36

KÜÇÜK TİTREŞİMLER

A) HARMONİK OSİLATÖRLER

B) LAGRANGE FONKSİYONU

C) MATRİS GÖSTERİMİ

D) TİTREŞİM FREKANSLARI

E) ÖRNEKLER

F) SONLU GRUPLAR VE TEMSİLLERİ

G) METOT

H) ÖRNEKLER

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A) HARMONİK OSİLATÖRLER

Çok geniş bir potansiyel sınıfı için, denge noktası etrafında küçük salınımlar harmonik osilatör

karakteri gösterir. 1-Boyutta

2 3

...2! 3!

o o

o o o o o

U x U xU x U x U x x x x x x x

Taylor açılımında, genellikten ayrılmadan 0o

U x seçilebilir, kuvvet, yani

o

U x ise denge noktasında sıfıra eşittir. 'Küçük' salınımlarda ise > 2N için

N

ox x terimleri ihmal edilerek ve

ok U x 'Yay Sabiti' tanımı yapılarak

2

2

o

kU x x x elde edilir. Bu yaklaşımın 3-Boyuta genellemesi

2

2

o

kU r r r biçiminde olacaktır. N adet noktasal kütlenin 1

2

N N

adet 'Yay'la bağlı durumda ve dengede olduğu bir yapının titreşim frekansları, molekül

37

fiziğinin önemli bir konusudur. Böyle bir yapının 3 tane 'Doğrusal Hareket' serbestlik

derecesi yanısıra lineer moleküller için 2 , lineer olmayan moleküller için ise 3 'Dönme'

serbestlik derecesi vardır. Toplam 3N serbestlik derecesinden 5 veya 6 çıkartılarak elde

edilen sayı ise 'Titreşim' serbestlik derecesini verecektir. Yapıları 2-Boyutta incelerken 2

doğrusal hareket, 1 dönme, dolayısıyla 2 3N titreşim; 1-Boyutta ise 1 doğrusal

hareket ve 3N titreşim serbestlik derecesi bulunur.

B) LAGRANGE FONKSİYONU

1

2

N N yay ile bağlı duran N parçacığın Lagrange fonksiyonu, parçacıkların gerçek

uzaklığı i jr r , denge uzaklığı ise

io jor r olmak üzere

2

2

1 , 1

1 2 2

N Nij

i i i j io joi i j

i j

km r r r r r

L

olarak yazılır.

C) MATRİS GÖSTERİMİ

Lagrange fonksiyonunun matris gösteriminde yazılması zahmetli ancak uzun vadede

hesapları çok kolaylaştıran bir işlemdir. İlk olarak denge uzaklıkları ij io jor r

ve denge konumundan sapmalar , , i i io i i ir r olarak

tanımlanır. i ir olduğu için kinetik enerji kolayca

2

1

1. .

2

N

i ii

K E m

olarak yazılır. Potansiyel enerji için ise

38

i j io jo io i jo j io jor r r r r r r r

=ij i j ij

2 2

2 + ij ij i j i j ij

yazılır ve

ij i j

oluşundan yararlanarak önce 2

i j terimi ihmal

edilir, sonra da binom açılımı ile ˆ i j io jo ij i jr r r r

sonucuna ulaşılır. Yeni koordinatlarda Lagrange fonksiyonu

2

2

1 , 1

ˆ 2 2

N Niji

i ij i ji i j

i j

km

L ile verilir. Doğal olarak

kinetik enerji terimi parçacıklar üzerinden, potansiyel enerji terimi ise yaylar üzerinden

toplam yapılarak elde edilecektir. Kinetik enerji terimi matris gösteriminde kolayca

1 1

1 1

1 1

1 1 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 01

0 0 0 0 0 02

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

N N N

N N

N N

N N

m

m

m

m

m

m

olarak ifade edilir. Potansiyel enerji teriminin matris gösterimini elde ederken yavaş ve

kademeli gitmek gerekir. 1-Boyutlu problemlerde i ve j 'inci parçacıklar arasında yer alan

yay'ın potansiyel enerjisi 2 2

ˆ 2

ij

ij i j

k ile verilir. ˆ 1

ij olduğu

39

için de 2 2 22

ij

i i j j

k , veya matris gösteriminde

1 1

1 12

iij

i j

j

k

biçiminde yazılır. 2-Boyutlu problemlerde bu

işlem biraz daha zordur : ˆ ˆ cos , sinij ij ij ij

x y kullanılarak

2 2

ˆ cos sin 2 2

ij ij

ij i j ij i j ij i j

k k

2 2 2 cos 2 2

ij

ij i i j j

k

2 cos sin 2

ij

ij ij i i i j j i j j

k

2 2 2+ sin 2 2

ij

ij i i j j

k ifadesi matris gösteriminde

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos sin cos cos sin

cos sin sin cos sin sin

cos cos sin cos cos sin2

cos sin sin cos sin sin

iij ij ij ij ij ij

iij ij ij ij ij ijij

i i j j

jij ij ij ij ij ij

jij ij ij ij ij ij

k

biçiminde yazılır. Bu gösterimdeki 4 4 matrisin yapısının ij

A AK

A A

olduğu görülmektedir.

D) TİTREŞİM FREKANSLARI

D-Boyutta 1

2

N N adet yay'la bağlı N parçacık probleminin gerektirdiği ND

tane genelleştirilmiş kartezyen koordinat bir vektör olarak

40

1 1 1

N N N biçiminde tanımlanırsa Lagrange

fonksiyonu da 1 1

2 2 L M K olarak yazılır. Bu denklemde

K Mve hermitsel, M ayrıca diyagonaldir. Lagrange fonksiyonundan elde

edilen hareket denklemleri : M K veya 1 M K

olur. Çözüm için exp( ) 0t i t varsayımı yaparak problem

21 0 0 M K özdeğer denklemine indirgenir. Özdeğerlerin benzerlik

dönüşümleri altında değişmezliği kullanılarak

1 12 21

Spektrum SpektrumM K M K M

1 1 1 12 2 2 2

Spektrum SpektrumM K K M A A

elde edilir ve bu özdeğerlerin pozitif olduklarını ve 2 olarak yazılabileceğini garanti

eder. Böylece incelenen yapının frekanslarını, bunlara karşılık gelen 0

özvektörleri de hareket kiplerini verecektir. Gerçek hayat 3-Boyutlu olduğu halde, yapının

izin verdiği durumlarda problemi daha küçük boyutlarda çözmek kolaylık sağlar, ancak bu

durumda gözardı edilen tüm özdeğerler sıfır olur, özvektörlerin ise tecrübe ve sezgi yoluyla

bulunması gerekir.

41

E) ÖRNEKLER

a) 1-Boyutta H2 Molekülü

En kolay örnek diatomik bir molekülün 1-Boyutta incelenmesidir.

11 0 1 1 1 1 , ,

0 1 1 1 1 1 k

m km

M K M K

kullanılarak

2 : 0 ,

1 10 : ,

1 1

km

,

bulunur. Bunlar : doğrusal hareket ve titreşim kipleridir. Göz ardı edilen 4 koordinatı da

içeren 6 6 boyutta bir hesap yapılmış olsaydı 4 tane daha sıfır frekans elde edilecek ve

bunlara karşılık gelen hareketler :

: y yönünde doğrusal hareket

: z yönünde doğrusal hareket

: y ekseni etrafında dönme

: z ekseni etrafında dönme olacaktı.

b) 1-Boyutta CO2 Molekülü ( O == C == O ) :

12

1 1 0

1 1 0

0 0 0

k

K , 23

0 0 0

0 1 1

0 1 1

k

K

42

1 1 0

1 2 1

0 1 1

k

K ,

16 0 0

0 12 0

0 0 16

m

M

1

3 3 0

4 8 448

0 3 3

k

m

M K

11 : 0 , , 16 48

1

0 : 1

1

k km m

11

8 , 0 , 3

1 1

, ,

Göz ardı edilen 6 koordinatı da içeren 9 9 boyutta bir hesap yapılmış olsaydı 6 tane

daha sıfır frekans elde edilecek ve bunlara karşılık gelen hareketler :

: y yönünde doğrusal hareket

: z yönünde doğrusal hareket

: y ekseni etrafında dönme

: z ekseni etrafında dönme

: xy düzleminde 'kanat çırpma' titreşimi 0 !

: xz düzleminde 'kanat çırpma' titreşimi 0 !

43

c) 2-Boyutta Cyclopropane C3 H6 molekülü :

3

1 2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 14

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

m

M

12

1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

k

K

23

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

3 31 10 04 4 4 4

3 33 30 04 4 4 4

3 31 10 04 4 4 4

3 33 30 0 04 4 4 4

k

K

44

31

3 31 10 04 4 4 4

3 33 30 0 04 4 4 4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

3 31 10 04 4 4 4

3 33 30 04 4 4 4

k

K

1

5 3 4 0 1 3

3 3 0 0 3 3

4 0 5 3 1 3

56 0 0 3 3 3 3

1 3 1 3 2 0

3 3 3 3 0 6

k

m

M K yardımıyla

: 0 , 0 , 0

1

0

10 : ,

0

1

0

10

1 3

0 1 , ,

1 3

0 2

1 0

45

: x yönünde doğrusal hareket

: y yönünde doğrusal hareket

: z ekseni etrafında dönme

3 3 6 : , ,

28 28 28

3

1

30 :

1

0

2

k k k

m m m

1 3

3 1

1 3 , ,

3 1

2 0

0 2

Titreşimler :

,

,

46

Göz ardı edilen 3 koordinatı da içeren 9 9 boyutta bir hesap yapılmış olsaydı 3 tane

daha sıfır frekans elde edilecek ve bunlara karşılık gelen hareketler :

: z yönünde doğrusal hareket

: x ekseni etrafında dönme

: y ekseni etrafında dönme olacaktı.

Deneysel sonuçlardan 133

2.65 10 Hz28

k

m ve

136 3.66 10 Hz

28

k

m elde edildiği için C = C bağının yay sabitinin

10.7 Nkm olduğu görülmektedir.

Moleküler titreşimlere 'Grup Teorisi' yoluyla da yaklaşmak ilginçtir.

F) SONLU GRUPLAR VE TEMSİLLERİ

Belli sayıda soyut cebirsel nesne ve bunları birleştiren 'çarpım' adı verilen tek bir işleme

dayalı yapılara 'Grup' denir. n farklı elemandan oluşan bir

, , , ... , G = A B C Z küme'sinin grup olabilmesi için gerekli 4 şart vardır :

47

i) , G GA B A B

ii) 1 G

iii) 1 G GA A

iv) A BC AB C

Özel bir durum olarak, tüm grup elemanlarının AB BA sağladığı durumlarda grup

'Abelyen' olarak adlandırılır.

'Grup Çarpım Tablosu' o grup hakkında bilinebilecek herşeyi içerir. Mesela 3C grubu için

çarpım tablosu

olur; kutu dışı elemanlar ilk satır ve sütunda aynen yer aldığı için ileride bunlar

yazılmayacaktır. Her elemanın, her satır ve sütunda bir ve sadece bir kere yer alması

gerektiği kolayca gösterilebilir. Grubun, tüm benzerlik dönüşümleri altında aynı kalan alt

kümelerine 'Sınıf' adı verilir. Grubun i

g elemanını içeren c

n elemanlı bir sınıf

c in g olarak gösterilir. Soyut grup elemanlarını kare matrislerle temsil etmek, somut

hesaplar yapabilmek açısından önemlidir. Her elemana aynı benzerlik dönüşümü

uygulanınca çarpım tablosu aynı kalacağı için sonsuz adet temsil vardır. Fizik problemlerinde,

normları aynı bıraktıkları için üniter temsiller tercih edilir, ancak bunlardan da sonsuz adet

vardır. Matrislerin 'İz' leri benzerlik dönüşümleri altında aynı kaldığı için, temsil matrislerini

'İz'leri ile etiketlemek sınıflandırma işlemini en basite indirger. Doğal olarak belli bir sınıfın

1 A B

1 1 A B

A A B 1 B B 1 A

48

temsillerinin izleri aynıdır. Grup temsilinin Sınıf'larını ve bunların İz'lerini sergileyen tabloya

'Karakter Tablosu' denir. 'İndirgenemez Temsil' sayısı, 'Sınıf' sayısına eşittir, dolayısıyla

karakter tablosu kare bir tablodur. c adet sınıftan oluşan n elemanlı bir grubun

indirgenemez temsillerinin boyutları olan id sayıları,

2

1

c

ii

d n

denklemini

sağlar. Abelyen gruplarda her bir eleman kendi başına bir sınıf oluşturduğu için tüm temsiller

1-Boyutludur. Karakter tablosu c c kare bir X matrisi olarak alınıp, C diyagonal

matrisi ise

c i

i j i j

nC

n olarak tanımlanınca elde edilen

X C X C X X 1 denklemleri karakter tablosunun inşa edilmesinde ve

doğrulanmasında yararlı olur. Geleneksel olarak ilk temsil : 1

R , 1-Boyutludur ve sadece

1 'lerden oluşur.

G) METOT

Titreşimler konusuna grup teorisi yönünden yaklaşmak bize sadece hareket kiplerini verir,

zira incelenen yapının geometrisi ve simetrileri, kiplerle yakından ilintilidir. Ancak simetri

gruplarının dinamik içeriği olmadığı için frekansları bu yolla elde etmek imkansızdır.

Titreşim kiplerinin saptanması analizine geçmeden notasyon hakkında bir uyarı : konunun

tüm vektörleri satır vektörü olacağı için kısaca V olarak yazılacak, TV gösterimine

gerek duyulmayacaktır.

Metodun ana hatları ve adımları :

i) D-Boyutta, N parçacığın oluşturduğu yapıyı aynı bırakan işlemlerin saptanıp, simetri

grubunun çarpım tablosu oluşturulur,

49

ii) Sınıflar saptanır, C ve X matrisleri oluşturulur,

iii) Bu işlemler zincirinin en zor halkası ND ND boyutlu 'Kartezyen' indirgenebilir

temsilinde Sınıf'ların İz'lerini sergileyen bir Z vektörünün inşasıdır. Bu işlem iki

kademede gerçekleştirilir. Önce simetri işlemlerinde kaç parçacığın yerinde kaldığını belirten

Y vektörü bulunur; doğal olarak bunu her Sınıf'ın sadece bir elemanı için yapmak yeterli

olur. Sonra da, yer değiştiren parçacıklar katkı vermeyeceği için sadece yerinde kalan

parçacıklar için, gene her Sınıf için bir tane, simetri işlemlerinin D D boyutlu Yerel

Kartezyen koordinatlarının dönüşüm matrislerinin İz'leri alınır. İz'lerin vektörü K olarak

isimlendirilip * i i i

Z Y K tanımı yapılır.

iv) 1

W Z W Z W Z X X C X formülü

kullanılarak c-Boyutlu bir W : 'Ağırlık' vektörü oluşturulur,

v) Ağırlık vektöründen Doğrusal Hareket ve Dönme'lere ait temsiller düşülerek Titreşim

temsilleri elde edilir ve titreşim kipleri canlandırılır.

Bu adımlar düşük boyutlarda, basit yapılar için anlamsız gözükse de 3-Boyutlu karmaşık

yapılarda vazgeçilmez olacakları için titizlikle uygulanmalıdır.

D -Boyutta, N parçacığın ND serbestlik derecesi olacaktır. Bu sayıdan, D-Boyutta

Doğrusal hareket ve Dönmelerden oluşan Euclid grubu E D 'nin 1

2

D D adet

serbestlik derecesi düşülünce, titreşimler için 2 1

# 2

V

D N D sayısına inilir. Ancak

50

3-Boyutta dönme serbestlik derecelerinin kuantum mekaniğinden kaynaklanan bir özelliğini

de hesaba katmak gerekir: açısal momentumun 'dan küçük değerler alamaması yüzünden

atomların bir doğru üzerinde yer aldığı moleküllerde bir dönme serbestlik derecesi eksik kalır

ve bu da 3D için titreşimlere ilave olur ve # 3 5V

N elde edilir. Buna göre:

1-Boyut # 1 V

N 2# 2

VCO , 2

# 1V

H

2-Boyut # 2 3 V

N 2# 3

VCO , 2

# 1V

H

3-Boyut ( Genel ) # 3 6 V

N 2# 3

VH O , 3

# 6V

NH

3-Boyut ( Doğrusal ) # 3 5 V

N 2# 4

VCO , 2

# 1V

H

H) ÖRNEKLER

a) 1-Boyutta 2

H :

i) Grup ve çarpım tablosu

1 2 : x x 1 : Özdeşlik

2 1: x x P : Yansıma

Çarpım Tablosu :

1 P

P 1

51

ii) Sınıflar ve karakter tablosu

2C grubu , 2. Mertebe , iki sınıflı 2

1 1C P1

Abelyen 1 2 1d d

1 01

0 12

c i

i j i j

nC

n

C

Karakter Tablosu :

iii) Yer değiştirmeyen parçacık sayısı :

iv) Sadece 1 için Yerel Kartezyen koordinatının dönüşüm matrisinin

İz'i = 1 . * = 2 1 0 = 2 0Z

v) Ağırlık vektörü

W Z C X

1 0 1 122 0 1 1

1 1 102

v) Hareket kipleri

Ağırlık vektörü, iki temsilin de birer kipi temsil ettiğine işaret etmektedir :

R2 : Doğrusal hareket

R 1 : Titreşim

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 (1) 1 (P)

R1

R2

1 P 2 0

52

b) 3-Boyutta 2

H O :

i) Grup ve çarpım tablosu

:1 Özdeşlik , :R z-ekseni etrafında 180o dönme

1 : yz-Düzleminden yansıma , 2

: zx-Düzleminden yansıma

Çarpım tablosu :

ii) Sınıflar ve karakter tablosu

2D grubu . 4. Mertebe , 4 sınıflı , Abelyen 1

id

1 0 0 0

0 1 0 01

0 0 1 04

0 0 0 1

C ,

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

X

iii) Yer değiştirmeyen parçacık sayısı :

1 R 1 2

3 1 1 3

1 R 1 2

R 1 2 1

1 2 1 R

2 1 R 1

53

iv) Yerel Kartezyen koordinatların dönüşüm matrisleri , K ve Z vektörleri :

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 , 1 0 0

0 1 0

0 0 1

R ,

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

; 3 1 1 1K

* * * * = 3 3 1 1 1 1 3 1 = 9 1 1 3Z

v) Ağırlık vektörü

1 1 1 1

1 1 1 11 9 1 1 3 3 1 2 3

1 1 1 14

1 1 1 1

W

vi)

, , x y z

T T T Doğrusal Hareket kipleri sırasıyla 4 3 1 , , R R R ,

, ,

x y zR R R Dönme kipleri ise gene sırasıyla 3 4 2

, , R R R temsillerine uyarlar.

Bu 6 kinematik kip'in Ağırlık vektörü olan 1 1 2 2k

W , Genel Ağırlık vektörü

3 1 2 3W 'den çıkartılarak, Titreşim kipleri için v 2 0 0 1W elde

edilir.

c) 3-Boyutta 3

NH molekülü :

i) 6 tane simetri işlemi :

1 : Özdeşlik , R : 120 o Dönme , R2 : 240 o Dönme ve

1 2 3 , , : 3 tane 'Açı ortaylardan yansıma' .

54

Çarpım tablosu :

Grup : 3 nesnenin permütasyon grubu olarak da bilinen D 3 = 1 (1) + 2 (R) + 3 (1)

ii) Sınıflar ve Karakter tablosu :

2 2 2

1 2 3 1 2 3 6 1 , 2d d d d d d

iii) Yer değiştirmeyen parçacık sayısı :

1 R

4 1 2

1 R R 3

R R 1 3 1 2

R 1 R 2 3 1

1 2 3 1 R R

2 3 1 R 1 R

3 1 2 R R 1

1 (1) 2 (R) 3 (1)

R 1 1 1

R 1 1 1

R 2 1 0

55

iv) Yerel Kartezyen koordinatların dönüşüm matrisleri , K ve Z vektörleri :

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 ,

31 02 2

3 1 02 2

0 0 1

R , 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 0 1K & = 4*3 1*0 2*1 = 12 0 2Z bulunur.

v) Ağırlık vektörü :

3 1 4W

vi)

, , x y z

T T T Doğrusal Hareket kipleri sırasıyla 4 3 1 , , R R R ,

, ,

x y zR R R Dönme kipleri ise gene sırasıyla 3 4 2

, , R R R temsillerine uyarlar.

Bu 6 kinematik kip'in Ağırlık vektörü olan 1 1 2 2k

W , Genel Ağırlık vektörü

3 1 2 3W 'den çıkartılarak, Titreşim kipleri için v 2 0 0 1W elde

edilir.

56

PROBLEMLER

C.1 ) 3-Boyutlu yapılar için gerekli ijK matrisini oluşturun.

İpucu:

sin cos

sin sin sin cos sin sin cos

cos

ij ij

ij ij ij ij ij ij ij

ij

A olmak üzere

ij

A AK

A A yapısına sahip olacaktır. A matrisinin ise r̂ yönünde bir

'İzdüşüm Operatörü' olduğu görülmektedir.

D.1 ) Atom sayısı 64 olan bakır'ın yoğunluğu 339 10

kgm

, Young katsayısı 1110 Nm

olarak veriliyor. Cu-Cu bağının yay sabitini hesaplayın. ( Nükleon kütlesi 275 10

3kg )

D.2 ) N adet eşdeğer kütle 1N adet eşdeğer yay'la komşu kütlelere bağlanarak 1-

Boyutlu bir yapı oluşturuyor. N limitinde frekans spektrumunu belirleyin.

( Bilgisayar problemi )

D.3 ) 3 özdeş kütle, 3 özdeş yay ile bağlanarak bir 45o - 45o - 90o üçgeni oluşturuyor.

Yapının frekans ve hareket kiplerini belirleyin.

D.4 ) 2

H O molekülünün yapısını öğrenin. H O bağının yay sabiti O

k , H H

etkileşmesinin yay sabiti H

k olarak veriliyor. Molekülün frekans ve kiplerini belirleyin.

57

D.5 ) 3

NH molekülünde N H bağının yay sabiti N

k , H H etkileşmesinin yay

sabiti H

k olarak veriliyor. Molekülün frekans ve kiplerini belirleyin.

G.1 ) 2

H molekülünü 3-Boyutta inceleyin.

İpucu: 6 0 2 2 0 0 2 0Z

1 1 0 0 1 1 1 1W

G.2 ) Köşelerinde 4 eşit kütlenin yer aldığı ve sadece en yakın komşular arasında 4

eşdeğer yay'ın bulunduğu bir kare'yi 2-Boyutta inceleyin.

G.3 ) Köşelerinde 8 eşit kütlenin yer aldığı ve sadece en yakın komşular arasında 12

eşdeğer yay'ın bulunduğu bir küp'ü inceleyin.