KERESZTLY - SUGR - SZARVAS

StatisztiRa l

. . ...

Keresztly-Sugr-Szarva$:;

Szerzk KERESZTL Y TIBOR

egyetemi tanrsegd

SUGR ANDRS egyetemi adjunktus

SZARVAS BEATRIX egyetemi docens

Brlta

JUHSZ GYRGYN egyetemi docens

Felelsszerkeszt BNKI LSZLN

ISBN 963 19 5628 8

Keresztly, Sugr, Szarvas, 2005 Nemzeti Tanknyvkiad Rt., 2005

Minden jog fenntartva. A m egsznek vagy brmely rsznek mechanikus, illetve elektronikus msolsa, sokszorostsa, valamint infonnci6szolgltat rendszerben

val trolsa s tovbbtsa a Kiad elzetes rsbeli engedlyhez kttt.

Nemzeti Tanknyvkiad Rt. A kiadsrt felel: Plfi Jzsef vezrigazgat Raktri szm: 42 592/II. Felels fszerkeszt: Palojtay Mria Felels szerkeszt: Bnki Lszln Mszaki szerkeszt: Szabn Szetey Ildik Trdel: Barka Lszl Terjedelem: 16,44 (A/5) v Els kiads, 2005

KszOlt a Prospektkop Nyomdban, 00 l 05

... .

TARTALOM

l. ktet

BEVEZETS ........................... .... ............. ........................... ....................... ........ ... ....... ... 7 I. ALAPFOGALMAK ...... .......... .................. .. :.................. ............ .............. .......... ... 9

II. KZPR T KEK ................................................................................... ............ . 24 ill. SZRDS, KONCENTRCI, ALAKMUTATK ........................................ 34 IV. ASSZOCICI ........................................................................ ....... ...................... 60 V. HETEROGN SOKASGOK S VEGYES KAPCSOLAT ......... ......... ............. 67

VI. KORRELCI ... ............................ ... .............................. ..... ................ ... ........ ... .. 76 VII. SSZEHASONLT S STANDARDIZLSSAL ......... ..... ................................ 87

VIII. SSZEHASONLTS INDEXSZMTSSAL ................................................. 100

II. ktet

IX. MINT A VTEL ..... ....... ................. ........ ...................... ... .... ............ ...... ........ ......... 12 1 X. STATISZTIKAI BECSLSEK ............................................................................. 138

XI. EGYMINTS PARAMTERES S NAGYMINTS NEMPARAMTERES PRBK ....................................... 169

XII. KT- S TBBMINTS PRBK ............ ....................... .......... ..... .. .... ............ 187 xm. KISMINTS NEMPARAMTERES PRBK ................................................. . 206 XIV. IDSOROK ELEMZSE ..................................................................................... 210 XV. KTVLTOZS REGRESSZIS MODELL ............................. ......................... 238

XVL TBBVLTOZS KORRELCI- S REGRESSZISZMTS .......... ....... 270

r

IX. MINTAVTEL

B.lO. A statisztikai dedukci illusztrlsra kt sokasgbl vletlen genertorral nntkat veszunk, s becsljk a sokasg vrhat rtkt a nntatlaggal.

Feladat

Kvesse vgig s elemezze az eredmnyeket!

Megolds

Az egyik sokasg:

2002-ben a BKAE kzgazdszkpzsre i659-cn tellek rvnyes felvteli vizsgt (rv-nyesnek az a vizsga szmtott, ahol a kt rsbeli eredmny sszege legalbb 30 pont volt). A felvteli pontok nhny adata:

tlag: l O 1,23 pont, minmum: 60 pont,

szrs: l 0,29 pont; maximum: !25 pont.

Az eloszls lthat a kvctkez brn:

A pontszmok hisztogramja s egy ugyanilyen tlag, szrs normlis eloszls srusgfggvnye

62,5 72,5 67,5 77,5

92,5 l 02,5 l 12,5 122.5 82,5 87,5 97,5 107,5 117,5

Pontszm

121

Mestersgesen 40 darab 30 elem FAE mintt generltunk, a kvetkez tblzat a mntk tlagt mutatja:

101,65 101,03 103,40 98,55 102,38 101,58 101,35 101,75

Az tlagok

tlaga: l O 1,11, minmuma: 98,55,

99,60 98.63 100,13 103,23 98,65 99,95 102,05 102,08 99,33 101,53 101,13 100,53

szrsa: l ,71; maximuma: 104,45.

Az elmleti standard hiba: 1,88.

!Ol ,10 1102,30 104,05 l 02,50 l l 02,78 99,78 99,181101,43 101,18 99,50 1100,55 104,45

Az tlagok lsztogramja eo '~ 16 "' t: o

.;.::

"' >. 14

o 12

10

8

6

4

2

. .98,25 99,75 101,25 102,75 104,25 Pontok tlaga

103,45 l 99,15 10l,30 l i2.05 101,35 1102,78 100,88 1103,33

A msik sokasgot a 10 s 50 f kztti ltszmot foglalkoztat, ketts knyvvitelt vezet 2001. vi vllalkozsok alkotjk, a vizsglt ismrv a szemlyi rfordtsok (ezer forint) nagysga. A vllalatok szemlyi rfordtsainak statisztikai jellemzi: Elemszm (darab) tlag (ezer forint) Szrs (ezer forint) Minimum (ezer forint) Maximum (ezer forint)

122

10 295 31 478,79 38 555,02

34 473 673

A sokasg megoszlsnak hisztogramja

~ 2000 "' o -"'

"' >. o

1000

o lfhl1 r1 r r-r-.

A sokasgbl 40-40 darab 30, 60, 120 s 240 elcm mintt vettnk. A mintk tlagai s a mintatl ag ok jellemzi a kvetkezk:

Sorszm 30 elem 60 elem 120 elem 240 elem nntk tlagai nntk tlagai mintk tlagai nntk tlagai

l. 26 0238 28 309,0 25 263,8 29 013,4 2. 37 572,6 31 018.8 30 527,8 28 196,2 3. 19 993,4 26 586.3 36 498,6 3 1 544,2 4. 38 555 7 l 32 169,1 27 696,6 32 246,2 5. 24 61 5 l 38 303,5 27 221,7 34 726,6 6. 37 71 5,2 42 661,3 36 276,6 32 165,8 7. 46 129 5 38 085,9 32 480,0 27 081,5 8. 28 690,5 27 425,5 25 966,7 30 122,7 9. 24 527,5 32 107,5 37 124,0 33 955,7

10. 23 469.1 31 358,8 32 826,2 31 161,6 l l. 25030 2 32 930 6 32 720,8 33 213,9 12. 23 196,2 33 464.2 32 626,4 3 1 894,0 13. 27 979,6 33 498,7 3 1 507,0 3 1 859,1 14. 50 365,0 36 537,0 29457.8 3245 1,9 15. 35 702.8 33 948,1 31 387,2 29 239,0 16. 32 584.6 29 718,0 33 150,3 33 468.6 17. 304252 22 448,6 33818.3 28 775,4 18. 32 780,8 29 034,2 33 073,0 29 017,9 19. 33 965,6 26 589,2 30 395,8 30 202,3 20. 38 258,3 37 904,5 25 288,2 30 770,4

A tblzat folytatdik

123

A tcbhm t jiJ/yuusa

Sorszm 30 elem 60 elem 120 elem 240 elem mintk tlagai mintk tlagai mintk tlagai mintk Uagai

21. 20 446,8 31 520,7 33 459,6 28 935.4 22. 27 666.7 39 149,5 28 289,3 30 352.1 23. 44304,6 39 959,1 30 263,6 27 110,2 24. 44083.4 32 785,4 30 45 1,5 27 296.9 25. 26 740,9 26 970,7 28 743,0 28 296,9 26. 31 385.2 33 795,8 34 949,8 27 815,2 27. 29 417.4 30 131,4 31 228.7 27 297.2 28. 31 406,1 22 266,0 29 296,0 3 1 0613 29. 24 330,2 32 503,3 35 944,7 28 834,3 30. 28 306,8 30 037,9 28 105,7 26 408.7 31. 34 107,8 28 462,0 29 999,8 27 459,7 32. 26 721,7 26 872,3 31 543,3 32167,1 33. 32 645.3 30 325.5 31 945,3 30 685,4 34. 41 541.8 40371,1 34 375,6 30 434,9 35. 29 280,5 30 712,0 36 366,1 33 739.9 36. 3 1 776,1 28 896,4 32 515,9 32 766 6 37. 38 778,0 31 728.5 25 789,5 31 322,6 38. 25 150,9 29 751,0 33 892.7 31 962.7 39. 22 436.0 28 313.8 l 29 387,8 31 147,0 40. 28 519,5 27 788,1 3 1 965,8 29 365,6

Atlag 31 415,7 31 661,0 31 345,5 30 389,2 Szrs 7 322.6 4 684,2 3 173,1 2 179,7 Minimum 19 993.4 22 266,0 25 263,8 26 408.7 Maximum 50 365,0 42 661,3 l 37 124,0 34 726,6

Az elmleti standard hiba rtke rendre 7039; 4977 ; 3520; 2489.

124

30 elem mintk tlagainak hisztogramja .~ 14 cn c o

""' ~ 12 o

10

6

4

2

OL-~~~_L~~~~~~~~~ 22 500,0 32 500,0 42 500,0

27 500,0 37 500,0 47 500,0 Ezer Ft

60 elem nntk tlagainak hisztogramja

~ 14 -~ 5 -a 12 >..

10

8

6

4

2

o ~~~~-L~~~~~~~~~ 22 500,0 32 500,0 42 500,0

27 500,0 37 500,0 47 500,0 Ezer Ft

120 elem nntk tlagainak hisztogramja

8

6

4

2

o~~~~~~--L-~~~-J 26 250,0 31 250,0 36 250,0

28 750,0 33 750,0 Ezer Ft

125

,.. l

240 elem mintk tlagainak hisztogramja

'~ 12 .~ 15 ~ 10 ~ o

8

6

4

2

o~~~~~--~~~~--~~ 25 625,0 28 125,0 30 625,0 33 125,0

26 875,0 29 375,0 31 875,0 34 375,0 Ezer Ft

GY.133. Dntse el, hogy az albbi gyakorlati problmknl milyen mintavteli eljrs alkalmazhat! Mondja meg, hogy az adott eljrs vletlen mintt biztost-e! a) ves javtsi kltsgek becslse Magyarorszgon a fbb gpkocsi-

tpusokra. b) Az tves magyar gyermekek tlagmagassgnak s tlagslynak

becslse. c) A pesti jrkelk vlemnye a kzbiztonsgrL d) Telefonos, levlbeli vagy krdezbiztosok segtsgvel tttn felm-

rs a budapesti lakosok vsrlsi szaksairL e) A BKV jegyellenreinek munkja a jegy nlkl utazk szmnak

becslsre. f) A fogyaszti kosr slyrendszernek sszelltsa Magyarorszgon.

GY.134. Ha n azt a feladatot kapn, hogy l. jellemezze a munkanlklisget; 2. lltson ssze toplistt a legnagyobb forgalm knyvekrl; 3. ksztsen statisztikt a TV ~msorok nzettsgrl, 4. vgezzen politikai kzvlemny-kutatst valamely szavazs vrhat

eredmnyre vonatkozan; milyen mintavtelt tervezne? (Definilja a jellemezni kvnt sokasgot! Mondja meg, hogy a tervezett nntavtel vletlen mintt eredmnyez-e!)

126

p su;

GY.135. Az elmlt vekben rendszeresen mrik a lakossg s a vllalati szfra vrakozsait. Egy lakossgi n . bizalmi index mintavteles felmrse '\ tervezshez 620 elem prbafelmrst hajtanak vgre a 18 ven felli magyar lakossgbl. (A bizalmi index O s 100 pont kztt mr, O rtke abszolt negatv, 100-as rtke abszolt pozitv gazdasgi vrakozsokat jelent.) Ahhoz, hogy a ksbbi mintavte lekbl pontosabb informcik-hoz juthassunk, az eredmnyeket a fbb szociolgiai ismrvek alapjn kzljk. A httrismrvek ugyan mind a 620 fre ismertek, de a bizalmi index csak 600 f esetn rtelmezhet. L csoportost ismrv: a vlaszad neme.

A vlaszadk Bizalmi inde.x Di7.almi index szrsa A rteg arnya Nem sciroa tlaga a rtegen belill a sokasgon bell

(fo') (pont) (pont) (%) N 305 67,0 13,6 52 Frfi 295 66,8 13,6 48 sszesen 600 66,9 13,6 100

SSK = 6.

Il. csoportost ismrv: a vlaszadk kora.

A vlaszadk Bmllmi index Bizaimi index szrsa A rteg arnya letkor szma tlaga a rtegen belill a sokasgon belill

(f) (pont) (pont) (o/o) 18- 30 100 69,3 13,8 22 31-45 193 66,8 13,6 30 46-60 206 67,4 13,2 23 61 - 101 63,8 13,9 25 sszesen 600 66,9 13,6 100

SSK ::: 1600.

UI. csoportost ismrv: a vlaszadk legmagasabb iskolai vgzettsge.

Iskolai A vlaszadk Bizalmi index Bizaimi index sr.r'

Feladat

a) A kvetkez mintavtelnl me ly ismrv alapjn rtegezne? (Javaslatt a mintra vonatkoz szrsngyzet-felbontsra a lapozza!)

b) Optimlis rtegzs esetn milyen mintaelosztstjavasolna? c) A jelenlegi min.ta sszettele mennyibenfelel meg a sokasgi arnyok-

nak; hogyan befolysoln az eredmnyeket, ha az adataink rtegzett mbztbl szrmaznnak?

GY.136. Egy lapkiad j knnyzenei havilap kiadst tervezi. A lap fogadtatst, a vrhatpiacot- tbbek kztt- krdves felmrssei kvnja feltrni .

Feladat

Tervezze meg a krd{vet! A krdv tervezse sorn vegye figyelembe az albbi- a krdfves felmrsek tervezsnl ltalnos- szempontokati

l. Kutatsi fzis: a) a problmameghatrozs s a megkzelts:

a hatrok kijellse (mi a problma, mi nem tartozik bele), kapcsoldik-e valamely korbbi kutatshoz, felllthat hipotzisek;

b) kutatsi krdsek: milyen primer informci szksges, hol-kit l szerezhet be, az informci hogyan hasznosthat;

c) az informci gyjtse: adatforrsok: a mr meglv informcik, szekunder adatok feltrsa, kzvetlen kvalitatv eljrsok:

kikrdezses eljrsok (a vlaszad kzvetlenl rszt vesz az informci gyjtsben), fkuszcsoportos eljrsok,

mlyinterj (valamely tma strukturlatlan feltrsa), krdves kikrdezs (strukturlt, mivel ugyanazokat a standardizlt

krdseket teszi fe l minden megkrdezettnek) postai, szemlyes, telefonos, elektronikus ton.

A problma elzetes elemzse segt az adatgyjts mdszernek a rneg-vlasztsban, hisz az adatgyjtsi eljrs fgg az informci jellegtl, az informci forrstl, az adatgyjts cljtl.

128

p @ll .

2. Krdvtervezs: a) a felvtel cljainak meghatrozsa:

a clok lersa, informciszksglet meghatrozsa, clsokasg tisztzsa;

b) a krdsek tartalmnak meghatrozsa (a clok specifiklst jelenti, azt, hogy milyen krdstpus alkalmazsa clszer): strukturlt, zrt krds:

kt vlaszlehetsget tartalmaz krds, tbb vlaszlehetsget tartalmaz krds (kt vagy tbb egyrtel-

men klnbz alternatvakztt kell vlasztani), tbb vlaszt megenged krds (tbb "helyes" vlasz ltezik), sklakrdsek, rangsorkrds (a vlaszad adott lehetsgeket llt sorrendbe egy

adott szempont szerint), arnymr sklakrds (a vlaszol a vlemnyt numerikus

szmmal fejezi ki); flig zrt krds: az sszer a vlasszal egyidejleg - az elre

elksztett "lehetsg"lista alapjn- kdolj a az elhangzottakat, strukturlatlan, nylt krds: a vlaszad szabadon fejezheti ki vle-

mnyt;

c) a krds megfogalmazsa, a krdv megszvegezse: fgg a clpopu-lcitl, a rszletezettsg szintjtl, az adatgyjtsi mdszertl (kikr-dezs, nkitlts). A krdsek legyenek knnyen rthetek a krdezett szmra, jelentse legyen pontos, tartsk szem eltt az adatfeldolgozs s az eredmnyek rtelmez-

hetsgnek szempontjat. Problematikus pontok: vlaszlehetsgek megadsa (minden vlaszalternatvt tartalmaz-

zon, ne legyenek tfedsek), vlaszkategrik sorrendje (a vlaszad dntsre hatssal van), olyan szavak hasznlata, amelyek valamilyen irnyba terelik a vlasz-

adt, a krds minden vlaszad esetben alkalmazhat legyen (bevezet

vagy szr krdsekkel tisztzhat, hogy egy krds vonatkozik-e az adott vlaszadra),

egy krds ne tmtalmazzon tbb krdst,

129

, l

a feltteles krdsekre adott vlaszok a tnyleges viselkedst ltal-ban rosszul jelzik,

a krdsek felolvashatsga (a krdseket minden vlaszadnak ugyanabban a sorrendben, lehetleg trsalgsi hangvtelben kell feltenni, gy biztosthat a vlaszok sszehasonlthatsga);

d) a krdsek sorrendjnek meghatrozsa (a j sorrend a krdezs elejn felkelti s a tovbbiakban fenntartja az rdekldst): nyit krdsek: a vlaszad bizalmnak megnyersre, a motivci

fenntartsra szolglnak, azonost inf01mcik: a krdv elejn a krdsektl elklnlten

szerepelnek, a megfigyelsi egysgre vonatkoznak, csoportkpz informcik: trsadalmi-gazdasgi, demogrfiai jel-

lemzk, a vlaszadk csoportba sorolsa, knyes krdsek: nem clszer a krdv elejre tenni (vlaszmeg-

tagads), akkor rdemes feltenni, amikor mr valamifle bizalom alakult ki,

tlcsrstratgia: krdssorozat, amely egyre szkl krben kzelt a vizsglt tmhoz,

tvezet krdsek: a a tmavlasztsnl segtik a vlaszadt a gon-dolatvltsban;

e) a krdv terjedelme: tartalmi terjedelem (idigny), fizikai terjedelem (a jl szerkesztett, szells, ttekinthet krdv

gyorsabban krdezhet); J) a krdv kdoJsi tervnek elksztse (hogyan lesznek a kapott vla-

szokbl statisztikai adatok). A kdols (a kategrik azonostsra szolgl szimblumok - szmok - a kdok) trtnhet a krdven vagy klnll kdlapon, a kikrdezssei egy idben vagy azt kve-

ten.

E.7. Egysges Lakossgi Adatgyjtsi Rendszer (ELAR). Az intzmnyi adatgyjtsek a trsadalom sok terletrl - npmozga-lom, egszsggy, kulturlis helyzet, oktatsgy- megfelel informci-kat szolgltatnak, de az adatgyjtsek bvtse, elmlytse korltozott. A trsadalom egyes rtegei, az eltr anyagi s csaldi krlmnyek kztt

l csoportjai vagyoni, jvedelmi helyzetrl , fogyasztsrl, laks- s letkrlmnyeirl , mobilitsrl, egszsggyi s kulturlis helyzetrl ,

idrnrlegrl csak a magnszemlyektl, csaldoktl gyjttt inform-cik alapjn alkothat kp. Ez az adatgyjts azonban nem lehet teljes

kr, csak reprezentatv.

130

,.......--

A lakossgi adatgyj tsek 1976. I. l -je ta egysges rendszerbe (ELAR) foglaltak. 1976 s 1982 kztt az adatfelvteleknek kt f terlete volt, kln sszer hlzatta l.

l. Munkaer-vizsglat (ELAR l ), amely a negyedvek elejn 0,5%-os, a kzbees hnapokban pedig 0,2%-os mintra terjedt ki . (1979-tl a havi gyakorisg felvtel is negyedvenkntire mdosult.) Kapcsold felvtelei:

nyugdjasok adatfel vtele, idmrlegnapl, jvedelmi felvtel, dlsi, utazsi kiadsok, rtegzdsmodell-felvtelek.

2. Hztarts-statisztika (ELAR II.), amely a hztartsi kiadsok szmba-vtelt szolg\ta. A 240 helysgre s 8500 hztartsra kiterjed minta rtegenknti elosztsa nem volt arnyos, annak rdekben, hogy a szvet-kezeti s ketts jvedelm hztartsok adatai is kellen reprezentljk a helyzetet, ezekbl a tnyleges arnyuknl tbb hztarts, az inaktv hz-tartsokbl pedig az arnyosnak csak a fele kerlt a mintba. 1983. I. l-jtl (az 1980-as npszmlls adataira alapozva) j, ltalnos cl minta kialaktsval tovbbfejlesztenk az ELAR-t Az j ELAR hrom egymssal sszefgg alrendszerbl ll:

hztartsi kltsgvetsi alrendszer, munkaer-felvteli alrendszer, trsadalomstatisztikai alrendszer.

Az j ELAR-minta - az 1980. vi npszmllsi krzetekre alapozva -szolgl alapul a klnbz folyamatos s egyszeri, illetve ritkbb idkzben megismtld lakossgi megfigyelsekhez. A mintavteli keret: A minta felptsnl, a mintba kivlasztand krzetek, teleplsek sz-mnak kialaktsnl a cl:

a kivlasztott mintk reprezentljk az orszg hztartsait, npess-gt, tegyk lehetv a hztartsok rotcijt,

egysges legyen a minta, egysges krdezbiztosi hlzattal. A rninta felptsnl a hztartsi kltsgvetsi megfigyels szksgleteibl indultak ki. Figyelembe vve a szksges mintanagysgot, a hztarts-statisztikai minta a npszmllsi sszer krzetek kb. 4%-t leli fel, gy, hogy egy-egy teleplsbl hrom krzetet tartalmaz. A munkaervizsglathoz (s egyb megfigyelsekhez) ugyancsak hrom krzet kerlt

131

r

kivlasztsra, gy a kzsgek zmben hat krzet cmanyaga alkotja az j ELAR-mintt. (Kivve az 1500-nl kisebb llekszm kzsgeket, ott a teljes cmanyag szolgl mintavteli keretl.) A minta felosztsa: A hztartsokra vonatkoz felvteleknl trsadalmi rtegenknt is rt-

kelhet adatok szksgesek. Trsadalmi rtegenknt arnyos mima esetn csak meglehetsen nagy minta szolgltatna megbzhat adatokat. Arnyos nrinta esetn tovbb a fvros s a nagyobb vrosok tennk ki a rninta jelents rszt, gy a minta kevs teleplst leloe fel, cskkentve a meg- bzhatsgat Az j ELAR-rninta nem arnyos eloszts. A kivlaszts technikai lebo-nyoltsnak knnyebb megszervezhetsge, valamint az arnyos mintt

ignyl nrikrocenzus miatt a mintavtel kt fzisban trtnt: elszr egy arnyos 15%-os szmllkrzeti minta kerlt kivlasztsra, majd ebbl trtnt a nem arnyos minta kivlasztsa. Az arnyos minta felptse: rtegzett, egy-, illetve ktlpcss 15%-os krzetminta.

A r.tegkpz ismrvek: teleplsek esetn: nagysguk (1980. vi npszmlls regisztrlt

laknpessge ), szmllkrzetek esetn: foglalkozsi stmktra, inaktv npessg

arnya.

Rtegen bell mind a te leplsek, mind a krzetek nagysggal arnyos valsznlisggel kerltek kivlasztsra. A nem arnyos minta az arnyos mintbl teleplsek, illetve krzetek klnbz arny elhagysa tjn keletkezett. A rszmintkra bonts: A kivlasztott egysges minta vletlen eljrssal kt egyforma rszmintra bontdik:

hztartsi (H) rszminta: hztartsi kltsgvetsi felvtelek cljra, munkaer-felvteli (M) rszminta: munkaer-felvtel cljra.

Nhny felvtel- pldul a jvedelmi felvtel- mindkt rszmintra ki-terjed. Az egyes konkrt felvtelek cljra a hztartsokat a krzet cmlistjbl vlasztjk ki, a hztarts-statisztikhoz egy-egy krzetbl l O, a munka-er-felvtelhez 12 hztartst. Az adatszolgltatsi terhek cskkentse rdekben a hztartsoknl rot-ci mkdik, mind a H, mind az M mintban egy v utn a hztartsok

132

p;t&S

fele kicserldik, gy - figyelembe vve a folyamatos felvtelek ktven-knti periodic itst - egy-egy hztarts mindkt almintban hrom ven keresztl szerepel, de csak kt vben szolgltat adatot.

Miutn az ELAR-minta nem arnyos, az egyes felvtelek adatait csak slyozssal -orszgos szintre feJszorzssal - lehet fe ldolgozni. A rtegek szorzfaktora a npszmllskori teljes s a felvtel sorn megfigyelt laksszm hnyadosa.

E.8. A krdves felmrsek esetben gyakori a nemvlaszols jelensge, amikor egy vlaszad vagy a krdv egszre, vagy bizonyos krdsekre nem hajland vlaszolni. Az utbbi esetben felmerl, hogy a hinyz ada-tokat egyb httr-informcik segtsgvel hogyan lehet esetleg kezelni, imputlni. Az egyik lehetsg a hinyz adatok elhagysa. Ennek ktfle mdja

kpzelhet el, amely lehetsgeket a szmtgpes programcsomagok ltalban vlaszthat opcikknt felajnljk. Az egyik megolds azon megfigyelsek teljes elhagysa, amelyek esetben brmely krdsre hinyzik egy vlasz. (Ez tulajdonkppen azt jelenti, hogy ennyivel csk-ken a mintaelemszm.) Ezt az opcit a szmtgpes programok ltalban list1vise nven rvidtik. A ms ik megolds szerint (pairwise) csak akkor hagyjuk el a vizsglt megfigyelst, ha egy adott szmolshoz szksgnk van r. Egyvltozs elemzsekkor termszetesen nincs jelentsge, hogy melyik kezelsi mdot vlasztjuk, de tbbvltozs elemzsekkor klnb-sget okoz az eredmnyekben. Ha pldul tbb vltoznk van, s pron-knt kapcsolatszoross

neme, letkora s iskolai vgzettsge minden krdezett esetben ismert volt. Amennyiben a hinyz 20 ember bizalmi vrakozsi indext becslni akarjuk, az albbi egyszer lehetsgek llnak rendelkezsre:

Ptolhatjuk az adatokat az ismert adatok tlagvaL Amennyiben ismertek olyan httrvltozk, amelyek befolysoljk

a hinyz adatokat s a httrvltozk ismrvvltozatai ismertek, akkor ezek ismeretben ptolhatjuk a hinyz adatokat. A ptls tr-tnhet olyan mdon, hogy a httrvltozk tbbdimenzis megosz-lst vve az egyes "cellkba" tartoz hinyz adatokat az adott cel- la tlagos rtkvel vagy egy adott cellba tartoz vletlenszeren

kivlasztott adattal helyettestjk. Az elz mdszer korltja, hogy ha sok a felhasznlhat httrvlto-

z, akkor a tbbdimenzis kombincis tbla egyes celliban kevs, vagy sokszor egyetlenegy megfigyels sem lesz. Egy gyakran hasz-nlt mdszer, ami ezt a problmt kikszbli, hogy az ismert httrvltozk s a hinyz adatokat tartalmaz ismrv kztt a

ksbbiekben trgyalt tbbvltozs regressziszmts mdszervel sszefggseket becslnk, s ezt hasznljuk fel a hinyz adat ptlsra.

A GY.135.-ben ismertetett minta esetben bemutatjuk a 600 ismert bizal-mi index adat tlagt s szrst, illetve a ktfle mdon ptolt 20 adat utn a 620 adat tlagt s szrst. rdemes nyomon kvetni, hogyan hat a ktfle ptls a minta tlagra s szrsra! A GY .135.-ben lttuk, hogy a bizalmi indexre hat az letkor s az iskolai vgzettsg, azaz ezeket az informckat rdemes felhasznlni. A bizalmi index tlaga s szrsa cellnknt a kvetkez:

A bizalmi index tlagos rtke letkor s iskolai vgzettsg szerint:

Iskolai vgzettsg 18- 30 v 31-45 v 46-60 v 61- v SSzesen Nincs rettsgi 58,8 59,2 60,0 57,7 59,2 Erettsoi 70,5 71,9 69 9 71,1 70,8

Felsfok 81,1 78,5 76,8 85,8 79,2 sszesen 67,5 67,6 66,2 66,8 66,9

Az tlag s szrs rtke a mintban:

Megnevezs n tlag Szrs Eredeti vltoz 600 66,9 13,6 Hinvz adatok a ftlaggal ptolva 620 66,9 13,4 Hinyz adatok a cellatlaggal ptolva 620 68,0 13,5

134

T.89. Mit jelent a vletlen mintavtel? A mintaelemeket A) elre nem ismert valsznsggel; B) elre ismert valsznsggel; C) tallomra; D) szubjektv mdon vlasztjuk ki.

T.90. Mit jelent a minta reprezentativitsa? A) A minta nagy mintnak tekinthet. B) A minta eloszlsa normlisnak tekinthet. C) A minta sszettele csak a vletlen hatsra tr el a sokasg sszette-

ltl. D) A rninta eloszlsa aszimptotikusan normlis eloszls.

T.91. Mit neveziink mintavteli e/oszlsnak? A) A mintaelemek eloszlst. B) A mintajellemz sszes lehetsges mintn felvett rtkeinek egyttes

eloszlst. C) A lehetsges mintasokasgok elemeinek egyttes eloszlst. D ) A sokasg eloszlst.

T.92. Tegyk fel, hogy valamely Y ismrv tlagt egy 4 millis sokasgbl vett 400 elem minta alapjn becsljk. Az albbiak kziil a nntavtel vgrehajtsa eltt mi(k) tekinthet(k) valsznsgi vltoznak?

A) Csak az y. B) Csak az y; elem. C) Csak az 11. D) Az y; s az y . ,

T.93. Tegyk fel, hogy N= 8,5 millis sokasgbl Y becslse cljbl FAE-mintt vesznk. A so kasgi szrs

T.94. Tegyk fel, hogy n= !600 elem mintbl becsljk a szmtani tlagot. A vizsglt ismrv eloszlsrl nincs informcink.

Vlassza ki a megkezdett mondat helyes folytatst! A lehetsges rnintatlagok

A) eloszlst sem ismerjk; B) eloszlsa kzeltleg normlis eloszls; C) eloszlsa megegyezik az ismrv sokasgi eloszlsval; D) egyenletes eloszlst kvetnek.

T.95. Az albbi vltozatok kziif melyikben vamzak kizrlag csak vletlenen alapul mintavteli eljrsok? A) Egyszer vletlen, kvta, csoportos. B) Fggetlen azonos eloszls, koncentrlt. C) Rtegzett, ktlpcss, csoportos. D) Kvta, egyszer vletlen, koncentrlt.

T.96. Rtegzett min.tavtelt alkalmazva milyen esetben kapunknslyoz mintt?

Ha a minta rtegek kzti sztosztsa

A) a szrssal arnyos elosztssal trtnik; B) optimlis elosztssal trtnik; C) arnyos elosztssal trinik; D) egyenletes elosztssal trtnik.

T.97. Milyen clbl alkalmaznak rtegzett mintavteli eljrst? A) Terletileg jobban koncentrlt mintt ad. B) Nagyobb pontossg mellelt kisebb kltsggel jr. C) Nincs lista a sokasg egysgeirL D) Azonos mintaelemszm mellett kisebb mintavteli hibval jr.

T.98. Valamely vrosban a szellemi foglalkozsak 60%-a a versenyszfrban, 40%-a a kltsgvetsben dolgozik. 2003 mjusra a havi tlagjvedelem becslse cljbl 400 elem minta alapjn tervezik becslni a havi tlag-jvedelmet. Az elz vrl ismeretes; hogy a havi jvedelmek szrsa a versenyszfrban 70 ezer Ft, a kltsgvetsi szfrban 25 ezer Ft volt.

Optimlis rtegzs esetben milyen legyen a minta szlosztsa a verseny-s-;fra s a kltsgvets kztt?

136

2

A) 240, 160; B) 250, 150; C) 200, 200; D) 323, fl':

T.99. Mire hasznljuk ajackknife mdszert? A ) A becslfggvny torztsnak cskkentsre. B) A mintavteli hiba cskkentsre. C) A nntavteli hiba szmtsra. D) A hinyz adatok ptlsra.

T.IOO. Mi a panelfelvtel? A) Azonos sszettel rtegekbl ll minta. B) Azonos cl rszmintkbl ll minta. C) Az azonos cl megfigyelst klnbz idpontokban azonos, vagy

rszben azonos minta alapjn ksztik. D) Tbblpcss, rtegzett minta kombinlt alkalmazsa.

137

~

X. STATISZTIKAl BECSLSEK

A statisztikai becslsek s a statisztikai prbkfejezetek pldiban elvileg egyedi adatokbl becslt mintajellemzkre lenne sziiksg, azonban a knnyebb ttekinthetsg rdekben a nagyobb mintaelemszm pldk az osztlykzs gyakorisgi sorokat tartalmazzk.

GY.137. Egy bank t budapesti fikjban a foglalkoztatottak szma 2003-ban: 26, 25, 13, 12, illetve 10 f. A sokasgbl szrmaz 2-, 3- s 4-elem EV -mintk nhny adata:

Mintaelemek y

26, 25 25,5 26, 13 19,5 26 o J 18 26. 12 19 25, 13 19 25, 10 17,5 25, 12 18,5 13, 10 11,5 13, 12 12,5 10, 12 ll

Mintaelemek y 26, 25, 13 21,33333 26,25,10 20,33333 26,25,12 21 25. 13. 10 16

- 25, 13, 12 16,66667 26, 13, 10 16,33333 26, 13, 12 17 26, 10, 12 !6 25, 10, 12 15,66667 13, 10, 12 11,66667

Mintaelemek y 26. 25, 13, 10 18,5 26, 25, 13, 12 19 26, 25, 12. 10 18,25 25, 13, 12, 10 15 26, 13, 12, 10 15,25

138

sz= L: (y;- Yi n-1

0,5 84,5 12 8 . 98 72

J 12,5 84,5 4,5 0,5 2

s2 52,33333 80,33333 61 63 52,33333 72,33333 61 76 66,33333

2,33333

s2

67 56,66667 70,91667 46 52.91667

ti

0,25 42,25 64 49 36 56,25 42,25

2,25 0,25 l

s2*

34,88889 53,55556 40,66667 42 34,88889 48,22222 40,66667 50,66667 44,22222

1.55556

s 2*

50,25 42,5 53,1875 34,5 39,6875

\

l

F

l

Feladat

Vizsglja meg, hogy EV mintavtel esetn torztatlan becslfggvnye-e

- LY; -l. Y=-- az Y-nak, n

2 L (Y -:Yi ? 2. s = ' a CJ--nek, n - l

s2 n 3. var(y) = -(1--) a Var(y )-nak! n N

?

'

GY.138. Egy p vrhat rtk s (/ szrsngyzet sokasgbl 4-elem FAE-mintt vesznk, s a 0= p paramtert a

s

becslfggvnyekkel becsljk.

Feladat

Hasonltsa ssze a kt becslfggvny hatsossgt!

E.9. Egy n-elem FAE-mintbl a sokasgra vonatkoz ismeretlen P arnyt a

~ k 11=-n

s ~ k +l p,---2- n + 2

becslfggvnyekkel becsljk, ahol k a bennnket rdekl esemny elfordulsainak szma a mintban. A kt becslfggvny hatsossgnak sszehasonltsa: Mivel k B(n,p) eloszls, vrhat rtke s variancija: E(k) = nP s Var(k) = nP(l- P)= nPQ.

Ebbl:

139

-Tekintettel arra, hogy P2 nem torztatlan, a kt becslfggvny hatsos-sga csak az Mse mutatval vethet ssze:

" " nPQ PQ Mse(fi) = V ar( lj) = - 2- = - ; n n.

A kvetkez tbla azt mutatja, hogy adott n mellett P milyen rtkeire jobb az egyik becslfggvny, mint a msik.

Mse p ll= 100 ll= 200 ll= 500

pl P z pl P z pl P z 0.10 0,000900 0,000927 0,000450 0,000457 0,000180 0,000181 0,20 0,001600 0,001572 0,000800 0,000793 0,000320 0,000319 0,30 0,002100 0,002034 0,001050 0,001033 0,000420 0,000417 0.40 0,002400 0,002311 0,001200 0,001177 0,000480 0,000476 0.48 0,002496 0,002399 0,001248 l 0,001223 0,000499 0,000495 0,49 0,002499 0,002402 0,001250 l 0,001225 0,000500 0,000496 0,50 0,002500 o 002403 0,001250 l 0,001225 0,000500 0,000496 0,51 0,002499 0,002402 0,001250 0,001225 0,000500 0,000496 0,52 0,002496 0,002399 0,001248 0,001223 0,000499 0,000495 0,60 0,002400 0,002311 0,001200 0,001177 0,000480 0,000476 0,70 0,002100 0,002034 0,001050 0,001033 0.000420 0,000417 0,80 0,001600 0,001 572 0.000800 0,000793 0,000320 0,000319 0,90 0,000900 0,000927 0,000457 0,000457 0,000180 0.000181

GY.139. Valamely fo ly egy vre jut radsainak szma idben lland, s az egyes vekben bekvetkez radsok szma fggetlen egymstl. Tz egymst kvet vben az radsok szma: 2, 3, O, O, 1, 1, O, l, 2, O.

Feladat Adjon ML-becslst az radsok sznw eloszlsnak ismeretlen paramte-rre ltalnossgban s a konkrt esetben!

GY.140. Ismert, hogy egyes termkek lettartama f(y) =Ji e-yfJ.. srsgfggvnnyel jellemezhet exponencilis eloszlst kvet.

Feladat Mutassa meg a paramter ML-becslst ltalnossgban egy n elemz' minta alapjn!

140

1 (lJn-1 _LY; (lJnL Y _LY; ~ --n - e ;. + - - -1 e ;. = 0; A.2 A A ,{,2

B.ll. Egy Magyarorszgon nagy szmban forgalmazott szemlygpkocsi-tpusra a gyri fogyasztsadat 7,0 1/100 km 0,21/100 km trshatnal (hibahatr-ral) a vrosi, a 90 km/h, valarnint 120 kmlh sebessg melletti fogyaszt-sok tlaga szerint mrve. A forgalmaz rnintavteles eljrssal kvn informcit kapni arrl, hogy a gpkocsitpusnak tnylegesen mekkora a vrhat fogyasztsa. A berkezett szlltmnybl 25 tag mintt vettek, s grgs prbapadon mrtk a fogyasztsukat A mrsi eredmnyek a kvetkezk (l/l 00 km): 7,15 7,42 7,07 7,26 7,32 7,53 7,12 7,21 7,34 7,13 7,35 7,56 7,41 7,01 7,18 7,31 7,40 7,43 7,26 7,28 7,12 7,38 7,30 7,18 7,28. A fogyaszts normlis eloszls vltoznak tekinthet.

Feladat Ksztsen 95%-os megbzhatsg intervallumbecslst a vrhat tlagos fogyasztsra vonatkozan! Megolds

A 25 gpkocsi fogyasztsnak tlaga:

~ y-y= _L._, = 7,28 UIOO km. n

A 0,2 UlOO km trshatr alapjn (95%-os megbzhatsgi szintet felttelezve) a gyr l tal megadott szrs:

. 0,2 u r= - :: 0,1 U!OO km.

. 1,96

A gyri fogyasztsi adatok szrsnak felhasznlsval a vrhat tlagos fogyaszts 95%-os megbzhatsgi szinthez larloz konfidenciaintervalluma:

Into 95 (.u) =y z a o-,= 7,28 1,96 ~ = (7,28 0,04) 1/100 km. . 1-2 . ...;25

141

A 25 elem minta konfidenciaintervalluma 95%-os megbzhatsgi sznten nem tartal-mazza a gyr ltal megadot~ fogyasztsi normt. Az tlagos fogyasztsi rtkek eltrse utn a fogyasztsi adatok trshatrt is megvizs-gltlc A sokasgi szrs torztatlan becslse:

95%-os megbzhatsgi szintet vlasztva a szrs konfidcneiaintervalluma:

s2 (11- l ) lnto.9s(u) = 2 - l----=---'-

Xo.915

0,142 . 24 =

12,4

= (0,109; 0,195)

Mivel a gyri szrst (0,1 VIOO km) a szrs mintbl becsUJt konfidenciaintervalluma nem tartalmazza, ezrt a vrhat tlagos fogyaszts konfidenciaintervallumnak szmtshoz a mintabcli szrst indokolt hasznlni. A becslilt szrsadat miatt az n - l szabadsgfok t-eloszlst kellett figyelembe venni.

to.97s(24) = 2,06. A 95o/o-os megbzhatsghoz tartoz konfidcnciaintcrvallum:

lnt0.95(1f) =y t a Sy= 7,28 2,06 Q~ = 7,28 2,06 0,028 = t-2 v25

= (7,280,058) VlOOkm.

A mntbl kapott intervallumok a gyrilag megadott fogyasztsi rtket (95%-os megbz-hatsgi szntcn) most sem tartalmazzk. A mintbl szmftott szrssal tgabb intcrval-lumot kaptak, mely rszben a gyrilag megadolt rtknl nagyobb szrsnak, rszben a nagyobb bizonytalansg 1-becslsnek ksznhet.

GY.l41. Valamely azonnal oldd kvkivonalot automata tlti az vegekbe. Elz adatfelvtelekbl ismeretes, hogy a gp ltal tlttt sly normlis eloszls valsznsgi vltoz, 1,5 g szrssal. A gp pontossgnak ellenrzsre vett 16 elem mintban (FAE-minta) az vegekben lv kvgranultum slya (g): 55, 54, 54, 56, 57, 56, 55, 57, 54, 56, 55, 54, 57, 54, 56, 50.

Feladat

Ksztsen 95o/o-os megbzhatsggal intervallumbecslst a vrhat tla-gos tltslyra:

142

a) a megadott felttelek alapjn; b) felttelezve, hogy az eloszls tpust nem ismerjk, csak a szrst

( a-= 1,5 g); c) felttelezve, hogy az eloszls normlis, de a szrs ismeretlen!

GY.142. Egy gp 1000 grammos konzerveket tlt. A tltsly ellenrzsre 9-ele-m vletlen mintt vettek a termelsbl, s az albbi nett slyokat mrtk (g-ban): 992, 1001 , 995, 1000, 998, 1004, 999, 1002, 1000.

(A tltsly normlis eloszlsa felttelezhet.)

Feladat Hatrozza meg 98%-os megbzhatsggal a kszlt termkek tlagos slynak konfidenciaintervallumt! Eredmny

y == 999 g, 3,64 l 2 S\- = r;; = , l g; v9

s=3,64g,

s 6 1- =t "(v) 1 = 2,9 l,2l=3,5 g;

. 1-2 vn

lnt0.98(,u) =999 3,5 = (995,5; l 002,5) g.

GY.143. Egy szemes kvt csomagol zem automata gpn kszlt J deks csomagokbl 12-elem FAE-mintt vettek, ezeket rendre jramrtk, s azt talltk, hogy a csomagokban

100, 103, 102, 102, 97, 99, 102, 98, 101, 97, 99, 103 gramm kv volt. A tltsly normlis eloszls valsznsgi vltoznak

tekinthet.

Feladat

a) Ksztsen 95o/o-os megbzhatsggal intervallumbecslst az tlagos tltsi mennyisgre!

b) Minimlisan hny csomagot tud tlteni a gp egy tonna kvb6l?

143

GY.l44. Egy konzervgyrban az egyik adagol automatnak 500 gramm sly anyagot kell dobozokba tlteni. A gp ltal tlttt dobozokbl vett minta adatai: 483, 502, 498, 496, 502, 494, 491, 505, 486. (A gp ltal tlttt sly normlis eloszls, 8 g szrssal.) Feladat Hatrozza meg a gp ltal tlttt dobazok slynak konfidenciainterval- lumt 98,8%-os megbzhatsgiszint me/lett!

Eredmny

y =495 g; 6.)'= 2,51 . 2,67 = 6,7 g;

Int0.988(1t) =495 6, 7= (488, 3; 501. 7) g.

GY.l45. Egy biztost j poggyszbiztostsa elksztsre mintavteles techni-. kval vizsglja a klfldre utazk szoksait. Kt szempont rdekli a biz-tostt, az utazs idtartama (nap) s a poggysz rtke (Ft). Az utazs idtartama (korbbi felmrsek alapjn) egymdusz, arnylag szimmetrikus eloszlst kvet, ezrt az ltaluk biztostott 8600 utasbl

30-elem vletlen mintt. vesznek: Utazs idtartama,

nap F

O- 5 2 6-10 7

11-20 14 21-30 6 31- l

sszesen 30

A mintbl szmtott jellemzk: y= 15,55 nap; s =7, 73 nap. A poggysz rtknek vizsglathoz 100-elem nntt vesznek:

A poggysz rtke, F Ft -10000 3

10 001-20 OOO 20 20 001-30 OOO 35 30 001-40 OOO 17 40 001- 50 OOO 10 50 001- 60 OOO 8 60 001- 7 sszesen 100

144

A lllintbl szmtott jellemzk: y= 31 300 Ft; s = 15 351 Ft.

Feladat a) lviirt kell a poggysz rtknek becslshez nagy mintt venni? b) Mekkora 95%-os megbzhatsggal a kt ismrv tlaga? c) Az utazs idtartamnak vizsglatramekkora mintt kell venni 5%-os

relatv hibahatr mellett? d) A biztost ltal biztostott utasok sszesen hny napot tltttek kiilfl-

dn, s sszesen mekkora rtket biztostanak utazsuk sorn 95o/o-os biztonsggal?

GY.146. A magyarorszgi 2,5 milli szemlygpkocsi ves futsteljestmnynek vizsglatra 600 gpkocsit vlasztottak ki vletlenszeren. A mintba kerlt gpkocsik tlagosan 8830 km-t futottak 2002-ben, 3620 km szrs-sal. A futsteljestmnyek sokasgi eloszlsrl nem rendelkeznk infor-mcival.

Feladat

a) Becslje meg 95%-os megbzhatsgi szinten a magyarorszgi gpko-csik tlagos ves futst!

b) A magyar szemlygpkocsik sszesen mennyitfutottak 2002-ben, 95%-os nz,egbzhatsgi szinten?

c) Mit lehet mondani egy vletlenszeren kivlasztott kocsi ves f uts-teljestmnyrl (felttelezve, hogy 2002-ben a futstelj estmny szrsa 3600 km), 93,75%-os megbzhatsggal?

Eredmny

a) n = 600; y = 8830 km; 3 620 ST= ~ = 147,79 Icm; v600

6. y= l ,96 147, 79= 290 km; Int095(i1) = (8540; 9120) km.

b) Int0.95(Y') = (8540; 9120) 2,5 milli km.

c) n = l ; alapjn k = ~ 1- 0,19375 =4; Sy = Sy = 3600 km; 6. y = 4 3 600= 14 400 km; Int0,9375 = (0; 23 230) km.

145

-GY.l47. Egy 400 g tltsre belltott mospor-csomagol automatnak kvnjuk ellenrizni a pontossgt. Elz adatfelvtelek alapjn felttelezhet, hogy a gp ltal tlttt sly normlis eloszls valsznlisgi vltoz, 10 g szrssal.

Feladat Mekkora minta szksges az tlagos tltmennyisg becslshez

a) i:5 g pontossg kvetelmny s 95%-os, 98%-os, 99%-os megbzhat-sg mellett;

b) 10 g pontossg s 95%-os megbzhatsg mellett?

GY.148. Egy nemzetkzi turisztikai tmj kzvlemny-kutats arra is rkrde-zett, hogy a mintba kerlt szemlyek mennyire tartjk biztonsgosnak az egyes orszgokat. A kzlt adatok szerint Magyarorszgot a mintba kerltek 50%-a nem tartja biztonsgosnak, de mint kiderlt, ezt a kvet-keztetst 14 megkrdezett vlaszai alapjn szrtk le.

Feladat Ha a sokasgi arny 30%, mekkora valsznsggel fordul el legalbb ht olyan szemly egy ]4-elem F AE-mintban, aki nem tartja biztons-gosnak az orszgot? A binomilis eloszls valsznsgei:

k (")o 3k0 7 14-k k ' '

k (n )o 3ko 714- k k ' '

o 0,0068 l 0,0407 8 0,0232 2 0,1 134 9 0,0066 3 0,1943 10 0,0014 4 0,2290 l l 0,0002 5 0,1963 12 0,0000 6 0,1262 13 0,0000 7 0,0618 14 0,0000

sszesen - -

1,0000

Eredmny

9,32% valszfnsggel fordul el legalbb ht szemly.

146

..

GY.149. A politikai kzvlemny-kutatsok ltalban 1000-elem FAE-mintkat hasznlnak.

Feladat

A fenti elemszm minta esetn mekkora a konfidenciaimervalluma egy politikus szzalkos ismertsgnek 95%-os megbzhatsggal, a) ha a pontbecsls 5%; b) ha a pontbecsls 46%; c) ha a pontbecsls 95%; d) ha a pontbecsls rtke nem ismert?

,.

GY.lSO. A npszavazsi kezdemnyezseket 100 OOO alrs alapjn tekintik rv-nyesnek. Az alrsok hitelessgt mintavteles technikval ellenrzik. Egy alkalommal egy krdsben. 140 OOO alrst gyjtttek ssze. Egy

3000-elem FAE-minta alapjn a hiteles alrsok arnya 70%. (Az sz-mt hitelesnek, aki csak egyszer szerepel a mintban s ltezik, illetve az adott nvhez tartozik a megadott szemlyi azonost s lakcm.)

Feladat

a) Tekinthet-e rvnyesnek vagy rvnytelennek 99%-os megbzhatsg-gal a kezdemnyezs?

b) Hny hiteles alrsnak kellene lennie a mintban, hogy 99o/o-os meg-bzhatsggal egyrtelmen hitelesnek nyilvnthat legyen a kezde-mnyezs?

Eredmny

a) A problma jellege csak az als korlt becslst teszi szksgess:

p = 0,7; s = p o. 7 . 0,3 = o 008: 3000 . 0,68136 140 OOO ~ 95,4 ezerf.

A kezdemnyezs rvnytelennek tnik.

o. 7 - 2,33.0,008 = 0,68136;

b) (p-2,33sp)l40>1 00 ~ p >0,7329 ~ n>2l 98.

GY.151. Egy kutatlaboratrium valamely hatves korban beadand vdolts dzisnak be1ltshoz 100 FAE mdon kivlasztott gyermek testslyt mrte meg. A testsly normlis eloszls vltoznak tekinthet.

147

Testsly, Gyermekek szma, kg f

15,1-17 4 17,1-19 20 19,1-21 55 21,1-23 14 23,1-25 l 7 sszesen 100

A mintbl szmtott jellemzk: y = 20 kg; s = l, 78 kg.

Feladat

a) Becslje meg 95%-os megbzhatsgi szinten - a 6 ves gyermekek tlagos testslyt, - a 21 kg-nl slyosabb gyermekek arnyt!

b) Mekkora minta szksges, ha az tlagbecsls hibjt felre kvnjuk cskkenteni (azonos megbzhatsg mellett)? :' .

c) Mekkora mintra van sziiksg, ha az a) pontbeli tlagbecsls pontos-sgt 99%-os megbzhatsgi szinten kvnjuk biztostani?

GY.152. A lgi kzlekedsben fontos figyelemmel ksrni az utasok tlagos test-slyt, egyrszt, hogy ne terheljk tl a gpet, msrszt, hogy ne utazzon a gp fls kapacitssal. Ezrt idrl idre mintavteles technikval

ellenrzik az utasok tlagos testslyt, illetve annak klnbzsgt (az utasok testslynak normlis eloszlsa - tbb vizsglat tansga szerint -

felttelezhet). Egy 1 00-elem vletlen minta eredmnye:

Testsly, Utasok szma, kg f - 60 7

61-70 16 71- 80 32 81- 90 28 91-100 13

101- 4 sszesen l 100

Amintbl szmtott jellemzk: y= 78,6kg; s = 12,187kg.

Feladat

Becslje meg 95%-os biztonsggal az utasok testslynak tlagt s a testsl.ly szrst!

148

GY.153. Egy lelmiszergyrban-tbbek kztt- l kg-os darabos gymlcskon-zerveket csomagolnak automata tltgppeL Korbbi felmrsek szcrint a tltsly normlis eloszlsa felttelezhet. A napi termels ellenrzsre vett 100-elem FAE-minta tltsly szerinti megoszlsa az albbi:

Doboz tltslya (g) Darab 975- 985 6 985- 995 23 995-1005 47

1005-1015 22 1015-1025 2 sszesen 100

Feladat a) Ksztsen. az tlagos tltslyra 95%-os megbzhatsggal interval-

lwnbecslst! b) Mekkora nntra van szksg, ha az a) pontban meghatrozott becsls

pontossgt 99o/o-os megbfzhatsgi szimen kvnjuk garantlni? c) Ksztsen a tltsly szrsra 95%-os megbzhatsg ko11fidencia-

intervallumot!

Eredmny

a) y= 999,1 g; s =8, 77 g; sy- = 0,877 g; D.y- = 1,96 . 0,877 = 1,7 g; lnto9sd'> = (997,4; 1000,8) g.

b) n= 176 db.

( 998,772

c) lnLo 9s(CT) = ; o 129,6

99 8,772] =(7,7; 10,1)g. 74,2

GY .154. A klnbz gyrtmny (benzinzem s gzzem ) tehergpkocsikat mkdtetk kzl, egymstl fggetlenl, vletlen mjntt vettek a teher-gpkocsi-llomny tlagos letkornak becslsre:

Tehergpkocsik Tehergplmcsik Gyrtmny Elemszm tlagletkora, letkornak szrsa,

v v Benzinz.cm 100 12 4,5 Gzzern 70 8,7 4,2

A klnbz gyrtmny (Daewoo s Suzuki) szemlygpkocsik tlagos letkornak a becslsre ugyancsak egymstl fggetlenl vletlen mintt vettek a klnbz gyrtmny gpkocsikat zemeltet tulajdonosok kzl (lsd a kvetkez tblzatot):

149

Szemlygpkocsik Szemlygpkocsik Gyrtmny Elemszm tlagletkora, letkornak szrsa,

v v Daewoo 50 3,4 2,2 Suzuki 30 4,1 3,0

Mind a teher-, mind a szemlygpkocsiknl a klnbz gyrtmny gpkocsik letkornak azonos szrsa s a csoportonknti normlis elosz-lsa felttelezhet.

Feladat

Adjon 95%-os megbzhatsgi szinten becslst arra, hogy hny vvel idsebb tlagosan - a benzinzem tehergpkocsi-llomny a gziizemnl; - a Suzuki szemlygpkocsi-llomny a Daewoo-nl!

GY.lSS. A pincrek lthatatlan jvedelmnek becslse cljbl tz kivlasztott pincr bevallott havi borravaljnak ismeretben a vendgkr vlemnye alapjn megbecsltk a tnyleges borraval nagysgt is . A minta adatai a kvetkezk:

Sorszm Bevallott Tnyleges

borraval, FUh l. 400 0 9 OOO 2. 2000 5 300 3. 3 500 6000 4. 5000 9 800 5. 1800 4 300 6. l 6000 10 100 7. 2 800 5 900 8. 1500 4 200 9. 3 900 9 400

10. 4400 !O 500

A tnyleges s bevallott borraval sszege normlis eloszls vltoznak tekinthet.

Feladat

Becslje meg 95%-os biztonsggal, hogy tlagosan m.ekkora sszegi borravalt nem vallanak be a pincrek!

GY.156. Valamely rgiban a vllalkozi s sajt kivitelezsben plt laksok k-zl 250-250 lakst vlasztottak ki az tlagos kivitelezsi id eltrsnek

150

vizsglatra. (A kivlasztsi arny mindkt csoportban alacsony volt, a mintk FAE-mintnak tekinthetk.) A vllalkozi kivitelezsben plt laksok esetn a 1nintbl szntott tlagos kivitelezsi id 16 hnap, a szrs 5 hnap. A sajt kivitelezsben ptett laksok esetn a mintban az tlag 25 hnap, a szrs 6 hnap.

Feladat Becs(je meg 95%-os megbzhatsgi szinten a ktfle kivitelezsben plt laksok tlagos kivitelezsi idejnek klnbsgt!

Eredmny

lnt0.95 (c5) =9 0,97 hnap.

GY.l57. Egy adott negyedvben 100 OOO f ksztett egyszerstett vllalkozi adbevallst (eva). A bevallott ad sszege 4,6 millird Ft volt. Az ad-bevallsok ellenrzsre 1000 elem mintt vesznek. A Inintavtel ered-mnyei:

Bevallott ad, Tnyleges F Ft adktelezettsg, Ft l 35 400 26000 2 31600 i 31 600

1000 115 OOO !26 200 Atta g 44000 48000 Szrs !8 OOO 21 OOO

A mintban a bevallott s tnyleges ad sszege kzti korrelcis egytt-hat rtke 0,82.

Feladat Becslje meg 95,5%-os megbzhatsggal a tnyleges ad nagysgt - csak a minta informcii alapjn; - a bevallott adsszeget is felhasznlva tbbfle becslfggvnnye l!

GY.158. Egy megyben 20 OOO hztartsban tartanak kacst. A 2001. v eleji llat-szmlls sorn (nkitlts krdv) sszesen 125 OOO kacsrl adtak sz-mot. A bevalls ellenrzst egy 300-elem vletlen minta alapjn vgez-tk el. A 300 hztarts felmrse sorn a kvetkez informcik vltak ismertt:

151

...-.

l

Kacslc szma 1450 Kacslc bevallott szma 1300 Kacsk szmnak relatv szrsa 32% Akacsk bevallott szmnak relatvszrsa 26% A tnyleges s bevallott szm kzti lineris korrelcis kapcsolat 0,71

Feladat

Becslje meg 95%-os megbzhatsggal a bevallsi arnyt s ennek segt-sgvel a megye tnyleges kacsallomnynak nagysgt!

GY.l59. Reprezentatv felvteHel kvnunk becslst adni 2001 -ben az alkalmazs-ban ll 3,0 milli trsadalombiztostsra jogosult tppnzes napjainak szmra. A sokasgbl vett 1000-elem EV-minta alapjn az egy jogo-sultra es tppnzes napok szma 12,3, aszrsa 10,5 nap. 2000-ben az alkalmazsban llk sszes tppnzes napjainak szma 36 mil-li nap volt. 2000-ben a 2001-ben kivlasztott ezer fnl az egy fre jut tppnzes napok szma 12 volt, 10 nap szrssal. Amintra vonatkozan a kt vben a tppnzes napok szma kztti korrelcis egytthat +0,8.

Feladat

Becslje meg a 2001. vi tppnzes napok sszes szmt (megbzhatsgi szint 95%) a) csak a 200 J. vi nntra tmaszkodva; b) a 2000. vi informcikat is felhasznlva hnyados tpzts becslssel! Eredmny

a) Int0.95(Y') = ( 12,3 l, 96 j1~0 } 3 milli = (34, 95; 35,85) mi11i nap. b) Ir= 123 =l 025 12,0 '

r---------------------s = J ,025 (10,5 )2 +(.!..2.)2- 2. 10,5 . .!..2.. 0,8 = 0,0173; 11

.Jwoo 12,3 12 12,3 12 lnt095(Y') = (1,025 1,96 0,0173) 36 milli = (35,68; 38,12) milli nap.

GY.160. Egy hetilap 2002. v elejn minden elfizetjtl megkrdezte, hogy mennyit szn abban az vben az adott jsgra (Ft/v). Az eredmnyek:

Elfizetk szma 15 ezer f tlagos sszeg 7000 Ft

152

A kvetkez v elejn 600 vletlenszeren kivlasztott elfizett jra megkrdeznek (az elfizetk kre nem vltozott), s elkeresik az elz vi nyilatkozataikat is. Az eredmnyek (Ft/ v):

tlagos sszeg A megjellt sszeg szrsa

200 2 690 0 3 800

200 3 8 500 4 500

A kt eltr idpontban mondott sszeg kzti korrelcis egytthat rtk a mintban 0,82.

Feladat a) Becslje meg ktflekppen (sima tlagbecsls s hnyados tpus

becsls felhasznlsval), hogy a mondott sszegek alapjn mekkora bevtelre szmthat az jsg az elfizetktl 2003-ban!

b) Hasonltsa ssze a kt becslst elmletileg torztatlansg s hatsos-sg szempontjbl!

Eredmny

a) ln to, 95 (Y') = (8 500 l, 96 ~ } 15 OOO; lnt0,95 CY') = (1,232 l, 96 0,0163) 7000 15 OOO.

GY.161. Egy vros autplya ptsre sznja el magt. Ehhez klnbz tburkol anyagokat lehet ignybe venni, attl fggen, milyen forgalomra szmta-nak majd. Ezrt a meglv ton forgalomszmllst vgeznek vletlen-

szeren kivlasztott idpontokban . (Egy v forgalmt becslik oly m-don, hogy vletlenszeren kivlasztanak 50 napot, s ezeken a napokon szmoljk az thalad gpkocsikat.) A mintavtel eredmnye:

thalad gpkocsik Napok szma szma

-1000 7 1001-2000 10 2001-3000 16 3001-4000 10 4001-5000 6 5001- l sszesen 50

153

Feladat Becslje meg 95%-os biztonsggal, hny gpkocsi halad t a vroson egy v alatt!

GY.162. A szerencsejtk-felgyeletnl 760 flkar rabl tpus szerencsejtk-gpet tartanak nyilvn. Az adzs talaktsnak elksztshez szz

mkd gpet vletlenszeren kivlasztanak az engedlyezsi Iistbl, felkeresik a mkdsi helyeket s informcit szereznek, hogy mekkora volt a gpek egyves nett forgalma (nett forgalom= bedoblt pnzek-- nyeremnyknt kifizetett pnzek). Az eredmnyek: tlagos ves nett forgalom 2652 ezer forint ves forgalom szrsa 486 ezer forint

Feladat

a) Becslje meg 95%-os biztonsggal az sszes nett forgalmati b) Hny gpet kellett volna figyelni, ha ktszeres pontossg eredmnyt

szerettek volna elrni? c) Hny gpet kellett volna figyelni, ha az a) pont eredmnye elegend

pontossg, de 99%-os biztonsggallenne r szksg? d) Milyen biztonsggal lehetne az adott nntavtelbl az ves bevtelre

L1 =50 milli Ft pontossg becslst adni?

GY.163. Valamely autpiacon egy adott napon 1650 f vltott helyjegyet. Kijve-telkor minden tizediknek kt krdst tettek fel:

l. sikerlt-e eladni a kocsijt; 2. mita rulja autjt? A megkrdezettek kzl 33 adta el az adott napon a kocsijt. A mintba kerltek tlagosan ngy hnapja rultk kocsijukat, l ,8 h szrssal.

Feladat Becslje meg 95%-os biztonsggal: a) sszesen hny autt adtak el a piacon az adott napon; b) tlagosan hny hnapja ruljk a kocsijukat a tulajdonosok!

Eredmny

a) Int0,95(K) =(233; 427) aut; b) Int0,95 (Y) =(3, 7; 4,3) hnap.

154

B.12. Egyik nagy budapesti laktelepen a laksfeljtsokra s laks-korszer.-stsekre vonatkoz plyzat eltt a kzs kpviseletet ellt kft. a lakk szndkainak felmrsre 400 - gazdasgi aktivitsa szerint arnyosan rtegzett - tulajdonost krdezett meg arrl, hogy hny forintot kltene laksa korszerstsre. (A kivlasztsi arny igen alacsony volt, elhanya-golhat.) A rnintban 60%-os arnyt kpvisel, gazdasgilag aktv tulaj-donosok laksfeljtsra sznt sszegnek tlaga 1100 ezer Ft, a szrs 350 ezer Ft. Az inaktv tulajdonosok laksfeljtsra sznt sszegnek rnintabeli tlaga 600 ezer Ft, a szrs 200 ezer Ft.

Feladat

Becslje meg 95%-os megbzhatsggal az sszes tulajdonos tlagos laksfeljtsra sznt sszegt! Hasonltsa ssze a becsls hatsossgt az EV-mintval!

Megolds

A rtegzs arnyos, a gazdasgilag aktv s inaktv tulajdonosok sokasgi arnya meg-egyezik mintabeli arnyukkal, a kivlasztsi arny mindkt rtegben alacsony, elhanya-golhat.

_ L,njYj 2401100+ 160600 Y(AR) = --- = 900 ezer Ft; L,nj 4oo

2 L(11j -l )s] 239 3502 + 159 2002 sn = = --------

n-1 399

s8 =299 ezer Ft:

299 sv(AR) = r:;;::;:; = 15 ezer Ft; v400

,1Y

s~ = 149 467; sy = 386,6 ezer Ft; 386,6

sv = r;;:;;; = 19,3 ezer Ft; v400

6. -y = 37,8 ezer Ft.

Az tlagbecsls konfidenciaintervalluma: lnt0,95(Y) =900 37,8 =(862, 2; 937,8) ezer Ft. Az arnyosan rtegzett s az egyszer,vletlen mintbl trtn becsls relatv hatsossga amintbl becslve:

Az arnyosan rtegzett mintbl trtnt becsls variancija az egyszer vletlen mintn alapul becsls variancijnak kb. 60%-a. A rtegzett mintb61 trtn becsls pontosabb, a konfidenciaintervallum szkebb.

GY.164. Az alkalmazsban ll szellemi foglalkozsak 2002. v msodik negyed-vi havi brutt tlagkeresetnek becslse cljbl 1300 fs rtegzett, rte-gen bell egyszer vletlen kivlaszts mintt vettek:

Ltszm tlagkereset Rteg %-os megoszlsa a nntban, (ezer Ft)

az alapsokasgban f amintban Versenvszfm \ -55 .:~ - - . .

" 900\ 180

Kltsgvets 45 400 - 140 sszesen 100 1300

Ismeretes tovbb, hogy a keresetek mintbl becslt szrsa a verseny-szfrn bell 90 ezer, a kltsgvetsi szfrn bell pedig 40 ezer Ft.

Feladat Ksztsen 95%-os megbzhatsg tlagbecslst a) a versenysifrra; b) az sszes s~ellemifoglalkozst. alkalmazottral

GY.165. Valamely rgiban 5000 laks plt az elmlt vben. Az jonnan plt laksok kzl 500 lakst kivlasztottak rtegzett mintavtellel az tlagos kivitelezsi id becslse cljbl:

A laksok szma A kivitelezsi id nntbl Kivitelezs szntott a sokasgban l a nntban tlaga (h) szrsa (h)

Vllalkozi 3000 l 250 16 5 Sajt 2000 l 250 25 6 sszesen 5000 l 500

156

Feladat Becslje meg 95%-os megbzhatsgi szinten az tlagos kivitelezsi idt a) a vllalkozi kivitelezsben plt laksokra; b) az sszes Laksra!

Eredmny

a) Into.9s1) = ( 15,41; 16,59) hnap; b) In to.9s(i1) = (19,15; 20,05) hnap.

GY.166. Egy konjunktravizsglat alkalmval a kis-, kzepes s nagyvllalatok arnya a sokasgban 60- 20-20%. Egy l-tl 100-ig terjed skln krde-zik egy 600 elem rtegzett minta segtsgvel a kvetkez hrom hnapra vonatkoz konjunkturlis vrakozsaikat A felmrs eredmnyei:

Vllalat Vllalatok Vrakozsok tpusa szma tlaga szrsa

Kis 360 \35 21 Kzepes 120 50 18 Nagy 120 68 16 sszesen 600

Feladat a) Becslje meg 95,5%-os megbzhatsggal az tlagos vrakozs pont-

szmt.' b) Mekkora lenne az utbbi becsls rtke EV-mintt felttelezve? rde-

mes volt-e rtegeztzi?

GY.167. Egy vrosban 50 ezer gpkocsi van . Az ves tlagos javtsi kltsg becs-lsre 5000 gpkocsi-tulajdonost krdeztek meg a gpkocsi letkora sze-rint arnyosan rtegzett minta segtsgveL A felmrs eredmnyei:

Gpkocsi Gpkocsik ves javtsi kltsg letkora szma tlaga, ezer Ft szrsa, ezer Ft -3 1500

4-7 2 500 8- 1000 sszesen 5000

Feladat a) Becslje meg 95,5%-os megbzhatsggal

- a 4 vesnl fiatalabb, - az sszes gpkocsi tlagos ves javtsi kltsgti

36,0 12 70,0 24 95,0 40

157

b) Mekkora lenne az utbbi becsls rtke EV-mintt felttelezve? rde-mes volt-e rtegezni?

c) Becslje meg 95,5%-os megbzhatsggal, hogy a gpkocsi-tulajdono-sok sszesen hny forintot kltttek gpkocsi-javttatsral

Eredmny

a) A 4 vesnl fiatalabb gpkocsikra: - 12 ~ Int0955 (Y)=362 ~vl-0,1 =360,58=(35,42; 36,58)ezerFt.

vl500

Az sszes gpkocsira:

Y( AR) = 64,8 ezer Ft; s~ =651; s8 = 25,5 ezer Ft; s-1 = ~ .J0,9 = 0,34 ezer Ft;

-IARl vSOOO 6. Y!.AR) = O, 70 ezer Ft;

Int0.955(Y) = 64,8 O, 7 =(64, l; 65,5) ezer Ft.

b) sl =445; s2 = 1096; s =33,1; sr = ~ .J0,9 = 0,44 ezer Ft;

.(/!V) v5000 C.YW'l =0,90ezerFt;

lnt0,955(Y) =64, 8 0,9 =(63, 9; 65, 7) ezer Ft.

A kt becsls egymshoz viszonytott (becslt) relatv hatsfoka: 651 Efr(AR) = 1096

= 0,594.

c) Int0.955 (Y') = 50000 (64,1; 65,5) = (3205; 3275) milli Ft.

Megjegyzs: A kls s bels variancia becslsnl (n- l )-gye! trtnt a megfelel ngy-zetsszegek osztsa.

GY.168. Egy egyetemi vrosban a bevsrlkzpont zemelteti a multiplex mozi bvtst fontolgatjk. A gazdasgossgi szntsok sorn egy felmrs kszlt az egyetemi hallgatk kztt arra vonatkozan, hogy havonta mennyit kltenek a dikok moziltogatsra. A leglnyegesebb klnbs-geket a fik s a lnyok kltekezse kztt tapasztaltk. Elzetes felm-rsek alapjn a lnyok ltal mozra klttt pnz szrsa 890 Ft, a fik esetben 750 Ft. Az egyetemen 4200 fi tanul, a hallgatk 40%-a lny. Az egyetemistk moziltogatssal kapcsolatos kiadsainak becslsre 500 fs, optiml!sa!l __ rtt:?gzett mintt vlasztottak ki vletlenszeren. A lnyok

tlagosanT.Soo;~ a"'.fitki200 Ft-ot kltttek. Aszrsadatok nem mutattak szignifikns eltrst az elzetesen megllaptottaktL

158

Feladat

a) llaptsa meg a nntabeli e/osztst! b) Becslje meg 95%-os. valsznsgi szinten az egyetem hallgatinak

moziltogatsra f ordtott tlagos s sszes kiadst!

GY.169. Az MLSZ megbzsbl felmrst vgeztek, hogy mennyit kerestek egy adott vben a megyei szint bajnoksgokban szerepl labdargk. A 400 me gye i csapatbl l O labdargcsapatot vlasztottak ki vletlenszeren, s a 20-as jtkoskeret havi brutt tlagkeresett nztk meg:

A csapat A j tkosok tlagkereset e, A keresetek szrsa, neve ezer Ft/hnap/f ezer Ft

Hsos SC 210,0 54,8 Aclntk 182,4 64,4 Erd Mez Virgai 204,8 66,4 MHB becski likja FC 212,0 74,8 Hortobgyi Torped 178,8 66,0 Fradt mkusok 166,0 59,2 Bszke sasok 183,2 64,4 Biatorbgyi robbant 192,0 65,6 J zs i bcsi fi ai 200,3 68,4 Tiszai halsz SC 198,8 68,0 sszesen

Feladat a) Becslje meg 95%-os biztonsggal a megyei bajnoksg labdarginak

adott vi havi tlagkereserti b) Hasonltsa ssze a becsls hatsossgt a 200-elem vletlen minta-

vtelbl szrmaz tlagbecsls hatsossgval, ez alapjn jellemezze a csoportok homogenitst!

GY.170. Az lelmiszerboltokban rendszeresen vgeznek ellenrzst arra vonatko-zan, hny Ft-tal csapjk be a vsrlkat. 200 1-ben tz egymstl fggetlen, 100-100 elem vletlen mintt vettek, s megnztk a vsrl szml jt, illetve vsrl sa tnyleges rtkt

159

,.... ,.

A tz mintavtel eredmnye:

Mintavtel A tbbletszmols sorszma tlagos sszege, Ft

l. 55 2. 60 3. 50 4. 80 5. 50 6. 90 7. 60 8. 40 9. 70

10. 85

Feladat

Becslje meg, hny Ft-tal krosrottk meg 2001-ben a vsrlkat! (2001-ben a kiskereskedelmi lelmiszer-forgalom sszege 1762 Mrd Ft, egy vsrls tlagos sszege 2500 Ft volt.)

GY.171. Egy kzvlemnykutat-intzet 1000 felntt szemlyt megkrdezett arrl, hogy mekkora fogyaszti rindexre szmt 2002 s 2003 kztt. A minta-vtelre t egymstl fggetlen s azonos nagysg rszminta kivlasztsa tjn kerlt sor. Az t rs:z:minta adatai:

Rszminta tlagos vrt fogyaszti sorszma rindex,%

l. 105 2. 106 3. 104 4. 107 5 108

Feladat

Ksztsen 95%-os megbzhatsgi szint konfidenciaintervallumot a fo-gyaszti rindex tlagos nagysgra vonatkozan!

Eredmny

lnto.9s(.u) = 106 2 = (104; 108)%.

E.lO. Egy srgyr azt vizsglja, hogy az eladott srsvegekhez adottrekeszek forgsi sebessge mekkora. Ezrt megjellnek hsz vletlenszeren kiv-lasztott rekeszt, s feljegyzik, hny nap mlva rkeznek vissza a telep-helyre a rekeszek. Az tlagos visszarkezsi id 22,7 nap, 13,7 nap szrs-

160

sal. A minta ugyan vletlen volt, de nem FAE-, hanem egy bonyolultabb tervezs minta, ezrt a standard hiba becslst inkbb bootstrap eljrs-sal vgzik el. A mintbl visszatevssel 20-elem mintkat generltak (20-szor), s kiszmoltk a generlt mintk tlagt, illetve a mintatlagok jellemzit. Az eredmnyek:

Generlt minta sorszma tlag l. 22,6 2. 20,7 3. 23,1 4. 23,8 5. 22 ,2 6. 20,2 7. 23,8 8. 22,9 9. 21,7

10. 23,6 ll. 21,8 12. 23,0 13. 21,9 14. 24,4 15. 22,3 16. 23,1 17. 20,4 18. 20,9 19. 26,0 20. 21,3

At1agok tlaga 22,5 At1agok szrsa 1,45

Feladat Elemezze a kapott eredmnyeket!

. T.101. Mit jelent a torztatlansg kritriuma a mintatlag-becslfggvny esetn? A) A mintaelemek a mintatlag krl ingadoznak. B) Az sszes lehetsges mintn felvett mintatlagok tlaga a sokasgi tlag. C) A mintaelemek tlaga a sokasgi tlag. D) Egy mintatlag rtke megegyezik a sokasgi tlaggal.

T.102. Milyen esetben rszestiink elnyben egy torztott becslfggvnyt egy torztatlan becslfggvnnyel szemben? Akkor, ha a torztott becslfggvnynek a torztatlan becslfggvnynl A) kisebb a variancija; B) kisebb a standard hibja; C) kisebb az tlagos ngyzetes hibja; D) Semmilyen esetben sem.

161

T.103. Tegyk fel, hogy valamely sokasgi jellemz becslsre torztott becslst ad formult hasznltunk. A lehetsges becslsek vrhat rtke 48, a be-cslni kvnt sokasgi jellemz rtke 50. A becslfggvny variancija 16. Mekkora lesz az tlagos ngyzetes hiba? A) 18; B) 6; C) 20; D) 8.

T.104. Egy B= 200 sokasgi jellemz rtke - nagy elemszm FAE-mintbl val - becslsre szolgl kt becslfggvnyrl ismeretesek az albbiak:

1. E (ed = 2oo, 2. E ( 02 ) = 203,

Var( ed= 15; Var( 02 ) =3.

A A

A () paramter becslsre szolgl 81 s fh becslfggvnyek kziil me ly iket clszer hasV1lni? A) A ~1 becslfggvnyt clszerbb hasznlni, mert torztatlan becslst ad. B) A 82 becslfggvnyt clszer vlasztani, mert kisebb a variancija. C) Nem lehet vlasztani a kt becslfggvny kztt, mert az egyik torz-

tatl~n, a msik torztott. D) A 82 becslfggvnyt kell elnyben rszesteni, mert kisebb az tla-

gos ngyzetes hibja.

T.lOS. A sokasg vrhat rtknek becslsre a

P(y-z a...!!_

A konfidenciaintervallum szmtslwz a standard hiba hnyszorast kell venni?

A) 2,54-szerest; B) 2,33-szorost; C) 5-szrst; D ) 1 ,96-szorost.

T.107. Mely vltozatnl hibs a standard hiba rtelmezse? A) A mintavtelbl ered tlagos vletlen hiba. B) Amintavtelbl ereden maximum plusz-mnusz a standard hiba nagy-

sgval tr el a mintajellemz rtke a sokasgi jellemz rtktL C) A mintavtelbl ered lehetsges vletlen hibk tlaga. D) A standard hiba alapjn lehet kpezni a sokasgi jellemzre nzve

68,3%-os konfidenciaintervallumot.

T.108. Egy 100-elem FAE-mintban a megfigyelt rtkek tlaga: y= 100, szrsa: s =20. Vlassza ki a sokasgitlag 98%-os kon.fidenciaintervallumt! A) (95,9; 104,1); B) (95,34; 104,66); C) (96,5; 103,5); D) (98,33; 101,67).

T.109. Vlassza ki egy n= 200 elem mintbl90%-os megbzhatsggal becslt tlag konfidenciaintervallumnak tblzatos szorzszmt! A) 1,30; B) 0,85; C) 1,65; D) 1,28.

T.UO. Az APEH ITiintbl kvnja megbecslni a hibs adbevallsok arnyt. Mekkora elemszm (FAE-nak tekinthet) mintra van sziiksg 97%-os megbzhatsgiszint s 2%-pont megengedett hibahatr mellett? A) 2209. C) Az informcik alapjn nem lehet megllaptani.

B) 2943. D) 10 850.

T.lll. Tegyk fel, hogy pros mintnk van, s az Y becslshez hrom becslfggvnyt hasznlunk:

~

Y8 =x+ (:Y- x); ~ - y Y c= X-= x Vlassza ki a becslfggvnyek tulajdonsgaira vonatkoz helyes lltst! A) A becslfggvnyek mindegyike torzftatlan becslfggvny. B) Ha X s Y vltoz fggetlen, akkor Y8 szalgltatja a pontosabb becs-

lst.

163

C) Ha a kt vltoz kzlt negatv kapcsolat van, akkor YA a Jegnagyobb hibj becslfggvny .

D) Ha X s Y vltozk kztt s~os poz~ v kapcsolat van, akkor a kisegt informcikat felhasznl Y8 !s Yc becslfggvnyek pontosabb becslseket szolgltatnak, mint YA .

T.112. Mely sokasg jellemz esetn nem kapunk szimmetrikus intervallumot a pontbecslsre? A ) tlagbecsls esetn; B) rtksszeg becslse esetn; C) arnybecsls esetn; D) szrsngyzet becslse esetn.

T.113. Nyolc elss hallgatt (FAE-minta) megkrdeztek, hogy az analzis zrt-helyi eltt hny rt fordtott az rsbelire val felkszlsre. A felksz-lsi id normlis eloszlsa korbbi felmrs alapjn felttelezhet. A nntbl szmtott tlag 20 ra, L:(Y; - yf = 1166. Szmtsa ki a szrsra adhat becsls als s fels hatrt 95%-os meg-bzhatsg me/lett!

A)4-38; B)l2,91 ,96 1Fs; C) 8,5- 26,3; . D) 8,0-24,6. T.l14. Tegyk fel, hogy N= 200 OOO elem sokasgbl vett minta alapjn tla-

got becslnk. A kvnt pontossg s megbzhatsg mellett a FAE-minta szksges elemszma 1000. Mekkora mintra lenneszksg ugyanezenfelttelek mellett EV-kivlasz-ts esetn? A) 1000; B) 1010; C) 995; D) 1005.

T.llS. lviekkora mintra van szksg FAE-minttfelttelezve, ha az tlagbecsls hibahatrt a felre kvnjuk cskkenteni ugyanakkora megbzhatsgi szint mellett? A) 2-szer akkorra; B) feleakkorra; C) 4-szer akkorra; D) negyedrszre.

164

T.116. Tegyk fel, hogy N= 100 OOO elem sokasg tlagt becsljk.

5%-os kivlasztsi arnyt ( ~ ) felttelezve hny szzalkkal Lbb vagy kevesebb a FAE-mintbl val becsls variancija az EV-minthoz kpest? A) +5,3%; B) - 5,3%; C) +5%; D) Ennyi informci nem elegend a krds megvlaszolshoz.

T.117. Valamely nagyvrosban a hztartsok megtakartsi hajlandsgnak becslsre vletlenszeren kivlasztottak 400 hztartst. Tbbek kztt az albbi krdseket tettk fel: A havi jvedelembl hny forintot takartottak meg (Y)? Mennyi volt a hztarts elmlt havi jvedelme (X)? A mintra vonatkoz nhny szmtsi eredmny: x = 160 ezer Ft; y = 12 ezer Ft; a relatv szrsok az elbbi sorrend-ben: 35%, 50%. A jvedelem nagysga s a megtakarts nagysga k-ztti lineris korrelcis egytthat 0,8. Mekkora a megtakarrsi hnyad 95%-os megbzhatsghoz tartoz kon-fiden.ciaintervalluma? A) 0,075% 0,005%; C) 7,5% 0,0022%;

B) 7,5% l ,9%; D) 7,5% 0,22%.

T.118. Teljes kr felmrsbl ismeretes, hogy 2001. mrcius els szerdjn az egyetem menzjn a hallgatk tlagos ebdelsi kltsge 510 Ft volt. 2002. mrcius els szerdjn vletlenszeren kivlasztott 120 hallgat, illetve ugyanezen 120 hallgat 200 l. mrciusi megfigyelsbl szrmaz adatait tartalmazza a tblzat.

v tlag Szrs 2001 500 80 200 2 600 120

A kt idpont ebdelsi kltsgei kztti lineris korrelcis egytthat 0,5. 2002-re vonatkozan hasonUtsa ssze a sima tlagbecsls s a hnyados tpus becsls variancijt! A) A kt becsls variancija megegyezik, mert a lineris koiTelcis egytt-

hat 0,5. B) A hnyados tpus becsls variancija kisebb. C) A sima tlagbecsls variancija kisebb. D) Ennyi informci nem elegend az adott krds eldntshez.

165

T.119. Egyik kerlet nkonnnyzata a felntt lakossg krben EV -kivlaszts 1000 fs minta alapjn tjkozdott arrl, hogy a lakossg hogyan tli meg a testlet munkjt. E felmrsbl ismeretes, hogy a megkrdezettek 30%-a elgedett. Mekkora az elgedettek arnya 95%-os 1negbzhatsgi sz.inten? A) 27,2%-32,8%; B) 25%-35%; C) 30 0,28%; D) Nem lehet megbecslni, mert nem ismert a sokasgi eloszls.

T.120. Tegyk fel, hogy egy sokasgi rtksszeget becsltnk N y becslfggvnnyel FAE-mintbl.

Vlassza ki a helyes megllaptst!

Az y becslfggvny tulajdonsgaihoz kpest az N y becslfggvny tulajdonsgai: A) Az eloszls., tpusa vltozik, a szrs s a vrhat rtk N-nel szorzdik. B) Aszrs N--tel szorzdik, a vrhat rtk N-nel, az eloszls tpusa nem

vltozik. C) Az eloszls tpusa nem vltozik, a vrhat rtk N-nel szorzdik, a

szrs nem vltozik. D) Az eloszls tpusa nem vltozik, a vrhat rtk is s a szrs is N-nel

szorzdik.

T.121. Tegyk fel, hogy egyetemnk hallgatibl vfolyamonknti arnyosan rtegzett mintt vesznk a munkavgzsbl sznnaz tlagos havi jve:. delmk becslse cljbl. A mintba kerlt 300 f adatai alapjn: SSK = 216,75 milli; SSB = 75,0 milli.

Hasonltsa ssze az adott esetre az AR- s az EV-mintbl trtn tlag-becsls hatsossgt!

A) Efr(AR) = 0,51; C) Efr(AR) = 0,35;

B) Ej,.(AR) = 0,26; D) Ej,.(AR) = 0,59.

T.122. Egyik nagy pldnyszm napilap az elfizeti krben mintavteles kz-vlemny-kutatst vgzett. Az 1000 fs EV-kivlaszts mintban 400 f tmogatta a lapban megjelen hirdetsek mennyisgnek nvelst.

166

Mekkora a hirdetsek nvelst tmogatk arnya l - a.= 0,95 megbz-hatsg me ll ett?

A) 35%-45%; B) Csak pontbecslst lehet kszteni, me rt nem ismerjk az eloszlst; C) 40o/o 3%; D) 40% 0,03%.

T.123. Tegyk fel, hogy az elz nagy pldnyszm napilap j abb mintavteles kzvlemny-kutatst tervez az elfizeti krben a lappal val e lge-dettsg felmrse cljbl. Az elfizetk szma 40 ezer f. Mekkora elemsznu. EV-minrra van sziiksg, ha CJ rtkt 0,5-nek vesszk, a megengedett hibahatr 2o/o-pont, a rgztett megbzhatsgi szint pedig 95%?

A) 4000; C) 800;

B) A fenti informci alapjn nem lehet megllaptani; D) 2265.

T.124. A Hztartsi vknyvben azt olvastuk, hogy 2001-ben az egy hztartsra jut vi nett jvedelem 1 O 276 hztaJts adataibl becsi.llve 1355 ezer Ft, a standard hiba nagysga pedig 20,7 ezer Ft volt. Mekkora a 68,3%-os megbzhatsg konfideru:iaintervallum? A) (1355 0,47 20, 7) ezer Ft; C) (1355 l ,96 20,7) ezer Ft;

B) (1355 20,7) ezer Ft; D) (1355 0,75 20,7) ezer Ft.

T.125. Vlassza ki az arnyosan rtegzett mintbl trtn tlagbecsls eseln a rtegenknti variancik s a becslfggvny variancija kztti ssze-fggst!

A) (J - (JB . y - r ....;n

M 2 "L npj

C) (Jf, = j=t 2 n

M 2 "L npj

B J (Jf, = .::..j _=_l --n

M D) Var(yAR) =L Var()ij).

j = l

A 167

T.l26. Milyen esetben hasznljuk a fggetlen rsznlintk mdszert? A) sszetett mjntavteli rnd, illetve sszetett mrszm alkalmazsa

sorn a mintavteli hiba szmtsnak egyszerstsre . B) sszetett rrntavteli md, illetve sszetett mrszm alkalmazsa so-

rn fggetlensgvizsglatra. C) Kt eloszls vrhat rtknek klnbsgbecslsre. D) Kt eloszls klnbzsgnek tesztelsre.

T.127. t, egyenknt 100-elem fggetlen rszmintbl becslt tlagos napi egy frejut tejfogyaszts rtkei: 0,5; l; 1,2; 1,5; 0,8liter. Szmtsa ki a sokasgitlag 95%-os konfidenciaintervallumt.'

AJ 12,n}i.,~l c ; 1 1,65 }i;

B) l 1,96 38 JS '

D) 11,96 ~. '\,1100

T.l28. A gimnazistk szpjrodalom-olvasssal tlttt tlagos heti idejt becsl-jk tbblpcss, rtegzett rnintavtellel. Tegyk fel, hogy a becslst a fg-getlen rszmintk mdszervel vgezzk. Az 500-elem rnintt t darab l 00-e\em rszrnintra osztottuk szt.

Az YFRM = 4,5 ra, a L(Ym- YFRM / = 28,8. Vlassza ki a 95%-os megbzhatsgi szinthez tartoz konfidenciainter-vallwnot!

A) 4,5 2,4; B) 4,5 2,6; C) 4,5 3,3; D) 4,5 1 ,2.

168

XI. EGYMINTS PARAMTERES S NAGYMINTS NEMPARAMTERES PRBK

Tbb hipotzis ugyanazon mint(k)ra alapozott vizsglata a gyakorlatban llem ajnlott. A statisztikai prbk (hipotzisvizsglat) fejezetekben ettl a bemutats tmrsge miatt eltekintnk

GY.172. Egy konzervgyr klnbz ttelekben vesz t befttesvegeket a gyrt vllalattL A szllts miatt sok a selejtes (trtt) termk, a szllt vlla-lat szerint azonban a selejtarny nem haladja meg az 5%-ot.

Feladat

Legfeljebb hny selejtes (trtt) iiveg lehet a) a. l O darabbl; b) az 1000 darabbl ll ttelben, ha a gyrt J% kockzatot vllal a minsgi kvetelmnyeknek eleget

tev ttel visszautastsra?

GY.l73. A kpvisel-vlaszts rvnyessgnek felttele, hogy a vlasztpolgrok legalbb 50%-a leadja szavazatt. Egy vidki vrosban a megresedett kpviseli helyre ptvlasztst rtak ki. A szavazs eltti hten megkrde-zett 200 vletlenszeren kivlasztott polgr kzl 96 mondta azt, hogy a vlasztskor elmegy szavazni.

Feladat

A felmrs alapjn dntse el 95%-os biztonsggal, hogy lehet-e rvnyes szavazsra szmtani!

B.13. A klnleges jogostvny megszerzshez plyaalkalmassgi vizsgt kell letenni, ahol mszeres vizsglatokkal a jellt reakciidejt mrik. Aki a teszt sorn a 0,7 msodperces tlagos reakciidnl lassabban reagl, nem szerezheti meg a jogostvnyt. A reakciidk ltalban normlis eloszlsak. Egy jelltnl a kvetkez idket mrtk: 0,68; 0,72;

0,72; 0,73;

0,66; 0,68;

0, 75; 0,71;

0,73; 0, 74;

0,70; 0,67;

0, 76; 0, 75;

0,69; 0, 74;

0 ,78; 0, 76.

169

"' l

Feladat

Tesztelje le, /w gy az illet reakciideje nagyobb-e O, 7 mp-nl!

Megolds

H 0: Jl~ 0,7 mp; H : p = O, 7 mp; H{ ,U > 0,7 mp. A reakciidk tlaga: y= 1 ~:7 =O, 72 mp;

sz.rsa: s = L.. y, y = - '--= 0,0345 mp. "< - )1)2 )o 0203

n-1 17

A becslt szrs 1niatt t-prbafggvny hasznlhat a H helyessgnek ellenrzsre. A reakciidk normlis eloszlsa ezt lehetv is teszi:

t= y-p0 = 0,72 - 0,70 =2.459_ st..[,; 0,0345

7i8 A H0-t aszoksos szignifikanciaszinteken v = 17-es szabadsgfoknl el kell vetni. Ismert azonban, hogy az emberi reakciidk tlagosan 0,04 sec rtkkel szrdnak egy-egy embernl. A szrst 1nost nem kell teht becslni, kismints Z-prba vgezhet. A fentiekkel azonos Ho s H1 hipotzis mellett:

z= y-p0 = 0,72-0,70 = 2,12_ o-1-Jii 0,041/I8'

Ehhez az rtkhez p = 0,017 szignifikanciaszint tartozik. Ennl alacsonyabb szignifikan-ciaszint eseln a jellt reakciideje nem tr el lnyegesen az tlagtl, ennl magasabb. pldul a= 0,05 szignifikanciaszint esetn a jellt reakciideje szignifiknsan nagyobb a megengedettnl, teht nem kaphat jogostvnyt.

GY.174. Egy konzervgyrban a srtett paradicsom tltst automata gp vgzi. A dobozok nvleges slya 450 g, amitl csak vletlenszer eltrsek megengedettek. A tltsi sly megengedett sz6rsa 10 g. A sly szerinti eloszls normlisnak tekinthet. A gyr az egyik szlltmnybl 25 elem. mintt vett, a rrntban a dobozok tlagslya 446 g volt, a szrs pedig ll g.

Feladat

a) Ellenrizze a nvleges tltslyra vonatkoz hipotzist 5o/o-os szignifi-kanciaszinten!

b) Ellenrizze 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a tltsly szrsa lehet-e 10 g!

170

c) Ellenrizze a nvleges tltslyra vonatkoz hipotzist 5%-os szignifi-kanciaszinten, feltve, hogy a sokasg i szrsrl nem ll rendelkezsre informci!

d) llaptsa meg s rtelmezze az a) pont alatti esetben a p-rtket!

GY.175. Egy nkiszolgl bolt pnztrast vsrli bejelentsek azzal vdoltk, hogy ltalban tbbet szmol. A pnztros azzal vdekezett, hogy csak vletlen tvedsekrl lehet sz, mindkt irnyban tvedhet, de ezek kiegyenlftik egymst. Egy ellenrzs sorn 12 szmljt vizsgltk meg vletlenszeren, s az albbi tvedseket regisztrltk (a + rtkek a vsrlk krra trtn tvedseket jellik): +90; +60; -90; +45; +60; - 75; O; O; +46; O; +200; 0.

Feladat Felttelezve, hogy a tvedsek normlis eloszlst kvetnek, ellenrizze 2%-os szignifikanciaszinten, hogy igaza van-e a pnztrosnaki

GY.176. Egy szupermarketban fl kilogrammos darlt hst rustanak. A sly meg-engedett szrsa l O gramm. A Fogyasztvdelmi Felgyelsg munka-trsai 30 vletlenszeren kivlasztott csomagot' megmrtek, s azt talltk, hogy ezek ~lynak tlaga 446 gramm, szrsa 20 gramm. A csomagok slya normlis eloszlsnak tekinthet.

Feladat Ellenrizze 5o/o-os szignifikanciaszinten, hogy teljesl-e szrsra vonat-koz elrs!

GY.177. rlapok kitltsvel kapcsolatos - monoton - munkt vgzk bizonyos hibaszzalkkal dolgoznak. A felttelezsek szerint egy hnapban 35 db az elrontott rlapok vrhat szma. A vizsglt vltoz normlis eloszlsa

felttelezhet. Aszrs korbbi tapasztalatok szerint 6 db. A tz fre kiterjed rnintban az elrontott rlapok szma egy hnapban az albbi:

Sorszm Darab l. 30 2. 20 3. 46 4. 33 5. 24 6. 25 7. 31 8. 32 9. 38

10. 31

171

Feladat a) Vizsglja meg, hogy az eloszls szrsa lehet-e 6 db a minta alapjn

5 %-os szignifikanciaszinten! b) Ellenrizze 5 o/o-os szignifikanciaszillten az elrontott rlapok vrhat

rtkre vonatkoz hipotzist!

Eredmny

:Y=31; s=7,35; x2 =13,5; x5m5 (9)=2.7; x5,91s (9) = 19. H0-t elfogadjuk.

b) H e} J.l = 35; Rt: J.l ::1: 35; z= - 2,1; c J= z0975 = 1,96; Ca= -Zo.975 = - 1,96.

Ho-t elvetjk.

GY.178. Egy csvg-automata gpnek 1200 mm hossz csdarabokat kell levg-nia. A gyrtskzi ellenrzs feladata annak megllaptsa, hogy a gp ltal gyrtott darabok hosszmrete megfelel-e az elrsoknak. Elz adat-

felvtelekbl ismert, hogy a szban forg gp ltal gyrtott . darabok hossza normlis eloszls vltoz, 3 mm szrssal. A gyrtskzi ellenrzshez kivlasztottak egy 16 elem mintt. A csdarabok hossza a mint-ban:

1208; 1204; 1202; 1202; 1194; 1195; 1205; 1194; 1197; 1193; 1205; 1202; 1191; 1195; 1194; 1187.

Feladat

a) Vizsglja meg 5%-os szignifikanciaszinten, hogy az alapeloszls sz-rsa nem haladja-e meg a 3 nun-t a minta alapjn!

b) Ellenrizze, hogy a gyrtott darabok hossza megfelel-e az elrsoknak! Eredmny

a) Ho: u2 ~ 32; H T. q2 _ 32. O - , y=l l98mm; s= 6,02mm;

. ' 2 H( u- >3 ; x 2 = 60, 4; 2 c J = X0,95(1 5) = 25.

H0-t, s vele egytt minden u 2

GY.179. Valamely parkolhz elmlt vi zemeltetsi adatai szerint az tlagos parkolsi id 240 perc, a szrs 60 perc volt. Ez v janurjtl 10%-kal emeltk a parkolsi djat. Az rernelst kveten a 100 kocsibl ll vletlen mintbl szmtott tlag 225 perc volt.

Feladat Ellenrizze 5%-os szignifikanciaszinten azt az lltst, hogy cskkent az tlagos parkolsi id!

GY.180. Felttelezsnk szerint valamely felsoktatsi intzmny hallgatinak legfeljebb 10%-a balkezes. Egy rsbeli vizsgn 100 hallgat kzl 12-en bal kzzel rtak.

Feladat a) Ellenrizze 5%-os szignifikanciaszinten, hogy elfogadhat-e a balkeze-

sek arnyra vonatkoz llts! b) Mekkora az a p-rtk (legkisebb szignifikanciaszint), amely mellett Ho

hipotzist ppen ellehet utastani ?

B.14. Az egyik konfekciipar vllalat a mrettblzat kialaktshoz a nk test-magassgt 500 fs vletlen minta alapjn vizsglta:

Magassg, Nk szma, cm f -150 6

150-160 110 160-170 250 170-180 100 180- 34 sszesen 500

Amintbl szmtott jellemzk: y= 165,92 cm; s = 8,56 cm.

Feladat

Ellenrizze, hogy a felntt nk testmagassgnak eloszlsa tekinthet-e normlis eloszls vltoznak!

Megolds

Ho: P( C;) = P;. A normlis eloszls szerint vrhat valsznsgck (P;) meghatrozshoz szksges f1 s cr rtket a mintabcli tlag s szrs helyettesti.

173

,.

A P; valszfnsgek:

Testmagassg, fi zil = Yl - 165,92 ;czn) P, !*i= Ui - Jt>2

cm 8,56 500 Pi ft -ISO 6 - 1.86 0,0314 0.0314 16 62500

150-160 liO - 0,69 0,2451 Q.! l 37 107 00841 160-170 250 0,48 0,6844 0,4393 219 4,3881 170-180 100 1,65 0,9505 0,2661 !33 8,1880 180- 34 00 1,0000 0,0495 25 3,2400 sszesen 500 - - 1,0000 500 22,1502

Szabadsgfok: 5 - 2- J = 2. r (2) semmilyen szignifikanciaszinten nem magasabb a mintbl szntott r rtknl, ezrt a minta alapjn a felntt nk testmagassgnak eloszlsa nem tekinthet normlis eloszl snak.

GY.181. Egy ebd hzhoz szlltsval foglalkoz cg gpkocsijratai tvonalnak sszelltshoz megrendeli kzl l 00 vletlenszeren ki vlasztott vevt megkrdeztek, hogy 9 s 14 ra kztt mikor ignyeln az ebd hzhoz szlltst. A minta megoszlsa:

ra F 9-10 12

10-11 18 11-12 26 12-13 24 13-14 20 sszesen 100

Feladat

a) Tekinthet-e egyenletes eloszlsnak a megrendelk szlltsi ignye (ex= 5%)?

b) Elfogadhat-e az az llts, hogy az ebdet rendelkfele dlig kvnja a hzhoz szlltst?

c) Mekkora a b) krds megoldshoz tartoz empirikus szignifikancia-szint (p-rtk)?

GY.182. Egy vros rendrsge szerint az jszakai betrsek szma egyenletesen oszlik meg a ht napjain. Egy heti megfigyels alapjn abetrsek szma a kvetkez volt:

174

Nap Be trsek szma Htf 6 Kedd 8 Szcrda 5 Cstrtk 7 Pntek 12 Szombat 17 Vasrnap 15 sszesen 70

Feladat

Ellenrizze a =0,05 szignifikanciaszinten, hogy igaz-e a rendrsg ll-tsa!

Eredmny

l Hn:. P= - \T l 7' x

2 =!3, 2; 2 x0,95 (6) = 12,6.

5%-os szignifikanciaszintcn elvetjk a rendrsg lltst!

GY.183. Egy kzvlemny-kutat intzet a foglalkoztatottak krbl szrmaz mintrl azt lltja, hogy a minta legmagasabb iskolai vgzettsg szerinti sszettele megfelel a sokasg iskolai vgzettsgnek.

A foglalkoztatottak Iskolai vgzettsg megoszlsa, 9 szma

2001-ben amintban Kevesebb, mint 8 ltalnos 0,7 o 8 ltalnos 16,5 200

Szakmunkskpz s szakiskola 33,0 300 Kzpiskola 32,5 340 Fiskola 10,3 100 Egyetem 7,0 60 sszesen 100,0 1000

Feladat

Ellenrizze, hogy reprezentatv-e a minta az iskolai vgzettsg szerint (a = 5%)!

Eredmny

x2 = 19,358; x.95 (5) = 11 ,l. Minden szignifikanciaszinten elutastjuk a minta reprezentativitsra vonatkoz nullhipo-tzist

175

GY.184. A lgi kzlekedsben fontos figyelemmel ksrni az utasok tlagos test-slyt, hogy egyrszt ne terheljk tl a gpet, msrszt ne utazzon a gp fls kapacitssal. Ezrt idrl idre ellenrzik, hogy a felntt utasok testslya nem tr-e el a felttelezettL A lgitrsasg a terhelst a 78 kg-os tlagos testslyra s ll kg-os szrsra tervezi. A felttelezs ellenrzse cljbl megmrtk 100 vletlenszeren kiv-lasztott utas slyt, akik kztt 44 n volt. A mrs eredmnye:

Testsl y, Utasok szma, kg f - 60 7

60- 70 16 70- 80 32 80- 90 28 90-100 l . )3

100- 4 sszesen 100

Arnintbl szmtott jellemzk: y= 78,6 kg; s = 12,187 kg.

Feladat a) Vgezze el az eloszls normalitsra vonatK.oz felttelezs ellenrzsti b) Ellenrizze az utasok testslynak

l. szrsra, 2. tlagra vonatkoz felttelezst 5o/o-os szignifi.kanciaszinten!

c) Vizsglja meg klnbz szignifi.fcanciaszinten azt a feltevst, hogy a flfi utasok arnya meghaladja az 50%-ot!

GY.185. Vletlen minta alapjn vizsgltk egy szolgltat cgnl az gyfelek vrakozsi idejt. A 100-elem vletlen minta adatai:

Vrakozsi id, gyfelek szma, Vrhat ~ Z" prbafggvny perc f gyakorisgok rtknek szmtsa

0- 10 9 ....... ~.~!.;;. :~ ... .. ~~-~~.:.:7:.1 ........ 10- 20 22 ..... ~\::,1.\.:",t .. .. ~.1 . .\-t..tU. .... .. 20-30 37 26,99 s l. i... 30- 50 24 37,15 lt 1 Gs-50-70 8 5.71 0 .!!.t ': sszesen 100 ... /1.~~,.35:~ ... 10,153

A rnintbl szmtott jellemzk: y = 27, 4; s = 14,3.

176

Feladat

a) Normlis eloszlst felttelezve szmtsa ki a fenti tblban a kiponto-zott helyekre kerl szmrtkeket!

b) Ellenrizze azt az lltst, hogy az gyfelek vrakozsi ideje normlis eloszls vltoz (a= 0,05)!

GY.186. Egy konzervgyrban az egyik gymlcskonzerv nvleges tltslya 500 g, a tltsly szrsa legfeljebb 10 g lehet. 100-elem mintbl ellenlizzk a szlltmnyt. A minta adatai:

Tltsly Darab -480 5

480-490 20. 490-500 30 500-510 24 510-520 16 520- 5 sszesen 100

Amintbl szmtott jellemzk: y= 499, 1 g; s = 12,6 g.

Feladat

a) Tesztelje azt a hipotzist, hogy a konzervek tltsly szerinti eloszlsa normlisnak tekinthet (a= 0105)!

b) A nnta alapjn ellenrizze az tlagos tltslyra s a szrsra vonat-koz elrs teljeslst (a= O, 05 )!

Eredmny

a) H0: normlis eloszls; H1: az eloszls nem normlis.

x2 = 1,5713; xJ.95(3) = 7,81. A tltsly szerinti eloszls normlisnak tekinthet.

b) Ho: (J2 ~ 102;

x2 = 157,17; ? c 1 = x.95(99 -t 100) = 124,3.

A H -t s vele egytt valamennyi tJ2 < 102 hipotzist elutastunk.

z= -, 714. H0-t elfogadjuk.

177

GY.187. Egy bankfik napi pnztri kifzetsei 50 vletlenszeren kivlasztott napon a kvetkezkppen alakultak (M Ft): 6,39; 6,37; 6,26; 6,42; 6,86; 6,5; 6,76; 6,48; 6,45; 6,59; 6,67; 6,74; 6,55; 6,38; 6,7; 6,66; 6,67; 6,48; 6,93; 6,34; 6,42; 6,56; 6,51; 6,63; 6,55; 6,43; 6,44; 6,51; 6,63; 6,49; 6,69; 6,51; 6,51 ; 6,2; 6,5; 6,38; 6,28; 6,28; 6,2; 6,5; 6,21; 6,38; 6,7; 6,54; 6,56; 6,51; 6,49; 6,37; 6,6 1; 6,48.

Feladat a) Ellenrizze azt a feltevst, hogy a napi kifizetsek sszege normlis

eloszls! kvet! b) Minimwn mekkora sszeget kell tartania a pnztrnak, ha 95%-os

valsznsggel teljesteni akarja a kijizetseket?

GY.188. Egy piackutats alkalmbl Budapesten 1000 ft krdeztek meg, kztk 500 frfit s 500 nt arrl, hogy hasznlnak-e hitelkrtyt A frfiak kzl 400-an, a nk kzl 350-en vlaszoltak igenneL

Feladat a) 5%-os szignifikanciaszinten vgezzen. fggetlensgvizsglatot a nem-

hez val tartozs s a krtyahasznlat tnye kztti sszefggs ellen-rzsre!

b) Ellenrizze azt a feltevst, hogy a nk kisebb arnyban hasznlnak hitelkrtyt, mint a ftfiak!

GY.189. Kzlekedsbiztonsgi szervek l OOO szemlyi srlses kzti balesetet vizsgltak meg aszerint, hogy nlyen slyos volt a baleset, s a baleset alkalmval a srlt viselt-e biztonsgi vet. A kapott eredmnyek az albbiak voltak:

Baleset viselt

vet nem viselt

sszesen Knny 510 120 630 Slyos 120 150 270 Hallos 70 30 100 sszesen 700 300 1000

Feladat a) Ellenrizze alkalmas prbval azt, hogy a baleset kimenetele fgget-

len-e attl, hogy az illet viselt-e biztonsgi vet (a= 0,01)!

178

.b) Ttelezzk fel, hogy 50 kzti baleset (megoszlsa megegyezik az l OOO megfigyelsvel) adatai alapjn ellenrzik a baleset kimenetele s a biztonsgi v viselsnek kapcsolatt. Milyen dntst hoz a kap-csolat fennllsra vonatkozan?

c) Szmtsa ki az a) s b) pontbeli mintaelemszmra is a Cramer-mrszmot, s rtkelje az eredmnyt!

GY.190. 2001 -ben a szllodai vendgek kzl vletlenszeren kivlasztott 400-elem minta adatai:

A vendg l t- Ngy- l Hrom- Kt- Egy- sszesen l csillagos szllodt vett ignybe (f) Belfldi l 5 25 80 35 15 160 Klfldi l 25 85 liO 15 5 240 \ sszesen _l 30 110 190 50 20 400

Feladat

Ellenrizze 5o/o-os szignifikanciaszint"en, hogy van-e kapcsolat a kt ismrv kztt!

Eredmny

H 0: P;j =P;. Pj; H1: 3P;j :~;P;. PJ, azaz P;j nem minden esetben egyenl P;. Pr vel.

/ = ~9.79; xJ.95(4) = 9, 49. A kt ismrv kztt szignitikns kapcsolat van.

GY.191. Egy kzvlemny-kutats sorn egyik gazdasgi tmj TV-msonl a kvetkez kp alakult ki a diplomsok krben:

A nyilatkoz A msor megtlse sszesen foglalkozsa j megfelel rossz Kzgazdsz 100 200 100 400 Jogsz 100 60 40 200 Egyb diploms 100 60 40 200 sszesen 300 320 180 800

Feladat

Tesztelje 5 %-os szignifikanciaszinten a foglalkozs jellege s a TV-msor minstse kztti kapcsolatot!

179

Eredmny

H fi pij = 11 .. Pj. H1: Pij nem minden esetben egyenl P;. Pr vel.

x 2= 55,55; x~.95 (4) = 9,49. A msor megtlse s a nyilatkoz foglalkozsakztt sz.ignifikns kapcsolat van.

T.129. Vlassza ki a megkezdett mondat helyes folytatst! A prbafggvny olyan statisztika,

A) amelynek a sokasgra tett kiktsek teljeslse, a mintavtel adott mdja s nagysga, illetve a nullhipotzis helyessgnek felttelezse esetn egyrtelmen meghatrozhat az eloszlsa.

B) amelynek aktulis rtke fgg a Ho nullhipotzis s a H1 alternatv hipotzis megvlasztstL

C) amit csak akkor tudunk kiszmtani, ha paramtereia mintbl becsl-hetk, vagy a vizsglt sokasgbl ismertek.

D) amelynek rtke l- a valsznsggel nagyobb, mint a kritikus rtk, ha a Ho nullhipotzis nem fogadhat el.

T.130. Vlassza ki - a Ho hipotzis helyessge esetn - az elfogadsi s a kritikus tartomnyba ess valsznsgre vonatkoz helyes lltst!

A) P(T(y" Y2, ... y") E E)= a; P(T(y~> Y2, ... y") E K) = l -a; B) P(T(y" Y2, ... y") E E)= l -a; P(T(y], Y2 ... y") E K) =a; C) P(T(y" Y2 ... y,,) E E) = f3; P(T(yt, Y2> ... y") E K) =l- a; D) P(T(y" Y2, ... y") E E)= l- a; P(T(y~. Y2, ... y") E K) = fJ.

T.131. Vletlenszeren kivlasztott 1000 hztartsban a kett vagy kevesebb televzival rendelkez hztartsok arnya 76%. Azt az lltst vizsgl-juk, hogy a hztartsok tbb mint 75%-ban legfeljebb kt televzi van. Vlassza ki a helyesenfelrt hipotziseket! A) H~: Jl= 2; B) H~: P= 0,76;

T C) H 0: P= 0,75; T D) H0 : P=0,75;

180

H1: Jl> 2; H1: P>0,76;

H1: P>0,75;

Ht: P

adott ~zse

natv

esl-

!rt k,

s a

-_a; r. -a;

sebb sgl-van.

T.132. Mijellemzi a nemparamteres prbkat?

T.l33.

A) Nem kvetelik meg elfelttelknt a sokasgi eloszls tpusnak, illetve paramternek ismerett, esetleg csak az eloszls folytonossgt ktik ki.

B) Kis mintk. C) Nagy mintk. D) A hipotzis felrsa nem paramterre vonatkozik.

Vlassza ki a helyes megllapttst! A Ho- Ji~ flo; H1: Ji< lio esetben azrt van szksgnk a H: Ji = J1o hipotzisre, mert

A) ebben az esetben ismert a prbafggvny eloszlsa. B) csak gy tudjuk meghatrozni a msodfaj hiba valsznsgt. C) a H 0: f-t~ flo tesztelse esetben nagy a msodfaj hiba valsznsge. D) ha a H : Ji = flo hipotzis elfogadhat, akkor a H 0: fl >flo is elfogad-

hat, minden Jio-ra.

T.134. Vlassza ki a helyes megllaptst! Az elsfaj hibt akkor kvetjk el, ha A) a nullhipotzis igaz s elfogadjuk. B) a nullhipotzis igaz s elvetjk. C) a nullhipotzis nem igaz s elfogadjuk. D) a nullhipotzis nem igaz s elvetjk.

T.135. A 3,6 kg-os ARIEL mospor tlagos tltslyt ellenrzik 30 vletlen-szerien kivlasztott doboz alapjn. A Ho- Ji~ 3,6; H 1: Ji < 3,6 hipot-zisvizsglatot 5%-os szigniflkanciaszinten vgeztk. A megfelel teszt e lvgzse sorn hozott dnts szerint a H 0 hipotzist elutastottk. A dnts sorn milyen tpus hib(ka)t kvethettek el? A) Elsfaj hibt. B) Msodfaj hibt. C) Els- s msodfaj hibt. D) Els- vagy msodfaj hibt.

T.l36. Vlassza ki a helyes megllapttst! A msodfaj hiba elkvetsnek valsznsge annl nagyobb, A) minl kzelebb esik a Ho hipotzisben megadott rtkhez a vizsglt

paramter tnyleges rtke. B) rninl nagyobb az ltalunk vlasztott a szignifikanciaszint.

181

,

C) minl tvolabb esik a H0 hipotzisben megadott rtktl a vizsglt paramter tnyleges rtke.

D) minl kzelebb esik a Ho hipotzis a H 1 alternatv hipotzishez.

T.137. Lehetsges-e egyidejleg mindkt dntsi hibafajta eikvetsi valszn-sgt cskkenteni, ha igen, hogyan, ha nem, mirt nem? A) Igen, ha nveljk az n-t. B) Nem, mert brmelyik hiba csak a msik rovsra cskkenthet. C) Nem, mert a H 0 s a H1 egymsnak komplementerei. D) Igen, ha rnindig a legszigorbb paramteres prbt vlasztj uk.

T.138. Az albbi vltozatok kzl vlassza ki a jelleggrbre vonatkoz helyes lltst! A jelleggrbe A) az a fggvny, amely minden lehetsges egyszer hipotzishez hozz-

rendeli azt a p valsznsget, hogy a prbafggvny az elfogadsi tartomnyba esik.

B) annak a valsznsgt fejezi ki a klnbz egyszer alternatv hipo-tzisek mellett, hogy nem kvetjk el a msodfaj hibt.

C) az a valsznsg grafikus kpe. D) az l -p valsznsg grafikus kpe.

T.139. Mitfejez ki az erfggvny? A) A prba erejt az elsfaj hiba elkvetsvel szemben. B) A prba erejt a msodfaj hiba elkvetsvel szemben. C) A prba erejt az els- s msodfaj hiba elkvetsvel szemben. D) A pvalsznsgt klnbz egyszer alternatv hipotzisek mellett.

T.140. Mit neveznk a hipotzisvizsglatban p-rtknek?

A) A nullhipotzis elfogadsnak legalacsonyabb a.o szintjt. B) Azt az empirikus szignifikanciaszintet, amelyen a H 0 hipotzist mr

ppen elutastjuk. C) Azt a legalacsonyabb szignifikanciaszintet, amelyen a H0 hipotzist

mg nem utastjuk el. D) Azt az ao szignifikanciaszintet, amelyen a technikai nullhipotzis mg

elfogadhat.

182

T.141. Tegyk fel, hogy a H0: p= is s a H1: p i- 15 hipotzist ellenrizzk n= 120 elem minta segtsgvel (a= 5%). A prbafggvny mintbl nyert rtkhez tartoz szigniftkanciaszint (p-rtk) 0,068. Vlassza ki a helyes dntst!

A) A H0-t elfogadjuk. B) A H 0-t elutastj uk. C) A fenti informci nem elegend a dntshez. D) A H 1 hipotzis a helyes.

T .142. A H 0: f.1. = J1o s H 1: f.1.-::;; J1o hipotziseket teszteljk. A Z prbafggvny rtke - 1,55. Mekkora az a valsznsg, amely mellett a Ho ppen elvethet a H1-gyel szemben? A) 12,12%; B) 3,0%; C) 1 ,5%; D) 6,06%.

T.143. Egy 25 elem mintbl'tieszteljk, hogy a kenyr tlagos slya megfelel-e az l kg-os elrsnak. A mintatlag 995 g, a mintbl becslt szrs 5 g. A sly szerinti eloszls normlisnak tekinthet. a= 0,05 mellett vlassza ki a helyes eredmnyeket s dntst!

Prbafggvny Kritikus Dnts rtke rtk( ek) aHo-rl

A) t = -5 -1,71 nem felel meg B) t =-5 2,06 nem felel meg C) z=5 1,645 megfelel D) z =-5 1,96 nem felel meg

T.144. Az egyliteres zacsks tej tltsnek vrhat rtkt ellenriztk ktoldali prba alapjn 100-elem vletlen mintbl. A mintban az tlag 995 ml, a szrs 25 rnl.

Ellenrizze a vrhat rtkre vonatkoz H0-t (a= 3%)!

A) B) C) D)

Prbafggvny rtke -2 - 2 20

0,2

Kritikus rtkek

- 2, 17, - 1,88, -2,17, - 2,17,

2,17 1,88 2,17 2,17

Dnts a H 0-rl

elfogadjuk elutastjuk elutastjuk elfogadjuk

183

T.145. Vizsglja meg annak az lltsnak a helyessgt, hogy a hajlktalanok tbb mint fele frfi! A hajlktalan