2I ′
(
1 − u2)
[
E −M2
3
2I3
]
−2µga
I ′u
− (mz − m3u)2 (81)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• daljnje supstitucije
2µgaI ′
≡ β > 0 i2I ′
(
E −M2
3
2I3
)
≡ α (82)
=⇒ u2 = (α− βu)(1 − u2) − (mz − m3u)2 (83)
• u može poprimiti samo one vrijednosti za koje jedesna strana prethodnog izraza pozitivna ipritom vrijedi −1 ≤ u ≤ 1
f (u) ≡ (α−βu)(1−u2)− (mz −m3u)2 ≥ 0 (84)
• f (u) je kubna funkcija za koju vrijedi
f (u → +∞) → +∞ (85)
f (u → −∞) → −∞ (86)
f (±1) = −(mz − m3u)2 ≤ 0 (87)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• funkcija f (u) u intervalu −1 ≤ u ≤ 1 može imatinijednu, jednu ili dvije nultocke
• treca moguca nultocka nalazi se u podrucjuu > 1
• promotrimo slucaj dvije nultocke u intervalu−1 ≤ u ≤ 1
u
f (u)
−1 +1u1 u2 u3
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• zvrk se može gibati samo u podrucju u kojemvrijedi
f (u) =⇒ u1 ≤ u ≤ u2 (88)
• kut θ se mijenja periodicno izmedu vrijednosti
θ2 = arccos u2 ≤ θ ≤ θ1 = arccos u1 (89)
• periodicna promjena smjera glavne osi premavertikali tj. kuta θ naziva se nutacija
• promjenu azimutalnog položaja glavne osi z (kutφ) možemo izracunati koristeci jedn. (69)
φ =Mz′ − M3 cos θ
I ′ sin2 θ=
mz − m3u1 − u2
(90)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• nazivnik jedn. (90) je cijelo vrijeme pozitivan,dok brojnik mijenja predznak u tocki
u0 =mz
m3(91)
• ako je u0 izvan podrucja dostupnog zvrku(u1 ≤ u ≤ u2), φ tokom gibanja zadržava stalnoisti predznak
• os zvrka u tom slucaju precesira monotono
• putanja probodišta glavneosi sa sferom koja imacentar u ishodištu O
• nagib glave osi z premavertikali se mijenja izmeduθ1 i θ2
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• glavna os se istovremenovrti oko vertikale kutnombrzinom φ koja stalno imaisti smjer
• zvrk precesira monotono
• ako se u0 nalazi unutar intervala [u1, u2], brzinaφ mijenja predznak tokom gibanja
• φ ima suprotan predznak utockama u1 i u2
• precesija više nijemonotona
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• ako se u0 podudara s krajevima intervala u1 ili u2
putanja probodišta glavne osi sa sferom kojaima centar u ishodištu O izgleda kao nasljedecoj slici
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• promotrimo poseban slucaj zvrka koji rotira takoda mu je glavna os vertikalna (tzv. uspavanizvrk)
• da bi takvo gibanja bilo moguce, mora bitiispunjen uvjet
Mz′ = M3 = I3Ω3 (92)
• efektivni potencijal se svodi na
Ueff (θ) =(Mz′ − Mz cos θ)2
2I ′ sin2 θ+ µga cos θ
=M2
z (1 − cos θ)2
2I ′ sin2 θ+ µga cos θ
=I23Ω2
3
2I ′(1 − cos θ)2
sin2 θ+ µga cos θ (93)
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• tocka θ = 0 je stabilno rješenje ako efektivnipotencijal ima minimum
• razvijemo Ueff u blizini θ = 0
cos θ = 1 −θ2
2!+ · · · (94)
sin θ = θ − · · · (95)
Ueff =I23Ω2
3
2I ′θ4/4θ2
+ µga −12µgaθ2 + · · ·+ O(θ4)
≈ µga +
[
I23Ω2
3
8I ′−µga
2
]
θ2 (96)
• ukoliko je koeficijent ispred θ2 pozitivan tockaravnoteže je stabilna, a u suprotnom jenestabilna
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• na slici je primjer efektivnog potencijala zastabilan (crvena linija) i nestabilan (zelena linija)uspavani zvrk
θ
Ueff
0 π
• u slucaju stabilnog uspavanog zvrka potencijal uθ = 0 ima minimum, a u slucaju nestabilnogmaksimum
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• uvjet stabilnosti uspavanog zvrka glasi
I23Ω2
3
8I ′−µga
2> 0 =⇒ Ω2
3 >4µgaI ′
I23
(97)
• uvjet stabilnosti je lakše postici ako je zvrkplosnat (I3 ≫ I) i ako mu je centar mase blizutocke dodira s podlogom (što manji a)
• primjetimo da masa zvrka ne utjece nastabilnost jer vrijedi
I ∼ µ i I3 ∼ µ (98)
pa se masa u brojniku u nazivniku izraza (97)pokrati
Dinamika gibanjakrutog tijela
Eulerovejednadžbe
Slobodansimetrican zvrkOpis gibanja u odnosu navanjski sustav
Opis gibanja u odnosu nazvrk
Simetrican zvrk upolju sile težeJednadžbe gibanja
Nutacija i precesija
Uspavani zvrk
• u realnom slucaju zvrku bi se zbog trenjasmanjivala brzina Ω3
• u trenu kad uvjet (97) više nije ispunjen zvrk izvertikalne vrtnje prelazi u gibanje s nutacijom iprecesijom
Dinamika gibanjakrutog tijela
Derivacija u pomicnomsustavu
povratak
• pretpostavimo da je sustav x ′y ′z ′ fiksiran, doksustav xyz rotira u odnosu na njega
• neka oba sustava imaju zajednicko ishodište• oznacimo s
d~Adt
id ′~Adt
(99)
derivacije vektora ~A za opažaca u fiksnom ipomicnom sustavu
• želimo povezati derivaciju u fiksnom i pomicnomsustavu
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• neka su ~e1, ~e2 i ~e3 jedinicni vektori, a A1, A2 i A3
komponente vektora ~A u pomicnom sustavu• za opažaca u fiksnom sustavu mijenjaju se i
komponente i jedinicni vektori pomicnog sustavapa vrijedi
d~Adt
=∑
i
dAi
dt~ei +
∑
i
Aid~ei
dt(100)
• za opažaca u pomicnom sustavu mijenjaju sesamo komponente vektora
d ′~Adt
=∑
i
dAi
dt~ei (101)
• uvrstimo jedn. (101) u jedn. (100)
d~Adt
=d ′~Adt
+∑
i
Aid~ei
dt(102)
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• i za opažacu nepomicnom sustavu jedinicnivektori ~e1, ~e2 i ~e3 cine desni ortonormiranisustav pa uvijek vrijedi
~ei · ~ej = δij (103)
• iz uvjeta ~e2i = 1 slijedi
ddt~e2
i = 0 =⇒ 2~ei ·d~ei
dt= 0 (104)
• vremenska derivacija jedinicnog vektora jeokomita na sam vektor
~e1 = α1~e2 + α2~e3 (105)
~e2 = α3~e3 + α4~e1 (106)
~e3 = α5~e1 + α6~e2 (107)
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• promotrimo uvjete ortogonalnosti
~e1 · ~e2 = 0 =⇒ ~e1 · ~e2 + ~e1 · ~e2 = 0 =⇒ α1 = −α4
~e1 · ~e3 = 0 =⇒ ~e1 · ~e3 + ~e1 · ~e3 = 0 =⇒ α2 = −α5
~e2 · ~e3 = 0 =⇒ ~e2 · ~e3 + ~e2 · ~e3 = 0 =⇒ α3 = −α6
• iz zadnje tri relacije slijedi
∑
i
Aid~ei
dt= (−α1A2 − α2A3)~e1
= (α1A1 − α3A3)~e2
= (α2A1 + α3A2)~e3
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• zadnju jednadžbu možemo napisati pomocudeterminante
∑
i
Aid~ei
dt=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~e1 ~e2 ~e3
α3 −α2 α1
A1 A2 A3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(108)
• uz identifikaciju
α3 ≡ ω1 , −α2 ≡ ω2 , α1 = ω3 (109)
jedn. (108) možemo napisati kao vektorskiprodukt
∑
i
Aid~ei
dt= ~ω × ~A (110)
Dinamika gibanjakrutog tijela povratak
• veza derivacija u fiksnom i pomicnom sustavu
d~Adt
=d ′~Adt
+ ~ω × ~A (111)
• vektor ~ω je kutna brzina pomicnog u odnosu nafiksni sustav