128
1 PENGANTAR KONTROL MAJU Program Studi Teknik Elektro disusun oleh: Erwin Susanto, Ph.D Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T. Agung Surya Wibowo, M.T. Cahyantari Ekaputri, M.T. FAKULTAS TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS TELKOM 2015

PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

  • Upload
    lynhi

  • View
    270

  • Download
    13

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

1

PENGANTAR KONTROL MAJU

Program Studi Teknik Elektro

disusun oleh:

Erwin Susanto, Ph.D Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T. Agung Surya Wibowo, M.T. Cahyantari Ekaputri, M.T.

FAKULTAS TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS TELKOM

2015

Page 2: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

2

REFERENSI 1) Optimal Control : Linear Quadratic Methods, Brian D.O. Anderson, Prentice-Hall, 1991

2) Robust Control Design with MATLAB, D.-W.Gu, Springer, 2005

3) Design Methods for Control Systems, Dutch Institute of Systems and Control, 2008

4) Advance Control Engineering, Roland S Burn, Butterworth Heinemann 5) Kemin Zhou, John C. Doyle, and Keith Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996. 6) Open Course Ware-MIT. Optimal Control of Dynamics System.

Page 3: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

3

Kata Pengantar

Bismillahirrohmaanirrohiim,

Segala puji hanya bagi Alloh subhanalloh wa ta’ala, karena berkat kemudahan dari-Nya,

sehingga kami dapat menyusun buku “Pengantar Kendali Maju” ini. Buku ini, terkhusus

ditujukan bagi para mahasiswa yang berkeinginan untuk mempelajari teori maupun

aplikasi kendali optimal dan kendali kokoh (robust). Tentu saja, pengetahuan dasar

matematika, fisika dan dasar-dasar teknik kendali diperlukan untuk memahami materi

pada buku ini. Buku pengantar kendali maju ini disusun berdasarkan pengalaman

mengajar tim penulis dalam mata kuliah Kontrol Lanjut di Prodi Teknik Elektro,

Universitas Telkom Bandung.

Secara garis besar, materi buku ini terdiri atas pengenalan sistem kendali, kendali kalang

terbuka (open-loop) dan kalang tertutup (closed-loop), kendali analog dan diskrit,

konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern difokuskan pada

kendali optimal dan kendali kokoh (robust) seperti permasalahan optimasi nonlinier

unconstrained dan constrained dengan pemrograman dinamik, variasi kalkulus dan

solusi numerik. Beberapa metode kendali optimal dan kokoh yang disajikan dalam buku

ini, diantaranya kendali LQR, LQE, LQG, H2, H~, dan gabungan H2/H~. Contoh aplikasi

kendali guaranteed cost juga disertakan pada bagian akhir buku ini.

Berikutnya, kami ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua

pihak, salah satunya Bagian Pembelajaran Universitas Telkom yang telah memfasilitasi

penyusunan buku ajar ini. Besar harapan kami, buku ini bermanfaat bari pembaca

sekalian terutama para mahasiswa yang belajar sistem kendali. Akhir kata, komentar

dan masukan yang membangun sangat diharapkan bagi penyempurnaan buku ini.

Bandung, 2015

Penyusun

Page 4: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

1

DAFTAR ISI REFERENSI ...................................................................................................................... 2

Kata Pengantar ............................................................................................................... 3

DAFTAR ISI ...................................................................................................................... 1

BAB 1 Review Sistem Kendali .......................................................................................... 4

1.1. Pengenalan Sistem Kendali .............................................................................. 4

1.2. Perkembangan Sistem Kontrol ......................................................................... 5

1.3. Beberapa Istilah Penting dalam Sistem Kontrol ................................................ 8

1.4. Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup ................................................. 9

1.5. Aplikasi Sistem Kontrol lup terbuka dan lup tertutup ..................................... 10

1.6. Tahapan Perancangan Sistem Kendali ............................................................ 16

1.7. Kontrol Analog dan Diskrit ............................................................................. 16

1.8. Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern ..................................................... 21

1.9. Latihan Soal ................................................................................................... 30

BAB 2 Pemodelan Sistem .............................................................................................. 34

2.1. Sistem Dasar Elektrik ..................................................................................... 34

2.2. Sistem Mekanik ............................................................................................. 35

2.3. Sistem Thermal .............................................................................................. 36

2.4. Model Ruang Keadaan ................................................................................... 36

2.5. Latihan Soal ................................................................................................... 37

BAB 3 Kontrol Optimal Dasar......................................................................................... 39

3.1. Pengenalan .................................................................................................... 39

3.2. Formulasi Masalah Kontrol Optimal ............................................................... 43

3.3. Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal ............................................................. 50

3.3.1. Fungsi dan Fungsional ................................................................................ 50

3.4. Latihan Soal ................................................................................................... 58

BAB 4 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator) .............................................. 60

4.1. Formulasi Masalah......................................................................................... 60

4.2. LQR untuk waktu-terbatas (finite-time) .......................................................... 61

4.3. Contoh LQR waktu-kontinyu .......................................................................... 65

4.4. Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit............................................................ 70

4.5. Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka ............................... 72

Page 5: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

2

4.6. Permasalahan tracking pada LQR ................................................................... 75

4.7. Latihan Soal ................................................................................................... 77

BAB 5 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)............................................... 80

5.1. Review: Proses Random ................................................................................. 80

5.2. Observer/ Estimator ...................................................................................... 82

5.3. Kalman Filter ................................................................................................. 83

5.4. Model LQE/kalman Filter ............................................................................... 87

5.5. Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator) ......................... 88

5.6. Latihan Soal ................................................................................................... 89

BAB 6 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian) ............................................... 92

6.1. Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian) ........................................................ 92

6.2. Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG ........................ 93

6.3. Latihan Soal ................................................................................................... 98

BAB 7 Kontrol Robust .................................................................................................. 101

7.1. Pengenalan Kendali Kokoh ............................................................................... 101

7.2. Kontrol Optimal dan ............................................................................ 103

7.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust ....................................................... 110

7.3.1.Ketidakpastian (uncertainty) ........................................................................... 110

7.3.2. Kestabilan Robust .......................................................................................... 114

7.3.3. Linear Transformation Fractional (LFT) .......................................................... 116

7.4. Contoh Kasus ................................................................................................... 117

BAB 8 CONTOH KASUS APLIKASI KENDALI OPTIMAL DAN KENDALI KOKOH .................. 123

8.1. Desain kendali LQR untuk motor DC ................................................................. 123

Page 6: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

3

BAB 1

REVIEW SISTEM KENDALI

Page 7: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

4

BAB 1 Review Sistem Kendali

Tujuan dari BAB 1 ini adalah untuk mengenalkan kepada mahasiswa tentang istilah-istilah

yang digunakan pada sistem kontrol dan mengenalkan kembali beberapa aplikasi sistem

kendali yang digunakan pada kehidupan nyata.

1.1. Pengenalan Sistem Kendali

Sejarah manusia tidak lepas dari upaya mengendalikan dan mengatur lingkungan dimana

mereka tinggal, dalam rangka memenuhi kebutuhan hidupnya secara nyaman. Pada

awalnya mereka menggunakan peralatan dari batu sebagai alat berburu, yang lambat

laun berkembang dan diganti dengan logam. Memanfaatkan kecerdasan dan pengalaman

yang diperoleh, maka berkembanglah teknologi berburu dan mencari sumber pangan.

Memanfaatkan hewan sebagai peralatan transportasi dan berburu telah berlangsung

lama sampai kemudian digantikan dengan mesin. Prinsip utama kerja mesin adalah

dengan memanfaatkan proses pengaturan. Suatu pengaturan sendiri merupakan

kemampuan mengukur keluaran dan mengkoreksinya jika tidak sesuai dengan masukan

yang diinginkan.

Sebuah sistem kontrol dapat diartikan sebagai susunan beberapa komponen yang

membentuk konfigurasi sistem untuk menghasilkan tanggapan yang diinginkan. Suatu

komponen atau proses yang dikendalikan dapat digambarkan sebagai kotak dengan

masukan dan keluaran (Gambar.1.1)

Proses yang dikendalikan Gambar 1.1.

Relasi masukan-keluaran menyajikan relasi sebab dan efek suatu proses yang lebih pada

pemrosesan sinyal masukan untuk mendapatkan peubah sinyal keluaran, yang seringkali

masih memerlukan penguatan daya. Sistem kontrollup terbuka (open loop) menggunakan

pengendali dan aktuator untuk menghasilkan tanggapan yang diinginkan (lihat Gambar

1.2)

Kontrol lup terbuka Gambar 1.2.

Berbeda dengan kontrollup terbuka, sistem kontrollup tertutup menggunakan tambahan

pengukuran keluaran untuk dibandingkan dengan tanggapan yang diinginkan. Selisih dari

Proses masukan keluaran

Proses Aktuator Pengendali

Tanggapan

yang diinginkan Keluaran

Page 8: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

5

perbandingan kedua sinyal merupakan sinyal galat yang akan menentukan aksi control

(lihat Gambar 1.3). Pengukuran keluaran tersebut merupakan sinyal umpan balik

Kontrollup tertutup dengan umpan balik Gambar 1.3.

Kemampuan mengatasi gangguan terhadap sistem merupakan salah satu kelebihan

sistem kontrollup tertutup. Gangguan dan noise pengukuran biasanya muncul pada

aplikasi dinamika sistem kontrol seperti pada gambar 1.4 dibawah ini.

Kontrol lup tertutup dengan umpan balik dan gangguan Gambar 1.4.

1.2. Perkembangan Sistem Kontrol

Sebelum memasuki pembahasan tentang kontroloptimal dan kontrolkokoh, ada

baiknya kita mengetahui sejarah perkembangan sistem kontrolsecara garis besar.

Tahapan perkembangan teknologi manusia yang fenomenal adalah dikembangkannya

mesin uap yang menjadi tonggak kemunculan era revolusi industri. Persoalan yang

muncul, bagaimana mengendalikan kecepatan rotasi mesin tanpa intervensi manusia

secara berulang-ulang. Disinilah kemudian dikembangkan, salah satunya oleh James

Watt (1769), pendulum kanonik yang mempunyai sudut inklinasi sebagai fungsi

kecepatan anguler poros mesin. Pendulum ini diaplikasikan pada desain mesin generator

kecepatan sentrifugal, atau disebut juga dengan flyball. Pengembangan ini merupakan

langkah awal control otomatis pada mesin.

Proses Aktuator Pengenda

li

Tanggapan

yang diinginkan Keluaran

-

Sensor

Umpan balik

uaran

Sinyal galat

balik uaran

Proses Aktuator Pengendali

Tanggapan

yang diinginkan Keluaran

-

Sensor

Umpan balik

uaran

Sinyal galat

balik uaran

-

-

Gangguan

Noise

pengukuran

Page 9: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

6

Secara ringkas sejarah perkembangan teknik kendali, berikut ini:

1769

• Mesin uap James Watt dan alat pengontrol yang dikembangkan. Mesin uap Watt dalam sejarahnya menandakan awal dari Revolusi industri di Inggris. Selama Revolusi Industri, lompatan besar dibuat dalam perkembangan mekanisasi, merupakan awal teknologi otomasi.

1800

• Konsep Eli Whitney tentang manufaktur per bagian yang dapat saling ditukar, yang diperlihatkan pada produksi senapan. Perkembangan ini sering disebut sebagai awal dari produksi massal.

1868 • J. C. Maxwell memformulasikan model matematis

untuk kontrol pengatur mesin uap.

1913 • Mesin perakitan mekanik Henry Ford diperkenalkan

untuk produksi otomobil.

1927 • H. W. Bode menganalisis penguatan umpan balik.

1932 • H. Nyquist mengembangkan metode untuk

menganalisis kestabilan sistem.

1952 • Kontrol Numerik dikembangkan di MIT untuk

kontrol sumbu alat-mesin.

1954 • George Devol mengembangkan "programmed

article transfer", dianggap sebagai desain robot industri yang pertama.

1960

• Robot Unimate pertama diperkenalkan, berbasis desain Devol. Unimate mulai dirakit pada tahun 1961 untuk mesin tending-die casting (pencetakan hasil peleburan metal)

1970 • Mulai dikembangkan model variabel keadaan dan

kendali optimal

1980 • Sistem kendali kokoh/robust mulai dipelajari secara

luas

1990 • Perusahaan manufaktur berorientasi-eskpor

menggunakan otomasi.

1994 • Kontrol umpan balik secara luas digunakan pada

otomobil. Karena keterandalannya, sistem robust banyak dipakai di manufaktur.

Page 10: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

7

Ilustrasi Pengatur Mesin Uap “Watt Flyball”1 Gambar 1.5.

(a) (b)

(a) Lift pada awal mula dikontrol dengan tali dan operator Gambar 1.6.tangan. Di sana diperlihatkan inovasi safety brake (rem keamanan) saat tali dipotong. (b) Lift modern duo di Grande Arche Paris, digerakkan oleh satu motor, dengan tiap lift saling menyeimbangkan satu sama lain.

1 Gambar diambil dari Advanced Control Engineering, Roland S Burn

Page 11: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

8

Sekarang, lift sudah otomatis secara penuh, menggunakan sistem kontrol untuk mengatur posisi dan kecepatan.

Ruang perakitan programmable robot yang dapat merakit 17 Gambar 1.7.bagian dari alternator otomobil (alternator = generator listrik yang mengubah energi mekanik menjadi energi listrik dalam bentuk arus bolak-balik/AC) dalam waktu 2 menit 42 detik.

1.3. Beberapa Istilah Penting dalam Sistem Kontrol

Untuk memudahkan pembaca dalam memahami buku ini, perlu dijelaskan beberapa

istilah yang sering dipakai, diantaranya:

o Sistem : merupakan kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-

sama dan membentuk suatu tujuan tertentu.

o Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu perkembangan yang

dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap

dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.

o Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang terdiri dari

beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan

pada suatu hasil atau akhir.

o Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.

Page 12: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

9

o Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-sama

untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan:

reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)

o Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai output

suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.

o Kontrolumpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan akan cenderung

akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan

selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.

SistemKontrol

Masukan: stimulus Keluaran: respons

Respon yang

diinginkanRespon aktual

Sistem Kontrol Sederhana Gambar 1.8.

1.4. Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup

Pada dasarnya, sistem kontroldikategorikan menjadi 2, yakni sistem kontrollup terbuka

dan sistem kontrollup tertutup. Masing-masing sistem kontroltersebut dijelaskan berikut

ini:

1. Sistem Kontrol Lup Terbuka

Sistem kontrol lup terbuka menggunakan actuating device (alat penggerak/ aktuator)

untuk mengontrol proses secara langsung tanpa menggunakan feedback/ umpan

balik.

SistemKontrol KeluaranSinyal aktuator

AktuatorRespon yang

diinginkan

Sistem Kontrol Lup Terbuka Gambar 1.9.

2. Sistem Kontrol Lup Tertutup

Berbeda dengan sistem kontrollup terbuka, sistem kontrol lup tertutup

menggunakan pengukuran dari sinyal keluaran dan mengumpan-balikkan sinyal

tersebut untuk dikomparasi/dibandingkan dengan masukan yang

diinginkan/masukan referensi/masukan perintah.

SistemKontrol

KeluaranPengendali

Pengukuran

Komparator

Respon yang

diinginkan

Sistem Kontrol Lup Tertutup Gambar 1.10.

Page 13: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

10

SistemKontrol

KeluaranSinyal aktuator

Aktuator

Sinyal

kendali

Sensor

Respon yang

diinginkan

Sinyal

Umpan Balik

Sinyal output

Pengukuran

Pengendali+

-

Sinyal

galat/eror

Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Umpan Balik Negatif Gambar 1.11.

Plant/proses

Keluaran/variabel

yang dikendalikan

Sinyal Gangguan

Masukan

Masukan/

referensi

PengendaliTrandusermasukan

Sinyal Gangguan

keluaran

++

++

Sistem Kontrol Lup Terbuka dengan Gangguan Gambar 1.12.

Plant/proses

Keluaran/variabel

yang dikendalikan

Sinyal Gangguan

Masukan

Tranduser keluaran/Sensor

Masukan/

referensi

Sinyal

Umpan Balik

Sinyal output

Pengukuran

Pengendali+

-

Sinyal

galat/erorTrandusermasukan

Sinyal Gangguan

keluaran

++

++

Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Gangguan Gambar 1.13.

Proses

Variabel

keluaran

Pengukuran

Pengendali

Respon keluaran

yang diinginkan

Sistem Kontrol Multivariabel (Multi-Input Multi-Output/ MIMO) Gambar 1.14.

1.5. Aplikasi Sistem Kontrol lup terbuka dan lup tertutup

Beberapa aplikasi sistem kendali, diantaranya adalah kontrolposisi dan kecepatan

motor dc, kontrolgula darah otomatis, kontrollintasan kendaraan, kontrolposisi azimuth

antena dan sebagainya.

Page 14: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

11

(a)

(b)

(a) Sistem lup terbuka pengaturan kecepatan meja putar. (b) Gambar 1.15.Model blok diagram

(a)

(b)

(c)

(a) Grafik kadar gula darah dan insulin setelah waktu makan. (b) Gambar 1.16.Sistem lup terbuka. (c) Sistem lup tertutup

Page 15: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

12

(a)

(b)

(a) Pengemudi menggunakan selisih antara arah aktual dan arah Gambar 1.17.mobil yang diinginkan untuk untuk menghasilkan pengaturan setir. (b) Model diagram blok sistem kontrol setir otomobil.

(a)

Page 16: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

13

(b)

(c)

(a) Sistem kontrol posisi azimuth antena. (b) Rangkaian Gambar 1.18.skematik. (c) Diagram blok fungsional

Sistem kontrol koordinasi pada boiler-generator Gambar 1.19.

Page 17: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

14

Sistem kontrol temperatur pada ruang penumpang (mobil) Gambar 1.20.

Sistem kontrol posisi sumbu-tiga pada keping semikonduktor Gambar 1.21.dengan kamera super sensitif

Page 18: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

15

Sistem kontrol lengan robot dengan proses rekognisi-pola Gambar 1.22.

Sistem kontrol dengan umpan balik pada model ekonomi Gambar 1.23.

Page 19: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

16

1.6. Tahapan Perancangan Sistem Kendali

Perancangan suatu sistem kontrolsecara umum membutuhkan beberapa langkah

yang dapat digambarkan dalam diagram alir dibawah ini.

. Diagram alir perancangan suatu sistem kontrol Gambar 1.24.

1.7. Kontrol Analog dan Diskrit

Pemanfaatan teknologi digital pada banyak aplikasi dan rekayasa teknik ikut berpengaruh

pada perkembangan teknik kendali. Kemajuan teknologi komputer dan prosesor saat ini

sangat menguntungkan bagi desain sistem kendali. Dari sini, tren desain kontrol digital

perlahan menggantikan desain kontrol analog. Dapat dipahami bahwa umumnya plant

maupun proses yang ingin dikendalikan merupakan besaran analog yang kontinyu,

sedangkan pengendali (controller) yang digunakan dengan adanya teknologi prosesor

Mulai

Definisikan spesifikasi

kinerja sistem

Identifikasi komponen

sistem yang dibutuhkan

Pemodelan sistem dan

periksa tanggapan sistem

Sesuai kriteria

Tetapkan kendali yang

digunakan

Pilih komponen

yang lain

A

A

Simulasikan

tanggapan sistem

spesifikasi kinerja

Sesuai spesifikasi

kinerja?

Atur strategi kendali

yang digunakan

Aplikasikan pada

sistem fisik

Lakukan pengukuran

pada sistem fisik

Sesuai spesifikasi

kinerja?

Selesai

Atur strategi kendali

yang digunakan

Page 20: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

17

adalah control digital sehingga diperlukan perancangan control diskrit. Untuk itu, perlu

adanya pengubahan besaran fisis analog-digital dan digital ke analog.

Sistem kontrol dengan mikroprosesor Gambar 1.25.

Untuk proses konversi analog- digital digunakan proses penyuplikan (sampling), dimana

sinyal analog yang dicuplik menghasilkan

∑ (1.4)

Penyuplik (sampler) Gambar 1.1.

Hasil proses sampling/pencuplikan Gambar 1.26.

Sementara metode paling umum dipakai untuk konversi digital-analog (D/A conversion)

adalah dengan zero-order-hold (ZOH), dimana mengkonversi sinyal-sinyal impuls menjadi

deretan pulsa dengan lebar . Fungsi alih ZOH adalah sebagai berikut:

[ ]

(1.6)

Page 21: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

18

Zero Order Hold (ZOH) Gambar 1.27.

Transformasi-

Merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit.

Tabel 1.1. Transformasi- dan Transformasi Laplace

Page 22: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

19

Contoh 1:

[ ] ∑

Diperoleh

NB: cara sederhana yaitu dengan deret geometri

_

Sehingga

Untuk diperoleh

Contoh 2:

Diberikan sistem data sampling orde-1 berikut

Cari fungsi alih dalam domain- , diketahui waktu sampling .

(

)

Dengan transformasi- diperoleh:

Page 23: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

20

.

/

Dengan inversi transformasi- diperoleh:

NB: Bandingkan dengan sistem sama untuk waktu-kontinyu dengan masukan unit step

(tanpa ZOH) diperoleh . Jika diberikan masukan unit ramp (tanpa ZOH)

diperoleh .

Kaitan transformasi- dan transformasi Laplace:

Contoh 3:

Cari fungsi alih dari sistem lup tertutup berikut:

(a).

Jawab:

(b).

Page 24: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

21

Jawab:

1.8. Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern

Teori kontrol yang sering digunakan saat ini adalah teori kontrolklasik atau disebut

teori kontrol konvensional, teori kontrol modern, dan teori kontrol robust (Ogata, 2014).

1. Kontrol klasik

Dimulai dari pengatur sentrifugal James Watt untuk kontrol kecepatan dari mesin uap

pada abad ke-18. Metode respons frekuensi dan metode root locus adalah inti dari teori

kontrol klasik, dimana mengacu kepada kestabilan sistem dan memenuhi beberapa

kriteria performa tertentu (dari respons transien dan tunak sistem). Sistem tersebut

dapat diterima secara umum, namun tidak optimal untuk suatu kriteria tertentu dari

desain sistem kontrol. Pada akhir tahun 1950, fokus masalah desain kontrol bergeser dari

konsep mendesain satu/banyak sistem kontrol (kuantitas) menjadi desain untuk satu

sistem kontrol yang optimal sesuai performa tertentu yang diinginkan (kualitas).

Adapun dalam perkembangan sistem kontrol, sistem kontrol klasik yang berkaitan

dengan sistem SISO (single-input single-output) menjadi kurang cocok dan powerful

untuk diterapkan pada sistem MIMO (multiple-input multiple-output). Pada tahun 1960,

dimulai era komputer digital, memungkinkan dilakukan analisis sistem kompleks dalam

domain waktu dan sintesis menggunakan variabel state. Hal tersebut mendorong

kompleksitas dari plant modern dan kriteria akurasi yang tinggi, bobot, dan cost yang

diimplementasikan di bidang militer, antariksa, dan aplikasi industri.

a. Analisis respons domain waktu

Analisis ini dapat dilakukan jika diketahui:

- Sifat alami/natural dari masukan/input, sebagai fungsi waktu

- Model matematis dari sistem

Respons domain waktu terdiri dari 2 komponen yaitu:

a) Respons transien: komponen ini biasanya berbentuk eksponensial,

perubahannya akan semakin kecil seiring waktu dan menuju nol pada sistem

stabil (BIBO). Respons transien merupakan respon natural dari sistem dinamik,

dan tidak bergantung pada masukan/input. Cara sederhana untuk

Page 25: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

22

menentukan respon alamiah/natural yaitu dengan memberikan input impuls

pada sistem dan dilihat respons keluarannya.

Contoh 1 (MATLAB):

Sistem dengan masukan unit step dan plant dimodelkan dengan

persamaan dinamik berikut:

Dengan transformasi Laplace diperoleh keluarannya:

(

)(

)

Keluaran dalam domain-waktu yaitu:

, untuk

Syntax MATLAB:

Dengan Laplace:

Atau hasil yang sama dapat diperoleh dalam domain waktu, :

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Waktu (t) (seconds)

c(t

)

num = [0 1 5]; % Pembilang G den = [1 2 5]; % Penyebut G step(num,den) % Plot grafik xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');

t = linspace(0,5); C = 1 - exp(-t).*cos(2*t); plot(t,C); xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');

Page 26: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

23

Spesifikasi respons transien orde-2:

Contoh respons unit step sistem orde-2, ( Gambar 1.2.

Waktu delay, : waktu yang diperlukan respons untuk mencapai setengah

dari nilai akhir saat kali pertama.

Waktu naik (rise time), : waktu yang diperlukan respons dari 10% ke 90%,

atau 5% ke 95%, atau 0% ke 100% dari nilai akhir.

Waktu puncak (peak time), : waktu yang diperlukan respons untuk

mencapai puncak pertama pada kondisi overshoot.

Overshoot maksimum ( ): persentase nilai puncak maksimum terhadap

respons keadaan tunaknya.

( )

(1.7)

Waktu menetap (settling time), : waktu yang diperlukan respons untuk

mencapai range nilai akhir mutlak (2% atau 5%).

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Waktu (t)

c(t

)

Page 27: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

24

Contoh 2 MATLAB:

Mencari waktu naik, waktu puncak, overshoot maksimum, dan waktu menetap

dari sistem orde-dua dan sistem orde-tinggi:

Diperoleh hasil:

b) Respons steady state/keadaan tunak: merupakan respons dari sistem setelah

komponen transien.

% Contoh 2:

% 25 1

% G(s)= --------- ; R(s)= -

% s^2+6s+25 s num = [25]; % Asumsi zeta = 0.6 dan wn = 5 den = [1 6 25]; t = 0:0.005:5; [y,x,t] = step(num,den,t); r = 1; while y(r) < 1.0001; r = r + 1; end;

% Rise Time (tr) rise_time = (r - 1)*0.005

% Peak Time (tp) [ymax,tp] = max(y); peak_time = (tp - 1)*0.005

% Maximum Overshoot (%Mp) max_overshoot = ymax-1

% Settling Time (ts) s = 1001; while y(s) > 0.98 & y(s) < 1.02; s = s - 1; end; settling_time = (s - 1)*0.005

rise_time =

0.5550

peak_time =

0.7850

max_overshoot =

0.0948

settling_time =

1.1850

Page 28: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

25

Klasifikasi sistem kontrol:

(1.8)

Dengan nilai

adalah jumlah pole pada titik origin tipe sistem (tipe- )

C(s)G(s)

R(s) +

-

E(s)

Fungsi alih lup tertutup:

(1.9)

Sinyal galat:

Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh:

(1.10)

Galat keadaan tunak (steady-state error):

(1.11)

Contoh galat keadaan tunak untuk masukan sinyal unit step, sinyal unit ramp,

dan sinyal parabolik/akselerasi:

Masukan

Sistem Input Step

Input Ramp

Input Parabolik

Tipe-

Tipe-

Tipe-

Dimana adalah penguatan proporsional sistem.

b. Analisis domain respons frekuensi

Penguatan proporsional

Magnitudo:

Fasa:

Faktor integral dan derivatif

o Integral

Magnitudo:

Page 29: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

26

|

|

Slope/gradien garis: atau

Fasa:

o Derivatif

Magnitudo:

Slope/gradien garis: atau

Fasa:

Faktor orde-1

Magnitudo:

|

| √

Pendekatan dengan 2 garis asimtot:

Page 30: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

27

- √

- √ , jadi ketika

(titik potong kedua asimtot) (frekuensi sudut/).

Selanjutnya dibuat garis dengan gradien .

Fasa: pada , sudut fasanya . Pada

frekuensi sudut , sudut fasanya . Pada , sudut

fasanya .

Faktor kuadratik/orde-2

. (

) (

)

/

Magnitudo:

|

(

) (

) |

(√ .

/

(

)

)

Pendekatan dengan 2 garis asimtot:

-

- , jadi ketika

(titik potong kedua asimtot) (frekuensi sudut/).

Selanjutnya dibuat garis dengan gradien .

- Koefisien redaman , pengaruhnya terhadap magnitudo dan sudut

fasa yaitu sbb:

Page 31: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

28

Fasa:

[

(

) ]

Pada , sudut fasanya . Pada frekuensi sudut , sudut

fasanya . Pada , sudut fasanya .

2. Kontrol modern

Pada kurun waktu dari tahun 1960 sampai 1980, mulai dipelajari kontrol optimal, baik

sistem deterministik maupun stokastik, begitu juga kontrol adaptif dan kontrol learning

dari sistem kompleks. Sementara pada tahun 1980 sampai 1990 perkembangan teori

kontrol modern dipusatkan pada kontrol robust/kokoh dan aplikasinya. Teori kontrol

modern untuk sistem persamaan diferensial berbasis pada analisis domain waktu.

Dengan teori kontrol modern membuat desain sistem kontrol menjadi lebih simpel

karena teori berbasis pada sistem kontrol aktual dan model. Akan tetapi, kestabilan

sistem akan sangat sensitif terhadap perubahan eror antara sistem aktual dan model,

sehingga didesain sistem kontrol dengan pertama menentukan setting awal dari range

eror tertentu yang diperbolehkan dan lalu mendesain kontroler sedemikian sehingga jika

eror dari sistem berada pada range eror yang telah dirancang, maka sistem kontrol yang

didesain akan tetap stabil. Metode desain demikian merupakan prinsip dari teori kontrol

robust/kokoh. Teori tersebut menggabungkan antara pendekatan respons frekuensi dan

pendekatan domain-waktu. Secara matematis, relatif cukup rumit/kompleks.

Page 32: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

29

C

P

Masukan referensi

Output

y(t)

r(t)

x(t)

u(t)

Sinyal masukan kontrol

Pengendali

State

Konfigurasi Kontrol Modern Gambar 1.28.

Sistem Kontrol Modern

Fungsi H Pontraygin

(1956)

Fungsi V Lyapunov

(1892)

Sistem Dinamik (pemodelan)

Sistem Analisis (performa)

Sistem Sintesis (desain)

Fungsi state Lagrange

(1788)

Taksonomi Sistem Kontrol Modern Gambar 1.29.

Tahap pertama dari teori sistem kontrol yaitu mencari/memformulasikan dinamika

atau pemodelan dalam bentuk persamaan dinamik, sebagai contoh persamaan

diferensial. Dinamika sistem pada umumnya berdasarkan pada fungsi Lagrangian.

Selanjutnya sistem dianalisis sesuai kinerjanya untuk mencari kestabilan sistem, adapun

teori kestabilan yang cukup terkenal yaitu kestabilan Lyapunov. Terakhir, jika kinerja

sistem tidak sesuai dengan spesifikasi yang diinginkan, maka dilakukan

perancangan/desain. Fungsi Lagrangian dan fungsi Lyapunov sudah lama

Page 33: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

30

diperkenalkan, namun konsep tersebut baru digunakan pada kontrol modern. Istilah

“modern” sendiri adalah relatif terhadap waktu, jadi apa yang dianggap modern saat ini,

dalam beberapa tahun lagi dapat dianggap kuno. Jadi yang lebih cocok digunakan dalam

memberi label teori kontrol yaitu sesuai klasifikasi tertentu (sesuai sistem/fungsinya),

misalkan kontrol optimal, kontrol nonlinier, kontrol adaptif, kontrol robust, dst.

1.9. Latihan Soal

1. Cari aplikasi sistem kontrol SISO dan MIMO pada kehidupan nyata ?

2. Bagaimana cara memodelkan sistem pada sistem SISO dan MIMO ?

3. Berikan contoh sistem kontrol SISO dan MIMO menggunakan software MATLAB !

Page 34: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

31

Page 35: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

32

Page 36: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

33

BAB 2

REVIEW SISTEM KONTROL

Page 37: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

34

BAB 2 Pemodelan Sistem

Seringkali, perilaku dinamik suatu sistem fisik ditampilkan dalam bentuk model

persamaan matematik. Model ini diperoleh dari karakteristik komponen sistem, seperti

masa suatu sistem mekanik, resitansi sistem elektrik dan sebagainya. Atau juga bisa

diperoleh dari pengukuran dan eksperimen untuk mengetahui relasi masukan dan

tanggapan sebuah sistem misalnya. Di sini disebutkan beberapa model matematik dari

sistem elektrik, mekanik, termal sebagai berikut:

2.1. Sistem Dasar Elektrik

Model matematik dari rangkaian RLC, berdasarkan hukum Ohm dan Kirchoff arus dan

tegangan digambarkan berikut ini:

Gambar 2.1. Rangkaian RLC, hukum Kirchoff

Page 38: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

35

Sebagai contoh, rangkaian RLC yang akan dikontrolkan dengan kontrol umpan balik

tertutup berikut ini:

Gambar 2.2. Rangkaian RLC

Pada plant/rangkaian, dari hukum tegangan Kirchhoff:

(2.1)

Untuk komponen kapasitor:

(2.2)

Maka model dinamik rangkaian menjadi:

(2.3)

Gambar 2.3. Contoh Sistem Closed Loop

2.2. Sistem Mekanik

Suatu elemen elastis diasumsikan menghasilkan regangan yang proporsional dengan gaya

yang bekerja padanya. Untuk pegas translasi, berlaku:

,

dimana

Sedangkan pegas rotasi,

(2.4

Page 39: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

36

Kemudian, redaman pada sistem mekanik juga dikategorikan menjadi peredam translasi

dan rotasi, dimana gaya dan torsi yang dihasilkan proporsi dengan kecepatan translasi

dan rotasi, masing-masing berikut ini

(2.5

(2.6)

Selanjutnya, massa pada sistem mekanik berkaitan dengan gaya dan percepatan, baik

translasi maupun rotasi masing-masing berikut ini:

(2.7)

(2.8)

2.3. Sistem Thermal

Sistem thermal dapat dianalogikan dengan sistem elektrik, disini diperkenalkan resistansi

thermal dan kapasitansi thermal.

Aliran panas pada konduksi dituliskan dalam hukum Fourier

(2.9)

dimana

,

Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk yang sama dengan hukum Ohm

(2.10)

Dengan resistansi thermal

(2.11)

Adapun kapasitansi thermal, berkaitan dengan panas yang tersimpan pada suatu benda

yang dirumuskan

(2.12)

Jika persamaan ini dibandingkan dengan elektrostatis , maka kapasitansi

thermalnya (2.13)

2.4. Model Ruang Keadaan

Pendekatan ruang keadaan (state space) merupakan metode domain waktu yang

digunakan pada pemodelan, analisa dan berbagai desain sistem kontrol secara luas.

Page 40: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

37

Keadaan (state) dari suatu sistem didefinisikan sebagai sekumpulan peubah (state

variable) pada beberapa waktu inisial , bersama peubah masukan menentukan perilaku

sistem pada . Peubah keadaan ini merupakan jumlah terkecil state yang diperlukan

untuk mendeskripsikan dinamika sistem. Pertimbangkan sekumpulan persamaan

differensial yang menggambarkan dinamika sistem berikut:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Persamaan diatas, dapat digabungkan dalam bentuk matrik persamaan keadaan:

(2.16)

Dimana vektor keadaan berukuran [

], vektor masukan berdimensi [

],

matrik sistem ukuran dan matrik kontrol ukuran

[

], [

] (2.17)

Umumnya, keluaran sistem linier dapat direlasikan dengan peubah

keadaan dan peubah masukan:

(2.18)

2.5. Latihan Soal

1. Buatlah pemodelan sistem untuk motor DC dalam bentuk fungsi alih dan state

space!

2. Simulasikan lah kedua model yang diperoleh dari soal no.1 !menggunakan

software MATLAB!

Page 41: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

38

BAB 3

KONTROL OPTIMAL DASAR

Page 42: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

39

BAB 3 Kontrol Optimal Dasar

Tujuan dari penjelasan pada bab 3 ini adalah untuk memberi pengenalan awal kepada

mahasiswa tentang teori dasar kontrol optimal. Bagaimana prosedur yang dilakukan

dalam melakukan perancangan sistem kontrol yang optimal.

3.1. Pengenalan

Optimasi sudah menjadi istilah yang lazim digunakan saat ini. Kita ingin bekerja dan

memanfaatkan waktu secara optimal dengan menggunakan sumber daya yang optimal,

dst. Batasan sasaran teori kontrol optimal dapat dilihat pada diagram berikut:

OPTIMASI

Pendekatan Geometri Pendekatan Aljabar

Pengali Lagrange dan Kalkulus

AnalisisFungsional

Variasi Kalkulus/Hitungan

Pemrograman Dinamik

Satu Tahap Multi Tahap

Deterministik Stokastik

PemrogramanLinier dan Nonlinier

Teori Game

Satu Peminatan/Tujuan Multi Tujuan

Gambar 3.1. Batasan teori kontrol optimal

Page 43: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

40

Beberapa teori kontrol, pendekatan desain kontrol dengan umpan balik

keadaan/state feedback dan estimator/observer merupakan dasar fundamental untuk

kontrol untuk sistem yang dibangun dari persamaan keadaan/state. Namun, belum

tentu berarti metode fundamental ini menghasilkan solusi yang terbaik/optimal.

Metode tersebut memiliki beberapa kesulitan untuk kasus berikut:

1. Implementasi dari spesifikasi desain (overshoot maksimum, settling time, dsb)

dimana pole yang diinginkan tidak selalu diperoleh secara langsung, khususnya

untuk sistem kompleks. Konfigurasi pole seperti apa yang paling baik sesuai

dengan spesifikasi yang ada?

2. Untuk sistem MIMO, penguatan umpan balik keadaan untuk memperoleh

konfigurasi pole tertentu tidaklah unik. Jadi penguatan seperti apakah yang

paling baik untuk konfigurasi pole yang ada?

3. Nilai eigen dari observer sebaiknya dipilih lebih cepat daripada nilai eigen dari

sistem lup tertutupnya. Adakah kriteria lain untuk menentukan konfigurasi

manakah yang tepat?

Metode kontrol optimal yang akan dibahas pada bab ini dapat menjawab masalah-

masalah di atas. Kita lihat nanti bagaimana state feedback dan gain observer dapat

diperoleh sehingga solusinya optimal. Tujuan dari teori kontrol optimal yaitu untuk

menentukan sinyal kontrol yang akan menghasilkan proses sesuai dengan batasan

spesifikasi fisik sistem dan pada saat yang bersamaan akan

meminimumkan/memaksimumkan beberapa kriteria performansi.

Prinsip utama dari teori kontrol berbasis prinsip optimalitas yaitu: Jika solusi

optimal untuk masalah kontrol melewati suatu titik transisi , maka solusi optimal

untuk masalah kontrol yang sama yang berasal dari titik awal menuju titik akhir

adalah merupakan kelanjutan jalur yang sama melewati titik transisi.

Page 44: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

41

Gambar 3.2. Ilustrasi trayektori lintasan solusi masalah kontrol optimal dengan prinsip optimalitas

Trayektori keadaan dimana dapat memenuhi batasan variabel keadaan selama

selang [ ] merupakan trayektori yang dapat diterima/admissible trajectory.

Prosedur solusi numerik untuk penyelesaian masalah pengambilan

keputusan/decision making multi-tahapan disebut dynamic programming. Hasil teoretis

yang dibangun secara sistematis dalam pemecahan masalah tsb akan menghasilkan

aturan kontrol/control law.

Contoh 1: (masalah rute dengan waktu tempuh terpendek)

• Tujuan utama yaitu mencari rute dengan waktu terpendek dari ke

• Waktu tempuh setiap jalur ditunjukkan pada gambar

• Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari ke , namun akan sangat

membosankan. Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari ke

(dicoba satu per satu), memakan waktu yg lama.

• Total alternatif rute = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 rute,

• Dari melewati ada 1 jalur

• Dari melewati ada 3 jalur

• Dari melewati ada 6 jalur

• Dari melewati ada 10 jalur

dimana adalah jumlah segmen.

Page 45: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

42

Perbandingan jika menggunakan dynamic programming (DP):

• Bandingkan dengan alternatif pendekatan arah mundur/backward.

• Dimulai dari titik bekerja dgn arah mundur, dengan menerapkan prinsip

optimalitas di sepanjang jalur.

• Tentukan titik , dari titik dihitung total waktu dari ke . Ada 2 rute yaitu

10 + 6 dan 11 + 7, pilih yang waktu tempuh paling kecil = 10 + 6 = 16.

• Beri tanda panah di 6 untuk menandakan jalur yang dipilih.

• Ulangi seluruh proses di semua titik, dari titik hingga titik .

• Dari gambar di kanan terlihat bahwa jumlah komputasi/perhitungan hanya

15 kali.

• Jumlah komputasi DP =

A0 B

1

3

6

10A1

A2

A3

A

Page 46: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

43

• Manakah yang lebih baik? Jika semakin besar, selisih jumlah komputasi

akan semakin besar pula.

• Jadi, DP lebih baik dibandingkan dengan mencoba setiap kemungkinan/brute

force, waktu komputasi lebih cepat, memori yang diperlukan lebih kecil.

Contoh 2: Routing problem (dengan batasan/constraint arah ditentukan di awal)

Cari rute terpendek dari ke !

• Mulai dari dan bekerja ke arah mundur/backward.

• Dari ke hanya ada 1 jalur dan dari ke

• Dari ke ada 2 jalur yaitu dan :

• Rute optimal: { } {[

] }

{ }

• Diperoleh rute optimal ke yaitu

• Dari ke

(karena rute optimal dari ke sudah

diketahui, kita tidak perlu lagi mencari opsi dari saat mulai dari gunakan

solusi terbaik sebelumnya.

• Dari ke { } {[

] [ ]}

{[ ] [ ]}

• Diperoleh rute optimal ke yaitu

3.2. Formulasi Masalah Kontrol Optimal

Untuk masalah kontrol optimal, pada umumnya kita ingin mencari sinyal kontrol

optimal , dimana lambang menyatakan kondisi optimal, yang akan menggerakkan

plant dari kondisi awal menuju kondisi akhir dengan beberapa batasan kontrol dan

Page 47: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

44

keadaan/state, dimana pada waktu yang bersamaan akan mengoptimalkan indeks

performa . Formulasi masalah kontrol optimal terdiri dari:

1. Deskripsi/model matematis dari sistem yang akan dikontrolkan (secara umum

dalam bentuk variabel keadaan)

2. Deskripsi dari tugas/proses yang harus dikerjakan

3. Spesifikasi dari indeks performa, dan

4. Persyaratan dari kondisi batas (boundary condition) dan batasan spesifikasi fisik

dari state dan/atau kontrol.

Indeks performa/kinerja

Teknik desain kontrol klasik telah berhasil diterapkan pada sistem SISO linier

invarian-waktu. Kriteria performa tersebut antara lain respons waktu sistem (untuk

masukan tangga, masukan landai, dsb.) yang ditentukan oleh waktu naik, waktu

menetap, waktu overshoot, dan akurasi keadaan tunak; dan juga respons frekuensi

sistem yang ditentukan oleh margin penguatan dan margin fasa, dan juga bandwidth.

Sementara untuk teori kontrol modern, masalah kontrol optimal yaitu mencari

sinyal kontrol yang akan menghasilkan sistem dinamik mencapai sasaran atau mengikuti

suatu trayektori variabel keadaan tertentu, pada waktu yang sama mengoptimalkan

indek performa. Optimal berarti melakukan proses (pekerjaan) dengan cara/solusi yang

terbaik.

Selama kriteria/batasan/constraints tersebut belum jelas dan konsisten, kita tidak

dapat mengklaim bahwa sistem kita sudah optimal. Secara kasar, kita dapat klaim untuk

sistem yang tidak akurat pun dapat dikatakan optimal dengan constraints misal biaya

produksi murah (cost), mudah dirancang-bangun (design), performanya cukup baik

sesuai yang diinginkan (performance), dsb. Namun sebaliknya, suatu sistem yang presisi

dan elegan bisa dibilang tidak optimal karena terlalu mahal biaya produksinya dan

pengembangannya memakan waktu sangat lama (time).

Dinamika sistem yang dikontrol dideskripsikan dalam bentuk variabel

keadaan/state, misal dalam waktu-kontinyu sebagai berikut:

(3.1)

atau dalam waktu-diskrit menjadi :

Page 48: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

45

(3.2)

Berikutnya, sistem kita asumsikan semua state-nya ada, misal pada pengukuran.

Atau selain itu, sistem diasumsikan dapat diamati/observable, sehingga observer dapat

dikonstruksi/dibangun sedemikian sehingga dapat di estimasi state-nya.

Kriteria kinerja/performa, dilambangkan , adalah ukuran kualitas dari perilaku

sistem. Biasanya, kita mencoba meminimumkan atau memaksimumkan kriteria kinerja

dengan mengatur sinyal kontrol masukannya.

Untuk setiap sinyal kontrol dalam range yang bisa dihasilkan/feasible (yaitu,

untuk setiap masukan yang mungkin), sistem dapat bekerja sesuai fungsinya dimana

batasan/constraints sistem terpenuhi dan bersesuaian dengan trayektori sistem .

Masukan menghasilkan trayektori . Variasi pada menghasilkan

trayektori yang berbeda,

Batasan/constraints

Vektor kontrol atau vektor keadaan dapat memiliki batasan (constrained)

atau tidak memiliki batasan (unconstrained) tergantung kondisi spesifikasi fisiknya.

Untuk masalah unconstrained, pada sistem di real life jarang digunakan, walaupun

menghasilkan solusi yang elegan/bagus. Untuk batasan sistem fisik (constrained), dapat

dijumpai misalkan arus dan tegangan pada rangkaian elektrik, kecepatan motor, bahan

bakar dorong roket, yang dimodelkan:

, dan ,

Page 49: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

46

dimana + dan – menyatakan nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai oleh

variabel (kontrol dan keadaan) yang bersesuaian.

(1). Masalah Kontrol Optimal 1: (sistem kontrol untuk fuel-optimal)

Batasan/constraints sistem terkadang ada dengan nilai yang dibolehkan oleh

variabel keadaan, atau sinyal kontrol masukan (control input). Sebagai contoh,

himpunan dari sinyal kontrol yang bisa dihasilkan dapat berupa set/kumpulan dari

potongan vektor kontinyu/piecewise, ( )∈ , sedemikian sehingga:

{ ‖ ‖ }

Batasan/constraints model ini sangat umum digunakan, serta dapat

merepresentasikan keadaan saturasi pada aktuator, untuk batas sinyal inputan.

+

Contoh: Misalkan pada masalah pesawat ruang angkasa (spacecraft), penggerak

pesawat adalah mesin dorong (thrust) roket dengan besar besarnya proporsional

dengan laju pemakaian bahan bakar/fuel. Untuk meminimumkan total pemakaian bahan

bakar tersebut, indeks performa dimodelkan:

(3.3)

Untuk beberapa sistem kontrol, dapat dituliskan:

∫ ∑

(3.4)

dimana adalah matriks definit positif (PD).

(2). Masalah Kontrol Optimal 2: (sistem kontrol untuk waktu-optimal)

Tugas/proses yang akan dikerjakan biasanya dalam bentuk persamaan tambahan

dengan kondisi batas/boundary tertentu dari sistem persamaan keadaan. Sebagai

Page 50: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

47

contoh, kita mau memindahkan/transfer dari keadaan ( ) dari kondisi keadaan awal

menuju keadaan akhir tertentu di pada waktu tertentu , atau

pada kemungkinan minimum .

NB: Seringkali, tugas/proses yang dikerjakan secara implisit/tak langsung dapat diukur

berdasarkan kriteria kinerjanya.

Pemodelan matematis indeks performa waktu minimum untuk selang dari waktu

awal dan waktu akhir dapat dituliskan:

(3.5)

Contoh:

Kriteria kinerja lain yang lazim digunakan yaitu waktu minimum, dimana kita

mencari sinyal kontrol yang menghasilkan trayektori tercepat untuk mencapai

keadaan/state akhir yang diinginkan:

Untuk kasus ini, kriteria kinerjanya yang akan meminimumkan dapat diekpresikan

secara sederhana dalam bentuk matematis yakni:

(3.6)

(3). Masalah Kontrol Optimal 3: (sistem kontrol kondisi akhir/terminal)

Untuk masalah sasaran kondisi akhir, kita tertarik untuk meminimumkan error

antara posisi target yang diinginkan dengan target aktual,

Page 51: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

48

Kriteria kinerja lainnya adalah final error (selisih akhir) pencapaian keadaan/ state

akhir yang diinginkan dalam waktu yang telah ditentukan atau yaitu :

( ) (3.7)

merupakan fungsi cost terminal, dimana adalah matrik semi-definit positif (PSD).

(4). Masalah Kontrol Optimal 4: (sistem kontrol untuk energi minimum)

(a). Kriteria kinerja lainnya yaitu meminimumkan luasan/area di bawah ‖ ‖

sebagai cara menentukan sinyal-sinyal kontrol yang akan menghasilkan transien

keseluruhan yang kecil dalam trayektori yang dihasilkan mulai dari state awal,

hingga mencapai state akhir, .

Contoh:

Untuk meminimumkan error kuadratik pada sistem tracking, indeks performa

dapat dimodelkan:

(3.8)

atau

∫ ∑

(3.9)

Dimana adalah matriks bobot, dengan nilai semi-definit positif.

Page 52: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

49

(b). Bisa juga kemungkinan kriteria kinerjanya yaitu untuk meminimumkan luasan di

bawah ‖ ‖ , sebagai cara memilih sinyal kontrol dengan usaha

pengendalian/control effort yang minimum. Untuk kasus ini sama dengan

sistem kontrol fuel-optimal.

(5). Masalah Kontrol Optimal 5: (bentuk umum sistem kontrol optimal)

Dengan mengkombinasikan formulasi di atas, bentuk general/umum dari indeks

performa untuk sistem linier dapat dimodelkan berikut:

( ) ( ) ∫ [ ]

(3.10)

atau secara umum untuk sistem nonlinier dan linier, , indeks

performanya menjadi:

( ( ) ) ∫

(3.11)

dimana matriks definit positif, dan adalah matriks semi-definit positif.

Bentuk indeks performa tersebut disebut bentuk kuadratik (dinyatakan dalam variabel

keadaan dan sinyal kontrol).

Page 53: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

50

Plant/proses Batasan/constraints

Sistem Kontrol Optimal

Fungsi cost/indeks perfoma

(a) Minimum (b) Maksimum

Gambar 2.1. Masalah Kontrol Optimal

3.3. Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal

Variasi kalkulus berkaitan dengan mencari nilai optimum (maksimum/ minimum)

dari suatu fungsional. Teori ini diawali tahun 1696, setelah penemuan fundamental oleh

L. Euler (1709-1783) dikenal dengan bapak penemu variasi kalkulus, teori ini digunakan

umum di bidang disiplin ilmu matematika.

3.3.1. Fungsi dan Fungsional

Fungsi: Variabel terikat merupakan suatu fungsi dari variabel bebas , ditulis

, jika setiap nilai pada selang tertentu mempengaruhi nilai .

Contoh: ;

Fungsional: Suatu variabel merupakan suatu fungsional yang tergantung pada

fungsi , ditulis ( ), jika setiap fungsi , berkaitan dengan nilai .

Dengan kata lain, fungsional terdiri dari beberapa fungsi terkait, yaitu “fungsi

dari suatu fungsi”.

Contoh: Diberikan fungsi . Lalu

( ) ∫

]

adalah luasan di bawah kurva . Jika adalah kecepatan suatu kendaraan,

lalu

( ) ∫

Page 54: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

51

adalah jalur yang dilewati oleh kendaraan tsb. Jadi, disini dan fungsi

dari , dan adalah fungsional dari dan .

Perubahan naik/increment fungsi:

Contoh: Misalkan cari perubahan naik dari fungsi tsb.

Perubahan naik fungsional: ( ) ( ) ( )

Dimana adalah variasi dari fungsi .

Contoh: Misalkan diberikan suatu fungsional

∫ [ ]

cari perubahan naik dari fungsi tsb.

( ) ( )

∫ * ( ) +

∫ [ ]

∫ * ( ) +

Kondisi Optimum dari Fungsi:

Suatu fungsi dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik jika ada

parameter dengan nilai positif sehingga untuk seluruh titik pada domain yang

memenuhi , penambahan nilai memiliki tanda yang sama (positif atau

negatif).

(a) dimana adalah lokal minimum relatif

(b) dimana adalah lokal maksimum relatif

Page 55: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

52

Gambar 2.2. (a) Kondisi Minimum Fungsi (b) Kondisi Maksimum Fungsi

Syarat kondisi perlu di titik optimum relatif:

Syarat kondisi cukup di titik optimum relatif:

1. Untuk minimum, turunan kedua dari fungsi

2. Untuk maksimum, turunan kedua dari fungsi

3. Jika , disebut titik stasioner

Kondisi Optimum dari Fungsional:

Suatu fungsional dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik jika ada

parameter dengan nilai positif sehingga untuk seluruh fungsi pada domain dimana

memenuhi , penambahan nilai memiliki tanda yang sama (positif atau

negatif).

Page 56: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

53

(a) dimana adalah lokal minimum relatif

(b) dimana adalah lokal maksimum relatif

Untuk , nilai adalah nilai optimum absolut global.

Teorema: Jika merupakan kandidat nilai optimum, variasi pertama akan bernilai

nol pada , yaitu ( ) untuk semua nilai yang memenuhi

Syarat kondisi perlu. Syarat kondisi cukup di titik optimum:

1. Untuk minimum, variasi kedua dari fungsional

2. Untuk maksimum, variasi kedua dari fungsional

Contoh soal:

1. Cari nilai minimum dari indeks performansi berikut:

∫ [ ]

Dengan kondisi batas

;

Dengan subjek kondisi (persamaan dinamika sistem/plant):

Solusi:

Tujuan utama yaitu mengeliminasi antara indeks performansi dan plant untuk

memperoleh fungsional

∫ * ( ) +

∫ [ ]

Dengan menggunakan metode Euler-Lagrange:

(

)

(

)

Dimana

Diperoleh

( )

Dengan menyederhanakan persamaan di atas

Solusi persamaan diferensial orde-2 di atas adalah

√ √ dimana konstanta dan diperoleh dari kondisi batas

pada soal, diperoleh √ ; √ , diperoleh:

√ √ √ √ √ √

Page 57: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

54

Syntax Matlab:

2. Cari nilai optimum dari

∫ [ ]

Yang memenuhi kondisi batas dan

Solusi:

Misalkan , dengan Euler-Lagrange diperoleh persamaan

(

)

(

)

( )

Dengan memecahkan persamaan diferensial di atas diperoleh:

Dimana dan merupakan konstanta integrasi. Dengan kondisi batas pada soal

didapatkan

Solusi akhir:

Syntax Matlab:

x = dsolve('D2x-2*x=0','x(0)=1,x(1)=0')

x =

exp(2*2^(1/2))/(exp(2^(1/2)*t)*(exp(2*2^(1/2)) - 1)) -

exp(2^(1/2)*t)/(exp(2*2^(1/2)) - 1)

u = diff(x) + x

u = simplify(u)

-(exp(2^(1/2)*t) - exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t) +

2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2*2^(1/2) -

2^(1/2)*t))/(exp(2*2^(1/2)) - 1)

x = dsolve('D2x-t=0','x(0)=1,x(2)=5')

x =

t^3/6 + (4*t)/3 + 1

Page 58: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

55

Ringkasan prosedur Prinsip Pontryagin:

Page 59: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

56

Gambar 2.3. Jenis sistem: (a). Fixed-Final Time and Fixed-Final State System; (b). Free-Final Time and Fixed-Final State; (c). Fixed-Final Time and Free-Final State System; (d). Free-Final Time and Free-Final State System

Contoh 3:

Diberikan sistem orde-dua (dengan double integrator) seperti berikut:

Dengan indeks performansi berikut:

Cari kontrol optimal dan keadaan/state optimal, diberikan kondisi batas (awal dan akhir)

sebagai berikut:

[ ] [ ]

(diasumsikan kontrol dan state-nya unconstrained)

Solusi:

Misalkan

Page 60: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

57

( )

[ ]

Langkah 1: Fungsi hamiltonian

( ) ( ) ( )

Langkah 2: Cari bentuk sinyal kontrol

Langkah 3: Dengan hasil langkah 1 dan 2, cari nilai optimal dari

(

)

Langkah 4: Cari persamaan state dan costate

(

)

(

)

(

)

(

)

Dari persamaan sebelumnya, diperoleh state optimal dan costate optimal sbb.

Dari kondisi awal diperoleh konstanta sehingga:

Page 61: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

58

Langkah 5: Cari kontrol optimal

Gambar 2.4. Diagram Blok State Kontroler Optimal

3.4. Latihan Soal

1. Cari contoh permasalahan kontrol yang menggunakan metoda kontrol optimal!

2. SImulasikan permasalahan kontrol pada soal no 1 menggunakan software

MATLAB!

Page 62: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

59

BAB 4

KONTROL OPTIMAL LQR (Linear Quadratic

Regulator)

Page 63: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

60

BAB 4 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)

Tujuan dari penjelasan pada bab 4 ini adalah untuk memberi pengenalan awal kepada

mahasiswa tentang teori dasar kontrol optimal. Bagaimana prosedur yang dilakukan

dalam melakukan perancangan sistem kontrol yang optimal.

4.1. Formulasi Masalah

Untuk sistem linier varian-waktu/linear time-varying (LTV):

(4.1)

Dimana fungsional cost atau indeks performansi dinyatakan sebagai berikut:

(4.2)

Keterangan:

: vektor state/keadaan

: vektor output/keluaran

: vektor referensi input atau output yang diinginkan

: vektor sinyal kontrol

: matriks bobot error

: matriks bobot kontrol

: matriks bobot cost akhir

Kategori sistem:

a. Jika tujuan pengendalian yaitu agar state, mendekati nol, (saat

dan ), disebut sistem regulator state dengan memberikan sinyal kontrol

dimana akan membawa plant dari nonzero state /tidak nol menuju zero

state.

b. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output, mendekati nol, (saat ),

disebut sistem regulator output.

c. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output atau state mendekati output atau

state yang diinginkan, disebut sistem tracking. Baik sistem regulator output

Page 64: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

61

maupun state, referensi state adalah nol dan pada sistem tracking, error dibuat

nol.

4.2. LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)

Cost fungsional:

(4.3)

Misal untuk sistem regulator state, .

Asumsi dari indeks performansi di atas:

a. Sinyal kontrol adalah unconstrained/tidak ada batasan berapapun nilainya

(tetapi untuk sistem fisik kondisi nyata, ada limit sinyal kontrol).

b. Diberikan kondisi awal . Waktu akhir spesifik.

c. Matriks bobot dan adalah matriks semidefinit positif ( ,

, sementara matriks bobot adalah matriks definit positif

( .

d. Nilai pecahan pada indeks performansi untuk menghilangkan faktor 2 dari

bentuk kuadratik.

Solusi: (prosedur Pontryagin)

STEP 1: Hamiltonian

Hamiltonian formula:

Page 65: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

62

(4.4)

dimana adalah vektor costate.

STEP 2: Kontrol optimal

Mencari sinyal kontrol optimal, .

(4.5)

dimana

Sehingga diperoleh:

(4.6)

STEP 3: Sistem State dan Costate

State:

Costate:

(4.7)

Sistem kanonik (terdiri dari state dan costate)/sistem Hamiltonian:

(4.8)

Dimana .

STEP 4: Kontrol optimal lup tertutup

Sinyal kontrol:

(4.9)

STEP 5: Matriks Persamaan Diferensial Riccati

Bentuk persamaan diferensial Riccati:

(4.10)

Page 66: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

63

Bentuk umum:

(4.11)

dimana

Gambar 4.1. Sistem State dan Costate

Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem linier varian-waktu:

Page 67: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

64

Gambar 4.2. Implementasi Kontrol Optimal Lup Tertutup (simulasi off-line )

Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem tracking:

Page 68: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

65

Gambar 4.3. Implementasi sistem tracking optimal

4.3. Contoh LQR waktu-kontinyu Contoh 1: LQR untuk sistem tracking

Sistem plant orde-dua:

Sistem dinamik di atas akan dikontrol untuk meminimumkan indeks performansi

berikut:

Diketahui waktu akhir adalah 20, state akhir ( ) bebas dan sinyal kontrol dan state-

nya tidak ada batasan. Tujuan dari kontrol yaitu untuk menjaga state mendekati

nilai 1.

Cari sinyal kontrol umpan baliknya. Gambar grafik dari koefisien Riccati tiap waktu,

komponen vektor , dan kontrol dan state optimalnya.

Solusi:

Page 69: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

66

Tujuan dari pengendalian sesuai indeks performansi yaitu untuk menjaga state

mendekati nilai referensi input , sementara kondisi state tidak diketahui,

kita tentukan .

Sekarang, untuk kasus ini, , dimana

Matriks yang bersesuaian:

Solusi Riccati:

Dari persamaan di atas diperoleh:

Dengan menyederhanakan persamaan di atas:

Diperoleh solusi matriks Riccati:

Selanjutnya menentukan , yaitu solusi persamaan diferensial nonhomogen:

Page 70: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

67

Dengan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:

NB: untuk tuning sistem tracking, dapat dilakukan dengan mengubah matriks sehingga

diperoleh tracking state yang lebih baik.

Gambar 4.4. Koefisien Riccati

Page 71: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

68

Gambar 4.5. Koefisien dan

Gambar 4.6. State Optimal (kondisi awal [ ], [ ], dan

.

Page 72: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

69

Gambar 4.7. Sinyal kontrol optimal

Contoh 2:

Diberikan persamaan dinamik sistem sebagai berikut:

Dan indeks performansi sebagai berikut

Tentukan sinyal kontrol umpan baliknya.

Solusi:

Dari persamaan di atas dapat dibangun matriks:

matriks solusi persamaan Riccati adalah berukuran 2x2 matriks simetrik:

Page 73: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

70

Sehingga bentuk matriks sinyal kontrol optimal yaitu:

Selanjutnya mencari solusi Riccati, :

Dengan ruas kiri , diperoleh:

Sehingga didapatkan solusi Riccati sebagai berikut:

4.4. Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit Untuk sistem waktu-diskrit, hampir sama dengan waktu-kontinyu, menggunakan variasi

kalkulus untuk sistem waktu-diskrit.

Diberikan sistem kontrol waktu-diskrit linier varian-waktu

(4.12)

Dan indeks performansi sebagai berikut:

(4.13)

Misalkan diberikan kondisi awal sebagai berikut:

Page 74: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

71

Langkah 1: Indeks performansi augmented, , (tambahan Lagrange multiplier)

(4.14)

Langkah 2: Lagrangian

(4.15)

Langkah 3: Persamaan Euler-Lagrange (dari variabel , , dan )

(4.16)

Dimasukkan untuk kondisi akhir sehingga menjadi:

(4.17)

dimana

Langkah 4: Hamiltonian

Page 75: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

72

(4.18)

Kondisi ekstremum Hamiltonian:

(4.19)

Bentuk persamaan state, costate, dan sinyal kontrol optimum sebagai berikut:

(4.20)

Langkah 5: Kontrol Optimal Lup-Terbuka

Sinyal kontrol optimal:

(4.21)

Sinyal kontrol tersebut disubstitusi ke dalam persamaan state (langkah 4) menghasilkan:

(4.22)

dimana

Langkah 6: Sistem state dan costate

Bentuk kanonik sistem (state dan costate):

(4.23)

4.5. Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka

Diberikan state akhir:

Page 76: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

73

Prosedur ringkasan sistem kontrol optimal waktu-diskrit (kondisi titik akhir fixed)

Gambar 4.8. Sistem State dan Costate Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-

terbuka

Page 77: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

74

Contoh:

Cari nilai minimum indeks performansi:

Dengan subjek kondisi batas

Untuk sistem skalar dengan persamaan dinamik berikut:

Solusi:

Bangun matriks yang bersesuaian:

Langkah 1: Bangun fungsi Pontryagin

Langkah 2: Cari nilai minimum dari fungsi

Langkah 3: Dari hasil sebelumnya, bengun fungsi optimal

Langkah 4: Cari persamaan diferensial state dan costate

Persamaan diferensial state:

Persamaan diferensial costate:

Diperoleh solusi optimal:

Langkah 5: Cari sinyal kontrol optimal

Page 78: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

75

4.6. Permasalahan tracking pada LQR

Permasalahan tracking dengan kontrol LQR bertujuan untuk membangkitkan aksi

kontrol yang mengendalikan plant/sistem sehingga vektor keadaan mengikuti

trayektori keadaan yang diinginkan, sekaligus meminimalkan indeks performansi

kuadratik :

∫ [ ]

(4.24)

Aljabar Riccati yang digunakan untuk desain kontrol LQR dikombinasikan dengan

persamaan tracking keadaan waktu reverse sebagai berikut:

(4.25)

dimana adalah vektor tracking dengan batasan ( ) , dan aksi kontrol:

(4.26)

Jika dan maka dan sistem

tracking optimal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.9.

Adapun untuk permasalahan tracking waktu diskrit pada kontrol LQR, indeks

performansinya sebagai berikut:

∑ [ ] (4.27)

Gambar 4.9. Sistem tracking optimal

Minimasi indeks performansi tersebut menghasilkan persamaan Riccati rekursif

( ) [ ] dan

( ) [ ] [

] [ ] ,

yang dijalankan secara reverse time bersamaan dengan persamaan tracking keadaan

time-reverse pada sistem diskrit

Page 79: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

76

( ) (4.28)

Vektor commmand dan kontrol optimal saat jika dioperasikan secara maju

(forward time), adalah

(4.29)

dan nilai dari (4.30)

(4.31)

Contoh :

Suatu sistem kontrol LQR pada permasalahan tracking, mengacu pada gambar 3.9

diatas, sebagai berikut

[

] *

+ *

+ *

+

*

+ *

+

Indeks perfomansi diskritnya,

∑ [( )( ) *

+ [

]

]

Sistem diinginkan mengikut vektor keadaan:

[

] [

] selama periode 0-20 detik dengan waktu cuplik

detik

Solusi:

Pada perhitungan waktu mundur (reverse-time), dengan dan ,

kalkulasi dan menggunakan Riccati rekursi. Juga hitung

menggunakan dengan kondisi

Pada perhitungan waktu maju (forward-time), kalkulasi dan trayektori keadaan

menggunakan dan

Page 80: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

77

4.7. Latihan Soal

1. Buatlah Desain kontrol LQR dengan menggunakan simulasi MATLAB

Menggunakan persamaan state space berikut:

[

] *

+ *

+ *

+

[ ] *

+

Tentukan persamaan indeks performansi yang anda gunakan !

Page 81: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

78

Page 82: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

79

BAB 5

KONTROL OPTIMAL LQE (Kalman Filter)

Page 83: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

80

BAB 5 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)

Desain kontrol menggunakan metoda LQR ternyata sulit untuk direalisasikan. Hal ini

dikarenakan, metoda LQR memerlukan semua varibel state harus terukur untuk

digunankan sebagai state feedbacknya. Instalasi untuk sensor dan instrument untuk

mengukur semua state pada sistem tentulah membuat biaya menjadi lebih mahal,

bahkan terkadang ada beberapa state yang tidak mungkin untuk diukur.

Dalam Bab ini akan dipelajari bagaimana menentukan kontroler atau matriks penguatan

K tanpa harus mengukur semua variable state-nya. Feedback yang digunakan dalam

sistem nantinya berasal hanya dari output yang dapat terukur saja, sedangkan sisa

variable yang tidak terukur perlu untuk direkonstruksi dengan cara antara lain dengan

menggunakan observer atau estimator. Estimator yang optimal dikenal dengan nama

Kalman Filter.

5.1. Review: Proses Random

Diberikan variabel akan dipetakan dalam selang ruang sampel dan merupakan

bilangan riil. Proses acak (proses stokastik) merupakan pemetaan dari ruang sampel ke

fungsi waktu yang bersesuaian (fungsi sampel). Untuk setiap anggota dari ruang sampel,

ada nilai dari fungsi waktu sampel yang bersesuaian.

Gambar 4.1. Pemetaan ruang sampel ke fungsi waktu sampel

Misalkan adalah fungsi kerapatan probabitas untuk proses random . Jika

fungsi kerapatan probabitas tersebut bebas waktu, , maka proses random

yang bersesuaian dikatakan stasioner.

Mean (atau harapan rata-rata):

Page 84: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

81

(5.1)

Varian

(5.2) Kovarian

(5.3)

Momen

(5.4) Jika dan merupakan dua proses random yang saling bebas/independen maka:

(5.5)

adalah gabungan fungsi kerapatan probabilitas dan .

Fungsi Autokorelasi

Digunakan untuk mendeskripsikan domain waktu pada proses random.

(5.6)

Jika adalah proses stasioner, maka:

(5.7)

Untuk merupakan waktu rata-rata energi/daya pada proses random.

Spektrum Daya

Merupakan deret Transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi, dalam domain

frekuensi, untuk proses random.

(5.8)

White Noise (merupakan proses random dengan spektrum daya konstan, dan memiliki

fungsi autokorelasi , dimana implikasi white noise mempunyai daya tak

hingga dan tidak ada (exist) di kondisi riil. Namun white noise dapat dimodelkan sebagai

output dari sistem linier dengan injeksi white noise pada masukannya, menghasilkan

color noise.

Page 85: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

82

Proses Gaussian

Normalisasi fungsi dalam gaussian dengan fungsi kerapatan probabilitas:

(5.9)

5.2. Observer/ Estimator

Misalkan suatu sistem mempunyai model state space sebagai berikut:

(5-10)

(5-12)

Beberapa variable state x pada model di persamaan (5-1) dan (5-2) ada yang tidak dapat

diakses. Kita hanya mempunyai sensor output saja. Namun dari output yang diukur

ternyata kita masih dapat merekonstruksi variable stae yang tidak dapat diakses

tersebut, yaitu dengan cara menhubungkan estimator ke sistem tersebut.

Sistem estimator mempunyai persamaan sebagai berikut:

{ } (5-13)

Gambar 4.2. Estimator

Persamaan (5-3) menyatakan sistem dari estimator dengan input dari estimator adalah

sinyal y (hasil pengukuran) dan sinyal u. Nilai dari { } didefinisikan sebagai

error pengukuran. Error pengukuran akan memberikan koreksi secara aktif dan

secepatnya ketiaka nilainya tidak sama dengan nol. Selanjutnya didefinisikan error

estimasi sebagai berikut:

(5-14)

Diferensial dari persamaan (5-4) kemudian disubstitusi dari persamaan (5-3) akan

menghasilkan persamaan (5-5) berikut:

{ } (5-15)

K pada persamaan (5-4) dan persamaan (5-3) adalah matriks penguatan yang mana jika

sistemnya diketahui terdeteksi (Detectable) maka akan selalu ada nilai K yang membuat

error estimasi saat atau dengan kata lain (konvergen)

saat .

Page 86: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

83

5.3. Kalman Filter

Misalkan kita tambahkan estimator pada persamaan (5-3)

{ }

ke sistem yang mempunyai derau dan gangguan (Noise and Disturbance) sebagai

berikut:

5-16)

(5-17)

Diferensial dari akan menghasilkan persamaan diferensial error

sebagai berikut:

{ } (5-18)

Dengan adanya suku (noise) pada persamaan (5-8) menyebabkan

error esitimasi tidak lagi menuju nol bahkan jika sistem dari error stabil. Misalkan sistem

error nya stabil maka akan ada nilai error covariance matrix sebagai berikut

[ ] (5-19)

Nilai error covariance matrix tersebut akan bernilai konstan saat kondisi steady state

dan akan bernilai minimum jika mengikuti persaaman linear matriks berikut ini pada

persamaan (5-10)

(5-20)

Persamaan (5-10) disebut juga dengan persamaan Lyapunov. Solusi dari persamaan (5-

10) yang membuat error covariance matriks minimum adalah sebagai berikut:

(5-21)

Substitusi persaaman (5-11) ke persamaan (5-10) akan menghasilkan persamaan yang

dikenal dengan persamaan Riccati bentuk lain yang ditunjukkan pada persamaan (5-12)

berikut ini:

( 5-22)

Sekali lagi nilai K yang digunakan untuk membuat agar [ ] error covariance

matriks nya minimum (optimal) yang digunakan pada estimator

{ } dikenal dengan nama Kalman Filter.

Contoh Simulasi dengan MATLAB :

%% Kalman Filter Design % This demo demonstrates MATLAB(R) ability to perform Kalman filtering. % Both a steady state filter and a time varying filter are designed % and simulated below. % Copyright 1986-2011 The MathWorks, Inc. % $Revision: 1.15.4.5 $ $Date: 2011/08/17 20:25:06 $

Page 87: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

84

%% Problem Description % Given the following discrete plant % % $$ x(n+1) = Ax(n) + Bu(n) $$ % % $$ y(n) = Cx(n) + Du(n) $$ % where A = [1.1269 -0.4940 0.1129, 1.0000 0 0, 0 1.0000 0]; B = [-0.3832 0.5919 0.5191]; C = [1 0 0]; D = 0; % design a Kalman filter to estimate the output y based on the % noisy measurements yv[n] = C x[n] + v[n] % %% Steady-State Kalman Filter Design % You can use the function KALMAN to design a steady-state Kalman filter. % This function determines the optimal % steady-state filter gain M based on the process noise % covariance Q and the sensor noise covariance R. % % First specify the plant + noise model. % CAUTION: set the sample time to -1 to mark the plant as discrete. Plant = ss(A,[B B],C,0,-1,'inputname',{'u' 'w'},'outputname','y'); %% % Specify the process noise covariance (Q): Q = 2.3; % A number greater than zero %% % Specify the sensor noise covariance (R): R = 1; % A number greater than zero %% % Now design the steady-state Kalman filter with the equations % % Time update: x[n+1|n] = Ax[n|n-1] + Bu[n] % % Measurement update: x[n|n] = x[n|n-1] + M (yv[n] - Cx[n|n-1])

Page 88: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

85

% % where M = optimal innovation gain % using the KALMAN command: [kalmf,L,~,M,Z] = kalman(Plant,Q,R); %% % The first output of the Kalman filter KALMF is the plant % output estimate y_e = Cx[n|n], and the remaining outputs % are the state estimates. Keep only the first output y_e: kalmf = kalmf(1,:); M, % innovation gain %% % To see how this filter works, generate some data and % compare the filtered response with the true plant response: %% % To simulate the system above, you can generate the response of % each part separately or generate both together. To % simulate each separately, first use LSIM with the plant % and then with the filter. The following example simulates both together. % First, build a complete plant model with u,w,v as inputs and % y and yv as outputs: a = A; b = [B B 0*B]; c = [C;C]; d = [0 0 0;0 0 1]; P = ss(a,b,c,d,-1,'inputname',{'u' 'w' 'v'},'outputname',{'y' 'yv'}); %% % Next, connect the plant model and the Kalman filter in parallel % by specifying u as a shared input: sys = parallel(P,kalmf,1,1,[],[]); %% % Finally, connect the plant output yv to the filter input yv. % Note: yv is the 4th input of SYS and also its 2nd output: SimModel = feedback(sys,1,4,2,1); SimModel = SimModel([1 3],[1 2 3]); % Delete yv form I/O %% % The resulting simulation model has w,v,u as inputs and y,y_e as % outputs: SimModel.inputname

Page 89: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

86

%% SimModel.outputname %% % You are now ready to simulate the filter behavior. % Generate a sinusoidal input vector (known): t = (0:100)'; u = sin(t/5); % Generate process noise and sensor noise vectors: rng(10,'twister'); w = sqrt(Q)*randn(length(t),1); v = sqrt(R)*randn(length(t),1); %% % Now simulate the response using LSIM: clf; out = lsim(SimModel,[w,v,u]); y = out(:,1); % true response ye = out(:,2); % filtered response yv = y + v; % measured response %% % Compare the true response with the filtered response: clf subplot(211), plot(t,y,'b',t,ye,'r--'), xlabel('No. of samples'), ylabel('Output') title('Kalman filter response') subplot(212), plot(t,y-yv,'g',t,y-ye,'r--'), xlabel('No. of samples'), ylabel('Error') MeasErr = y-yv; MeasErrCov = sum(MeasErr.*MeasErr)/length(MeasErr); EstErr = y-ye; EstErrCov = sum(EstErr.*EstErr)/length(EstErr); % Covariance of error before filtering (measurement error): MeasErrCov % Covariance of error after filtering (estimation error): EstErrCov

Page 90: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

87

Gambar 4.3. Hasil Plot Keluaran Kalman Filter (merah hasil estimasi

kalman filter, biru y output pengukuran ) Plot error (merah

error estimasi pengukuran y-ye, hijau error tanpa kalman

filter y-yv)

5.4. Model LQE/kalman Filter

Untuk sistem linier invarian-waktu (LTI) sebagai berikut:

(5-23)

Dengan asumsi:

1) ( ) adalah matriks observable/keteramatan.

2) dan adalah white noise bebas dengan bentuk fungsi

3) (

) adalah matriks stabilizable (untuk menjamin kestabilan lup-tertutup)

Tujuan pengendalian dengan Filter Kalman yaitu mendesain estimator dari state

sehingga estimasi error kovarian-nya akan minimum.

Indeks performansi estimator dimodelkan sebagai berikut:

(5-24)

Rekonstruksi/perancangan Filter Kalman untuk kondisi tunak/steady-state

Diberikan persamaan dinamik estimator, dengan penguatan (gain) observer/Penguatan

Filter Kalman, :

Page 91: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

88

(5-22)

Solusi penguatan Filter Kalman optimal yaitu:

(5-23)

dimana adalah solusi dari persamaan Riccati berikut:

(5-24)

Misalkan error state dan estimator , , untuk keadaan tunak berlaku:

(5-25)

5.5. Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator)

Diberikan masalah kontrol optimal dengan LQR sebagai berikut:

(5-26)

Masalah kontrol LQR yaitu mencari sinyal kontrol umpan balik optimal:

(5-27)

Sehingga indeks performasi minimum.

Solusi LQR untuk sistem di atas yaitu:

(5-28)

Dan nilai cost optimal .

(Kasus khusus) jika adalah vektor random dimana

(5-29)

sehingga diperoleh

(5.30)

Berlaku dualitas Filter Kalman vs LQR

Page 92: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

89

Kedua masalah kontrol di atas ekivalen (dual) jika:

5.6. Latihan Soal

1. Jelaskan prosedur dan cara kerja dari hasil simulasi pada contoh !

2. Diketahui matriks A, B, C, D sebagai berikut:

A = [1.1269 -0.4940 0.1129,

1.0000 0 0,

0 1.0000 0];

B = [-0.3832

0.5919

0.5191];

C = [1 0 0]; D = 0;

Dengan Intensitas matriks Q dan R adalah sebagai berikut

%Specify the process noise covariance (Q):

Q = 2.3; % A number greater than zero

%Specify the sensor noise covariance (R):

R = 1; % A number greater than zero

Simulasikan sistem ini menggunakan kalman filter !

Page 93: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

90

Page 94: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

91

BAB 6

KONTROL OPTIMAL LQG

Page 95: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

92

BAB 6 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian)

Sebelumnya telah dipelajari bagaimana merekonstruksi variable state yang tidak terukur

dengan cara menggunakan metoda estimator optimal atau kalman filter. Selanjutnya

akan dibahas mengenai motode untuk mencari kontroler berbasis LQR namun sebagai

pengganti full state feedbacknya digunakanlah kalman filter untuk merekonstruksi

sebagian variable state yang tidak terukur secara optimal. Metoda gabungan antara LQR

dan LQE atau Kalman filter ini dikenal dengan nama LQG (Linear Quadratic Gaussian).

Masalah desain kontrol dalam dunia riil seringkali kita tidak dapat mengukur seluruh

variabel state dari plant yang diberikan. Maka dari itu, LQR, meskipun mempunyain

margin penguatan dan margin fasa yang sangat bagus ( dan ), namun

sulit direalisasikan karena menggunakan semua variabel state sebagai umpan balik,

. Untuk situasi praktis, hanya informasi parsial dari state pada plant yang

diberikan dapat diakses/diukur untuk umpan balik. Muncul pertanyaan:

“Dapatkah kita mengestimasi variabel state dari plant melalui informasi pengukuran

parsial?” Jawaban: ya, dengan Filter Kalman. Lalu selanjutnya “Apakah kita dapat

mengganti state pada sinyal kontrol optimal, , diganti dengan state estimasi

untuk membangun/mendesain sistem kontrol yang optimal?” Jawaban: ya, dengan LQG.

“Apakah masih ada metode impresif lainnya terkait dengan LQG? Jawaban: tidak. Solusi

pendekatan lain yaitu dengan loop transfer recovery (LTR), tidak tercakup di dalam bab ini

6.1. Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian)

Diberikan karakteristik plant;

(6-1)

Dimana mean/rata-rata dari dan adalah nol (white signal), dan diasumsikan

, , dan saling bebas/independen, sehingga berlaku

Indeks performansi dimodelkan sebagai berikut;

(6.2)

Tujuan pengendalian LQG yaitu untuk mendesain sinyal kontrol dengan hanya berasal

dari informasi yang dapat diukur sehingga ketika dimasukkan ke plant sebagai input,

sistem keseluruhan akan stabil dan indeks performansi akan minimum.

Solusi Masalah LQG (dengan Prinsip Separasi/Pemisahan):

Langkah 1: Desain sinyal kontrol LQR,

Diberikan sistem sebagai berikut;

(6.4)

Lakukan komputasi/perhitungan untuk mencari solusi persamaan Riccati;

Page 96: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

93

(6.5)

Langkah 2: Desain Filter Kalman sesuai dengan plant yang diberikan

(6.6)

Dimana

(6.7)

Langkah 3: Cari sinyal kontrol LQG,

(6.8)

Representasi dalam diagram blok:

Gambar 5.1. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG

Gambar 5.2. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG (detil)

6.2. Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG

Diberikan persamaan dinamik plant:

(6.9)

Persamaan dinamik kontroler/pengendali:

(6.10)

Misal didefinisikan variabel baru, error state dan estimator, sehingga:

Page 97: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

94

(6.11)

Dan persamaan plant dengan tambahan variabel :

(6.12)

Persamaan sistem lup-tertutup yang baru menjadi:

(6.13)

Akar-akar persamaan karakteristik lup tertutup diberikan dari nilai eigen:

(6.14)

dimana menentukan kestabilan sistem.

Sistem yang dikendalikan dengan metoda LQG selalu dianggap linear dan modelnya

diketahui. Model pada sistem ini selalu mengikutsertakan noise pengukuran dan

gangguan atau process noise (disturbance) . Sinyal noise dan disturbance inipun perlu

diketahui karakteristik stokastiknya.

Misal diberikan model kendalian sebagai berikut:

(6-1)

(6-2)

Dari persamaan (6-1) dan persamaan (6-2) , v adalah gangguan atau process noise

(distubances) sedangkan w adalah noise pengukuran. Biasanya v dan w seringkali

diasumsikan tidak berkorelasi dan masing masing mempunyai zero mean Gaussian

stochastic dengan power spectral densitynya konstan. Nilai v dan w disebut juga sebagai

white noise dengan covariances

[ ] (6-3)

[ ] (6-4)

Dan persamaan (6-5) dan persamaan(6-6) menunjukan asumsi bahwa v dan w tidak

berkorelasi.

[ ] (6-5)

[ ] (6-6)

Page 98: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

95

Permasalahan control pada LQG adalah sama dengan LQR yaitu mencari nilai K yang

membuat fungsi biaya atau index performansinya optimal.

Index performansi ditunjukkan pada persamaan (6-7 ) berikut:

,

∫ [ ]

- (6-7)

Mencari solusi dari masalah LQG, dikenal dengan menggunakan teorema pemisahan

(separation theorem).

Gambar 5.3. Separation Teorema

Langkah 1

Teorema ini cukup sederhana, pertama- tama kita tentukan control optimal dengan

menggunakan persamaan yang sama pada permasalahan di metoda LQR tanpa

memperhitungkan variable noise v dan w. Fungsi biaya dari metoda LQR adalah sebagai

berikut:

∫ [ ]

(6-8)

Dari persamaan (6-8) dapat diperoleh solusi yang membuat persamaan (6-

8) optimal. Sinyal control dapat ditentukan setelah diperoleh solusi dan sinyal

kontrolnya akan memiliki persamaan sebagai berikut:

(6-9)

Langkah 2

Setelah diperoleh nilai maka selanjutnya kita tentukan matriks penguatan yang

merupakan faktor koreksi pada kalman filter untuk proses rekonstruksi variable state .

Penentuan ditentukan dengan cara seperti pada Bab 5. Fungsi biayanya adalah

sebagai berikut:

[ ] (6-10)

Page 99: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

96

Dari optimalisasi persamaan (6-10) diperoleh nilai yang membuat fungsi

biaya optimal.

Langkah 3

Hasil optimalisasi dari kedua fungsi biaya, kemudian digabungkan. Struktur kontrol dari

keseluruhan menjadi persamaan sistem sebagai berikut:

*

+ [

] (6-11)

Persamaan (6-11) akan memiliki pole yang sama dengan sistem kendalian , persamaan ini

diturunkan dari sistem keseluruhan dengan inputnya adalah y dan u dan keluarannya

adalah u.

Gambar 5.4. Diagram blok lengkap sistem dengan LQG kontroler.

Penurunan kontroler LQG lengkap diturunkan dari diagram blok pada gambar 6.4.

Page 100: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

97

Contoh Simulasi dengan MATLAB :

Diketahui diagram blok sistem regulator LQG sebagai berikut:

Intensitas Noise diberikan sebagai berikut:

[ ]

Fungsi biaya yang digunakan adalah sebagai berikut:

Persamaan state space-nya adalah sebagai berikut

Matriks A, B, C, ditentukan dari fungsi alih sistem melalui koding berikut:

sys = ss(tf(100,[1 1 100])) % State-space plant model

% Design LQ-optimal gain K

K = lqry(sys,10,1) % u = -Kx minimizes J(u)

% Separate control input u and disturbance input d

P = sys(:,[1 1]);

% input [u;d], output y

% Design Kalman state estimator Kest.

Kest = kalman(P,1,0.01)

% Form LQG regulator = LQ gain + Kalman filter.

F = lqgreg(Kest,K) % Klq

% Close loop

Page 101: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

98

clsys = feedback(sys,F,+1)

% Note positive feedback.

% Create the lowpass filter and add it in series with clsys.

s = tf('s');

lpf= 10/(s+10) ;

clsys_fin = lpf*clsys;

% Open- vs. closed-loop impulse responses

impulse(sys,'r--',clsys_fin,'b-')

Gambar 6.3 Hasil Plot antara sistem open loop dengan closed loop.

6.3. Latihan Soal

1. Tunjukan bahwa persamaan dinamika pada sistem closed loop sistem dengan

LQG kontroler pada gambar 6.2 adalah sebagai berikut:

* + [

] *

+ [

] * +

2. Tunjukkan pula bahwa:

[ ]

[ ] [ ]

0 2 4 6 8 10 12-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Page 102: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

99

Page 103: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

100

BAB 7

KONTROL ROBUST

Page 104: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

101

BAB 7 Kontrol Robust

7.1. Pengenalan Kendali Kokoh

Masalah kontrol secara umum:

Tujuan Pengendalian yaitu untuk menghasilkan respon keluaran sistem sesuai dengan

referensi yang diinginkan.

Representasi dari dinamika plant tak tentu (uncertain)

Keterangan:

Nominal plant adalah sistem linier invarian waktu dalam domain frekuensi.

Perturbasi adalah set/kumpulan dari anggota gangguan-gangguan yang mungkin.

Tujuan analisis:

Performansi nominal (Kontrol optimal dengan ): apakah respons lup-tertutup

dapat diterima/sesuai dengan desain kontrol untuk kondisi melibatkan

disturbance, sensor noise, dan command?

Kestabilan Robust (Kontrol optimal dengan ): apakah sistem lup-tertutup stabil

untuk plant nominal? Dan juga untuk semua perturbasi pada sistem?

Page 105: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

102

Performansi Robust (Kombinasi kontrol optimal ): apakah respons lup

tertutup dapat diterima untuk semua perturbasi yang mungkin dan semua input

eksternal? Secara simultan (berbarengan)?

Gambar 7.1 Desain masalah kontrol robust secara umum

Representasi diagam blok kontrol klasik dengan umpan balik dalam struktur interkoneksi

umum dalam blok kontrol robust:

Gambar 7.2 Blok diagram kontrol klasik

Gambar 7.3 Desain masalah kontrol robust (keluaran yaitu sinyal galat dan

masukan sistem adalah sinyal referensi input)

Page 106: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

103

7.2. Kontrol Optimal dan

Masalah kontrol untuk sistem linier invarian-waktu, , dengan pengendali, (asumsi

sistem stabilizable dan detectable):

Gambar 7.4 Diagram umum masalah kontrol robust

Sistem dinamik plant:

(6.1)

Sistem dinamik pengendali/kontroler:

(6.2)

Keterangan:

Masalah kontrol optimal dan adalah untuk mendesain sinyal kontrol yang

tepat/proper sehingga ketika dimasukkan ke plant (dengan gangguan), diperoleh:

Sistem lup-tertutup stabil secara internal (kondisi perlu/necesarry untuk sembarang

desain sistem kontrol)

Fungsi alih lup-tertutup, dari gangguan terhadap controlled output , , dapat

sekecil mungkin, dengan kata lain pengaruh ganggunan terhadap keluaran yang

dikontrol akan minimum.

- Kontrol optimal : dari minimum.

- Kontrol optimal : dari minimum.

NB: fungsi alih memiliki frekuensi berkisar dari sampai . Cukup sulit mengatakan

pengaruh tersebut besar/kecil. Metode praktis adalah dengan mengukur nilai -nya,

yaitu dan .

Pertimbangkan suatu ruang keadaan sistem

Page 107: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

104

{

(6.3)

dan kontrol

{

(6.4)

Maka dapat kita tuliskan

(6.5)

selanjutnya

(6.6)

dan

(6.7)

lebih lanjut

(6.8)

dan

(6.9)

Sehingga

(6.10)

Kemudian, fungsi alih closed loop w-z dituliskan:

(6.11)

Sistem closed loop akan stabil secara internal jika dan hanya jika nilai eigen dari

[

] (6.12)

Terletak di sebelah kiri bidang kompleks

Catatan Penting 1:

Page 108: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

105

Pada kasus umpan balik keadaan (state feedback), C1=I dan D=0, yakni semua semua

state system terukur, dapat direduksi menjadi dan fungsi alih closed loop

dapat direduksi:

(6.13)

dan memiliki nilai eigen yang stabil

Norm-H2 suatu fungsi alih

Definisi: Untuk fungsi alih yang stabil dan sesuai, maka norm H2-nya didefinisikan:

(6.14)

Secara grafis

Gambar 7.5 Ilustrasi grafik luasan

Norm H2 merupakan energi keseluruhan berkaitan dengan tanggapan impuls dari ,

sehingga meminimalkan norm H2 suatu fungsi alih berarti meminimalkan energi

dari gangguan menuju output terkontrol .

Norm-H∞ suatu fungsi alih

Definisi: Untuk fungsi alih yang stabil dan sesuai, maka norm H∞-nya didefinisikan:

‖ ‖ (6.15)

Secara grafis

Gambar 7.6 Ilustrasi grafik luasan

Page 109: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

106

Norm H∞ merupakan penguatan untuk kondisi terburuk dalam , sehingga

meminimalkan norm H∞ suatu fungsi alih berarti meminimalkan situasi

(penguatan) terburuk, dari gangguan menuju output terkontrol .

Infima dan Kontrol Optimal

Infimum norm-H2 suatu matriks alih closed loop yang secara keseluruhan

menstabilkan kontrol yang tepat, dituliskan:

(6.16)

Kontrol dikatakan sebagai kontrol optimal H2 jika secara internal menstabilkan dan

‖ ‖

Infimum norm-H∞ suatu matriks alih closed loop yang secara keseluruhan

menstabilkan kontrol yang tepat, dituliskan:

(6.17)

Kontrol dikatakan sebagai kontrol sub optimal- H∞ jika secara internal menstabilkan

dan ‖ ‖ .

Asumsi kritis: kasus regular dan kasus singular

Kebanyakan hasil kontrol H2 dan H∞ merupakan permasalahan regular karena sederhana.

Dikatakan regular jika memiliki kriteria sebagai berikut:

1. merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi dan rank penuh

2. Sub system (A,B,C2,D2) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner

3. merupakan rank baris maksimal, matrik yang lebar dan rank penuh

4. Sub system (A,E,C1,D1) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner

Dikatakan singular jika tidak memenuhi kriteria diatas, atau paling tidak satu kondisi

diatas dipenuhi

Contoh 1: Problem umpan balik keadaan (state feedback)

Pada kasus ini, semua state system diketahui

(A,B) dapat distabilkan, merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi dan rank

penuh

Page 110: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

107

Aksi kontrol statis

Selesaikan aljabar riccati

Untuk , matrik semi definit positif

Maka

‖ ‖

Dan dapat juga dituliskan

[ ]

Jika sistem

Maka aljabar riccati dan kontrol nya:

*

+, [ ]

Tanggapan magnitude closed loop output terkontrol terhadap disturbance, digambarkan:

Kinerja optimal atau nilai infinum:

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frekuensi (rad/s)

Magnitudo

Tzw

Page 111: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

108

Syntax MATLAB:

Diperoleh hasil:

Untuk kasus umpan balik keluaran (output feedback) maka:

s = tf('s'); % variabel s, Laplace A = [5 2;3 4]; % matriks A B = [0;1]; % matriks B E = [1;2]; % matriks E C1 = 1; % matriks C1 C2 = [1 1]; % matriks C2 D2 = 1; % matriks D2 Ab = A-B*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks A augmented Bb = B*inv(D2'*D2)*B'; % matriks B augmented Cb = C2'*C2-C2'*D2*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks C augmented P = are(Ab,Bb,Cb) % solusi ricatti F = -inv(D2'*D2)*(D2'*C2+B'*P) % state feedback gamma2star = sqrt(trace(E'*P*E))% nilai H2 infimum Tzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; % Fungsi alih

closed-loop w ke z x = logspace(-2,4);semilogx(x,sigma(Tzw,x)); % plot grafik xlabel('Frekuensi (rad/s)');ylabel('Magnitudo');title('Tzw')

P =

144.0000 40.0000

40.0000 16.0000

F =

-41.0000 -17.0000

gamma2star =

19.1833

Page 112: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

109

Diperoleh hasil sbb:

s = tf('s'); % variabel s, Laplace A = [5 2;3 4]; % matriks A B = [0;1]; % matriks B E = [1;2]; % matriks E C1 = [0 1]; % matriks C1 D1=1;%matriks D1 C2 = [1 1]; % matriks C2 D2 = 1; % matriks D2

Ab = A-B*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks A augmented Bb = B*inv(D2'*D2)*B'; % matriks B augmented Cb = C2'*C2-C2'*D2*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks C augmented P = are(Ab,Bb,Cb) % solusi ricatti untuk mencari P F = -inv(D2'*D2)*(D2'*C2+B'*P) % state feedback Ab1=A-E*D1'*inv(D2'*D2)*C1; Bb1=C1'*inv(D2'*D2)*C1 Cb1=E*E'-E*D1'*inv(D2'*D2)*D1*E';

Q=are(Ab1',Bb1,Cb1); %solusi ricati untuk mencari Q K=-(Q*C1'+E*D1')*inv(D1*D1')

gamma2star = sqrt(trace(E'*P*E)+trace((A'*P+P*A+C2'*C2)*Q))%

nilai H2 infimum %Tzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; % Fungsi alih

closed-loop w ke z Tzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; x = logspace(-2,4);semilogx(x,sigma(Tzw,x)); % plot grafik xlabel('Frekuensi (rad/s)');ylabel('Magnitudo');title('Tzw')

Page 113: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

110

7.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust

Masalah utama dari kontrol robust dapat dibagi menjadi tiga pokok bahasan:

pemodelan ketidakpastian (uncertainty), yaitu membangun model matematis dari

ketidakpastian dari plant dan sinyal gangguan (disturbance). Selanjutnya kedua adalah

analisis robust, jika diberikan sistem lup terbuka dan tertutup, lalu menentukan

kestabilan robust dan atau performansi robust. Ketiga adalah masalah desain kontroler

robust, yaitu merancang kontroler yang menjamin kestabilan robust dan atau

performansi robust.

7.3.1.Ketidakpastian (uncertainty)

Di kuliah ini hanya dibahas tentang ketidakpastian tak terstruktur (unstructured

uncertainty). Gangguan dinamik yang terjadi pada sistem berbeda dapat dibangun

menjadi satu blok gangguan, . Untuk kasus sistem linier invarian waktu, blok dapat

direpresentasikan ke dalam matriks fungsi alih tak tentu. Diberikan sistem aktual (sistem

dengan gangguan), dan model nominal dari sistem fisik, .

1. Gangguan dalam bentuk penambahan

P =

144.0000 40.0000

40.0000 16.0000

F =

-41.0000 -17.0000

Q =

49.7778 23.3333

23.3333 14.0000

K =

-24.3333

-16.0000

gamma2star =

347.2997

Page 114: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

111

Gambar 7.7 Konfigurasi gangguan dalam bentuk penambahan (additive).

Fungsi alih gangguan dalam bentuk penambahan dapat dimodelkan sebagai berikut:

(6.18)

2. Gangguan dalam bentuk perkalian input

Gambar 7.8 Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input

multiplicative).

Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian input dapat dimodelkan sebagai

berikut:

[ ] (6.19)

3. Gangguan dalam bentuk perkalian output

Gambar 7.9 Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input

multiplicative).

Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian output dapat dimodelkan sebagai

berikut:

[ ] (6.20)

Contoh 1: Ketidakpastian waktu konstan

Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:

Page 115: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

112

Plot grafik sistem dengan perturbasi dari .

Syntax MATLAB:

Contoh 2: Ketidakpastian frekuensi alami

Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:

Plot grafik sistem dengan perturbasi dari .

Syntax MATLAB:

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

clear all; T = ureal('T',1,'percentage',10); sys = tf(1,[T,1]); step(sys)

clear all; w = ureal('w',1,'range',[0.9,1.1]); sys = tf(w^2,[1 2*0.5*w w^2]); bode(sys)

Page 116: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

113

Contoh 3: Ketidakpastian model ruang keadaan (state-space)

Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:

{ 0

1 * +

*

+

∈ [ ]

∈ [ ]

∈ [ ]

Plot grafik sistem dengan perturbasi dari .

Syntax MATLAB:

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitude (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0P

hase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

clear all;

m = ureal('m',1,'perc',10);

b = ureal('b',1,'perc',5);

k = ureal('k',1,'perc',20);

A = [0 1;-k/m -b/m];

B = [0;1];

C = [1/m 0];

D = 0; sys = ss(A,B,C,D); bode(usample(sys,30))

% B = usample(A,N) picks N random samples of the uncertainty

in A and eturns these samples in an array B of size [SIZE(A)

N]. A can be an uncertain element, matrix, or system (see

UMAT, USS, UFRD,...).

Page 117: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

114

7.3.2. Kestabilan Robust

Diberikan plant tak tentu dengan gangguan tak terstruktur seperti gambar berikut:

Gambar 7.10 Transformasi bentuk umum sistem kontrol robust ke dalam bentuk

interkoneksi dan blok uncertainty, .

Small gain theory:

Jika stabil dan ‖ ‖ ‖ ‖ , maka sistem yang terhubung akan stabil.

Diasumsikan ‖ ‖ . Sistem dengan ketidakpastian tak struktur jika

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Page 118: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

115

Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk penambahan:

dimana:

dengan fungsi alih

adalah gangguan tak tentu

dan memiliki jumlah pole tak stabil yang sama

Diberikan , masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk penambahan pada

plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut

diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang stabil

untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan . (Definisi

sama dengan terkecuali untuk , sistem tidak harus selalu stabil).

Masalah tersebut ekivalen dengan mencari aksi kontrol suboptimal (dengan

) untuk sistem:

{

(6.21)

Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk perkalian input:

dimana:

dengan fungsi alih

adalah gangguan tak tentu

dan memiliki jumlah pole tak stabil yang sama

Diberikan , masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk perkalian pada

plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut

diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang stabil

untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan . Masalah tersebut

ekivalen dengan mencari aksi kontrol suboptimal (dengan ) untuk sistem

berikut:

Page 119: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

116

{

(6.22)

7.3.3. Linear Transformation Fractional (LFT)

(a) (b)

Gambar 7.11 (a) Diagram blok lower LFT (b) Diagram blok upper LFT

Lower LFT

Persamaan ruang keadaan sistem lower LFT:

* + [

] *

+

(6.23)

Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:

(6.24)

dimana adalah fungsi alih ke untuk lower LFT, diperoleh:

(6.25)

Upper LFT

Persamaan ruang keadaan sistem upper LFT:

* + [

] *

+

(6.26)

Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:

(6.27)

dimana adalah fungsi alih ke upper LFT, diperoleh:

(6.2

Page 120: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

117

7.4. Contoh Kasus

Sistem Mass-Damper-Spring

Suatu sistem massa-peredam-pegas yang memiliki 1 derajat kebebasan (1DOF / 1 Degree-of-Freedom)

digambarkan sebagai berikut.

Gambar 7.12 Sistem Massa-Peredam-Pegas

Persamaan dinamik sistem ini didefinisikan sebagai persamaan turunan orde 2 berdasarkan hukum

kedua Newton.

Keterangan: = jarak perpindahan posisi massa terhadap posisi ekuilibrium

= besar gaya yang menggerakkan massa

= massa

= konstanta peredam

= konstanta pegas

Gambar 7.13 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas

Asumsi nilai dari parameter fisik sistem adalah sebagai berikut.

; ;

Dimana , , disebut sebagai nilai nominal, sedangkan , ,

, disebut gangguan relatif yang mungkin dari ketiga parameter.

Linear Fractional Transformation (LFT) dari parameter di atas didefinisikan sebagai berikut.

Page 121: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

118

[

]

[

]

[

]

Gambar 7.14 Diagram Representasi LFT dari Parameter Ketidakpastian

Gambar 7.15 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas dengan Parameter Ketidakpastian

Dengan substitusi seperti di atas, bentuk persamaan dari semua input terhadap output sesuai dengan

parameter pertubansinya menjadi sebagai berikut.

*

+ [

] *

+

*

+ [

] *

+

*

+ [

] *

+

Asumsi :

, , ,

Page 122: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

119

Sehingga didapat persamaan-persamaan sistem sebagai berikut.

Dengan mengeliminasi variabel dan , persamaan sistem dinamiknya menjadi sebagai berikut.

Asumsikan adalah dinamika input/output dari sistem massa-peredam-pegas yang meliputi

parameter ketidakpastian seperti digambarkan pada gambar 7.5. memiliki 4 buah input ( , ,

, ), 4 buah output ( , , , ) dan 2 buah state ( , ).

Gambar 7.16 Blok Diagram Input/Output Sistem Massa-Peredam-Pegas

Representasi dalam bentuk state space

*

+

dengan

0

1 , 0

1 , 0

1

*

+ , *

+ , *

+

Page 123: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

120

[ ] , [ ] ,

Berdasarkan penurunan di atas, bergantung pada , , , , , dan persamaan

differensial dari terhadap . Sehingga adalah fungsi yang sudah diketahui dan tidak

mengandung parameter ketidakpastian.

Syntax MATLAB:

Setelah dibuat fungsi yang dapat mewakili system massa-peredam-pegas, langkah berikutnya adalah

merancang kontrol robust. Kontrol robust dirancang dengan menggunakan H∞.

Syntax MATLAB:

Didapat kontrol optimal K_hin:

Sehingga didapat nilai:

‖ ‖ ‖ ‖

Menurut Small Gain Theorem, kestabilan robust tercapai saat:

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

Dari hasil didapat bahwa:

clear all;

%parameter sistem m = 3; c = 1; k = 2; pm = 0.4; pc = 0.2; pk = 0.3;

%matriks sistem A = [0 1; -k/m -c/m]; B1 = [0 0 0; -pm -pc/m -pk/m]; B2 = [0; 1/m]; C1 = [-k/m -c/m; 0 c; k 0]; C2 = [1 0]; D11 = [-pm -pc/m -pk/m; 0 0 0; 0 0 0]; D12 = [1/m; 0; 0]; D21 = [0 0 0]; D22 = 0;

G = ss(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);

Gp = pck(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);

%Kontrol Robust Hinfinity nmeas = 1; %number of measurements

ncon = 1; %number of controls

gmin = 0.1; %lower bound of bisection

gmax = 10; %upper bound of bisection

tol = 0.001; %absolute tolerance for the bisection method

[K_hin,clp] = hinfsyn(Gp,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol);

% K_hin : the (sub)optimal controller

% clp : the closed-loop system

Page 124: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

121

‖ ‖ ‖ ‖

Sehingga system massa-peredam-pegas dengan kontrol H∞ di atas terbukti kestabilan robustnya.

Page 125: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

122

BAB 8

CONTOH KASUS APLIKASI KENDALI OPTIMAL DAN

KENDALI KOKOH

Page 126: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

123

BAB 8 CONTOH KASUS APLIKASI KENDALI OPTIMAL DAN KENDALI KOKOH

8.1. Desain kendali LQR untuk motor DC

Pada contoh kasus ini, sebuah motor DC yang digunakan sebagai aktuator reaction wheel pada aplikasi satelit [ ], seperti pada gambar dibawah

Roll Axis

Pitch Axis

Yaw Axis

Reaction Wheel (Pitch)

Reaction Wheel (Roll)

Gambar 8.1. Nano-satellite with reaction wheel construction

Adapun rangkaian skematik motor DC nya, dapat ditunjukkan berikut ini: .

Gambar 8.2. Rangkaian skematik motor DC

Persamaan dinamis elektrik motor DC diatas dapat diturunkan menggunakan hukum Kirchoff tentang tegangan berikut ini:

∑ (8.1)

(8.2)

(8.3)

Kemudian, persamaan dinamik putaran mekaniknya:

(8.4)

(8.5)

Laju anguler dari reaction wheel akan proporsional dengan putaran motor DC, sehingga

persamaannya menjadi:

Page 127: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

124

(8.6)

Penjelasan masing-masing parameter, sebagai berikut:

Parameter Deskripsi

J Inersia (termasuk roda)

Kb Konstanta EMF balik

Kt Konstanta Trosi

B Rasio redaman

L Induktansi motor

R Resistansi motor

Kita bisa menyusun ruang keadaan (state space) sistem berdasarkan persamaan dinamik diatas,

berikut ini:

(8.7) (8.8)

Dengan aksi kendali untuk sistem umpan balik keadaan, (8.9)

maka persamaan (8.7) diatas menjadi (8.10)

Lebih lengkapnya, sebagai berikut:

*

+ *

+ [

] [ ] [

] (8.11)

[ ] [ ]

Permasalahan yang akan diselesaikan disini adalah mendesain aksi kendali sekaligus

meminimalkan indeks performansi berikut ini:

(8.12)

Indeks performansi (8.12) diatas merupakan bentuk lain dari persamaan umum fungsi biaya

quadratik yang dipakai dalam desain kendali optimal LQR berikut:

(8.13)

Gain umpan balik yang akan dicari:

(8.14) Dengan diperoleh dari persamaan aljabar Riccati

(8.15)

Hasil simulasi

Motor DC yang digunakan, produksi Faulhaber, memiliki parameter sebagai berikut:

Jika diberikan rasio kecepatan angular satelit nano dan motor DC sama dengan 0.002, maka kita peroleh sistem keadaan berikut ini:

*

+ [

] [

] [

]

[ ] [ ]

Page 128: PENGANTAR KONTROL MAJU - Erwin Susantoerwinelektro.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2014/01/Kendali... · konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern ... Latihan

125

Menggunakan penyelesaian persamaan Riccati, maka gain umpan baliknya sebagai berikut: [ ]

Selanjutnya, nilai matriks A menjadi :

[

]

Kemudian, nilai eigen yang diperoleh adalah -26133.3 , -0.33+0.33i, -0.33 - 0.33 i. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sistem dapat stabil.

Tanggapan attitude satelit nano, dengan dan tanpa kendali LQR dapat dilihat dibawah ini: .

Gambar 8.3 Tanggapan keluaran

8.1. Desain kendali guaranteed cost untuk motor DC pada reaction wheel

Silakan merujuk ke Erwin Susanto, A DC Motor-Reaction Wheel Control Design via Guaranteed Cost

Output Feedback Controller of Uncertain Neutral Systems, ICIC-EL, Vol 9, No 10, October 2015, pp

2717-2722