TEMEL DENKLEMLER Mekanik titreşimler

1/T f= , 2 f = , eşF k x=

Paralel bağlı yaylar : 1 2 ...eş nk k k k= + + +

Seri bağlı yaylar : 1 2

1 1 1 1...

eş nk k k k= + + +

( )m x cx k x F t+ + = 2 0dx x+ = , /d k m = , 2 / dT =

Düzlemde kinematik - ötelenme

/B A B A= +r r r , B A=v v , B A=a a

Sabit bir eksen etrafında dönme

= , = = , d d =

sabit açısal ivme

( )

2 1

212 1 1 2

2 22 1 2 12

o

o

o

t

t t

= +

= + +

= + -

v r= , = ´v ω r

( )= ´ + ´ ´a α r ω ω r , ta r= , 2na r=

Ötelenen takımda bağıl hareket

/B A B Ar r r= + , /B A B A= + ´v v ω r 2

/ /B A B A B A= + ´ -a a α r r

Ötelenen ve dönen takımda bağıl hareket

( )/ /B A B A B Axy= + + ´v v v ω r

( )

( ) ( )/ /

/ /2

B A B A B Axy

B A B Axy

= + + ´

+ ´ + ´ ´

a a a α r

ω v ω ω r

=ω k ve =α k ise:

( ) ( )

( ) ( )/ /

2/ /2

B A B A B Axy

B A B Axy

= + + ´

+ ´ -

a a a k r

k v r

Kuvvet, kütle ve ivme

m =F a , I =M α 2 d

mI r m= ò , /k I m=

Dönel eşdeğerlik ilişkisi: kP PM M =

İş ve Enerji

dFU = ⋅ò F r , dMU = ⋅ò M θ

2 21 12 2M MT mv I = +

A A B BT U T + =

P = ⋅ + ⋅F v M ω

İmpuls ve Momentum

Mm=G v

dB

A

t

A B

t

t+ =òG F G

( ) ( )dB

A

t

M MA Bt

m t m+ =òv F v

( ) ( )dB

A

t

M MB At

t m m = -ò F v v

M MI=H ω

Sabit O noktası etrafında dönme

( )O M M MI m= + ´H ω r v , O OI=H ω

dA

A

t

O A O O BtI M t I + =ò

Ötelenen takımda bağıl hareket

/B A B A= + ´v v ω r

( )/ /B A B A B A= + ´ + ´ ´a a α r ω ω r

Ötelenen ve dönen takımda bağıl hareket

( )/ /B A B A B A xyz= + ´ +v v ω r v

( )( ) ( )

/ /

/ /2

B A B A B A

B A B Axyz xyz

= + ´ + ´ ´

+ ´ +

a a α r ω ω r

ω v a

Uzayda açısal momentum

x xx x xy y xz z

y yx x yy y yz z

z zx x zy y zz z

H I I I

H I I I

H I I I

= - -

=- + -

=- - +

8.1 KONUYA BAKIŞ

Denge konumunun yakın civarında parçacığın ya da cismin kendisini tek-rarlayan hareketine titreşim denir. Mühendislik uygulamalarının büyük bir kısmı aslında dinamik problemlerdir. Örneğin makinaların hareketli parçaları, deprem gibi zorlayıcı etkilerin taşıyıcı sistemleri hareketlendir-mesi gibi çok çeşitli dinamik problemlerde titreşimlerle karşılaşılır. Titre-şimler malzemede arzu edilmeyen zorlamalara ve zaman içinde yorulma-ya ve hasara neden olabileceği için ciddiye alınmalıdır.

Titreşimler, serbestçe ya da zorlama sonucu oluşur. Serbest titreşime iki örnek vermek gerekirse; Şekil 8.1a da elastik yayın ucunda dengede ( 0)x = duran m kütlesi aşağıya doğru çok ufak miktarda çekilip serbest

bırakılırsa, denge konumunun yakın civarında aşağı yukarı küçük Salı-nımlar yapmaya başlar ve sönüm etkisi yoksa bunu sonsuza kadar devam ettirir. Gerçekte ise, bu tür tüm mekanik titreşimlerde az ya da çok sönüm etkisi olduğundan serbest titreşim hareketi zaman içinde yavaşlayarak azalır. Bir başka örnek ise Şekil 8.1b deki sarkaçtır. Bir noktadan asılı ve serbestçe hareket edebilecek biçimde duran m kütlesi denge konumunda iken eğer yana doğru bir miktar çekilip serbest bırakılacak olursa, kütle sağa sola küçük salınımlar yapar.

8.2 TANIMLAR

Şimdi konu içinde kullanılacak bazı yararlı tanımları baştan verelim.

Tekrarlanan (Periyodik) Hareket: Eşit zaman dilimleri içinde kendisini sürekli olarak tekrarlayan hareket.

Tekrar Süresi (Periyot): Tekrarlanan harekette, beli bir noktada zamanı başlattıktan sonra tekrar bu noktaya gelininceye kadar geçen süreye denir ve "T " harfi ile gösterilir. Birimi "sn" (saniye) dir.

224 DİNAMİK

(8.24) de A ile B ve (8.25) de X ile integrasyon sabitleri olup, bun-

lar hareketin başlangıç koşullarına bağlı olarak belirlenir. Şöyle ki; eğer 0t = anında ox x= ve ox v= ise, o zaman:

(8.24) de : 0

0

ot

ot

x x

x v

=

=

=

=

o

o d

x A

v B

=

=

o

o

d

A x

vB

ü= ïïïïýï= ïïïþ

(8.26)

(8.25) de : 0

0

ot

ot

x x

x v

=

=

=

=

sin

cos

o

o d

x X

v X

ü= ïïïýïï= ïþ

( )

( )

2 2

1

/

tan /

o o d

o d o

X x v

x v

-

üï= + ïïýïï= ïþ

(8.27)

Hareketin Grafiksel Betimlenmesi: Kütlenin hareketi, yarıçapı X olan

Şekil 8.8 deki gibi O merkezli bir çember üstünde sabit /d k m = açı-

sal hızıyla dönen X vektörünün düşey eksen üstüne izdüşümü ile betim-lenir. Burada d açısal doğal sıklık (frekans) dır ve birimi rad/sn dir.

Birim zamanda yapılan dönüş sayısı / (2 )d df = ise doğal sıklık (frekans) olup, birimi Hertz (1 Hz 1devir/sn)= dir. X vektörü bir tam

dönüş yaparken geçen zaman 1/ 2 /d d dT f = = biçiminde hesaplanır

ve buna tekrar süresi (periyot) denir. Şekil 8.8 den açıkça görüldüğü gibi, birbirine dik A ve B vektörlerinin bileşkesinden hesaplanan X vektörü-nün şiddeti hareketin genliğine eşit olup, X in düşey bileşeni hareketin düşey konumu olan x koordinatını verir. Titreşim süresince A , B ve X vektörleri hep birlikte sabit d açısal hızıyla dönerler. Bu üç vektörün

şiddetleri arasındaki ilişkiler 2 2X A B= + ve 1tan ( / )A B -= dir.