Kapittel 2

SPENNING

Kapittel 2Spenning

NASA

Kapittel 2

SPENNING

Spenning på et plan (”traction”)

vσ = lim

ΔA→0(ΔF / ΔA)

Spenning på et punkt på en flate:

SI-enheten for kraft (F) er 1 kp = 9.81N (kgm/s2). 1 N (Newton) er ved jordens overflate den kraften som utøves av vekten av 102 g.

Ofte brukes likevel enheten dyne, der 1 dyne (g.cm/s2) = 10-5 N.

Kapittel 2

SPENNING

Spenning på et plan

Krefter og spenninger er forskjellige begreper. Kraftvektorer kan adderes ved vanlig vektoraddisjon, ikke spenningsvektorer, som avhenger av arealet de virker på.

Normal-komponenter

Planets orienteringF normalt på planet

F i planet

Kapittel 2

SPENNING

Spenning på et plan

Skjærkomponenter

Planets orienteringF normalt på planet

F i planet

(arealet = 0, => ingen spenning)

Kapittel 2

SPENNING

Positive og negative spenninger

Kompresjon er positiv i geologi (ikke i ingeniørgeologi)

Kapittel 2

SPENNING

Spenningstilstanden i et punkt

Spenningsellipsen: Viser spenningen over plan med forskjellige orienteringer gjennom punktet i 2D

Kapittel 2

SPENNING

Spenningstilstanden i et punkt

Spenningsellipsoiden: Viser spenningen over plan med forskjellige orienteringer gjennom punktet i 3D.Aksene representerer hovedspenningene σ1, σ2 and σ3

Kapittel 2

SPENNING

Spenningstilstanden i et punkt

Spenningene på flatene til en kube som er “uendelig” liten: 9 komponenter, 6 uavhengige

Kapittel 2

SPENNING

Spenningstilstanden i et punkt:Spenningstensoren (matrisen)

Spenningene på flatene til en kube som er “uendelig” liten: 9 komponenter, 6 uavhengige

σ11 σ 12 σ 13

σ 21 σ 22 σ 23

σ 31 σ 32 σ 33

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Dersom kuben ligger i ro er σ12=σ21, σ31=σ13 og σ23=σ32,

σ11 σ 12 σ 13

σ 12 σ 22 σ 23

σ 13 σ 23 σ 33

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

9 komponenter

6 uavhengige komponenter

Kapittel 2

SPENNING

Spenningstilstanden i et punkt:Spenningstensoren (matrisen)

Dersom vi orienterer koordinatsystemet slik at skjærspenningene blir null langs kubens flater:

3 diagonale komponenter som er hovedspenningene.

Kolonnene er tre vektorer som er hovedspenningsvektorene (aksene til spenningsellipsoiden)

σ11 0 0

0 σ 22 0

0 0 σ 33

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

σ 1 0 0

0 σ 2 0

0 0 σ 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Kapittel 2

SPENNING

Deviatorisk spenning og middelspenning

Deviatorisk spenning er forskjellen mellom middelspenningen og den totale spenningen: σdev=σtot-σm

Middelspenningen σm (”mean stress”) er middelverdien av de tre hovedspenningene: σm=(σ1+σ2+σ3)/3

Kapittel 2

SPENNING

På matriseform:

Total spenning

σ11 σ 12 σ 13

σ 12 σ 22 σ 23

σ 13 σ 23 σ 33

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

σm 0 0

0 σ m 0

0 0 σ m

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

σ 11 − σ m σ 12 σ 13

σ 12 σ 22 − σ m σ 23

σ 13 σ 23 σ 33 − σ m

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Middelsp.(isotrop del)

Deviatorisk spenning(anisotrop del)

Deviatorisk spenning og middelspenning

Kapittel 2

SPENNING

•Normal- og skjærspenningsrom, forskjellig fra det fysiske rommet vi vanligvis tenker på.•Bruker doble vinkler. Derfor plotter begge (alle) hovedspenningsverdier langs horisontalaksen

Mohrs sirkel

Kapittel 2

SPENNING

•Sirkelen har differensiell spenning (σ1-σ3) som

diameter.•Ethvert punkt på sirkelen representerer et plan.•Diagrammet har informasjon om skjær- og normalspenningen på planet (leses av på aksene)

Mohrs sirkel

Kapittel 2

SPENNING

Mohrs sirkel for 3D og noen viktige spenningstilstander