Matematik 4Kap. 2 Trigonometri och grafer

Innehåll

2.1 Trigonometriska kurvor2.2 Radianbegreppet2.3 De trigonometriska funktionernas derivator2.4 Tillämningar och problemlösning

2.1 Trigonometriska kurvor

3

TRIGONOMETRI OCH DERIVATOR

4

TRIGONOMETRISKA KURVOR

5

Vilken av dessa kurvor är y = sin x resp. y = cos x ?

y = sin x

y = cos x

AMPLITUD

6

y = sin x

y = 2sin x

y = 3sin x

Vilken kurva är vilken?

PERIOD

7

Vad händer med perioden när man ändrar enkurva från sin x till sin 2x?

Vad menas med period?Den blå kurvans period

Den röda kurvans periodsiny x sin 2y x

Vad tror du händer med perioden när man ändrar enkurva från sin x till sin 0,5x?

PERIOD

8

Vilken av dessa kurvor är y = sin (x), y = sin (2x) resp. y = sin (x/2) ?

Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (2x)?

Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (x/2)?

siny x sin 2y x sin2

xy

FÖRSKJUTNING AV KURVOR

9

y = sin (x)

y = sin(x - 40°) 40

°Kurvan y = sin (x) har förskjutits 40° åt höger.

FÖRSKJUTNING AV KURVOR

10

y = sin (x)

y = sin(x + 50°)

Kurvan y = sin (x) har förskjutits 50° åt vänster.

50°

EN KURVA AV TYPEN y = a sin bx

11

y = sin (x)

y = 2 sin(2x)

y = a sin (bx) y = 2 sin(2x) a = 2 & b = 2

(Perioden är halverad och amplituden är dubblerad)

KURVTYPEN y = a sin b(x-v)

12

y = sin (x)

y = 2 sin3(x – 20°)

Kurvan y = sin (x) har förskjutits 20° åt höger. Den har perioden 120° (360/3) och amplituden 2.

KURVTYPEN y = a sin b(x-v)

13

2sin 3 – 2

2sin 3 60°

0y x

z x

Är dessa två funktioner samma sak?

f(x)=2sin(3(x-20))

-π/2 π/2

-3

-2

-1

1

2

3

x

y f(x)=2sin(3x-60)

-π/2 π/2

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

KURVTYPEN y = a sin b(x-v)

14

KURVAN y = sin x - 2

15

y = sin (x)

y = sin(x) - 2

-2

Kurvan y = sin (x) har förskjutits 2 enheter nedåt.

KURVAN y = tan(x)

16

asymptot

90°

x

xx

cos

sintan

-90°

Tangens period = 180°

Asymptot

17

KURVAN y = a sin x + b cos x

18

Skriv om uttrycket på formenxxy cos8sin6 ).sin( vxmy

Uppgift 2162 a) (Sid. 89)

22 86 m 101006436

3

4

6

8tan v

542...53,1301023

3

4tan 1v

)1,53sin(10 xySvar:

KURVAN y = a sin x + b cos x

19

6sin 8cos 10sin( 53,1 )y x x y x

f(x)=6sin(x)+8cos(x)

-270 -180 -90 90 180 270

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y10?

+53,1°?

10

53,1°

KURVAN y = a sin x + b cos x

20

2.2 Radianbegreppet

21

RADIANBEGREPPET

22

RADIANBEGREPPET

23

Radianer är definierade som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln.

RADIANBEGREPPET

24

Eftersom enhetscirkeln har radien 1 så blir dess omkrets 2π. Ett helt varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad. Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,295°.

[ Cirkelns omkrets = diameter × π I enhetscirkeln: 2 × π ]

GRADER RADIANER

25

360 2

180

90 2

60 3

45 4

Bra att kunna

utantill.

GRADER RADIANER

26

DEGRAD 2

360

RADDEG 360

2

DEG = Degrees (grader)RAD = Radianer

ETT HELT VARV

360

2

Grader:

Radianer:

Gon (tidigare benämnd nygrad)Ett vinkelmått avpassat efter decimal systemet är nygrader (gon, grade). Systemet kallas centesimalsystemet.1 rätt vinkel (90º) indelas i 100 nygrader (100g, grade)1g indelas i 100 nyminuter (100c, centesimal minute)1c indelas i 100 nysekunder (100cc, centesimal secunde) I lantmäteri anges vinkel i gon.På miniräknare beteckningen ”DEG" för grader och ”GRA" eller ”GON" för nygrader. Källa: http://matmin.kevius.com/vinkel.php

GRADER RADIANER

27

Ett exempel:

Deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner

28

jämför

ln 1eOBS!

CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA

29

2360

vb r

Cirkelbågens längdVinkeln mäts i grader

Vinkeln mäts i radianer

Cirkelsektorns areaVinkeln mäts i

graderVinkeln mäts i radianer

rvrv

b

22

2 2360 360 2

v v rA r r

22

22 rvr

vA

22 2360

vrr b r

A

222

2 rbrrvrvA

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

30

Hur kan man se detta i DESMOS?

Derivatan av trigonometriska funktioner

Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriskafunktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?

Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först ställts in på radianer och sedan på grader (degree).

OBS! 1 RAD 57,2957795130823°

Derivatan av trigonometriska funktioner

Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriskafunktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?

OBS! /4 RAD = 45°

Derivatan av trigonometriska funktioner

En liten film som visar varför man skall använda radianernär man använder derivatan till trigonometriska formler.

http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner

Derivatan av sammansatta funktioner

Kedjeregeln

Kedjeregeln

4

43

5

3

53

2 3 4

2

2

'

4

'

4

3

3' 15 ( )

5

5 4 4

p x

p

z x

z

y x

y

x

x x x

x

x

Jag har matat in en funktion på Y1 och en på Y2 i minräknare. Sedan slog jag följande:

Vad kan man säga om relationerna mellan funktionerna Y1 och en på Y2 ?

Y2 är derivatan till Y1. Varför ger beräkningarna inte exakt samma resultat?

Kedjeregeln

Kedjeregeln

4cos ' 4sin

3 '2 2

4cos 32

' 4sin 3 4 sin 3 2 sin 32 2 2 2 2

p x p x

z x z

y x

y x x x

Kedjeregeln4

1Bestäm derivatan av ( )f x

x x

4

1

1

2

1( )

1( )

( )

f xx x

g x x xx x

h x x x x x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Kedjeregeln4

1Bestäm derivatan av ( )f x

x x

4 3

1 2

1 1

2 2

1 1( ) '( ) 4 '( )

1( ) '( ) '( )

1( ) '( ) 1

2

f x f x g xx x x x

g x x x g x x x h xx x

h x x x x x h x x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Kedjeregeln4

1Bestäm derivatan av ( )f x

x x

4 3

1 2

1 1

2 2

32

3 122

1 1( ) '( ) 4 '( )

1( ) '( ) '( )

1( ) '( ) 1

2

1'( ) 4 '( )

1 1'( ) 4 1

2

f x f x g xx x x x

g x x x g x x x h xx x

h x x x x x h x x

f x x x h xx x

f x x x xx x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Kedjeregeln4

1Bestäm derivatan av ( )f x

x x

4 3 12

21 1 1

( ) '( ) 4 12

f x f x x x xx x x x

TEST!

Inmatat i räknaren:

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Hur skall vi tolka resultatet?

Kedjeregeln4

1Bestäm derivatan av ( )f x

x x

3 12

21 1

'( ) 4 12

f x x x xx x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

I facit står det:

5

2 4'( )

xf x

x x x

Är det samma sak? Hur kan man kolla det?

Kedjeregeln

3 122

5

1 1 2 4'( ) 4 1 '( )

2

xf x x x x f x

x x x x x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Är dessa båda samma sak?

Omvandling

3 1

25

2 2 4'( ) '( )1

1 1

24 x

xf x f x

x x xx x

x x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Att omvandla VL till HL.

Skriver om blå

31 1 1 1

4 4x x x x x x x x

Skriver om röd

2

2 1 1 11 1x x

x x x x x x

Multiplicerar blå med röd

5 5

5 5

1 1 1 1 41 4 4

1 1 14

x x x x x x x x x xx x x x x x

Omvandling

3 1

25

2 2 4'( ) '( )1

1 1

24 x

xf x f x

x x xx x

x x

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Att omvandla VL till HL.

Multiplicerar produkten med grön

5

1

5

5 5

25 5

5

1 1 1 1 2 1 21 1

2 2

4 4 4 4

2 2 44 8 2 4

2 2

2 2 2x x x x x x x x

xx x

x x x

x xx

x x x

x x xx x x

x

Q.E.D.