– 1 –

1. Fizikos įvadas

Fizikos tyrimo objektas. Žodis "fizika" yra graikiškos (physis) kilmės ir reiškia gamtą. Fizika tiria paprasčiausius ir

bendriausius gamtos reiškinių dėsningumus, materijos sandarą ir jos judėjimo dėsnius. Fizikos tyrimo objektas yra mus supanti

gamta. Kai tariame žodį "mus" – suprantame, kad tai yra Žemė su visais jos gyventojais. Fizikos tyrimo objektu ir yra visa tai,

kas supa Žemę, kas yra paviršiuje ir jos gelmėse, kas yra dujose, skysčiuose ir kietuose kūnuose, kokios medžiagų savybės,

kokie materijos judėjimo dėsningumai. Trumpai pažvelkime į tą gamtos dalį, kuri supa Žemę. Tai yra begalinė erdvė su joje

esančiais kūnais (planetomis, žvaigždėmis, kometomis, asteroidais ir t.t.). Bendrai mes sakome, kad tai yra Visata. Erdvės dalį,

kurios matmenys yra per 1020 m, vadiname Galaktika. Erdvės dalis, kurią galime tirti šiuolaikiniais galingais teleskopais ir

radioteleskopais, vadinama Metagalaktika. Metagalaktikos matmenys apytiksliai yra 1026 m, šis atstumas prilygsta 1010

šviesmečių. Dažnai šį atstumą vadiname Visatos spinduliu, nors tai neatitinka tikrovės. Palyginimui pateikime atstumą iki

Saulės, kuris yra 1,5 1011 m ir Žemės spindulį, kuris lygus 6,4 106 m. Pagrindinės atomų struktūrinės dalelės yra protonai ir

neutronai. Mokslininkai paskaičiavo, kad Metagalaktikoje yra apie 1080 protonų ir neutronų. Saulėje yra apie 1057 protonų ir

neutronų, o Žemėje – apie 41051. Dalindami 1080/1057, gausime skaičių 1023. Skaičius 1023 artimas Avogadro skaičiui. Galime

sakyti, kad Metagalaktikoje yra vienas molis žvaigždžių. Iš Metagalaktikoje esančių protonų ir neutronų galėtų susidaryti 1023

žvaigždžių, kurių dydis prilygsta Saulei. Mokslininkų nuomone, žvaigždžių masės yra nuo vienos šimtosios iki šimto Saulės

masių. Sudėtingiausias Visatos reiškinys yra gyvybė. Mūsų žiniomis tobuliausiai išsivysčiusi Visatos būtybė yra žmogus, kurio

organizmą sudaro apie 1016 ląstelių, o kiekvieną ląstelę apie 1012 - 1014 atomų. Negyvoji gamta egzistuoja daugelyje formų.

Įvairūs protonų, neutronų ir elektronų deriniai sudaro daugiau nei šimtą elementų ir per 1500 izotopų. Atskiri elementai,

jungdamiesi į patvarias grupes, gali sudaryti daugiau nei 106 įvairių junginių. Eksperimentiniai mokslai sudarė galimybę pažinti

mus supantį pasaulį: klasifikuoti žvaigždes, rasti jų masę ir sudėtį, atstumą ir žvaigždžių judėjimo greičius, klasifikuoti gyvas

būtybes ir iššifruoti jų genetinius kodus, sintezuoti neorganinius kristalus, biochemines medžiagas ir naujus cheminius

elementus, matuoti molekulių ir atomų spektrų dažnius, kurie yra 102 - 1020 Hz.

Nežiūrint į Visatoje vykstančių reiškinių sudėtingumą, vystantis mokslui, pavyko nustatyti daugybę ypatumų, suformuluoti

eilę fundamentalių dėsnių, remiantis kuriais galima aprašyti gamtoje vykstančius reiškinius.

Fizikos paskaitose daugiausia bus kalbama apie geriausiai mums žinomus, dažniausiai stebimus ir lengviausiai aprašomus

reiškinius.

Fizikos mokslo sandara. Fizika yra eksperimentinis mokslas. Jos dėsniai – eksperimentiškai nustatyti faktai. Šalia

eksperimentinės fizikos sėkmingai vystosi ir teorinė fizika. Ji formuluoja gamtos dėsnius ir remdamasi šiais dėsniais aiškina

reiškinius. Teorinės fizikos pagalba galima numatyti naujus galimus reiškinius. Fizika tyrinėja daugybę reiškinių, todėl ji dažnai

skirstoma į atskiras fizikos disciplinas. Pagal tiriamus objektus fizika skirstoma į elementariųjų dalelių fiziką, branduolio fiziką,

atomų ir molekulių fiziką, dujų ir skysčių fiziką, kietojo kūno fiziką, plazmos fiziką. Suskirstymas nėra vienareikšmis. Pagal

kitą kriterijų – proceso tyrimą arba materijos judėjimo formą galima išskirti materialaus taško ir kietojo kūno mechaniką,

kondensuotų medžiagų mechaniką, termodinamiką ir statistinę fiziką, elektrodinamiką, sąveikos teoriją, kvantinę mechaniką ir

kvantinę lauko teoriją. Minėti fizikos skyriai tarpusavyje glaudžiai susiję ir nėra aiškios ribos dėl objektų ir reiškinių panašumo.

Pagal tyrimo tikslą gali būti išskirta taikomoji fizika.

Ypatingas dėmesys fizikos moksle yra skiriamas svyravimams ir bangoms. Ši judėjimo rūšis turi bendrus dėsningumus.

Lygtys, aprašančios svyravimo ir jų plitimo reiškinius, yra identiškos. Šis fizikos skyrius nagrinėja mechaninius, akustinius,

elektrinius, optinius svyravimus ir jų plitimą erdvėje. Svyruojamasis judesys labiausiai paplitęs gamtoje, todėl neatsitiktinai jo

aprašymui fizikoje skiriama daug dėmesio.

Fizikos vystymosi etapų apžvalga. Įvairūs gamtos reiškiniai ir mus supančių kūnų sandara domino žmones dar gilioje

senovėje. Nuo 6 amžiaus prieš mūsų erą iki 2-jo mūsų eros amžiaus gimė medžiagų atominės struktūros idėja (Demokritas,

Epikuras, Lukrecijus). Sukurta geocentrinė planetų sistema (Ptolomėjus), nustatyti paprasčiausi statikos dėsniai (sverto taisyklė),

– 2 – šviesos lūžio ir atspindžio dėsniai, suformuluoti hidrostatikos principai (Archimedas), stebimi kai kurie elektrinių reiškinių ir

magnetizmo pasireiškimai.

Spartus fizikos mokslo vystymasis prasidėjo 17 amžiuje ir yra neatskiriamai susijęs su italų mokslininko Galilėjaus vardu.

Galilėjus suprato, kad visus reiškinius reikia aprašyti matematiškai. Jis parodė, kad vieno kūno poveikis kitam apsprendžia ne jo

greitį bet pagreitį. Galilėjus suformulavo mechaninį reliatyvumo principą, įrodė, kad laisvojo kritimo pagreitis nepriklauso nuo

kūno tankio ir jo masės, pagrindė Koperniko teiginius, tyrė optinius, astronominius, šiluminius ir kitus reiškinius. Jo mokinys

Toričelis nustatė atmosferos slėgį ir pagamino pirmąjį barometrą. Anglų mokslininkas Boilis ir prancūzas Mariotas ištyrė dujų

tamprumo savybes ir nustatė dėsnį, žinomą jų vardu. 1600 m. Gilbertas tyrė elektrinius ir magnetinius reiškinius ir parodė, kad

žemė yra didelis magnetas.

Didžiausias 17 amžiaus pasiekimas priklauso Niutonui, suformulavusiam (1687 m.) mechanikos dėsnius. Kepleris nustatė

planetų judėjimo dėsnius, o Niutonas remdamasis jais, suformulavo Visuotinės traukos dėsnį, kurio dėka jam pavyko nuostabiu

tikslumu apskaičiuoti Mėnulio, kitų planetų ir kometų judėjimą, paaiškinti okeanų potvynius ir atoslūgius. Tiesa, Niutonas

rėmėsi absoliučios erdvės ir absoliutaus laiko sąvoka. Tuo metu olandų fizikas Hiuigensas ir vokiečių fizikas Leibnicas

suformulavo impulso tvermės dėsnį. Antroje 17 amžiaus pusėje sparčiai vystosi mokslas apie šviesą. Konstruojami teleskopai.

Italų fizikas Grimaldi pastebi šviesos difrakcijos reiškinį, o Niutonas tiria šviesos dispersijos reiškinį. 1676 m. danų fizikas

Riomeris pirmą kartą išmatuoja šviesos greitį. Šveicarų fizikai Bernuli ir Eileris, prancūzas Lagranžas sukuria idealaus skysčio

hidrodinamiką. Prancūzų fizikas Diufe nustato dviejų rūšių elektros krūvių egzistavimą ir jų sąveikos pobūdį. Amerikiečių

fizikas Franklinas nustato elektros krūvio tvermės dėsnį. Anglų mokslininkas Kevendišas ir nepriklausomai nuo jo prancūzas

Kulonas nustato nejudančių krūvių sąveikos dėsnį. Sparčiai tiriami šiluminiai reiškiniai: šiluminė talpa, šilumos laidumas,

šiluminis spinduliavimas. Jau tuo metu įsivyrauja du požiūriai į šviesos prigimtį: viena – korpuskulinė, kita – banginė teorija.

Anglų mokslininkas Jangas ir prancūzas Frenelis, paaiškina šviesos interferenciją ir difrakciją. Italų mokslininkai Galvanis ir

Volta tiria elektros srovės reiškinius. Anglų mokslininkai Devis ir Faradėjus nustato srovės cheminį poveikį. 1820 m. danų

fizikas Erstedas nustato elektros srovės poveikį magnetinei rodyklei. Tais pačiais metais prancūzų fizikas Amperas įrodo, kad

visi magnetiniai reiškiniai susiję su elektros krūvių judėjimu ir eksperimentiškai nustato srovių sąveikos dėsnį. 1831 m.

Faradėjus atranda elektromagnetinės indukcijos dėsnį. 1826 m. Omas nustato elektrinio laidumo dėsnį. Nustatomos pagrindinės

kūnų magnetinės savybės. Sukuriama kietų kūnų tamprumo teorija. Vokiečiai Majeris ir Helmholcas, anglas Džaulis nustato

energijos tvermės dėsnį. 19 amžiaus viduryje eksperimentiškai nustatomas mechaninės energijos ir šilumos ekvivalentas. 1850

m. vokiečių fizikas Klauzijus, remdamasis prancūzų mokslininku Karno ir anglų fiziku Tomsonu suformuluoja fundamentalų

šilumos teorijos dėsnį – antrąjį termodinamikos principą. 1859 m. anglų fizikas Maksvelis pirmasis pavartoja tikimybės sąvoką

ir nustato molekulių pasiskirstymo pagal greičius dėsnį. Antrojoje 19 amžiaus pusėje Maksvelis sukuria klasikinės

elektrodinamikos teoriją. 1886-89 m. vokiečių fizikas Hercas eksperimentiškai patvirtina elektromagnetinių bangų egzistavimą.

1859 m. vokiečių mokslininkai Kirchhofas ir Bunzenas sukuria spektrinės analizės pagrindus.

Naują žingsnį fizikoje žengė anglų fizikas Tomsonas 1897 m. nustatęs elektrono egzistavimą. Jis nustatė, kad atomai nėra

elementarios dalelės, bet sudėtingos dalelių sistemos. 19 amžiaus pabaigoje ir 20 amžiaus pradžioje olandų fizikas Lorencas

sukuria elektroninę metalų laidumo teoriją.

20 amžiaus pradžioje paaiškėjo, kad reikia peržiūrėti erdvės ir laiko sąvokas. To pasėkoje gimsta Einšteino reliatyvumo

teorija, kurios pagrindą sukūrė Lorencas ir Punkare.

19 ir 20 amžių sandūroje įvyksta dideli pokyčiai fizikos moksle. 1900 m. vokiečių fizikas Plankas įveda kvanto savoką ir

paaiškina šiluminio spinduliavimo dėsnius. Einšteinas kvanto sąvoką perkelia optiniams reiškiniams ir paaiškina fotoefekto

reiškinį, kurio negalėjo paaiškinti klasikinė elektrodinamika. Danų fizikas N.Boras 1913 m. sukuria atomo modelį.

E.Rezerfordas eksperimentiškai nustato branduolio egzistavimą atome ir sukuria planetinį atomo modelį, kurį papildo N.Boras.

1912 m. vokiečių fizikas Lauje pastebi rentgeno spindulių difrakciją kristaluose. Gimsta struktūrinė analizė (Vulfas,

U.L.Bregas ir U.G.Bregas.). Olandų fizikas Debajus, vokiečių fizikas Bornas, amerikietis Karmanas ir austrų fizikas Šrėdingeris

sukuria kristalinio kūno gardelės teoriją.

– 3 –

1920 m. buvo sukurta kvantinės mechanikos teorija, kuri aprašė mikrodalelių judėjimo dėsningumus ir nusakė

mikropasaulio priežastingumo principą. Šios teorijos kūrimui pagrindą sudarė Planko, Einšteino, Boro ir 1924 m. prancūzų

fiziko de Broilio hipotezė apie materijos korpuskulinę - banginę prigimtį. 1927 m. buvo gauta elektronų difrakcija kristaluose.

Tai patvirtino de Broilio hipotezę. 1926 m. Šrėdingeris suformulavo pagrindinį kvantinės mechanikos dėsnį. Tai banginė lygtis,

įskaitanti postuluotą materijos dvilypumą. 1925 m. šveicarų fizikas Pauli suformulavo draudimo principą.

Kvantinė mechanika padėjo išvystyti kietojo kūno teoriją. Priverstinio spinduliavimo teorija leido sukurti naują radiofizikos

sritį – kvantinę elektroniką. Atsirado lazeriai. Dvidešimtajame amžiuje pradėjo sparčiai vystytis atomo branduolio fizika. Ji

padėjo įsisavinti valdomą branduolinę reakciją, davusią galingą energijos šaltinį.

Pagrindinės fizikos neišspręstos problemos. Nauji atradimai fizikoje padeda suvokti gamtos reiškinių svarbą ir

sudėtingumą. Naujos paieškos fizikoje nemažina spręstinų problemų skaičiaus. Atvirkščiai, tyrinėjant paaiškėja nauji nežinomi

reiškiniai. Nors fizikos mokslas žino daug apie gamtos reiškinius, kūnų struktūrą ir Visatą, tačiau šiandien yra daugybė dar

neišspręstų problemų.

Elementarių dalelių ir branduolio fizikos pasiekimai davė galimybę pažinti Visatos ir žvaigždžių evoliuciją, cheminių

elementų susidarymą. Tačiau lieka neaišku, kokia yra materijos būsena, esant labai dideliems tankiams ir slėgiams. Tokia

būsena susidaro neutroninėse žvaigždėse ir "juodosiose skylėse". Nežinoma kvazarų ir radiogalaktikų prigimtis, naujų

žvaigždžių atsiradimas, intensyvaus spinduliavimo blyksniai. Nežinomas elektringųjų dalelių greitinimo mechanizmas, susijęs

su naujų žvaigždžių susidarymu.

Elementariųjų dalelių fizikoje nežinomas laisvųjų kvarkų ir gliujonų egzistavimas. Nėra bendros teorijos, apimančios visus

eksperimentinius rezultatus. Nėra elementariųjų dalelių spektro teorijos. Neišspręstas traukos kvantinės teorijos uždavinys.

Didelį indėlį į atomo branduolio teorijos vystymą įnešė protoninio - neutroninio branduolio modelio sukūrimas, tačiau

nuoseklios branduolio teorijos nėra. Nepaprastai sunku tirti branduolio nukleonų sąveikos jėgas eksperimentiškai, dėl jų

specifikos. Jos priklauso nuo atstumo tarp nukleonų, nukleonų judėjimo greičių, jų sukinių orientacijos. Nėra eksperimentiškai

aptikti cheminiai, ilgai egzistuojantys, elementai su masių skaičiais 114 ir 126, į kurių egzistavimą nurodo teorinė fizika. Viena

iš aktualiausių šios dienos branduolio fizikos problemų – tai valdomos branduolių sintezės reakcijos įsisavinimas.

Žymus atradimas kvantinėje elektronikoje - tai kvantinių generatorių sukūrimas (mazeriai, irrazeriai, lazeriai). Unikalios

kvantinio spinduliavimo savybės: koherentiškumas, galia siaurame spektro intervale siekia 1012 - 1013 W, pluošto skėsčio

kampas apie 10-4 rad, nepaprastai didelis elektrinio lauko stipris, viršijantis vidinius atomų laukus ir kt., leidžia juos panaudoti

daugelyje fizikinių eksperimentų ir praktikoje. Šito išdavoje gimė netiesinė optika. Pagrindiniai spręstini kvantinės elektronikos

uždaviniai – tai tolesnis kvantinių generatorių galingumo didinimas, tolydus lazerių dažnio keitimas, rentgeno ir lazerių

sukūrimas.

Kietojo kūno fizikoje svarbu sukurti medžiagas su ekstremaliomis savybėmis mechaninio ir šiluminio atsparumo,

elektrinių, magnetinių ir optinių savybių požiūriais. Mokslininkus nepaprastai domina aukštatemperatūrinis medžiagų

superlaidumas. Ieškoma naujų metodų, leidžiančių sukurti labai mažus ir patikimus puslaidininkinius prietaisus.

Fizikus nepaprastai domina medžiagų plazminis būvis. Mokslui yra žinoma, kad plazminėje būsenoje yra didesnioji Visatos

dalis ir aukštatemperatūrinė plazma sudaro galimybę sukurti valdomą branduolių sintezės reakciją. Pagrindinis plazmos fizikos

uždavinys – tai plazmos įkaitinimas iki 109 K ir išlaikymas tokį laiką, per kurį galėtų įvykti sintezės reakcija. Mokslininkus

domina elektromagnetinis ir korpuskulinis plazmos spinduliavimas, leidžiantis paaiškinti elektringųjų dalelių pagreitinimą

Visatoje, atsirandant naujoms žvaigždėms, pulsarų spinduliavimą ir kt.

Fizika labai glaudžiai susijusi su kitais gamtos mokslais. Ypatingai glaudžiai fizika siejasi su techniniais mokslais.

Negalima išvesti skiriamosios ribos tarp fizikos ir bet kurios kitos techninių mokslų šakos. Daugelio mokslų pagrindą sudaro

fizikos fundamentalūs dėsniai. Naujų fizikos sričių vystymasis skatina naujų techninių mokslų atsiradimą. Taip, pvz., mašinų

gamyba remiasi mechanikos dėsniais, elektrotechnika ir radiotechnika – elektromagnetinių reiškinių dėsniais, puslaidininkinių

prietaisų – kietojo kūno teorija ir t.t. Kokybinius pakitimus technikoje padarė integrinių grandynų sukūrimas. Tas leido

pagaminti naujas ryšių sistemas, sukurti labai mažas, ekonomiškas, greitaeiges skaičiavimo mašinas ir kt.

– 4 –

Fizikos mokslo metodai. Pradedant studijuoti fizikos kursą, pravartu susipažinti su bendraisiais tyrimo metodais, kurie

taikomi fizikos moksle.

Fizikinis reiškinys. Fizikinis reiškinys arba procesas – tai dėsningai susietų dydžių kitimas laike. Toks dydžių kitimas

fizikiniame procese vertinamas kiekybiniu ir kokybiniu šių dydžių virsmu.

Fizikinis bandymas. Dėsningi ryšiai tarp fizikinių dydžių nustatomi juos stebint gamtoje arba atliekant laboratorinius

bandymus, kurių metu išlaikomos artimos gamtinio reiškinio vyksmo sąlygos. Laboratoriniai bandymai ir gamtos reiškinių

stebėjimas yra pagrindiniai būdai tiesos kriterijui nustatyti. Tikslus ir teisingas fizikinių dydžių matavimas stebėjimo ar

bandymo metu sudaro pagrindinę mokslinio tyrimo dalį fizikos moksle.

Fizikos dėsnis. Visi fizikiniai reiškiniai yra tam tikrame priežastingumo ryšyje. Gamtos reiškinių stebėjimo arba

eksperimento metu nustatomi priežastingumo ryšiai ir reiškinių dėsningumai. Bendri dėsningumai, pagal kuriuos vyksta

fizikiniai reiškiniai, vadinami fizikos dėsniais.

Hipotezė. Dažnai fizikoje naudojamasi hipoteze (prielaida). Tai darome tuomet, kai naujai pastebėtų reiškinių negali

paaiškinti žinomi dėsniai arba jiems prieštarauja. Kaip pavyzdį galima paminėti de Broilio hipotezę, kuri buvo suformuluota

1924 m. prancūzų mokslininko de Broilio, pagal kurią mikrodalelė gali reikštis kaip banga, kurios ilgis

h/mv (čia h – Planko konstanta, m – mikrodalelės masė, v – jos greitis). Ši hipotezė buvo vėliau patvirtinta eksperimentiškai,

stebint elektronų difrakciją kristaluose. Hipotezė, patvirtinta eksperimentu, virsta dėsniu.

Fizikinė abstrakcija. Dažnai fizikos eksperimente arba gamtos reiškinyje reikalinga atskirti pagrindinius reiškinių aspektus

nuo antraeilių. Tai daroma įvedant fizikinę abstrakciją. Abstrakcija atspindi tik kai kurias kūnų savybes arba proceso

charakteristikas. Kaip, pavyzdžiui, absoliučiai kietasis kūnas, materialusis taškas, tiesi linija, neklampus skystis ir kt. Šiuo atveju

nagrinėjame kietojo kūno sukimąsi, neatsižvelgdami į jo deformaciją, kurią sukelia išcentrinės jėgos, arba, nagrinėdami jo rimtį,

neatsižvelgsime į jo deformaciją, kurią sukelia sunkio jėga. Šiuo atveju atsiribojame nuo deformacijos, o tuo pačiu atsiribojame

nuo eksperimento arba reiškinio tikslumo.

2. Kietojo kūno ir materialiojo taško slenkamojo judėjimo kinematika ir dinamika

Mechaniniu judėjimu vadiname kūnų arba jų dalių padėties kitimą erdvėje ir laike. Šį

judėjimą tirianti fizikos dalis vadinama mechanika. Makroskopinių kūnų, judančių mažais

(lyginant su šviesos greičiu) greičiais, judėjimą tiria klasikinė, judančių greičiais, artimais

šviesos greičiui – reliatyvistinė mechanika. Mechanikos kurse dažnai naudojamos

materialiojo taško ir atskaitos sistemos sąvokos.

Materialusis taškas fizikoje – tai materialusis kūnas, kurio matmenys labai maži

lyginant su kitų kūnų matmenimis arba su atstumais nagrinėjamoje situacijoje.

Atskaitos sistema fizikoje – tai atskaitos kūnas (ar kūnų grupė) plius per jį (ją)

išvestoji koordinačių sistema, plius prietaisas laikui skaičiuoti. Materialiojo taško M padėtį atskaitos sistemoje nusakome trimis

koordinatėmis x, y, z arba padėties vektoriumi r

(2.1 pav.). Pastarąjį galima išreikšti jo komponentėmis: zkyjxir

. Čia

i

, ,j

k

- vienetiniai vektoriai (ortai), kurių kryptys atitinka ašių 0x, 0y, 0z kryptis. Klasikinėje mechanikoje erdvė ir laikas yra

absoliutūs, kitaip tariant jie nuo laiko nepriklauso ir nekinta.

Greitis, jo projekcijos ir komponentės. Sakykime, kad, judant materialiajam taškui, jo padėtį atskaitos sistemoje

nusakančio padėties vektoriaus r galas iš taško M per laiko tarpą t pasislinko į tašką N, atlikdamas poslinkį r

ir nueidamas

kelią s , lygų trajektorijos, kuria judėjo taškas, ilgiui. Poslinkis – vektorius, jungiantis pradinį ir galinį trajektorijos taškus,

kelias – skaliaras. Poslinkį galime užrašyti taip:

rrr

1 .

– 5 –

Judėjimo spartą apibūdinantis dydis trv

vadinamas vidutiniuoju greičiu. Jo kryptis sutampa su vektoriaus r

kryptimi (2.2 pav.). Per nykstamai trumpą laiką dt atliekamas elementarusis poslinkis rd , o

greitis beveik nepakinta. Šis greitis vadinamas momentiniu greičiu:

dtrd

trv

t

0

lim .

Jis lygus padėties vektoriaus pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu. Momentinio greičio

vektorius v lygiagretus trajektorijos liestinei.

Trumpėjant laikui t, kelias (lanko ilgis) artėja prie poslinkio modulio, todėl greičio modulis

dtds

ts

tr

vtt

00limlim

yra lygus nueito kelio pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu. Greičio vienetas SI vienetų sistemoje yra m/s (metras sekundei).

Sprendžiant įvairius uždavinius, kartais yra patogu išskaidyti greičio vektorių į komponentes, kurių kryptys sutampa su

Dekarto koordinačių sistemos ašių kryptimis:

,zyx vkvjviv

arba .dtdzk

dtdyj

dtdxizkyjxi

dtd

dtrdv

Greičio projekcijos vx, vy, vz atitinkamose koordinačių ašyse yra lygios materialiojo taško atitinkamų koordinačių

išvestinėms laiko atžvilgiu:

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt.

Greičio modulis .222

222

dtdz

dtdy

dtdxvvvv zyx

Suintegravę lygybę ds = vdt laiko atžvilgiu, randame per laiką t nueitą kelią:

tt

t

vdts .

Tolyginio judėjimo atveju (kai v = const ) ši lygybė įgauna tokią išraišką:

tt

t

tvdtvs .

Materialiojo taško judėjimo pagreitis. Netolyginio judėjimo atveju svarbu žinoti, kaip

sparčiai kinta greitis. Greičio kitimo spartą charakterizuoja pagreitis.

Sakykime, kad materialiojo taško greitis taške M (2.3 pav.) laiko momentu t yra v .

Praėjus laikui t trajektorijos taške N greitis jau bus vvv

1 .

Netolyginio judėjimo vidutiniu pagreičiu laiko intervale nuo t iki t + t vadinamas vektorinis dydis, lygus v

ir t

santykiui: ,tva

o šio santykio riba dtvd

tva

t

0

lim

vadinama momentiniu pagreičiu (arba tiesiog pagreičiu).

Kadangi greitis lygus padėties vektoriaus pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu, tai pagreitis

.2

2

dtrd

dtrd

dtda

Pagreičio vektoriaus komponentės

– 6 –

.2

2

2

2

2

2

dtzdk

dtydj

dtxdi

dtdvk

dtdv

jdt

dvia zyx

Pagreičio projekcijos koordinačių ašyse

.;; 2

2

2

2

2

2

dtzd

dtdva

dtyd

dtdv

adt

xddt

dva zz

yy

xx

Pagreičio vektoriaus modulis: .222zyx aaaa

Taigi materialiojo taško pagreitis lygus jo greičio pirmajai arba padėties vektoriaus antrajai išvestinei laiko atžvilgiu. SI

pagreičio vienetas yra metras sekundei kvadratu (m/s2).

Jeigu kūnas netolygiai juda kreive (2.3 pav.), greičio pokyčio vektorių v

galima suskaidyti į dvi komponentes v

ir

nv

( v v , o nv

v

, kai taškas N yra arti taško M).

Pirmoji komponentė lygi greičio modulio pokyčiui per laiką t, antroji išreiškia greičio krypties pokytį. Santykio v/t

riba vadinama tangentinio pagreičio moduliu: .limlim00 dt

dvtv

tva

tt

Antroji pagreičio dedamoji (modulis) – normalinis (įcentrinis) pagreitis – išreiškiama taip:

.lim2

0 Rv

dtva n

tn

Pilnasis kūno pagreitis lygus geometrinei tangentinio ir normalinio pagreičių sumai (2.4 pav.):

,naadtvda

o jo modulis .22naaa

Pagal pagreičio dedamąsias judėjimą galima skirstyti į:

a) a = 0, an = 0 – tiesiaeigį tolyginį;

b) a = a = const; an = 0 – tiesiaeigį tolygiai kintamą:

a = a = v/t;

v = v0 at; ("+" – greitėjančiam judėjimui, "–" – lėtėjančiam judėjimui)

;2

)2

00

00

atvdtatvvdtstt

c) a = 0, an = const – tolyginį judėjimą apskritimu;

d) a = const, an 0 – kreivaeigį tolygiai kintamą judėjimą.

Slenkamojo judėjimo dinamika. Niutono dėsniai

Pirmasis Niutono dėsnis. Inercinė atskaitos sistema. I. Niutonas (17 - 18 a.) remdamasis G. Galilėjaus (16 - 17 a.)

darbais, suformulavo dabar vadinamą pirmuoju Niutono dėsniu mechanikos dėsnį: kiekvienas materialusis taškas (kūnas) išlaiko

rimties arba tolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną tol, kol kitų kūnų poveikiai nepriverčia ją pakeisti. Judėjimui palaikyti išorinė

jėga nereikalinga. Iki Galilėjaus buvo manoma priešingai. Kūnų savybė išlaikyti rimties arba tolygaus tiesiaeigio judėjimo

būseną, neveikiant pašalinėms jėgoms arba joms kompensuojantis vadinama inertiškumu.

Tos atskaitos sistemos, kurių atžvilgiu kūnas, kompensuojantis išoriniams poveikiams, juda tiesiai ir tolygiai, vadinamos

inercinėmis atskaitos sistemomis. Bet kokia kita atskaitos sistema, nejudanti arba judanti tiesiai ir tolygiai inercinės sistemos

atžvilgiu, taip pat yra inercinė. Inercinėse atskaitos sistemose kiekvienas fizikos reiškinys vyksta vienodai. Tačiau inercinės

sistemos sąvoka tėra mokslinė abstrakcija, nes visiškai nejudančių arba judančių tik tiesiai ir tolygiai kūnų nėra.

Galilėjaus reliatyvumo principas. Galilėjaus transformacijos. Remdamasis inercinėse atskaitos sistemose atliktų

stebėjimų ir bandymų rezultatais, G.Galilėjus priėjo išvadą, kad mechaninių reiškinių atžvilgiu visos inercinės atskaitos sistemos

– 7 – yra lygiavertės, jose visi mechaniniai reiškiniai vyksta vienodai ir jokiu mechaniniu eksperimentu neįmanoma nustatyti, ar ta

sistema juda, ar ne. Vėliau tai buvo pavadinta Galilėjaus reliatyvumo principu. Sakysime, turime dvi inercines atskaitos

sistemas xyz ir x'y'z', kurių ašys bei koordinačių pradžios laiko momentu t=0 sutampa. Pirmoji sistema sąlyginai nejuda, antroji

juda greičiu v0 = const Ox ašies teigiamąja kryptimi (3.1 pav.). Galilėjaus transformacijos – tai formulės, pagal kurias

transformuojamos materialiojo taško koordinatės pereinant iš vienos koordinačių sistemos į kitą. Pats transformavimas remiasi

prielaida: kiekvienu momentu ryšys tarp koordinačių ir laiko yra toks, koks jis būtų, jeigu sistemos viena kitos atžvilgiu

nejudėtų. Klasikinėje mechanikoje laikas yra absoliutus, t.y. jo skaitinė vertė vienoda visose atskaitos sistemose. Todėl ir mūsų

atveju t=t'. Praėjus laikui t, nejudančioje sistemoje esančio taško koordinatės bus x, y, z, o judančioje x',y',z'. Jų tarpusavio ryšys

būtų toks :

x = x'+ v0 t ; y = y'; z = z'; t = t';

arba x' = x-v0 t ; y' = y; z' = z; t' = t.

Skaliarines lygtis galima pakeisti viena vektorine:

;''00' 0tvrrr t =t';

arba tvrr 0'

; t' = t.

Užrašytosios formulės vadinamos Galilėjaus transformacijomis.

Klasikinis greičių sudėties dėsnis. Kūno (materialiojo taško)

padėtis erdvėje visada nurodoma kurio nors kito kūno (atskaitos

kūno) atžvilgiu. Tačiau atskaitos kūnu galime pasirinkti bet kurį kūną

ir su juo susieti koordinačių sistemą. Aišku, kad to paties kūno

koordinatės skirtingose koordinačių sistemose bus visiškai skirtingos.

Taigi kūno padėtis reliatyvi: ji skirtinga įvairių atskaitos kūnų ir su

jais susietų koordinačių sistemų atžvilgiu. Tačiau reliatyvi ne tik kūno padėtis, reliatyvus ir pats judėjimas. Panagrinėkime to

paties kūno (vėliavėlės) judėjimą atžvilgiu trijų atskaitos sistemų (3.2 pav.). Viena jų (2) sąlyginai nejuda, kitos dvi juda tiesiai

ir tolygiai nejudančiosios atžvilgiu. Aiškiai matyti, kad vėliavėlės poslinkiai skirtingose atskaitos sistemose yra skirtingi.

Skirtingi yra ir vėliavėlės greičiai. Materialiojo taško greitis nejudančios xyz sistemos (3.1 pav.) atžvilgiu

'' 00 vvrtvdtd

dtrdv

;

čia 0v

– taip vadinamas pernešimo greitis, 'v – materialiojo taško greitis judančios sistemos atžvilgiu. Iš šios formulės seka, kad

greitis yra reliatyvus, t.y. priklauso nuo atskaitos sistemos (3.2 pav.).

Jėgos ir masės sąvokos. Vienų kūnų poveikį kitiems, dėl kurio pasikeičia veikiamųjų kūnų greitis arba jie deformuojasi,

vadiname mechaniniu. Mechaninio poveikio kiekybinis matas yra jėga (vektorinis dydis). Dažnai materialųjį tašką ar kūną

veikia vienu metu keletas jėgų nFFF

,...,, 21 . Jeigu jų visų bendras poveikis toks, kaip ir vienos jėgos F

, lygios atskirų jėgų

geometrinei sumai: nFFFF

21 , tai pastaroji vadinama jėgų atstojamąja.

Materialiųjų kūnų inertiškumo kiekybinis matas yra masė. Skiriama inercinė ir gravitacinė masė. Masė, nusakanti

inertiškumą, vadinama inercine, o susijusi su gravitacija – gravitacine mase. Šiuolaikinių matavimų tikslumu kūno inercinė ir

gravitacinė masės yra lygios.

Impulsas (judesio kiekis). Materialiojo taško impulsas (arba judesio kiekis) yra vektorius, lygus jo masės ir greičio

sandaugai: .vmp

Materialųjį kūną įsivaizduodami kaip materialiųjų taškų visumą, jo impulsą išreiškiame formule: N

iivmp1

.

– 8 –

Antrasis Niutono arba pagrindinis dinamikos dėsnis. Veikiamas jėgos (kelių jėgų atstojamosios) materialusis taškas

įgyja pagreitį. Pagreitis yra tiesiogiai proporcingas jėgų atstojamajai ir atvirkščiai proporcingas taško masei, jei ta masė

nekinta:

Famdtvdm

, arba .mFa

Bendruoju atveju antrasis Niutono dėsnis formuluojamas taip: materialiojo taško impulso kitimo sparta tiesiogiai

proporcinga jį veikiančių jėgų atstojamajai :

.Fvmdtd

dtpd

Paskutiniąją formulę galima užrašyti ir taip:

dtFvmd

,

t.y. materialiojo taško impulso elementarusis pokytis yra lygus jį veikančios jėgos elementariajam impulsui.

Kai masė nekinta, kūno impulso pokytis yra lygus jį veikiančios jėgos impulsui:

tFvm

.

SI jėgos vienetas (niutonas) yra tokia jėga, kuri veikdama 1 kg masės kūną suteikia

jam 1 m/s2 pagreitį.

Trečiasis Niutono dėsnis. Du materialieji taškai veikia vienas kitą vienodo modulio priešingų krypčių jėgomis:

F

21 = F

12.

Šios jėgos viena kitos neatsveria, nes veikia skirtingus kūnus (3.3 pav.).

Mechaninės sistemos judėjimo dėsnis. Vidinės ir išorinės jėgos. Fizikoje materialiųjų taškų ar kūnų grupė vadinama

mechanine sistema. Jėgos, kuriomis tie taškai ar kūnai veikia vienas kitą, vadinamos vidinėmis jėgomis. Jėgos, kuriomis

sistemos kūnus veikia į sistemą neįeinantys kūnai, vadinamos išorinėmis jėgomis. Iš trečiojo Niutono dėsnio seka, kad sistemos

vidinių jėgų geometrinė suma lygi nuliui. Mechaninė sistema, kurios neveikia išorinės jėgos, vadinama uždarąja.

Kietąjį kūną suprantame kaip materialiųjų taškų visumą, mechaninę sistemą – kaip materialiųjų taškų sistemą. Bendruoju

atveju tokios sistemos mi masės materialųjį tašką veikia vidinės ir išorinės jėgos. Pirmųjų atstojamają pažymėkime if

antrųjų –

iF

. Kai greičiai nedideli (vi c ) ir taškų masės nekinta, antrąjį Niutono dėsnį užrašome taip:

iiii fFrmdtd

2

2

;

čia ir

- i-tojo taško padėties vektorius. Mechaninei sistemai antrasis Niutono dėsnis atrodo taip: N N

ii

N

ii fFrmdtd

1 112

2 .

Kadangi vidinių jėgų suma lygi nuliui, tai m N

ii

mrm

dtd

12

2

.F

Pažymėkime .1

C

Nii r

mrm

Cr

reiškia tam tikro taško, vadinamo masių centru, padėties vektorių. Tuomet

;2

2

Famdt

rdm Cc

čia 2

2

dtrd

dtvda CC

C

– masių centro pagreitis, o dtrdv C

C

– masių centro greitis.

Taigi mechaninės sistemos masių centras juda taip, kaip judėtų išorinių jėgų veikiamas materialusis taškas, kurio masė lygi

sistemos masei. Uždarosios sistemos išorinės jėgos neveikia ( 0iF

), todėl ir 0Ca

ir ,constvC

t.y. masės centras juda

tiesiai ir tolygiai arba yra rimties būsenoje. Todėl, pvz., sprogus minai, atskiros jos dalys lekia skirtingomis kryptimis, o masių

centras nejuda.

– 9 –

Impulso tvermės dėsnis. Impulso (judesio kiekio) tvermės dėsnis: uždarosios sistemos impulsas, sistemos viduje vykstant

bet kokiems procesams, yra pastovus.

,constvm ii

čia mi – į sistemą įeinančio i-ojo kūno masė, vi – jo greitis.

Impulso tvermės dėsniu pagrįstas visų reaktyviųjų variklių darbas. Juose degant kurui susidaro didelio slėgio dujiniai

degimo produktai. Dideliu greičiu besiveržiantys pro variklio išmetimo vamzdį – tūtą, jie turi didelį impulsą. Tokio pat modulio,

tik priešingos krypties impulsą įgauna ir pats variklis, sujungtas su raketos korpusu.

Raketos buvo žinomos jau senovės Kinijoje. XVII a. viduryje lietuvis K.Simonavičius pirmą kartą pasaulyje iškėlė

daugiapakopių raketų idėją.

1969 m. amerikiečių raketa "Saturnas V" nugabeno du kosmonautus į Mėnulį. "Saturnas V" – 86 m aukščio 3-ų pakopų

raketa. Pirmosios pakopos penki varikliai išvysto 32 MN traukos jėgą, kas sekundę sudegindami 14 t kuro. Degimo produktai iš

tūtos išsiveržia apie 2,5 km/s greičiu. Kuras – žibalas, oksidatorius – skystas deguonis. Starto masė (su erdvėlaiviu) – 2824 t.

Kintamos masės kūnų dinamika. Iki šiol mes nagrinėjome

kūnų judėjimą, kai jų masė judėjimo metu nekinta. Tačiau taip

būna ne visada. Pavyzdžiui, raketoje esančio kuro degimo

produktai išmetami iš raketos variklio tūtos, ir raketos masė,

degant kurui, mažėja. Gamtoje taip pat dažnai sutinkami atvejai,

kai kūno masė kinta laike: garuojant vandens lašui masė mažėja

(dm/d t < 0 ) arba kondensacijos metu didėja (dm/dt > 0 ).

Paveiksle (3.4a) parodyta sistema, kurios masė m, o masės centras juda greičiu .v Sistemos pradinis impulsas .0 vmp

Po tam tikro laiko dt dalis masės dm atsiskiria (3.4b pav.) ir juda greičiu .1v

Sistemos masė sumažėja, o greitis padidėja.

Dabar sistemos judesio kiekį sudaro dviejų kūnų judesio kiekių suma:

.1vdmvdvdmmp

Nagrinėjamame pavyzdyje ženklai prie dm įvertina tai, kad masės pokytis dm < 0 .

Apskaičiuojame sistemos kūnų impulso pokytį pd

:

.110 vdmddmvvvmdvmvdmvdvdmmpppd

Narys vdmd yra labai mažas, todėl jį galima atmesti. Lieka .1 dmvvvmdpd

Taikome antrąjį Niutono dėsnį:

dt

dmvvvmddtpdF 1

.

Lygtį pertvarkome: .1 dmuvmddmvvvmddtF

Atsiskyrusios dalies ir pagrindinio kūno greičių skirtumas

vvu

1 vadinamas santykiniu (arba reliatyviuoju) greičiu. Tai atsiskiriančių dalelių greitis kūno atžvilgiu. Daliname abi

lygybės puses iš dt ir pertvarkome:

;RFFdtdmuF

dtvdm

čia dtdmuFR

– vadinama reaktyvine jėga.

Jei pašalinės jėgos sistemos neveikia 0F

, tai .RFdtdmu

dtvdm

Taigi išmetant iš kūno dalį masės greičiu 1v

,

atsiranda reaktyvinė jėga, verčianti kūną judėti į priešingą pusę.

– 10 –

3. Kietojo kūno sukamojo judėjimo kinematika ir dinamika

Sukamojo judėjimo samprata. Skiriami du sukamojo judėjimo atvejai: sukimasis apie ašį ir

sukimasis apie tašką (polių). Jeigu bent dviejų besisukančio kūno taškų greičiai lygūs nuliui, reiškia

kūnas sukasi apie ašį, einančią per tuos taškus (Žemė ir kitos planetos, variklių velenai ir t.t.). Kūnas

sukasi apie polių, kai nejuda tik vienas taškas, o visi kiti juda sferų paviršiais (giroskopas).

Sukamasis judėjimas charakterizuojamas posūkio kampu, kampiniu greičiu ir kampiniu pagreičiu

(kinematinės charakteristikos), inercijos bei judesio kiekio momentais ir kinetine energija (dinaminės charakteristikos).

Kampinis greitis ir pagreitis. Sukantis apie pastovią ašį materialiajam kūnui, visi jo taškai (nesantys ašyje) juda

apskritimais plokštumose, statmenose sukimosi ašiai. Sakysime, taškas A brėžia spindulio R apskritimą (2.5 pav.).

Posūkio kampo ir laiko tarpo, per kurį tašką A su sukimosi ašimi jungiantis spindulys pasisuko, santykis vadinamas

vidutiniuoju kampiniu greičiu , o šio santykio riba – kampiniu greičiu:

s

radt

, ir .lim

0 dtd

tt

Kampinio greičio vektorius

(2.6 pav.) nukreiptas išilgai sukimosi ašies (žiūrint vektoriaus

kryptimi, kūnas sukasi pagal laikrodžio rodyklę).

Kūnui sukantis netolygiai, kampinis greitis kinta. Sakysime, dydžiu

kampinis greitis pakito per laiko tarpą t. Santykį

2srad

t

vadiname vidutiniuoju kampiniu pagreičiu, o šio santykio ribą dtd

tt

0

lim vadiname kampiniu pagreičiu.Kampinio

pagreičio vektoriaus kryptis sutampa su kampinio greičio pokyčio

d kryptimi.

Tolygiai kintamai besisukančio taško kampinis greitis ir posūkio kampas išreiškiami taip:

.2

;2

0

0

tt

t

Linijinio ir kampinio greičių ryšys. Per laiko tarpą t (2.5 pav.) taškas A nueina kelią s = R , todėl šio taško linijinio

greičio modulis

.limlimlim000

R

dtdR

tR

tR

tsv

ttt

Matyti, kad besisukančio kūno visų taškų kampiniai greičiai vienodi, o linijiniai, jeigu skirtingi taškų atstumai nuo

sukimosi ašies, nevienodi.

Normalinio ir tangentinio pagreičių modulių ryšys su kampinio greičio ir pagreičio moduliais :

;22

RRvan .

RdtdR

dtRd

dtdva

Sukamojo judėjimo dinamika

Jėgos momentas taško ir ašies atžvilgiu. Jėgos momentas sukamajame judėjime atitinka jėgą

slenkamajame judėjime. Jėgos iF

, veikiančios materialųjį tašką A, momentu laisvai pasirinkto taško O

atžvilgiu vadinamas vektorius iM

, lygus spindulio vektoriaus ir

ir jėgos iF

vektorinei sandaugai (4.1 pav.):

.iii FrM

Mi = riFi sin ( ir

, iF

) = RiFi

– 11 –

Dydis Ri = ri sin ( ir

, iF

), lygus trumpiausiam atstumui tarp taško O ir jėgos veikimo tiesės, vadinamas jėgos petimi taško O

atžvilgiu.

Kietąjį kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas taško O atžvilgiu lygus kūno

atskirus taškus veikiančių išorinių jėgų momentų geometrinei sumai, t. y. iMM

.

Jėgos iF

momentu ašies Oz atžvilgiu vadinamas skaliaras Mzi, lygus jėgos momento iM

bet

kurio šios ašies taško O atžvilgiu projekcijai šioje ašyje (4.2 pav.):

Mzi =( ir iF

)z .

Kai jėgos veikimo tiesė yra lygiagreti ašiai arba ją kerta, jėgos momentas tos ašies atžvilgiu lygus 0. Kelių kietąjį kūną

veikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas lygus jėgų momentų algebrinei sumai, t. y. Mz = ziM . Šis dydis dar

vadinamas sukimo momentu. Jis yra išorinio poveikio, dėl kurio kinta besisukančio kūno kampinis greitis, matas.

Materialiojo taško inercijos momentas. Slenkamajame judesyje kūno inertiškumą nusako jo masė, o sukamajame

judesyje, kaip rodo praktika, inertiškumas priklauso ne tik nuo masės, bet ir nuo to, kaip toli ji išdėstyta nuo sukimosi ašies. Čia

inercijos matas yra inercijos momentas. Materialiojo taško inercijos momentas išreiškiamas kaip taško masės m ir atstumo R iki

sukimosi ašies kvadrato sandauga:

Iz = mR2.

Jo matavimo vienetas yra kilogramas metras kvadratu (kg.m2).

Kietojo kūno inercijos momentas lygus jį sudarančių materialiųjų taškų inercijos momentų sumai:

Iz = m121R + m2

22R +…..+mn

2nR = .2

iiRm

Jeigu kūnas yra vientisas, jo inercijos momentą skaičiuojame taip: visą kūną padalijame į nykstamai mažo tūrio elementus

dV, kurių kiekvieno masė dm=dV ir atstumas iki sukimosi ašies R, taigi inercijos momentas

dVRdmRdIZ22 .

Suintegravę lygybę visu kūno tūriu, gauname kūno inercijos momentą ašies Oz atžvilgiu:

V

Z dVRI 2 .

Matome, kad inercijos momentas labai priklauso nuo ašies padėties ir visada yra nusakomas tam tikros ašies atžvilgiu,

nagrinėjamu atveju – z ašies atžvilgiu. Simetriškų taisyklingos formos kūnų inercijos momentą nesunku apskaičiuoti, ypač kai

sukimosi ašis yra simetrijos ašis ir eina per masės (inercijos, svorio) centrą.

Cilindro centrinis inercijos momentas Ic = mR2, ritinio Irit = 21 mR2, disko Id =

21 mR2, rutulio Ir = 5

2 mR2.

Heigenso ir Šteinerio teorema. Apskaičiuosime inercijos momentą atžvilgiu ašies, neinančios per

kūno masių centrą. Sakysime, yra dvi ašys : O1z1 eina per masės m kūno masių centrą C, o kita, jai

lygiagreti, ašis Oz eina atstumu l nuo pirmosios (4.4 pav.). Tuomet inercijos momentą ašies Oz atžvilgiu

galima apskaičiuoti taip: Iz = Ic + ml2,

čia Ic – inercijos momentas atžvilgiu ašies, einančios per masės centrą.

Gavome Heigenso ir Šteinerio teoremos matematinę išraišką: inercijos momentas bet kokios ašies Oz

atžvilgiu lygus inercijos momentui atžvilgiu jai lygiagrečios einančios per masių centrą ašies O1z1 plius

materialiojo taško (kūno) masės ir atstumo tarp ašių kvadrato sandauga.

Impulso (judesio kiekio) momentas. Materialiojo taško impulso momentu taško O atžvilgiu vadinama materialiojo taško

spindulio vektoriaus ir

ir jo impulso iii vmp

vektorinė sandauga

iiii vmrL

. (*)

– 12 –

Vektorius iL

statmenas vektorių ir

ir ip

plokštumai (4.5 pav.), jo modulis

Li = ri mivi sin )( ii vr . Kietojo kūno impulso momentas lygus jį sudarančių materialiųjų taškų

impulsų momentų sumai: iLL

.

Materialiojo taško impulso momentu ašies atžvilgiu vadinama impulso momento iL

taško O

atžvilgiu projekcija Lzi per jį einančioje ašyje Oz:

ziiizi vmrL

.

Jeigu ašis Oz yra kietojo kūno sukimosi ašis, taško ir kūno impulso momentai atitinkamai lygūs:

Lzi = Ri mi vi = Iziω .

zziz IIL .

Sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinis dėsnis. Lygybę (*) diferencijuojame laiko atžvilgiu:

.iiiiii

iiii vm

dtdrvm

dtrdvmr

dtd

dtLd

Šios lygybės dešiniosios pusės pirmasis narys lygus nuliui, nes ii v

dtrd

, o lygiagrečių vektorių iv

ir iivm

vektorinė

sandauga lygi 0, o antrasis – iF

(pagal antrąjį Niutono dėsnį), todėl

iiii MFr

dtLd

,

čia iM

- jėgų atstojamosios momentas taško O atžvilgiu. Sukantis apie tašką O kietajam kūnui, jo impulso momento išvestinė

laiko atžvilgiu (arba impulso momento kitimo greitis) yra lygi išorinių jėgų atstojamajam momentui:

MdtLd

.

Pastaroji formulė ir yra besisukančio kietojo kūno dinamikos pagrindinio dėsnio matematinė išraiška.

Apie nejudamą ašį Oz besisukančio kūno dinamikos pagrindinio dėsnio matematinę išraišką gauname paskutiniąją formulę

užrašę projekcijomis toje ašyje:

zz M

dtdL

arba zz MIdtd

.

Jei kūno inercijos momentas nekinta, tai žinant, kad d /dt , pagrindinį sukamojo judėjimo dinamikos dėsnį galima

perrašyti taip: .z

z

IM

Impulso (judesio kiekio) momento tvermės dėsnis. Kūno impulso momentas sukimosi taško atžvilgiu nekinta, kai

išorinių jėgų atstojamasis momentas tapatingai lygus nuliui:

Jei 0dtLd

, tai constL

.

Kai kūnas sukasi apie nejudamą ašį Oz:

;0 zz I

dtd

dtdL

Tuomet Lz = ωIz = const.

Besisukančio kūno kinetinė energija. Sakysime, apie nejudamą ašį Oz sukasi kietasis kūnas. Masės mi materialiojo taško,

nutolusio nuo ašies atstumu Ri, kinetinė energija

.222

222 ziiiiiKi

IRmvmW

– 13 –

Paties kietojo kūno kinetinė energija ,22

22 zzikik

IIWW t.y. lygi inercijos momento ir kampinio greičio

kvadrato sandaugos pusei. Riedančio kūno kinetinė energija lygi slenkamojo ir sukamojo judėjimų kinetinių energijų sumai:

.22

22 ImvWk

4. Darbas, energija, gravitacinis laukas Mechaninis darbas. Energija yra universalus kiekybinis visų materijos judėjimo ir sąveikos formų matas. Fizikoje energija

skirstoma į mechaninę (kinetinę ir potencinę ), vidinę, gravitacinę, elektromagnetinę ir kt. Energijos pokyčio matas yra darbas.

Materialųjį tašką veikiančios pastovios jėgos F

darbas lygus tos jėgos ir materialiojo taško poslinkio vektoriaus

r

skaliarinei sandaugai:

rFA

.

Ši formulė tinka ir kietąjį kūną veikiančios jėgos darbui apskaičiuoti. Jeigu tiesiai judantį kūną tuo pat metu veikia kelios

pastovios jėgos, suminis mechaninis darbas apskaičiuojamas taip:

;rFFrrFAA iii

čia iFF

– veikiančių jėgų atstojamoji. Darbo vienetas SI vienetų sistemoje – džaulis (1 Nm = 1 J).

Kintamosios jėgos darbas. Bendruoju atveju gali kisti kaip jėga (kryptis ir modulis), taip ir judėjimo trajektorija. Tokiu

atveju darbui apskaičiuoti trajektoriją padalijame į elementariąsias atkarpėles, kurių ilgiai ds. Šiose atkarpose jėga praktiškai

pastovi, o kelią ds atitinka elementarusis poslinkis rd , kurio modulis drds.

Elementarusis darbas atkarpoje dsi:

dAi = irdF

= Fi-dri -cos(Fi;dri)=Fi dri-cosi = Fi- dsi,

čia F = Fcos - jėgos projekcija trajektorijos liestinės orto kryptyje (5.1 pav.).

Kintamosios jėgos darbas visame kelyje MN išreiškiamas taip:

N

M

dsFA .

Šiam kreiviniam integralui apskaičiuoti reikia žinoti jėgos F priklausomybę nuo s išilgai trajektorijos MN. Iš

paskutiniosios formulės seka, kad jėgos darbas yra teigiamas kai /2 (šiuo atveju jėgos dedamosios F

kryptis sutampa su

greičio vektoriaus v kryptimi). Jeigu > /2, darbas neigiamas, kai /2, darbas lygus nuliui.

Medžiagos dalelių sąveika ir jėgų laukas. Seniai pastebėta, kad vieno kūno mechaninis poveikis kitam gali būti perduotas

ne tik jų kontakto metu, bet ir esant kūnams gana dideliais atstumais vienam nuo kito. Fizikos vystymosi eigoje nutolusių kūnų

sąveika buvo aiškinama laikantis toliveikos, vėliau artiveikos požiūrio.

Toliveikos požiūriu sąveika perduodama akimirksniu ir be tarpininko (A.Amperas, Š.Kulonas ir kt.). Artiveikos požiūriu

(M.Faradėjus, Dž.Maksvelis) sąveika perduodama baigtiniu greičiu ir per tarpininką. Šis tarpininkas fizikoje vadinamas jėgų

lauku. Šiuolaikinės fizikos supratimu jėgų laukas realiai egzistuoja ir, kaip ir medžiaga, yra viena iš materijos formų.

Betarpiškai per lauką perduodama šviesos greičiu makroskopinių kūnų arba dalelių sąveika.

Centrinių jėgų laukas. Lauko stipris. 1687m. I.Niutonas atrado visuotinės traukos arba gravitacijos dėsnį, kurio esmę

išreiškia formulė

;21

rmmGF

– 14 – čia m ir m1 – sąveikaujančių materialiųjų taškų masės, r – atstumas tarp jų, G – gravitacijos konstanta (G = 6,67.10-11 Nm2kg-2).

Jeigu atskaitos tašku pasirinksime pirmąjį materialųjį tašką (koordinačių pradžia), o antrojo padėtį apibrėšime padėties

vektoriumi r

, gravitacijos dėsnis vektoriškai atrodys taip:

;31 r

rmmGF

čia rr

- padėties vektoriaus ortas, jo kryptis priešinga jėgos F

krypčiai.

Su gravitacijos jėga susijęs kūno sunkis ( gmFs

), kuris arti Žemės paviršaus

apytiksliai lygus gravitacijos jėgai:

;3 rr

mmGgm ž

čia mŽ - Žemės masė, g - laisvojo kritimo pagreitis:

rrmGg ž

3 .

Kaip matyti, laisvojo kritimo pagreitis nepriklauso nuo krentančio kūno masės. Pagal artiveikos teoriją, gravitacinis vieno

kūno poveikis kitam perduodamas gravitacijos lauku. Jo šaltinis yra materialusis kūnas arba taškas. Masės m materialiojo taško

sukurtojo lauko savybės:

a) šis laukas bet kur jame esančius masės mi materialiuosius taškus veikia atitinkamomis jėgomis iF

, kurių tęsiniai

susikerta vienam taške, vadinamame jėgų centru;

b) gravitacijos jėgos modulis atvirkščiai proporcingas atstumo iki šio taško kvadratui. Bet koks šiomis savybėmis

pasižymintis laukas vadinamas centrinių jėgų lauku (5.2 pav.).

Bet koks jėgų laukas apibūdinamas lauko stiprumo vektoriumi. Gravitacijos lauko stipris tam tikrame taške moduliu ir

kryptimi lygus jėgai, veikiančiai vienetinės masės kūną : 1m

FE

.

Jeigu vektorius E

nekinta laike

0

tE

, laukas vadinamas stacionariuoju, jei E

yra vienodas visuose lauko taškuose,

laukas vienalytis. Paskutiniąją formulę galima užrašyti kitaip:

,3 rrmGE

o gravitacijos lauko stiprio modulis .2rmGE

Potencialinių jėgų darbas. Sakysime, kad masės m1 materialusis taškas, esantis m masės taško gravitacijos lauke, atlieka

poslinkį rd (5.3 pav.). Gravitacijos jėga atlieka darbą dA:

,cos 21

21 dr

rmmGrd

rmmGrdFdA

čia dr – padėties vektoriaus modulio pokytis. Gravitacijos jėgų darbas kelyje tarp taškų 1 ir 2 :

2

1

;11

122

r

r rrMmG

rdrMmGA

čia r1 ir r2 - materialiojo taško pradinę ir galinę padėtį nusakančių padėties vektorių moduliai. Matyti, kad gravitacijos jėgų

darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos ir kelio ilgio. Šia savybe pasižyminčios jėgos vadinamos potencialinėmis arba

konservatyviosiomis. Perkeliant materialųjį tašką uždara trajektorija, potencialinės jėgos darbo neatlieka. Potencialinės jėgos –

gravitacijos, elektrostatinės, tamprumo, nepotencialinės – trinties, klampumo.

– 15 –

Kinetinė energija ir jos pokytis. Kūno kinetinė energija yra jo mechaninio judėjimo matas. Ji lygi darbui, kuris turi būti

atliktas priverčiant kūną judėti.

Jeigu jėga F

, veikdama nejudantį kūną, priverčia jį judėti greičiu v , ji atlieka darbą. Jėgos veikiamo kūno energija tuo

pačiu padidėja atliktojo darbo dydžiu:

dA = dWk.

Pasinaudojame antrojo Niutono dėsnio skaliarine išraiška, padaugindami abi lygybės puses iš ds:

F = mdtdv ds F ds = m

dtdv ds.

Kadangi F.ds =dA, o dtds = v, tai dA = mv.dv = dWk,

Wk = v

mvdv0

= 2

2mv .

Taigi, m masės ir greičiu v judančio kūno kinetinė energija lygi masės ir greičio kvadrato sandaugos pusei.

Jeigu jėga F

veikia judantį kūną, tai jos atliktas darbas lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui:

A = Wk2 – Wk = Wk.

Energijos kiekį Wk judantis kūnas gauna iš darbą atliekančių kūnų. Taigi, darbas A yra vieno kūno kitam perduodamo

energijos kiekio matas.

Potencinė energija ir jos pokytis. Sakysime, materialusis kūnas yra potencialinių jėgų lauke. Jo padėtį bet kuriame lauko

taške apibūdina tam tikra skaliarinė padėties funkcija Wp ( r

) = Wp ( x,y,z ). Šios funkcijos verčių skirtumas lygus lauko jėgų

darbui, kai materialusis kūnas perkeliamas iš taško 1 į tašką 2 :

Apot = 2

1

rdFpot

= Wp1 – Wp2 = – Wp .

Dydis Wp( r

) turi energijos dimensiją ir vadinamas materialiojo kūno potencine energija. Potencinės energijos nulinis

lygmuo pasirenkamas laisvai (juo dažnai būna Žemės paviršius). Tada į aukštį h pakelto kūno potencinė energija Wp = mgh , o

esančio h* gylio duobėje Wp = -mgh*.

Kūno potencinė energija lygi darbui, atliktam potencialinių jėgų, perkeliančių kūną į nulinį energijos lygį.

Tampriai deformuoto kūno potencinė energija. Potencinės energijos turi ne tik kūnai, esantys kitų kūnų potencialinių

jėgų lauke, bet ir tampriai deformuoti kūnai. Pagal Huko dėsnį, taip deformuotame kūne atsiradusi tamprumo jėga tF

tiesiogiai

proporcinga deformacijos didumui (Ft = ks). Tamprumo koeficientas k, priklausantis nuo kūno medžiagos ir formos, skaitine

verte lygus tokiai tamprumo jėgai, kuri atsirastų vienu ilgio vienetu deformuotame kūne. Nustojus veikti deformuojančiai jėgai,

tamprumo jėgos deformaciją s panaikintų, atlikdamos darbą

.2

2

0 0

ksksdsdsFAs s

t

Jei nedeformuoto kūno Wp0 = 0, tai tampriai deformuoto kūno Wp = A = .2

2ks

Energijos tvermės ir virsmų dėsnis. Mechaninės energijos tvermės dėsnis. Sakysime, materialųjį tašką veikia

potencialinių ir nepotencialinių jėgų atstojamosios pF

ir npF

. Šių jėgų veikiamas taškas pasislenka iš padėties 1 į padėtį 2, o

jėgos atlieka darbą, lygų kinetinės energijos pokyčiui:

Ap + Anp = Wk2 _ Wk1 .

Žinome, kad potencialinių jėgų atliktas darbas lygus potencinių energijų skirtumui:

Ap = Wp1 _Wp2.

Iš dviejų paskutiniųjų formulių gauname :

– 16 –

Wp1 _ Wp2 + Anp = Wk2 _ Wk1 ,

(Wk2 + Wp2) _ (Wk1 + Wp1) = Anp .

Wk1 + Wp1 = W1 ; Wk2 + Wp2 = W2 ;

čia W1 ir W2 _ materialiojo taško pilnutinė mechaninė energija padėtyse 1 ir 2.

Materialiojo taško pilnutinės mechaninės energijos pokytis yra lygus nepotencialinių jėgų atliktam darbui.

Jei materialųjį tašką veikia tik potencialinės jėgos,

W2 _ W1 = 0 arba W2 = W1 = const ,

t.y. jo mechaninė energija nekinta. Žinoma, tiek potencinė, tiek kinetinė energija pakinta, tačiau vienos padidėjimas lygus kitos

sumažėjiimui, todėl pilnutinė mechaaninė energija lieka pastovi.

Uždarąją sistemą sudaro visuma materialiųjų taškų, tarp kurių veikia tik potencialinės jėgos, todėl, analogiškai kaip ir vieno

materialiojo taško, sistemos mechaninė energija nekinta. Tai ir yra mechaninės energijos tvermės dėsnis.

Energijos tvermės ir virsmų dėsnis. Mechaninėje kūnų sistemoje be potencialinių gali veikti ir nepotencialinės jėgos,

pvz., trinties, dėl ko mechaninė energija virsta kitų rūšių, pvz., vidine energija. Eksperimentiškai nustatyta, kad, vykstant

įvairiems gamtos procesams, vienos rūšies energija virsta kitos rūšies energija, o energijos nuostolių nėra. Apibendrinus

eksperimentų rezultatus ir buvo suformuluotas energijos tvermės ir virsmų dėsnis: vykstant bet kokiems procesams izoliuotoje

materialioje sistemoje, pilnutinė sistemos energija nekinta. Vienos materijos judėjimo formos gali virsti kitomis, bet pats

materijos judėjimas yra amžinas kaip ir pati materija.

5. Mechaniniai svyravimai, bangos ir akustikos elementai Svyravimų klasifikavimas. Svyravimu vadinamas judėjimas, pasikartojantis bėgant laikui. Svyruojantis kūnas arba kūnų

visuma vadinama svyravimų sistema. Tokios sistemos pavyzdys yra tampri spyruoklė su prie jos pritvirtintu masės m rutuliuku.

Sistemai nukrypus nuo pusiausvyros padėties, atsiranda tamprumo jėga 1F

, grąžinanti ją į pusiausvyros padėtį. Ši jėga ir kūno

inertiškumas ir yra svyravimo priežastis (8.1 pav.).

Svyravimų sistemą be jėgos 1F

gali veikti aplinkos pasipriešinimo (trinties)

jėga 2F

(jos kryptis visada priešinga svyruojančio kūno greičio krypčiai), gali

veikti ir svyravimus skatinanti jėga 3F

("priverstinė jėga"). Tokiu būdu svyravimų

sistemos dinamikos pagrindinis dėsnis (II Niutono dėsnis) projekcijomis Os ašyje

atrodo taip:

.3212

2

mFFF

mF

dtsd ssss

Priklausomai nuo šių jėgų, skiriami :

a) savieji svyravimai (veikia tik jėga 1F

);

b) laisvieji svyravimai (veikia jėgos 1F

ir 2F

);

c) priverstiniai svyravimai (veikia 1F

, 2F

ir 3F

).

Harmoniniai svyravimai. Harmoniniu vadinamas svyravimas, vykstantis veikiant grąžinančiajai jėgai 1F

, tiesiogiai

proporcingai kūno poslinkiui nuo pusiausvyros padėties (8.1 pav.). Šio svyravimo judėjimo lygtis tokia:

,12

2

smk

mF

dtsd s

čia k - spyruoklės tamprumo koeficientas arba standumas, skaitine verte lygus spyruoklėje atsiradusiai tamprumo jėgai, pastarąją

deformavus ilgio vienetu. Jis priklauso nuo spyruoklės medžiagos ir jos geometrijos. Minuso ženklas rodo, kad tamprumo jėgos

kryptis priešinga deformacijos krypčiai.

– 17 –

Pažymime 20m

k ir perrašome lygtį: .0202

2

sdt

sd

Ši formulė yra laisvųjų harmoninių svyravimų diferencialinė lygtis (tiesinė, nes svyravimų parametrai k ir m nekinta).

Harmoningai svyruojanti tiesinė sistema dar vadinama tiesiniu harmoniniu osciliatoriumi. Svyravimų lygtį tenkinanti funkcija

00cos tss m

vadinama jos sprendiniu. Svyravimų lygties sprendinį galima užrašyti ir kompleksine forma:

);sin()cos(~0000 titss m

čia 1i yra menamas vienetas. Panaudojus Oilerio formulę iei sincos , kompleksinį sprendinį užrašome

eksponentine funkcija: )( 00~ ti

mess .

Dydis sm – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties, vadinamas svyravimų amplitude; kosinuso funkcijos

argumentas 00 t – svyravimų fazė (matuojama kampo vienetais). Fazė laiko momentu t=0, t.y. 0 vadinama pradine faze.

Jos skaitinė vertė priklauso nuo pasirinktos laiko atskaitos pradžios.

Vieno pilno svyravimo trukmė vadinama savuoju periodu (T0), o svyravimų skaičius per laiko vienetą - savuoju svyravimų

dažniu 0f

;1

00 T

f .1

00 f

T

Svyravimų skaičius per 2 sekundžių vadinamas savuoju cikliniu dažniu 0 :

.2 00 mkf

Harmoningai svyruojančio kūno greičio projekcija Os ašyje:

,2

cossincos 0000000

tvtstsdtd

dtdsv mmms

čia mm vs 0 - greičio amplitudė.

Pagreičio projekcija ,coscossin 000020000 tatsts

dtd

dtdva mmm

ss

čia mm as 20 - pagreičio amplitudė.

Kadangi dydžiai s, vs, as kinta sinuso arba kosinuso dėsniu, harmoniniai

svyravimai dar vadinami sinusiniais arba kosinusiniais. Poslinkio, greičio ir

pagreičio projekcijų grafikai pateikti 8.2 paveikslėlyje.

Harmoninio osciliatoriaus kinetinė energija

,sin22 00

220

22

tmsmvtW mk

o potencinė energija

002

220

2

cos22

tsmkstW mp .

Matyti, kad šių energijų maksimalios vertės lygios, o fazės priešingos, kad tiek pW , tiek kW

periodiškai kinta. Harmoninio osciliatoriaus pilnutinė mechaninė energija

.22

2220 mm

pkkssmtWtWW

Fizinė svyruoklė. Matematinė svyruoklė. Fizine svyruokle vadinamas bet koks kietasis kūnas,

– 18 – galintis svyruoti apie nejudamą horizontalią ašį gravitacijos lauke (8.3 pav.). Tokios svyruoklės nukrypimas nuo pastoviosios

pusiausvyros padėties OA apibūdinamas nuokrypio kampu φ. Svyruoklei nukrypus į dešinę, φ laikomas teigiamu, nukrypus į

kairę – neigiamu. Svyravimai vyksta veikiant sunkio jėgos gm

dedamajai 1F

, kurios modulis singmF 1 . F1 vadinama

grąžinančiąja jėga. Kai nuokrypiai yra maži (sin φ ≈ φ), tuomet grąžinančioji jėga tiesiog proporcinga nuokrypiui nuo

pusiausvyros padėties ( gmF 1 ). Jos momentas svyravimų ašies atžvilgiu

LgmLFM 1 ; (1)

čia L - grąžinančios jėgos petys. Minuso ženklas rašomas grąžinančios jėgos projekcijos F1 suderinimui su nuokrypio kampo φ

ženklu. Mažais kampais svyruojančiai svyruoklei pritaikius sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinį dėsnį

zIM ,

gaunama tokia jos svyravimus aprašanti diferencialinė lygtis

zILgm

t2d

d2 , arba 02

zILgm

tdd2 ; (2)

čia 2td

d2 – svyruoklės kampinis pagreitis, o Iz – jos inercijos momentas svyravimo ašies Oz, statmenos brėžinio plokštumai,

atžvilgiu. Iš (2) išplaukia tokia fizinės svyruoklės savojo ciklinio dažnio išraiška zILgm

0 . (3)

LgmIT z

22

0

. (4)

Masės m ilgio L matematinės svyruoklės inercijos momentas 2LmI z , todėl iš (4) jos svyravimų periodas

gLT 2 . (5)

Pabrėžtina, kad (3), (4) ir (5) formulės teisingos tik mažiems svyravimų kampams (kai sin φ ≈ φ).

Vienos krypties svyravimų sudėtis. Kartais tas pats kūnas

atlieka kelis svyravimus išilgai tos pačios tiesės. Atstojamąjį

svyruojamąjį judėjimą patogu atvaizduoti amplitudžių vektorių

metodu. Tam tikslui svyravimas, kurio lygties sprendinys yra

00cos tss m , atvaizduojamas grafiškai amplitudės

vektoriumi. Amplitudės vektorius ms

atidedamas kampu 0 ašies

Os atžvilgiu: teigiamieji kampai atidedami prieš, neigiamieji – pagal

laikrodžio rodyklę. Jeigu vektorių ms

pastoviu kampiniu greičiu, lygiu savajam cikliniam dažniui 0 , suktume prieš laikrodžio

rodyklę, jo projekcija ašyje Os kistų būtent harmoniniu dėsniu 00cos tss m .

Sakykime, kūnas tuo pat metu dalyvauja dviejuose svyravimuose, aprašomuose lygtimis 01011 cos tss m ir

02022 cos tss m .Braižome vektorinę diagramą (8.4 pav.). Atstojamasis svyravimas aprašomas lygtimi

).cos( 0021 tssss m Jo amplitudė, remiantis kosinusų teorema

cos2 212

22

1 mmmmm sssss ,

čia )( 0102 . Pažymėję 0102 , lygtį galime perrašyti taip:

cos2 212

22

1 mmmmm sssss .

Du svyravimai, kurių fazių skirtumas lygus 0 arba kartotinis 2 , vadinami sinfaziniais, jei arba kartotinis nelyginiam

skaičiui , tokie svyravimai vadinami priešingų fazių svyravimais.

– 19 –

Atstojamojo svyravimo pradinė fazė apskaičiuojama pagal formulę:

022011

0220110 coscos

sinsin

mm

mm

sssstg

.

Jeigu sudedami skirtingų dažnių svyravimai, atstojamojo amplitudės vektoriaus

modulis ms ir jo sukimosi greitis laikui bėgant kinta, nes vektoriai 1ms ir 2ms sukasi

skirtingais kampiniais greičiais. Atstojamasis svyravimas šiuo atveju nėra harmoninis

(8.5 pav.).

Sudėkime mažai besiskiriančių dažnių 1 ir 2 vienodų amplitudžių 1ms = 2ms = ms

svyravimus:

tss m 11 cos ; tss m 22 cos .

ttsttssss mm 2cos

2cos2)cos(cos 1212

2121

.

Pirmasis kosinusas kinta lėtai, todėl dydį tsm 2cos2 12 galima laikyti

svyravimo, vykstančio dažniu 2

12 , amplitude. Toks amplitudės kitimas

vadinamas mušimais (8.6 pav.). Laikas tarp dviejų gretimų amplitudės minimumų

vadinamas mušimų periodu mT .

Statmenų harmoninių svyravimų sudėtis. Lisažu figūros. Pirmasis statmenų svyravimų sudėtį aprašė Ž.Lisažu, todėl

dviem statmenomis kryptimis svyruojančio materialiojo taško atstojamojo svyravimo trajektorijos vadinamos Lisažu figūromis.

Sakykime, materialusis taškas M tuo pačiu metu vienodu dažniu 0 svyruoja išilgai ašių Ox ir Oy . Jo nuokrypiai kinta

taip:

;cos 010 txx m

020cos tyy m .

Nuokrypių lygtis pertvarkome taip:

ttxxm

001001 sinsincoscos ; ( 6 )

.sinsincoscos 002002 ttyym

( 7 )

Iš (6) ir (7) lygčių sistemos eliminuojame laiką, kad gautume trajektorijos lygtį:

02012

02012

2

2

2

sincos2 mmmm yx

xyyy

xx . ( 8 )

(8) lygtis – elipsės lygtis. Taigi, sudėję statmenus vienodo dažnio svyravimus, gavome

judėjimą elipse (8.7 pav.). Bendruoju atveju, sudėjus skirtingų dažnių harmoninius svyravimus, atstojamojo judėjimo trajektorija

yra nuolat kintanti sudėtinga kreivė, kurią patogu stebėti oscilografo ekrane.

Slopinamųjų svyravimų diferencialinė lygtis ir jos sprendinys. Jeigu svyravimai vyksta klampioje aplinkoje, be

grąžinančios jėgos 1F

svyruojantį kūną dar veikia klampos jėga 2F

, mažinanti svyravimų energiją, kitaip sakant, slopinanti

svyravimą. Kai svyruojančio kūno greitis nedidelis, ši jėga tiesiogiai proporcinga greičiui. Jos projekcija ašyje Os :

dtdsvF s 2 ,

čia - proporcingumo koeficientas, vadinamas aplinkos pasipriešinimo koeficientu. Antrasis Niutono dėsnis tokiems

svyravimams užrašomas taip:

– 20 –

smk

dtds

mmFF

dtsd ss

212

2

.

Pažymėję 2m

, lygtį perrašome:

02 202

2

sdtds

dtsd ,

čia dydis m2 vadinamas slopinimo koeficientu. Užrašytoji diferencialinė lygtis yra

tiesinė, nes ,,,, 0km laikui bėgant nekinta. Šios lygties dalinis sprendinys yra funkcija

00 cos tess t ,

čia ciklinis slopinamųjų svyravimų dažnis 220 , o dydis tes

0 nusako amplitudės kitimą (mažėjimą) (8.8 pav.).

Kadangi amplitudė mažėja, tokie svyravimai nėra nei harmoniniai, nei periodiniai. Kaip

matyti, jų dažnis mažesnis už savųjų svyravimų dažnį 0 (veikiant klampos ar trinties

jėgoms, mažėja greitis).

Esant pakankamai klampai ar trinčiai, svyravimai gali ir nevykti. Ribinė slopinimo

koeficiento vertė 0 rib (šiuo atveju svyravimas vadinamas aperiodiniu (8.9 pav.).

Dviejų gretimų amplitudžių santykis vadinamas slopinimo dekrementu:

T

Tt

t

km

km ees

esss

1

1

0

0

1,

, ,

o jo natūrinis logaritmas – logaritminiu slopinimo dekrementu :

tess t

km

km

lnln1,

, .

Logaritminis slopinimo dekrementas savo skaitine verte atvirkščias skaičiui periodų per kuriuos amplitudė sumažėja e

kartų.

Priverstinių svyravimų diferencialinė lygtis ir jos sprendinys. Rezonansas. Jeigu svyravimų sistemą veikia visos trys

anksčiau paminėtos jėgos – grąžinanti 1F

, pasipriešinimo 2F

ir periodiškai kintanti priverstinė 3F

, svyravimai vadinami

priverstiniais. Sakykime, kad priverstinė jėga kinta kosinuso dėsniu, t.y. harmoningai:

tFF m cos3

.

Antrasis Niutono dėsnis priverstiniams svyravimams atrodo taip:

.cos3212

2

tmF

dtds

ms

mk

mFFF

dtsd sss

Pasinaudodami anksčiau įvestais pažymėjimais lygtį pertvarkome:

,cos2 0202

2

tFsdtds

dtsd

čia mFF m

0 priverstinės jėgos redukuotoji amplitudė, t.y. jėgos amplitudės dalis, tenkanti svyravimų sistemos masės vienetui.

Paskutinioji lygtis yra nehomogeninė. Iš diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad tokios lygties sprendinys yra slopinamųjų

svyravimų homogeninės lygties bendrojo ir nehomogeninės lygties dalinio sprendinio suma. Pastarasis išreiškiamas taip:

0cos tss m .

Šiuo atveju svyravimų amplitudė gaunama tokia:

– 21 –

222220

0

4

Fsm ,

o priverstinės jėgos bei nuokrypio fazių skirtumas

220

02

tg .

Taigi nusistovėjęs priverstinis svyravimas yra priverstinės jėgos dažniu vykstantis harmoninis svyravimas.

Rezonansas. Pasinaudojame priverstinių svyravimų amplitudės

išraiška ir nubraižome funkcijos fsm grafikus – taip vadinamas

rezonansines kreives (8.10 pav.). Matyti, kad priverstinio svyravimo

amplitudė priklauso nuo priverstinės jėgos dažnio. Esant tam tikram

dažniui, svyravimo amplitudė didžiausia. Reiškinys, kai priverstinių

svyravimų amplitudė padidėja iki didžiausios vertės, vadinamas rezonansu,

o jį atitinkantis priverstinės jėgos dažnis – rezonansiniu dažniu rez . Šis

dažnis atitinka nuokrypio amplitudės išraiškos vardiklio minimumą.

Pošaknio ekstremumuose pirmoji jo išvestinė atžvilgiu lygi nuliui:

;2;2;0

;08422

0322

021

2220

Sprendinys 01 atitinka vardiklio maksimumą, 3 neturi fizikinės prasmės kaip neigiamas dažnis. Belieka tik 2 :

2202 2 rez .

Esant nežymiam slopinimui ( 0 ), 0rez , kitais atvejais 0 . Priverstinių svyravimų amplitudė rezonanso

metu: 22

0

0

2

Fsmrez .

Matyti, kad kai ,0 mrezs . Kai slopinimas didelis, t.y. 20 , rezonanso negaunama.

Tampriosios bangos. Skersinės ir išilginės bangos. Trikdymo sklidimas tampria terpe vadinamas bangavimu. Tampri

terpė yra tokia, kurioje, išnykus išoriniams poveikiams, išnyksta ir jų sukeltos deformacijos. Sklindant bangai, vienų terpės

dalelių svyravimai ir svyravimo energija perduodama kitoms, tačiau pačios dalelės

nepasislenka.

Paslenkant tamprios terpės (pvz., stygos) dalelių sluoksnius lygiagrečiai vienus

kitiems, gaunama šlyties deformacija. Jeigu tai atliekama periodiškai, terpės dalelės,

verčiamos grąžinančių tamprumo jėgų, ima virpėti apie pusiausvyros padėtį. Dėl dalelių

tarpusavio traukos jėgų svyravimai sklinda terpe. Tokia banga vadinama skersine (terpės dalelės svyruoja statmenai bangos

sklidimo krypčiai, žiūr. 8.11 pav.).

Tamprią terpę periodiškai tempiant arba gniuždant (dujas slegiant), terpė

periodiškai tai retėja, tai tankėja. Veikiami priverstinės bei tarpusavio traukos ir

stūmos jėgų terpės sluoksniai periodiškai juda priešingomis kryptimis, t.y. virpa, o

virpesiai sklinda terpe. Tokios bangos, kai terpės dalelės virpa išilgai bangos sklidimo

krypties, vadinamos išilginėmis (žiūr.8.12 pav.).

Išilginės bangos sklinda kietaisiais kūnais, skysčiais ir dujomis, skersinės – kietaisiais kūnais ir skysčių paviršiumi.

Bangos, sklindančios nykstamai mažo storio strypais arba stygomis, vadinamos vienmatėmis, sklindančios erdve –

erdvinėmis, kūno paviršiumi – paviršinėmis. Pagrindiniai bangos parametrai yra bangos ilgis ir bangos periodas T. Bangos

– 22 – ilgis – tai trumpiausias atstumas tarp dviejų dalelių, virpančių ta pačia faze. Bangos periodas T – tai laikas, per kurį aplinkos

dalelė atlieka vieną pilną svyravimą. Per šį laiką, t.y. periodą, banga nusklinda atstumą, lygų bangos ilgiui:

;Tu

čia u – bangos sklidimo greitis. Dydis fT

1 vadinamas bangos dažniu.

Vienmatės ir sferinės bangos lygtys. Sakykime, kad plonas ir ilgas strypas orientuotas

išilgai Ox ašies., o strypo dalelė A, kurios koordinatė x = 0, harmoningai virpinama (8.13

pav.). Dalelės virpesiai, aprašomi lygtimi ,cos omA tss perduodami kitoms dalelėms,

t.y. sklinda strypu greičiu u. Nustatysime dalelės B, kurios koordinatė x, nuokrypį Bs . Šios dalelės virpesiai vėluos dalelės A

virpesių atžvilgiu laiko tarpu ux

. Laiko momentu t dalelės B virpesių fazė bus tokia, kokia buvo A dalelės virpesių fazė laiko

momentu .uxttt

;coscoscos 000

kxts

uxtstss mmmB ( )

čia 2

uk – ciklinis bangos skaičius, skaitine verte lygus 2 ilgio atkarpoje telpančių bangos ilgių skaičiui. Vektorius k

(jo kryptis sutampa su bangos sklidimo kryptimi) vadinamas bangos vektoriumi. ( ) lygtis vadinama vienmatės bangos lygtimi.

Pagal ją gali būti apskaičiuotas bet kurios strypo dalelės nuokrypis bet kuriuo laiko momentu t. Bangos fazė 0 kxt

priklauso ir nuo laiko, ir nuo koordinatės.

Vienalytėje ir izotropinėje terpėje harmoningai virpantis mažų matmenų šaltinis skleidžia sferines bangas. Tokių bangų

paviršiai (geometrinė vieta taškų, virpančių vienoda faze) yra koncentrinės sferos. Terpės dalelių, esančių atstumu r nuo virpesių

šaltinio, virpesių fazė .0 krt

Sferinės bangos amplitudė, tolstant nuo virpesių šaltinio, mažėja atvirkščiai proporcingai atstumui, nes didėja sferinės

bangos fronto plotas ir bangos energija pasiskirsto vis didesniame tūryje. Sferinės bangos lygtis užrašoma taip:

;cos 00 krtrss

čia 0s - bangos amplitudė vienetiniu atstumu nuo šaltinio.

Vienmatės bangos fazė 0 kxt yra koordinatės ir laiko funkcija. Virpančios dalelės, kurios koordinatė x,

svyravimų fazė konkrečiu laiko momentu yra apibrėžta. Laikui bėgant šią apibrėžtą fazę bei ją atitinkantį nuokrypį įgauna vis

kitos terpės dalelės, t.y. apibrėžtoji fazė sklinda. Greitis, kuriuo sklinda fazė, vadinama faziniu greičiu. Jis priklauso nuo terpės

tamprumo ir tankio.

Bangos energija. Sakykime, tankio terpe sklinda plokščioji banga (jos lygtis tokia pati kaip ir vienmatės bangos). Virpa

kiekviena terpės dalelė, todėl terpės elementariajame tūryje dV esanti elementarioji masė dVdm turi kinetinės energijos:

02

2222

sin222

kxtsdV

dtdsdmdmvdW m

K .

Kadangi bangos sklidimas neįmanomas be deformacijos, deformuota terpė turi ir potencinės energijos. Virpančios

elementariosios masės dm potencinė energija lygi jos kinetinei energijai ir kinta tuo pačiu dėsniu. Pilnutinė masės dm mechaninė

energija

0222 sin2 kxtsdVdWdWdWdW mKpK .

Terpės, kuria sklinda banga, tūrio vieneto energija arba energijos tūrinis tankis:

– 23 –

,sin 0222 kxts

dVdWw m

o bangos energijos vidutinis tūrinis tankis

22

21

msw ,

nes sinuso funkcijos kvadrato vidurkis lygus 1/2.

Bangų interferencija. Bangų interferencija vadinama koherentinių bangų sudėtis. Bangos vadinamos koherentinėmis,

jeigu jų pasiektame erdvės taške bangų fazių skirtumas yra pastovus, o virpesių kryptys nėra statmenos. Koherentines bangas

skleidžia koherentiniai šaltiniai.

Sakykime, vienalyte ir izotropine terpe iš šaltinių Š1 ir Š2 sklinda dvi harmoninės bangos.

Šių bangų pradinės fazės ir dažniai skiriasi, tačiau virpesių kryptys yra lygiagrečios. Taške P,

nutolusiame nuo šaltinių atstumais r1 ir r2, bangos persidengia ir susideda (8.14 pav.). Jų lygtys:

.cos

;cos

0222222

0111111

rktssrktss

m

m

Atstojamojo svyravimo taške P amplitudė

,cos2 12212

22

1 mmmmm sssss ( )

čia 12 – virpesių fazių skirtumas:

.010211221212 rkrkt

Iš pastarosios formulės seka, kad, jei bangų cikliniai dažniai vienodi arba labai artimi 21 , fazių skirtumas yra

pastovus (nuo laiko nepriklauso) ir bangos yra koherentinės. Jeigu bangos sklinda ta pačia terpe, cikliniai bangų skaičiai yra

vienodi kkk 21 , todėl bangų fazių skirtumas taške P priklauso tik nuo taško atstumų iki šaltinių Š1 ir Š2 ir pradinių fazių

skirtumo. Iš ( ) seka, kad didžiausia atstojamojo svyravimo amplitudė, t.y. interferencijos maksimumas bus tuose terpės

taškuose, kuriuose bangų fazių skirtumas kartotinis lyginiam :

m212 , (čia m = 0, 1, 2, ...)

Atstojamojo svyravimo amplitudė bus minimali arba išvis lygi nuliui (jei sm1 = sm2) tuose terpės taškuose, kuriuose bangų

fazių skirtumas kartotinis nelyginiam :

,1212 m (čia m = 0, 1, 2, ...)

Tuose terpės taškuose, kuriuose fazių skirtumo vertės bus tarpinės, tarpinės bus ir amplitudžių vertės.

Jeigu interferuojančių bangų pradinės fazės vienodos, t.y. 0102 , interferencijos maksimumo ir minimumo sąlygas

patogu išreikšti bangų nueitų kelių skirtumu. Jei tas skirtumas lygus lyginiam pusbangių skaičiui, gaunamas interferencijos

maksimumas, jei nelyginiam – minimumas:

max: ,2

221mrr (čia m = 0, 1, 2, ...),

min: ,2

1221

mrr (čia m = 0, 1, 2, ...).

Užsiklodamos susideda ir nekoherentinės bangos, tačiau jų atstojamojo svyravimo amplitudė gana sparčiai kinta, todėl

stebėti ar matuoti galime tik vidutinę jos vertę, o atstojamojo svyravimo amplitudės kvadrato vidurkis visuose erdvės taškuose

lygus interferuojančių bangų amplitudžių kvadratų sumai ( žiūr. ), nes funkcijos 12cos vidurkis lygus nuliui:

.22

21

2mmm sss

Stovinčioji banga. Stovinčioji banga yra vienodų amplitudžių koherentinių bangų, sklindančių priešpriešiais,

interferencijos rezultatas:

– 24 –

;cos1 kxtss m ;cos2 kxtss m

.coscos2coscos2coscos21 tkxskxtskxtkxtssss mmm

Stovinčioji banga – tai dažniu ir amplitude kxsm cos2 vykstantys harmoniniai virpesiai. Virpesių amplitudė priklauso

nuo nagrinėjamojo taško koordinatės x. Virpesių amplitudė yra didžiausia (2sm) taškuose, kur

,2

2 mkx (čia m = 0, 1, 2, ...),

o mažiausia (lygi nuliui), kur

,2

12 mkx (čia m = 0, 1, 2, ...).

Pirmieji vadinami stovinčiosios bangos pūpsniais, antrieji – mazgais. Iš paskutiniųjų lygčių galima apskaičiuoti pūpsnių ir

mazgų koordinates.

Bėgančioje bangoje visi terpės taškai virpa vienoda amplitude, bet vėluodami

faze (fazė priklauso nuo koordinatės x ). Visi terpės taškai tarp gretimų stovinčiosios

bangos mazgų virpa ta pačia faze, bet skirtingomis amplitudėmis. Virpesių fazės

abiejose mazgo pusėse skiriasi dydžiu , t.y. yra priešingos.

Stovinčiosios bangos paprastai gaunamos susidėjus bėgančiajai ir

atsispindėjusiajai nuo dviejų terpių skiriamosios ribos bangoms. Jei antroji terpė

tankesnė, atsispindėdama banga keičia fazę į priešingą, ir atspindžio taške būtinai yra

mazgas (8.15 pav.). Jei banga atsispindi nuo retesnės terpės, fazė nesikeičia, ir

atspindžio taške gaunamas pūpsnys (8.16 pav.).

Stovinčioji banga energijos neperneša.

Garso bangos ir jų pagrindinės charakteristikos. Tampriosios bangos, kurių virpesių dažnis apytikriai yra nuo 16 iki

20000 Hz, pasiekusios žmogaus ausį, sukelia garso pojūtį. Tokios bangos vadinamos garso bangomis arba tiesiog garsu. Fizikos

dalis, nagrinėjanti garso bangas, vadinama akustika. Ji nagrinėja garso susidarymą, sklidimą ir priėmimą.

Tampriosios bangos, kurių dažniai mažesni už 16 Hz, vadinamos infragarsu, kurių didesni už 20 kHz – ultragarsu. Nei

infragarsų, nei ultragarsų žmogaus ausis negirdi.

Garsas charakterizuojamas intensyvumu (garso stipriu), tono aukščiu ir tembru. Garso bangos intensyvumą apibūdina

vidutinis pernešamos energijos tankis. Intensyvumas skaitine verte lygus kiekiui energijos, perneštos per laiko vienetą pro

paviršiaus, statmeno bangos sklidimo krypčiai, ploto vienetą. Intensyvumo matavimo vienetas yra 22 mW

smJ

. Intensyvumas –

objektyvioji garso charakteristika. Garso pojūtį sukeliantis minimalus intensyvumas atskiriems žmonėms nėra vienodas. Be to,

žmogaus ausis nevienodai jautri įvairių dažnių garsams (labiausiai jautri 1000÷4000 Hz garsams). Mažiausias intensyvumas,

kuris dar sukelia garso pojūtį, vadinamas girdimumo riba. Pagal tarptautinį susitarimą girdimumo riba priimta laikyti 10-12 W/m2

intensyvumą, esant 1000 Hz dažniui. Kai intensyvumas 10÷102 W/m2, garso banga jau sukelia nebe garso, o skausmo pojūtį.

Toks intensyvumas vadinamas skausmo pojūčio riba, jis taip pat priklauso nuo dažnio.

Konkretaus garso intensyvumo I santykio su girdimumo riba I0 logaritmas vadinamas garsumu:

0

lgIIL ,

t.y. girdimumo ribos garsumas imamas lygus nuliui.

Garsumas yra subjektyvioji garso charakteristika, priklausanti nuo ausies jautrio, jis matuojamas belais. Praktikoje

naudojamas10 kartų mažesnis dydis – decibelas (dB). Išreiškiant garsumą decibelais, paskutinioji formulė užrašoma taip:

dBIILo

,lg10 .

– 25 –

Bangos, sklindančios kokia nors terpe, pvz., pastato siena, intensyvumo sumažėjimas (bangos gesimas) gali būti išreikštas

ta pačia formule:

2

112 lg10

IIL ,

čia I1 – kritusios į terpę, I2 – išėjusios iš terpės bangos intensyvumas. Pvz., bangos gesimas 30 decibelų reiškia, kad

intensyvumas sumažėja 1000 kartų.

Žmogus girdi garsą, kurio garsumas nuo 0 iki 130 decibelų (laikrodžio tiksėjimų garsumas apie 20 dB, tylaus pokalbio – 60

dB, skausmo pojūčio riba – 130 dB).

Kiekvienas garsas susideda iš atskirų harmoninių virpesių, kurių dažniai skirtingi. Šių atskirų garsinio dažnio svyravimų

visuma sudaro garso akustinį spektrą. Kiekvienas garso šaltinis skleidžia jam būdingo akustinio spektro garsą. Garsai, kurių

spektras linijinis (diskretinis), vadinami muzikiniais. Svyravimų dažnis apibūdina garso tono aukštį (toną). Be pagrindinio tono

garso spektre yra virštonių – dažnių, kartotinių pagrindiniam (mažiausiam) šio garso dažniui. Virštonių skaičius ir jų

intensyvumas apsprendžia garso tembrą. Pagal tembrą atskiriame pažįstamų žmonių balsus, muzikinių instrumentų garsus.

Garsai, kurių akustinis spektras ištisinis, vadinami triukšmais (pvz., gatvės ūžesys).

Garso banga dujose – išilginė banga. Jos sklidimo greitis išreiškiamas formule:

MRTv ,

čia V

p

CC

– oro molinių šilumų santykis, R – universalioji dujų konstanta, T – dujų temperatūra, M – molio masė. Garso

greitis dujose nepriklauso nuo garso dažnio ir yra tos pačios eilės dydis, kaip ir molekulių šiluminio judėjimo vidutinysis greitis,

tačiau visuomet truputį mažesnis už jį. Kambario temperatūros ore garso greitis yra apie 340 m/s.

6. Tobulųjų (idealiųjų) dujų fizika Molekulinė fizika – fizikos mokslo šaka, tirianti bet kurios agregatinės būsenos kūnų fizikines savybes juos sudarančių

dalelių sąveikos ir šiluminio judėjimo požiūriu. Jos pagrindinis uždavinys – medžiagos makroskopinių savybių tyrimas,

remiantis mikroskopine jos sandara ir žinant, kad: 1) kūnai sudaryti iš dalelių – molekulių, atomų ar jonų; 2) dalelės nuolat ir

netvarkingai juda; 3) dalelės tarpusavy sąveikauja – stumia ar traukia vienos kitas.

Molekulė – mažiausia stabili medžiagos dalelė, pasižyminti pagrindinėmis tos medžiagos savybėmis. Atomas – mažiausia

cheminio elemento dalelė, sudaryta iš branduolio ir apie jį skriejančių elektronų.

Kiekvieną kūną sudaro daugybė dalelių, pavyzdžiui, 1 cm3 vandens yra apie 3,3⋅1022 molekulių. Todėl pagrindinis

molekulinės fizikos, kaip mokslo, tyrimo objektas yra statistinis. Todėl tik daugelio dalelių sistemai būdingos tokios savybės,

kurios apibūdinamos fizikiniais dydžiais: temperatūra, slėgiu, šiluminiu laidumu, klampa ir pan. Jie išreiškia vidutinį atskirų

molekulių poveikį. Be to, daugelio dalelių sistemai būdingi statistiniai dėsningumai, t. y. tokie priežastiniai ryšiai, kurie tik

tikimybiškai apibūdina galimas būsenas. Tačiau šie dėsningumai ir dėsniai yra objektyvūs ir išreiškia tiriamųjų reiškinių

priežastinius sąryšius.

Termodinamika – fizikos mokslo šaka, tirianti makroskopinių kūnų sistemas šiluminiu požiūriu, nesigilinant į jose

vykstančių reiškinių mikroskopinę prigimtį. Todėl termodinaminis tyrimo metodas taikomas sistemos vienos rūšies energijos

virsmams kitos rūšies energija nagrinėti. Pačią termodinaminę sistemą sudaro visuma makroskopinių kūnų, kurie sąveikauja

tarpusavyje ir su kitais kūnais ir dėl to keičiasi energijos. Sistema, kuri nesąveikauja su išoriniais kūnais ir dėl to nesikeičia su

jais nei energija, nei medžiaga, vadinama izoliuotąja. Pagrindinis termodinaminio metodo tikslas – ištirti termodinaminės

sistemos būseną.

Sistemos būsena.Termodinaminiai parametrai. Būsenos lygtis. Procesas. Sistemos būseną apibūdina makroskopinių

dydžių visuma: slėgis, tūris, temperatūra, savitoji varža, įmagnetėjimas, lūžio rodiklis ir kt. Jos termodinaminę būseną apibūdina

– 26 – termodinaminiai parametrai: slėgis, savitasis tūris ir temperatūra. Termodinaminė būsena yra stacionari, kai visų jos parametrų

vertės laikui bėgant nekinta. Kai visų stacionarios būsenos sistemos dalių parametrų vertės vienodos, tai tokia būsena vadinama

pusiausvirąja. Jei dėl kokių nors priežasčių ši būsena sutrinka, sistema savaime grįžta į pusiausvyrąją būseną. Šis procesas

vadinamas relaksacija. Per relaksacijos trukmę τ termodinaminio parametro nuokrypis nuo pusiausvirosios vertės sumažėja e =

2,72 kartų.

Pusiausviroji būsena p ir V, p ir T ar V ir T būsenos diagramoje vaizduojama tašku

(9.1 pav.). Kai sistema iš vienos pusiausvirosios būsenos pereina į sekančias, sakoma,

kad sistemoje vyksta pusiausvirasis termodinaminis procesas.

Bet kurios būsenos parametrai tarpusavy susieti būsenos lygtimi:

f(p,V,T)=0

Konkretus šių parametrų sąryšis priklauso nuo tiriamojo objekto ir sąlygų.

Pavyzdžiui, idealiųjų dujų būsenos lygtis – Klapeirono lygtis – yra tokia:

RTMmpV ,

čia m – dujų masė, M – jų molio masė, R – universalioji dujų konstanta. Prisiminsime, kad idealiosiomis (tobulosiomis) dujomis

laikomos tos, kurių:

1) molekulių tarpusavio atstumai dideli palyginti su jų matmenimis;

2) molekulės tarpusavy nesąveikauja;

3) molekulės susiduria absoliučiai tampriai ir juda nuo susidūrimo iki susidūrimo tiesiai ir tolygiai.

Molekulinės kinetinės teorijos pagrindinė lygtis. Tarkime, kad stačiakampio gretasienio formos inde yra idealiosios

(tobulosios) dujos. Apskaičiuosime dujų slėgį į ploto S sienelę B, statmeną ašiai Ox (9.2 pav.).

Kiekviena masės m0 molekulė, prieš atsitrenkdama į sienelę B

greičiu 0v

, kurio projekcija Ox ašyje lygi xv0 , turi impulsą 00vm

, o

atšokusi – vm

0 . Kadangi smūgis tamprusis, greičių moduliai lygūs (v

= v0). Molekulės impulso pokytis

ooooo vvmvmvmp

,

o pokyčio projekcija Ox ašyje

xoxoox vmvvmp 2

.

Sienelei perduotas impulsas lygus .2 xovm Molekulių labai

daug, ir kiekviena jų smūgio metu perduoda sienelei tokį patį

impulsą. Per laiką ∆t sienelę pasiekia visos molekulės, esančios tūryje

.Stvx Jų skaičius .StnvnVN x Reikia atsižvelgti į tai, kad

vidutiniškai tik pusė molekulių juda sienelės B link (kita pusė – link sienelės A): .21 StnvN x Visas impulsas, per laiką t

perduotas sienelei B:

.221 2 tSnvmvmStnvp xoxox

Įvertinkime tai, kad ne visos molekulės juda tuo pačiu greičiu xv . Kūno impulso pokytis yra lygus jėgos impulsui:

.2 tFtSnvm xo

Kadangi molekulių greičiai ir impulsai skirtingi, tikslinga naudoti vidutinę jėgą, o ji yra proporcinga ne greičio kvadratui 2xv , o greičio kvadrato vidurkiui 2

xv . Molekulės greičio modulio kvadratas 2222zyx vvvv , o jo vidurkis

9.1 pav. Pusiausvirasis termodinaminis

procesas vaizduojamas kreive 1-2

– 27 –

.2222zyx vvvv

Kadangi molekulės juda chaotiškai, todėl vyraujančių judėjimo krypčių nėra, t.y.

.222zyx vvv

Taigi, 22 3 xvv , arba 22

31 vvx . Sienelę veikiančios vidutinės jėgos impulsas

tSvnmtF o 2

31 , o jėga – SvnmF o 2

31 .

Slėgis, kaip žinome, skaitine verte lygus jėgai, veikiančiai paviršiaus ploto vienetą, todėl dujų molekulių slėgis į sienelę

ko WnvnmS

Fp32

31 2

,

čia kW – vienos molekulės slenkamojo judėjimo vidutinė kinetinė energija. Paskutinioji išraiška vadinama molekulinės

kinetinės teorijos pagrindine lygtimi. Sulyginę dvi slėgio išraiškas, gauname Bolcmano lygtį:

,32

kWnnkTp iš čia kTWk 23

.

Iš jos seka, kad dujų temperatūra tiesiogiai proporcinga molekulės vidutinei kinetinei energijai. Temperatūra, kurioje

molekulės chaotiškojo judėjimo vidutinė kinetinė energija lygi nuliui, vadinama absoliutiniu nuliu. Šioje temperatūroje, pagal

klasikinę fiziką, turėtų išnykti chaotiškasis slenkamasis judėjimas. Iš kvantinės mechanikos seka, kad ir absoliutinio nulio

temperatūroje atomai svyruoja apie pusiausvyros padėtis, kas yra patvirtinta eksperimentais.

Molekulių pasiskirstymas pagal greičio modulius. Maksvelio skirstinys. Pusiausvirosios būsenos dujų molekulių

chaotiškąjį judėjimą bene pirmasis teoriškai ištyrė anglų fizikas Dž.Maksvelis (1831-1879). Jis nustatė, kad dujų molekulių

greičių vertės ganėtinai skirtingos. Pasinaudodamas tikimybių teorija, 1850 m. Maksvelis gavo molekulių pasiskirstymo pagal

greičių modulius dėsnio matematinę išraišką.

Maksvelis įsivaizdavo, kad dujos sudarytos iš didelio skaičiaus n vienodų molekulių. Tarp jų yra dn molekulių, kurių

greičių moduliai yra intervale nuo v iki v+dv. Tada dydis dn/n rodo, kokią viso molekulių skaičiaus n dalį sudaro molekulės,

kurių greičiai yra nuo v iki v+dv. Turėtų būti aišku, kad šis santykinis molekulių skaičius dn/n yra proporcingas greičių intervalo

pločiui dv ir priklauso nuo greičio v, šalia kurio išskirtas intervalas dv:

,dvvfndn

čia f(v) – tam tikra greičio funkcija

ndvdnvf , vadinama molekulių pasiskirstymo pagal greičių modulius funkcija. Jos

matematinė išraiška tokia:

kTvm

oo

evkT

mvf 222/3 2

24

.

Iš jos gauname molekulių skaičių dn

dvenvkT

mndvvfdn kTvm

oo

222/3 2

24

.

Ši išraiška vadinama Maksvelio skirstiniu. Funkcijos f(v) grafikai, atitinkantys skirtingas temperatūras, pateikti 9.3

paveikslėlyje. Iš f(v) formulės seka, kad 0vf , kai 0v ir v , o funkcijos maksimalią vertę atitinka tam tikras greitis

vt, vadinamas tikimiausiuoju. Jo vertė surandama iš funkcijos ekstremumo sąlygos (išvestinė greičio atžvilgiu lygi nuliui):

.222MRT

NmRT

mkTv

Aoot

– 28 –

Jeigu žinomas greičių intervalas dv, pasinaudoję grafiku, galime nustatyti santykinį molekulių skaičių dn/n, kurių greičiai

yra tame intervale. Savo skaitine verte jis lygus užbrūkšniuotam plotui. Iš čia išplaukia, kad ploto, ribojamo pasiskirstymo

funkcija visa kreive, skaitinė vertė lygi 1, t.y.

0

.1dvvf

Maksvelio skirstinys taikytinas ten, kur dalelių šiluminis

judėjimas aprašomas klasikinės nereliatyvistinės mechanikos dėsniais.

Pasinaudoję Maksvelio dėsniu, gautume tokias azoto molekulių greičių

vertes 150 °C temperatūroje: (0÷100 m/s) – 0,6% visų molekulių,

(100÷300 m/s) – 12%, (300÷500 m/s) – 30%, 500÷700 m/s) – 29%,

(700÷1000 m/s) – 23%, virš 1000 m/s) – 5,4%. Apie 59% visų

molekulių greičiai yra (300÷700 m/s) intervale, t.y. tikimiausio greičio

150 °C temperatūroje (500 m/s) srityje.

Statistiniai molekulių greičiai. Molekulinėje kinetinėje teorijoje

be tikimiausio greičio vartojamos dar dvi molekulių greičio sąvokos:

a) vidutinysis greitis MRT

NmRT

mkTv

Aoo 888

;

b) vidutinysis kvadratinis arba šiluminis greitis MRT

mkTvv

o

33~ 2 .

Barometrinė formulė. Bolcmano skirstinys. Tiek išvedant pagrindinę molekulinės kinetinės teorijos lygtį, tiek ir

Maksvelio skirstinį nebuvo įvertintos dujų molekules veikiančios pašalinės jėgos ir manyta, kad užimame tūryje molekulės

pasiskirstę tolygiai. Tačiau bet kokių dujų molekulės yra visų pirma Žemės gravitacijos jėgų lauke. Dėl gravitacijos jėgų iš

vienos pusės ir šiluminio molekulių judėjimo iš kitos pusės didėjant aukščiui virš Žemės paviršiaus tiek oro slėgis, tiek ir

molekulių koncentracija mažėja. Išvesime slėgio priklausomybės nuo aukščio formulę idealizuotam atvejui, kai gravitacijos jėgų

laukas vienalytis, temperatūra pastovi, molekulių masė vienoda.

Jeigu aukštyje h atmosferos slėgis p, tai aukštyje h+dh jis bus p+dp (dp<0, nes didėjant aukščiui slėgis mažėja) (9.4

pav.). Iš čia seka:

gdhdppp )( ,

čia gdh – oro stulpo, kurio aukštis dh, slėgis, – oro tankis (jei dh mažas, tankis

praktiškai vienodas).

gdhdp .

Iš idealiųjų dujų būsenos lygties seka:

RTpM

Vm ,

.

;

dhRTMg

pdp

pdhRTMgdp

Pakitus aukščiui nuo h1 iki h2, slėgis pakinta nuo p1 iki p2, t.y.

2

1

2

1

p

p

h

h

dhRTMg

pdp ;

9.3 pav. Skirstinio funkcijos grafikai dviem skirtingoms

temperatūroms; abi kreivės nesimetriškos vt atžvilgiu

9.4. pav. Atmosferos modelis

h

p+dp

p2

p

p1

dh

h2

h1

– 29 –

121

2ln hhRTMg

pp

;

RThhMg

epp)(

12

12 .

Paskutinioji išraiška vadinama barometrine formule Ji gali būti užrašyta ir taip:

RTMgh

oepp

,

čia po – slėgis jūros lygyje (Žemės paviršiuje). Barometrine formule paremtas aukščio nustatymo prietaisų – altimetrų – veikimo

principas. Iš pagrindinės molekulinės kinetinės teorijos lygties išsireiškę slėgius p bei po ir šias išraiškas įrašę į barometrinę

formulę, gauname tokio pavidalo išraišką:

RTMgh

oenn

,

čia no ir n – molekulių koncentracijos jūros lygyje ir aukštyje h. Iš barometrinės formulės seka, kad temperatūros didėjimas

sąlygoja dujų koncentracijų išsilyginimą visame jų užimame tūryje ., onnT Kai 0,0 nT , t.y. visos molekulės,

veikiamos sunkio jėgos, turi leistis žemyn. Vadinasi, mūsų atmosfera egzistuoja tik dėl molekulių šiluminio judėjimo.

Barometrine formule paaiškinama, kodėl Mėnulis negali turėti atmosferos (gM = 1,6 m/s2), o Marsas turi, bet labai retą (g = 3,8

m/s2).

Bolcmano skirstinys. Bolcmano skirstinio matematinė išraiška gaunama iš barometrinės formulės atlikus keletą

pakeitimų: AAo kNRNmM ; ;

kTW

okT

ghm

o

po

enenn

,

čia ghmW op - molekulės potencinė energija išoriniame potencialinių jėgų lauke. Matyti kad dujų molekulių koncentracija

didesnė ten, kur mažesnė jų potencinė energija. Taigi, veikiant jėgų laukui, dujų molekulės pasiskirsto taip, kad tame erdvės

tūryje, kuriame mažesnė jų potencinė energija, koncentracija būtų didesnė ir atvirkščiai. Koncentracijos priklausomybė nuo

potencinės energijos išreikšta eksponente. Bolcmano skirstinys galioja visoms dalelėms, kurių masės vienodos, o pačios jos juda

chaotiškai stacionariniame potencialinių jėgų lauke kur temperatūra visur vienoda.

Idealiųjų (tobulųjų) dujų vidinė energija. Molekulės laisvės laipsniai. Molekulės vieno laisvės laipsnio energija.

Klasikinėje mechanikoje laisvės laipsniais suprantamas skaičius nepriklausomų kintamųjų (koordinačių), vienareikšmiškai

nusakančių sistemos padėtį erdvėje. Sprendžiant įvairius uždavinius, vienatomė molekulė traktuojama kaip turintis tris

slenkamojo judėjimo laisvės laipsnius materialusis taškas (a pav.). Jo sukamojo judėjimo energija nevertinama

02/

;0;02

2

IWmrIr

suk

.

Dviatomių dujų molekulė klasikinėje mechanikoje traktuojama kaip sistema dviejų materialiųjų taškų, kietai susietų

nesideformuojančiu ryšiu (b pav.). Tokia sistema be trijų slenkamojo judėjimo laisvės laipsnių turi dar du sukamojo judėjimo

laisvės laipsnius (apie ašis Oz ir Ox, nes sukimasis apie ašį Oy neturi prasmės). Taigi, dviatomė molekulė turi 5i laisvės

laipsnius.

Triatomė molekulė (c pav.) kaip ir

daugiaatomė (jei atomai nėra vienoje

tiesėje) turi 6i laisvės laipsnius – tris

slenkamojo ir tris sukamojo. Žinoma,

realiose molekulėse ryšys tarp atomų nėra

visiškai kietas, todėl ten reikia įvertinti ir

svyruojamojo judėjimo laisvės laipsnius.

x

y

z

y

a)

y

x

z

x

z

b) c)

– 30 –

Statistinėje fizikoje laisvės laipsniais suprantami nepriklausomi kintamieji, nusakantys sistemos pilnutinę energiją.

Materialusis taškas gali turėti tiek kinetinės, tiek ir potencinės energijos. Kinetinę energiją apsprendžia trys greičio

komponentės, potencinę – trys jo padėties koordinatės. Taigi, statistinėje fizikoje materialusis taškas apibūdinamas šešiais

laisvės laipsniais. Kadangi idealiųjų dujų atomai tarpusavyje nesąveikauja, potencinės energijos jie neturi, todėl ir statistinės

fizikos požiūriu teturi tris laisvės laipsnius, dviatomė molekulė – penkis (kai ryšys kietas) arba šešis (jei tamprusis).

Idealiųjų dujų atomo vidutinė kinetinė energija kTWk 23

. Kadangi visos judėjimo kryptys lygiavertės (judėjimas

chaotiškas), kiekvienam laisvės laipsniui turi tekti toks pat energijos kiekis:

kTWW kk 2

131 .

Logiška manyti, kad ir sukamojo bei virpamojo judėjimo vienam laisvės laipsniui tenka vidutiniškai toks pat, lygus kT21 ,

energijos kiekis.

Sakysime, tam tikrų idealiųjų dujų molekulės turi tris slenkamojo, ns sukamojo ir nv virpamojo judėjimo laisvės laipsnius.

Remiantis klasikine mechanika, vidutinė molekulės energija gali būti išreikšta taip:

kTinnkTW vs 223

21

,

čia paimta 2nv, kadangi vienam virpamojo judėjimo laisvės laipsniui tenka dvigubai daugiau energijos: vidutiniškai tiek pat

kinetinės ir tiek pat potencinės. Jei tarpatominiai ryšiai kieti (atomai nevirpa), dydis nv lygus nuliui.

Idealiųjų dujų (jų molekulės tarpusavyje nesąveikauja) vieno molio energija

RTikTiNWNU AkAm 22 ,

o bet kokios masės m dujų energija RTiMmUU m 2

.

Molekulės vidutinis lėkis ir susidūrimų dažnis. Dujų molekulės visą laiką chaotiškai juda ir dėl to nuolat vienos su

kitomis susiduria. Nuo vieno susidūrimo iki kito molekulė, lėkdama tiesiai ir tolygiai, nulekia tam tikrą atstumą l, kuris

vadinamas laisvuoju lėkiu. Bendruoju atveju laisvieji lėkiai yra skirtingi, todėl molekulinėje fizikoje naudojama vidutinio

laisvojo lėkio l sąvoka.

Mažiausias atstumas d, iki kurio suartėja susiduriančių molekulių centrai, vadinamas molekulės efektiniu skersmeniu, o

dydis 2d - susidūrimo efektiniu skerspjūviu (nes, patekus į šį plotą bet kurios, jam statmenai judančios molekulės centrui,

molekulės susidurs). Efektinio skersmens didumas priklauso nuo molekulių

greičių, t.y. dujų temperatūros.

Per 1 s molekulė įveikia kelią, lygų vidutiniam greičiu v , ir jeigu

1z - vidutinis vienos molekulės susidūrimų skaičius su kitomis (susidūrimų

dažnis), tai vidutinis laisvasis lėkis

1z

vl

Susidūrimų dažniui nustatyti tarsime, kad visos molekulės yra vienodi d

skersmens rutuliukai, kurie, išskyrus vieną, nejuda. Ši judanti molekulė susiduria tik su tomis, kurių centrai patenka į susidūrimo

efektinį skerspjūvį , t.y. yra viduje „laužyto“ cilindro, kurio skersmuo 2d (9.5 pav.). Taigi, vidutinis susidūrimų dažnis yra

lygus molekulių skaičiui „laužyto“ cilindro tūryje:

.21 vnvdnnVz

Kadangi realiai juda visos molekulės, dėl to vidutinis susidūrimų dažnis yra didesnis 2 kartus:

– 31 –

vnz 2 ,

o molekulės vidutinis laisvasis lėkis mažesnis:

nl

21

.

Taigi, nekintant temperatūrai vidutinis susidūrimų dažnis tiesiogiai, o laisvasis lėkis atvirkščiai proporcingi dujų slėgiui

(normaliosiomis sąlygomis pirmasis yra 1010 s-1 eilės, antrasis 10-7 m eilės).

Kai indo su dujomis matmenys yra mažesni už vidutinį laisvąjį lėkį, molekulės, statistiškai imant, viena su kita

nesusiduria. Tokia dujų būsena vadinama techniniu vakuumu.

7. Termodinamikos pagrindai Dujų savitoji ir savitoji molinė šilumos. Kūno šilumine talpa vadinamas dydis Ck, skaitine verte lygus šilumos kiekiui,

kurį kūnui gavus arba kurio netekus kūno temperatūra pakinta vienu kelvinu:

dTdQCk .

Šiluminė talpa priklauso nuo kūno cheminės sudėties, masės ir šilumos perdavimo proceso pobūdžio.

Šilumos kiekis, kurį gavus arba kurio netekus vieno medžiagos molio temperatūra pakinta vienu kelvinu, vadinama moline

šiluma:

dTdQC

.

Šilumos kiekis, kurį gavus arba kurio netekus medžiagos masės vieneto temperatūra pakinta vienu kelvinu, vadinama

savitąja šiluma:

mdTdQc

.

Kadangi šiluminė talpa priklauso nuo šilumos perdavimo proceso pobūdžio, pastarasis charakterizuojamas pastovaus

tūrioV

V dTdQC

ir pastovaus slėgio p

p dTdQC

molinėmis šilumomis (Cp>CV). Idealiųjų dujų pastovaus tūrio molinė

šiluma RiRTidTdkTiN

dTd

dTdU

dTdQC A

VVV 222

.

Pirmasis termodinamikos dėsnis ir jo taikymas idealiųjų dujų izoprocesams. Energijos tvermės dėsnis, apimantis

šiluminius procesus, vadinamas pirmuoju termodinamikos dėsniu. Jis teigia: termodinaminės sistemos pilnutinės energijos

pokytis ∆W yra lygus gautojo šilumos kiekio Q ir išorinių jėgų atlikto darbo A* sumai: AQW .

Termodinaminės sistemos pilnutinė energija W lygi jos pilnutinės mechaninės ir vidinės energijos U sumai:

UWWW pk .

Dažnai termodinaminėje sistemoje vyksta tik tokie procesai, kuriuose jos pilnutinė mechaninė energija išlieka pastovi. Tada

pilnutinės energijos pokytis lygus jos vidinės energijos pokyčiui, ir pirmasis termodinamikos dėsnis išreiškiamas taip: AQU .

Šilumos kiekiu vadinama energija, perduota termodinaminei sistemai vienu iš šilumos perdavimo būdų (šilumos laidumu,

konvekcija, šilumos spinduliavimu). To paties kūno dalys, aplinka ir kūnas, atskiri kūnai gali perduoti vienas kitam vidinę

energiją, jeigu jų temperatūros yra skirtingos. Toks procesas ir vadinamas šilumos perdavimu.

Praktiniu požiūriu labai svarbi termodinaminė sistema yra šiluminė mašina. Gautąjį šilumos kiekį ji sunaudoja savo vidinei

energijai padidinti ir darbui A atlikti:

– 32 –

AUQ .

Kai sistemai suteikiamas elementarusis šilumos kiekis Q, pirmasis termodinamikos dėsnis užrašomas taip:

AdUQ .

Pirmasis termodinamikos dėsnis yra teisingas kiekvienam šiluminiam procesui, nors procesų vyksmo krypties nenusako.

Dujų plėtimosi darbas. Sakysime, cilindre yra dujos, uždarytos judriu nesvariu ploto S stūmokliu. Besiplėsdamos (pvz.,

jas šildant) dujos paslenka stūmoklį nykstamai mažu atstumu dl (9.6 pav.), atlikdamos elementarųjį mechaninį darbą:

pdVpSdlFdlA .

Pilnasis dujų atliktas darbas, joms pereinant iš būsenos „1“ į būseną „2“, apskaičiuojamas sumuojant elementariuosius

darbus:

2

1

V

V

pdVA .

Šis darbas skaitine verte lygus figūros po procesą atvaizduojančia kreive plotui 121 12 VVS (9.7 pav.). Izochorinio proceso

metu dujos, aišku, darbo neatlieka constV , vykstant izobariniam procesui, darbas tiesiogiai proporcingas tūrio pokyčiui:

VpVVppdVAv

v

)( 12

2

1

.

Vykstant izoterminiam constT procesui:

1

2ln2

1

2

1

2

1VV

MmRT

VdV

MmRTdV

MVmRTpdVA

V

V

V

V

V

V

.

Izochorinis procesas constV . Jeigu termodinaminei sistemai šilumos kiekis suteikiamas izochoriškai, ji nesiplečia ir

darbo neatlieka 0 pdVdA . Tada sistemai suteiktas šilumos kiekis sunaudojamas tik vidinei energijai padidinti:

dTCMmdUdQ V .

Suintegravę gautume tokią išraišką:

12 TTCMmQ V .

Izobarinis procesas constp . Izobarinio proceso metu termodinaminė sisrema (dujos) plečiasi ir atlieka darbą:

2

1

;12

V

V

VVppdVA

9.6 pav. Dujų plėtimosi darbo skaičiavimui 9.7. Darbo grafinis vaizdavimas

p

1

dV 2

V1

p

V V2

F

dl

– 33 –

Atėmę vieną iš kitos Mendelejevo ir Klapeirono lygtis 11 RTMmpV ir 22 RT

MmpV gauname

.1212 TTpR

MmVV

Tuomet dujų plėtimosi darbas 12 TTRMmA .

Iš paskutiniosios lygybės išplaukia universaliosios dujų konstantos R fizikinė prasmė: R skaitine verte lygi 1 molio

idealiųjų dujų atliktam darbui, kai jų temperatūra pakyla 1K. Pirmasis termodinamikos dėsnis izobariniam procesui užrašomas

taip:

1212 TTRMmTTC

MmQ V .

Izoterminis procesas. (T = const). Termodinaminės sistemos (dujų) izoterminio proceso metu atliktas darbas:

2

1

2

1 2

1

1

2 lnlnV

V

V

V ppRT

Mm

VVRT

Mm

VdVRT

MmpdVA .

Kadangi izoterminiame procese termodinaminės sistemos vidinė energija nekinta, visas šilumos kiekis sunaudojamas

darbui atlikti:

2

1

1

lnln 2

ppRT

Mm

VV

RTMmAQ .

Siekiant, kad procesas tikrai būtų izoterminis, besiplečiančioms dujoms reikia perduoti šilumos kiekį, ekvivalentišką

atliekamam darbui.

Adiabatinis procesas. Jo lygtis ir grafikas. Adiabatiniu vadinamas procesas, kuriam vykstant nėra termodinaminės

sistemos šilumos mainų su aplinka 0dQ . Artimi adiabatiniams yra visi greitaeigiai procesai bei procesai sistemose,

apgaubtose šilumai mažai laidžia izoliacija. Pirmasis termodinamikos dėsnis adiabatiniam procesui užrašomas taip:

0 dUA arba dUA ,

t.y. termodinaminė sistema atlieka atlieka darbą savo vidinės energijos sąskaita. Kadangi dTCdU Vm , o pdVA , gauname:

dTCMmpdV V (*)

Išdiferencijavę idealiųjų dujų būsenos lygtį, gauname lygybę

RTMmVdppdV ,

kurią padalijame iš (*):

V

Vp

V CCC

CR

pdVVdppdV

.

Atskyrę kintamuosius ir pažymėję Vp CC / , gauname

VdV

pdp .

Suintegravę 2

1

2

1

p

p

V

V VdV

pdp , gauname

2

1

1

2 lnlnVV

pp

.

Pertvarkome

2

1

1

2

VV

pp arba constVpVp

2211 .

Paskutinioji lygtis vadinama adiabatės arba Puasono lygtimi, -Puasono koeficientu. Adiabatinio proceso diagrama

(adiabatė) Vfp atvaizduojama hiperbole (9.8 pav.). Atkarpa 1-3 atitinka adiabatinį suspaudimą, atkarpa 1-2 – išsiplėtimą.

9.8. pav. Adiabatės ir izotermės grafikai

2

p

V

1

3

Tconst

– 34 – Šio proceso metu atliktas darbas (skaitine verte lygus užbrūkšniuotam plotui) mažesnis, negu izoterminiame procese, nes

dujoms adiabatiškai plečiantis, jos atvėsta, o izoterminio proceso metu temperatūra nekinta.

Dažnai naudojamos ir kitokios adiabatės išraiškos, gaunamos iš idealiųjų dujų būsenos lygties: constpT 1/ ; constTV 1 ; constVT 1/1 .

Šio proceso metu atliktas darbas (skaitine verte lygus užbrūkšniuotam plotui) mažesnis, negu izoterminiam procese. Taip

yra todėl, kad, dujoms adiabatiškai plečiantis, jos atvėsta, o izoterminiam procese temperatūra pastovi.

Karno ciklas ir jo naudingumo koeficientas. Cikliniai procesai. Cikliniu procesu arba ciklu vadiname tokį procesą, kai

termodinaminė sistema po keleto pakitimų sugrįžta į pradinę būseną. Ciklas būsenos diagramose (p,V), (p,T) ir t.t.

atvaizduojamas uždara kreive, o jo pradžia ir pabaiga – tuo pačiu tašku. Termodinaminė sistema, kuri cikliniame procese

pasikeičia energija su kitais kūnais, vadinama darbine medžiaga (dujos,

garai)Sakykime, vykstant cikliniam procesui (žiūr. 9.9 pav.), darbinė medžiaga iš

pradžių plečiasi iki tūrio V2, o po to suspaudžiama iki pradinio tūrio V1. Kad ciklo

metu atliktas darbas būtų teigiamas, kreivė, vaizduojanti plėtimąsi, turi eiti

aukščiau kreivės, vaizduojančios suspaudimą. Vadinasi, plėtimosi metu slėgis, o

kartu ir temperatūra turi būti aukštesni nei suspaudimo metu. Norint šią sąlygą

patenkinti, plėtimosi metu darbinei medžiagai reikia duoti šilumos, o spaudžiant

dalį šilumos atiduos ji pati.

Užrašykime pirmąjį termodinamikos dėsnį ciklo dalims AaB ir BbA. Jei

sistemos vidinės energijos vertes taškuose A ir B pažymėsime U1 ir U2, gausime:

1121 AUUQ ,

čia Q1 – plėtimosi metu termodinaminės sistemos gautas šilumos kiekis, A1 – sistemos atliktas darbas, skaitine verte lygus

figūros AaBV2V1 plotui. Suspaudimo metu (kreivė BbA) pašalinės jėgos sistemos atžvilgiu atlieka darbą A2, o sistema atiduoda

aplinkai šilumos kiekį Q2. Pirmasis termodinamikos dėsnis suspaudimui:

2212 QUUA .

Darbas A2 skaitine verte lygus figūros BbAV1V2 plotui. Ciklo metu atliktas naudingas darbas skaitine verte lygus plotui,

apribotam kreivėmis AaB ir BbA, arba darbų A1 ir A2 skirtumui:

2121 QQAAA .

Matome, kad ne visa ciklo metu gautoji šiluma virsta darbu. Kad šiluminė mašina dirbtų cikliškai, būtina dalį šilumos,

nepavertus jos darbu, atiduoti aplinkai. Šiluminės mašinos darbo efektyvumas apibūdinamas jos naudingumo koeficientu:

1

21

1 QQQ

QA .

Jei šiluminė mašina dirba tokiu pačiu ciklu, tik atvirkščia tvarka, tai darbinė medžiaga plėtimosi metu iš aplinkos paima

šilumos kiekį Q2 , esant žemesnei temperatūrai, o suspaudimo metu atiduoda šilumos kiekį Q1 aplinkai, kurios temperatūra

aukštesnė. Šiuo atveju darbą atlieka pašalinės jėgos dar labiau atšaldydamos žemesnės temperatūros aplinką, kurioje darbinė

medžiaga plečiasi. Tokia mašina vadinama šaldymo mašina arba šaldytuvu. Jos naudingumo koeficientas

21

22

QQQ

AQ

.

Karno ciklas. Idealiosios Karno mašinos naudingumo koeficientas. Norint realizuoti ciklinį procesą, jį reikia sudaryti iš

izoterminių ir adiabatinių procesų, kadangi tik pastarieji yra grįžtamieji. Tokį ciklą pirmasis sudarė S.Karno. Darbine medžiaga

Karno pasirinko idealiąsias dujas. Trumpai panagrinėkime tiesioginį Karno ciklą (9.10 pav.).

b

V1 V2

a

p

V

A

B Q2

Q1

9.9 pav. Ciklinio proceso grafikas

– 35 –

Sakykime, idealiosios dujos yra būsenoje 1: Jų tūris V1, slėgis p1,

temperatūra T1. Paimdamos iš šaltinio, kurio temperatūra taip pat T1,

šilumos kiekį Q1 dujos izotermiškai plečiasi iki tūrio V2. Nesuteikdami

dujoms daugiau šilumos, leiskime joms toliau plėstis adiabatiškai iki tūrio

V3. Šio proceso gale dujų temperatūra sumažėja iki T2. Po to šios

temperatūros dujos izotermiškai suspaudžiamos iki tūrio V4. Suspaudimo

metu aušintuvui jos atiduoda šilumos kiekį Q2. Dar kartą suspaudę dujas

adiabatiškai iki pradinio tūrio V1 gauname grįžtamąjį ciklą, vadinamą

Karno ciklu.

Izoterminiame procese sistemos vidinė energija nekinta (U=const),

todėl visas iš šildytuvo gautas šilumos kiekis Q1 sunaudojamas

besiplečiančių dujų darbui atlikti, pereinant iš būsenos 1 į būseną 2:

1

21121 ln

VVRT

MmAQ .

Adiabatiškai plečiantis (2 – 3), šilumos mainų su aplinka nėra, todėl besiplečiančios dujos darbą atlieka savo vidinės

energijos sąskaita:

122323 TTCMmUA V .

Izotermiškai (T2=const) suslegiamos (3 – 4) dujos atlieka neigiamą darbą ir aušintuvui atiduoda šilumos kiekį Q2<0:

23

4234 ln Q

VVRT

MmA .

Adiabatiškai suslegiamos (4 – 1) dujos vėl atlieka neigiamą darbą, todėl jų vidinė energija ir temperatūra padidėja:

232141 ATTCMmA V .

Darbas, atliktas ciklo metu:

.2123223141342312 QQAQAQAAAAA

Karno ciklo naudingumo koeficientas 1

21

QQQ

.

Pritaikę Puasono lygtį adiabatėms 2–3 ir 4–1, gautume ;132

121

VTVT 142

111

VTVT ; iš to seka, kad 4

3

1

2

VV

VV

.

Tada naudingumo koeficientas 1

21

1

21

4

32

1

21

ln

lnln

TTT

VVRT

Mm

VVRT

Mm

VVRT

Mm

.

Taigi, idealiosios mašinos, dirbančios Karno ciklu, naudingumo koeficientas priklauso tik nuo šildytuvo ir aušintuvo

temperatūrų. Pvz., kai T1 = 400 K, T2 = 300 K, naudingumo koeficientas tik 0,25. Realiųjų šiluminių mašinų naudingumo

koeficientai dar mažesni (dėl trinties, šilumos laidumo ir spinduliavimo).

Grįžtamieji ir negrįžtamieji procesai. Termodinamikos požiūriu visi gamtoje vykstantys procesai skirstomi į

grįžtamuosius ir negrįžtamuosius. Grįžtamieji yra tokie, kuriems pasibaigus, mechaninę arba termodinaminę sistemą galima

atvirkščiu keliu grąžinti į pradinę padėtį per tas pačias tarpines būsenas, aplinkos kūnuose nepaliekant jokių pokyčių. Jeigu tokie

perėjimai atvirkščiu keliu nevyksta arba, procesui pasibaigus, aplinkiniuose kūnuose ar pačioje sistemoje lieka kokie nors

pokyčiai, toks procesas yra negrįžtamas. Visi realiai vykstantys procesai, tiksliai juos vertinant, yra negrįžtamieji, nes visus juos

lydi trintis, šilumos išsisklaidymas ir t.t. Tačiau grįžtamuosius procesus teoriškai nagrinėti verta vien dėl to, kad galima būtų

nustatyti ribas, prie kurių turi artėti visi realūs šiluminiai procesai, kad jų metu naudingu darbu virstų galimai didesnis šilumos

4

T2const

T1const

3

V1 V3

2

p

V

1

V2 V4

9.10 pav. Karno ciklo grafikas

– 36 –

T2

T3*

T2*

T1*

T1

T3

V

a

b

A

B p

9.11 pav.

kiekis. Grįžtamojo proceso pavyzdžiu gali būti laisvieji neslopinamieji svyravimai. Nesunku suprasti, kad kiekvienas

pusiausvirasis procesas yra grįžtamasis. Pavyzdžiui, dujoms izotermiškai plečiantis, joms suteiktas visas šilumos kiekis

eikvojamas mechaniniam darbui atlikti ApdVQ . Ir atvirkščiai, išorinėms jėgoms atliekant darbą A, dujos, izotermiškai

suspaustos iki pradinio tūrio, grąžins tokį patį šilumos kiekį. Grįžtamasis yra ir adiabatinis procesas, vykstantis be šilumos

apykaitos su aplinka.

Antrasis termodinamikos dėsnis. Termodinaminių procesų aprašymui pirmojo termodinamikos dėsnio dažnai nepakanka.

Išreikšdamas energijos tvermės ir virsmų dėsnį, pirmasis termodinamikos dėsnis neleidžia nustatyti termodinaminių procesų,

vykstančių gamtoje, krypties. Pvz., jis neprieštarauja tam, kad šiluma iš šaltesnio kūno savaime pereitų į karštesnį, svarbu tik,

kad nepakistų kūnų sistemos pilnutinė energija.

Termodinaminių procesų vyksmo kryptį nusakantis gamtos dėsnis vadinamas antruoju termodinamikos dėsniu. Jis buvo

suformuluotas analizuojant šiluminių variklių darbą ir jų naudingumo koeficiento padidinimo galimybes. Savo laiku buvo

manančių, kad iš šiluminio variklio pašalinus aušintuvą, niekam nereikės atiduoti šilumos kiekio Q2, ir naudingumo koeficientas

taps lygiu 1. Toks hipotetinis be aušintuvo dirbantis šiluminis variklis buvo pavadintas antrosios rūšies amžinuoju varikliu. Kad

toks variklis egzistuoti negali, pirmasis išvadą padarė N.Karno. Apibendrinus Karno ir kitų patirtį ir buvo suformuluotas antrasis

termodinamikos dėsnis. Kelvino – Planko formuluotė: antrosios rūšies amžinasis variklis egzistuoti negali; t.y. neįmanomas

ciklinis procesas, kurio vienintelis rezultatas būtų iš šildytuvo paimto šilumos kiekio pavertimas jam ekvivalentišku darbu.

R.Klauzijaus formuluotė: šiluma negali pati savaime pereiti iš žemesnės temperatūros kūnų į aukštesnės temperatūros kūnus.

Entropija. Iš grįžtamuoju Karno ciklu dirbančios šiluminės mašinos naudingumo koeficiento išraiškos gauname:

;1

21

1

21

TTT

QQQ

2

2

1

1

TQ

TQ

.

Santykis gauto arba atiduoto šilumos kiekio ir absoliutinės temperatūros, kurioje jis buvo pateiktas, vadinamas

redukuotuoju šilumos kiekiu. Vykstant Karno ciklui, redukuotoji šiluma, gauta plėtimosi metu ir atiduota suspaudimo metu, yra

lygios.

Panagrinėkime laisvai pasirinktą grįžtamą ciklą AaBbA (9.11 pav.). Visų pirma suskaidykime šį ciklą į dalis, išvesdami

adiabates labai arti viena kitos. Jos suskaido ciklą vaizduojančią kreivę į be galo mažas atkarpėles. Per jų vidurį išveskime

izotermes. Tada abi kreivės AaB ir BbA bus sudarytos iš daugelio labai artimų izotermių, kurias ciklo metu praeidama sistema

gauna iš šaltinių, kurių temperatūros T1, T2, ..., Tn, elementariuosius šilumos kiekius dQ1, dQ2, ..., dQn. Kiekvienas plotelis,

ribojamas dviejų gretimų adiabačių ir izotermių, sudaro elementarųjį Karno ciklą, kuriam galima užrašyti:

n

n

n

n

TdQ

TdQ

TdQ

TdQ

TdQ

TdQ ;;

2

2

2

2

1

1

1

1 ;

Sudedame lygčių kairiąsias ir dešiniąsias puses:

n

i i

in

i i

i

TdQ

TdQ

11.

(*)

Vadinasi, redukuotųjų šilumos kiekių suma, vykstant procesui,

nepriklauso nuo būvio keitimosi būdo, bet tik nuo pradinės ir galinės sistemos

būsenų. Iš tikrųjų, tarp taškų A ir B būviui keičiantis pagal punktyrinę liniją, o

iš B į A pagal tą pačią BbA, vėl atlikus tokį patį skaidymą į elementariuosius

Karno ciklus, gautume analogišką lygybę, kurios dešinioji pusė būtų

nepakitusi. Tai rodo, kad redukuotųjų šilumos kiekių suma, pereinant iš A į B

būvį keliu AaB ir AcB yra ta pati, t.y. nuo būvio keitimo būdo nepriklauso. Iš

(*) gauname, kad jei visas ciklas AaBbA grįžtamasis (jį galima išskaidyti į

elementariuosius grįžtamuosius Karno ciklus), tai visam ciklui redukuotasis šilumos kiekis bus lygus nuliui:

– 37 –

011

n

i i

in

i i

i

TdQ

TdQ .

Jei visas ciklas yra negrįžtamasis, tai jo negalėsime išskaidyti į elementariuosius Karno grįžtamuosius ciklus. Jų tarpe bus ir

negrįžtamųjų. Yra įrodyta, kad negrįžtamiesiems ciklams galioja nelygybė:

2

2

1

1

TQ

TQ

arba 02

2

1

1 TQ

TQ ,

čia lygybės ženklas atitinka grįžtamuosius, nelygybės – negrįžtamuosius. Bet kokiam ciklų skaičiui:

01

n

i i

i

TdQ .

Tolygiai kintant sistemos būviui bet kokiu uždaru ciklu, galima laikyti, kad ji keičiasi šiluma su daugybe šilumos šaltinių,

kurių temperatūros tolygiai kinta. Kiekvienas šaltinis atiduoda arba paima iš sistemos elementarųjį šilumos kiekį dQ, todėl

0,T

dQ.

Šis sąryšis vadinamas Klauzijaus lygybe (nelygybe). Buvo parodyta, kad

n

i i

i

TdQ

1, vykstant grįžtamajam procesui tarp

būsenų A ir B, nepriklauso nuo būsenų kitimo būdo. Kitaip sakant, šią sumą apsprendžia tik pradinė ir galinė sistemos būsenos.

Tai rodo, kad ji išreiškia sistemos kažkokios funkcijos pasikeitimą, t.y. tokios funkcijos, kurios vertę apsprendžia sistemos

būsena, panašiai kaip vidinę energiją. Klauzijus šią funkciją pavadino entropija. Taigi, entropijos pasikeitimas, pereinant

sistemai iš būsenos A į B, vykstant grįžtamajam procesui, išreiškiamas taip:

n

i i

iAB T

dQSS1

; arba B

AAB T

dQSS .

Kiekviena kūnų sistemos ar atskiro kūno būsena apibūdinama jos entropija S, kaip ir vidine energija U. Iš paskutiniosios

lygybės galima apskaičiuoti tik entropijos pokytį vykstant atitinkamam procesui. Norint apskaičiuoti absoliutinį dydį, reikia

žinoti jos vertę bent vienoje sistemos būsenoje. Jei ciklinis procesas grįžtamasis, tai entropijos pokytis lygus nuliui. Kuria

kryptimi kinta entropija, vykstant negrįžtamajam procesui? Sakykime, yra procesų ciklas, susidedantis iš grįžtamųjų ir

negrįžtamųjų procesų. Kažkokio proceso pirmoji dalis (A – B) grįžtamoji, o antroji (B – A) negrįžtamoji. Visam ciklui

užrašome:

,0TdQ arba 0

B

A

A

B TdQ

TdQ .

Kadangi pirmoji ciklo dalis vyksta grįžtamai,

AB

B

A

SSTdQ

;

0 A

BAB T

dQSS ; A

BBA T

dQSS . (**)

Kadangi entropija yra sistemos būsenos funkcija, ji priklauso tik nuo pradinės ir galinės sistemos būsenų. Pereinant

sistemai iš būsenos B į A, pokytis lygus SA – SB. Matyti, kad entropijos pokytis (procese B – A jį atitinka kairioji nelygybės (**)

pusė), kai procesas negrįžtamasis, nebus išreikštas nelygybės (**) dešinės pusės integralu, kaip kad būtų reiškiamas, jei procesas

būtų grįžtamasis.

Jei sistema izoliuota, t.y. nesikeičia šiluma su aplinka, dQ = 0, ir SA – SB>0. Taigi, vykstant negrįžtamiesiems procesams

uždaroje sistemoje, jos entropija didėja, vykstant grįžtamiesiems entropija nekinta.

Kadangi visi gamtoje vykstantys procesai yra negrįžtamieji, todėl realiuose procesuose entropija tik didėja. Ši išvada labai

svarbi ir vadinama antruoju termodinamikos dėsniu.

– 38 –

8. Realių dujų savybės ir kondensuotų medžiagų savybės Molekulinės jėgos, molekulių sąveikos

energija. Idealiųjų dujų modelis, naudojamas

molekulinėje kinetinėje teorijoje, tinka ir

realiosioms dujoms, kurių temperatūros nėra

žemos, o slėgiai nėra aukšti. Naudojantis šiuo

modeliu išvedant idealiųjų dujų būsenos lygtį

nevertinami nei molekulių matmenys, nei jų

tarpusavio sąveikos jėgos. Tačiau realiai didinant

dujų slėgį mažėja atstumai tarp molekulių, dėl ko

vis labiau reiškiasi kaip pačių molekulių tūris, taip

ir tarpusavio sąveikos jėgos. Normaliosiomis

sąlygomis (slėgis – 105 Pa, temperatūra – 0 °C) 1

m3 dujų yra apie 2,7·1025 molekulių, kurių savasis tūris apie 10-4 m3. Tačiau jau esant 500 MPa slėgiui molekulių savasis tūris

sudaro apie pusę dujų užimamo tūrio, todėl čia idealiųjų dujų modelis nėra tikslus.

Aprašant realiąsias dujas būtina įvertinti ir tarpmolekulines sąveikos jėgas. Jos pasireiškia, kai atstumai tarp molekulių

mažesni nei 10-9 m. XX a. pradžioje paaiškėjo, kad tarp atomų ar molekulių tuo pat metu veikia kaip traukos (jas sutarta laikyti

neigiamomis), taip ir stūmos (teigiamos) jėgos, kurių moduliai yra atstumo tarp molekulių funkcija (11.1 a pav.). Šių jėgų

moduliai lygūs, esant tam tikram atstumui ro. Kai r<ro, vyrauja stūmos, kai r>ro, traukos jėga, kai r>10-9 m, tarpmolekulinės

jėgos praktiškai neveikia.

Molekulių sąveikos jėgos yra potencialinės, todėl sąveikaujančios molekulės turi potencinės energijos: stūmos potencinė

energija yra teigiama, traukos – neigiama. Dviejų molekulių sąveikos potencinė energija lygi stūmos ir traukos potencinių

energijų algebrinei sumai. Universalios, t.y. visoms molekulėms tinkančios potencinės energijos formulės nėra, tačiau tą

energijos priklausomybę nuo atstumo tarp molekulių gana tiksliai aprašo Lenardo – Džonso formulė:

62

121

ra

raWp ,

čia pirmasis narys išreiškia stūmos, antrasis – traukos potencinę energiją, koeficientai a1 ir a2 priklauso nuo dujų cheminės

prigimties. Potencinės energijos priklausomybė nuo atstumo tarp molekulių centrų pateikta 11.1 b paveiksle. Molekulės

chaotiškojo judėjimo vidutinė kinetinė energija, kaip žinome, tiesiogiai proporcinga dydžiui kT, t.y. temperatūrai. Tokiose

temperatūrose, kuriose kT>>Wpmin, medžiaga yra garų būsenoje, kadangi intensyvus šiluminis judėjimas trukdo molekulėms

susijungti. Kai kT~Wpmin, medžiaga skysta, kai kT<<Wpmin, medžiaga kieta. Taigi, kiekviena medžiaga, priklausomai nuo

temperatūros, gali būti garų, skystoje arba kietoje agregatinėje būsenoje. Temperatūra, kurioje vyksta perėjimas iš vienos

agregatinės būsenos į kitą, priklauso nuo konkrečios medžiagos Wpmin vertės. Pvz., inertinių dujų Wpmin mažos, todėl jos

suskystėja tik labai žemose temperatūrose, daugumos metalų Wpmin vertės didelės, todėl jiems suskystinti reikia aukštų

temperatūrų.

Van der Valso lygtis ir jos izotermės. Aprašant realiąsias dujas, būtina įvertinti kaip

molekulių matmenis, taip ir jų sąveikos jėgas. Dėl viso to idealiųjų dujų modelis bei būsenos

lygtis (pVm=RT) realiosioms dujoms netinka.

Olandų fizikas Van der Valsas, pasinaudojęs idealiųjų dujų būsenos lygtimi bei

įvertinęs dujų molekulių savąjį tūrį ir tarpmolekulines jėgas, išvedė realiųjų dujų būsenos

lygtį. Jei idealiųjų dujų molekulės gali laisvai judėti visame jų užimame tūryje Vm (vieno

molio atveju), tai realiųjų dujų molekulės gali judėti tūryje (Vm–b); čia b – dydis, lygus

viename molyje esančių molekulių keturgubam savajam tūriui. Jeigu inde, pvz., yra dvi

molekulės, kiekvienos jų centras negali priartėti prie kitos molekulės centro mažesniu kaip d atstumu (11.2 pav.). Tai reiškia,

11.1 pav. Molekulių sąveikos jėgų ir energijos priklausomybė nuo atstumo

d

11.2 pav.

– 39 – kad antrosios molekulės centras negali patekti į sferą, kurios spindulys lygus d. Šios sferos tūris lygus aštuoniems vienos

molekulės tūriams. Taigi, vienai molekulei „neprieinamas“ keturgubas jos tūris. Tarp idealiųjų dujų molekulių jokios jėgos

neveikia. Tarp realiųjų dujų molekulių veikiančios traukos jėgos sukelia papildomą, taip vadinamąjį vidinį slėgį. Van der Valso

paskaičiavimais, vidinis slėgis atvirkščiai proporcingas dujų užimamo tūrio kvadratui:

,2mVap

čia a – van der Valso pastovioji, priklausanti nuo tarpmolekulinių traukos jėgų, t.y. dujų rūšies. Įvedęs dvi paminėtas pataisas,

Van der Valsas realiųjų dujų būsenos lygtį vienam moliui užrašė taip:

.2 RTbVVap mm

Būsenos lygtis bet kokiam molių skaičiui ν (ν = m/M, V=νVm) atrodo taip:

,2

2

RTbVV

ap

arba ,/ 22 RTbVVap

čia pataisos a ir b – konkrečių dujų pastoviosios, nustatomos eksperimentiškai. Tam tereikia užrašyti Van der Valso lygtį dviems

žinomoms dujų būsenoms ir išspręsti ją a ir b atžvilgiu.

Išvesdamas šią lygtį, Van der Valsas įvedė keletą supaprastinimų, todėl lygtis nėra labai tiksli. Buvo mėginta užrašyti

tikslesnes realiųjų dujų būsenos lygtis, jų yra virš šimto. Dauguma iš jų gerokai sudėtingesnės, tačiau rezultatų tikslumas ne ką

didesnis, negu kad naudojantis van der Valso lygtimi.

Realiųjų dujų izotermės. Iš Van der Valso lygties vienam moliui

apskaičiavę tūrio priklausomybes nuo slėgio, kai dujų temperatūra pastovi,

gautume realiųjų dujų teorines izotermes arba Van der Valso izotermes (11.3

pav.). Kai dujų temperatūros aukštos (T>Tk), jų forma artima hiperbolei, t.y.

slėgis priklauso nuo tūrio panašiai kaip ir idealiųjų dujų. Temperatūrai

mažėjant, izotermių forma kinta ir, esant krizinei temperatūrai Tk, atsiranda

„persilenkimo“ taškas K – krizinę būseną išreiškiantis taškas. Šiame taške

pasiekiamas toks dujų tankis, kuris nesiskiria nuo suskystintų dujų tankio šioje

temperatūroje. Krizinėje būsenoje išnyksta skirtumas tarp dujinės ir skystos

medžiagos fazių. Krizinės temperatūros izotermė vadinama krizine izoterme, o šią būseną atitinkantys parametrai Vk, pk ir Tk –

kriziniais parametrais (vandens tk = 374,1 ºC, pk = 217·105 Pa). Neatšaldžius dujų žemiau krizinės temperatūros, jokiais slėgiais

negalima jų paversti skysčiu. Žemesnių už Tk temperatūrų Van der Valso izotermės yra sudėtingos, banguotos formos.

Eksperimentinės realiųjų dujų izotermės gan gerai sutampa su Van der Valso izotermėmis tik tada, kai dujų temperatūros

aukštesnės už krizinę. Kai temperatūra žemesnė už krizinę, eksperimentinė p=f(V) priklausomybė (11.4 pav.) artima teorinei tik

dalyje AB, atitinkančioje dujinį būvį, ir dalyje CD, atitinkančioje skystą būvį. Vidurinioji eksperimentinės izotermės dalis yra ne

banguota BFEC, o tiesė BC: taške B dujos pradeda virsti skysčiu (susidaro sotieji garai), o taške C pasiekiama pilna garų

kondensacija (dujos virsta skysčiu). Banguotoji Van der Valso izotermės

dalis atitinka nestabilias realiųjų dujų būsenas (BF – persotintų arba

peršaldytų garų būsena, CE – perkaitinto skysčio būsena). Būsenas, kurias

išreiškia eksperimentinės izotermės atkarpos BF ir CF, galima realizuoti ir

eksperimentiškai, jei suspaudžiamos dujos yra labai švarios, o suspaudimo

ar išsiplėtimo procesai lėti. Taigi, praktiškai nerealizuojamos tik tos

būsenos, kurias atitinka kreivės dalis EF. Šios būsenos dar nestabilesnės –

dujas spaudžiant, jų slėgis ne didėja, o mažėja. Kaip matome, Van der

Valso lygtis aprašo ne tik dujinę, bet ir skystąją medžiagos būseną.

– 40 –

Skysčiai

Slėgis nejudančiame skystyje. Paskalio dėsnis ir Archimedo keliamoji jėga. Mechanikos skyrius, kuriame nagrinėjami

mechaniniai reiškiniai skysčiuose, vadinamas skysčių mechanika (hidromechanika). Jis dar skirstomas į hidrostatiką ir

hidrodinamiką. Hidrostatika – tai mokslas, tyrinėjantis mechaninius reiškinius nejudančiame skystyje. Hidrodinamika tiria

skysčių judėjimą.

Skystis (taip pat ir dujos) pirmiausia skiriasi nuo kietojo kūno tuo, kad nesipriešina šlyties deformacijai. Todėl jis labai

lengvai keičia savo formą, prisitaikydamas prie indo formos. Iš molekulinės fizikos ir termodinamikos skyrių žinome, kad

išorinės jėgos nesunkiai gali keisti dujų tūrį, t.y. dujos pasižymi spūdumu. Skysčių spūdumas labai mažas ir artimas kietųjų kūnų

spūdumui.

Bandant pakeisti skysčio tūrį išorinėmis jėgomis, atsiranda tamprumo jėgos, kurios atsveria išorinį poveikį. Skysčio

tamprumas reiškiasi tuo, kad slegiamo skysčio dalelės veikia viena kitą ir šį poveikį perduoda kūnams, su kuriais liečiasi. Šis

poveikis apibūdinamas skysčio slėgiu.

Jeigu indo, kuriame yra skystis, sienelės elementą dS jo

normalės kryptimi skystis veikia jėga dFn (6.1 pav., a), tai slėgis

yra .dSdFp n

Slėgis – skaliarinis dydis. Jo SI vienetas yra paskalis

(1Pa=1N/1m2).

Toks pat slėgis veikia ne tik indo sieneles, tačiau ir bet kokį elementą skysčio

viduje, tokiame pat gylyje (6.1 pav., b).

Paskalio dėsnis teigia, kad panardintą kūną skystis iš visų pusių slegia vienodai.

Tačiau tai teisinga tik tuo atveju, kai galima nepaisyti vadinamųjų tūrinių jėgų. Pavyzdžiui, gravitaciniame lauke skysčio

slėgis didėja leidžiantis gilyn. Jeigu slėgis skysčio paviršiuje p0, tai gylyje h (6.2 pav.) – p: ;0 hgpp čia ρ – skysčio

tankis, g – laisvojo kritimo pagreitis.

Dėl nevienodo skysčio slėgio skirtingame gylyje atsiranda keliamoji jėga (Archimedo jėga). Archimedo dėsnis teigia, kad

kūną veikianti keliamoji jėga yra lygi kūno išstumto skysčio svoriui.

Skysčio paviršiaus įtemptis. Papildomas slėgis po iškreivintu paviršiumi. Kapiliarumas. Kai skystis liečiasi su kita

aplinka, pavyzdžiui, nuosavais garais, kitu skysčiu ar kietuoju kūnu, jo paviršius yra skirtingose sąlygose negu likusi masė.

Skirtingos sąlygos susidaro todėl, kad skysčio viduje molekules supa to paties skysčio molekulės ir jų sąveikos jėgos

kompensuojasi, o ribiniame sluoksnyje skysčio molekulės susiduria su kitos aplinkos molekulėmis, kurių tankis ir sąveikos

jėgos gali būti visiškai kitokios. Todėl kiekvieną paviršinio sluoksnio molekulę veikiančios jėgos nėra kompensuotos ir jų

atstojamoji veikia arba į skysčio vidų (6.11 pav.), arba į ribinės aplinkos pusę.

Tuo atveju, kai skysčio paviršius ribojasi su jo paties garais, dėl didelio tankių skirtumo visas

paviršiniame sluoksnyje esančias molekules veikia į skysčio vidų nukreipta jėga. Ši jėga didėja einant

paviršinio sluoksnio išorinės ribos link. Todėl, pernešant molekulę iš skysčio gilumos į paviršių, reikia

atlikti darbą.

Atlikto darbo dydžiu padidėja molekulės potencinė energija. Todėl kiekviena skysčio paviršinio

sluoksnio molekulė kitų atžvilgiu turi potencinės energijos perteklių. Šią skysčio paviršinio sluoksnio perteklinę potencinę

energiją Wp vadiname paviršiaus energija.

Kadangi ši energija yra tik paviršiniame sluoksnyje, tai ji tiesiogiai proporcinga paviršiaus plotui

S:

.SWp

– 41 –

Kaip žinome, kiekvieno kūno pastoviąją būseną atitinka minimali potencinė energija, todėl skysčio laisvajame paviršiuje

veikia su juo lygiagrečios jėgos, kurios stengiasi sumažinti to paviršiaus plotą, taip pat ir paviršiaus energiją. šios jėgos primena

tamprumo jėgas, veikiančias įtempus ploną guminę plėvelę. Jas vadiname paviršiaus įtempties jėgomis.

Dėl to formulėje esantis proporcingumo koeficientas σ vadinamas paviršiaus įtempties koeficientu. Iš šios formulės išeina,

kad paviršiaus įtempties koeficientas ( σ =Wp / S) skaitine verte lygus paviršiaus ploto vieneto energijai.

Skysčio laisvojo paviršiaus forma priklauso nuo paviršiaus įtempties jėgų, skysčio sąveikos su jį ribojančio kietojo kūno

sienelėmis ir skystį veikiančios žemės traukos jėgos. Kreivas skysčio paviršius ties indo sienelėmis vadinamas menisku.

Meniską apibūdina ribinis kampas ϑ tarp sušlapintos sienelės ir menisko jų susikirtimo taške (6.12 pav.).

Jeigu ϑ<π/2 (6.12 pav., a), tai sakoma, kad skystis sienelę drėkina, o jei ϑ>π/2 (6.12 pav., b) – skystis sienelės nedrėkina.

Kai indas platus ir skysčio laisvasis paviršius didelis, ribiniai reiškiniai neturi reikšmės. Plonuose, į skystį panardintuose

vamzdeliuose (kapiliaruose) vyksta vadinamieji kapiliariniai reiškiniai. 6.13 paveiksle parodyti du atvejai, kai plonas stiklinis

vamzdelis (kapiliaras) panardintas į vandenį (a) ir į gyvsidabrį (b).

Stiklinį kapiliarą panardinus į vandenį, skysčio paviršius įgyja įgaubtą formą ir pakyla

aukštyn dydžiu h1. Tai reiškia, kad vanduo drėkina stiklą. Gyvsidabrio atveju gaunamas

išgaubtas meniskas ir skystis nusileidžia dydžiu h2. Tai reiškia, kad gyvsidabris stiklo

nedrėkina. P. Laplasas įrodė, kad paviršiaus įtempties jėgos tokį išlenktą paviršių veikia

papildomu slėgiu ∆p, nukreiptu į paviršiaus kreivumo centrą:

;2R

p čia σ – paviršiaus įtempties koeficientas; R – paviršiaus kreivumo spindulys.

Kai kapiliaras apvalus, pasinaudojus Laplaso formule galima apskaičiuoti skysčio pakilimo ar nusileidimo aukštį h. Jei

kapiliare skystis pakyla, jį aukštyn kelia Laplaso slėgio jėga 2σ/R, o žemyn spaudžia skysčio stulpo slėgio jėga ρgh.

Nusistovėjus pusiausvyrai, ,2 ghR

čia ρ – skysčio tankis; g – laisvojo kritimo pagreitis.

Išreiškiame h: .2gR

h

Pernešimo reiškiniai

Judant dujų molekulėms, jos palyginti lėtai pereina iš vieno erdvės taško į kitą, nes, nepaisant didelių greičių, kryptingam jų

judėjimui kliudo nuolatiniai susidūrimai. Tačiau atskirais atvejais kryptingas judėjimas vis tik stebimas ir juo paaiškinami

vadinamieji pernešimo reiškiniai – difuzija, šilumos laidumas, vidinė trintis arba klampa.

Difuzija. Jeigu vienos rūšies dujų molekulių koncentracija vienoje erdvės dalyje skiriasi nuo jų koncentracijos kitoje

dalyje, tai, laikui bėgant, dėl chaotiškojo dujų molekulių judėjimo jų koncentracijos išsilygins. Molekulės iš ten, kur jų

koncentracija didesnė, pereis į erdvės dalį, kur jų koncentracija mažesnė. Sakykime, nagrinėjamųjų dujų molekulių

koncentracija ir tankis kinta išilgai Ox ašies (pav.). Tada pro statmeną ašiai plotelį ∆S per laiką ∆t pereis medžiagos masė

tSx

Dm

, (*)

čia D – difuzijos koeficientas, x

- medžiagos tankio gradientas. Ši

formulė išreiškia Fiko dėsnį. Minuso ženklas rodo, kad medžiaga

pernešama tankio mažėjimo kryptimi. SI vienetų sistemoje difuzijos

koeficientas matuojamas m2/s. Skaitine verte jis lygus medžiagos masei,

perneštai pro ploto vienetą per laiko vienetą esant vienetiniam tankio

gradientui.

<l> 0

S

n1

x

n2

-<l>

– 42 –

Šilumos laidumas. Jeigu dujų sluoksnių temperatūros nevienodos, šiluma iš šiltesnio sluoksnio pereina į šaltesnį. Šilumos

kiekis ∆Q, perneštas pro ploto ∆S paviršių per laiką ∆t yra proporcingas temperatūros gradientui ∆T/∆x:

,tSxTQ

čia λ – šilumos laidumo koeficientas. Skaitine verte jis lygus pro ploto vienetą per laiko vienetą perneštam šilumos kiekiui.

Minuso ženklas rodo, kad šiluma pernešama temperatūros gradientui priešinga kryptimi.

Dujų klampa. Dujų sluoksniams slenkant vienam kito atžvilgiu, tarp jų veikia vidinės trinties arba klampos jėgos modulis

išreiškiama Niutono formule:

,SxvF

čia ∆v/∆x – greičio gradientas, η – dujų dinaminės klampos koeficientas. Skaitine verte jis lygus vidinės trinties jėgai,

veikiančiai paviršiaus ploto vienetą, esant vienetiniam greičio gradientui. Vidinė trintis dujose atsiranda dėl to, kad chaotiškai

judėdamos molekulės perneša judesio kiekį tarp skirtingais greičiais judančių sluoksnių, pagreitindamos lėčiau judantį ir

sulėtindamos greičiau judantį.