Upload
others
View
17
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF
KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI
NASH
TUGAS AKHIR
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Pada Jurusan Matematika
Oleh :
M.LUTHFI RUSYDI 10454025655
4
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU
PEKANBARU
2011
vii
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH
M LUTHFI RUSYDI NIM : 10454025655
Tanggal Sidang : 30 juni 2011 Tanggal Wisuda : November 2011
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau JL. Soebrantas No. 155 Pekanbaru
ABSTRAK
Tugas akhir ini membahas tentang masalah pengambilan keputusan dari beberapa strategi yang tersedia dalam permainan berjumlah dua orang berstrategi murni dengan konsep Nash Equilibrium. Dilemma ditunjukkan sebagai contoh untuk memperkenalkan teori Nash Equilibrium adalah sangat berguna dalam kehidupan nyata. Hasil penelitian menunjukkan bahwa mengenai aturan main antara kedua pemain sangat mempengaruhi optimalitas nilai permainan. Kata Kunci: Teori Permainan, Kestabilan, Nash equilibrium.
xii
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR PERSETUJUAN .................................................................... ii
LEMBAR PENGESAHAN ..................................................................... iii
LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL ..................... iv
LEMBAR PERNYATAAN..................................................................... v
LEMBAR PERSEMBAHAN .................................................................. vi
ABSTRAK ................................................................................................ vii
ABSTRACT................................................................................................ vii
KATA PENGANTAR ............................................................................. ix
DAFTAR ISI ............................................................................................ xi
DAFTAR GAMBAR ............................................................................... xiii
DAFTAR SIMBOL .................................................................................. xiv
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................. I-1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................... I-2
1.3 Batasan Masalah ............................................................. I-2
1.4 Tujuan Penelitian ............................................................. I-2
1.5 Sistematika Penulisan ..................................................... I-2
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Fungsi Kontinu ................................................................ II-1
2.2 Fungsi Monoton............................................................... II-1
2.3 Kestabilan ........................................................................ II-3
2.4 Permainan Dinamis Non-Kooperatif untuk
Waktu Tak Hingga .................................................................. II-3
xii
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Flow chart ........................................................................ III-1
BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN
4.1 Kendali Optimal Umpan Balik Permainan Dinamis
Linier Kuadratik Dua Pemain Non-Kooperatif
Kontinu Skalar.............................................................. IV-3
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan ...................................................................... V-1
5.2 Saran ................................................................................. V-2
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
xiv
DAFTAR SIMBOL
훿 : Delta
휀 : Epsilon
휎 : Sigma
∫ : Integral
푇 : Time final
I-1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori permainan dikembangkan untuk menganalisis situasi persaingan yang
meliputi kepentingan yang bertentangan. Dalam teori permainan diasumsikan ada dua
atau lebih pemain dengan tujuan yang berbeda, selanjutnya setiap orang dianggap
mengetahui tujuan dari lawannya. Teori permainan mencari pemecahan untuk
permainan dengan mengasumsikan bahwa setiap pemain bermaksud memaksimalkan
keuntungan yang diharapkan atau setara dengan itu minimalkan kerugian. Kriteria ini
didasarkan pada pandangan konservatif terhadap persoalan, dinyatakan sebagai
kriteria minimaks atau maksimin ini merupakan dasar dari strategi permainan yang
semula dikembangkan oleh Jhon Van Neumann dan Oskar Morgenstern dan
diterapkan dalam berbagai bidang.
Penerapan teori permainan diterapkan dalam berbagai bidang salah satunya
mencakup pula situasi persaingan dalam ekonomi. Setelah ada beberapa terlihat dari
hasil karya kedua penemu di atas yang belum sempurna di dalam keseimbangan
Nash, maka sekarang muncullah penemu yang bernama John Nash pada tahun 1950-
1953, ia menunjukkan keseimbangan di dalam permainan N-orang,”permainan tak
kooperatif”, dan dua orang di dalam permainan kooperatif menurut John Nash,
keseimbangan adalah jika ada serangkaian strategi untuk permainan dimana tidak ada
pemain yang bisa memperoleh keuntungan dengan mengubah strateginya, sementara
pemain lagi menjaga strategi mereka tetap tidak berubah, kemudian rangkaian strategi
hasil yang bersesuaian membentuk keseimbangan Nash.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka penulis merasa tertarik untuk meneliti
tentang teori permainan dengan menggunakan strategi Nash, oleh karena itu penulis
mengajukan judul tugas akhir ini dengan “ Kendali Optimal Permainan Non-
Kooperatif Kontinu Skalar Dua Pemain dengan Strategi Nash “.
I-2
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, maka dapat dirumuskan permasalahan
dalam penelitian ini adalah untuk menunjukkan dalam kondisi seperti apa strategi
Nash itu ada.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan skripsi ini permasalahan dibatasi untuk teori permainan non-
kooperatif kontinu skalar dua pemain dengan strategi Nash untuk waktu tak hingga.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menunjukkan dalam kondisi seperti apa
strategi Nash itu ada, dalam permainan ini untuk mencapai tujuan yang diinginkan.
1.5 Sistematika Penulisan
BAB I Pendahuluan
Berisikan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II Landasan Teori
Berisikan teori-teori yang mendukung tentang teori permainan
non-kooperatif kontinu skalar dua pemain dengan strategi Nash.
BAB III Metodelogi Penelitian
Berisikan mengenai literatur, yaitu dengan membaca buku-buku
dan sumber-sumber lain yang berhubungan dengan teori
permainan non-kooperatif kontinu skalar dua pemain dengan
strategi Nash.
I-3
BAB IV Pembahasan
Bab ini berisikan pemaparan secara teoritis dalam mendapatkan
hasil penelitian tersebut.
BAB V Penutup
Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai kesimpulan dan saran.
II-1
BAB II
LANDASAN TEORI
Adapun landasan teori yang digunakan pada skripsi ini adalah.
2.1 Fungsi Kontinu
Dibawah akan diberikan definisi dari fungsi kontinu.
Definisi 2.1 (Purcell, 2003): Fungsi 푓 dikatakan kontinu di 푎 ∈ 퐷 jika
lim→푓(푥) = 푓(푎)
Definisi 2.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi 푓 kontinu di
푎, yaitu :
(i). 푓(푎) ada atau terdefinisikan
(ii). 푓(푥)→ ada, dan
(iii). 푓(푥) = 푓(푎)→
2.2 Fungsi Monoton
Bagian ini penggunaan turunan akan digunakan untuk mengetahui sifat-sifat
yang dimiliki suatu fungsi kontinu antara lain kemonotonan serta nilai ekstrim.
Namun sebelumnya perlu diberikan pengertian secara formal mengenai kemonotonan
suatu fungsi pada definisi berikut :
Definisi 2.2 (Purcell, 2003): Diberikan fungsi kontinu 푓: 퐼 → 푅 dengan interval
퐼 ⊆ 푅, maka
1. Fungsi 푓 dikatakan monoton naik pada interval 푥 ≤ 푥 ∈ 퐼 maka
푓(푥 ) 푓(푥 ).
II-2
2. Fungsi 푓 dikatakan fungsi monoton naik tegas pada interval 퐼 ⊆ 푅 jika
푥 < 푥 ∈ 퐼 maka 푓(푥 ) < 푓(푥 ).
3. Fungsi f dikatakan fungsi monoton turun pada interval 퐼 ⊆ 푅 jika 푥 ≤ 푥 ∈
퐼 maka 푓(푥 ) ≥ 푓(푥 ).
4. Fungsi 푓 dikatakan fungsi monoton turun tegas pada interval 퐼 ⊆ 푅 jika
푥 < 푥 ∈ 퐼 maka 푓(푥 ) > 푓(푥 ).
Fungsi 푓 kontinu pada interval 퐼 ⊆ 푅, maka kemonotonan fungsi dapat
diperiksa menganalisis turunan fungsi 푓, secara lengkap diberikan pada teorema
berikut.
Teorema 2.1 (Bartle, 1998): Diberikan fungsi kontinu 푓:→ 푅 dengan interval 퐼 ⊆ 푅
maka
1. Fungsi 푓 dikatakan monoton naik pada interval 퐼 jika dan hanya jika
푓 (푥) ≥ 0, untuk setiap 푥 ∈ 퐼.
2. Fungsi 푓 dikatakan monoton turun pada interval 퐼 jika dan hanya jika
푓 (푥) ≤ 0, untuk setiap 푥 ∈ 퐼.
Selanjutnya, dibahas mengenai nilai ekstrim global dan lokal dari suatu
fungsi, pembahasan awal perlu diberikan definisi mengenai nilai ekstrim minimum
global dan minimum lokal.
Definisi 2.3 (Bartle, 1998): Diberikan fungsi kontinu 푓: 퐼 → 푅 dengan interval 퐼 ⊆
푅, maka
1. Fungsi 푓 dikatakan memiliki minimum global di 푥 ∈ 퐼 jika ∀푥 ∈ 퐼 berlaku
푓(푥) ≥ 푓(푥 ).
2. Fungsi 푓 dikatakan memiliki minimum lokal di 푥 ∈ 퐼 jika untuk suatu
persekitaran 훿 dari 푥 sedemikan sehingga 푓(푥) ≥ 푓(푥 ) untuk setiap
푥 didalam persekitaran tersebut.
II-3
Maksimum global dan maksimum lokal didefinisikan dengan membalik tanda
pertidaksamaan pada defenisi 2.3.
2.3 Kestabilan
Sebelum pembahasan kestabilan perlu didefinisikan titik ekuilibrium, sebagai
berikut :
Definisi 2.4 (Engwerda, 2005): Diberikan persamaan diferensial order satu yaitu
푥̇ = 푓(푥) dengan nilai awal 푥(0) = 푥 , sebuah vektor 푥̅ yang memenuhi 푓(푥̅) = 0
disebut titik ekuilibrium.
Definisi titik ekuilibrium, digunakan untuk memberikan definisi kestabilan
sebagai berikut :
Definisi 2.5 (Engwerda, 2005): Titik ekuilibrium 푥̅ dikatakan stabil jika ∀ 휀 >
0,∃ 훿 > 0 sehingga ‖푥 − 푥̅‖ < 훿 maka ‖푥(푡, 푥 ) − 푥̅‖ < 휀 untuk semua 푡 ≥ 0.
Titik ekuilibrium 푥̅ dikatakan stabil asimtotik jika 푥̅ merupakan titik stabil dan
∃ 훿 > 0 sehingga lim → ‖푥(푡, 푥 ) − 푥̅‖ = 0 memenuhi ‖푥 − 푥̅‖ < 훿.
Untuk kasus lain titik 푥̅ dikatakan tidak titik stabil jika tidak memenuhi
definisi kestabilan.
2.4 Permainan Dinamis Non-Kooperatif untuk Waktu Tak hingga
Permainan dua pemain dengan para pemain memberikan kendali pada
persamaan diferensial sistem dinamik
푥̇(푡) = 퐴푥(푡) + 퐵 푢 (푡) + 퐵 푢 (푡), 푥(0) = 푥 , (2.1)
Para pemain meminimalkan dalam arti Nash
퐽 푥 ,푢 ,푢 ,푇 = ∫ 푥 (푡)푄 푥(푡) + 푢 (푡)푅 푢 (푡) + 푢 (푡)푅 푢 (푡) 푑푡, 푗 ≠ 푖(2.2)
II-4
Pada bagian ini dibahas untuk kasus waktu tak hingga, yaitu fungsi tujuan
memenuhi kriteria
퐽 (푥 ,푢 ,푢 ) = lim 퐽 (푥 ,푢 ,푢 ,푇 ) dengan 푖 = 1,2.
Fungsi tujuan permainan ini memenuhi asumsi 푄 dan 푅 adalah matriks
simetris dan 푅 adalah definit positif, untuk 푖 = 1,2. Selanjutnya akan dicari fungsi
kendali 푢 = 퐹 푥, dengan 퐹 ∈ ℝ핞 ×핟, 푖 = 1,2 dan (퐹 ,퐹 ) adalah anggota ℱ =
{퐹 = (퐹 ,퐹 )|퐴 + 퐵 퐹 + 퐵 퐹 푠푡푎푏푖푙}, yang memenuhi definisi berikut
Definisi 2.6 (Engwerda, 2005): Ekulibrium linier (퐹∗,퐹∗) ∈ ℱ disebut ekuilibrium
linier umpan balik Nash jika memenuhi perrtidaksamaan 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹∗) ≤
퐽 (푥 ,퐹 ,퐹∗) dan 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹∗) ≤ 퐽 (푥 ,퐹∗, 퐹 ) untuk setiap 푥 dan untuk setiap
matriks state umpan balik 퐹 , 푖 = 1,2 sedemikian sehingga (퐹 ,퐹∗) dan (퐹∗, 퐹 ) ∈ ℱ.
Masalah dua pemain ekuivalen dengan masalah linier kuadratik biasa,
sehingga untuk masalah waktu tak hingga dapat diberikan persamaan aljabar Riccati
sebagai berikut
0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 (2.3)
0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 −퐾 푆 퐾 , (2.4)
Vektor kendali permainan dapat diperoleh jika dan hanya jika persamaan
aljabar Riccati (2.3)-(2.4) memiliki solusi (퐾 ,퐾 ), yang menyebabkan 퐴 − 푆 퐾 −
푆 퐾 menjadi stabil. Hal ini dibahas pada teorema berikut :
Teorema 2.2 (Engwerda, 2005): Misalkan (퐾 ,퐾 ) adalah solusi simetris persamaan
(2.3) dan (2.4) dan didefinisikan 퐹∗ = −푅 퐵 퐾 untuk 푖 = 1,2 maka (퐹∗,퐹∗)
adalah ekuilibrium umpan balik Nash. Selanjutnya fungsi tujuan akhir untuk pemain
ke-푖 adalah 푥 퐾 푥 , 푖 = 1,2. Sebaliknya, jika (퐹∗,퐹∗) adalah ekuilibrium umpan
II-5
balik Nash, maka terdapat (퐾 ,퐾 ) adalah solusi simetris persamaan (2.3) dan (2.4)
sehingga 퐹∗ = −푅 퐵 퐾 untuk 푖 = 1,2.
Bukti :
Pertama akan dibuktikan untuk pemain pertama, diketahui 퐹∗ = −푅 퐵 퐾 dengan
퐾 adalah solusi persamaan diatas. Jika 푢 = 퐹∗푥 maka 푢 = 푥 퐹∗.
Selanjutnya diketahui sistem dinamik 푥̇ = 퐴푥 + 퐵 푢 + 퐵 푢 , maka sistem dinamik
setelah diberi kendali umpan balik adalah
푥̇ = 퐴푥 + 퐵 푢 + 퐵 푢 = 퐴푥 + 퐵 푢 + 퐵 퐹∗푥 = 퐴푥 + 퐵 (−푅 퐵 퐾 )푥 +
퐵 푢 = (퐴 − 푆 퐾 )푥 + 퐵 푢 , dengan 푥(0) = 푥 ,
Fungsi tujuan yang akan diminimalkan pemain pertama yaitu
퐽 (푥 ,푢 ,퐹∗) = {푥 푄 푥 + 푢 푅 푢 + 푢 푅 푢 }푑푡
= {푥 푄 푥 + 푢 푅 푢 + 푥 퐹∗ 푅 퐹∗푥}푑푡
= {푥 (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗)푥 + 푢 푅 푢 }푑푡
Sistem dinamik permainan fungsi objektif di atas dapat dipandang sebagai
masalah kendali optimal linier kuadratik biasa. Sehingga dapat diberikan persamaan
aljabar Riccati sebagai berikut :
0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗)
0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − (푄 − 퐾 퐵 푅 푅 퐵 퐾 )
0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 , (2.5)
II-6
Dengan persamaan (2.5) memiliki solusi 퐾 , maka diperoleh vektor kendali
permainan pertama yaitu 푢∗ = −푅 퐵 퐾 푥 dengan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 sebagai
ekuilibrium umpan balik Nash.
Selanjutnya, berdasarkan masalah kendali optimal linier kuadratik biasa, maka
fungsi tujuan akhir optimal untuk pemain pertama dengan kendali yang diperoleh
adalah 퐽 = 푥 퐾 (0)푥 .
Secara sama untuk pemain kedua berdasarkan sistem dinamik dan fungsi
objektif yang bersesuaian dapat dibentuk persamaan aljabar Riccati yaitu :
0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 . (2.6)
Berdasarkan persamaan di atas memiliki solusi 퐾 (푡), maka diperoleh vektor
kendali pemain kedua 푢∗ = −푅 퐵 퐾 푥, dengan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 (푡) sebagai
ekuilibrium umpan balik Nash. Sehingga nilai optimal untuk fungsi objektif adalah
퐽 = 푥 퐾 (0)푥 .
Diasumsikan (퐹∗,퐹∗) ∈ ℱ adalah ekuilibrium umpan balik Nash. Selanjutnya
berdasarkan definisi dipenuhi :
퐽 (푥 ,퐹∗, 퐹∗) ≤ 퐽 (푥 ,퐹 ,퐹∗) dan 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹∗) ≤ 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹 ).
Akan ditunjukkan ada (퐾 (푡),퐾 (푡)) solusi (2.3)-(2.4) dengan
퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 .
Untuk pemain pertama diketahui 퐹∗ yang memenuhi 푢∗(푡) = 퐹∗푥(푡). Maka
sistem dinamik pemain pertama menjadi 푥̇ = 퐴푥+ 퐵 푢 + 퐵 퐹∗푥 dengan fungsi
objektif berikut :
퐽 = {푥 (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗)푥 + 푢 푅 푢 }푑푡.
II-7
Dapat dibentuk persamaan Riccati
0 = −(퐴 − 퐵 퐹∗) 퐾 −퐾 (퐴 + 퐵 퐹∗) + 퐾 푆 퐾 − (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗). (2.7)
Disubstitusikan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 dengan 퐹∗ (푡) = −퐾 퐵 푅 ke
persamaan (2.7) diperoleh
−(퐴 + 퐵 (−푅 퐵 퐾 )) 퐾 − 퐾 퐴+ 퐵 (−푅 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 +
(−퐾 퐵 푅 )푅 (−푅 퐵 퐾 ) = 0
−(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 = 0, (2.8)
Maka dapat diperoleh 퐾 sebagai solusi dari persamaan (2.8) sehingga
퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 .
Selanjutnya untuk pemain kedua, diketahui 퐹∗ dengan 푢∗(푡) = 퐹∗푥(푡). Maka
sistem dinamik pemain pertama menjadi 푥̇ = 퐴푥 + 퐵 퐹∗푥 + 퐵 푢 , dengan fungsi
objektif yang bersesuaian dapat dibentuk persamaan aljabar Riccati berikut :
0 = −(퐴− 퐵 퐹∗) 퐾 −퐾 (퐴+ 퐵 퐹∗) + 퐾 푆 퐾 − (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗ (2.9)
Substitusikan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 dan 퐹∗ (푡) = −퐾 퐵 푅 ke persamaan
(2.9) diperoleh
−(퐴+ 퐵 (−푅 퐵 퐾 )) 퐾 − 퐾 퐴+ 퐵 (−푅 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 +
(−퐾 퐵 푅 )푅 (−푅 퐵 퐾 ) = 0
−(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 = 0, (2.10)
Maka dapat diperoleh 퐾 sebagai solusi dari persamaan (2.10) sehingga
퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian yang penulis gunakan adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1) Menentukan persamaan aljabar Riccati.
2) Menyelidiki Eksistensi solusi persamaan aljabar Riccati.
3) Menyelidiki Eksistensi dan ketunggalan kendali Nash.
Langkah-langkah metodologi penelitian di atas dapat digambarkan dalam
flow chart sebagai berikut :
Gambar 3.1 Flow chart metode penelitian
MULAI
풙̇ = 푨풙+ 푩ퟏ풖ퟏ + 푩ퟐ풖ퟐ
Sistem dinamik
Persamaan Aljabar Riccati
Eksistensi Persamaan Aljabar Riccati
Ketunggalan Kendali Nash
SELESAI
IV-1
BAB IV
PEMBAHASAN
Bab ini akan membahas kendali optimal permainan Non-kooperatif
kontinu skalar dua pemain dengan strategi Nash berdasarkan teori- teori yang
berhubungan dengan permasalahan sebagaimana telah dibahas pada bab
sebelumnya.
4.1. Kendali Optimal Umpan Balik Permainan Dinamis Linier Kuadratik
Dua Pemain Non-Kooperatif Kontinu Skalar
Pada bab 2 telah diberikan bentuk umum permainan dinamis dua pemain
untuk waktu tak hingga, vektor kendali optimal dapat diperoleh melalui
penyelesaian sistem persamaan aljabar Riccati. Selanjutnya pada bagian ini akan
dibahas untuk kasus skalar, yang didasarkan dari bentuk umum pada bagian bab 2.
Didefinisikan persamaan diferensial sistem dinamik permainan dua
pemain (2.1)-(2.2) dengan persamaan aljabar Riccati (2.3)-(2.4).
Selanjutnya dibentuk sistem permainan non-kooperatif dua pemain untuk
kasus skalar, dengan mensubstitusikan 푅 = 푅 = 0,퐴 = 푎 ,퐵 = 푏 ,푄 =
푞 ,푅 = 푟 dan 푠 = , dengan 푖 = 1,2 ke sistem permainan (2.1)-(2.2) diperoleh
푥̇(푡) = 푎푥(푡) + 푏 푢 (푡) + 푏 푢 (푡), 푥(0) = 푥 (4.1)
Para pemain meminimalkan dalam arti Nash fungsi objektif
퐽 (푥 ,푢 푢 ) = {푥(푡)푞 푥(푡) + 푢 (푡)푟 푢 (푡) + 푢 (푡)(0)푢 (푡)}푑푡
퐽 (푥 ,푢 푢 ) = {푞 푥 (푡) + 푟 푢 (푡)}푑푡∞
, 푖 = 1,2, (4.2)
IV-2
Dengan mengambil 푥 = 퐾 , berdasarkan persamaan (2.3)-(2.4) maka
persamaan aljabar Riccati yang bersesuaian adalah sebagai berikut :
푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 (4.3)
푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 (4.4)
Persamaan aljabar Riccati (4.3)-(4.4) akan memiliki solusi (푥 ,푥 ) yang
akan menghasilkan vektor kendali Nash, yang dapat menstabilkan sistem
permainan loop tertutup, 푎 − 푠 푥 − 푠 푥 menjadi stabil atau
푎 − 푠 푥 − 푠 푥 < 0 (4.5)
Persamaan (4.3)-(4.4) merupakan bentuk khusus dari persamaan berderajat dua
퐴푥 + 퐵푥푦 + 퐶푦 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0
Persamaan (4.3) merupakan persamaan hiperbola pada daerah (푥 ,푥 ), karena
untuk 퐴 = 푠 ,퐵 = 2푠 ,퐶 = 0,퐷 = −2푎,퐸 = 0, dan 퐹 = −푞 diperoleh 퐵 −
4퐴퐶 = (2푠 ) − 4(푠 )(0) = 4푠 > 0. Kondisi ini menunjukkan bahwa
persamaan (4.3) merupakan sebuah persamaan hiperbola. Selanjutnya berdasarkan
persamaan (4.3) diperoleh
푥 = −푠
2푠 푥 +푎푠 +
푞2푠푥 ,
Maka asimtot tegak adalah 푥 = 0 dan asimtot miring adalah 푥 = + ,
sementara pusat hiperbola persamaan pada 0, .
Secara sama persamaan (4.4) merupakan persamaan hiperbola pada daerah
(푥 ,푥 ), karena untuk 퐴 = 푠 ,퐵 = 2푠 ,퐶 = 0,퐷 = −2푎,퐸 = 0, dan 퐹 = −푞
diperoleh 퐵 − 4퐴퐶 = (2푠 ) − 4(푠 )(0) = 4푠 > 0. berdasarkan persamaan
(4.4) diperoleh
푥 = −푠
2푠 푥 +푎푠 +
푞2푠푥 ,
IV-3
Sehingga asimtot datar adalah 푥 = 0 dan asimtot miring adalah 푥 = + ,
sementara pusat hiperbola pada , 0 .
Persamaan (4.5) merupakan syarat kestabilan, yang menggambarkan daerah stabil
dan daerah tak stabil. Umpan balik equilibrium Nash dapat diperoleh dari titik
perpotongan kedua hiperbola pada daerah kestabilan. Seperti dapat dilihat pada
contoh berikut :
Contoh 4.1 : Diberikan persamaan (4.3)-(4.5), dengan 푎 = 푏 = 푟 = 1,푞 =
dan 푞 = , dengan 푎 = 1, 푠 = 푠 = 1 maka diperoleh persamaan hiperbola pertama adalah
푥 + 2푥 푥 − 2푥 −14 = 0
Dengan asimtot tegak 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 + 1 dan
pusat hiperbola adalah (0,1).
Sedangkan persamaan hiperbola kedua adalah
푥 + 2푥 푥 − 2푥 −15 = 0
Dengan asimtot datar 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 + 1 dan
pusat hiperbola adalah (1,0), dengan syarat 1 − 푥 − 푥 = 0 ⇔ 푥 = 1 − 푥 ,
kedua hiperbola dapat dilihat pada gambar 4.1 berikut :
IV-4
y
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 x
-1
-2
-3
Gambar 4.1: Permainan dengan tiga titik ekuilibrium Nash
Berdasarkan Gambar 4.1 diperoleh bahwa, kedua hiperbola memiliki
empat titik potong, satu titik potong berada di daerah tidak stabil dan tiga titik
potong berada di daerah stabil (daerah arsiran). Maka diperoleh tiga umpan balik
ekuilibrium Nash yaitu tiga titik potong pada daerah stabil.
Contoh 4.2: Diberikan persamaan (4.3)-(4.5), dengan 푎 = 0,푏 = 푟 = 1,푞 =
dan 푞 = , dengan 푎 = 0, 푠 = 푠 = 1 maka diperoleh persamaan hiperbola
pertama adalah
푥 + 2푥 푥 −14 = 0
Dengan asimtot tegak 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 dan
pusat hiperbola adalah (0,0).
IV-5
Sedangkan persamaan hiperbola kedua adalah
푥 + 2푥 푥 −15 = 0
Dengan asimtot datar 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 dan
pusat hiperbola adalah (1,0), dengan syarat −푥 − 푥 = 0 ⇔ 푥 = −푥 , kedua
hiperbola dapat dilihat pada gambar berikut :
y
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 x
-1
-2
-3
Gambar 4.2: Permainan dengan satu titik ekuilibrium Nash
Berdasarkan Gambar 4.2 diperoleh bahwa, kedua hiperbola memiliki dua
titik potong, satu titik potong berada di daerah tidak stabil dan satu titik potong
berada di daerah stabil (daerah arsiran). Maka diperoleh satu umpan balik
ekuilibrium Nash yaitu titik potong pada daerah stabil.
Sebelum dibahas berbagai situasi yang berhubungan dengan titik
ekuilibrium Nash pada permainan ini, maka terlebih dahulu dibahas kondisi-
IV-6
kondisi yang berhubungan dengan solusi persamaan aljabar Riccati, teorema
berikut akan membahas solusi-solusi persamaan aljabar Riccati untuk kasus 푠 =
0, dan untuk kasus 푠 ≠ 0 akan dibahas pada bagian selanjutnya.
Teorema 4.1(Engwerda, 2005): Diberikan persamaan (4.3)-(4.5), diasumsikan
푠 = 0, berlaku :
1. Jika 푠 ≠ 0 maka terdapat solusi (푥 ,푥 ) ∈ ℝ untuk persamaan (4.3)-(4.5)
jika dan hanya jika 푎 + 푠 푞 > 0. jika kondisi tersebut dipenuhi maka
terdapat solusi tunggal yaitu ,
2. Jika 푠 = 0 maka terdapat solusi (푠 , 푠 ) ∈ 푅 untuk persamaan (4.3)-(4.5)
jika dan hanya jika 푎 < 0. Jika kondisi tersebut dipenuhi maka terdapat solusi
tunggal yaitu − ,−
Bukti :
1. Diasumsikan 푠 = 0 dan 푠 ≠ 0 berdasarkan persamaan (4.3)-(4.5) diperoleh
2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0
푠 푥 − 2푎푠 − 푞 = 0
푎 − 푠 푥 < 0
Selanjutnya dari persamaan 푠 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 diperoleh solusi yaitu
푥 =푎 ± 푎 + 푠 푞
푠 ,
Maka 푥 = ± akan memiliki solusi real jika dan hanya jika
푎 + 푠 푞 > 0,
IV-7
Oleh karena itu, kondisi di atas dipenuhi, maka 푥 = ±
disubstitusikan ke persamaan (4.3)
Untuk 푥 = disubstitusikan ke 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0
diperoleh .
Untuk 푥 = disubstitusikan ke 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0
diperoleh .
Didapat , dan ,
adalah solusi persamaan (4.3)-(4.4)
Selanjutnya hasil disubstitusikan ke persamaan (4.5). Untuk himpunan
penyelesaian pertama diperoleh :
푎 − 푠푎 + 푎 + 푠 푞
푠 = − 푎 + 푠 푞 < 0
Untuk himpunan penyelesaian kedua didapat
푎 − 푠푎 − 푎 + 푠 푞
푠 = − 푎 + 푠 푞 > 0
Dari hasil tersebut dapat diambil kesimpulan kembali bahwa penyelesaian
yang memenuhi persamaan (4.3)-(4.4) adalah
⎝
⎛ 푞2 푎 + 푠 푞
,푎+ 푎2 + 푠2푞2
푠2⎠
⎞
IV-8
2. Diasumsikan 푠 = 0 dan 푠 = 0 berdasarkan persamaan (4.3)-(4.5)
diperoleh :
−2푎푥 − 푞 = 0,
−2푎푥 − 푞 = 0,
푎 < 0.
Karena 푎 < 0, maka
−2푎푥 − 푞 = 0 → 푥 = −푞2푎
−2푎푥 − 푞 = 0 → 푥 = −푞2푎
Sehingga diperoleh solusi yaitu
−푞2푎 ,−
푞2푎 ∎
Selanjutnya akan di bahas solusi persamaan aljabar Riccati dengan asumsi
푠 ≠ 0, 푖 = 1,2, didefinisikan 푦 = 푠 푥 dan 휎 = 푠 푞 , 푖 = 1,2, dan diasumsikan
휎 ≥ 휎 . Persamaan (2.3) dan (2.4) dikalikan dengan 푠 , 푖 = 1,2 diperoleh
푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 → 푠 푥 + 2푠 푠 푥 푥 − 2푎푠 푥 − 푠 푥 = 0,
푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 → 푠 푥 + 2푠 푠 푥 푥 − 2푎푠 푥 − 푠 푥 = 0,
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa persamaan (4.3)-(4.5) memiliki solusi
(푥 ,푥 )휖 푅 jika dan hanya jika persamaan :
푦 − 2푦 푦 − 훿 = 0, 푖 = 1,2 (4.6)
푦 = −푎 + 푦 + 푦 > 0, (4.7)
Memiliki solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅
Sebelumnya disubtitusikan terlebih dahulu 푦 = −푎 + 푦 + 푦
kepersamaan (4.6), untuk 푖 = 1 diperoleh
푦 − 2(−푎 + 푦 + 푦 )푦 + 훿 = 0
푦 + 2푎푦 − 2푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0
푦 − 2푎푦 + 2푦 푦 − 훿 = 0, (4.8)
IV-9
Maka berdasarka perkalian persamaan (4.3) dengan 훿 , diperoleh
푠 푥 + 2푠 푠 푦 푦 − 2푎푠 푥 − 푠 푞 = 0 ↔ 푦 − 2푎푦 2푦 푦 − 훿 = 0
Dapat disimpulakan bahwa persamaan (4.3) akan punya solusi (푥 ,푥 )휖 푅 jika dan hanya jika persamaan (4.8) punya solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅 untuk 푖 = 2, diperoleh
푦 − 2(−푎 + 푦 + 푦 )푦 + 훿 = 0
푦 + 2푎푦 − 2푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0
푦 − 2푎푦 + 2푦 푦 − 훿 = 0, (4.9)
Selanjutnya berdasarkan persamaan (4.5), dengan 푦 = 푠 푥 dan 훿 =
푠 푞 , maka diperoleh :
푠 푥 + 2푠 푠 푥 푥 − 2푎푠 푥 − 푠 푞 = 0 ↔ 푦 − 2푎푦 + 푦 푦 − 훿 = 0
Dapat disimpulkan bahwa persamaan (4.3) akan mempunyai solusi
(푥 ,푥 )휖 푅 jika dan hanya jika persamaan (4.9) mempunyai solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅
Berdasarkan uraian di atas diperoleh hasil bahwa terdapat hubungan antara
persamaan (4.3)-(4.5) dan persamaan (4.6)-(4.7), sehingga dengan mencari solusi
persamaan (4.6)-(4.7) maka dapat diperoleh solusi untuk (4.3)-(4.5). untuk solusi
persamaan (4.6)-(4.7) dibahas dengan Lemma berikut :
Lemma 4.1: Sistem persamaan (4.6)-(4.7) memiliki solusi jika dan hanya jika
terdapat 푡 , 푡 휖 {−1,1} sehingga persamaan
푦 + 푡 푦 − 훿 + 푡 푦 − 훿 = 푎 (4.10)
Memiliki solusi 푦 > 0 dengan syarat 푦 ≥ 훿 ,
IV-10
Bukti :
Andaikan sistem persamaan (4.6) memiliki solusi, yaitu
푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0, 푖 = 1,2,
Untuk 푖 = 1 maka 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 diperoleh solusi
푦 =2푦 ± (2푦 ) − 4훿
2 = 푦 ± 푦 − 훿
Untuk 푖 = 2 maka 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 diperoleh solusi
푦 =2푦 ± (2푦 ) − 4훿
2 = 푦 ± 푦 − 훿
Substitusikan 푦 ,푦 ke persamaan (4.7) diperoleh
푦 = −푎 + 푦 + 푦 > 0
푦 = −푎 + 푦 ± 푦 − 훿 + 푦 ± 푦 − 훿 ↔ 푦 = −푎 + 2푦 ±
푦 − 훿 ± 푦 − 훿
→ 푦 − 2푦 ± 푦 − 훿 ± 푦 − 훿 = −푎 ↔ −푦 ± 푦 − 훿 ±
푦 − 훿 = −푎
→ 푦 ± 푦 − 훿 ± 푦 − 훿 = 푎 (4.11)
Berdasarkan persamaan (4.11) dapat dilihat terdapat 푡 , 푡 휖 {−1,1} sehingga
diperoleh
푦 + 푡 푦 − 훿 + 푡 푦 − 훿 = 푎 (4.12)
Persamaan (4.12) akan memiliki solusi 푦 > 0 jika 푦 ≥ 훿
IV-11
Sekarang akan dibuktikan arah sebaliknya. Andaikan persamaan (4.10)
memiliki solusi 푦 > 0 dengan syarat 푦 ≥ 훿 . Selanjutnya akan dibuktikan
persamaan (4.6)-(4.7) memiliki solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅 . Berdasarkan persamaan (4.6)
diperoleh
Untuk 푖 = 1 → 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 memiliki solusi 푦 = 푦 ± 푦 − 훿
Untuk 푖 = 2 → 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 memiliki solusi 푦 = 푦 ± 푦 − 훿
Karena terdapat 푦 > 0 adalah solusi persamaan (4.10) dengan syarat 푦 ≥ 훿
maka 푦 , 푦 ada.
Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari semua kemungkinan persamaan
yang dapat dibentuk dari persamaan (4.10), yang berhubungan dengan eksistensi
dan ketunggalan ekuilibrium permainan. Pembahasan selanjutnya dimulai dengan
menotasikan 푥 dan 푦 dan didefinisikan untuk semua 푥 > 0 dengan syarat
푥 ≥ 휎 , maka dari persamaan (4.10) dengan 푡 , 푡 ∈ {−1,1} dapat dibentuk
persamaan-persamaan berikut :
푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 , (4.13)
푓 (푥) = 푥 + 푥 − 휎 − 푥 − 휎 , (4.14)
푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 + 푥 − 휎 , (4.15)
푓 (푥) = 푥 + 푥 − 휎 + 푥 − 휎 . (4.16)
Titik ekuilibrium merupakan perpotongan titik pada grafik 푓 (푥) dengan 푎
pada daerah stabil. Selanjutnya beberapa sifat untuk fungsi 푓 (푥) dengan 휎 > 0
dan 휎 < 0 diberikan pada Lemma berikut :
IV-12
Lemma 4.2: Diberikan persamaan-persamaan (4.13)-(4.16), dengan 휎 > 휎 ,
berlaku :
1. 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥).
2. Jika 휎 > 0 maka
(a). 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), 푖 = 1,3.
(b). 푓 (푥) mempunyai titik minimum yang tunggal pada 푥∗ > √휎 .
3. Jika 휎 < 0 maka
(a). 푓 (푥) dan 푓 (푥) adalah fungsi monoton naik.
(b). 푓 (푥) mempunyai tepat satu titik global maksimum pada 푥∗ > 0.
(c). Maksimum 푓 (푥) < 푓 (0).
Bukti :
1. Diberikan persamaan (4.13)-(4.16) dengan 푥 > 0,푥 ≥ 휎 푑푎푛 휎 > 휎 ,
maka berlaku hubungan
푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 < 푥 + 푥 − 휎 − 푥 − 휎 < 푥 −
푥 − 휎 + 푥 − 휎 < 푥 + 푥 − 휎 + 푥 − 휎 ,
Sehingga terbukti bahwa
푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥).
2. Jika 휎 > 0 maka
(a). untuk 푖 = 1 maka 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), karena
푓 휎 = 휎 − 휎 − 휎 − 휎 − 휎 = 휎 − 휎 − 휎
푓 휎 = 휎 + 휎 − 휎 − 휎 − 휎 = 휎 − 휎 − 휎
Untuk 푖 = 3 maka 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), karena
IV-13
푓 (√휎 ) = √휎 − (√휎 ) − 휎 + (√휎 ) − 휎 = √휎 + √휎 − 휎
푓 (√휎 ) = √휎 + (√휎 ) − 휎 + (√휎 ) − 휎 = √휎 + √휎 − 휎
(b). Diberikan persamaan (4.13) selanjutnya dengan turunan pertama
diperoleh
푓 (푥) = 1 − (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥
= 1− 푥(푥 − 휎 ) − 푥(푥 − 휎 )
= 1−( )
−( )
< 0.
Karena 푓 (푥) < 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton turun.
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.14), dengan turunan pertama
diperoleh
푓 (푥) = 1 + (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥
= 1 + 푥(푥 − 휎 ) − 푥(푥 − 휎 )
= 1 +( )
−( )
> 0.
Karena 푓 (푥) > 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton naik.
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.16), dengan turunan pertama
diperoleh
푓 (푥) = 1 + (푥 − 휎 ) 2푥 + (푥 − 휎 ) 2푥
= 1 + 푥(푥 − 휎 ) + 푥(푥 − 휎 )
= 1 +( )
+( )
> 0.
IV-14
(c). Berdasarkan persamaan (4.15), dengan turunan pertama diperoleh
푓 (푥) = 1 −12
(푥 − 휎 ) 2푥 +12
(푥 − 휎 ) 2푥
= 1 +( )
+( )
> 0.
Maka 푓 (푥) = 0 untuk suatu 푥 = 푥∗ dengan syarat 푥∗ > √휎 .
Selanjutnya dengan uji turunan kedua, jika 휎 > 휎 dan 푥∗ > √휎
diperoleh :
푓 (푥) = − 1(푥 − 휎 ) + 푥 −12
(푥 − 휎 ) 2푥
+ 1(푥 − 휎 ) + 푥 −12
(푥 − 휎 ) 2푥
=−(푥 − 휎 ) + 푥 (푥 − 휎 )
(푥 − 휎 ) +(푥 − 휎 ) − 푥 (푥 − 휎 )
(푥 − 휎 )
=(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (−(푥 − 휎 ) + 푥 ) +
(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (푥 − 휎 ) − 푥
푓 (푥) =(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (휎 ) +
(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (−휎 ) > 0
Diperoleh 푓 (푥∗) > 0, sehingga 푓 (푥) punya minimum pada saat 푥∗ > √휎 .
3. Jika 휎 < 0 maka
(a) Berdasarkan persamaan (4.14), selanjutnya dengan turunan pertama
diperoleh
푓 (푥) = 1 + (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥
= 1 + 푥(푥 − 휎 ) − 푥(푥 − 휎 )
IV-15
= 1 +( )
−( )
> 0.
Karena 푓 (푥) > 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton naik.
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.15) dengan turunan pertama
diperoleh
푓 (푥) = 1 − (푥 − 휎 ) 2푥 + (푥 − 휎 ) 2푥
= 1 − 푥(푥 − 휎 ) + 푥(푥 − 휎 )
= 1 −( )
+( )
> 0.
Karena 푓 (푥) > 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton naik.
(b). Berdasarkan persamaan (4.13), dengan syarat 휎 < 0, maka
푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 .
Dengan turunan pertama diperoleh :
푓 (푥) = 1 − (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥
= 1 +푥
(푥 − 휎 )−
푥
(푥 − 휎 )
Maka 푓 (푥) = 0 untuk suatu 푥 = 푥∗ dengan syarat 푥 = 푥∗ > 0.
Dengan uji turunan kedua, jika 푥∗ > 0 diperoleh :
푓 (푥) = −1
(푥 + 휎 )+
푥
(푥 + 휎 )−
1
(푥 + 휎 )+
푥
(푥 + 휎 )
=−(푥 + 휎 ) + 푥 (푥 + 휎 )
(푥 + 휎 ) +−(푥 + 휎 ) + 푥 (푥 + 휎 )
(푥 + 휎 )
IV-16
=(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−(푥 + 휎 ) + 푥 ) +
(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−(푥 + 휎 ) + 푥 )
=(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−휎 ) +
(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−휎 ) < 0.
Diperoleh 푓 (푥∗) < 0. maka 푓 (푥) akan memiliki nilai maksimum pada
saat 푥∗ > 0.
(c). Berdasarkan persamaan (4.16) dengan syarat 휎 < 0, maka
푓 (푥) = 푥 + 푥 − 휎 + 푥 − 휎
Selanjutnya dengan turunan pertama diperoleh
푓 (푥) = 1 +푥
(푥 − 휎 )+
푥
(푥 − 휎 )
Maka 푓 (푥) = 0 untuk suatu 푥 = 푥∗ dengan syarat 푥 = 푥∗ > 0.
Selanjutnya dengan uji turunan kedua, jika 푥∗ < 0 diperoleh
푓 (푥) =1
(푥 + 휎 )−
푥
(푥 + 휎 )+
1
(푥 + 휎 )−
푥
(푥 + 휎 )
=(푥 + 휎 ) − 푥 (푥 + 휎 )
(푥 + 휎 ) +(푥 + 휎 ) − 푥 (푥 + 휎 )
(푥 + 휎 )
=(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (휎 ) +
(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (휎 ) > 0
Diperoleh 푓 (푥∗) > 0, maka fungsi 푓 (푥) memiliki minimum pada saat
푥∗ < 0. Berdasarkan turunan pertama, 푓 (푥) = 푥 + 푥 + 휎 + 푥 + 휎
merupakan fungsi monoton naik.
(d). Diketahui fungsi 푓 (푥) punya solusi maksimum untuk 푥∗ > 0.
IV-17
푓 (0) = 0 + 0 + 휎 − 0 + 휎 = 휎 − 휎 ,
Sehingga
푓 (푥∗)− 푓 (0) = 푥∗ − (푥∗) + 휎 − (푥∗) + 휎 − √휎 + √휎 < 0,
Maka diperoleh 푓 (푥∗)− 푓 (0) < 0 ⟺ 푓 (푥∗) < 푓 (0)
atau maksimum 푓 (푥) < 푓 (0).
Lemma 4.1 memberikan beberapa hasil yang dapat digunakan untuk membalas
kondisi-kondisi yang menyebabkan suatu permainan tidak memiliki ekuilibrium
Nash, memiliki satu ekuilibrium Nash dan memiliki lebih dari satu ekuilibrium
Nash, hal ini dibahas pada teorema berikut.
Teorema 4.2 : Diberikan permainan yang memenuhi persamaan (4.11) dan
(4.12), dengan 휎 = , 푖 = 1,2. diasumsikan 휎 ≥ 휎 , selanjutnya diberikan
persamaan 푓 (푥), 푖 = 1,2,3,4, seperti pada persamaan (4.13)-(4.16), maka
1(a). Jika 휎 > 0 dan 휎 ≥ 휎 , maka permainan memiliki
i. Satu ekuilibrium jika −∞ < 푎 < 푚푖푛 푓 (푥).
ii. Dua ekuilibrium jika 푎 = 푚푖푛 푓 (푥).
iii. Tiga ekuilibrium jika 푎 > 푚푖푛 푓 (푥).
1(b). Jika 휎 = 휎 > 0, maka permainan memiliki
i. Satu ekuilibrium jika 푎 ≤ √휎 .
ii. Tiga ekuilibrium jika 푎 > √휎 .
2(a). Jika 휎 < 0 dan 휎 > 휎 , maka permainan
i. Memiliki satu ekuilibrium jika √−휎 − √−휎 < 푎 ≤ √−휎 +
√−휎
ii. Memiliki dua ekuilibrium jika −√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 +
√−휎
IV-18
iii. Memiliki tiga ekuilibrium jika 푎 > √−휎 + √−휎 .
2(b). Jika 휎 = 휎 < 0, maka permainan
i. Memiliki dua ekuilibrium jika 0 < 푎 ≤ 2√−휎 .
ii. Memiliki tiga ekuilibrium jika 푎 > 2√−휎 .
Bukti :
1(a). Jika 휎 > 0 dan 휎 ≥ 휎 berlaku
i. Karena 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥), jika 푎 > −∞ dan 푎 < 푚푖푛 푓 (푥).
Maka 푎 hanya akan memotong kurva didaerah stabil dengan
kurva 푓 (푥), berarti untuk −∞ < 푎 < 푚푖푛 푓 (푥), permainan
hanya memiliki satu titik ekuilibrium.
ii. Karena 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥), jika 푎 = 푚푖푛 푓 (푥) maka 푎 akan
memotong grafik pada daerah stabil yaitu pada 푓 (푥) dan pada
푓 (푥). Maka untuk 푎 = 푚푖푛 푓 (푥) permainan akan memiliki dua
titik ekuilibrium.
iii. Karena 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥), jika 푎 > 푚푖푛 푓 (푥),
maka akan memotong 푓 (푥) pada daerah stabil, selanjutnya jika
푚푖푛 푓 (푥) pada 푥∗ > √휎 , untuk 푥 = √휎 berlaku 푓 (√휎 ) =
푓 (√휎 ), sehingga untuk 푎 > 푥∗ > √휎 maka a akan memotong
grafik 푓 (푥) dan 푓 (푥) sehingga untuk 푎 > 푚푖푛 푓 (푥) akan
memotong grafik 푓 (푥),푓 (푥), dan 푓 (푥). Sehingga diperoleh tiga
titik ekuilibrium.
1(b). Jika 휎 = 휎 > 0 berlaku
i. Andaikan 푓 (푥) punya minimum 푥∗ > √휎 , jika 푎 ≤ √휎 berarti
푎 berada dibawah grafik 푓 (푥) maka 푎 hanya akan memotong
grafik 푓 (푥) pada daerah stabil. Maka untuk 푎 ≤ √휎 permainan
akan memiliki satu titik ekuilibrium.
IV-19
ii. Andaikan 푓 (푥) punya minimum 푥∗ > √휎 , dan memenuhi
pertidaksamaan 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) dan untuk 푥 = √휎 ,
memenuhi 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), maka untuk 푎 = 푥∗ > √휎 , garis
푎 akan memotong grafik 푓 (푥),푓 (푥),푓 (푥). Pada daerah stabil.
Sehingga untuk 푎 > √휎 permainan akan memiliki tiga titik
ekuilibrium.
2(a). Jika 휎 < 0 dan 휎 > 휎 berlaku
i. Berdasarkan lemma 1 dan 푓 (0) = √−휎 − √−휎 , jika 푎 >
푚푎푘푠 푓 (푥) dan 푎 ≤ 푓 (0), maka 푎 memotong grafik pada
daerah tidak stabil, sehingga tidak ada titik ekuilibrium.
ii. Karena 푓 (0) = √−휎 − √−휎 dan 푓 (0) = √−휎 + √−휎 , jika
푎 > 푓 (0) dan 푎 < −√−휎 + √−휎 , maka 푎 memotong grafik
didaerah stabil pada grafik 푓 (푥), maka permainan akan memiliki
satu titik ekuilibrium.
iii. Karena 푓 (0) = √−휎 + √−휎 dan 푓 (0) = √−휎 + √−휎 , jika
푎 > 푓 (0) dan 푎 < 푓 (0), maka 푎 akan memotong grafik 푓 (푥)
dan 푓 (푥) di daerah stabil. Sehinggga permainan akan memiliki
dua titik ekuilibrium.
iv. Karena 푓 (0) = √−휎 + √−휎 , jika 푎 < 푓 (0) maka 푎 akan
memotong grafik 푓 (푥),푓 (푥),푓 (푥) di daerah stabil. Sehingga
permainan akan memiliki tiga titik ekuilibrium.
2(b). jika 휎 = 휎 < 0 berlaku
i. Berdasarkan bagian 2.a, diketahui bahwa permainan tidak
memiliki titik ekuilibrium jika 푚푎푘푠 푓 (푥) < 푎 ≤ √−휎 −
√−휎 . Selanjutnya untuk 휎 = 휎 < 0 maka maksimum 푓 (푥)
sebagai berikut :
푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 = 푥 − 2 푥 − 휎 ,
IV-20
Selanjutnya turunan pertama 푓 (푥) diperoleh,
푓 (푥) = − 2(푥 − 휎 ) + 2푥 −12
(푥 − 휎 ) 2푥
=−2(푥 − 휎 ) + 2푥 (푥 − 휎 )
(푥 − 휎 )
푓 (푥) =2(푥 − 휎 )
(푥 − 휎 ) (휎 )
Karena 휎 < 0 maka untuk 푥 . = ± didapat 푓 (푥) < 0, selanjutnya
berdasarkan Lemma 4.1, 푓 (푥) punya maksimum untuk 푥 > 0, maka 푓 (푥)
punya maksimum untuk 푥 = .
Sehingga nilai maksimum 푓 (푥) adalah :
푓 (푥) = 푥 − 2 푥 − 휎 =−3휎
3 − 2−3휎
3 − 휎 = −3휎
Selanjutnya untuk 푓 (0) dengan 휎 = 휎 < 0 diperoleh
푓 (0) = −휎 − −휎 = 0
Maka
푚푎푘푠 푓 (푥) < 푎 ≤ √−휎 + √−휎 ⇔ −3휎 < 푎 ≤ 0.
Permainan tidak punya titik ekuilibrium.
ii. Berdasarkan bagian 2.a, permainan akan memiliki ekuilibrium
jika
−√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 + √−휎 .
IV-21
Karena 휎 = 휎 maka
−√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 + √−휎
−√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 + √−휎
0 < 푎 ≤ 2√−휎 .
Maka untuk 휎 = 휎 permainan akan punya dua ekuilibrium jika
0 < 푎 ≤ 2√−휎 .
iii. Berdasarkan bagian 2.a, permainan akan memiliki tiga
ekuilibrium jika
푎 > √−휎 + √−휎 , karena 휎 = 휎 maka
√−휎 + √−휎 = √−휎 + √−휎 = 2√−휎 , diperoleh 푎 > 2√−휎 .
Sehingga permainan akan memiliki tiga ekuilibrium jika 푎 >
2√−휎 .
V-1
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Mengakhiri penulisan Tugas akhir ini, penulis dapat menarik kesimpulan dan
saran berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan pada bab-bab sebelumnya.
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan penelitian dan pembahasan yang dilakukan pada bab IV, dapat
disimpulkan sebagai berikut :
1. Titik ekuilibrium 푥̅ dikatakan stabil jika ∀ 휀 > 0,∃ 훿 > 0 sehingga ‖푥 −
푥̅‖ < 훿 maka ‖푥(푡,푥 )− 푥̅‖ < 휀 untuk semua 푡 ≥ 0. Titik ekuilibrium 푥̅
dikatakan stabil asimtotik jika 푥̅ merupakan titik stabil dan ∃ 훿 > 0 sehingga
lim → ‖푥(푡, 푥 )− 푥̅‖ = 0 memenuhi ‖푥 − 푥̅‖ < 훿. Untuk kasus lain titik 푥̅
dikatakan tidak titik stabil jika tidak memenuhi definisi kestabilan.
2. Vektor kendali permainan dapat diperoleh jika dan hanya jika persamaan
aljabar Riccati (2.3)-(2.4) memiliki solusi (퐾 ,퐾 ), yang menyebabkan
퐴 − 푆 퐾 − 푆 퐾 menjadi stabil.
3. Persamaan aljabar Riccati :
푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0
푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0
Akan memiliki solusi (푥 ,푥 ) yang akan menghasilkan vektor kendali Nash,
yang dapat menstabilkan sistem permainan loop tertutup 푎 − 푠 푥 − 푠 푥
menjadi stabil atau −푠 푥 − 푠 푥 < 0 .
V-2
4. Persamaan 푎 − 푠 푥 − 푠 푥 < 0 merupakan syarat kestabilan, yang
menggambarkan daerah stabil dan daerah tak stabil. Umpan balik Nash dapat
diperoleh dari titik perpotongan kedua hiperbola pada daerah kestabilan.
5.2 Saran
Dalam skripsi ini penulis hanya menggunakan permainan Non-kooperatif
kontinu dua pemain dengan strategi Nash. Oleh karena itu, penulis menyarankan agar
pembaca dapat lebih lanjut menemukan strategi-strategi yang lebih optimal dari
strategi Nash.
DAFTAR PUSTAKA
Engwerda, Jacob, LQ Dynamic Optimization and Differensial Games, Tilburg University, the Netherlands. John Wiley and Sons, LTD, England. 2005.
Weber, J. E, Analisis Matematik Penerapan Bisnis dan Ekonomi, University of
Arizona, Erlangga, Jakarta. 1999. Engwerda, Jacob, Feedback Nash equlibria in the scalar infinite horizon LQ-
games, Tilburg University, the Netherlands. Wartono, dkk, Persamaan Diferensial Biasa dan Masalah Nilai Awal, UIN-Press
SUSQA, Pekanbaru. 2009. Purcell, Edwin J., Kalkulus 1. Hamline:Addison-Wesley. 2003.
Bartle, R.G. and Sherbert, D.R., Introduction to 1. Real Analysis, John Wiley. 1998.