Upload
velmarshal
View
97
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Predavanje IV
Citation preview
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
1/13
2. Kinematika ravnih polunih mehanizama
Odreivanje poloaja lanova i putanja (trajektorija) taaka mehanizma
Postupak pri konstruisanju zadatog poloaja sloenog mehanizma slian je
postupku pri proirivanju osnovnog mehanizma dodavanjem novih lanova. Ako je naprimer zadan poloaj krivajea1mehanizma (slika 2.1) moe da se odredi poloaj takeC
tek kada je poznat poloaj lana 3 koji pripada osnovnom mehanizmu OAABOC. Stoga se
ako je poznat poloaj krivaje a odreuje najpre poloaj lanova b ica potom poloaj
lanovaeid.
Poloaj lana a
49
28
111
3
10
5
6
7
0a)
b)
OC
Oa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
I II III IV
s
c
b
1234
6
7
8
910
11
0
5
012
11 9
8
7
6
54
3
2
1A
a
kC
10
kA
kBD
B
C
Slika 2.1.
Poto su dimenzije lanova mehanizma poznate ucrtavaju se poloaji nepokretnih
taaka OA i OC i pravac x- kretanja radnog lana d. Iz take OA se opisuje krug
poluprenika 2l koji predstavlja geometrijsko mesto take A u toku kretanja. Na tom
krugu se nanose poloaji 1, 2, 3,K takeAza koje treba da se odrede poloaji svih ostalih
lanova mehanizma. Poloaji take B odreuju se opisivanjem iz A krunog luka
poluprenika AB i iz takeOC krunog luka poluprenika .CO B Kako se vidi takaBzajedan pun obrtaj krivaje 2 se kree po krunom luku izmeu taakaB4 doB10. Taj kruni
luk predstavlja putanju takeB. Na slian nain se nalaze i poloaji takeC. Crta se luk
poluprenika AC iz odgovarajue takeA i luk poluprenika BC iz njoj odgovarajue
takeB. U njihovom preseku se nalazi takaC. Kao to se sa slike vidi putanja takeC je
zatvorena petlja. Poloaji lanova 5 i 6 odnosno takeDodreen je poloajem takeC i
ose .x- Ako se iz odgovarajue takeCopie luk poluprenika CD u preseku tog luka i
ose x x- dobija se odgovarajua takaD.
Odreivanje poloaja lanova mehanizma svodi se dakle na postepeno odreivanje
poloaja dopunskih lanova za koje se uvode zadati poloaji krajnjih elemenata
kinematikih parova. Posmatrani primer pokazuje da se postavljeni zadatak reava
1Ovde su lanovi mehanizma na slici 1, radi preglednosti, oznaeni slovima.
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
2/13
konstruisanjem najjednostavnijih geometrijskih mesta i odreivanja njihovih preseka. Ako
u dopunski mehanizam ulaze samo rotacioni zglobovi geometrijska mesta gde se nalaze
presene take su krunice. Ako ti lanovi sadre i translatorne kinematike parove
geometrijska mesta putanja su i krunice i prave.
Ako se na opisani nain odrede poloaji lanova mehanizma za dovoljan broj
zadatih poloaja pogonske krivaje mogu lako da se konstruiu putanje koje opisujupojedine take mahanizma.
Putanje taaka mehanizma i dijagrami kretanja. Krive sprezanja.
Pri kinematikom prouavanju mehanizma esto je potrebno konstruisati putanje
(trajektorije) odreenih taaka i dijagrame tih ili drugih taaka. Pri tome se obino nadijagramu prikazuje promena pomeranja gonjenog ili radnog lana u zavisnosti od od
odgovarajuih pomeranja pogonskog lana. Ako take pripadaju sprenom lanu njihoveputanje se nazivaju sprene krive (krive sprezanja). Oblik ovih krivih u nekim sluajevima
je pogodan za ostvarenje nekog radnog procesa.
Kao primer za konstruisanje krive sprezanja na slici 1. je prikazana ema Atkinson-ove gasne maine, koja je zastarela ali je njen mehanizam u kinematikom pogledu
zanimljiv.
Putanja take C koja pripada spojnoj poluzi 3 mora da se odredi na prethodno
opisani nain, tj., odreivanjem poloaja lana 3 koji odgovaraju odreenim poloajima
lana 2. Stoga se pri konstrukciji krive sprezanja 4k koju opisuje takaC, krug 2kpodeli na
12 jednakih delova a zatim se pomou preseka sa sa radijusom ACucrtaju odgovarajui
poloaji takeC.
Na slian nain su odreeni odgovarajui poloaji take D, a pomou njih je
konstruisan dijagram ( )2 ,s f q= koji predstavlja grafiki prikaz kretanja segmenta 6
zavisno od poloaja lana 2.Pri konstruisanju ove maine konstruktori su nastojali da pri jednom obrtaju lana 2
dobiju etiri hoda tako da hodovi ekspanzije (I) i izduvavanja (II) budu dui od hodovausisavanja (III) i kompresije (IV).
Odreivanje brzina i ubrzanja ravnih polunih mehanizama
Ovo je itaocima dobro poznato iz kinematike kretanja krutog tela u ravni.
Odreivanje vektora brzine i ubrzanja take B konstrukcijom je prikazano na slici 2.2. Sa
slike 2.2 sledi sledea vektorska jednaina:
,B A BAV V Vr r r
gde je BAVr
relativna brzina takeBu odnosu na takuA. Ona je normalna na pravu AB i
njen intezitet je:
BAV AB w
Vektorska jednaina za odreivanje ubrzanja takeBglasi:
,n tB A BA A BA BAa a a a a a =r r r r r r
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
3/13
gde je nBAar
normalna komponenta ubrzanja ,BAar
a tBAar
tangencijalna komponenta ubrzanja
.BAar
Intenzitet normalnog ubrzanja je:
2,
n n
BA BAa a AB w= r
a intenzitet tangencijalnog ubrzanja je:
.t t
BA BAa a AB e= r
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B VA
VA
VBA
w
w
e
VBA
VA
VA
VB
PV
A
B
aA
aA
aBA
aBAt
aBAn
aBAaA
aA
aB
Slika 2. 2.
Normalno ubrzanje nBAar
lei uvek na pravcu AB i usmereno je od take B ka taki A.
Tangencijalno ubrzanje tBAar
je uvek normalno na pravu AB i ima smer u pravcu obrtanja
ugaone brzine w .
Trenutni centar brzine (pol brzine)
Trenutni centar brzine je trenutni poloaj para podudarnih taaka dva razliita kruta
tela ije su apsolutne brzine jednake.
Sa slike 2. 2 sledi:
2
w A
PA
Vr
rrr
= (2.1)
Poto je:
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
4/13
1
2
3
P12 P13
VP2
VP3
23
42 12
23
13
14
2
www
AAPAAPAAP
VVrVVVV
rrrrrrrrrr
+=+=+= (2.2)
Razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda u jednaini (2.2) dobija se:
22 2
0A A A
P A A A A
V V VV V V V V
w w w w w
w w
= = = =r rr r r r r
r r r r r (2.3)
Teorema o trenutnim centrima
Ova teorema se naziva i teorema tri centra ili prema autorima Aronhold-Kennedy-
jeva teorema tri centra. Ona glasi:
Tri zajednika trenutna centra za tri kruta tela sa relativnim kretanjem (jednog
tela u odnosu na drugo) bilo da su ova tela medjusobno povezana ili ne, uvek lee na
zajednikoj pravoj.
Dokaz teoreme se izvodi kontradikcijom (suprotnim tvrenjem), (slika 2.3).
Slika 2.3.Dokaz teoreme
Slika 2.4.Trenutni centri zglobnog etvorougaonika.
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
5/13
23
124
34
14
14
24
14
Postupak odredjivanja trenutnih centara za mehanizam zglobnog etvorougla je
prikazan na slici 2.4. Trenutni centar (13) prema Aronhold-Kennedy-jevoj teoremi mora da
lei negde na pravcu trentnih centara (12) i (23). Sa druge strane trenutni centar (13) mora
da lei i na pravoj povuenoj kroz trenutne centre (14) i (24). U preseku ovih pravih nalazi
se trenutni centar (13).
Kod krivajno klipnog mehanizma (slika 2.5) odreivanje trenutnih centara se
zasniva na poznavanju poloaja trenutnog centra 14 translatornog kinematikog para.Poto kliza4 se kree translatorno po voici 1, njegov trenutni centar (14) se nalazi na
pravoj normalnoj na voicu 1 i beskonano je udaljen od nje. Na osnovu toga lako moe dase odredi trenutni centar (24), kao to je prikazano na slici 5.
Slika 2.5.Trenutni centri krivajno-klipnog mehanizma.
Ako se napie tablica u obliku matrice svih trenutnih centara nekog mehanizma sa6 lanova:
11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 32
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
Trenutni centri ispod glavne dijagonale ove matrice mogu da se zanemare jer su ve
pobrojani iznad glavne dijaonale, na primer 21 12 . Takoe elementi na glavnojdijagonali mogu da se zanemare jer segment mehanizma ne moe da ima relativno kretanje
u odnosu na samog sebe. Vidi se da je broj trenutnih centara ovog mehanizma iznosi:
6 515
2
= . Odnosno, ako mehanizam ima n pokretnih lanova broj njegovih trenutnihcentara iznosi:
12
n n .
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
6/13
Na slici 2.6 prikazano je odreivanje trenutnih centara proirenog zglobnog
etvorougaonika.
16 16 16 16 15
34
23
26
25
46
45
3536
24 12 14
13
56
5
6
2
3 4
1 1 1
Slika 2.6. Trenutni centri proirenog zglobnog etvorougaonika.
Odreivanje trenutnih centara mehanizma nije krajni cilj, ve trenutni centri slue
da se pomou njih odrede brzine (i ubrzanja) lanova mehanizma. Korienjem trenutnih
centara moe da se izvri kompletna kinematika analiza mehanizma. Ovo e da se
demonstrira na nekoliko primera.
Primer.Pri obrtanju krivaje OA r= mehanizma prikazanog na slici 2.7., tap ACpreko obrtnog mufa prolazi kroz nepominu taku .B Sa mufom je vrsto vezan tap
BD = l koji je upravan na tap AC. Za prikazani poloaj mehanizma odrediti brzinu takeD.
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
7/13
O
2
A
w0
B
C
D3
4
23
1211
30o
r
l
P(13)
Slika 2.7.
Reenje:Brzina takeAje poznata po pravcu (normalna na OA ) i smeru (u smeru
ugaone brzine 0w ) a njen intenzitet je
0w=AV r .
Brzina takeB je:
B A BAV V V= +r r r
2sin30
o
rAB r= =
Poto je OAB BAP D D sledi2
4 ; cos30 2 3sin30
o
o
rAP r BP AB r= = = =
0 0
3 .4 4
A rV
rAP
w ww = = = Poto je 3 4w w= bie
( ) 03
2 3.
4D
r lV PD
w
w
+
= =
Primer.Odrediti brzine i ubrzanja mehanizma na slici 2.8.
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
8/13
1 1
1
2
34
56
A
B
C
DE
F G
w
Slika 2.8.
Reenje:
P(14)
1 1
1
2
34
56
A
B
C
DE
F G
w2
P(13)
Slika 2.9.
Reenje:Brzina take B je poznata po pravcu (normalna naAB ) i smeru (u smeru
ugaone brzine 2w ) a njen intenzitet je:
2 ;B BV AB V ABw ^r
Brzina takeC je:
( ); ; 14C B CB CB C V V V V BC V P C = + ^ ^r r r r r
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
9/13
Vektor brzine takeB je poznat po intenzitetu i pravcu a vektor brzine takeCu
odnosu na taku B je poznat po pravcu. Meutim brzina takeCje poznata po pravcu.
Naime takaC pripada segmentu 4 i obre se oko trenutnog centra ( )14 .P Prema tome
brzina takeC je normalna je na pravac .PC Odreivanje brzina taakaD iEna planu
brzina je trivijalan zadatak:
DCCD VVVrrr += i .ECCE VVV
rrr +=
Treba primetiti da je trougao CDE na crteu mehanizma slian trouglu cde na
planu brzina. Ugaone brzine segmenata 4, 5 i 6 je lako odrediti a za odreivanje ugaone
brzine 3w koristi se sledee relacije:
23 13BV P Bw= ili 23 14 .CV P Cw=Plan brzina je prikazan na slici 2.10.
e
d
c
b
p, a, f, g
Slika 2.10.Plan brzina.
Odreivanje ubrzanja ide sledeim redom:2
2; ; ;n t n n t
B B B B B Ba a a a AB a AB a ABw = ^r r r r r
24; 14 ;n t nC C C C a a a a P C w = r r r2
3; .n t n
C B CB B CB CB CBa a a a a a a BC w = = r r r r r r
Ubrzanje nCBar
lei u pravcu BC i usmereno je od take C ka taki B. Ubrzanje tCBar
je
normalno na pravac BC.2
2
4;n t n DC
D C DC DC DC
Va a a a a CD CDw = =r r r r
22
5; ; .n t n t D
D DG DG DG DG
Va a a a DG a DG
DGw = = ^r r r r
n t
E C EC ECa a a ar r r rn t
E EF EFa a ar r r
Primer. Odrediti brzine sloenog mehanizma na slici 2.11.
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
10/13
P(13)
O2(13) O6(16)
A(23)
C(34)
q2
E(46)
36
D(56)
B(35)
Slika 2.11.Trenutni centri sloenog mehanizma.
Brzina takeAje poznata. Brzina takeBkao i u prethodnom primeru je:
.B A BAV V Vr r r
Sa druge strane je:
.BV PBr
Odavde je lako na planu brzina odrediti vektor brzine takeB. Za odreivanje brzine take
Cmoe da se iskoristi sledea jednaina:
CAAC VVVvvv
+=
Brzina takeCkoja pripada lanu 4 CVv
je normalna na pravac .PC Takoe, brzina CAVv
je
normalna na pravac .AC Odreivanje brzina taakaEiDkoje pripadaju lanu 6 i koji se
obre oko osloncaO6izvodi se pomou jednaina:
DBBD
CECE
VVV
VVV
rrr
rrr
+=
+=
.
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
11/13
Grafoanalitika metoda za odreivanje kinematike ravanskih polunih mehanizama
Ova metoda se zasniva na korienju kinematikih relacija poznatih iz kinematike
kretanja krutog tela u ravni i konstrukcije planova brzina i brzanja. Odavde se odreuju
brzine i ubrzanja taaka mehanizma za zadati poloaj mehanizma. Postupak odreivanja
brzina i ubrzanja bie prikazan na sledeem primeru:
Primer: Odrediti brzine i ubrzanja taaka mehanizma na slici 2.12. Duine
segmenata su: 2 4102 , 203 , 76.2 , 152 .O A AC mm AB mm O B mm BC mm= = = =Ugaona brzina krivaje u posmatranom trenutku iznosi: 12 30, .sw
=
Slika 2.12.
Intezitet vektora brzine takeA je: .,1006.3 1322-
== mmsAOVA w Smer vektora
AVv
je normalan na pravac AO2 i poklapa se sa smerom obrtanja ugaone brzine .2w Sada
moe da se napie:
BAAB VVVvvv
+=
Donje dve crtice u prethodnoj jednaini znae da je vektor brzine AVv
poznat po
intenzitetu i po pravcu. Vektor brzineBAV
vje poznat po pravcu ( normalan je na AB ). Sa
druge strane vektor BVv je normalan i na pravac 4 .O B Povlaenjem normale na AB iz kraja
vektora AVv
i normale na 4O B iz poetka plana brzina VP nalazimo brzinu .BVv
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
12/13
Slika 2.13.Plan brzina.
Mnoenjem dui BPV sa usvojenom razmerommm
mmsUV
1
251-
= dobija se intenzitet vektora
11800, .BV mms=r Na slian nain se nalaze i brzine CV
r i .DV
r Sa plana brzina je
1,3175 -= mmsVC i1,2050 -= mmsVD . Ugaone brzine su: ,,89.15
1
3
-== sABVBw i
.,62.23 144-
== sBOVBw
Za crtanje plana ubrzanja (slika 2.13) se koriste sledee relacije:
.0;,126.46; 21
2
===+= -
eABamsAB
Vaaaa
t
AAn
A
t
A
n
AA
rrr
2 2
4; 42.5,n t n
B B B B B
n t
B A BA BA
a a a a V BO ms
a a a a
= = ==
r r r
r r r r
t
CB
n
CBBC
t
CA
n
CAAC
aaaa
aaaarrrr
vrrr
++=
++=
5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama
13/13
Slika 2.14.Plan ubrzanja.
Izraunate brzine i ubrzanja odgovaraju samo za posmatrani poloaj mehanizma.
Za jedan obrtaj krivaje 2 da bi se tano odredile brzine i ubrzanja potrebno je konstruisati
vie planova brzina i ubrzanja. Na primer ako se uzme podela za svakih 30ougla krivaje 2q
potrebno je konstruisati 12 planova brzina i 12 planova ubrzanja. Za tanije izraunavanjepotrebna je podela kruga krivaje na 24 ili 36 taaka i isto toliko planova brzina i ubrzanja.
To je veoma obiman posao i to je osnovni nedostatak grafoanalitike metode odreivanjakinematike mehanizma.