-
Graevinski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 zadaci za vjebu | kompleksni brojevi 1
Kompleksni brojeviRazni oblici zapisa kompleksnog broja:z = x +
i y = r (cos j + i sin j) = r eijZadaci:1. Prikazati u
trigonometrijskom obliku kompleksne brojeve z i nacrtati ihu
Gaussovoj ravnini:
a) i3z -= ; b) z = -1 - i; c) z = 3; d) z = -2i;e) z = 5i; f) z
= -4; g)
7cosi
7sin1z p+p+= .
2. Nai produkt kompleksnih brojeva:a) ;
3sini
3cos3z,
6sini
6cos2z 21
p+p=
p+p=
b) .6
sini6
cos4z,3
2sini
32
cos2z 21
p-+
p-=
p+p=
3. Izraunati z1 : z2 ako je:a) ;
32
sini3
2cos
21
z,6
sini6
cos4z 21
p+p=
p+p=b) .
4sini
4cos2z,
3sini
3cos3z 21
p+p=
p+p=
4. Napisati u trigonometrijskom obliku:a)
23i
21
z +-= ; b) 7sini7coszp+p-= .
5. Predstaviti kompleksni broj z u algebarskom obliku:a)
( )i1
12sini
12cos3i
z -
p-p-= ; b)
13
2i
23
z
+-= ; c) 20i1i1
z
-+= .
6. Primjenom Moivreove formule izraunatia) 7
4sini
4cos
p+p , b) 2
6sini
6cos
-
p--
p- ,
i prikazati rezultate u algebarskom obliku.
-
Graevinski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 zadaci za vjebu | kompleksni brojevi 2
7. Primjenom Moivreove formule i Newtonovog binomnog
obrascaizraunati:a) cos 5x i sin 5x preko cos x i sin x;b) cos 6x i
sin 6x.8. Predstaviti u trigonometrijskom i algebarskom obliku (
)100i3z -= .9. Odrediti modul i argument kompleksnog broja
i13i1
z -+= .
10. Nai sve vrijednosti od 3 i .11. Rijeiti jednadbu z6 + 64 =
0. Rezultate prikazati u Gaussovojravnini.12. Izraunati:
a) 3 i22+- ; b) 8 1- ; c) 3i1 + ; d) 5 i1+ .13. Rijeiti
jednadbu:a) z4 + 625 = 0;b) z2 - 24 + 10i = 0; c) z2 + 2(i - z) + 5
- 2i = 0.14. Izraunaj ln z ako je:a) z = 1 + i; c) z = -3;b) z =
7i; d) z = 3 - 4i.15. Odrediti n tako da je 1 1.
1 1
ni+ = - 16. Izraunati vrijednost polinoma ( ) 2 1P z z z= - +
ako je:
a) 1 3 ;2 2
z i= - b) 1 3 .2 2
z i= - +
17. Odrediti ( ) ( )1986 1990f f+ ako je ( ) 1 1 .2 2
n ni if n + - = + 18. Rijeiti sljedeu jednadbu (po nepoznatoj z
x i y= + ):
a) ( ) ( )1 2 5 3 ;i x i y i+ + + = +b) 1 2 ;z z i- = +c) 2
1z i z
z z i - = - = + .
-
Graevinski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 zadaci za vjebu | kompleksni brojevi 3
19. Meu svim kompleksnim brojevima z takvim da je 2z < i( )(
)1 1 0eR z + nai onaj broj kod kojeg je:
a) ( )eR z najvee;b) ( )eR z najmanje;c) ( )mI z najvee;d) ( )mI
z najmanje.
20. Ako je 11 ,2
S z K z i = - - nai:
a) max , ;z z Sb) min , ;z z Sc) ( )( )max arg , ;z z Sd) ( )(
)min arg , .z z S
21. Rijeiti jednadbu: ( )316 1 3 0.1 iz - + =-22. Izraunati: (
)20023 .i+23. Prikazati u trigonometrijskom obliku: 1 sin cos .
7 7z ip p= + +
24. Nai produkt kompleksnih brojeva:1 2
2 22 cos sin 4 2 cos sin3 3 6 6
z i i z ip p p p = + = + .25. Nai kvocijent kompleksnih
brojeva:
1 22 2 22 cos sin cos sin
6 6 2 3 3z i i z ip p p p = + = + .
26. Izraunati: ( )321 .A i= -27. Uvjeriti se da je ( )1 cos sin
2 cos cos sin
2 2 2n n n ni ij j jj j + + = + .
28. Odrediti sve kompleksne brojeve z za koje vrijedi:a) 2;z i
z+ =b) ( ) ( ) ( ) ( )24 4 2 21 , 2 2.2e m e mR z I z R z I z - =
=
-
Graevinski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultetSveuilita u
Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 zadaci za vjebu | kompleksni brojevi 4
29. Odrediti kompleksan broj z iz uvjeta:1,
1z
z=+ .
z iz=
Zatim nai 3 ,z z i ( )rgA z .Rjeenje:
( ) ( )22222
22
22
y1xyx1y1x
yx1
1zz
11z
z ++=+=+++=+=+
( ) -=++=++=+ 12x12xxxy1xyx 222222 .21
x -=
( ) ( ) =-=+=+== xy1ix1-iyyixiyxizziz
z.
21y -=
i.21
21
z --=
Sada je: 2 21 1 1 1 2 22 2 4 4 4 2
z = - + - = + = = , ( )
152
1 42
Arg z arctg p-= =- .
3 3
5 52 22 5 5 2 4 4cos sin cos sin2 4 4 2 3 3
k kz i z i
p pp pp p + + = + = + .
30
31
32
2 5 5cos sin , 0;
2 12 12
2 13 13cos sin , 1;
2 12 12
2 21 21cos sin , 2.
2 12 12
z i k
z i k
z i k
p p
p p
p p
= + = = + = = + =
