K-teor a hermitiana algebraica bivariante

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematica

K-teorıa hermitiana algebraica bivariante

Tesis presentada para optar al tıtulo de Doctor de la Universidad de Buenos Airesen el area Ciencias Matematicas

Santiago Javier Vega

Director de tesis y Consejero de estudios: Dr. Guillermo Cortinas

Ciudad Autonoma de Buenos Aires, Argentina. 21 de julio 2021

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Hermitian bivariant algebraic K-theorySummary

Consider a commutative ring ` with involution with an element λ ∈ ` such thatλ+λ∗ = 1; write Alg∗` for the category of `-algebras with involution compatible withthat of `, which we call ∗-algebras. In this thesis we develop a triangulated categorykkh and a functor jh : Alg∗` → kkh which we call bivariant algebraic hermitian K-theory ; the functor jh satisfies homotopy invariance, matrix and hermitian stabilityand is an excisive homology theory for extensions which are linearly split.

We also define a Weibel style homotopy invariant hermitian K-theory which wedenote as KHh

∗ . We show that the category kkh recovers KHh0 as a representable

functorhomkkh(`, A) ∼= KHh

0 (A).

We construct functors εU and εV which correspond to desuspensions of the functorsU ′ and V ′ in Karoubi’s Fundamental Theorem: for a unital R ∈ Alg∗` there is anelement θ0 ∈ Kh

2 (U ′2R) which the cup product induces an isomorphism

εKh∗ (V ′(R)) ∼= −εK

h∗+1(U ′(R)).

We prove an adjunction between kkh and the bivariant algebraic K-theory kk asdefined by Cortinas and Thom and use it to prove a version of Karoubi’s theoremin kkh: the product with the image of θ0 in KHh

0 (U2`) induces an isomorphism inkkh

jh(εV A) ∼= Ωjh(−εUA)

for any A ∈ Alg∗` . This allows us to obtain a bivariant homotopic version of theclassical 12-term exact sequence of Karoubi for hermitian K-theory.

Keywords: hermitian algebraic K-theory, Karoubi’s fundamental theorem, ho-motopy hermitian K-theory, bivariant algebraic K-theory, bivariant Witt groups

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K-teorıa algebraica hermitiana bivarianteResumen

Consideremos un anillo conmutativo ` con involucion con un elemento λ ∈ ` tal queλ+λ∗ = 1; sea Alg∗` la categorıa de `-algebras con involucion compatible con la de `que llamamos ∗-algebras. En esta tesis desarrollamos una categorıa triangulada kkh yun funtor jh : Alg∗` → kkh que llamamos K-teorıa hermitiana algebraica bivariante;el funtor jh satisface invarianza homotopica, estabilidad matricial y hermitiana y esuna teorıa de homologıa escisiva para extensiones que se parten linealmente.

Tambien definimos una version invariante homotopica estilo Weibel de la K-teorıa hermitiana que notamos como KHh

∗ . Mostramos que la categorıa kkh recuperaKHh

0 como funtor representable

homkkh(`, A) ∼= KHh0 (A).

Construimos funtores εU y εV que se corresponden con desuspensiones de los fun-tores U ′ y V ′ en el Teorema Fundamental de Karoubi: para R ∈ Alg∗` unital hay unelemento θ0 ∈ Kh

2 ((U ′2)R) cuyo producto cup induce un isomorfismo

εKh∗ (V ′(R)) ∼= −εK

h∗+1(U ′(R)).

Probamos una adjuncion entre kkh y la K-teorıa algebraica bivariante kk definidapor Cortinas y Thom y la usamos para probar una version del teorema de Karoubien kkh: el producto con la imagen de θ0 en KHh

0 (U2`) induce un isomorfismo en kkh

jh(εV A) ∼= Ωjh(−εUA)

para todo A ∈ Alg∗` . Esto nos permite obtener una version bivariante homotopicade la clasica sucesion de 12 terminos de Karoubi para la K-teorıa hermitiana.

Palabras clave: K-teorıa hermitiana algebraica, teorema fundamental de Ka-roubi, K-teorıa hermitiana homotopica, K-teorıa algebraica bivariante, grupos bi-variantes de Witt

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Agradecimientos

Siempre digo que la tarea de agradecer es ardua porque pocas palabras a vecesno alcanzan para expresar la gratitud. Espero que nadie se ofenda por omision.

No puedo empezar esto sin agradecerle a mis papas. Todos los anos de mi edu-cacion me apoyaron para que siguiera lo que realmente quisiera y me dieron todaslas herramientas para poder afrontar muchos de los problemas con los que me fuicruzando en estos anos. Todos los dıas me alentaron a que no bajara los brazos yque intentara hacer las cosas con lo mejor de mı. Siempre fueron mi norte y meenorgullece todos los dıas ser su hijo. Cada paso que conseguı y conseguire, siempreestuvo y estara dedicado, en algun lugar de mi corazon, a ustedes. Tampoco puedodejar de mencionar a Sofi que en sus propios modos, me brinda un apoyo que esinmensurable y un carino que me hace ver las cosas de manera tal que se que es loimportante al final.

Gracias a “los vices”, especialmente a Carlo, Gonchu, Manu y Tinchin por escu-charme rezongar estos anos y bancarme en momentos debiles. Son geniales amigosque siempre tuvieron una oreja levantada para saber escuchar.

En esa lınea tambien quiero darle las gracias a Dani K. y a Fran, personas con lascuales siento que funde una amistad muy especial durante mi doctorado. A ambosgracias por las charlas que pasaron desde la vida, la filosofıa y la matematica comotambien por cualquier sarta de temas sin ningun tipo de hilo conductor ni relevancia.

Gracias Willie por ayudarme a concretar este trabajo y por el laburo que hicis-te para que esto saliera adelante. Gracias tambien por ayudarme a escribir mejormatematica y soportar mis burradas de atolondrado.

Quiero dar unas gracias especiales a Euge, Gise y Ema, que en un momento demucho desencanto me hicieron redescubrir por que me gusta la matematica. Disfrutemucho de las tardes en Montevideo llenas de mate y mirar fijo un pizarron.

Por ultimo quiero agradecerle a Annie, que en el ano y monedas que convivimos,se ha vuelto una persona esencial en mi vida junto a los tres momitos de DLC&Co.(Devin, Crixus y Lirio). En este ultimo ano difıcil y lleno de obstaculos, me motivastedesde el dıa uno a encontrar como llevar este trabajo y me apoyaste en todo elproceso de escribir esta tesis. Este trabajo seguramente serıa muy distinto sin todoel amor y carino que me diste para que finalmente se terminara. Gracias por todaslas charlas que compartimos, luchando contra la bronca y la frustracion, que sehicieron soportables gracias a vos. Me cambiaste la vida e independientemente delo que pase en el futuro, nunca lo voy a olvidar. Obviamente Devin, Crixus y Lirioaportaron su carino gatuno que tambien agradezco enormemente y el cual tambiensiento que me cambio enormemente.

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Introduccion

Desde que se introdujo la K-teorıa bivariante de Kasparov KK para las C∗-alge-bras [Kas80], el teorema de Higson sobre la universalidad de KK [Hig87] y el trabajofundacional de Cuntz sobre teorıas bivariantes [Cun87; Cun05], el desarrollo de ver-siones bivariantes de la K-teorıa ha sido util e importante en muchos contextos. Estova desde aplicaciones en la conjetura de Baum-Connes, la teorıa de clasificacion deC∗-algebras como el programa Elliott y el Teorema de Kirchberg-Philips, pero tam-bien para poner algunas construcciones en diferentes versiones de K-teorıa — entrediferentes versiones topologicas como C∗-algebras, Banach (∗-) algebras y algebrasbornologicas y tambien K -teorıa algebraica — en un terreno comun. Tambien hasido sido muy fructıfera en probar algunos casos de la conjetura de Baum-Connes.

Cortinas y Thom desarrollaron en [CT07] una version bivariante de la K-teorıaalgebraica que posee muchas similitudes con KK, adaptando algunas propiedades aun contexto algebraico. Sea ` un anillo conmutativo y notemos Alg` por la categorıade algebras (asociativas) sobre `. Fijemos tambien una categorıa subyacente U paraAlg` entre la de conjuntos o la de `-modulos y un funtor de olvido F : Alg` → U.Cortinas y Thom construyen una categorıa triangulada kk que tiene los mismosobjetos que Alg` junto a un funtor j : Alg` → kk que es la identidad en los objetosy satisface:

Estabilidad matricial: la inclusion natural de A→M∞A en la esquina superiorizquierda se aplica en un isomorfismo a traves de j.

Invarianza homotopica polinomial: la inclusion A → A[t] como constantes seaplica en un isomorfismo a traves de j.

El funtor j es una teorıa de homologıa escisiva para extensiones que se partenen U, es decir, para una extension

0→ A→ B → C → 0

en Alg` que tiene una seccion F (C) → F (B), hay un morfismo natural (conrespecto a las extensiones) ∂ : Ωj(C)→ j(A) tal que

Ωj(C)→ j(A)→ j(B)→ j(C)

es un triangulo en kk.

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Ademas, para cualquier categorıa triangulada T y funtor H : Alg` → T que satisfagalas propiedades mencionadas anteriormente, existe un unico funtor triangulado H :kk → T tal que H = H j. Una propiedad muy importante de kk es que recuperala K-teorıa homotopica de Weibel como funtor representable

homkk(`, A) ∼= KH0(A).

Ha habido construcciones alternativas de kk por Garkusha — quien tambienconstruyo versiones bivariantes de la K-teorıa sin estabilidad matricial — [Gar13;Gar14; Gar16] y Rodrıguez Cirone [Rod20]. Ademas, ha habido generalizaciones dela construccion original de kk a algebras con una accion de un grupo y algebras gra-duadas por grupos [Ell14] y para algebras con acciones de grupos cuanticos [Ell18].

En esta tesis construimos una generalizacion de kk que incorpora algebras coninvolucion: para un anillo R, una involucion es un morfismo de anillos (−)∗ : R →Rop con (r∗)∗ = r. Supongamos ahora que ` tiene una involucion y un elemento λque satisface

λ+ λ∗ = 1. (Intro.1)

Consideremos la categorıa Alg∗` de `-algebras con involucion compatible con la in-volucion de `.

Sea R ∈ Alg∗` unital y ε ∈ R central unitario (i.e. ε−1 = ε∗). Un elementoφ ∈ R es llamado ε-hermitiano si φ∗ = εφ. Para un elemento ε-hermitiano inversible,definimos Rφ como el ∗-anillo que es igual a R como anillos pero con involucion

rφ = φ−1r∗φ.

Cuando AER es un ∗-ideal, esta involucion se restringe a una nueva involucion enA y tambien escribimos Aφ para A equipado con involucion. Decimos que un funtorH : Alg∗` → C es hermitiano estable si para cualquier R ∈ Alg∗` unital y A E Ry elementos ε-hermitianos inversibles φ, ψ ∈ R, la inclusion en la esquina superiorizquierda

iφ : Aφ →M2(A)φ⊕ψ

se aplica en un isomorfismo a traves de H.En el Capıtulo 3 construimos una categorıa triangulada kkh que tiene los mismos

objetos que Alg∗` junto con un funtor jh : Alg∗` → kkh que es la identidad en losobjetos. Una de las piezas clave de esta construccion es la capacidad de arreglaralgunas homotopıas polinomiales estandar que ocurren comunmente en K-teorıa(como las homotopıas de rotacion) que no preservan la involucion, esto se solucionaprincipalmente con el Lema 1.2.3; la existencia del elemento λ ∈ ` es esencial. Elresultado principal del Capıtulo 3 es el siguiente:

Teorema (Teorema 3.2.17 y Teorema 3.2.20) Hay una categorıa triangulada kkh

y un funtor de teorıa de homologıa escisiva jh : Alg∗` → kkh que es matricialmentey hermitiano estable e invariante homotopico polinomial.

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Mas aun, el funtor jh : Alg∗` → kkh es universal entre las teorıas de homogıaescisivas que son matricialmente y hermitiano estables e invariante homotopica po-linomial.

Para un anillo unital con involucion R y un elemento unitario central ε ∈ R,recordemos los espectros de K-teorıa algebraica hermitana εK

h(R) como estan de-finidos en [Lod76]. En el Capıtulo 2 definimos una version invariante homotopicaestilo Weibel de εK

h∗ (R) que denotamos εKH

h∗ (R).

En el Capıtulo 4 discutimos algunos calculos estandar como la clasificacion de laimagen a traves de jh de coproductos, el algebra de Toeplitz y el algebra de Cohnde un grafico finito y tambien probamos el analogo algebraico de la sucesion dePimsner-Voiculescu. Tambien mostramos el siguiente resultado:

Teorema (Teorema 4.2.1) Hay un isomorfismo natural:

homkkh(`, A) ∼= KHh0 (A). (Intro.2)

Para un ∗-anillo unital R, hay aplicaciones naturales entre los espectros de la K-teorıa y los espectros de K-teorıa hermitiana inducidas por la aplicacion hiperbolicay el olvido

hyp :K(R)→ εKh(R) forg :εK

h(R)→ K(R)

Escribamos εU(R) y εV(R) para las fibras homotopicas de estas aplicaciones. Su-pongamos que R tiene un elemento λ como en (Intro.1). El Teorema Fundamentalde Karoubi para la K-teorıa hermitiana [Kar80] muestra que hay equivalencias ho-motopicas naturales

εV(R) ∼ Ω−εU(R).

Ademas, Karoubi construye funtores U ′, V ′ para anillos con involuciones que danequivalencias homotopicas:

εKh(U ′R) ∼ εU(R) εK

h(V ′R) ∼ εV(R)

Karoubi tambien muestra que hay una equivalencia natural

εKh(U ′V ′R) ∼ −εKh(R).

Entonces, podemos reformular el teorema fundametal de Karoubi como la equiva-lencia

εKh(R) ∼ Ω2

−εKh((U ′)2R). (Intro.3)

La equivalencia (Intro.3) es inducida por el producto cup con un elemento θ0 ∈−1K

h2 ((U ′)2(Z)).

En el capıtulo 5 mostramos que kkh tiene una adjuncion con kk que es analo-ga a las aplicaciones hyp y forg en la version homotopicamente invariante. Luegoconstruimos funtores εU, εV : Alg∗` → Alg∗` tales que al componer con el funtor deK-teorıa hermitiana algebraica homotopica recuperamos las versiones homotopicasde los grupos de homotopıa εV y εU a menos de un cambio de grado. Utilizandoel adjunto antes mencionado mostramos que εU y εV tienen propiedades analogas

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en kkh a las de U ′ y V ′ para la K-teorıa hermitiana. Sea θ la imagen de θ0 en

−1KHh0 (U2`). El resultado principal del Capıtulo 5 es

Teorema (Teorema 5.3.1 y Corolario 5.3.2) El producto con θ induce para cadaA ∈ Alg∗` un isomorfismo en kkh:

jh(A) ∼= jh(−1U2(A)), (Intro.4)

que da un isomorfismo en kkh

jh(εV A) ∼= Ωjh(−εUA).

Sea R un ∗-anillo unital con un elemento λ que satisface (Intro.1). La involucionde R induce una involucion g → (g∗)−1 en GL∞(R) que a su vez induce una accionnatural de Z/2 en K∗(R); para x ∈ Kn(R) notamos x para esta accion. Recordemoslos grupos de Witt y coWitt εWn(R) y εW

′n(R) y notemos kn(R) y k′n(R) para

los Z/2-grupos de cohomologıa de Tate de Kn(R) con la accion antes mencionada.Utilizando la equivalencia (Intro.3), Karoubi muestra que hay una sucesion exactade 12 terminos

kn+1(R) −εWn+2(R) εW′n(R) k′n+1(R) −εW

′n+1(R) −εWn(R)

Wn+1(R) W ′n+1(R) k′n+1(R) −εW

′n(R) Wn+2(R) kn+1(R)

Al final del Capıtulo 5, mostramos que para la adaptacion bivariante de estos grupos(Definicion 5.3.6) tenemos una sucesion exacta de 12 terminos (Teorema 5.3.7)

kn+1(A,B) −εWn+2(A,B) εW′n(A,B) k′n+1(A,B) −εW

′n+1(A,B) −εWn+1(A,B)

εWn+1(A,B) εW′n+1(A,B) k′n+1(A,B) −εW

′n(A,B) εWn+2(A,B) kn(A,B)

El resto de esta tesis esta diagramada de la siguiente manera. En el Capıtulo 1discutimos conceptos preliminares y probamos algunos lemas utiles que usaremos alo largo la tesis. En el capıtulo 2 recordamos la construccion de la K-teorıa hermitia-na, definimos KHh y probamos algunas propiedades basicas; tambien discutimos laestructura del producto de Kh y como pasa a KHh. Terminamos el capitulo recor-dando el Teorema Fundamental de Karoubi para la K-teorıa algebraica hermitiana.En el Capıtulo 3 construimos la categorıa kkh y el funtor jh : Alg∗` → kkh; primeroprobamos los lemas tecnicos necesarios para construir los conjuntos de morfismosy luego mostramos algunas de sus propiedades como una categorıa triangulada ycomo jh es una teorıa de homologıa universal con estabilidad matricial, invarianzahomotopica y estabilidad hermitiana. En el Capıtulo 4 procedemos desarrollamosalgunos ejemplos y probamos (Intro.2). En el capıtulo 5 mostramos la adjuncion en-tre kkh y kk y construimos los funtores U, V ; probamos algunas de sus propiedadespara mostrar (Intro.4) y obtener la sucesion exacta de 12 terminos a partir de ella.

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Indice general

1. Preliminares 11.1. Anillos y algebras con involucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Homotopıas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Ind-∗-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. ∗-Cuasi-homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. K-teorıa Hermitiana Algebraica 202.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Productos cup en KHh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Teorema fundamental de Karoubi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. K-teorıa Hermitiana Algebraica Bivariante 293.1. La categorıa kkh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. jh como teorıa de homologıa escisiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Ejemplos y la comparacion con KHh 464.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2. Comparacion de con KHh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. El Teorema Fundamental de Karoubi en kkh 555.1. Los funtores ind, res y Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2. Los funtores U y V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3. Version bivariante del teorema fundamental de Karoubi . . . . . . . . 59

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Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Anillos y algebras con involucion

Fijemos un anillo conmutativo `. Una `-algebra es un anillo A junto con unaestructura de `-modulo simetrica tal que el producto es `-bilineal. Supongamos que` tiene una involucion: un isomorfismo de anillos ∗ : `→ òp = `, tal que (x∗)∗ = x,para todo x ∈ `. Una ∗-algebra sobre `, es una `-algebra A junto con una involucion∗ : A→ Aop que es semilineal con respecto a la accion como modulo:

(xa)∗ = x∗a∗ para x ∈ ` y a ∈ A.

Un morfismo de `-algebras es un morfismo de anillos que tambien es un morfismode `-modulos. Notamos Alg` como la categorıa de `-algebras con morfismos de `-algebras y Alg∗` para la categorıa de ∗-algebras sobre ` con ∗-morfismos, es decir,morfismos de `-algebras que preservan la involucion. Un ∗-ideal en una ∗-algebra esun ideal de dos lados que es cerrado bajo la accion de ` y bajo la involucion. Para un∗-ideal I EA, el cociente A/I tambien es una ∗-algebra con la involucion inducida.

Ejemplo 1.1.1. Para cualquier anillo conmutativo `, la identidad id : ` → ` esuna involucion; la llamamos la involucion trivial. En el caso de ` = Z es la unicainvolucion y AlgZ = Rings es la categorıa de anillos; la categorıa Rings∗ = Alg∗` sedenomina la categorıa de ∗-anillos.

Ejemplo 1.1.2. Sean A y B ∗-algebras sobre `. El producto tensorial A⊗`B es una∗-algebra sobre ` con involucion (a⊗ b)∗ = a∗⊗ b∗. En algunos casos escribimos LApara L⊗À y L : Alg∗` → Alg∗` para el funtor inducido por tensorizar con L. Exceptocuando se indique explıcitamente, todos los productos tensoriales seran sobre `.

Ejemplo 1.1.3. Notemos Mn para el anillo de n×n matrices sobre `. Las `-algebrasMn tienen una involucion natural (aij)

∗ = a∗ji.Mas generalmente, sea X un conjunto y definamos

ΓX = a : X ×X → ` : im(a) es finito y

∃N tal que ∀x ∈ X |y ∈ X : a(x, y) 6= 0|, |y ∈ X : a(y, x) 6= 0| ≤ N.

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1.1. Anillos y algebras con involucion 2

con producto de convolucion y conjugacion transpuesta

(ab)(x, y) =∑z∈X

a(x, z)b(z, y),

a∗(x, y) = a(y, x)∗

que hacen de ΓX una ∗-algebra sobre `. NotamosMXEΓX para el ∗-ideal de funcionescon soporte finito y ΣX para el cociente ΓX/MX . Tambien notamos Γ = ΓN, M∞ =MN y Σ = ΣN. Cuando X tiene cardinalidad n se sigue que Mn

∼= MX = ΓX . Parauna ∗-algebra A escribiremos ΓXA, MXA y ΣXA para los productos tensoriales deΓX , MX y ΣX con A respectivamente como en el Ejemplo 1.1.2. Tambien notamosΣnX = Σ⊗nX

Ejemplo 1.1.4 (Unitalizacion). Sea A una ∗-algebra y definamos A = A⊕ ` como`-modulo con la siguiente multiplicacion e involucion

(a, x)(b, y) = (ab+ ay + xb, xy)

(a, x)∗ = (a∗, x∗).

La ∗-algebra A es unital y tiene un morfismo natural A→ A, a 7→ (a, 0) que aplica

A isomorficamente a un ideal en A. El cociente A/A es isomorfo a ` y el morfismo

de cociente A→ ` se parte por x 7→ (0, x); siempre que A es unital, la unitalizacion

A es isomorfa a A× ` mediante esa seccion.

Ejemplo 1.1.5 (Coproductos y sumas amalagamdas). Sean A,B,C ∈ Alg∗` e i :C → A y j : C → B dos ∗-morfismos con retracciones α : A → C y β : B → C(es decir, αi = idC y βj = idC). El coproducto amalgamado de A y B sobre C es el`-modulo

AqC B := C ⊕ kerα⊕ ker β ⊕ (kerα⊗C ker β)⊕ (ker β ⊗C kerα)⊕ · · ·

Donde cada sumando mas alla del primero viene dado por el producto tensorial dekerα y ker β en todos los ordenamientos posibles y aumentando el numero de fac-tores tensoriales. Esto define una `-algebra con el producto dado por concatenacionde tensores elementales y extendido por bilinearidad. Tambien tiene una involuciondada por las involuciones de A,B y C y intercambiando los tensores elementalesapropiadamente. En el caso C = 0, escribimos AqB; esto es simplemente el copro-ducto de A y B como `-algebras.

La suma directa de todos los tensores con dos o mas factores forma un idealK E AqC B; definimos la suma directa amalgamada como el cociente

A⊕C B := AqC B/K.

Cuando A = B y C = 0 escribimos Q(A) := A q A y ι0, ι1 : A → QA paralas inclusiones naturales de A. La identidad de idA : A → A induce un ∗-morfismoidA q idA : Q(A)→ A y escribimos q(A) para el nucleo de esta aplicacion. Tambienhay dos aplicaciones naturales π0, π1 : q(A)→ A que son las restricciones de idAq 0y 0q idA a q(A).

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Ejemplo 1.1.6 (Involuciones libres e induccion). SeaA un anillo. Definamos inv(A) =A⊕ Aop con involucion (a, b)∗ = (b, a). Esto da lugar a una equivalencia

inv : Alg` → Alg∗inv(`)

con inversa A 7→ (1, 0)A. Hay un ∗-morfismo natural η : ` → inv(`) definido porη(x) = (x, x∗). Podemos restringir la accion de una inv(`)-algebra a ` a traves de η.Componiendo el funtor inv con la restriccion de escalares da lugar a un funtor

ind : Alg` → Alg∗` .

Este funtor es adjunto al funtor de olvido res : Alg∗` → Alg` con unidad y counidaddadas por

ηA : A→ ind(res(A)) = A⊕ Aop (1.1.7)

a 7→ (a, a∗) y

pr1 : res(ind(B)) = B ⊕Bop → B (1.1.8)

(x, y) 7→ x

respectivamente.Similarmente, para una `-algebra A definimos ind′(A) := AqAop con involucion

que permuta las copias de A. Esto brinda un funtor ind′ : Alg` → Alg∗` que esadjunto a res : Alg∗` → Alg` con unidad y counidad dadas por

ηA : A→ res(ind′(A)) = Aq Aop (1.1.9)

a 7→ i0(a) y

idB q id∗B : ind′(res(B)) = B qBop → B (1.1.10)

i0(b) 7→ b

i1(b) 7→ b∗

respectivamente.

Definicion 1.1.11 (Elementos hermitianos e involuciones). Sea R un anillo unitalcon involucion y ε ∈ R. Decimos que ε es unitario si es inversible y ε∗ = ε−1 (porejemplo, ε = ±1).

Para ε ∈ R central unitario y φ ∈ R, decimos que φ es ε-hermitiano si φ = εφ∗.Si φ ∈ R es inversible y ε-hermitiano entonces podemos definir una nueva involucionen R como

r 7→ rφ := φ−1r∗φ.

Notamos Rφ para el anillo R con esta nueva involucion. Si S es otra ∗-algebra unitalsobre ` y ψ es η-hermitiano inversible entonces φ⊗ ψ ∈ R⊗` S es ε⊗ η-hermitianoinversible y

(R⊗` S)φ⊗ψ = Rφ ⊗ Sψ. (1.1.12)

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Observacion 1.1.13. Sea R un anillo unital, A E R un ∗-ideal, ε ∈ R centralunitario y φ ∈ R ε-hermitiano inversible. La involucion definida en la Definicion1.1.11 se restringe adecuadamente a una involucion en A y escribimos Aφ para Aequipada con esta nueva involucion.

Definicion 1.1.14. Sea A un anillo con involucion y u ∈ A unitario. La aplicacion

ad(u) : A→ A

x 7→ uxu−1

define un ∗-isomorfismo con inversa ad(u∗).

Observacion 1.1.15. Sea R una ∗-algebra unital sobre `, ε ∈ R central unitarioy φ, ψ ∈ R elementos ε-hermitianos inversibles. Si existe u ∈ R inversible tal queψ = u∗φu entonces ad(u) : Rψ → Rφ es un ∗-isomorfismo.

Ejemplo 1.1.16. Sea R0 una `-algebra y R = inv(R0) ∈ Alg∗` . Si ε = (ε0, ε1) ∈ Res unitario central, luego ε0 y ε1 son centrales y ademas

(1, 1) = (ε0, ε1)∗(ε0, ε1)

= (ε1, ε0)(ε0, ε1)

= (ε1ε0, ε0ε1);

por lo tanto, ε1 = ε−10 . De esto se deduce que cualquier inversible ε-hermitiano φ ∈ R

tiene la formaφ = (φ0, ε

−10 φ0) = (1, φ0)∗(1, ε−1

0 )(1, φ0).

Se sigue de la Observacion 1.1.15 que Rφ ∼= R(1,ε−10 ) = R dado que ε0 es central.

Ejemplo 1.1.17. Sea P un `-modulo proyectivo finitamente generado. Una formabilineal ε-hermitiana es una funcion ψ : P × P → ` que es `-lineal en la primeracoordenada y satisface

ψ(x, y) = εψ(y, x)∗.

Decimos que ψ es no degenerada si ψ(−, y) : P → P ∗ es un isomorfismo para todoy ∈ P ; en este caso decimos que el par (P, ψ) es un modulo ε-hermitiano.

Para un modulo ε-hermitiano (P, ψ), la no degeneracion de ψ induce una in-volucion en el `-algebra de endomorfismos `-lineales End(P ). Esta involucion estadeterminada por la siguiente propiedad: para T ∈ End(P ) y x, y ∈ P tenemos

ψ(T (x), y) = ψ(x, T ∗(y)).

Si P = `n es libre, entonces End(P ) ∼= Mn y la involucion inducida por la formaε-hermitiana ψ, corresponde a un ε-hermitano inversible hψ y la involucion (−)hψ .

Ejemplo 1.1.18. Consideremos el elemento −1-hermitiano inversible

h± =

(1 00 −1

)∈M2.

4


Sea M± = (M2)h± como en el ejemplo 1.1.11 y notamos M±A por M±⊗A. Tambiennotamos i+, i− : ` → M± por los ∗-morfismos definidos por las inclusiones en laesquina superior izquierda e inferior derecha respectivamente.

El elemento h± corresponde al modulo hermitiano hiperbolico: para H(`) = `2,tenemos la forma −1-hermitiana

h((x1, y1), (x2, y2)) = x1y2 − x2y1.

Es sabido [ver por ejemplo KV73, Teorema 1.4] que para cualquier modulo hermi-tiano (P, ψ), el modulo (P,−ψ) es tambien un modulo hermitiano y hay un isomor-fismo

(P, ψ)⊕ (P,−ψ) ∼= H(`)⊗ P. (1.1.19)

de manera que las formas bilineales se preservan a traves del isomorfismo.De manera similar, sea ε ∈ ` unitario central y consideremos el elemento ε-

hermitiano inversible

hε =

(0 ε1 0

)∈M2.

Notamos εM2 = (M2)hε y εM2A por εM2 ⊗ A.Debido a (1.1.12) tenemos la identidad

εM2 ηM2∼= εηM2M2. (1.1.20)

SeaX un conjunto infinito y fijemos una biyeccion 1, 2×X ∼= X. Esta biyeccionjunto con (1.1.20) induce ∗ -isomorfismos

ηM2 εM2MX∼= ηεM2M1,2×X ∼= ηεM2MX . (1.1.21)

Ejemplo 1.1.22 (∗-algebras polinomiales). Consideramos el anillo de polinomios`[t] con la involucion que fija t. Para cualquier elemento 1-hermitiano α ∈ A elmorfismo de evaluacion evα : `[t]→ ` que asigna t 7→ α es un ∗-morfismo.

Notamos

P = ker(ev0 : `[t]→ `) and

Ω = ker(ev1 : P → `).

para las algebras de caminos y de lazos respectivamente. Tambien consideramos elalgebra de polinomios de Laurent `[t, t−1] con involucion que intercambia t y t−1,t∗ = t−1. Para cualquier elemento unitario u ∈ ` tenemos un morfismo de evaluacionevu : `[t, t−1]→ ` que asigna t 7→ u.

Al igual que con las matrices, escribimos A[t], A[t, t−1], PA y ΩA para `[t]⊗À,`[t, t−1]⊗` A, P ⊗` A y Ω⊗ A respectivamente. Tambien notamos Ωn por Ω⊗n.

Ejemplo 1.1.23 (∗-algebras simpliciales). Sean n ∈ N0 y

`[t1, . . . , tn] = `[t1]⊗ · · · ⊗ `[tn]

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el algebra polinomial en n variables. Definimos

`∆n

:= `[t0, . . . , tn]/〈t0 + · · ·+ tn − 1〉.

Esto define una ∗-algebra simplicial

`∆ : ∆op → Alg∗`

[n] 7→ `∆n

,

y notamos A∆ por `∆ ⊗ A. Sea S para la categorıa de conjuntos simpliciales. SeaX ∈ S y B• : ∆op → Alg∗` sea una ∗-algebra simplicial. El conjunto homS(X,B•)es un ∗-algebra. Para X ∈ S y A ∈ Alg∗` definimos el ∗-algebra de funciones en elconjunto simplicial X como

AX := homS(X,A∆).

Un conjunto simplicial punteado (X, x) es un conjunto simplicial X junto conuna aplicacion x : pt = ∆0 → X. Notemos evx : AX → Apt para el ∗-morfismoinducido y definimos

A(X,x) := ker(evx).

Observacion 1.1.24. Algunas de las ∗-algebras mencionadas en el Ejemplo 1.1.22son casos particulares del Ejemplo 1.1.23:

A∆1 ∼= A[t],

A(∆1,pt) ∼= PA

y escribiendo S1 = ∆1/∆0 para el cırculo simplicial,

A(S1,pt) ∼= ΩA.

A lo largo de esta tesis, a menudo asumiremos que ` satisface lo siguiente:

λ-hipotesis 1.1.25. el anillo posee un elemento λ tal que λ+ λ∗ = 1.

Ejemplo 1.1.26. La λ-hipotesis 1.1.25 se satisface por ejemplo cuando 2 es inver-sible poniendo λ = 1/2. Otro ejemplo es cuando ` = inv(`0) para algun anillo `0 yλ = (1, 0).

Observacion 1.1.27. Supongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25 y sean ε ∈ ùnitario, R una ∗-algebra unital y φ ∈ R ser un elemento ε-hermitiano inversible.Recordemos las matrices matrices h± y hε del Ejemplo 1.1.18. La matriz

uλ =

(1 1λφ∗ −λ∗φ∗

)(1.1.28)

satisface u∗λ(hε ⊗ 1)uλ = h± ⊗ φ, de donde se sigue que ad(uλ) : M±Rφ → εM2R es

un ∗-isomorfismo. Tomando R = ` y ε = φ = 1 obtenemos M± ∼= 1M2.

6

1.2. Homotopıas algebraicas 7

1.2. Homotopıas algebraicas

Definicion 1.2.1. Sean A,B ∈ Alg∗` y f, g : A → B dos ∗ -morfismos. Decimosque f y g son elemental (algebraicamente) ∗-homotopicas si existe una aplicacionH : A→ B[t], llamada una ∗-homotopıa, tal que el diagrama

A B[t]

B ×B

H

(f,g) (ev0,ev1)

conmuta. Decimos que f, g son ∗-homotopicas si existe una sucesion finita f0, . . . , fn :A→ B de ∗-morfismos tal que f0 = f , fn = g y fi es elementalmente ∗-homotopicacon fi+1 para i = 0, . . . , n − 1; siempre que f y g sean ∗-homotopicos, escribimosf ∼∗ g.

Es inmediato a partir de esta definicion que la relacion de homotopıa es deequivalencia y que es compatible con la composicion de ∗-morfismos. Notamos [A,B]para el conjunto de clases de equivalencia de ∗-morfismos A→ B modulo homotopıa.Los conjuntos [−,−] tienen una ley de composicion y por lo tanto son las flechas deuna categorıa [Alg∗` ] que tiene a ∗-algebras como objetos.

Definicion 1.2.2. Sea F : Alg∗` → C un funtor. Decimos que F es invariantehomotopico si F (f) = F (g) siempre que f ∼∗ g.

Sean C ∈ Alg` y A,B ⊆ C subalgebras. Supongamos que u, v ∈ C satisfacen

uAv ⊆ B y

avua′ = aa′ for all a, a′ ∈ A.

Entonces

ad(u, v) : A→ B

a 7→ uav

es un morfismo de algebras. Decimos que el par (u, v) multiplica A en B. Seanu0, u1, v0, v1 ∈ C tal que (u0, v0) y (u1, v1) multiplican A en B. Una homotopıaentre los pares (u0, v0) y (u1, v1) es un par (u(t), v(t)) ∈ C[t]2 que multiplica A(como constantes en C[t]) en B[t] y que (u(i), v(i)) = (ui, vi) (para i = 0, 1). Eneste caso ad(u(t), v(t)) : A → B[t] es una homotopıa entre ad(u0, v0) y ad(u1, v1).Supongamos ahora que C es una ∗-algebra y que A,B son ∗-subalgebras; cuandov = u∗ y el par (u, u∗) multiplica A en B, tenemos que ad(u, u∗) es un ∗-morfismo.En este caso decimos que u ∗-multiplica A en B. Si u,w ∈ C ambos ∗-multiplicanA en B, una ∗-homotopıa entre u y w es un elemento z(t) ∈ C[t] ∗-multiplicando Aen B[t] de modo que z(0) = u y z(1) = w. Frecuentemente encontramos ejemplosde elementos u0, u1 ∈ C que ∗-multiplican A en B que son homotopicos a traves deun par (u(t), v(t)) con u(t)∗ 6= v(t) de modo que el la homotopıa ad(u(t), v(t)) no esun ∗-morfismo. Esto se puede solucionar de la siguiente manera.

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1.2. Homotopıas algebraicas 8

Lema 1.2.3. Supongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Sean C ∈ Alg∗` ,A,B ⊆ C ∗-subalgebras, u0, u1 ∈ C que ∗-multiplican A en B y (v, w) ∈ C[t]2 unahomotopıa entre (u0, u

∗0) y (u1, u

∗1). Supongamos tambien que

w∗Aw, vAv∗ ⊆ B[t].

Entonces

c(v, w) =

(λ∗v + λw∗ λ∗(v − w∗)λ(v − w∗) λv + λ∗w∗

)∈M±C[t]

∗-multiplica i+(A) en M±B[t] y ad(c(u, v), c(u, v)∗)i+ es una ∗-homotopıa entrei+ ad(u0, u

∗0) y i+ ad(u1, u

∗1).

Demostracion. Un calculo sencillo muestra que

c(v, w)∗c(v, w) = c(wv,wv).

Por lo tanto, para a, a′ ∈ A tenemos

i+(a)c(v, w)∗c(v, w)i+(a′) = i+(a)c(wv,wv)i+(a′)

= i+(a(λ∗wv + λ(wv)∗)a′)

= i+(λ∗awva′ + λa(wv)∗a′)

= i+(λ∗aa′ + λ(a′∗wva∗)∗)

= i+(aa′(λ∗ + λ))

= i+(aa′).

Del mismo modo, c(v, w)i+(A)c(v, w)∗ ⊆ M±B[t]. Por lo tanto H = ad(c(u, v))i+ :A→M±B[t] es un ∗-morfismo y para i = 0, 1 se tiene

evi(c(u, v)) = c(ui, ui) =

(ui 00 ui

).

De modo que eviH = i+ ad(ui, u∗i ).

Definicion 1.2.4. Sean p, q ≥ 0 y n = p+ q. Definimos

ip,q+ := (M±)⊗p ⊗ i+ ⊗ (M±)⊗q : M⊗n± →M⊗n+1

±

Lema 1.2.5. Sean p, q y n como arriba y sean p′, q′ ≥ 0 tal que p′ + q′ = n + 1.Entonces ip

′,q′

+ ip,q+ es ∗-homotopico a i0,n+1+ i0,n+ .

Demostracion. Primero observemos que i0,0+ = i+ y i1,0+ i+ = i0,1+ i+. Por lo tanto,tensorizando con identidades obtenemos

ir,s+1+ ir,s+ = ir+1,s

+ ir,s+ (1.2.6)

para cualquier r, s ≥ 0. Luego, bajo la identificacion M2 ⊗M2 = M1,22 , tenemos

i1,0+ (ei,j) = e(i,1),(j,1) y i0,1+ (ei,j) = e(1,i),(1,j). Se sigue que la matriz

u = e(1,1),(1,1) − e(1,2),(2,1) + e(2,1),(1,2) + e(2,2),(2,2)

8

1.3. Ind-∗-algebras 9

es un elemento unitario de M⊗2± y satisface ad(u)i1,0+ = i0,1+ . Ademas, por [CT07,

Seccion 6.4], existe un elemento inversible u(t) ∈M⊗2± [t] tal que u(0) = 1 y u(1) = u.

Por lo tanto, la composicion de i0,2+ con i1,0+ y i0,1+ son ∗-homotopicas por el Lema1.2.3. Tensorizando en ambos lados con identidades, obtenemos que

ip,q+1+ ip+1,q−1

+ ∼∗ ip,q+1+ ip,q+ .

Sean p′, q′ como en el enunciado. Permutando los factores en el producto tensorialM⊗n+1± obtenemos un ∗-isomorfismo σ : M⊗n+1

± → M⊗n+1± tal que σip,q+1

+ = ip′,q′

+ .Entonces tenemos

ip′,q′

+ ip+1,q−1+ ∼∗ ip

′,q′

+ ip,q+ (1.2.7)

para todos p, q, p′, q′ como arriba. El lema se sigue de (1.2.7) utilizando la identidad(1.2.6).

1.3. Ind-∗-algebras

Definicion 1.3.1. Sea C una categorıa. Un ind-objeto en C es un par (C, I) queconsta de un poset filtrado ascendentemente I y un funtor C : I → C. A menudoescribimos Ci por C(i) y (Ci)i∈I o simplemente C• para un ind-objeto C : I → C.

Los ind-objetos de una categorıa C forman una categorıa ind−C cuyos conjuntosde morfismos son

homind−C((Ci), (Dj)) = lim←−i

colim−−−→j

homC(Ci, Dj).

Cualquier funtor F : C → D se extiende a F : ind − C → ind −D aplicando Fındice a ındice: F (C)i = F (Ci).

Ejemplo 1.3.2. Sea in : Mn → Mn+1 la inclusion de la esquina superior izquierday notemos M• para la ind-∗-algebra

N0 → Alg∗`

(n→ n+ 1) 7→ (Mnin−→Mn+1).

Del mismo modo, recordemos la Definicion 1.2.4 y notemos M•± para la ind-∗-

algebra.

N0 → Alg∗`

(n→ n+ 1) 7→ (Mn±

i0,n+−−→Mn+1± ).

Para un conjunto infinito X escribimos

MX = M•±MX .

Cualquier biyeccion f : X → Y induce un isomorfismo f∗ :MX →MY dado por elisomorfismo correspondiente MX

∼= MY y tensorizar con las identidades correspon-dientes.

9

1.3. Ind-∗-algebras 10

Ejemplo 1.3.3. Para un conjunto simplicial finito K, escribimos sdK para la sub-division baricentrica. Esto define un funtor sd : S→ S. La subdivision baricentricaesta equipada con una transformacion natural h : sd→ idS llamada la aplicacion delultimo vertice [GJ99, Capıtulo III, Seccion 4, p.193]. Iterando esta transformacionse obtiene un sistema de conjuntos simpliciales

· · · h−→ sdnKh−→ sdn−1K → · · · → K.

Notamos sd•K para el funtor (contravariante)

N0 → sSet

(n→ n+ 1) 7→ (sdn+1Kh−→ sdnK).

Para cada A ∈ Alg∗` el funtor compuesto Asd•K da una ind-∗-algebra. Esta cons-truccion tambien se aplica a conjuntos simpliciales punteados de manera similar.

Algunos ejemplos particulares de ind-∗-algebras de subdivisiones que usaremosson

AS1

= Asd•(S1,pt),

ASn = (ASn−1

)S1

and

PA = Asd•(∆,pt).

Observacion 1.3.4. Las dos inclusiones en los extremos ∆0 → ∆1 inducen inclu-siones ∆0 → sd•∆1 y evaluaciones evi : Asd•∆1 → A∆0

= A. Sean f, g : A → Bdos morfismos ∗-homotopicos. Por definicion, existe una cadena de ∗-morfismosf = f0, f1, . . . , fn = g y homotopıas Hi : A → B[t], i = 0, . . . , n − 1 como enla Definicion 1.2.1. Estas homotopıas se pueden “concatenar” a un ind-∗-morfismoH : A → Bsd•∆1

. Recıprocamente, se ve facilmente que si dos ∗-morfismos f, g :A→ B pueden recuperarse de un ind-∗-morfismo H : A→ Bsd•∆1

por composicioncon las evaluaciones

ev0H = f ev1H = g

entonces f y g son homotopicos.

Definicion 1.3.5. Sean A,B ∈ ind− Alg∗` , notamos

[A,B] = homind−[Alg∗` ](A,B).

Lema 1.3.6. Sean X, Y conjuntos y f, g : X → Y biyecciones. Sean f∗, g∗ :MX →MY como en el Ejemplo 1.3.2. Entonces [f∗] = [g∗] ∈ [MX ,MY ].

Demostracion. Dado que la homotopıa es compatible con la composicion, podemosreducirnos al caso cuando X = Y y g = idX . La matriz

u =∑x∈X

ef(x),x

10

1.4. Extensiones 11

es un elemento unitario de ΓX y f∗ es la restriccion de ad(u) (tensorizado con laidentidad). Entonces i+ ad(u) = ad(u ⊕ 1)i+. Usando [CT07, Seccion 3.4] hay unahomotopıa (v0, v1) ∈ M2ΓX [t]2 de multiplicadores entre ad(u ⊕ 1) y ad(1 ⊕ u); ası,usando Lema 1.2.3, tenemos que i0,2+ ad(u⊕ 1) es ∗-homotopico a i0,2+ ad(1⊕ u). Porlo tanto

i0,2+ i+ = i0,2+ ad(1⊕ u)i+ ∼ i0,2+ ad(u⊕ 1)i+ = i0,2+ i+ ad(u)

y ad(u) induce la identidad en [MX ,MX ].

1.4. Extensiones

Una ∗-algebra puede considerarse como un conjunto o un `-modulo y en cadacaso con o sin involucion. Cada una de estas cuatro opciones da lugar a una categorıasubyacente U y un funtor de olvido F : Alg∗` → U que admite un adjunto izquierdo

T : U → Alg∗` , que es el funtor de ∗-algebra libre para tal F . Escribimos T = TF .Para el resto de esta tesis fijaremos una opcion entre U, F y T ′ de una de las cuatroanteriores.

Un extension de ∗-algebras es una sucesion en Alg∗`

0→ Aα−→ B

β−→ C → 0 (1.4.1)

donde α es un isomorfismo con ker β y C = im β.Decimos que un ∗-morfismo sobreyectivo es partido (o se parte), si tiene una

seccion (es decir, un inverso a derecha); decimos que un ∗-morfismo sobreyectivo fes semi-partido si F (f) tiene seccion en U. Decimos que una extension (1.4.1) essemi-partida si β lo es.

Para ind-∗-algebras, se aplica una definicion similar: una sucesion en ind−Alg∗`

0→ (Ai)α−→ (Bj)

β−→ (Ck)→ 0 (1.4.2)

es una extension de ind-∗ -algebras si α un nucleo para β y β es un conucleo paraα. Se parte si β admite una seccion y es semi-partida si F (β) admite una seccion enind− U.

Observacion 1.4.3. Si la categorıa subyacente U es la categorıa de conjuntos, to-das las extensiones son semi-partidas, ya que cada funcion sobreyectiva admite unaseccion.

Observacion 1.4.4. Si ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25, entonces para un ∗-morfismof : A→ B tal que F (f) admite una seccion s, el la seccion se puede promediar comos′ = λs + λ∗s∗ para tener una seccion que preserva la involucion. Por lo tanto, eneste caso, si f admite una seccion `-lineal, entonces es semi-partida para cualquiereleccion de U y F .

Ejemplo 1.4.5. Sea A ∈ Alg∗` , llamamos a la sucesion

0→ PA→ A[t]ev0−−→ A→ 0 (1.4.6)

11

1.4. Extensiones 12

la extension de caminos. Esta partida por la inclusion A ⊂ A[t].Llamamos a la sucesion

0→ ΩA→ PAev1−−→ A→ 0 (1.4.7)

la extension de lazos. Admite una seccion que preserva la involucion `-lineal s(a) =ta.

Sea f : A → B un morfismo ∗. La extension de caminos de f es la extensioninducida por el pullback de la extension de lazos de B a lo largo de f

ΩB PB ×B A A

ΩB PB B.

π1

π0p

f

ev1

(1.4.8)

Llamamos Pf := PB ×B A al algebra de caminos de f . La extension de caminosde f tiene una seccion `-lineal natural que conserva la involucion s(a) = (tf(a), a).Tambien hay inclusion natural if : ker(f) → Pf dada por if (x) = (0, x). Lo mismose aplica a la version subdividida que escribimos. como Pf := PB ×B A.

Ejemplo 1.4.9. Sea X un conjunto y A ∈ Alg∗` . Llamamos a la sucesion

0→MXA→ ΓXA→ ΣXA→ 0

la extension de cono. Por [CT07, primer parrafo de la p.92] admite una seccion`-lineal.

Sea f : A→ B un ∗-morfismo. La extension de cono de f es la extension inducidapor el pullback de la extension del cono de B a lo largo ΣXf .

MXB ΓXB ×B ΣA ΣXA

MXB ΓXB ΣXB.

π1

π0p

ΣXf (1.4.10)

Llamamos ΓX,f := ΓXB ×B ΣA al algebra de cono de f . La extension de cono deun morfismo tiene una seccion `-lineal dada por la composicion ΣXf × id : ΣXA→ΣXB × ΣXA y la seccion ΣXB → ΓXB. Como antes, cuando X = N lo omitimosde la notacion.

Para cada morfismo de algebras f : A → B, la funcion subyacente en U, F (f) :

F (A) → F (B) induce un morfismo f : TA → B. En particular, para id : A → A,tenemos una transformacion natural sobreyectiva ηA : T (A)→ A. Sea

J(A) := ker(ηA);

esto define un funtor J : Alg∗` → Alg∗` . La extension universal de A es la extension

0→ J(A)→ T (A)ηA−→ A→ 0

12

1.4. Extensiones 13

que esta semi-partida por la inclusion natural s : A→ T (A).Para una extension semi-partida

0→ Af−→ B

g−→ C → 0

y una seccion s de F (g), definamos ξ := ηBT′(s) : T (C)→ B. La restriccion de ξ a

J(C) tiene imagen en A ya que

gξ = gηBT′(s) = ηCT (g)T ′(s) = ηC .

Escriba ξ para la restriccion de ξ a J(C). Llamamos a este ∗-morfismo el morfismoclasificante (o de clasificacion) de la extension. Hay un diagrama conmutativo

0 A B C 0

0 J(C) T (C) C 0.

f g

ξ

ηC

ξ

La definicion del morfismo clasificante ξ depende claramente de la seccion s;sin embargo, su clase de homotopıa no depende de s. Sean s1 y s2 dos seccionesdiferentes de g y ξ1 y ξ2 sean los morfismos clasificantes correspondientes. DefinimosH : F (C)→ F (A[t]) como

H(c) = (1− t)ξ1(c) + tξ2(c).

Extendamos H a un ∗-morfismo H : T (C)→ A[t] por adjuncion. El morfismo H es

una ∗-homotopıa elemental entre ξ1 y ξ2 y por lo tanto ξ1 y ξ2 son ∗-homotopicos; sesigue que el morfismo de clasificacion es natural salvo homotopıa. Esto muestra elrazonamiento al llamar a la extension universal y el morfismo de clasificacion comotal.

Para una extension de ind-∗-algebras, se aplica el mismo razonamiento y porlo tanto para cualquier extension de ind-∗-algebras, tambien hay un morfismo declasificacion unico en ind− [Alg∗` ].

Observacion 1.4.11. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo en Alg∗`

0 A B C 0

0 A′ B′ C ′ 0

f

α

g

β γ

f ′ g′

donde cada fila es una extension semi-partida. Sea ξ el morfismo de clasificacionasociado a la extension de la primera fila y ξ′ el morfismo de clasificacion asociadola extension de la segunda fila. Debido a la unicidad del morfismo clasificante, elcuadrado

J(C) A

J(C ′) A′

ξ

J(γ) α

ξ′

es conmutativo salvo homotopıa.

13

1.4. Extensiones 14

Ejemplo 1.4.12. Sea A,B ∈ Alg∗` tal que B sea playo como un `-modulo. Entoncesla extension

0→ J(A)⊗B → T (A)⊗B → A⊗B → 0

esta semi-partida y notamos al morfismo de clasificacion como

φA,B : J(A⊗B)→ J(A)⊗B.

En el caso de que la categorıa subyacente U sea la categorıa de `-modulos, este mapaes natural en A y B (salvo homotopıa).

Tomando B = `X para algun conjunto simplicial X, obtenemos un morfismoJ(AX)→ J(A)X . De manera similar, para un conjunto simplicial punteado (X, x)conseguimos un morfismo J(A(X,x))→ J(A)(X,x).

La extension de lazos (1.4.7) es un caso particular de esto, teniendo en cuenta lasidentificaciones hechas al final del Ejemplo 1.1.23. Notamos al morfismos clasificantede la extension de lazos (1.4.7) como

ρA : J(A)→ ΩA. (1.4.13)

Este morfismo tambien induce un morfismo de ind-∗-algebra componiendo ρA conel morfismo de ultimo vertice h∗ : ΩA→ AS1

. Como abuso de notacion, tambien lonotamos como ρA : J(A)→ AS1

.

Para un morfismo f : A→ B, el morfismo de clasificacion de la extension de lacaminos de f (1.4.8) es ρf := ρB J(f); esto puede deducir de la Observacion 1.4.11.Lo mismo aplica a la version subdividida.

Ejemplo 1.4.14. Para cada A la sucesion

0→ J(A)S1 → T (A)S

1 → AS1 → 0

es una extension semi-partida como en el Ejemplo 1.4.12. Notamos

γA : J(AS1

)→ J(A)S1

(1.4.15)

para el morfismo clasificante de dicha extension. Para m,n ≥ 0 escribimos

γ1,nA : J(ASn)→ J(A)S

n

para la composicion

J(ASn

)γASn−−−−→ J(A

Sn−1)S1

γASn−1 ⊗S1

−−−−−−−−−−→ J(ASn−2

)S2 → · · · → J(A

S1)Sn−1 γA⊗Sn−1

−−−−−−−−→ J(A)Sn,

y γm,nA : Jm(ASn)→ Jm(A)Sn

para la composicion

Jm

(ASn

)Jm−1(γ

1,nA

)−−−−−−−−−−→ J

m−1(J(A)

Sn)Jm−2(γ

1,nJ(A)

)

−−−−−−−−−−−→ Jm−2

(J2(A)

Sn)→ · · · → J(J

m−1(A)

Sn)

γ1,n

Jm−1(A)−−−−−−−−−→ J

m(A)

Sn

14

1.5. ∗-Cuasi-homomorfismos 15

1.5. ∗-Cuasi-homomorfismos

Definicion 1.5.1. Sean A,B ∈ Alg∗` , C E B un ∗-ideal y f+, f− : A → B dos∗-morfismos. Decimos que el par (f+, f−) : A⇒ BDC es un ∗-cuasi-homomorfismosi f+(a)− f−(a) ∈ C para cada a ∈ A. Esto es equivalente al siguiente enunciado: siπ : B → B/C es el morfismo cociente entonces πf+ = πf−.

Ejemplo 1.5.2. Recordar del Ejemplo 1.1.5 las algebras Q(A) y q(A). Por defini-cion, hay un ∗-cuasi-homomorfismo inducido por las inclusiones ι0, ι1 : A→ Q(A):

(ι0, ι1) : A⇒ Q(A)D q(A).

Este ∗-cuasi-homomorfismo es universal en el siguiente sentido: sea (f+, f−) :A⇒ BDC un ∗-cuasi-homomorfismo. Entonces hay un morfismo natural f+q f− :Q(A)→ B. Dado que f+ q f− manda q(A) a C, podemos componer para conseguir

f+ q f− ι0 = f+ y

f+ q f− ι1 = f−.

Llamamos a la restriccion de f+ q f− a f : q(A)→ C como el morfismo clasificantedel ∗ -cuasi-homomorfismo (f+, f−).

Sea C una categorıa abeliana. Un funtor H : Alg∗` → C es exacto-partido si paracada extension partida

0→ A→ B → C → 0

la sucesion

0→ H(A)→ H(B)→ H(C)→ 0

es exacta en C.

Proposition 1.5.3 ([CMR07, Seccion 3.1.1]). Sean C una categorıa abeliana y E :Alg∗` → C un funtor exacto-partido.

Para cada ∗-cuasi-homomorfismo (f+, f−) : A⇒ B D C existe un morfismo

E(f+, f−) : E(A)→ E(C)

inducido por E(f+)− E(f−) : E(A)→ E(B).

E(f+, 0) = E(f+).

Si f+ = f− + g donde g(a)f−(a) = f−(a)g(a) = 0 para cada a ∈ A entoncesE(f+, f−) = E(g).

Si f : q(A)→ C es el morfismo clasificante de (f+, f−) entonces

E(f+, f−) = E(f) E(ι0, ι1).

15

1.6. Estabilidad 16

1.6. Estabilidad

Definicion 1.6.1. Sean F1, F2 : Alg∗` → Alg∗` , G : Alg∗` → C funtores, i : F1 → F2

una transformacion natural y A ∈ Alg∗` . Decimos que el funtor G es i-estable en Asi el morfismo G(iA) : G(F1(A))→ G(F2(A)) es un isomorfismo. Decimos que G esi-estable si es i-estable en cada A ∈ Alg∗` .

Ejemplo 1.6.2. Un funtor F es invariante homotopico como en la Definicion 1.2.2si y solo si es estable para la inclusion canonica A→ A[t].

Ejemplo 1.6.3. Sea X un conjunto, x, y ∈ X y ex,y ∈MX la unidad matricial

ex,y(z, w) = δ(x,y),(z,w).

Hay un morfismo natural ix : idAlg∗` →MX definido como

ix,A : A→MXA

a 7→ ex,x ⊗ a.

Lema 1.6.4. Sean X un conjunto y ix como en el ejemplo 1.6.3. Si un funtorG : Alg∗` → C es ix -estable para algun x entonces es iy estable para cualquiery ∈ X. Ademas G(ix) = G(iy) para cualquier x, y ∈ X.

Demostracion. Seguimos a [Cor11, Lema 2.2.4]. Hay matrices de permutacion σ2, σ3 ∈MXA ⊗ MXA de ordenes dos y tres de manera que ambos conjugan (ix,MXA ⊗idMXA)ix,A en (ix,MXA⊗ idMXA)iy,A. Dado que las matrices de permutacion son uni-tarias, la conjugacion por σ2 y σ3 son ∗-isomorfismos. Despues de aplicar G obtene-mos

G(ad(σ2))G((ix,MXA ⊗ idMXA)ix,A) = G((ix,MXA ⊗ idMXA)iy,A) (1.6.5)

= G(ad(σ3))G((ix,MXA ⊗ idMXA)ix,A)

Dado que los ordenes de σ2 y σ3 son coprimos y todos los morfismos en (1.6.5)son isomorfismos, se sigue que G(ad(σ2)) y G(ad(σ3)) son iguales a la identidad.Ademas, dado que G(ix,MXA ⊗ idMXA) es un isomorfismo, obtenemos que G(ix,A) =G(iy,A).

Definicion 1.6.6. Decimos que G es MX-estable si es ix-estable para algun (porlo tanto, para cualquier) x ∈ X. En este caso escribimos iX para cualquier ix. Si elconjunto X es fijo, simplemente escribimos i. En el caso que X tiene cardinalidadn escribimos in : id→Mn.

Lema 1.6.7. Sean X un conjunto y x, y ∈ X. Entonces los mapas i+ix, i+iy : ` →M±MX son ∗-homotopicos.

Demostracion. Supongamos que x 6= y y sea X ′ = X \ x, y. Sea

u = ey,x − ex,y +∑z∈X′

ez,z.

16

1.6. Estabilidad 17

Se ve facilmente que u es unitario en ΓX y satisface ad(u)ix = iy. Ademas, hay unahomotopıa rotacional u(t) ∈ ΓX [t] [CT07, Seccion 3.4] tales que u(0) = 1 y u(1) = u.Luego, usando el Lema 1.2.3 obtenemos el enunciado deseado.

Lema 1.6.8. Sean X un conjunto con al menos dos elementos, H : Alg∗` → C unfuntor MX-estable, A ⊆ B ∈ Alg∗` y u ∈ B tales que

uA,Au∗ ⊆ A and

au∗ua′ = aa′ for any a, a′ ∈ A.

Entonces ad(u) : A→ A es un ∗-morfismo y H(ad(u)) = idH(A).

Demostracion. El argumento es como en [Cor11, Proposicion 2.2.6]. Podemos asumir

B es unital (cambiando B por B). Consideremos u ⊕ 1 ∈ M2B y observemos quead(u⊕1) : M2A→M2A es un ∗-morfismo. Ademas, si i0 : A→M2A y i1 : A→M2Ason las inclusiones en la esquina superior izquierda y la esquina inferior derecharespectivamente, entonces

ad(u⊕ 1)i0 = i0 ad(u) and

ad(u⊕ 1)i1 = i1.

Debido al Lema 1.6.4, aplicando G obtenemos que G(i0) = G(i1) son isomorfismos.Por lo tanto,

G(i0)G(ad(u)) = G(ad(u⊕ 1))G(i0)

= G(ad(u⊕ 1))G(i1)

= G(i1)

= G(i0);

entonces G(ad(u)) es la identidad.

Lema 1.6.9. Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Sea C una categorıaenriquecida en grupos abelianos y H : Alg∗` → C MX-estable. Entonces para dosx, y ∈ X distintos, el morfismo

H(A⊕ A)H(ix⊕iy)−−−−−→ H(MXA)

H(ix)−1=H(iy)−1

−−−−−−−−−−→ H(A)

induce la operacion aditiva en H(A).

Demostracion. Notemos D = ix⊕ iy : A⊕A→MXA y ∇ : H(A)⊕H(A)→ H(A)para la operacion en C. Usando el Lema 1.6.4, el diagrama

H(A)⊕H(A) H(A⊕ A)

H(A) H(MXA)

inc1⊕inc2

∇ H(D)

H(ix)=H(iy)

conmuta.

17

1.6. Estabilidad 18

Lema 1.6.10. Sean X, Y dos conjuntos tales que X tenga al menos dos elementose Y tenga mayor cardinalidad que X. Entonces, cualquier funtor MY -estable G :Alg∗` → C tambien es MX-estable.

Demostracion. Dado que una biyeccion entre conjuntos induce un ∗-isomorfismoentre sus algebras matriciales, podemos suponer que X ⊆ Y . Probaremos el lema enel caso de que los coeficientes sean A = `, la misma prueba se aplica para cualquierasean los coeficientes. Sea inc : X → Y la inclusion natural. Fijemos x ∈ X ei = ix : ` → MX . Dado que G es MY -estable, G(inc i) es un isomorfismo y, porlo tanto, G(i) es un monomorfismo partido y G(inc) es un epimorfismo partido. Seaτ : MX ⊗MY →MY →MX definido por τ(a⊗ b) = b⊗ a. Tenemos que

τ(i⊗ idMY)inc = inc⊗ i. (1.6.11)

Sea σ : Y ×X → Y ×X cualquier biyeccion que se restrinja a una permutacion decoordenadas en X × x. Sea tambien σ la correspondiente matriz de permutacionen MY×X = MY ⊗MX . Entonces tenemos que

ad(σ)(inc⊗ i) = i⊗ idMX.

Dado que G(ad(σ)) es la identidad por el Lema 1.6.4 y G(i ⊗ idMX) es un isomor-

fismo, se deduce que G(inc⊗ i) es un isomorfismo. Usando (1.6.11) obtenemos queG(inc) tambien es un monomorfismo partido y por lo tanto, un isomorfismo. ComoG(inc i) es un isomorfismo, Se deduce que G(i) es un isomorfismo y eso concluyela demostracion.

Definicion 1.6.12. Sean A ∈ Alg∗` y G : Alg∗` → C un funtor. Decimos que G eshermitiano estable en A si para cada inclusion A E R como un ∗-ideal en una ∗-algebra unital R, cada elemento central unitario ε ∈ R y cualesquiera dos elementosε-hermitianos inversibles φ, ψ ∈ R, el funtor G manda la inclusion de la esquinasuperior izquierda

iφ : Aφ → (M2A)(φ⊕ψ)

a un isomorfismo.

Observacion 1.6.13. Tomando ε = 1, R = A y φ = ψ = 1 en la anterior definicion,obtenemos que cualquier funtor hermitiano estable es tambien i2 : id→M2 estable

Observacion 1.6.14. Sean (P, ψ) y (Q,χ) modulos hermitianos como en el Ejemplo1.1.17. Usando (1.1.19), se deduce que un funtor hermitiano estable G envıa elmorfismo inducido por la inclusion

End(P )⊗ A→ End(P ⊕Q)⊗ A

a un isomorfismo.

Proposicion 1.6.15 ([cf. Ell14, Proposition 3.1.9]). Supongamos que ` satisface laλ-hipotesis 1.1.25 y sea G : Alg∗` → C un funtor M2-estable. Entonces G M± eshermitiano estable.

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1.6. Estabilidad 19

Demostracion. Dado que ` satisface la λ-hipotesis, podemos usar la Observacion1.1.27 para obtener isomorfismos

M±Aφ ∼= εM2A y

M±(M2A)(φ⊕ψ) ∼= εM2M2A.

Usando el diagrama conmutativo

M±Aφ

εM2A

M±(M2A)(φ⊕ψ)εM2M2A M2(εM2A)

∼

idM±⊗iφ idεM2⊗i2

i2

∼ ∼

y el hecho de que i2 vaya a un isomorfismo a traves de G, obtenemos que G(M±iφ)es un isomorfismo como se deseaba.

Corolario 1.6.16. Suponiendo ` y G : Alg∗` → C como en la Proposicion 1.6.15, siG tambien es i+-estable, entonces G es hermitiano estable.

Demostracion. Dado que tenemos el diagrama conmutativo

Aφ M±Aφ

(M2A)φ⊕ψ M±(M2A)φ⊕ψ,

i+

iφ idM±⊗iφ

i+

y usando que G(i+) es un isomorfismo junto con la Proposicion 1.6.15, tambientenemos G(idM± ⊗ iφ) es un isomorfismo; se sigue que G(iφ) es un isomorfismo.

19

Capıtulo 2

K-teorıa Hermitiana Algebraica

En este capıtulo recordamos la definicion del espectro de K-teorıa hermitianaalgebraica Kh junto con algunas propiedades. Tambien recordamos la definicion dela K-teorıa hermitiana de Karoubi-Villamayor KV h y construimos el analogo a ala K-teorıa homotopica de Weibel para el caso hermitiano que notamos KHh. Enla Seccion 2.2 tambien recordamos la estructura del producto de Kh y como pasaa KHh. Finalmente en en la Seccion 2.3 recordamos el Teorema Fundamental deKaroubi junto con algunas reformulaciones y como pasa a KHh; lo usaremos masadelante en el Capıtulo 5.

2.1. Definiciones

Sea A un ∗-anillo. Notamos

U(A) = x ∈ A : x∗x = xx∗, x+ x∗ + xx∗ = 0.

El conjunto U(A) es un grupo bajo la operacion

x · y = x+ y + xy.

Cuando A es unital, el grupo U(A) es isomorfo al grupo de elementos unitarios deA a traves de la asignacion x→ 1 + x.

Sea R un anillo unital, AER un ∗-ideal y ε ∈ R central unitario. Definimos

εO(A) = U(εM2M∞A).

Por (1.1.21) tenemos un isomorfismo de grupos

εO(A) ∼= 1O(εM2A). (2.1.1)

Los grupos de K-teorıa ε-hermitianos de un ∗-anillo unital R son los gruposde homotopıa de un espectro εK

hR = εKhRn cuyo n-esimo espacio es εKhnRn =

ΩBεO(Σn+1R)+, el espacio de lazos de la construccion + [ver Lod76, Seccion 3.1.6].Como es usual tambien notamos

εKhn(R) = πn(εK

hR) (n ∈ Z)

20

2.1. Definiciones 21

para el n-esimo grupo de homotopıa estable. Cuando ε = 1 lo omitimos de la nota-cion. Para un ∗-anillo no unital A, ponemos

±1Khn(A) = ker(±1K

hn(AZ)→ ±K

hh(Z)). (2.1.2)

Si A es unital, estos grupos concuerdan con los definidos anteriormente ya queen ese caso AZ ∼= A × Z y utilizando el hecho de que construccion + es aditiva, elnucleo en (2.1.2) recupera ±1K

hn(A).

Un anillo A se llama K-escisivo si para cualquier inclusion AER como un idealde un anillo unital R y todo morfismo unital R→ S que manda A isomorficamenteen un ideal de S, el morfismo de espectros de K-teorıa relativa K(R : A)→ K(S : A)es una equivalencia. La definicion de un ∗-anillo Kh = 1K

h-escisivo es analoga.

Observacion 2.1.3. Sea A un anillo K-escisivo que es una ∗-algebra sobre `, ysupongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Sea A E R una inclusion como∗-ideal en una ∗-algebra unital y f : R → S un ∗-morfismo unital entre ∗-algebrasque manda A isomorficamente en un ∗-ideal de S y ε ∈ ` sea un unitario central. Por[Bat11, Corollary 3.5.1] el morfismo εK

h(R : A)→ εKh(S : A) es una equivalencia.

En particular, si A es K-escisivo, entonces tambien es Kh-escisivo. Tomando todoesto en cuenta, y suponiendo que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25, establecemos, paracualquier A ∈ Alg∗` K-escisivo, ε ∈ ` unitario y n ∈ Z,

εKhn(A) = ker(εK

hn(A)→ εK

hn(`)). (2.1.4)

Observacion 2.1.5. Para n ≤ 0 y no necesariamente K-escisivo A, tomamos (2.1.4)como definicion. Los K-grupos hermitianos no positivos concuerdan con los gruposcuadraticos de Bass [Bas73] para el parametro de forma maxima. En particular, por[Bas73, Chapter III, Theorem 1.1] Kh satisface escision en dimensiones no positivas.

Observacion 2.1.6. Sea R un ∗-anillo unital. Supongamos que R tiene un elementoλ que satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Sea S ∈ Σ la clase de la matriz

0 0 0 · · ·1 0 0 · · ·0 1 0 · · ·...

......

. . .

.

Usando el hecho de que el producto cup con [S] ∈ Kh1 (Σ) induce un isomorfismo

Kh0 (R) ∼= Kh

1 (ΣR) [Lod76, Theoreme 3.1.7], el grupo Kh0 (R) puede describirse como

el conjunto de diferencias [p]−[q] donde p, q ∈ 1M2M∞R son proyecciones y [p] = [p′]si hay una matriz unitaria u ∈ 1M2MnR tal que u conjuga p en p′ [KV73, Seccion2].

Para una clase x = [p] − [q] ∈ Kh0 (R) hay ∗-morfismos p, q : Z → 1M2M∞R

mandando 1 a p y q respectivamente. Estos ∗-morfismos inducen morfismos p∗, q∗ :Kh

0 (Z) → Kh0 (R) enviando la clase de [1] a [p] y [q] respectivamente. Esto implica

que el ∗-cuasi-homomorfismo p, q : Z ⇒ 1M2M∞R D 0, tiene un morfismo asociado

21


(p∗, q∗) = p∗ − q∗ : Kh0 (Z) → Kh

0 (R) que asigna la clase de [1] a x. Esto implicaentonces que el conjunto de ∗-cuasi-homomorfismos Z ⇒ 1M2M∞R se aplica deforma sobreyectiva en Kh

0 (R) enviando cada par de ∗-cuasi-homomorfismos a sumapa asociado correspondiente y evaluando en la clase [1]. Ya que Kh

0 satisfaceescision, se deduce que lo mismo se aplica a cualquier anillo ∗ A: el conjunto

qq(Z, A) := Z⇒ 1M2M∞AZ D 1M2M∞A

se aplica de forma sobreyectiva a Kh0 (A). Si A ∈ Alg∗` , lo mismo ocurre con ` sustido

por Z y ∗-cuasi-homomorfismos `-lineales.

Para un ∗-anillo A y ε = ±1, Karoubi y Villamayor tambien introducen K-grupos hermitianos para n ≥ 1. Estos coinciden con los grupos de homotopıa delgrupo simplicial εO(A∆) salvo un cambio de grado

εKVhn (A) = πn−1εO(A∆) (n ≥ 1).

El argumento de [Cor11, Proposition 10.2.1] muestra que la definicion anterior esequivalente a la dada en [KV73]; tenemos

εKVhn+1(A) = εKV

h1 (ΩnA) (n ≥ 1).

De manera similar, si A es unital, para todo n ≥ 1 tenemos

εKVhn (A) = πnBεO(A∆) = πnBεO(A∆)+ = πnΩBεO(ΣA∆)+. (2.1.7)

Aplicando εKhn a la extension de caminos (1.4.6) y mediante escision, obtenemos

un morfismo natural

εKhn(A)→ εK

hn−1(ΩA) (n ≤ 0).

Para n ∈ Z, el n-esimo grupo de K-teorıa ε-hermitiana homotopica de A es

εKHhn(A) = colim−−−→

m≥nεK

h−m(Ωm+nA).

Observacion 2.1.8. Tambien se puede describir εKHhn en terminos de εKV

h; por[KV73, Theoreme 4.1], εKV

h satisface escision para la extension del cono (1.4.10).Por lo tanto tenemos una aplicacion

εKVhn (A)→ εKV

hn+1(ΣA).

El argumento de [CT07, Proposicion 8.1.1] muestra que

εKHhn(A) = colim−−−→

m

εKVhn+m(ΣmA).

Supongamos ahora que A es unital; sea εKH(A) el espectro total del espectro sim-plicial εK

h(A∆). Tenemos

πn(εKHh(A)) = colim−−−→

m

πn+mΩBεO(ΣmA∆)+ = colim−−−→n

εKVhn+m(ΣmA) = εKH

hn(A).

22


Para cualquier extension

0→ A→ B → B/A→ 0

hay un morfismo de ındice natural ∂ : Kh1 (B/A) → Kh

0 (A) [vease Bas73, ChapterIII].

Observacion 2.1.9. Existe un morfismo natural de comparacion cm : Khm(A) →

KHhm(A). Param ≤ 0 esto es simplemente aplicar al colımite. Param > 0 y A unital,

utilizando la descripcion de (2.1.7) y la inclusion natural A → A∆, obtenemos unmorfismo de comparacion c′m : Kh

m(A) → KV hm, luego, por la Observacion 2.1.8, el

mofrimos de comparacion se factoriza como

Khm(A)

c′m−→ KV hm(A)→ KHh

m(A).

Usando repetidamente el morfismo de ındice de la extension de lazos (1.4.7) obte-nemos morfismos

Khm(A)→ KV h

m(A) ∼= KV1(Ωm−1A)→ KV h0 (ΩmA) = K0(ΩmA).

Finalmente, componiendo con el morfismo de comparacion c0 llegamos aKHh0 (ΩmA) ∼=

KHhm(A).

Lema 2.1.10. La K-teorıa hermitiana homotopica es invariante homotopica, ma-tricialmente estable y satisface escision.

Demostracion. La prueba es la misma que en K-teorıa no hermitiana [ver Cor11,Theorem 5.1.1].

Lema 2.1.11. Sea ε ∈ ` unitario. Si n ≤ 0 o A es Kh-escisivo, entonces hay unisomorfismo canonico

εKhn(A) ∼= Kh

n(εM2A).

Ademas para todo A ∈ Alg∗` tenemos un isomorfismo canonico

εKHhn(A) ∼= KHh

n(εM2A) (n ∈ Z).

Demostracion. El isomorfismo (2.1.1) es canonico a menos de las elecciones de unelemento λ ∈ ` en la λ-hipotesis 1.1.25 y una biyeccion 1, 2×X → X. Por [Lod76,Lemme 1.2.7], si A es unital, entonces cambiar esas opciones no tiene ningun efectosobre la clase de homotopıa del isomorfismo inducido BεO(A)+ ∼= B1O(εM2A)+.Aplicando esto a ΣrA obtenemos el enunciado del lema para A unital. El caso nounital se deriva del unital usando que Kh

0 es exacto partido. El enunciado de εKHh

sigue aplicando el caso anterior para ΩrA y de la definicion.

23

2.2. Productos cup en KHh 24

2.2. Productos cup en KHh

LaK-teorıa hermitana para ∗-anillos unitales esta equipada con productos [Lod76,Chapter III]. Usando que Kh satisface escision en dimensiones no positivas obtene-mos, para R,A ∈ Alg∗` con R unital, m ∈ Z y n ≤ 0, un producto natural

Khm(R)⊗Z K

hn(A)

?−→ Khm+n(R⊗ A). (2.2.1)

Si ademas m ≤ 0, tambien obtenemos el producto anterior para no necesariamenteR unital.

Observacion 2.2.2. Usando el Lema 2.1.11, el producto (2.2.1) tambien da unproducto

εKhm(R)⊗Z ηK

hn(A)

?−→ εηKhm+n(R⊗ A). (2.2.3)

Observacion 2.2.4. Sean R, S ∗-anillos unitales que satisfacen la λ-hipotesis 1.1.25.Utilizando la descripcion de observacion 2.1.6, el producto cup

Kh0 (R)⊗Z K

h0 (S)

?−→ Kh0 (R⊗ S)

corresponde a la extension natural de escalares de proyecciones [cf. Lod76, Seccion3.1.4]: para [p] ∈ Vh∞R y [q] ∈ Vh∞S

[p] ? [q] = [p⊗ q].

Lema 2.2.5. Sean R, S ∈ Alg∗` unitales que satisfacen la λ-hipotesis 1.1.25 y seaI E S un ∗-ideal. Supongamos que la sucesion

0→ R⊗ I → R⊗ S → R⊗ (S/I)→ 0

es exacta y sea ∂ el morfismo de ındice asociado. Entonces el siguiente diagramaconmuta

Kh0 (R)⊗Z K

h1 (S/I) Kh

1 (R⊗ (S/I))

Kh0 (R)⊗Z K

h0 (I) Kh

0 (R⊗ I).

?

id⊗∂ ∂

?

Demostracion. Como R es unital y satisface la λ-hipotesis podemos considerarKh

0 (R) como la completacion de grupo del monoide Vh∞(R) como en la Observacion2.1.6. Si g ∈ 1M2Mn(S/I) es unitario, p ∈ 1M2MnR es un idempotente autoadjuntoy 1n ∈ 1M2Mn es la matriz identidad, entonces (ver [Wei13, Corollary 1.6.1] para elcaso no hermitiano)

[p] ? [g] = [p⊗ g + (1n − p)⊗ 1n] ∈ Kh1 (R⊗ (S/I)) (2.2.6)

Por otro lado, para cualquier levantamiento h ∈ U(1M2M2nS) de g ⊕ g−1 tenemos

∂[g] = [h1nh−1]− [1n].

Elegiendo el levantado para (2.2.6) como

p⊗ h+ (12n − (p⊕ p))⊗ 12n

obtenemos ∂([p] ? [g]) = [p] ? ∂[g].

24

2.2. Productos cup en KHh 25

Lema 2.2.7. Supongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Sean m ∈ Z, n ≤ 0y R,A ∈ Alg∗` c. Sea ∂ el morfismo de ındice asociado a la extension de cami-nos (1.4.6). Supongamos que maxn,m + n ≤ 0. Entonces el siguiente diagramaconmuta:

Khm(R)⊗Z K

hn(A) Kh

m+n(R⊗ A)

Khm(R)⊗Z K

hn−1(ΩA) Kh

m+n−1(R⊗ ΩA)

?

id⊗∂ ∂

?

Demostracion. Sea 2 : `→ `⊕` la inclusion en el segundo sumando. Las extensionesde caminos y lazos, (1.4.6) y (1.4.7) respectivamente, estan conectados por morfismosde extensiones

Ω P `

Ω `[t] `⊕ `

inc

ev1

2

(ev0,ev1)

Sea i ≤ 0. Aplicando el Lema 2.2.5 con S = Σ[t], I = ΣΩ y R = Σ−iA, y utilizando lanaturalidad y escision, obtenemos que el morfismo de ındice ∂ : Kh

i (A)→ Khi−1(ΩA)

es el producto cup con ∂([1]) ∈ Kh−1(Ω). La demostracion se sigue ahora de la

asociatividad de ?.

Corolario 2.2.8. Supongamos que ` satisface la λ-hipotesis. 1.1.25. Sean R,A ∈Alg∗` con R unital y sean m,n ∈ Z.

i) Hay un producto asociativo

? : Khm(R)⊗Z KH

hn(A)→ KHh

m+n(R⊗ A).

ii) Sea c∗ : Kh∗ (R)→ KHh

∗ (R) el mapa de comparacion. Entonces para todos m ∈ Zy ξ ∈ Kh

m(R), cm(ξ) = ξ ? c0([1]).

Demostracion. La parte i) es inmediata de Lema 2.2.7 al tomar colımite. Para m ≤0, la parte ii) se desprende de la construccion de ? y la definicion de KHh. Param > 0, esto se sigue de la observacion 2.1.9 y del hecho que como KV h

−1 = Kh−1, el

diagrama

Kh∗ (R)⊗Z K

h−1(Ω) Kh

∗−1(ΩR)

KV h∗ (R)⊗Z KV

h−1(Ω) KV h

∗−1(ΩR)

?

c′∗⊗id c′∗

?

conmuta.

Lema 2.2.9. Supongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Sean A,B ∈ Alg∗` ym,n ∈ Z. Entonces (2.2.1) induce un producto asociativo

KHhm(A)⊗Z KH

hn(B) KHh

m+n(A⊗B).?

25

2.3. Teorema fundamental de Karoubi 26

Si m ≤ 0 o A es unital, el siguiente diagrama conmuta

Khm(A)⊗Z KH

hn(B) KHh

m+n(B)

KHhm(A)⊗Z KH

hn(B)

?

cm⊗1 ?

Demostracion. El Lema 2.2.7 muestra que el morfismo de ındice ∂ : Kh∗ → Kh

∗−1 Ωes el producto cup con ∂([1]) ∈ Kh

−1(Ω). De ello se deduce que para todo r ≤ 0, elsiguiente diagrama conmuta:

Khr (A)⊗Z K

hr (B) Kh

2r(A⊗B)

Khr−1(ΩA)⊗Z K

hr−1(ΩB) Kh

2r−2(Ω2A⊗B).

∂⊗∂

?

∂2

?

Tomando colımte a lo largo de las columnas obtenemos el producto deseado para r =s = 0. El caso general se obtiene de este ultimo aplicando los functores de suspensiony lazos segun corresponda. La conmutatividad del diagrama en el enunciado se siguedel Corolario 2.2.8.

Corolario 2.2.10. Supongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Sea A ∈ Alg∗` yn ∈ Z, luego εKH

hn(A) es un KHh

0 (`)-modulo con la accion inducida por el productoen lema 2.2.9.

2.3. Teorema fundamental de Karoubi

Sea A ∈ Rings∗ y consideremos A = ind(res(A)) = A⊕Aop como en el Ejemplo1.1.6. Hay ∗-morfismos naturales

φA : A→M2(A) (2.3.1)

(a, b) 7→(a 00 b∗

),

ηA : A→ A (2.3.2)

a 7→ (a, a∗).

Notemos U ′A = ΓφA y V ′A = ΓηA como en el Ejemplo 1.4.9. Esto define funtoresU ′, V ′ : Rings∗ → Rings∗ y notamos (U ′)n, (V ′)n (n ≥ 0) a la composicion repetida.

Como en el Ejemplo 1.4.9, existen morfismos naturales U ′A → ΣA y V ′A → ΣA.La proyeccion en la primera coordenada A → A no es un ∗-morfismo, pero es unmorfismo de anillos y como tal induce una aplicacion K(A)→ K(A). Ya que para unanillo unital (no necesariamente con involucion) U(inv(R)) = GL(R), tenemos que

26


εKh(inv(R)) ∼ K(R) y por lo tanto εK

h(R) ∼ K(R). Se sigue de usar la extensionde conos del Ejemplo 1.4.9 que hay aplicaciones

ΩεKh(U ′R)→ K(R)

(φR)∗−−−→ εKh(R)

ΩεKh(V ′R)→ εK

h(R)(ηR)∗−−−→ K(R)

y que ΩεKh(U ′R) y ΩεK

h(V ′R) son las fibras homotopicas de los morfismos (φR)∗y (ηR)∗ respectivamente.

Teorema 2.3.3 (Karoubi, [Kar80]). Hay un elemento θ0 ∈ −1Kh2 ((U ′)2Z) tal que:

i) La composicion

−1Kh2 ((U ′)2Z)→ −1K

h2 (ΣU ′Z) ∼= −1K

h1 (U ′Z) ∼= K1(U ′Z)→ K1(ΣZ) ∼= K0(Z)

pr1−−→ K0(Z) = Z

asigna θ0 a 1.

ii) Suponiendo que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25. Entonces, para cada ∗-` -algebra unital R, el producto con θ0 induce un isomorfismo

θ0 ?− : εKh∗ (R) ∼= −εK

h∗+2((U ′)2R).

Demostracion. El elemento θ0 del presente teorema aparece bajo el nombre de σ enla primera lınea de [Kar80, Seccion 3.1]. Usando las identificaciones

ΩεKh(U ′V ′R) ∼ ΩεK

h(V ′U ′R) ∼ εKh(R) (2.3.4)

como las menciona Karoubi en [Kar80, Seccion 1.4], el teorema actual es solo otraforma de formular el Teorema Fundamental de Karoubi

εKh(V ′R) ∼ Ω−εK

h(U ′R).

Ademas, el teorema como se establece aquı es equivalente a lo probado en [Kar80,Seccion 3.5], que dice que el producto con θ0 induce un isomorfismo

εKh∗ (V ′R) ∼= −εK

h∗+1(U ′R).

Observacion 2.3.5. Usando el Lema 2.1.11, el Teorema 2.3.3 es equivalente a laafirmacion de que θ0 induce un isomorfismo

θ0 ?− : Kh∗ (R) ∼= −1K

h∗+2((U ′)2R).

Corolario 2.3.6. Sea A ∈ Alg∗` y supongamos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25.El elemento θ = c2(θ0) ∈ −1KH

h2 ((U ′)2Z) induce un isomorfismo

θ ?− : εKHh∗ (A)→ −εKH

h∗+2((U ′)2A)

Demostracion. Usando que Khn satisface escision en n ≤ 0 y el Teorema 2.3.3 obte-

nemos que para cualquier A ∈ Alg∗` , θ0 induce un isomorfismo

θ0 : εKh∗ (A) ∼= −εK

h∗+2((U ′)2A). (∗ ≤ −2)

Esto luego se sigue del Corolario 2.2.8 al tomar colımites.

27


La sucesion exacta de 12 terminos

Definicion 2.3.7. Sea R un ∗-anillo unital. La involucion de R induce una invo-lucion g → (g∗)−1 en GL∞(R) que a su vez induce una accion natural de Z/2 enK∗(R); para x ∈ Kn(R) notemos x para esta accion. Definimos

εWn(R) := coker(Kn(R)(φR)∗−−−→ εK

hn(R)),

εW′n(R) := ker(εK

hn(R)

(ηR)∗−−−→ Kn(R)),

kn(R) := x ∈ Kn(R) : x = x/x = y + y para algun y, y

k′n(R) := x ∈ Kn(R) : x = −x/x = y − y para algun y.

Los grupos εWn(R) y εW′n(R) se denominan grupos de Witt y coWitt de R res-

pectivamente. Los grupos kn(R) y k′n(R) son los correspondientes grupos de Z/2-cohomologıa de Tate de Kn(R) para la accion antes mencionada.

Teorema 2.3.8 (Suite exacte des douze, Karoubi [Kar80, Teorema 4.3]). Suponga-mos que ` satisface la λ-hipotesis y sea R ∈ Alg∗` unital. Hay una sucesion exacta

kn+1(R) −εWn+2(R) εW′n(R) k′n+1(R) −εW

′n+1(R) −εWn(R)

Wn+1(R) W ′n+1(R) k′n+1(R) −εW

′n(R) Wn+2(R) kn+1(R)

28

Capıtulo 3

K-teorıa Hermitiana AlgebraicaBivariante

En este capıtulo construimos la categorıa de K-teorıa hermitiana algebraica bi-variante y desarrollamos algunas de sus propiedades basicas. Esta construccion sebasa en la K-teorıa algebraica bivariante original j : Alg` → kk hecha por Cortinasy Thom en [CT07]. Hay generalizaciones de kk para incorporar acciones de gruposy algebras graduadas por grupos [Ell14] y tambien para algebras con acciones degrupos cuanticos [Ell18]. En la Seccion 3.1 desarrollamos los resultados necesariospara construir la categorıa kkh y el funtor jh : Alg∗` → kkh. Luego en la Seccion3.2 mostramos que es triangulada y probamos como jh : Alg∗` → kkh es la teorıa dehomologıa universal escisiva (definido en dicha seccion) con estabilidad matricial yhermitiana e invarianza homotopica.

A partir de este capıtulo asumiremos que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25 sin masmenciones.

3.1. La categorıa kkh

Fijemos un conjunto infinito X. Cualquier biyeccion X q X ∼= X induce un ∗-morfismo MX ⊕MX →MX ; notemos para su ind-∗-clase de homotopıa. Por elLema 1.3.6, es independiente de la eleccion de biyeccion anterior.

Lema 3.1.1 ([cf. CT07, Seccion 4.1]). La aplicacion junto con el morfismo nulo,hacen de MX un objeto monoidal abeliano en ind− [Alg∗` ]

Demostracion. Dado que cualquier biyeccion elegida X q X ∼= X tambien induceuna biyeccion X q X q X ∼= X en cualquier posible asociacion y estas eleccionesinducen la misma clase en ind − [Alg∗` ], esta claro que es asociativo. Del mismomodo, la permutacion de copias de X en X qX induce el mismo isomorfismo que y por lo tanto es conmutativo.

Sean X0, X1 ⊆ X los subconjuntos correspondientes a X q ∅ y ∅ qX mediantela biyeccion X q X ∼= X. Sean f0 : X0 → X y f1 : X1 → X las biyecciones

29

3.1. La categorıa kkh 30

correspondientes. Entonces tenemos

[(f0 q ∅)∗](id 0) = idMX

[(∅ q f1)∗](0 id) = idMX.

Por lo tanto, el nulo es un elemento neutral para .

Del mismo modo, cualquier eleccion de biyeccion X × X ∼= X da lugar a lamisma ind-∗-clase de homotopıa de un ∗-morfismo MX ⊗MX →MX ; notamos µpara esta ind-∗-clase de homotopıa.

Lema 3.1.2. El morfismo µ es un producto asociativo y conmutativo en ind− [Alg∗` ]y la inclusion i : ` →MX es una identidad para µ. Ademas, µ se distribuye sobre y, por lo tanto, (MX ,, µ, 0, [i]) es un objeto semi-anillo en Ind− [Alg∗` ].

Demostracion. La asociatividad y la conmutatividad se prueban de la misma formaque en el anterior lema y esta claro que i es una identidad para µ. Finalmente, elhecho que µ distribuye sobre puede deducirse del hecho de que hay una biyeccionnatural

X × (X qX) ∼= (X ×X)q (X ×X)

y el Lema 1.3.6.

Sean A,B ∈ ind− Alg∗` . Definimos

A,B := [A,MXB]; (3.1.3)

la operacion monoidal en MX induce a una en A,B.

Lema 3.1.4. El producto µ induce un ley de composicion asociativa y bilineal:

? : B,C × A,B → A,C([f ], [g]) 7→ [µ⊗ idC ] [(idMX

⊗ f)] [g].

Demostracion. Dado que cambiar el representante de la clase [f ] no cambia la clasede [idMX

⊗ f ], esta claro que ? esta bien definido. El hecho de que ? sea bilinealse deriva del hecho de que µ se distribuye sobre . Finalmente, la asociatividad sesigue de observar que para cualquier morfismo h : C →MXD, el diagrama

MXMXC MXMXMXD MXMXD

MXC MXMXD MXD

idMX⊗idMX

⊗h

µ⊗idD

idMX⊗µ⊗idD

µ⊗idD

idMX⊗h µ⊗idD

conmuta debido a la asociatividad de µ.

30


Definicion 3.1.5. Sea ind − Alg∗`X la categorıa con los mismos objetos queind − Alg∗` , donde los conjuntos de morfismos estan dados por (3.1.3) y que estaenriquecida sobre la categorıa de monoides abelianos. El Lema 3.1.2 tambien mues-tra que para A ∈ ind − Alg∗` la inclusion i : A → MXA es la identidad. NotamosAlg∗`X para la subcategorıa plena de ind − Alg∗`X donde los objetos estan enAlg∗` en lugar de ind− Alg∗` .

Observacion 3.1.6. Sean A,B ∈ Alg∗` . El algebra B∆ tiene una operacion binarianatural llamada concatenacion • : B∆×B∆ → B∆; esto induce una operacion binariaen [A,BS1

]: para morfismos f, g : A→ BS1escribimos f • g para su concatenacion.

El morfismo cero es un elemento neutral para esta operacion. y la aplicacion deinversion

`[t]→ `[t] (3.1.7)

t 7→ 1− t

induce un ∗-morfismo a : BS1 → BS1tal que [f • af ] = [0]. La concatenacion y se

distribuyen entre sı en A,BS1 [ver CT07, Seccion 3.3].

Lema 3.1.8. Sean A,B ∈ Alg∗` . Para n ≥ 1, las operaciones de concatenacion y coinciden en A,BSn y es un grupo abeliano con tal operacion.

Demostracion. Como se dice en la Observacion 3.1.6, • y se distribuyen una sobrela otra, debido al argumento de Eckmann-Hilton, ambas operaciones coinciden. Dadoque la concatenacion tiene una inversa como se menciona en la misma observacion,el monoide abeliano A,BSn es un grupo.

Hay un funtor canonico [Alg∗` ]→ Alg∗`, que es la identidad en objetos y envıala clase de un morfismo f a la de if .

Lema 3.1.9. El funtor compuesto can : Alg∗` → [Alg∗` ] → Alg∗` es invariantehomotopico, MX-estable e i+-estable. Ademas cualquier funtor H : Alg∗` → C quees invariante homotopico MX-estable e i+-estable, se factoriza de manera unica atraves de can.

Demostracion. Dado que can se factoriza a traves de [Alg∗` ], es invariante homotopi-co definicion. Ademas, para cualquier funtor H como en el enunciado, H se factorizapor Alg∗` → [Alg∗` ].

Para ver la MX-estabilidad, para cualquier x ∈ X, las inclusiones ix,A : A →MXA se corresponden con ix, A : A→MXA en Alg∗`. La identidad MXA→MXAinduce un morfismo MXA→ A en Alg∗` utilizando el isomorfismo MXMX

∼= MX .Es inmediato que estos morfismos son inversos a uno del otro. Del mismo modo,dado que el sistema inductivo MX se construye con composicion repetida de i+,usando el Lema 1.2.5 obtenemos que es i+ estable.

Finalmente, para un funtor H como en el enunciado del lema, como se dijo antesH factoriza hasta [H] : [Alg∗` ] → C. Dado que H es MX-estable e i+-estable, para

31


cualquier B ∈ Alg∗` , el morfismo [H](iB : B →MXB) es un isomorfismo en C, porlo que podemos definir

H([f : A→MXB]) = [H](iB)−1 [H]([f ]).

Es facil ver que H define un funtor H : Alg∗` → C que factoriza H a travesde can.

Lema 3.1.10. El funtor canonico can : Alg∗` → Alg` es hermitiano estable.

Demostracion. Dado que ` satisface la λ-hipotesis 1.1.25, la prueba se sigue delLema 3.1.9 y el Corolario 1.6.16.

Lema 3.1.11. Sean R una ∗-algebra unital, A E R un ∗ -ideal y λ1, λ2 ∈ R serelementos centrales que satisfagan los requisitos del elemento λ en la λ-hipotesis1.1.25. Sean

pi = pλi =

(λ∗i 1λiλ

∗i λi

)y sea ιi : A→ 1M2A, ιi(a) = pia. Entonces can(ι1) = can(ι2) es un isomorfismo enAlg∗`.

Demostracion. Sea ui = uλi como en (1.1.28) de la Observacion 1.1.27. Bajo elisomorfismo 1M2

∼= M±, ιi corresponde a ι+. Por lo tanto, can(ιi) es un isomorfismo.Ademas, dado que u = u2u

−11 ∈ 1M2R es unitario, can(ad(u)) = id1M2A por el Lema

1.6.8, obtenemos

can(ι2) = can(ad(u2u−11 ))can(ι1) = can(ι1).

Lema 3.1.12. El funtor J : Alg∗` → Alg∗` pasa a un funtor J : Alg∗` → Alg∗`.

Demostracion. Para un morfismo [f ] ∈ [A,B], es facil de verificar usando la exten-sion universal que la clase [J(f)] ∈ [J(A), J(B)] no depende del representante de laclase f .

Recordemos el morfismo φB,MX: J(MXB)→MXJ(B) del Ejemplo 1.4.12. Esto

induce un morfismo [φ] ∈ J(MXB), B. Para un morfismo ξ = [f ] ∈ A,B,definamos J(ξ) ∈ A,B como la clase de la composicion

J(A)J(f)−−→ J(MXB)

φ−→MXJ(B).

Usando la Observacion 1.4.11, esta claro que esto define un funtor.

De aquı en adelante, abusaremos de la notacion y usaremos la misma letra parala clase de homotopıa de un morfismo f : A → B ∈ ind − Alg∗` y para su imagenen A,B, y en caso de que este ultimo sea un grupo abeliano (por ejemplo, siB = CSn) Ponemos −f para el inverso de can(f) en ese grupo.

32


Lema 3.1.13. Sean A,B ∈ ind− Alg∗` y f ∈ [A,B]. El cuadrado

J(A) J(B)

AS1BS1

J(f)

ρA ρB

idS1⊗f

es conmutativo salvo homotopıa.

Demostracion. Esta es una consecuencia directa de la Observacion 1.4.11.

Lema 3.1.14 ([cf. CMR07, Lemma 6.30]). Sea A ∈ Alg∗` . Recordemos los morfismosρA : J(A) → ΩA y γA : J(AS1

) → J(A)S1

de (1.4.13) y (1.4.15) respectivamente.Entonces el siguiente el diagrama conmuta en ind− Alg∗`.

J2(A) J(A)S1

J(AS1).

−ρJA

J(ρA)γA

Demostracion. Recordemos el morfismo de inversion a : `[t] → `[t] de (3.1.7). Paraun elemento p ∈ `[t], observemos que ev0(p) = ev1(a(p)) y ev1(p) = ev0(a(p)).Escribiendo P ′` = ker ev1, obtenemos que a(P`) = P ′`. Pasando a las versionesde subdivididas, para cualquier A ∈ Alg∗` , a induce un isomorfismo PA ∼= P ′A.Observemos tambien que como P` ∩ P ′` = Ω se sigue que ker ev0P ′A ∼= AS1

.Definir

I = ker(PT (A)ev1−−→ T (A)

ηA−→ A) = p ∈ PT (A) : ev1(p) ∈ J(A)

y E como el retroceso del diagrama

E I

P ′J(A) J(A).

pr2

pr1p

ev1

ev0

La sobreyeccion pr2 : E → I esta semi-partida por p 7→ (p, t ev0(p)) y su nucleo es

(q, 0) ∈ E : ev0(q) = 0) ∼= ker ev0(P ′J(A)→ J(A)) ∼= J(A)S1

.

Por lo tanto, hay una extension semi-partida

0→ J(A)S1 i1−→ E

pr2−−→ I → 0. (3.1.15)

Ademas, por definicion de I, hay una extension semi-partida

0→ I → PT (A)ηA ev1−−−→ A→ 0. (3.1.16)

33


Por tanto hay morfismos de extensiones

0 J(A)S1

E I 0

0 J(A)S1 P ′J(A) J(A) 0.

i1 pr2

pr1 ev1

ev0

(3.1.17)

0 I PT (A) A 0

0 J(A) T (A) A 0.

ev1

ηA ev1

ev1

ηA

(3.1.18)

Sea ξ : J(I)→ J(A)S1

el morfismos de clasificacion de la extension (3.1.15). Usandola Observacion 1.4.11 y la Observacion 3.1.6, se deduce que el morfismo de clasifi-cacion de la fila inferior de (3.1.17) es −ρJ(A) : J2(A) → J(A)S

1. Entonces, de la

Observacion 1.4.11 se deduce que el morfismo de extensiones (3.1.17) da la igualdad

ξ = idJ(A)S1 ξ = −ρJ(A) J(ev1). (3.1.19)

De manera similar, sea ζ : J(A)→ I el el morfismo de clasificacion de la extension(3.1.16); el morfismo de extensiones (3.1.18) da

ev1 ζ = idJ(A). (3.1.20)

Por otro lado, sea η : I → AS1la restriccion del morfismo (idP ⊗ ηA) • 0 : PT (A)→

PA (donde • es la concatenacion). El morfismo η se levanta a un morfismo q : E →T (A)S

1mediante la concatenacion de rutas en I y rutas en P ′J(A) que por definicion

de E coinciden en los puntos finales. Esto da morfismos de extensiones

0 J(A)S1

E I 0

0 J(A)S1

T (A)S1

AS10.

i1 pr2

q η

idS1⊗ηA

(3.1.21)

0 I PT (A) A 0

0 AS1 PA A 0.

η

ηA ev1

idP⊗η

ev1

(3.1.22)

Dado que el morfismo de clasificacion de la fila inferior de (3.1.21) es γA :J(AS1

)→ J(A)S1, obtenemos

ξ = idJ(A)S1 ξ = γA J(η) (3.1.23)

Por otro lado, como el morfismo de clasificacion de la fila inferior de (3.1.22) es ρAobtenemos

ρA = ρA idA = η ζ (3.1.24)

34


Usando (3.1.19), (3.1.20), (3.1.23) y (3.1.24) obtenemos

γA J(ρA) = γA J(η) J(ζ)

= ξ J(ζ)

= −ρJ(A) J(ev1) J(ζ)

= −ρJ(A)

Observacion 3.1.25. El analogo del Lema 3.1.14 para algebras sin involucion tam-bien es valido (esto se deducira mas adelante del hecho de que kk es equivalentekkh para una eleccion particular de `). Esto corrige un error en [CT07, Lema 6.2.2],donde falta el signo. El signo tambien falta en la definicion de composicion en lacategorıa kk [CT07, Teorema 6.2.3], que se corrige a continuacion.

Sean A,B ∈ Alg∗` . Como en [CT07, Seccion 6.1], usando el funtor J : Alg∗` →Alg∗` de Lema 3.1.12, hay un morfismo

A,B → JA,BS1ξ 7→ ρB ? J(ξ).

Ası se puede formar el colımite

kkh(A,B) = kkh(A,B) = colim−−−→n

JnA,BSn (3.1.26)

Lema 3.1.27. Sean ξ = [f ] ∈ JmB,CSm y η = [g] ∈ JnA,BSn; definimos

ξ η = [(idSn ⊗ f)] ? (−1)mn[γm,nB ] ? [Jm(g)] ∈ Jm+n(A), CSn+m.

Esto define una ley de composicion bilineal

kkh(B,C)⊗Z kkh(A,B)→ kkh(A,C)

ξ ⊗ η 7→ ξ η

Demostracion. Esto se sigue del Lema 3.1.13 y el Lema 3.1.14.

Por lo tanto, los conjuntos kkh(−,−) son los conjuntos de morfismos de unacategorıa kkh con los mismos objetos que Alg∗` , donde el morfismo de identidadde A ∈ Alg∗` es representado por la clase de i : A → MXA. Definimos un funtorAlg∗` → kkh como la identidad en los objetos y como el morfismo canonico alcolımite A,B → kkh(A,B) en las flechas. Componiendo este ultimo con el funtorAlg∗` → Alg∗` obtenemos un funtor

jh : Alg∗` → kkh. (3.1.28)

La categorıa kkh junto con el functor jh la llamamos K-teorıa hermitiana algebraicabivariante. A menudo usaremos el termino kkh-equivalencia entre dos ∗-algebraspara significar que sus imagenes correspondientes en kkh son isomorfas.

35

3.2. jh como teorıa de homologıa escisiva 36

3.2. jh como teorıa de homologıa escisiva

Una categorıa triangulada es una terna (T,ΩT, T ) donde T es una categorıaaditiva, ΩT : T → T es un funtor de autoequivalencia llamado funtor de lazos y Tes una clase de sucesiones de morfismos en T

ΩTC → A→ B → C

llamados triangulos (distinguidos) de modo que satisfacen los siguientes axiomas:

TR0 La clase T esta cerrada por isomorfismos y la sucesion

ΩTA→ 0→ AidA−−→ A

es un triangulo distinguido.

TR1 Para cualquier morfismo α : A→ B en T, hay un triangulo distinguido

ΩTB → C → Aα−→ B.

TR2 Para las sucesiones

ΩTCf−→ A

g−→ Bh−→ C, (3.2.1)

ΩTB−ΩTh−−−→ ΩTC

f−→ Ag−→ B (3.2.2)

una es un triangulo distinguido si y solo si la otra lo es. En este caso decimosque (3.2.2) es una rotacion de (3.2.1).

TR3 Para cualquier diagrama conmutativo entre triangulos distinguidos

ΩTC A B C

ΩTC′ A′ B′ C ′

ΩTγ β γ

existe un morfismo α : A→ A′ que hace el diagrama completo conmutar.

TR4 Sean α : A→ B y β : B → C morfismos en T. Hay un diagrama conmutativo

Ω2TC ΩTD ΩTB ΩTC

0 D′′′ D′′′ 0

ΩTC D′′ A C

ΩTC D′ B C

ΩTβ

h

j βα

α

β

36


en el que cada fila y columna es un triangulo distinguido. Es mas, el cuadrado

ΩTB ΩTC

D′′′ D′′

ΩTβ

j

h

conmuta.

Observacion 3.2.3. Usualmente los axiomas de categorıas trianguladas se definencon el funtor inverso al funtor de lazos llamado funtor de suspension. En esta tesispresentamos los axiomas de esta manera ya que resulta mas natural trabajar con elfuntor de lazos.

Sea T una categorıa triangulada; y notemos [n] para la composicion repetida nveces del funtor de lazos en T. Sea E la clase de todas las extensiones semi-partidas

0→ A→ B → C → 0. (E)

Una teorıa de homologıa escisiva en Alg∗` (con coeficientes en T) es un funtor H :Alg∗` → T junto con una familia de morfismos

∂E : H(C)[1]→ H(A) : E ∈ E

tal que para cada E ∈ E , la sucesion

H(C)[1]∂E−→ H(A)→ H(B)→ H(C)

es un triangulo en T y los morfismos ∂E son compatibles con morfismos de ex-tensiones en el sentido de que para un diagrama conmutativo entre extensionessemi-partidas

0 A B C 0 (E)

0 A′ B′ C ′ 0 (E ′)

f1 f2 f3

el siguiente diagrama

H(C)[1] H(A)

H(C ′)[1] H(A′)

∂E

H(f3) H(f1)

∂E′

conmuta.

Observacion 3.2.4. En una categorıa triangulada, una sucesion

ΩC → A→ Bf−→ C

37


con una seccion g : C → B (es decir, idC = fg), es siempre isomorfa al triangulopartido distinguido

ΩC0−→ A

i1−→ A⊕ C pr2−−→ C.

En particular, la primera sucesion es un triangulo distinguido [Nee01, Remark 1.2.7].

En lo que sigue veremos que hay una triangulacion natural de kkh que convierteal funtor jh en una teorıa de homologıa escisiva.

Lema 3.2.5. Sea L ∈ Alg∗` playa como un `-modulo. El funtor L = L⊗− : Alg∗` →Alg∗` induce un funtor L : kkh → kkh.

Demostracion. Usando la propiedad universal descrita en el Lema 3.1.9, el funtordesciende a L : Alg∗` → Alg∗`.

A continuacion, recordemos el morfismo

φA,L : J(L⊗ A)→ L⊗ J(A)

del Ejemplo 1.4.12. Notemos φnL para la composicion

Jn(L⊗ A)Jn−1(φA,L)−−−−−−→ Jn−1(L⊗ J(A))→ · · ·

φJn−1(A),L−−−−−−→ L⊗ Jn(A).

Para un morfismo α ∈ kkh(A,B) representado por [f : Jn(A)→MXBSn ] definamos

L⊗ α ∈ kkh(L⊗ A,L⊗B) como la clase de la composicion

Jn(L⊗ A)φnL−→ L⊗ Jn(A)

L⊗f−−→ L⊗MXBSn ∼=MX(L⊗B)S

n

;

Utilizando la Observacion 1.4.11, esta claro que esta definicion da un funtor L :kkh → kkh.

Corolario 3.2.6 ([cf. CT07, Seccion 6.6]). Los funtores Ω,ΣX : Alg∗` → Alg∗` indu-cen funtores Ω,ΣX : kkh → kkh

Demostracion. Esto se deriva del lema anterior, ya que Ω y ΣX son playas.

Lema 3.2.7. Sea f : A→ B un ∗-morfismo semi-partido. Entonces, para cualquiersubdivision Pn,f = Bsdn ∆1 ×B A del algebra de caminos, la inclusion if : ker(f) →Pn,f inducida por la inclusion if : ker(f) → Pf y el morfismo de ultimo vertice esinversible en kkh.

Demostracion. La misma prueba que en [CT07, Lema 6.3.2] en el caso no hermitianofunciona.

Corolario 3.2.8. El morfismo de ultimo vertice h : ΩA → Asdn S1es inversible

en kkh; se deduce que en el ind-objeto AS1todos los morfismos de transicion son

kkh-equivalencias.

Demostracion. Esto se sigue del Lema 3.2.7 al considerar la extension del bucle(1.4.7) y que si PnA es la n-esima subdivision de PA, luego el nucleo del morfismoinducido evn1 : PnA→ A es isomorfo a Asdn S1

y que Pevn1es Pn,ev1 .

38


Definicion 3.2.9. Para una extension semi-partida

0→ Af−→ B

g−→ C → 0 (E)

el Lema 3.2.7 da una kkh-equivalencia A→ Pg. Definimos el morfismo de conexioncomo el siguiente morfismo en kkh(ΩC,A):

∂E : ΩC → Pg∼←− A, (3.2.10)

la composicion del morfismo natural ΩC → Pg de la extension de caminos delEjemplo 1.4.5 y la inversa de A

∼−→ Pg.

Lema 3.2.11. Para una extension semi-partida (E), las sucesiones

kkh(D,ΩB)Ωjh(g)∗−−−−−→ kkh(D,ΩC)

(∂E)∗−−−−→ kkh(D,A)jh(f)∗−−−−→ kkh(D,B)

jh(g)∗−−−−→ kkh(D,C)

kkh(C,D)jh(g)∗−−−−→ kkh(B,D)

jh(f)∗−−−−→ kkh(A,D)(∂E)∗−−−−→ kkh(ΩC,D)

Ωjh(g)∗−−−−−→ kkh(ΩB,D)

son exactas.

Demostracion. Esto se demuestra en [CT07, Teorema 6.3.6 y Teorema 6.3.7] en elcaso no hermitiano. La misma prueba funciona.

Corolario 3.2.12. Para cualquier D ∈ Alg∗` , los funtores

kkh(D,−), kkh(−, D) : Alg∗` → Ab

son exactos partidos.

Demostracion. Esto es [CT07, Corolario 6.3.4] en el caso no hermitiano; de nuevo,la misma prueba funciona.

Para R ∈ Alg∗` unital, la ∗-algebra ΓXR es lo que se conoce como una ∗-algebrade sumas infinitas : definimos

α =∑n∈N

en,2n y β =∑n∈N

en,2n+1;

estos elementos satisfacen las identidades

α∗α = 1 = β∗β

αα∗ + ββ∗ = 1.

Para a, b ∈ ΓXR, definamos

a⊕ b = α∗aα + β∗bβ

a∞ =∑n∈N

(β∗)nα∗aαβn,

y para f, g : B → ΓXR, notemos f ⊕ g : B → ΓXR y f∞ : B → ΓXR por

f ⊕ g(b) = f(b)⊕ g(b)

f∞(b) = f(b)∞.

Entonces, es sencillo probar que

idΓXR ⊕ id∞ΓXR = idΓXR.

39


Lema 3.2.13. Existe una matriz unitaria Q ∈ M3ΓXR tal que para cualesquieraa, b ∈ ΓXR

Q∗

a⊕ b 0 00 0 00 0 0

Q =

a 0 00 b 00 0 0

Demostracion. La matriz Q en [Wag72, p.355] puede facilmente verse unitaria ennuestro caso.

Corolario 3.2.14. Para cualquier A ∈ Alg∗` , la ∗-algebra ΓXA es isomorfa a 0 enkkh.

Demostracion. Supongamos A unital, el caso general se sigue de utilizar la exactitudpartida. Del Lema 3.2.13, el Lema 1.6.8 y el Lema 1.6.9 conseguimos

jh(idΓXA ⊕ id∞ΓXA) = jh(idΓXA) + jh(id∞ΓXA);

dado que idΓXA⊕ id∞ΓXA = idΓXA, se deduce que jh(idΓXA) = 0 y, por lo tanto, ΓXAes kkh-equivalente a 0.

Corolario 3.2.15. Hay una kkh-equivalencia natural ΩΣXA ∼= A. Como los funto-res ΣX y Ω conmutan, se deduce que son equivalencias inversas en kkh.

Demostracion. Sea q : ΓXA→ ΣXA el morfismo de cociente. Usando el Lema 3.2.7,hay una equivalencia natural en kkh MXA ∼= Pq. Por otro lado, considerando laextension de caminos de q, hay un morfismo natural ΩΣXA → Pq. Dado que ΓXAes kkh-equivalente a 0 para cualquier A, se sigue del Lema 3.2.11 que para cualquierD ∈ Alg∗` , la inclusion ΩΣ→ Pq induce isomorfismos

kkh(ΩΣXA,D) ∼= kkh(Pq, D).

Por lo tanto, hay kkh-equivalencias ΩΣA ∼= Pq ∼= MXA ∼= A.

Lema 3.2.16. El morfismo de clasificacion ρA : J(A)→ ΩA es una kkh-equivalencia.

Demostracion. Las algebras T (A) y PA son contractiles : hay ∗-homotopıas H0 :T (A)→ T (A)[s] y H1 : PA→ PA[s] tales que

ev1H0 = idT (A) ev0H0 = 0

ev1H1 = idPA ev0H1 = 0.

Estas se definen de la siguiente manera: H0 es el adjunto al morfismo `-lineal

A→ T (A)[s]

a 7→ sa;

de manera similar, H1 se define por

PA→ PA[s]

p(t) 7→ p(st).

40


Por lo tanto, utilizando las extensiones de lazos (1.4.7) y universal y el Lema 3.2.11,hay equivalencias naturales ploop : ΩA→ ΩA y puniv : ΩA→ J(A). Usando natura-lidad de estos morfismos y el morfismo de extensiones de la universal a la extensionde lazos que define ρA, se sigue el enunciado del teorema.

Sea T la clase de sucesiones en kkh

ΩC → A→ B → C

que son isomorfas (como sucesiones) a la imagen de alguna extension de caminos deun morfismo f

ΩB′ → Pf → A′f−→ B′.

Teorema 3.2.17. La terna (kkh,Ω, T ) es una categorıa triangulada.

Demostracion. Esto se prueba en [CT07, Teorema 6.5.2] para el caso no hermitiano,la misma prueba funciona.

Teorema 3.2.18. El funtor jh : Alg∗` → kkh junto con los morfismos de conexion∂E forman una teorıa de homologıa escisiva que es invariante homotopica y MX

y hermitiano estable.

Demostracion. El hecho de que jh sea invariante homotopico, MX y hermitianoestable se sigue del Lema 3.1.9 y el Lema 3.2.11. Solo tenemos que ver que es unateorıa de homologıa. Por definicion del morfismo de conexion, para una sucesionsemi-partida (E), la sucesion

ΩC∂E−→ A→ B → C

es isomorfa (como sucesion) al triangulo del algebra de caminos de la extension. Masaun, los morfismos ∂E son claramente naturales en (E).

Observacion 3.2.19. El Teorema 3.2.18 corrige un error en [CT07, Ejemplo 6.6.1]en donde el morfismo de conexion esta mal definido.

Teorema 3.2.20. El funtor jh : Alg∗` → kkh es universal en el siguiente sentido:para cualquier teorıa de homologıa escisiva H : Alg∗` → T que sea invariante ho-motopica, MX y hermitiano estable, hay un unico funtor triangulado H : kkh → Ttal que el siguiente diagrama conmuta

Alg∗` T

kkh

H

jh

H

Demostracion. Esto es [CT07, Teorema 6.6.2] en el caso no hermitiano. La mismaprueba funciona.

41


Observacion 3.2.21. Como se explica en la Observacion 1.4.4, las clases de exten-siones que estan semi-partidas con respecto a las categorıas subyacentes de conjuntosy `-modulos coinciden con aquellas semi-partidas con respecto a conjuntos con in-volucion y `-modulos con involucion. Por lo tanto, segun el Teorema 3.2.20, laskkh teorıas correspondientes son las mismas si las involuciones estan incluidas en lacategorıa subyacente o no.

Sea C una categorıa abeliana. Un funtor H : Alg∗` → C es semi-exacto si dadauna extension en Alg∗`

0→ A→ B → C → 0

la sucesionH(A)→ H(B)→ H(C)

es exacta.

Proposition 3.2.22. Sea C una categorıa abeliana y H : Alg∗` → C un funtor.Supongamos que H es semi-exacto, invariante homotopico MX y hermitiano estable.Entonces hay un unico funtor homologico H : kkh → C tal que H jh = H.

Demostracion. Nuevamente, la demostracion es la misma que en [CT07, Teorema6.6.6].

Observacion 3.2.23. Para un morfismo α ∈ kkh(A,B) mostraremos como describirH(α) para un funtor H como en la Proposicion 3.2.22: primero extendemos Ha H como en el Lema 3.1.9; luego sea α una clase inducida por un morfismof : Jn(A) → MXM

⊗k± Bsdr Sn . Componiendo con el inverso de Jn(A) → ΩnA y

usando MX-estabilidad, estabilidad hermitiana y el Corolario 3.2.8 obtenemos unmorfismo f : ΩnA→ ΩnB en kkh. Es inmediato ver que f induce la clase de Ωn(α),y por lo tanto H(Ωn(α)) se determina por H(f), por lo que H(α) = H(Σn

Xf).

De aquı en adelante fijamos X = N.

Observacion 3.2.24. Sea f : A → B un ∗-morfismo. El morfismo f se puedecolocar en otros triangulos equivalentes al inducido por Pf . Por ejemplo, tomemosel pullback de el morfismo natural T (B)→ B a lo largo de f

J(B) T (B)×B A A

J(B) T (B) B.

pf

Sea Tf := T (B)×B A. Entonces, tenemos un diagrama conmutativo

J(B) Tf A B

ΩB Pf A B

ρB

f

f

(3.2.25)

42


Por el Lema 3.2.16, el morfismo vertical JB → ΩB es una kkh -equivalencia. Dadoque los primeros tres terminos de la fila superior en (3.2.25) forman una extension,usando el lema de los cinco se deduce que el morfismo vertical Tf → Pf es un kkh-equivalencia. Por lo tanto, la fila superior es kkh-equivalente a la inferior, y por lotanto es un triangulo en kkh.

Similarmente, sea Γf como en el Ejemplo 1.4.9. Por el Corolario 3.2.14, el morfis-mo de clasificacion JΣB →M∞B de la extension del cono es una kkh-equivalencia,por lo tanto TΣf → Γf es una kkh-equivalencia. Ası, los morfismos verticales en elsiguiente diagrama conmutativo son un isomorfismo de triangulos en kkh:

JΣB TΣf ΣA ΣB

M∞B Γf ΣA ΣB

Σf

Σf

(3.2.26)

Entonces la fila inferior de (3.2.26) es un triangulo en kkh. El morfismo (3.2.26) juntocon el de (3.2.25) con Σ(f) sustituido por f es un zig-zag de kkh-equivalencias. Enparticular, Γf es kkh-equivalente a PΣf . Como ΣPf es isomorfo a PΣf , la fila inferiorde (3.2.26) es isomorfo en kkh a la suspension del extension del cono 1.4.9 asociadaa Σf . Por lo tanto, tenemos un isomorfismo de triangulos:

M∞B Γf ΣA ΣB

B ΣPf ΣA ΣB

∼= ∼= ∼=

jh(Σf)

∼=

Σjh(f)

(3.2.27)

Observacion 3.2.28. Sean (Alg∗` )f ⊂ Alg∗` y kkhf ⊂ kkh las subcategorıas plenas

cuyos objetos son las ∗-algebras que son playas como `-modulos y definamos jhf :

(Alg∗` )f → kkhf como la restriccion de jh. Observemos que (Alg∗` )f esta cerrado por

de J y por de algebras de caminos; por lo tanto, kkhf es una categorıa triangulada

y jhf es escisivo, invariante homotopico y ι+ y MX -estable. Ademas, de la misma

manera que en el Teorema 3.2.20, el funtor jhf es universal entre dichos funtores.

Ejemplo 3.2.29. Sea `0 un anillo conmutativo y sea ` = inv(`0) y inv : Alg`0 →Alg∗` sea como en el Ejemplo 1.1.6. Recodemos la teorıa de homologıa escisiva inva-riante homotopica y matricialmente estable universal j : Alg`0 → kk. Entonces, lacomposicion jh inv : Alg∗` → kkh es escisiva, invariante homotopica y MX-estable;utilizando la propiedad universal de j, hay un funtor triangulado inv : kk`0 → kkh` .De manera similar, para el funtor inverso a inv,

res : Alg∗` → Alg`0B 7→ (1, 0)B

la composicion jres es escisiva, invariante homotopica y MX-estable; por el Ejemplo1.1.16 tambien es hermitiano estable. Por lo tanto, induce un funtor res : kkh` → kk`0que es inverso a inv. Esto muestra que kk es un caso particular de kkh.

43


De manera similar, para un ` arbitrario, recordemos las adjunciones del Ejemplo1.1.6:

res : Alg∗` ↔ Alg` : ind,

ind′ : Alg` ↔ Alg∗` : res.

El mismo razonamiento que antes da adjunciones:

res : kkh ↔ kk : ind,

ind′ : kk ↔ kkh : res.

Ejemplo 3.2.30. Sea L ∈ Alg∗` ; entonces L ⊗ − preserva las extensiones semi-partidas con secciones `-lineales si L es playo como `-modulo o cada extensionsemi-partida se parte `-linealmente. En cualquier caso, jh(L ⊗ −) : Alg∗` → kkh

es invariante homotopico y matricialmente y hermitiano estable, por lo tanto induceun funtor triangulado L ⊗ − : kkh → kkh. Por un argumento similar, para kkhfcomo en la Observacion 3.2.28, cualquier L ∈ Alg∗` induce un funtor trianguladoL⊗− : kkhf → kkh.

Proposition 3.2.31. Sean A1, A2 ∈ Alg∗` tal que Ai ⊗− (i = 0, 1) preserva exten-siones que se parten linealmente. Entonces tenemos un producto asociativo bilinealnatural

kkh(A1, A2)× kkh(B1, B2)→ kkh(A1 ⊗B1, A2 ⊗B2), (ξ, η) 7→ ξ ⊗ η

que es compatible con la composicion en todas las variables.

Demostracion. Supongamos primero el caso de que A1, A2 sean playos como `-modulos. Por el Ejemplo 3.2.30, Ai ⊗ − y − ⊗ Bi se extienden a los funtoresAi⊗− : kkh → kkh y −⊗Bi : kkhf → kkh. Para ξ ∈ kkh(A1, A2) y η ∈ kkh(B1, B2),definimos

ξ ⊗ η = (ξ ⊗ idB2) (idA1 ⊗ η).

Es rutina comprobar que el producto anterior tiene todas las propiedades requeridas.En el caso de que las extensiones semi-partidas siempre se parten linealmente,

entonces − ⊗ Bi se extiende a los funtores − ⊗ Bi : kkh → kkh y usa la mismadefinicion que antes.

Definicion 3.2.32. Sea ε ∈ ` un unitario, A,B ∈ Alg∗` y n ∈ Z. Definimos

kkhn(A,B) :=

kkh(A,ΣnB) si n ≥ 0

kkh(A,Ω−nB) si n < 0

εkkhn(A,B) := kkhn(A, εM2B)

Observacion 3.2.33. Dado que Ω y Σ son funtores inversos en kkh, existen iso-morfismos

kkhn(A,B) ∼=

kkh(ΩnA,B) si n ≥ 0

kkh(Σ−nA,B) si n < 0

44


Observacion 3.2.34. Debido a la Observacion 1.1.27, hay un ∗ isomorfismo 1M2∼=

M±. De esto y el Teorema 3.2.20 se sigue que para todo A,B ∈ Alg∗` , ι+ : `→ M±induce un isomorfismo canonico

1kkh∗ (A,B) ∼= kkh∗ (A,B).

Ejemplo 3.2.35. El funtor KHh0 : Alg∗` → KHh

0 (`)−Mod satisface la hipotesis de

la Proposicion 3.2.22. Entonces el funtor KHh

0 de la Proposicion induce un morfismonatural

kkh(A,B)→ homKHh0 (`)(KH

h0 (A), KHh

0 (B))

Si fijamos A = ` obtenemos un morfismo natural

kkh(`, B)→ KHh0 (B).

Proposition 3.2.36. El producto de la Proposicion 3.2.31 se condice con productocup del Lema 2.2.9 bajo el morfismo del Ejemplo 3.2.35. En otras palabras, hay undiagrama conmutativo

kkh(`, A)⊗Z kkh(`, B) KHh

0 (A)⊗Z KHh0 (B)

kkh(`, A⊗B) KHh0 (A⊗B).

⊗ ?

Demostracion. Supongamos A,B unitales y sean α ∈ kkh(`, A) y β ∈ kkh(`, B).Usando la Observacion 3.2.23, los elementos correspondientes enKHh

0 (A) yKHh0 (B)

estan determinados por morfismos

Ωn(α)∗ : KHh0 (Ωn)→ KHh

0 (ΩnA),

Ωm(β)∗ : KHh0 (Ωm)→ KHh

0 (ΩmB).

y la evaluacion en [1] ∈ KHh0 (`). Dado que el producto

kkh(`, A)⊗Z kkh(`, B)→ kkh(`, A⊗B)

extiende al producto tensorial de algebras y debido a la Observacion 2.2.4, el pro-ducto cup corresponde a la extension de los escalares; entonces se sigue que

Ωn+m(α⊗ β)∗[1] = Ωn(α)∗[1] ? Ωm(β)∗[1].

De lo que se desprende el enunciado en el caso unital. El caso no unital se sigue delunital y escision.

45

Capıtulo 4

Ejemplos y la comparacion conKHh

4.1. Ejemplos

Coproductos

Proposicion 4.1.1. Sean A,B ∈ Alg∗` entonces el morfismo natural AqB → A⊕Bes una kkh-equivalencia.

Demostracion. Definamos f : A⊕B →M2(AqB) como

f(a, b) =

(a 00 b

).

Mostraremos que

jh(idM2 ⊗ π f) = jh(i2 : A⊕B →M2(A⊕B)) (4.1.2)

y quejh(f π) = jh(i2 : qB →M2(AqB)); (4.1.3)

se deduce que jh(π) es inversible a la izquierda y a la derecha y por lo tanto unisomorfismo en kkh.

Identifiquemos a Aq B con su imagen a traves de i2 en M2(Aq B). Sea u(t) ∈M2(AqB[t]) definido por

ut = idM2A q(

1− t2 t(t3 − 2t) 1− t2

).

Se ve facilmente que ut es inversible, u0 = id y

u1i2(a)u∗1 = f π(a) (a ∈ A)

u1i2(b)u∗1 = f π(b) (b ∈ A);

por lo tanto, del Lema 1.2.3 se deduce la igualdad en (4.1.3). Del mismo modo,utilizando la matriz idM2 ⊗ π(ut) ∈ M2(A ⊕ B) podemos concluir la igualdad en(4.1.2).

46

4.1. Ejemplos 47

Corolario 4.1.4. El morfismo natural Q(A) → A ⊕ A es una kkh-equivalencia einduce una kkh-equivalencia π0 : q(A)→ A.

Demostracion. Esto se sigue de la Proposicion 4.1.1 y el diagrama conmutativodiagrama entre triangulos partidos en kkh (que son distinguidos por la Observacion3.2.4):

ΩA q(A) Q(A) A

ΩA A A⊕ A A

0

π0 ∼

0 i1 pr2

El teorema fundamental

Recordemos del Ejemplo 1.1.22 el algebra de polinomios de Laurent enA,A[t, t−1].Notamos

σA = ker(ev1 : A[t, t−1]→ A).

El algebra Toeplitz τ (sobre `) es la ∗-algebra generada por un elemento S talque S∗S = 1. Definimos τ0 como el nucleo del morfismo τ → ` que envıa S a 1.

Proposicion 4.1.5. Sea A ∈ Alg∗` . Entonces A[t, t−1] y A⊕ΣA son kkh-equivalentes.

Demostracion. Consideremos la extension partida

0→ σA→ A[t, t−1]→ A→ 0;

por lo tanto, de la Observacion 3.2.4 se deduce que A[t, t−1] es kkh equivalente aA ⊕ σA. Demostraremos que σA es kkh-equivalente a ΣA. Dado que el anillo decoeficientes A no importa en la siguiente demostracion, lo omitimos de la notacion.La demostracion sigue como en [CT07, Teorema 7.3.1 y Lema 7.3.2].

Sea f : τ → A[t, t−1] el ∗-morfismo definido por S 7→ t. Este morfismo se restringea f | : τ0 → σ. Por otro lado hay tambien un ∗-morfismo natural g : τ → Γ que envıaS a la matriz

S 7→

0 0 0 · · ·1 0 0 · · ·0 1 0 · · ·...

.... . . . . .

Es facil ver que g es inyectivo; ası, τ se identifica con una ∗-subalgebra de Γ. En estaidentificacion, el nucleo de f | se condice con M∞. Esto da un diagrama conmutativo

0 M∞ τ0 σ 0

0 M∞ Γ Σ 0.

47

4.1. Ejemplos 48

Si mostramos que τ0 es kkh-equivalente a 0, ya que sabemos que Γ es kkh-equivalentea 0 por el Corolario 3.2.14, podemos usar el lema de los cinco y concluir que σ es kkh-equivalente a Σ. Para ello construiremos un ∗-cuasi-homomorfismo de τ0 a M∞τ [t]que cuando se evalua en t = 0 es la inclusion natural y es nulo cuando se evalua ent = 1.

Primero definimos varios ∗ -morfismos ψ, ϕ1, ϕ2, ϕ3 : τ → τ ⊗ τ que se definenen el generador S como

ψ(S) = S2S∗ ⊗ 1 (4.1.6)

ϕ1(S) = S2S∗ ⊗ 1 + (1− SS∗)⊗ Sϕ2(S) = S ⊗ 1

ϕ3(S) = S2S∗ ⊗ 1 + (1− SS∗)⊗ 1

Todos estos morfismos concuerdan modulo el ∗-ideal M∞ ⊗ τ . Identifiquemos τ consu imagen en Γ y definamos elementos ut, vt ∈ (τ ⊗ τ)[t] ⊆ Γτ [t] por

ut =

1− SS∗t2 (t3 − 2t)S 0 0 · · ·

tS∗ 1− t2 0 0 · · ·0 0 1 0 · · ·0 0 0 1 · · ·...

......

.... . .

,

vt =

1− t2 (t3 − 2t) 0 0 · · ·t 1− t2 0 0 · · ·0 0 1 0 · · ·0 0 0 1 · · ·...

......

.... . .

,

Se comprueba facilmente que u0, u1, v0 y v1 son matrices unitarias y que 1 − ut y1 − vt pertenecen al ideal M∞τ [t]. Sea Ut = c(ut, u

−1t ) y Vt = c(vt, v

−1t ) como en el

Lema 1.2.3. Definimos Φ1,Φ2 : τ →M±(τ ⊗ τ)[t] como

Φ1(S) = Uti+(S ⊗ 1)

Φ2(S) = Vti+(S ⊗ 1).

Entonces se satisfacen las siguientes identidades:

ev0 Φ1 = ev1 Φ2 = i+ϕ2,

ev1 Φ1 = i+ϕ1 and

ev1 Φ2 = i+ϕ3

Por lo tanto, restringiendo a τ0 hay ∗-cuasi-homomorfismos

(Φ1, i+ψ), (Φ2, i+ψ) : τ0 ⇒M±τ ⊗ τ [t]DM±M∞τ [t].

48

4.1. Ejemplos 49

Usando la Proposicion 1.5.3, los ∗-cuasi-homomorfismos (i+ϕ1, i+ψ) y (i+ϕ3, i+ψ)inducen los mismos morfismos en kkh. Por lo tanto, utilizando la estabilidad her-mitiana, ∗-cuasi-homomorfismos (ϕ1, ψ) y (ϕ3, ψ) inducen los mismos morfismos enkkh.

Finalmente, dado que ϕ1 es la suma ortogonal de ψ y la inclusion τ0 → M∞τy ϕ3 coinciden con ψ cuando se restringe a τ0, usando la Proposicion 1.5.3 se tieneque (ϕ1, ψ) induce el mismo morfismo que la inclusion τ0 → M∞τ en kkh y (ϕ3, ψ)induce el morfismo nulo. Por tanto, la inclusion τ0 → M∞τ es nula en kkh. PorM∞-estabilidad, esto implica que la inclusion τ0 → τ es nula, lo que implica que τ0

es kkh equivalente a 0 ya que la siguiente extension es partida:

0→ τ0 → τ → A→ 0

Sucesion de Pimsner-Voiculescu

En K-teorıa topologica, la sucesion de Pimsner-Voiculescu relaciona los gruposde K-teorıa de un producto cruzado AoZ con los de A. Aquı presentamos el analogoalgebraico de esta sucesion en nuestro contexto.

Dado un ∗-automorfismo σ : A→ A definimos el producto cruzado Aoσ Z dadopor A[t, t−1] como `-modulos pero con la multiplicacion dada por la relacion

tat−1 = σ(a)

e involucion (at)∗ = t−1σ(a)∗.

Consideremnmos la ∗-subalgebra τσ de τ ⊗` (Aoσ Z) generada por 1⊗A y S⊗ t.Esto da una extension semi-partida

0→M∞A→ τσ → Aoσ Z→ 0. (4.1.7)

Proposicion 4.1.8. Sea A ∈ Alg∗` . Entonces la sucesion (4.1.7) induce el triangulodistinguido en kkh:

ΩA→ Aid−jh(σ−1)−−−−−−→ A→ Aoσ Z

Demostracion. Sea κ : A→ τσ la inclusion canonica. El mismo argumento (con lasmodificaciones obvias) que en [Cun05, Proposition 14.1 y 14.2] muestra que hay undiagrama conmutativo en kkh

ΩAoσ Z A A Aoσ Z

ΩAoσ Z M∞A τσ Aoσ Z,

id−jh(σ−1)

i κ

de lo que se sigue el enunciado de la proposicion.

49

4.1. Ejemplos 50

Algebra de Cohn de un grafo

Sea E un grafo dirigido, es decir, un 4-upla (E0, E1, r, s) donde E0 es el conjuntode vertices del grafo, E1 es el conjunto de aristas, r, s : E1 → E0 son la fuentey el rango de las aristas. Un camino en E es una sucesion de aristas e1e2 · · · endonde r(ei) = s(ei+1) para i = 1, . . . , n− 1; en este caso llamamos n la longitud delcamino. Definimos los vertices como caminos de longitud 0. Definimos P(E) comoel conjunto de caminos finitos en E; el rango y la fuente se extienden a funcionesr, s : P(E)→ E0 de forma obvia.

El algebra de caminos de Cohn C(E) de un grafo E es la ∗-algebra generada porE0 y E1 sujeta a las relaciones

v · w = δv,wv

v∗ = v

s(e) · e = e = r(e) · ee∗f = δe,fr(e)

para v, w en E0 y e, f ∈ E1.Hay un morfismo natural ϕ : `(E0) → C(E) que envıa evv a v. Para un vertice

v ∈ E0 tal que s−1(v) es un conjunto finito, definimos

C(E) 3 mv =

∑e∈s−1(e) ee

∗ if s−1(v) 6= ∅0 if s−1(v) = ∅.

Los elementos mv satisfacen las identidades

mv = m∗v, m2v = mv, mvw = δv,wmv,

mve = δv,s(e)e (w ∈ E0, e ∈ E1). (4.1.9)

Sea Cm(E) el algebra obtenida de C(E) al unir formalmente un elemento mv paracada vertice en E tal que s−1(v) es infinito, sujeto a las identidades (4.1.9). Seaqv = v −mv ∈ Cm(E) y notamos

K(E) = 〈qv|v ∈ E0 s−1(v) es finito no vacıo〉 ⊆ K(E) = 〈qv|v ∈ E0〉

para los ideales correspondientes en Cm(E).

Sea i : `(E0) → K(E) el ∗-morfismo que asigna evv en qv y sea ξ : C(E)→ Cm(E)determinado por

ξ(v) = mv; ξ(e) = emr(e).

El mismo argumento que en [CM18, Remark 4.9] muestra que i es una kkh-equivalencia.Por otro lado, la inclusion canonica i : C(E)→ Cm(E) y ξ determinan un ∗-cuasi-

homomorfismo (i, ξ) : C(E) ⇒ Cm(E) D K(E). Es sencillo ver que iϕ = ξϕ + i, ypor lo tanto, usando la Proposicion 1.5.3, obtenemos

jh(i, ξ)jh(ϕ) = jh(iϕ, ξϕ) = jh(ξϕ, ξϕ) + jh(i, 0) = jh(i)

50

4.1. Ejemplos 51

Entonces jh(ϕ) tiene una inversa a la izquierda jh(i)−1jh(i, ξ). Demostraremos quejh(ϕ) tiene inversa a la derecha y por lo tanto es un isomorfismo.

Consideremos MP(E), el anillo de matrices indexado en el conjunto P(E) y no-

temos εα,β a sus unidades. Definamos iτ : C(E) → MP(E)C(E) como el morfismodado en los generadores por

iτ (v) = εv,v ⊗ v, iτ (e) = εs(e),r(e) ⊗ e

para v ∈ E0 y e ∈ E1. Tambien definamos ϕ : K(E)→MP(E)C(E) por

ϕ(αqvβ∗) = εα,β ⊗ v.

Hay un diagrama conmutativo

`(E0) K(E)

C(E) MP(E)C(E).

i

ϕ ϕ

iτ

Lema 4.1.10. Sea α ∈ P(E) un camino y iα : C(E)→MP(E)C(E) la inclusion en

la α-diagonal (eα,α). Entonces iτ y iα inducen el mismo isomorfismo en kkh.

Demostracion. Usando Lema 1.6.8, la clase de iα no depende de α ya que iα y iβson conjugados. Entonces asumimos α = w ∈ E0. Para cada v ∈ E0, v 6= w sean

av = (1− t2)εw,w + (t3 − 2t)εw,v + tεv,w + (1− t2)εv,v

bv = (1− t2)εw,w + (2t− t3)εw,v − tεv,w + (1− t2)εv,v

aw = bw = εw,w.

Definamos Cv = c(av, bv) como en el Lema 1.2.3. Entonces tenemos una ∗-homotopıaH : C(E)→M±MP(E)C(E)[t] dada por

H(v) = Cvi+(εv,v ⊗ v)Cv

H(e) = Cs(e)i+(εs(e),r(e) ⊗ e)C∗r(e)

que satisface ev0H = i+iτ y ev1H = i+iw. Utilizando estabilidad hermitiana, llega-mos a la conclusion de que iτ y iw son los mismos morfismos en kkh.

Sea A ⊆MP(E)C(E) el `-subodulo generado por

A = spaneγ,δ ⊗ αβ∗ ∈MP(E)C(E) : s(α) = r(γ), s(β) = r(δ), r(α) = r(β).

Se comprueba facilmente que A es una ∗-subalgebra deMP(E)C(E), y que Im iτ , Im ϕ ⊆A. En particular, iτ restringido a A induce un monomorfismo en kkh.

51

4.1. Ejemplos 52

Sea ΓP(E) el cono como en el Ejemplo 1.4.9 indexado por P(E). Hay un ∗-morfismo ρ : Cm(E)→ ΓP(E) dado por

ρ(v) =∑s(α)=v

εα,α

ρ(e) =∑

r(α)=r(e)

εeα,α

ρ(mw) =∑

r(α)=wlength α≥1

εα,α.

Consideremos el ∗-morfismo ρ′ = ρ⊗ 1 : Cm(E)→ ΓP(E)Cm(E). Entonces A escerrado por multiplicacion por los elementos en la imagen de ρ′ a ambos lados, porlo que podemos formar el producto semidirecto Cm(E) n A. Definamos el algebraD como el cociente de Cm(E) n A por el ∗-ideal

〈αqvβ∗,−εα,β ⊗ v : v = r(α) = r(β)〉.

Se muestra en [CM18, Lemma 4.19] que A se aplica de forma inyectiva a D, lo quesignifica que es isomorfo a un ∗-ideal en D. Luego tenemos un diagrama conmutativo

`(E0) K(E) Cm(E)

C(E) A D,

i

ϕ ϕ Ξ

iτ

(4.1.11)

donde Ξ viene dado por la composicion de la inclusion Cm(E) → Cm(E) n A y laproyeccion Cm(E) o A → D. Definamos ψ0 = Ξ, ψ1 = Ξξ. Es facil comprobar queψ1 es ortogonal a iτ , por lo que podemos definir ψ1/2 = ψ1 + iτ . Estos ∗-morfismosdefinen ∗-cuasi-homomorfismos

(ψ0, ψ1), (ψ0, ψ1/2), (ψ1/2, ψ1) : C(E)⇒ D B A

Lema 4.1.12. El ∗-cuasi-homomorfismo (ψ0, ψ1/2) induce el morfismo cero en kkh.

Demostracion. Para cada e ∈ E1 consideremos las matrices en ΓP(E)C(E)[t]

uet = εs(e),s(e)(1− t2)⊗ ee∗ + εe,s(e) ⊗ te∗

vet = εs(e),s(e)(1− t2)⊗ ee∗ + εs(e),e ⊗ (2t− t3)e.

Observemos que multiplicar por uet y vet preservan A. Sea U et = c((0, uet ), (0, v

et )) ∈

M±D[t] como en el Lema 1.2.3 y definamos una ∗-homotopıa H : C(E)→ M±D[t]determinada por

H(v) = i+(v, 0) (v ∈ E0)

H(e) = i+(emr(e), 0) + U et i+(0, εs(e),r(e) ⊗ e) (e ∈ E1)

52

4.2. Comparacion de con KHh 53

Entonces H es una homotopıa entre i+ψ0 y i+ψ1/2 y el ∗-cuasi-homomorfismo(H, i+ψ1/2) es una homotopıa entre (i+ψ0, i+ψ1/2) y (i+ψ1/2, i+ψ1/2). Por lo tantousando la Proposicion 1.5.3 y estabilidad hermitiana se tiene que jh(ψ0, ψ1/2) es elmorfismo cero.

Teorema 4.1.13. El morfismo ϕ : `(E0) → C(E) es una kkh-equivalencia.

Demostracion. Ya comprobamos que

jh(i)−1jh(i, ξ)jh(ϕ) = jh(id`(E0)).

El diagrama conmutativo (4.1.11) y el lema anterior muestran que

jh(ϕ)jh(i, ξ) = jh(ψ0, ψ1) = jh(ψ0, ψ1/2) + jh(ψ1/2, ψ1) = jh(ψ1/2, ψ1) = jh(iτ )

Y por otro ladojh(ϕ)jh(i, ξ) = jh(iτ )j

h(ϕ)jh(i)−1jh(i, ξ),

por lo quejh(iτ ) = jh(iτ )j

h(ϕ)jh(i)−1jh(i, ξ);

dado que jh(iτ ) es un monomorfismo, esto muestra que

jh(idC(E)) = jh(ϕ)jh(i)−1jh(i, ξ)

como querıamos.

4.2. Comparacion de con KHh

Teorema 4.2.1 ([cf. CT07, Teorema 8.2.1]). El morfismo del Ejemplo 3.2.35 da unisomorfismo

KHh0 (A) ∼= kkh(`, A).

Demostracion. Supongamos primero A unital, el caso general se sigue de escision.Recordemos de la Observacion 2.1.6 el conjunto ∗-cuasi-homomorfismos qq(`, A) yel morfismo sobreyectivo

qq(`, A)→ Kh0 (A).

Usando el Ejemplo 1.5.2, para (e0, e1) ∈ qq(`, A), este ∗-cuasi-homomorfismo tam-bien induce un morfismo (ei) : q`→ 1M

h2M∞A que induce un morfismo en kkh,

qq(`, A)→ kkh(q`, 1M2M∞A) ∼= kkh(q`, A) (4.2.2)

(e0, e1) 7→ [ei]

Usando el Lema 1.6.8, el morfismo (4.2.2) envıa clases equivalentes en Kh0 al mismo

morfismo en kkh, por lo que el morfismo se factoriza como

qq(`, A) kkh(q`, A)

Kh0 (A)

53

4.2. Comparacion de con KHh 54

Usando el Corolario 4.1.4 tenemos que π0 : q` → ` es induce una kkh-equivalencia,por lo que podemos componer para obtener

Kh0 (A)→ kkh(`, A).

Usando escision para Khn para n ≤ 0, esto da un morfismo

α : KHh0 (A) = colim−−−→

n

Kh0 (ΣnΩnA)→ colim−−−→

n

kkh(`,ΣnΩnA) = kk(`, A).

Notemosβ : kkh(`, A)→ KHh

0 (A)

para el morfismo del Ejemplo 3.2.35. Demostraremos que α y β son inversos entresı.

Utilizando la descripcion de β dada en la Observacion 3.2.23, para un idempoten-te autoadjunto e ∈ 1M

h2M∞A, donde A es unital, es inmediato ver que βα(c0[e]) =

c0[e]. Esto implica que βα es la identidad en KHh0 (A).

Para completar la demostracion, mostraremos que α es sobreyectivo. Sea ϕ :Jn(`)→M∞M

⊗k± Asdr Sn el representante de una clase en kkh(`, A). Usando el mor-

fismo `→ ΣnJn(`) en kkh consideremos el morfismo inducido en KHh0

KHh0 (`)→ KHh

0 (ΣnJn(`))

y notemos e ∈ KHh0 (ΣnJn(`)) para la imagen del elemento [1] ∈ KHh

0 (`). De ladefinicion de α se desprende que α([1]) es igual a id` en kkh(`, `). Sea κ : q` →1M2M∞ΣnJn(`) el morfismo asociado a un ∗-cuasi-homomorfismo que induce e. Porlo tanto, tenemos la siguiente igualdad en kkh(`,ΣnJn`)

jh(κ)jh(π0)−1 = α(e). (4.2.3)

A su vez, esto muestra que jh(κ)jh(π0)−1 es el morfismo que induce la kkh-equivalencia` ∼ ΣnJn(`). Por otro lado, consideremos el diagrama conmutativo en kkh

ΣnJn(`) ΣnAsdr Sn

` A

Σnϕ

∼

ϕ

∼

donde la flecha derecha es un isomorfismo debido al Corolario 3.2.8. De ello se deduceque (Σnϕ)∗(e) ∈ KHh

0 (ΣnAsdr Sn) ∼= KHh0 (A) es la misma clase que jh(ϕ)∗([1]) ∈

KHh0 (A). Por lo tanto, usando (4.2.3) tenemos las siguientes igualdades en kkh(`, A):

α(ϕ∗([1])) = α((Σnϕ)∗(e)) = (Σnϕ)α(e) = (Σnϕ)jh(κ)jh(π0)−1 = ϕ.

Con esto concluye la prueba.

54

Capıtulo 5

El Teorema Fundamental deKaroubi en kkh

En este capıtulo probamos un resultado analogo al Teorema 2.3.3 en la categorıakkh. Para ello, desarrollamos algunos resultados preliminares sobre los funtores deinduccion y restriccion en la Seccion 5.1; luego definimos funtores U, V : Alg∗` → Alg∗èn la Seccion 5.2, que son similares a los funtores U ′, V ′ descritos en la Seccion 2.3y que en kkh dan funtores equivalentes a menos de suspension/lazos; tambien mos-tramos que los funtores U, V satisfacen propiedades analogas a las discutidas en laSeccion 2.3. Finalmente en la Seccion 5.3 usamos los funtores U, V y las propiedadesque se discutieron en la Seccion 5.2 para concluir el Teorema 5.3.1 y el Teorema5.3.7.

5.1. Los funtores ind, res y Λ

Recordemos los funtores res : kkh → kk y ind, ind′ : kk → kkh del ejemplo3.2.29.

Proposicion 5.1.1. Los funtores res : kkh ↔ kk : ind son adjuntos a izquierday derecha el uno del otro; en otras palabras, para cada A ∈ Alg∗` y B ∈ Alg` hayisomorfismos naturales

kk(res(A), B) ∼= kkh(A, ind(B)) y kkh(ind(B), A) ∼= kk(B, res(A)).

Demostracion. Usando la Proposicion 4.1.1, los funtores ind, ind′ : kk → kkh sonnaturalmente equivalentes, ya que uno es adjunto a la derecha de res y el otro adjuntoa la izquierda, se concluye el resultado.

Observacion 5.1.2. Los morfismos de unidad y counidad de la Proposicion 5.1.1 seobtienen de los de la adjuncion entre ind′ y res utilizando la proyeccion π : ind′ → indy el morfismo diagonal ind→M2ind′ como en la prueba de Proposicion 4.1.1.

Sea Λ = `⊕ ` equipado con involucion

(λ, µ)∗ = (µ∗, λ∗).

55

5.1. Los funtores ind, res y Λ 56

Para A ∈ Alg∗` notemos ΛA por Λ⊗ A y Λ : Alg∗` → Alg∗` para el funtor asociado.

Recordemos de la Seccion 2.3 que para A ∈ Alg∗` notamos A = ind(res(A)).

Entonces A ∼= ΛA a traves del isomorfismo

ΛA→ A

(x, y) 7→ (x, y∗).

Bajo esta identificacion, los morfismos ηA de (2.3.2) y ϕA de (2.3.1) se conviertenen extensiones escalares de las inclusiones

η : `→ Λ (5.1.3)

x 7→ (x, x),

φ : Λ→ 1M2 (5.1.4)

(x, y) 7→(x 00 y

).

Observacion 5.1.5. El funtor inducido por tensorizar con Λ : kkh → kkh es adjuntoa izquierda y a la derecha de sı mismo ya que Λ ∼= ind res(`). Ademas, la Proposicion5.1.1 muestra que

kkh(·,Λ(·)) = kk(res(·), res(·)).En otras palabras, Λ representa kk. En particular, tenemos

εkkh(·,Λ(·)) ∼= kkh(·,Λ(·))

para cualquier ε ∈ ` unitario. Ademas, en la Observacion 1.1.27, si R ∈ Alg∗` esunital y ε ∈ R es central unitario y Ψ ∈ R es un elemento ε-hermitiano inversible,entonces tenemos un ∗-isomorfismo

ad (1,Ψ−1) : ΛR→ ΛRΨ.

En particular, tenemos ∗-isomorfismos

ΛM± ∼= Λ(εM2) ∼= ΛM2.

Observacion 5.1.6. Sea t : Λ → Λ definido por t(x, y) = (y, x). Entonces t es un∗-automorfismo con t2 = idΛ; ademas usando la Observacion 5.1.5 se comprueba queel siguiente diagrama conmuta:

Λ 1M2Λ

M2Λ.

id 0

0 t

(id1M2⊗η)φ

∼

Entonces, usando el Lema 1.6.9 obtenemos

jh(i2)−1jh(η)jh(φ) = jh(idΛ) + jh(t).

56

5.2. Los funtores U y V 57

5.2. Los funtores U y V

Consideremos las algebras de caminos (Ejemplo 1.4.5) de los morfismos (5.1.4)y (5.1.3),

U = Pφ, V = Pη.

Para A ∈ Alg∗` , notemos UA = U ⊗ A y V A = V ⊗ A; estos son, respectivamente,las algebras de caminos de φ ⊗ idA : ΛA → 1M2A y η ⊗ idA : A → ΛA. Porque Uy V son playos como `-modulos, definen funtores U, V : kkh → kkh por el Ejemplo3.2.30.

Observacion 5.2.1. Recordemos los funtores U ′, V ′ de la Seccion 2.3. Utilizandola Observacion 3.2.24 y el isomorfismo A ∼= ΛA, se sigue que hay kkh -equivalencias

U ∼ ΩU ′`

V ∼ ΩV ′`.

En los Lemas 5.2.2 y 5.2.6 reformulamos las equivalencias de (2.3.4) en el marco dekkh.

Lema 5.2.2. Hay kkh-equivalencias

UΛ ∼ Λ y

V Λ ∼ ΩΛ.

Demostracion. Demostremos la primera equivalencia. Para facilitar la notacion omi-timos el funtor jh. Sea

Ω1M2Λ→ UΛ→ Λ2 φ⊗idΛ−−−→ 1M2Λ

el triangulo en kkh inducido por la extension que define UΛ. Tenemos un isomorfismo

τ : Λ2 ∼= Λ⊕ Λ (5.2.3)

(x1, x2)⊗ (x3, x4) 7→ (x1x3, x2x4, x1x4, x2x3).

Sean λ1 = (0, 1), λ2 = (1, 0) y ιi : Λ → 1M2Λ como en el Lema 3.1.11. Seani : Λ→ Λ⊕ Λ (i = 1, 2) las inclusiones en cada coordenada. Observamos que

((φ⊗ idΛ) τ−1 1)(x, y) =

((x, 0) (0, 0)(0, 0) (0, y)

).

La matriz

u =

((1,−1) (1, 1)(0, 0) (−1, 1)

)∈ 1M2(ind(B)) (5.2.4)

es unitaria y satisface

ad(u) ι1 = (φ⊗ idΛ) τ−1 1 : Λ→ 1M2Λ.

57

5.2. Los funtores U y V 58

Entonces, por el Lema 1.6.8, el siguiente diagrama conmuta en kkh

Λ Λ⊕ Λ

1M2Λ.

1

ι1∼

(φ⊗idΛ)τ−1

Del mismo modo, el diagrama

Λ Λ⊕ Λ

1M2Λ

2

ι2∼

(φ⊗idΛ)τ−1

conmuta en kkh. Sean pri : Λ⊕Λ→ Λ (i = 1, 2) las proyecciones en cada coordenada.Por el Lema 3.1.11 tenemos jh(ι1) = jh(ι2); ası, usando los diagramas anteriores, elsiguiente diagrama de flechas solidas conmuta en kkh:

UΛ Λ21M2Λ

Λ Λ⊕ Λ Λ.

ϕ⊗idΛ

1−2 π1+π2

τ−1 ∼ ι1

Dado que la fila inferior esta partida, se completa en un triangulo por la Observacion3.2.4. Entonces, porque las flechas verticales central y derecha son isomorfismos enkkh, obtenemos que el morfismo punteado es un isomorfismo en kkh.

A continuacion, probamos el segundo isomorfismo del enunciado. Sea

ΩΛ2 → V Λ→ Λη⊗idΛ−−−→ Λ2

el triangulo en kkh inducido por la extension que define V Λ. Sea t sea como en(5.1.6); se comprueba que el siguiente cuadrado conmuta:

Λ Λ2

Λ Λ⊕ Λ.

η⊗idΛ

τ

1+2t

(5.2.5)

El morfismo 1 + 2t se completa en un triangulo distinguido partido en kkh

ΩΛ→ Λ1+2t−−−→ Λ⊕ Λ

π1−tπ2−−−−→ Λ.

Al rotar el triangulo partido de arriba, obtenemos el triangulo:

Ω(Λ⊕ Λ)→ ΩΛ0−→ Λ

1+2t−−−→ Λ⊕ Λ.

58

5.3. Version bivariante del teorema fundamental de Karoubi 59

Finalmente, (5.2.5) se extiende a un diagrama conmutativo en kkh:

V Λ Λ Λ2

ΩΛ Λ Λ.

η⊗idΛ

τ

0 1+2t

De lo que se deduce que el morfismo punteado es un isomorfismo.

Lema 5.2.6. Hay una kkh-equivalencia

ΣV U ∼ `.

En particular, V U ∼ Ω.

Demostracion. Como antes, omitimos jh de la notacion. En vista del Lema 3.1.11,basta con mostrar que ΣV U es kkh-equivalente a 1M2. Sea

ΩΛU → V U → Uη⊗idU−−−→ ΛU

el triangulo en kkh inducido por la extension que define V U . El kkh-isomorfismoentre ΛU = UΛ y Λ establecido en Lema 5.2.2 se induce mediante la aplicacion deΛ2 a Λ⊕Λ y luego retraerse a la primera coordenada. Usando este hecho, conseguimosun morfismo de triangulos en kkh

U ΛU ΣV U ΣU

U Λ 1M2 ΣU.

η⊗idU

∼

φ

De ello se deduce que el morfismo punteado en kkh es un isomorfismo.

Observacion 5.2.7. Por el Ejemplo 3.2.30, los isomorfismos de los Lemas 5.2.2 y5.2.6 inducen kkh-equivalencias UΛA ∼ ΛA, V ΛA ∼ ΩΛA y V UA ∼ ΩA para cadaA ∈ Alg∗` .

5.3. Version bivariante del teorema fundamental

de Karoubi

Recordemos del Corolario 2.3.6, el elemento θ ∈ KHh2 (−1M2(U ′)2`). Usando la

Observacion 5.2.1 y el Teorema 4.2.1, obtenemos un elemento θ ∈ kkh(`, −1M2U2).

Recordemos tambien el producto inducido por el producto tensorial de la Proposicion3.2.31.

Teorema 5.3.1. Para todo A ∈ Alg∗` , el producto con θ induce un isomorfismonatural

θA := θ ⊗ jh(idA) : jh(A) ∼= jh(−1M2U2A).

59


Demostracion. Por el Ejemplo 3.2.30, basta con mostrar que θ = θ` es un isomor-fismo. De manera equivalente, necesitamos ver que

kkh(`, θ)∗ : kkh(`, `)→ kkh(`, 1M2U2) y

kkh(−1M2U2, θ)∗ : kkh(−1M2U

2, `)→ kkh(−1M2U2, −1M2U

2)

son isomorfismos.Teniendo en cuenta la estabilidad hermitiana y usando el Lema 5.2.6, vemos que

kkh(−1M2U2, θ)∗ es un isomorfismo si y solo si

kkh(`, θ−1M2(ΣV )2)∗ : kkh(`, −1M2(ΣV )2)→ kk(`, −1M2(ΣV U)2)

es un isomorfismo. Por tanto, el teorema se sigue si probamos que (θA)∗ := kkh(`, θA)es un isomorfismo para todo A.

Por la Proposicion 3.2.36 y el isomorfismo del Teorema 4.2.1, el morfismo (θA)∗se corresponde a el producto de cup con θ, que segun el Corolario 2.3.6 es un iso-morfismo.

Corolario 5.3.2. Sea ε ∈ ` unitario. Por cada A ∈ Alg∗` , hay una kkh-equivalencia

εM2V A ∼ −εM2UΩA.

Demostracion. Es inmediato del Teorema 5.3.1, el Lema 5.2.6 y la Observacion 5.2.7que V A ∼ −1M2UΩA. El corolario se deduce de esto aplicado a εM2A utilizando elisomorfismo

−1M2(εM2) ∼= M±(−εM2)

y estabilidad hermitiana.

Lema 5.3.3. Considere las kkh-equivalencias UΛ ∼ Λ del Lema 5.2.2 y M2Λ ∼=−1M2Λ de la Observacion 5.1.5. Entonces el siguiente diagrama conmuta en kkh:

Λ −1M2U2Λ

M2Λ −1M2Λ

θΛ

i2 ∼

∼

Demostracion. Segun la parte i) del Teorema 2.3.3, tenemos un diagrama conmuta-tivo en kkh, donde hemos omitido jh:

` −1M2U2

−1M2ΛU

M2Λ −1M2Λ

i2η

θ

∼

(5.3.4)

Sea p = pr1 τ : Λ2 → Λ; tenemos

p((x1, x2)⊗ (x3, x4)) = (x1x3, x2x4).

60


Tensorizando (5.3.4) con Λ y componiendo los morfismos verticales resultantes conlos inducidos por p, obtenemos otro diagrama conmutativo

Λ −1M2U2Λ −1M2ΛUΛ

M2Λ −1M2Λ.

i2

θΛ

∼

(5.3.5)

Usando el hecho de que la kkh-equivalencia UΛ ∼ Λ es inducida primero incluyendoen Λ2 y luego aplicando p, obtenemos un diagrama conmutativo en kkh

U2Λ ΛUΛ

Λ

Tensorizando con −1M2 obtenemos que la composicion −1M2U2Λ → −1M2Λ en el

diagrama (5.3.5) es el morfismo en diagrama de la proposicion, terminando la prueba.

La sucesion exacta bivariante de 12 terminos

Definicion 5.3.6 (cf. Definicion 2.3.7). SeanA,B ∈ Alg∗` , ε ∈ ` unitario, εkkh(A,B)

como en la Definicion 3.2.32 y t como en (5.1.6). Sean η : ` → Λ y φ : Λ → 1M2

como en (5.1.3) y (5.1.4). Notamos φ = jh(ι1)−1 jh(φ). Definimos

εW (A,B) := coker(εkkh(A,ΛB)

ϕ∗−→ εkkh(A,B))

εW′(A,B) := ker(εkk

h(A,B)η∗−→ εkk

h(A,ΛB))

k(A,B) := x ∈ kkh(A,ΛB) : x = t∗x/x = y + t∗y para algun yk′(A,B) := x ∈ kkh(A,ΛB) : x = −t∗x/x = y − t∗y para algun y

Si ε = 1 lo omitimos de la notacion. Tengamos en cuenta que k y k′ no necesitan laprescripcion ε debido al isomorfismo en la Observacion 5.1.5.

Teorema 5.3.7 ([cf. Kar80, Theoeme 4.3]). Hay una sucesion exacta

k(A,ΩB) −1W (A,Ω2B) W ′(A,B) k′(A,ΩB) −1W′(A,ΩB) −1W (A,ΩB)

W (A,ΩB) W ′(A,ΩB) k′(A,ΩB) −1W′(A,B) W (A,Ω2B) k(A,ΩB)

Demostracion. Como antes, omitimos jh de la notacion. Sea ν para el morfismo quese obtiene de tensorizar el morfismo canonico U → Λ con Ω−1M2. Consideremos lossiguientes triangulos distinguidos en kkh

ΩΛ V ` Λ

Ω2−1M2 Ω−1M2U Ω−1M2Λ Ω−1M2.

∂

θ∼

η

δ ν Ω−1M2φ

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Recordemos τ : Λ2 ∼= Λ⊕Λ de (5.2.3) y sea τ : Ω−1M2Λ2 → Ω(Λ⊕Λ) la composicionen kkh del isomorfismo de la Observacion 5.1.5, la inversa de la inclusion en laesquina, y Ωτ . Usando el Lema 5.3.3 obtenemos el siguiente diagrama conmutativoen kkh:

ΩΛ V Ω−1M2U Ω−1M2Λ

ΩΛ2 V Λ Ω−1M2UΛ Ω−1M2Λ2

Ω(Λ⊕ Λ) ΩΛ ΩΛ Ω(Λ⊕ Λ).

∂

ΩΛη

θ∼

V η

ν

Ω−1M2Uη Ω(−1M2Λ)η

∂

Ωτ

θ∼

∼

ν

∼ τ

Ω(π1−tπ2)

Ω(1−2)

Un calculo directo muestra que τ (Λη) : Λ → Λ ⊕ Λ es el morfismo diagonal.Por lo tanto, del diagrama obtenemos la siguiente igualdad en kkh(ΩΛ,Ω(Λ⊕ Λ))

τ(Ω−1M2η)νθ∂ = Ω((1 − 2))(π1 − tπ2)(1 + 2)). (5.3.8)

De manera similar, para h−1 como en el Ejemplo 1.1.18 y i2 la inclusion de laesquina superior izquierda, tenemos en kkh(Ω−1M2Λ,Ω(Λ⊕ Λ) la igualdad

τ(Ω−1M2η) = Ω(1 + 2)(i2)−1 ad(1, h−1−1).

Por lo tanto, componiendo ambos lados de la igualdad (5.3.8) a la izquierda con laproyeccion en la primera coordenada, obtenemos

(ι1)−1 ad(1, h−1−1)νθ∂ = Ω(π1 − tπ2)(1 + 2)) = id− t.

Entonces, despues de usar la Observacion 5.1.5 y estabilidad hermitiana, con laidentificacion

kkh(ΩΛ,Ω−1M2Λ) ∼= kkh(ΩΛ,ΩΛ),

la composicion νθ∂ corresponde a id− t.Debido a que las ∗-algebras involucradas en el argumento anterior son playas,

para cualquier B ∈ Alg∗` aplicamos el funtor −⊗B del Ejemplo 3.2.30 para obtenerla misma identidad en kkh(ΩΛB,ΩΛB).

Finalmente, aplicando el funtor kkh(A,−) el resto de la demostracion procedeexactamente como en [Kar80, Theoreme 4.3].

Corolario 5.3.9. Sean C y H : Alg∗` → C como en la Proposicion 3.2.22. El mismoargumento que en el Teorema 5.3.7 prueba una sucesion exacta analoga para losgrupos obtenidos sustituyendo H(−) por kkh(A,−) en la Definicion 5.3.6.

62

Bibliografıa

[Bas73] Hyman Bass. ((Unitary algebraic K-theory)). En: Algebraic K-theory, III:Hermitian K-theory and geometric applications (Proc. Conf., BattelleMemorial Inst., Seattle, Wash., 1972). 1973, 57-265. Lecture Notes inMath., Vol. 343 (vid. pags. 21, 23).

[Bat11] Naoufel Battikh. ((Some applications of the fundamental theorem forhermitian K-theory)). En: Missouri J. Math. Sci. 23.1 (2011), pags. 48-64(vid. pag. 21).

[CM18] Guillermo Cortinas y Diego Montero. ((Algebraic bivariant K-theory andLeavitt path algebras)). En: Journal of Noncommutative Geometry, toappear (2018). eprint: 1806.09204 (vid. pags. 50, 52).

[CMR07] Joachim Cuntz, Ralf Meyer y Jonathan M. Rosenberg. Topological andbivariant K-theory. Vol. 36. Oberwolfach Seminars. Birkhauser Verlag,Basel, 2007, pags. xii+262. isbn: 978-3-7643-8398-5 (vid. pags. 15, 33).

[Cor11] Guillermo Cortinas. ((Algebraic v. topologicalK-theory: a friendly match)).En: Topics in algebraic and topological K-theory. Vol. 2008. Lecture No-tes in Math. Springer, Berlin, 2011, pags. 103-165. doi: 10.1007/978-3-642-15708-0\_3. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_3 (vid. pags. 16, 17, 22, 23).

[CT07] Guillermo Cortinas y Andreas Thom. ((Bivariant algebraic K-theory)).En: Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle’s Jour-nal] 610 (2007), pags. 71-123. issn: 0075-4102. doi: 10.1515/CRELLE.2007.068. url: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.068 (vid.pags. iv, 9, 11, 12, 17, 22, 29, 31, 35, 38, 39, 41, 42, 47, 53).

[Cun05] Joachim Cuntz. ((Bivariant K-theory and the Weyl algebra)). En: K-Theory 35.1-2 (2005), pags. 93-137. issn: 0920-3036. doi: 10 . 1007 /

s10977-005-3464-0. url: https://doi.org/10.1007/s10977-005-3464-0 (vid. pags. iv, 49).

[Cun87] Joachim Cuntz. ((A new look at KK-theory)). En: K-Theory 1.1 (1987),pags. 31-51. issn: 0920-3036. doi: 10.1007/BF00533986. url: https://doi.org/10.1007/BF00533986 (vid. pag. iv).

63

1806.09204

https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0\_3

https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0\_3

https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_3

https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_3

https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.068



https://doi.org/10.1007/s10977-005-3464-0

https://doi.org/10.1007/s10977-005-3464-0

https://doi.org/10.1007/s10977-005-3464-0

https://doi.org/10.1007/s10977-005-3464-0

https://doi.org/10.1007/BF00533986

https://doi.org/10.1007/BF00533986

https://doi.org/10.1007/BF00533986

Bibliografıa 64

[Ell14] Eugenia Ellis. ((Equivariant algebraic kk-theory and adjointness theo-rems)). En: J. Algebra 398 (2014), pags. 200-226. issn: 0021-8693. doi:10.1016/j.jalgebra.2013.09.023. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.09.023 (vid. pags. v, 18, 29).

[Ell18] Eugenia Ellis. ((Algebraic quantum kk-theory)). En: Comm. Algebra 46.8(2018), pags. 3642-3662. issn: 0092-7872. doi: 10 . 1080 / 00927872 .

2018.1424877. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1424877 (vid. pags. v, 29).

[Gar13] Grigory Garkusha. ((Universal bivariant algebraic K-theories)). En: J.Homotopy Relat. Struct. 8.1 (2013), pags. 67-116. issn: 2193-8407. doi:10.1007/s40062-012-0013-4. url: https://doi.org/10.1007/s40062-012-0013-4 (vid. pag. v).

[Gar14] Grigory Garkusha. ((Algebraic Kasparov K-theory. I)). En: Doc. Math.19 (2014), pags. 1207-1269. issn: 1431-0635 (vid. pag. v).

[Gar16] Grigory Garkusha. ((Algebraic Kasparov K-theory, II)). En: Ann. K-Theory1.3 (2016), pags. 275-316. issn: 2379-1683. doi: 10.2140/akt.2016.1.275. url: https://doi.org/10.2140/akt.2016.1.275 (vid. pag. v).

[GJ99] Paul G. Goerss y John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Birkhauser,1999 (vid. pag. 10).

[Hig87] Nigel Higson. ((A characterization of KK-theory)). En: Pacific J. Math.126.2 (1987), pags. 253-276. issn: 0030-8730. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102699804 (vid. pag. iv).

[Kar80] Max Karoubi. ((Le theoreme fondamental de la K-theorie hermitienne)).En: Ann. Math. 112 (1980), pags. 259-282 (vid. pags. vi, 27, 28, 61, 62).

[Kas80] G. G. Kasparov. ((The operatorK-functor and extensions of C∗-algebras)).En: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 44.3 (1980), pags. 571-636, 719.issn: 0373-2436 (vid. pag. iv).

[KV73] Max Karoubi y Orlando Villamayor. ((K-theorie algebrique et K-theorietopologique. II)). En: Math. Scand. 32 (1973), pags. 57-86. issn: 0025-5521. doi: 10.7146/math.scand.a-11446. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11446 (vid. pags. 5, 21, 22).

[Lod76] Jean-Louis Loday. ((K-theorie algebrique et representations de groupes)).En: Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 9.3 (1976), pags. 309-377. issn: 0012-9593. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1976_4_9_3_309_0 (vid. pags. vi, 20, 21, 23, 24).

[Nee01] Amnon Neeman. Triangulated categories. 148. Princeton University Press,2001 (vid. pag. 38).

[Rod20] Emanuel Rodrıguez Cirone. ((The loop-stable homotopy category of al-gebras)). En: J. Algebra 555 (2020), pags. 157-222. issn: 0021-8693. doi:10.1016/j.jalgebra.2020.02.024. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.02.024 (vid. pag. v).

64

https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.09.023



https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1424877

https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1424877

https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1424877

https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1424877

https://doi.org/10.1007/s40062-012-0013-4

https://doi.org/10.1007/s40062-012-0013-4

https://doi.org/10.1007/s40062-012-0013-4

https://doi.org/10.2140/akt.2016.1.275

https://doi.org/10.2140/akt.2016.1.275

https://doi.org/10.2140/akt.2016.1.275

http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102699804

http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102699804

https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11446



http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1976_4_9_3_309_0

http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1976_4_9_3_309_0




Bibliografıa 65

[Wag72] J. B. Wagoner. ((Delooping classifying spaces in algebraic K-theory)). En:Topology 11 (1972), pags. 349-370. issn: 0040-9383. doi: 10.1016/0040-9383(72)90031-6. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(72)90031-6 (vid. pag. 40).

[Wei13] Charles A. Weibel. The K-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathe-matics. An introduction to algebraic K-theory. American MathematicalSociety, Providence, RI, 2013, pags. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.doi: 10.1090/gsm/145. url: https://doi.org/10.1090/gsm/145(vid. pag. 24).

65

https://doi.org/10.1016/0040-9383(72)90031-6

https://doi.org/10.1016/0040-9383(72)90031-6

https://doi.org/10.1016/0040-9383(72)90031-6

https://doi.org/10.1016/0040-9383(72)90031-6

https://doi.org/10.1090/gsm/145

https://doi.org/10.1090/gsm/145

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K-teor a hermitiana algebraica bivariante